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微积分复合函数求导法则课件

微积分复合函数求导法则课件

VS
链式法则引入思路
通过实例和图形展示，引入复合函数的概 念，并让学生思考如何求复合函数的导数 ，进而引出链式法则的概念。
链式法则证明过程
链式法则证明方法
采用极限的定义和四则运算法则进行证明， 让学生理解链式法则的本质和推导过程。
链式法则证明步骤
首先通过极限的定义求出复合函数的导数， 然后利用四则运算法则进行化简，得到链式 法则的公式。
隐函数求导法则
若y是x的函数，且由方程F(x,y)=0确 定，则将方程两边同时对x求导，得到 y'的表达式。
03
复合函数求导法则推导
链式法则引入
链式法则定义
若函数$y=f(u)$在点$u$可导，函数 $u=g(x)$在点$x$可导，则复合函数 $y=f[g(x)]$在点$x$也可导，且其导数为 $f'[g(x)] \cdot g'(x)$。
高阶导数性质
高阶导数具有线性性、叠加性和乘积法则等基本性质， 同时高阶导数与函数的凹凸性和拐点等性质密切相关。
隐函数求导方法简述
隐函数概念
当函数y以隐式形式给出，即F(x,y)=0时，称y为x的隐 函数。
隐函数求导方法
通过对隐函数F(x,y)两边同时对x求导，并利用链式法 则和复合函数求导法则，求得y'和y''等导数。
微积分复合函数求导法则课 件
目录
• 复合函数概述 • 求导基础知识回顾 • 复合函数求导法则推导 • 复合函数求导法则应用实例分析 • 高阶导数及隐函数求导方法介绍 • 总结回顾与拓展延伸
01
复合函数概述
复合函数定义
• 定义：设函数y=f(u)的定义域为Df，值域为Rf，函数u=g(x)的定义域为Dg，值域为Rg，且Rf∩Dg≠∅，则称函 数y=f[g(x)]为f(u)与g(x)的复合函数，记作y=f·g(x)，其中x∈Dg，u∈Rf∩Dg，y∈Ry。这里Rf∩Dg表示f(u)与 g(x)的定义域的交集。

复合函数与隐函数的偏导数-PPT

复合函数与隐函数的偏导数-PPT

z x
0,
Fy
Fz
z y
0.
因为 Fz 连续,且Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，所以存在
点( x0 , y0 ,
于就是得
z0 ) 得一个邻域,在这个邻域内 z Fx , z Fy .
Fz
0,
x Fz y Fz
隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
例
已知 x2 a2
y2 b2
(2) F (0,0) 0; (3) Fy (0,0) 1 0, 隐函数存在定理1 所以方程在点 (0, 0) 附近确定一个有连续导数、 当x 0时y 0得隐函数 y f ( x),且
dy dx
Fx Fy
y x
e e
x y
.
隐函数的求导公式
例 已知ln x2 y2 arctan y ,求 dy . x dx
z f [ ( x, y), ( x, y),( x, y)]在对应点( x, y)
u
v
w
得两个偏导数存在, 且可用下列公式计算:
z x
z u
u x
z v
v x
z w
w x
ux
z y
z u u y
z v
v y
z w
w y
zv wy
多元复合函数的求导法则
例 设z
u2
1 v2
w2
,u
x2
y2,v
x2
x
x
z y z x x y
隐函数的求导公式
设方程 xy yz zx 1 确定了隐函数
z
y
z
z
z(
x,
y),
试求
2z x 2

第四节 复合函数的求导法则

第四节 复合函数的求导法则

,
z
y
x
y zu x2 y2 zv x2 y2 ,
于是
(x

y) z x

(x

y) z y

zu

zv
即方程变为 zu zv 0.
☆ 二、多元复合函数的高阶偏导数
例 1 设z f ( x y, x2 y),其中 f C(2),求 z , z , 2z .
u
z df u , x du x
z y

df du
u . y
xy
或写为 zx f (u) ux , zy f (u) uy .
注意 f '(u) 与 fu 意义不同.
例1
设z sin u,
u
x y
可微,
求zx
,
zy.
例 2 设z f ( y ), f 可微, 证明： x z y z 0.
ux yzf1 2 xf2, uy xzf1 2 yf2, uz xyf1 2zf2.
(3) 若 w=f (u,v,) , 且 u= (x,y) 、v = (x,y)、w =(x,y),
则有: zx fuux fvvx fwwx , zy fuuy fvvy fwwy .
zx e x2 y[sin( xy) y cos( xy)] , z y e x2 y[2sin( xy) x cos( xy)] .
例 2 设 z ( x2 y2 )sin( x3 y), 求 z x 和 z y .
解 令 u x2 y2 , v sin( x 3 y) , 则 z uv ,
[法一] 按链式法则:

复合函数的求导法则

复合函数的求导法则
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z z u z v ， . y u y v y x u x v x
链式法则如图示
u
z
x
y
v
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
y , 其中为可导函数, 七、设 z 2 2 f (x y ) 1 z 1 z z 2. 验证: x x y y y 八、设 z [ x ( x y ), y ], 其中 , 具有二阶导数,求 2z 2z , 2. 2 x yLeabharlann 练习题答案一、1、
du f ( u ,v , x ) x dx v
dv f ( u ,v , x ) x dx x
( u ,v , x )
.
练习题
一、填空题: x cos y z 1、设 z ,则 ________________； y cos x x z ________________. y x 2 ln( 3 x 2 y ) z z 2 、设 ,则 _______________； 2 x y z ________________. y sin t 2 t 3 dz z e 3、设 ,则 ________________. dt v z z 2 2 u 二、设 z ue ,而u x y , v xy ，求 , . x y
例：z = (1+ x )
2 sin3x
dz 求 dx
例：z = (x y )
2
2 2 x 3 y
z z 求 x y
2、复合函数求导注意事项：

高等数学《复合函数的求导法则》

高等数学《复合函数的求导法则》
例 8 设z f ( x2,e2x )，f 可微，求 dz . dx
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
例：z f (u,v, w) , u u(t ) , v v(t ) , w w(t ) ,
则 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
f
(
xy,
x y
)，f
可微，求
z
x
和
z
y
.
解
zx
f1
y
f
2
(
1 y
)
y
f1
1 y
f2 .
zy
f1 x
f2
(
1 y2
)
x
f1
x y2
f2 .
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
(2) 设u ( x, y)、v ( x, y)、w w( x, y)
都在点( x, y)具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
2、全微分形式不变性 ( 理解其实质 ) 3、求复合函数偏导数时，由于复合关系比较复 杂，用链式法则求偏导数时，首先要搞清楚哪些 是自变量，哪些是中间变量，其次要分清是求偏 导数或是全导数.
总结：
1、多元函数偏导数的类型很多，有求偏导数， 有证明偏导数存在，有讨论可微与连续及与偏 导数的关系问题.
——全导数公式
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z zuu zvv 1u 2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
zu
u t
zv
v t

高中数学选修课件第二章§简单复合函数的求导法则

高中数学选修课件第二章§简单复合函数的求导法则

06
练习题与自测题
练习题
求函数y = (2x^3 + 5x^2 - 7x + 1)^4 的导数。
求函数y = ln(x^2 + 1) / (x^3 - 2x + 1) 的导数。
求函数y = sin(2x) * e^(3x)的导数。 求函数y = sqrt(4x^2 + 3x)的导数。
自测题
求函数y = cos(3x^2 - 4x + 1)的导数。
THANKS
进行变量替换
将原函数中的相应部分用新变量替换，得到新的函数表达式。
求导并回代
对新函数进行求导，然后将替换变量的原表达式回代到求导结果 中，得到最终的导数表达式。
05
实际问题中简单复合函数 求导应用举例
曲线在某点切线斜率问题
几何意义
切线的斜率等于函数在该点的导 数。
求解步骤
先求出复合函数的导数，再将切点 的横坐标代入导数表达式中求出切 线的斜率。
高中数学选修课件第二章§简 单复合函数的求导法则
汇报人：XX
汇报时间：20XX-01-29
目录
• 简单复合函数概述 • 求导法则基本原理 • 简单复合函数求导实例分析 • 复杂复合函数求导技巧探讨
目录
• 实际问题中简单复合函数求导应用举 例
• 练习题与自测题
01
简单复合函数概述
定义与性质
01
02
求导法则基本原理
链式法则介绍
链式法则定义
若函数u=g(x)在点x可导，函数 y=f(u)在对应的点u=g(x)可导，则复 合函数y=f[g(x)]在x可导，且其导数 为dy/dx=f'(u)·g'(x)。

反函数复合函数初等函数求导.ppt

反函数复合函数初等函数求导.ppt

（ 1
2 x 2）
dx
3
4x 33（1 2 x2）2 .
返回
推广
设 y f (u), u (v), v ( x), 则复合函数 y f {[ (x)]}的导数为
dy dy du dv . dx du dv dx
返回
例10 y lncos(e x )求 dy。
dx 解 所 给 函 数 可 分 解 为 y ln u,u cosv,v e x . 因
1 x2
返回
例2 求函数 y loga x 的导数. 解 x a y在I y (,)内单调、可导,
且 (a y ) a y ln a 0, 在Ix (0,)内有 :
(log a
x)
1 (a y )
1 a y ln a
1. x ln a
特别地
(ln x) 1 . x
返回
例3 求函数 y arctan x 的导数.
y
( y)
返回
例1 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
1 1 sin 2 y
1 .
1 x2
同理可得 (arccos x) 1 .
dx du dx u
sinxcosx
例6 y e x3 ,求 dy 。
dx
解 y e x3可看做由y eu ,u x3复合而成，因此
dy dy du eu 3x2 3x2e x3 . dx du dx

导数复合函数求导法则非常实用(共14张PPT)

导数复合函数求导法则非常实用(共14张PPT)
由已知得f(1)=1，f(2)=－1，f ’(2)=1，
abc1
4
a
2b
c
1
4a b 1
a3
解得
b
11
c 9
第8页，共14页。
练习题 1．函数y=(5x－4)3的导数是（ ）C
（A）y’＝3(5x－4)2 （B）y’＝9(5x－4)2 （C）y’＝15(5x－4)2 （D）y’＝12(5x－4)2
第9页，共14页。
2．函数 y＝Acos(ωx+φ)（Aω≠0）的导数是 （）D
（A）y’=Asin(ωx+φ) （B）y’=－Asin(ωx+φ) （C）y’=Aωcos(ωx+φ) （D）y’=－Aωsin(ωx+φ)
第10页，共14页。
3．函数y=sin(x2+1)＋cos3x的导数是（ ） （BA）y’=cos(x2+1)－sin3x （B）y’=2xcos(x2+1)－3sin3x （C）y’=2xcos(x2+1)+3sin3x （D）y’=cos(x2+1)+sin3x
第11页，共14页。
4．函数y=(1+cosx)3是由 y=u3, u=1+cosx两个 函数复合而成．
5．函数y=3sin2x＋l在点(π，1)处的切线方程
是
y=1 .
第12页，共14页。
6．求 y3 ax2 bxc的导数
Байду номын сангаас
y
'
1
(ax2
bx
2
x) 3
(2ax
b)
3
(2ax b) 3 ax2 bx c 3(ax2 bx c)

高等数学-电子课件04第九章 第4节多元复合函数求导法则

高等数学-电子课件04第九章 第4节多元复合函数求导法则

u y v y
z (udxudy) z ( vdx v dy)
u x y
v x y
z du z dv
u
v
这说明,无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表
达式一样, 这性质叫做全微分形式不变性 .
15
例 6. zeusiv,n ux,v yxy,求 z, z.
解: dzd(eu sinv )
第四节 多元复合函数的求导法则
一元复合函数 yf(u),u(x)
求导法则 d y d y du
dx du dx
微分法则 d y f(u )d u f(u )(x )dx
推广 （1）多元复合函数求导的链式法则 （2）多元复合函数的全微分
2
一. 复合函数求导的链式法则
定理 如果函数 u(t),v(t)都在点 t可导,函数
x2z2 y2z2 (x2y2)(fuufvv)
14
二. 复合函数的全微分
设函数 z f( u ,v ) ,u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) 都可微,
则复合函数 zf((x,y),(x,y))的全微分为
dzzdxzdy x y
(zuzv)dx (zuzv)dy
u x v x
f
uv
x yxy
z x
2xf x2 [uf uxfvxv]
2x f x2f1(xy2)x2f2y
12
x
2x f yf1x2yf2
f1( f2)
uy
vx
2z xy
y
2x y(f) y(yf1)x2 y(yf2 )
2x[f uf v] u y v y
f1y[ fu1 u yfv1 yv]

多元复合函数的求导法则名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件

多元复合函数的求导法则名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件

转换为极坐标系中形式.
(1)
u x
2
u y
2;
( 2)
2u 2u . x2 y2
解 由直角坐标与极坐标间 的关系式
x cos
y
sin
(1)
得
u
f
(x,
y) = f
(
cos , sin )
=
F(, )
由（1）式得 x2 y2 , arctan y
这么，u f (x, y) 可看作由
第四节 多元复合函数旳求导法则
一、 链锁法则 二、 全微分旳形式不变性
一、链锁法则
引入：z f (u, v), u (x, y), v (x, y)
复合函数 z f [ (x, y), (x, y)]
问： 怎样求它旳偏导数？ 若上面三个函数都是详细函数，那么， 它们旳 复合函数也是详细函数，当然， 我们会求它旳 偏导数。 但是，若上面三个函数中至少有一种是抽象函数， 那么，它们旳复合函数也是抽象函数，它旳偏导数 又怎么求？
注 其中的 f , f 不能再往下算了，因为 f u v
没有具体给出.
例6 设 w f (x y z, xyz)，f 具有二阶连续偏导数,
求 w 及 2w . x xz
解 设 u x y z, v xyz, 则 w f (u, v)
为了表达简便起见引入 以下记号 :
f1
f
(u, u
数 z f [ (t), (t)] 在点t可导 ，且有
dz z du z dv (1) dt u dt v dt
证：给 t 一个增量t 0，这时 u (t), v (t)
旳相应增量为 u , v, 由此，函数z=f(u,v)相应地
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（2）求导后必须把引进的中间变量 代换成原来自变量的式子，熟练后可不 必写出中间变量，直接：“由外向内、 逐层求导”。
1.2.2 复合函数的求导法则
引例：如何求函数 y ln x 2 的导数呢？
设u x 2则y ln u
所以y ln x 2 可以看成是由
y ln u 和u x 2经过“复合”得到的。
即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
如果把y与u的关系记作y f u , u与x的关系记作u g x
（1） y 1 (2 5x)10 x
(2) y sin3 x sin x3
(2)y′=(sin3x+sinx3)′ =(sin3x)′+(sinx3)′ =3sin2x·(sinx)′+cosx3·(x3)′ =3sin2xcosx+3x2cosx3.
检测提升
Hale Waihona Puke 检测提升小结（1）运用复合函数求导法则的关键 在于把复合函数分解成基本初等函数或 基本初等函数的四则运算。
y = f (u)叫作外函数; u = g(x)叫作内函数
2.复合函数求导法则:
因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求 导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法则 )
yx yu ux，
求复合函数的导数,关键在于分清 函数的复合关系 复合函数求导三部曲：
一、分层(从外向内分解成基本初等函数，注意中间变量)
（2）将 y = sin x2 看成是由 y = sin u，u = x2复合而成.
yx yu ux 2x cos u 2x cos x2
跟踪训练
跟踪训练
4. 求下列函数的导数
（1） y 1 (2 5x)10 (2) x
y sin3 x sin x3
【解析】
4. 求下列函数的导数
由于 yu (u5 ) 5u4 , ux (2x 1) 2.
所以 yx yu ux 5u4 2 10(2x 1)4.
例 3： 设 y 1 x2 , 求 y .
解：函数y 1 x2是由y u与u 1 x2复合而成
yu (
1
u) (u2 )
1
2u 2
1 (1 x2 )
那么这个“复合”过程可表示为y f u =f g x = ln x 2
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过
“复合”得到的.
例如,y
2
x
32
可以看成是由
y u2 和u 2x 3“复合”而成.
1.复合函数的概念:
一般地，对于两个函数 y = f (u)， u = g(x)， 如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称 这个函数为y = f (u)和 u = g(x)的复合函数，记 作y = f (g (x))
ux (1 x2 ) 2x
所以
yx 2
1 (1 x2 )
(2x)
x 1 x2
练习:求下列函数 的导数
（1） y = sin2 x
?
(2) y = sinx2 （1）将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成.
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
二、层层求导(将分解所得的基本初等函数，进行求导)
三、作积还原(将各层基本初等函数的导数相乘，并将 中 间变量还原为原来的自变量)
yx yu ux，
引例：求函数 y ln x 2 的导数.
因为y ln x 2是由y lnu 和u x 2复合而成。
所以yx yu ux
(ln u) (x 2) 1 1
u 1
x2
例2：求 y sin 2x 的导数
? 解：y sin 2x 是由函数y=sinu和u=2x复合而成
yu cosu,ux 2
yu .ux 2cosu 2cos2x
yx yu ux =2cos2x
例3：求函数 y = (2x + 1)5的导数
解： y = (2x + 1)5 看成是由 y = u5，u = 2x + 1 复合而成，