2020年河北省石家庄二中高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
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2020年河北省石家庄二中高考数学一模试卷(理科)
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设集合𝐴={𝑥|2𝑥>12}，𝐵={𝑥|𝑥+1𝑥−2≤0}，则𝐴∩𝐵=( )
A. (−1,2) B. [−1,2) C. (−1,2] D. [−1,2]
2. 在复平面内，复数𝑧=2+3𝑖𝑖𝑧=2+3𝑖𝑖对应的点的坐标为( )
A. (3,2) B. (2,3) C. (−2,3) D. (3,−2)
3. 已知𝑎⃗ ，𝑏⃗ 为单位向量，𝑎⃗ +𝑏⃗ +𝑐⃗ =0⃗ ，则|𝑐⃗ |的最大值为( )
A. 1 B. √3 C. 2 D. 3
4. 函数𝑦=sin 𝑥⋅1+2𝑥1−2𝑥的部分图像大致为( )
A.
B.
C. D.
5. 在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生的听力成绩(单位：分).已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则x，y的值分别为( )．
A. 2，5 B. 5，7 C. 5，5 D. 8，7
6. 《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？(注：1两等于10钱) ( )
A. 乙分8两，丙分8两，丁分8两
B. 乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱
C. 乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱
D. 乙分9两，丙分8两，丁分7两 7. 将函数𝑓(𝑥)=sin2𝑥+cos2𝑥的图像向左平移𝜋8个单位长度得到𝑔(𝑥)的图像，则𝑔(𝑥)在下列哪个区间上单调递减(
)
A.
[−𝜋2,0]
B.
[𝜋16,9𝜋16] C. [0,𝜋2] D. [𝜋2,𝜋]
8. 已知双曲线𝐶：𝑥23−𝑦2=1，则右焦点F到渐近线的距离为( )
A. √33 B. 1 C. √3 D. 2
9. 已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是( )
A. 24𝜋 B. 18𝜋 C. 12𝜋 D. 6𝜋
10. 点P是△𝐴𝐵𝐶所在平面内一点且𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ，在△𝐴𝐵𝐶内任取一点，则此点取自△𝑃𝐵𝐶内的概率是( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
11. 若0<𝑦≤𝑥<𝜋2，且tan 𝑥=3𝑡𝑎𝑛 𝑦，则𝑥−𝑦的最大值为( )
A. 𝜋4 B. 𝜋6 C. 𝜋3 D. 𝜋2
12. 下列说法正确的是( )
A. 若𝑓′(𝑥0)不存在，则曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(𝑥0,𝑓(𝑥0))处就没有切线
B. 若曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(𝑥0,𝑓(𝑥0))处有切线，则𝑓′(𝑥0)必存在
C. 若𝑓′(𝑥0)不存在，则曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(𝑥0,𝑓(𝑥0))处的切线斜率不存在
D. 若曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(𝑥0,𝑓(𝑥0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知实数x，y满足约束条件{𝑥+𝑦≤5,3𝑥−2𝑦≥0,𝑥−2𝑦+1≤0,，则𝑧=3𝑥+𝑦的最小值为________．
14. 已知𝑎=∫(1+√1−𝑥2)1−1𝑑𝑥则((𝑎−𝜋2)𝑥−3𝑥)9展开式中的各项系数和为________
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的右焦点，直线𝑦=𝑏2与椭圆交于B，C两点，且，则该椭圆的离心率是________．
16. 已知函数𝑓(𝑥)=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)(其中𝐴>0，|𝜑|<𝜋2)的部分图象如图所示，则𝑓(𝑥)的解析式为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 如图，在四棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑆𝐴⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，E是线段SD上一点．
(1)若E是SD的中点，求证：𝑆𝐵//平面ACE；
(2)若𝑆𝐴=𝐴𝐵=𝐴𝐷=2，𝑆𝐶=2√2，且𝐷𝐸=23𝐷𝑆，求二面角𝑆−𝐴𝐶−𝐸的余弦值．
18. 已知等比数列{𝑎𝑛}的公比𝑞>1，且𝑎3+𝑎4+𝑎5=28，𝑎4+2是𝑎3，𝑎5的等差中项．数列{𝑐𝑛}的前n项和为𝑛2+3𝑛2．
(1)求q的值；
(2)求数列{𝑐𝑛}的通项公式； (3)数列{𝑏𝑛}满足𝑏1=1，𝑐𝑛=𝑏𝑛+1−𝑏𝑛𝑎𝑛+1，求数列{𝑏𝑛}的通项公式．
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆𝐶:𝑥24+𝑦23=1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P在x轴上方)．
(1)若𝑄𝐹=2𝐹𝑃，求直线l的方程;
(2)设直线AP，BQ的斜率分别为𝑘1，𝑘2.是否存在常数𝜆，使得𝑘1=𝜆𝑘2?若存在，求出𝜆的值;若不存在，请说明理由．
20. 某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A，B，C三个测试项目．假定张某通过项目A的概率为12，通过项目B、C的概率均为𝑎(0<𝑎<1)，且这三个测试项目能否通过相互独立．用随机变量X表示张某在测试中通过的项目个数，求X的概率分布和数学期望𝐸(𝑋)(用a表示)．
21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥−𝑙𝑛𝑥−1．
(Ⅰ)求函数𝑓(𝑥)在𝑥=2处的切线方程；
(Ⅱ)若𝑥∈(0,+∞)时，𝑓(𝑥)≥𝑎𝑥−2恒成立，求实数a的取值范围．
22. 已知圆方程𝑥2+𝑦2+2𝑥−6𝑦+9=0，将它化为参数方程．
23. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+2，𝑔(𝑥)=|𝑥−𝑎|−|𝑥−1|，𝑎∈𝑅．
(1)若𝑎=4，求不等式𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)的解集；
(2)若对任意𝑥1，𝑥2∈𝑅，不等式𝑓(𝑥1)≥𝑔(𝑥2)恒成立，求实数a的取值范围．
【答案与解析】
1.答案：A
解析：解：∵集合𝐴={𝑥|2𝑥>12}={𝑥|𝑥>−1}，
𝐵={𝑥|𝑥+1𝑥−2≤0)={𝑥|−1≤𝑥<2},
∴𝐴∩𝐵={𝑥|−1<𝑥<2}=(−1,2)．
故选：A．
先分别求出集合A和B，由此能求出𝐴∩𝐵．
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.答案：D
解析：
【试题解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案，是基础题．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义．
解：∵𝑧=2+3𝑖𝑖=(2+3𝑖)(−𝑖)−𝑖2=3−2𝑖，
∴在复平面内，复数𝑧=2+3𝑖𝑖对应的点的坐标为(3,−2)．
故选D．
3.答案：C
解析：解：由𝑎⃗ +𝑏⃗ +𝑐⃗ =0⃗ ，可得𝑐⃗ =−(𝑎⃗ +𝑏⃗ )，
|𝑐⃗ |=|𝑎⃗ +𝑏⃗ |≤||𝑎⃗ |+|𝑏⃗ |=2．
则|𝑐⃗ |的最大值为2，
故选：C．
利用|𝑎⃗ +𝑏⃗ |≤||𝑎⃗ |+|𝑏⃗ |即可求解．
本题考查了|𝑎⃗ +𝑏⃗ ≤||𝑎⃗ |+|𝑏⃗ |的应用，属于中档题． 4.答案：D
解析：[分析]
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及利用极限思想是解决本题的关键，属于基础题．
判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想，判断当𝑥→0时，函数值的符号，利用排除法进行求解即可．
[解答]
解：𝑓(−𝑥)=sin(−𝑥)⋅1+2−𝑥1−2−𝑥=−𝑠𝑖𝑛𝑥⋅1+2𝑥2𝑥−1=𝑠𝑖𝑛𝑥⋅1+2𝑥1−2𝑥=𝑓(𝑥)，
则函数𝑓(𝑥)是偶函数，排除A，C，
在y的右侧，即当𝑥→0时，𝑠𝑖𝑛𝑥>0，1+2𝑥1−2𝑥<0，则𝑓(𝑥)<0，排除B，
故选：D．
5.答案：B
解析：
本题考查茎叶图的应用问题，解题时利用茎叶图提供的数据，求出x、y的值，即可解答问题，是基础题．
根据茎叶图与题意，求出x、y的值，即可．
解：根据茎叶图知，甲组数据是9，15，10+𝑥，21，27；
∵它的众数为l5，
∴10+𝑥=15，𝑥=5；
同理，根据茎叶图知乙组数据是9，13，10+𝑦，18，27，
∵它的中位数为17，
∴10+𝑦=17，𝑦=7．
故x、y的值分别为：5，7．
故选B．
