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输入饱和的双积分系统的复合时间最优控制张义超;黄晨;陆浩然;孙戎【摘要】针对典型的有输入饱和的双积分环节或系统的时间最优控制问题,建立了双积分环节的传递函数和状态空间方程两种数学模型,设计双积分环节的闭环时间最优控制律;对时间最优控制在系统存在干扰和不确定性存在条件下出现的振颤现象进行分析;基于对振颤问题的分析,提出一种对时间最优控制的改进,即一种复合控制方法,当输入作用时,系统先由时间最优控制律控制,当误差达到预定值限,控制律由时间最优控制律切换到另一种线性控制律.采用了比例微分控制律,来解决时间最优控制的振颤问题,响应时间达到最优,并解决振颤问题.%To the issue of time optimal control of double integrating systems with input saturation,the transferring function model and state-space model of double integrating systems are established,and the time optimal controller (TOC) is designed.Unfortunately,it is well known that the classical TOC is not robust with respect to the system uncertainties and measurementnoises.Thus,we,in the paper,study the chatter problem by simulation and introduces a nonlinear composite control,method,i.e.,a combination of time optimal control (TOC) and PID control,for double integrating systems with input saturation.The TOC part is designed to enable the time optimization.In order to solve the drawback of TOC,when the error is small to a certain level,it will switch to the PD part to overcome the chatter problem caused by the TOC.Finally,the simulation results,approximate time optimization and fair robustness demonstrate the effectiveness and feasibility of the proposed method.【期刊名称】《计算机测量与控制》【年(卷),期】2017(025)004【总页数】4页(P51-53,57)【关键词】双积分环节;时间最优控制;振颤;复合控制【作者】张义超;黄晨;陆浩然;孙戎【作者单位】北京宇航系统工程研究所,北京100076;北京宇航系统工程研究所,北京100076;北京宇航系统工程研究所,北京100076;北京宇航系统工程研究所,北京100076【正文语种】中文【中图分类】TP273我们周围的很多实际系统，都可以看作双积分系统，并且具有显著的非线性。
最优控制最优控制——————最小值原理最小值原理七 几种典型的几种典型的工程工程工程应用应用 1．时间最优控制时间最优控制问题，是可以运用极小值原理求解的一个常见的工程实际问题。
如果性能指标是系统有初态转移到目标集的运动时间，则使转移时间为最短的控制称为时间最优控制，或称最速控制。
本节主要介绍线形定常系统的时间最优控制分析法及其应用。
1.1 一类非线性系统的时间最优控制先把需要解决的问题叙述如下：[问题3-1] 移动目标集的一类非线性系统的时间最优控制问题为()1min ,1,2,,fj t u t t J dt j m ≤==∫⋯..s t ① [][]00()(),(),(),()xt f x t t B x t t u t x t x =+=ɺ ② (),0f f x t t ψ =式中()n x t R ∈，()m u t R ∈；()f •和()B •维数适当，其各元对()x t 和t 连续可微；移动目标集()r R ψ•∈，其各元对()f x t 和f t 连续可微，f t 是状态轨线与移动目标集相遇的末端时刻。
显然，问题3-1属于时变条件、积分型性能指标、f t 自由和末端约束的最优控制问题。
根据极小值原理，令哈密顿函数[][]{}(,,,)1()(),(),()T H x u t t f x t t B x t t u t λλ=++ （3-136）正则方程为：[][]()(),(),()Hxt f x t t B x t t u t λ∂==+∂ɺ （3-137） [](),()()()()()TTB x t t u t H ft t t x xx t λλλ ∂∂∂=−=−−∂∂∂ɺ （3-138）边界条件及横截条件为00()x t x = （3-139）(),0f f x t t ψ = （3-140）()()T f f t x t ψλγ∂=∂ （3-141）极小值条件：***1()(),()(),()T T t f x t t t B x t t u t λλ ++{}**1min 1()(),()(),()j T T u t f x t t t B x t t u t λλ≤ =++ 或者[]{}*1()(),()min ()(),()j T T u t B x t t u t t B x t t u t λλ≤ = （3-142）因而得：**()sgn (,)()T u t B x t t λ =− （3-143）式中sgn()•为符号函数。
双积分系统最优控制的三次hermite配点法双积分系统最优控制的三次Hermite配点法随着科学技术的不断发展，控制理论在现代工程技术中的应用越来越广泛。
在控制理论中，最优控制理论是一种常用的控制方法，其能够使系统在输出满足一定约束条件的前提下，实现最小化某个指标的目标。
在最优控制中，配点法是一种常用的数值解法，该方法可以将最优控制转化为较为容易求解的数值计算问题。
其中，三次Hermite配点法是一种比较常用的配点法。
本文将介绍双积分系统最优控制的三次Hermite配点法及其应用。
首先，将引入双积分系统和最优控制的概念。
其次，将介绍三次Hermite配点法的基本原理和计算方法。
最后，将给出三次Hermite配点法在双积分系统最优控制中的应用实例及其优缺点。
双积分系统和最优控制的概念双积分系统是指含有两个二阶积分项的系统，其一般形式如下：$$ \begin{aligned} y(t) &=\int_{0}^{t}\int_{0}^{s} f(\tau, x(\tau)) d \tau d s \\&=\int_{0}^{t}\left[\int_{0}^{s} f(\tau, x(\tau)) d \tau\right] d s \end{aligned} $$其中，$f(\tau, x(\tau))$为系统的输入，$x(\tau)$为系统的状态。
最优控制是指，在一定约束条件下，通过调整系统的输入，使得系统的某个性能指标达到最小值。
控制系统满足最优性的条件是其状态方程必须满足哈密顿-雅可比-贝尔曼(HJB)方程。
对于双积分系统来说，其HJB方程可以表示为：$$ \frac{\partial V}{\partial t}(t, y(t))+\min _{u(t)}\left\{\frac{\partial V}{\partial y}(t,y(t)) f(t, y(t), u(t))+g(t, y(t), u(t))\right\}=0 $$其中，$V(t,y(t))$为值函数，$u(t)$为控制输入，$f(t,y(t),u(t))$为系统的状态方程，$g(t,y(t),u(t))$为系统的性能指标。
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我们将从简入深，探讨时间最优控制系统的基本概念，然后深入研究如何利用matlab来求解双积分装置的时间最优控制系统。
一、时间最优控制系统的基本概念时间最优控制系统是指在给定约束条件下，使得系统在规定的时间内完成特定任务所需的最小能量或代价。
在实际应用中，时间最优控制系统通常会涉及多个状态变量和控制变量，因此需要进行多变量求解和优化。
时间最优控制系统的设计和求解是控制理论和应用数学中的重要课题，涉及到动力学方程、最优控制理论、数值求解方法等多个领域的知识。
在工程和科学领域中，时间最优控制系统的应用涵盖了航天飞行器的轨道规划、机器人运动控制、化工过程优化等多个领域。
深入研究时间最优控制系统对于实际工程和科学应用具有重要意义。
二、matlab求解双积分装置时间最优控制系统在matlab中，可以利用优化工具箱和数值求解方法来求解双积分装置的时间最优控制系统。
需要建立系统的状态方程和性能指标，然后利用matlab提供的优化函数对性能指标进行优化，得到最优控制输入。
在matlab中，可以使用线性二次型调节器（LQR）来设计时间最优控制器，同时利用数值求解方法对最优控制输入进行求解。
还可以使用动态规划、最优控制理论等方法来求解时间最优控制系统，通过与实际系统进行模拟和对比分析，验证时间最优控制系统的有效性和可行性。
三、个人观点和理解时间最优控制系统是控制理论和应用数学中的重要概念，对于实际工程和科学应用具有重要意义。
在matlab中，可以利用丰富的工具和函数来求解双积分装置的时间最优控制系统，为工程师和科研人员提供了便利和支持。
深入研究时间最优控制系统，可以帮助我们更好理解系统动力学和优化方法的应用，提高工程和科学领域的实际应用水平。
总结回顾通过本文的深入探讨，我们对时间最优控制系统的基本概念有了更深入的了解，同时也学习了如何利用matlab来求解双积分装置的时间最优控制系统。
