1、设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。
（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。
2、设{
}∞<<∞-t t W ),(是参数为2
σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量； 且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(，求随机过程
{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。
3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。求一天（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。
4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=3.007.08.02.0007.03.0P
（1）求两步转移概率矩阵)
2(P 及当初始分布为
0}3{}2{,
1}1{000======X P X P X P
时，经两步转移后处于状态2的概率。
（2）求马尔可夫链的平稳分布。
5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为：
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=010007.03.0000
00
01
00004.06.0003.04
.03.0P 求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。
7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以i N 记在i 第层进入电梯的人数。假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯，
1ij
j i
p
>=∑。令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。
（1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么
（3）j O 与k O 的联合分布是什么
8、一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t 质点位于这三个点之一，则在),[h t t +，
它都以概率 )(h o h +分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(t p j i 及平稳分布。
1有随机过程{ξ(t )，-∞t +Θ+φ), 其中A ，B ，ω，φ为实常数，Θ均匀分布于[0，2π]，试求R ξη(s ,t )
2（15分）随机过程ξ(t )=A cos(ωt +Φ )，-∞3某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson 过程，已知商店9：00开门，试求：（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；
（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。 4设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为p ij （p ij 表示从销售状态i 经过一个月后转为销售状态j 的概率），一步转移开率矩阵为：
[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡=613
26
1959131021
21
P 试对经过长时间后的销售状况进行分析。
5设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 6设{}N(t),t 0≥是强度为λ的泊松过程，{}k Y ,k=1,2,
是一列独立同分布随机变量，且
与{}N(t),t 0≥独立，令N(t)k k=1
X(t)=Y ,t 0≥∑，证明：若2
1E(Y <)∞，则[]{}1E X(t)tE Y λ=
7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为α，而今天无雨明天有雨的概率为β；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设0.7,0.4αβ==，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。
8设(){}+∞<<∞-t t ,ξ是平稳过程，令()()()+∞<<∞-Θ+=t t t t ,cos 0ωξη，其中ω0
是常数，Θ为均匀分布在[0,2π]上的随机变量，且(){}+∞<<∞-t t ,ξ与Θ相互独立，R ξ(τ)和S ξ(ω)分别是(){
}+∞<<∞-t t ,ξ的相关函数与功率谱密度，试证： （1）(){
}+∞<<∞-t t ,η是平稳过程，且相关函数： ()()τωττξη0cos 2
1
R R =
（2）(){
}+∞<<∞-t t ,η的功率谱密度为： ()()()[]004
1
ωωωωωξξη++-=
S S S 9已知随机过程ξ(t )的相关函数为：
()2
ατξτ-=e
R ，问该随机过程ξ(t )是否均方连续？是否均方可微？
1、设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。
（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）⎰
∞
-=
x
dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数；
（2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数⎪⎩
⎪⎨⎧<<-=其他,0,1
)(b
x a a b x f ，分布函数
⎪⎩
⎪⎨⎧
>≤≤--<=b x b x a a
b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b
a x E +=
，12)()(2a b x D -=；
