时间最优控制

hjb方程对于一个最优控制问题，HJB方程是连续时间最优控制的充分必要条件。

Hamilton-Jacobi-Bellman方程如何理解HJB方程−∂ V ∂ t ( x ( t ) , t ) = min ⁡ u ( t ) ∈ U { g ( x( t ) , u ( t ) , t ) + ∂ V ∂ x ( x ( t ) , t ) ⋅ f ( x ( t ) , u ( t ) , t ) } -\frac{ \partial V }{ \partialt }(x(t),t)=\mathop{\min}_{u(t)\inU}\left\{g(x(t),u(t),t)+\frac{ \partial V }{ \partialx }(x(t),t)\cdot f(x(t),u(t),t) \right\} −∂t∂V(x(t),t)=minu(t)∈U {g(x(t),u(t),t)+∂x∂V(x(t),t)⋅f(x(t),u(t),t)}其中 V V V是值函数， g g g是过程成本， f f f是状态方程公式的理解首先要理解值函数代表什么。

值函数是性能指标（定义在下文）的最优值。

一般性能指标都是由两部分组成，一部分是积分，一部分就是一个和终点有关的值。

比如从A开车去B，那么积分的部分可以是油钱，这取决于你的控制方式和在这段时间的行驶距离。

第二部分就是停止时离终点的距离。

这里的油钱也被称为过程成本。

控制（油门，刹车）用状态方程表示，给定当前位置和控制，就能知道下一时刻的位置在哪里。

这个式子有个隐含条件就是已知全程所用的时间。

那么就是说在给定时间内，每一秒，都对应了应该用什么控制去走多少米。

公式左边对应的是最优值随时间的变动，加负号是因为时间不能返流，满足因果关系。

现在看公式右边，第一项是当前所需要的油钱，第二项的偏导数说的是位置变动会引起最优值变动多少，那么具体移动多少移动到哪里是由状态方程决定的，那么第二项的意思就显而易见了，在当前位置，通过控制，实现移动后，能让最优值改变多少。

时间最优控制曲线
时间最优控制曲线是一种控制策略，旨在最小化完成某项任务所需的时间。

在控制工程中，时间最优控制通常涉及找到一个控制输入，使得系统状态在给定的时间内从初始状态转移到目标状态。

时间最优控制曲线的设计通常涉及以下几个步骤：
1.确定目标函数：目标函数是衡量系统性能的指标，通常是最小化完成某项任务所需的时
间。

2.确定约束条件：约束条件包括系统的状态方程、输入约束和输出约束等。

3.求解最优控制问题：使用适当的优化算法求解最优控制问题，以找到最优的控制输入。

4.验证和实施：验证所找到的最优控制策略在实际系统中的可行性和有效性，并进行必要
的调整和优化。

线性系统时间最优控制的存在性和唯一性王思江 08070110242贵州大学 理学院信计1.内容介绍:最优控制理论是现代控制理论中最早发展起来的分支之一。

所谓控制就是人们用某种方法和手段去影响事件及其运动的进程和轨道，使之朝着有利于控制主体的方向发展。

对于一个给定的受控系统，常常要求找到这样的控制函数，使得在它的作用下，系统从一个状态转移到为设计者希望的另一个状态，且使得系统的某种性能尽可能好。

通常称这种控制问题为最优控制问题。

最优控制理论主要讨论求解最优控制问题的方法和理论，包括最优控制的存在性、唯一性和最优控制应满足的必要条件等。

最优控制理论始于20世纪50年代末，其主要标志是前苏联数学家庞特里亚金等提出的“最大值原理”。

最优控制理论在工矿企业、交通运输、电力工业、国防工业和国民经济管理等部门有着广泛的应用。

2.问题:控制系统000()()()()(),()(2.1)()ad x t A t x t B t u t t t x t x u U=+>⎧⎪=⎨⎪⋅∈⎩其中01():[,]n n A t t R ⨯⋅→,01():[,]n m B t t R ⨯⋅→.初始状态0x 是nR 中给定的点.控制区域U 是mR 中有界闭集,ad U 表示取值于U 的可积函数全体.12()((),(),,())T n n x t x t x t x t R =∈ 表示控制系统的状态变量, 12()((),(),,())T m m u t u t u t u t R =∈ 表示控制系统的控制变量.假定以下基本条件成立：()[0,;],()[0,;]:[0,)2[0,),()n n n n mloc loc R A L R B L R L M Hausdorff t M t ρ∞⨯∞⨯⎧⋅∈+∞⋅∈+∞⎪⎪+∞→⎨⎪∀∈+∞⎪⎩是关于度量连续的多值函数对是非空紧集. 对于00,[1,)t T p ≤<<+∞∈+∞,记00[,]{:[,]()}u t T u t T U u =→⋅可测, 00[,+{:[,+()}u t u t U u ∞=∞→⋅））可测, 00[,][0,](,;)p p m u t T u T L t T R = ,000[,)[,)(,;)p p m loc u t u t L t R +∞=+∞+∞ ,0000(,;){:[,)()[,],}p m m p loc L t R u t R u L t T T t +∞=+∞→⋅∈∀>.000(,)[0,)n t x R t t ∀∈+∞⨯≥对以及,能达集00()(;,)t t t x ℜ=ℜ是凸紧的.假设{()()}(2.2)t t M t t ≥ℜ≠∅ ,表示从00(,)t x 到目标()M ⋅是能控的.定义00000(())(();,)inf{(;,,())()}J u J u t x t t y t t x u M t ⋅=⋅=≥⋅∈,即00(();,)J u t x ⋅是轨线00(;,,())y t t x u ⋅首次遇到()M ⋅的时间. 规定inf ∅=+∞.问题(TC):对于00(,)[0,)n t x R ∀∈+∞⨯,假设条件0{()()}t t M t t ≥ℜ≠∅ 成立.寻找控制*()[0,)u t u ∈+∞使得*0000()[0,)(();,)inf(();,)u u J u t x J u t x ⋅∈+∞⋅=⋅（2.3）.而*00()[0,)=inf(();,)u u t J u t x ⋅∈+∞⋅—最优时间.满足（2.3）的控制*()[0,)u u ⋅∈+∞称为最优时间控制.2.最优控制的存在性和唯一性的证明:首先,我们叙述以下引理．引理（3.1） 设L 以及（2.2）成立,则最优时间*0inf{()()}t t t M t =≥⋅ℜ≠∅ .下面我们不加证明的给出与最优控制的存在性有关的一系列定理.定理（3.2） 设L 以及（2.2）成立,则问题(TC)至少存在一个时间最优控制*()u ⋅,且最有时间*t 满足*0min{()()}t t t M t =≥⋅ℜ≠∅ .定理（3.3） 设L 以及（2.2）成立,0(0)x M ∉,*t 是问题(TC)的最优时间,则****[()][()]()()M t t M t t ∂∂ℜ=ℜ≠∅ .定理（3.4） 设L 以及（2.2）成立,0(0)x M ∉,则最优时间*t 是以下函数在[0,)+∞上的最小零点001()()inf{max ,(,0)max ,(,)()}tz M t u UF t t x z t s B s u ds λλλ=∈∈=〈Φ->+〈Φ>⎰.进一步,如果01λ=,满足****0000()max ,(,0)max ,(,)()0t u Uz M t t x z t s B s u ds λλ∈∈〈Φ->+〈Φ>=⎰, 则最优控制*()u ⋅满足以下最大值条件****00max ,(,)(),(,)()()..[0,](3.1)u Ut s B s u t s B s u s a e s t λλ∈〈Φ〉=〈Φ〉∈,而***(,())x x t u ≡⋅满足如下横截条件()**0,0,()3.2z x z M t λ〈-〉≥∀∈.其中Φ是方程组()()()xt A t x t =的转移矩阵。

2020年12月第27卷第12期控制工程Control Engineering of ChinaDec. 2020Vol.27, No. 12文章编号：1671-7848(2020)12-2226-08 DOI: 10.14107/ki.kzgc.20180699双时间尺度系统最优控制设计方法的综述钟珊珊ia,杨春雨ib,黄新利2(1.中国矿业大学a.电气与动力工程学院：b.信息与控制工程学院，江苏徐州221006; 2.酒泉卫星发射中心，甘肃酒泉735000)H摘要：双时间尺度系统最优控制设计方法是近年来的研究热点。

本文对双时间尺度系统 最优控制的设计方法、双时间尺度系统的特性分析、双时间尺度系统最优控制问题相关应用等方面进行了全面的梳理。

首先，给出双时间尺度系统最优控制问题的数学模型，并分析相关研究的关键难点；其次，分别给出基于糢型和数据驱动的双时间尺度系统最优控制设计方法：然后，综述双时间尺度系统稳定性和次优性分析方法；接下来，概述了双时间尺度系统最优控制方法的应用案例；最后，展望双时间尺度系统最优控制的研究方向。

关键词：双时间尺度系统；奇异摄动理论；最优控制；穗定性；次优性中图分类号：T P13 文献标识码：AAn Overview on the Design Method for Optimal Control ofTwo-time-scale SystemsZHONG Shan-shan x\YANG Chun-yu xb,HUANGXin-li2(1. a. School o f Electrical and Power Engineering; b. School o f Information and Control Engineering, China University of Miningand Technology, Xuzhou 221006, China; 2. Jiuqan Satellite Launch Center, Jiuquan 73500, China)Abstract: The design method of optimal control for two-time-scale systems i s a research hotspot in recent years. In t h i s paper,the design method for optimal control of two-time-scale systems,characteristic analysis of two-time-scale systems and related application of optimal control for two-time-scale systems are reviewed. Firstly, the mathematical model and challenges for optimal control problem of two-time-scale systems are given. Secondly, the model based and data-driven design methods for optimal control of two-time-scale systems are presented respectively.Then,the analysis methods for st a b i l i t y and sub-optimality of the two-time-scale systems are presented. Next, the typical application cases of optimal control of two-time-scale systems are summarized. Finally, the future research directions for optimal control of two-time-scale systems are prospected.Key words:T w o-time-scale systems;singularly perturbed theory;optimal control;stab ility;sub-optimalityi引言在航空航天、电力、化工和机械等工程领域的 控制系统设计中，大量研宄对象具有显著的双时间 尺度特性。

最优控制理论讲义第一章 绪论§1.1最优控制问题静态最优化问题：输入—输出—代数方程 动态最优化问题：输入—输出—微分方程 确定性最优控制：系统参数确定，无随机输入 随机性最优控制：系统参数确定，有随机输入⎩⎨⎧=+=)()()()()(t Cx t Y t Bu t Ax t x⎩⎨⎧+=++=)()()()()()()(t v t Cx t Y t w t Bu t Ax t x例：飞船的月球软着陆问题推力 dtdmkf -= 运动方程 mg dt dmk mg f dtx d m --=-=22)()(][00f t t t m t m dt dtdmJ f-=-=⎰ 初始条件 ⎩⎨⎧======0)(,)(,00f f t x x t t ht x x t t约束条件为 0≤≤-dtdmα 求min J§1.2最优控制的数学模型一 控制系统的数学模型(集中参数系统)直接法建立：动力学、运动学的基本定律，即解析法. 间接法建立：通过“辩识”的途径确定系统的结构与参数.)),(),(()(t t u t x f t x= 其中 T n t x t x t x t x )](,)(),([)(21 =,T r t u t u t u t u )](,)(),([)(21 =,],,[21n f f f f =)(t x 为n 维状态向量,)(t u 为r 维控制向量,f 为n 维函数向量.二 目标集通过)(t u 使)(t x 由)(0t x 到)(f t x ，其中)(0t x 为初始状态，并且通常为已知；)(f t x 为终端状态，即控制所要求达到的目标。

一般来说对终端状态的要求可用如下的约束条件表示：0)),((,0)),((21≤=f f f f t t x g t t x g . 三 容许控制i u 具有不同的物理属性，一般有r 1,2i u i ,,=≤α，即在控制域U 内.凡在闭区间],[0f t t 上有定义，且控制域U 内取值的每一个控制函数)(t u 均称为容许控制。

专利名称：激励型过阻尼RLC电路修复可靠时间的最优控制方法
专利类型：发明专利
发明人：金婷,夏红萱,刘海蓉,田宇,保进烽,陈昊,张锐
申请号：CN202010650066.0
申请日：20200708
公开号：CN111830829B
公开日：
20220503
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：本发明公开了一种激励型过阻尼二阶RLC电路故障修复可靠时间的最优控制方法，根据不确定时间最优控制模型的定义，将不确定时间最优控制模型转化为相应的确定型最优控制问题。

提出了一种全新的基于首达时间的故障修复可靠时间准则，并将其应用到激励型过阻尼二阶RLC电路的不确定二阶优化控制模型中，从而得到了关于首达时间的不确定性分布的解析表达式，同时得到了此类模型的最优解的充分条件，进而通过二分法给出了指定信赖程度下模型的最优解，以及对应的故障修复可靠时间。

本发明可以提供更加符合现实情况最优策略，解决由于忽视人为不确定因素导致的结果误差，提高激励型过阻尼二阶RLC电路控制模型的实际应用能力。

申请人：南京林业大学,国网江苏省电力有限公司检修分公司
地址：210037 江苏省南京市玄武区龙蟠路159号
国籍：CN
代理机构：南京纵横知识产权代理有限公司
代理人：许婉静
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输入饱和的双积分系统的复合时间最优控制张义超;黄晨;陆浩然;孙戎【摘要】针对典型的有输入饱和的双积分环节或系统的时间最优控制问题,建立了双积分环节的传递函数和状态空间方程两种数学模型,设计双积分环节的闭环时间最优控制律;对时间最优控制在系统存在干扰和不确定性存在条件下出现的振颤现象进行分析;基于对振颤问题的分析,提出一种对时间最优控制的改进,即一种复合控制方法,当输入作用时,系统先由时间最优控制律控制,当误差达到预定值限,控制律由时间最优控制律切换到另一种线性控制律.采用了比例微分控制律,来解决时间最优控制的振颤问题,响应时间达到最优,并解决振颤问题.%To the issue of time optimal control of double integrating systems with input saturation,the transferring function model and state-space model of double integrating systems are established,and the time optimal controller (TOC) is designed.Unfortunately,it is well known that the classical TOC is not robust with respect to the system uncertainties and measurementnoises.Thus,we,in the paper,study the chatter problem by simulation and introduces a nonlinear composite control,method,i.e.,a combination of time optimal control (TOC) and PID control,for double integrating systems with input saturation.The TOC part is designed to enable the time optimization.In order to solve the drawback of TOC,when the error is small to a certain level,it will switch to the PD part to overcome the chatter problem caused by the TOC.Finally,the simulation results,approximate time optimization and fair robustness demonstrate the effectiveness and feasibility of the proposed method.【期刊名称】《计算机测量与控制》【年(卷),期】2017(025)004【总页数】4页(P51-53,57)【关键词】双积分环节;时间最优控制;振颤;复合控制【作者】张义超;黄晨;陆浩然;孙戎【作者单位】北京宇航系统工程研究所,北京100076;北京宇航系统工程研究所,北京100076;北京宇航系统工程研究所,北京100076;北京宇航系统工程研究所,北京100076【正文语种】中文【中图分类】TP273我们周围的很多实际系统，都可以看作双积分系统，并且具有显著的非线性。