数学_2011年河北省石家庄市高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2011年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．

1. 已知𝑖是虚数单位，复数1−𝑖1+𝑖的虚部为（ ）

A −1 B 1 C 𝑖 D −𝑖

2. 若𝐴={𝑥∈𝑅||𝑥|<2}，𝐵={𝑥∈𝑅|3𝑥<1}，则𝐴∩𝐵=( )

A (−2, 2) B (−2, −1) C (0, 2) D (−2, 0)

3. 抛物线𝑦2=4𝑥的焦点坐标为（ ）

A (2, 0) B (1, 0) C (0, −4) D (−2, 0)

4. 图中的小网格由等大的小正方形拼成，则向量𝑎→−𝑏→=( )

A 𝑒1+3𝑒2 B −𝑒1−3𝑒2 C 𝑒1−3𝑒2 D −𝑒1+3𝑒2

5. 已知𝛼∈(0, 𝜋)，且sin𝛼+cos𝛼=√22，则sin𝛼−cos𝛼的值为（ ）

A −√2 B −√62 C √2 D √62

6. 已知椭圆𝑥216+𝑦225=1的焦点分别是𝐹1、𝐹2，𝑃是椭圆上一点，若连结𝐹1、𝐹2、𝑃三点恰好能构成直角三角形，则点𝑃到𝑦轴的距离是（ ）

A 165 B 3 C 163 D 253

7. 若多项式𝑥10=𝑎0+𝑎1(𝑥−1)+𝑎2(𝑥−1)2+...+𝑎10(𝑥−1)10，则𝑎8的值为（ ）

A 10 B 45 C −9 D −45

8. 已知𝑎、𝑏、𝑐成等差数列，则直线𝑎𝑥−𝑏𝑦+𝑐=0被曲线𝑥2+𝑦2−2𝑥−2𝑦=0截得的弦长的最小值为（ ）

A √2 B 1 C 2√2 D 2

9. 已知𝛼,𝛽∈[−𝜋2，𝜋2]，且𝛼sin𝛼−𝛽sin𝛽>0，则下列结论正确的是（ ）

A 𝛼3>𝛽3 B 𝛼+𝛽>0 C |𝛼|<|𝛽| D |𝛼|>|𝛽|

10. 设𝑥，𝑦满足约束条件{𝑥−𝑦+2≥04𝑥−𝑦−4≤0𝑥≥0𝑦≥0，若目标函数𝑧=𝑎𝑥+𝑏𝑦(𝑎>0, 𝑏>0)的最大值为6，则log3(1𝑎+2𝑏)的最小值为（ ）

A 1 B 3 C 2 D 4

11. 对于非空数集𝐴，若实数𝑀满足对任意的𝑎∈𝐴恒有𝑎≤𝑀，则𝑀为𝐴的上界；若𝐴的所有上界中存在最小值，则称此最小值为𝐴的上确界，那么下列函数的值域中具有上确界的是（ ） A 𝑦=√𝑥+2 B 𝑦=(−√3，√2) C 𝑦=12𝑥 D 𝑦=ln𝑥

12. 在直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，∠𝐵𝐴𝐶=𝜋2，𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐴𝐴1=1，𝐷和𝐸分别为棱𝐴𝐶、𝐴𝐵上的动点（不包括端点），若𝐶1𝐸⊥𝐵1𝐷，则线段𝐷𝐸长度的取值范围为（ ）

A [√22，√32] B [√33，1) C [√22，1) D [√23，√22]

13. 设函数𝑓(𝑥)={𝑥−[𝑥],𝑥≥0𝑓(𝑥+1),𝑥<0，其中[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，如[−1.2]=−2，[1.2]=1，[1]=1，若直线𝑦=𝑘𝑥+𝑘(𝑘>0)与函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象恰有三个不同的交点，则𝑘的取值范围是（ ）

A (14，13] B (0,14] C [14，13] D [14，13)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分；共20分．

14. 已知直线𝑙1:𝑎𝑥+2𝑦+1=0与直线𝑙2：(3−𝑎)𝑥−𝑦+𝑎=0，若𝑙1⊥𝑙2，则实数𝑎的值为________．

15. 在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=90∘，𝑃𝐵丄平面𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵=𝐵𝐶=2√2，𝑃𝐵=2，则点𝐵到平面𝑃𝐴𝐶的距离是________．

16. 用直线𝑦=𝑚和直线𝑦=𝑥将区域𝑥2+𝑦2≤6分成若干块．现在用5种不同的颜色给这若干块染色，每块只染一种颜色，且任意两块不同色，若共有120种不同的染色方法，则实数𝑚的取值范围是________．

17. 已知△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴、𝐵、𝐶的对边长分别为𝑎、𝑏、𝑐，且满足5𝑎2=𝑐2+𝑏2，𝐵𝐸与𝐶𝐹分别为边𝐴𝐶、𝐴𝐵上的中线，则𝐵𝐸与𝐶𝐹夹角的余弦值为________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤．

18. （理科）在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴、𝐵、𝐶的对边分别为𝑎、𝑏、𝑐，若𝑏cos𝐶+(2𝑎+𝑐)cos𝐵=0

（1）求内角𝐵的大小；

（2）若𝑏=2，求△𝐴𝐵𝐶面积的最大值．

19. 如图，五面体𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸中，正△𝐴𝐵𝐶的边长为1，𝐴𝐸⊥平面𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐷 // 𝐴𝐸，且𝐶𝐷=12𝐴𝐸．

（1）设𝐶𝐸与平面𝐴𝐵𝐸所成的角为𝛼，𝐴𝐸=𝑘(𝑘>0)，若𝛼∈[𝜋6，𝜋4]，求𝑘的取值范围；

（2）在（1）和条件下，当𝑘取得最大值时，求平面𝐵𝐷𝐸与平面𝐴𝐵𝐶所成角的大小．

20. 已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑥2−𝑎𝑥(𝑎∈𝑅)．

（I）求函数𝑓(𝑥)的单调区间；

（II）若𝑓(𝑥)≤2𝑥2，求𝑎的取值范围． 21. 在“环境保护低碳生活知识竞赛”第一环节测试中，设有𝐴、𝐵、𝐶三道必答题，分值依次为20分、30分、50分．竞赛规定：若参赛选手连续两道题答题错误，则必答题总分记为零分；否则各题得分之和记为必答题总分．已知某选手回答𝐴、𝐵、𝐶三道题正确的概率分别为12、13、14，且回答各题时相互之间没有影响．

（1）若此选手可以自由选择答题顺序，求其必答题总分为50分的概率；

（2）若此选手按𝐴、𝐵、𝐶的顺序答题，求其必答题总分𝜉的分布列和数学期望．

22. 已知椭圆𝑥2+𝑦23=1的上、下顶点分别为𝐴1和𝐴2，𝑀(𝑥1, 𝑦)和𝑁(−𝑥1, 𝑦)是椭圆上两个不同的动点．

（1）求直线𝐴1𝑀与𝐴2𝑁交点的轨迹𝐶的方程；

（2）若过点𝐹(0, 2)的动直线𝑧与曲线𝐶交于𝐴、𝐵两点，𝐴𝐹→=𝜆𝐹𝐵→问在𝑦轴上是否存在定点𝐸，使得𝑂𝐹→⊥(𝐸𝐴→−𝜆𝐸𝐵→)？若存在，求出𝐸点的坐标；若不存在，说明理由．

23. 已知数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1，𝑎𝑛+1=(1+1𝑛2)𝑎𝑛+13𝑛−1，𝑛∈𝑁∗．

(1)求证：当𝑛≥2且𝑛∈𝑁∗时，𝑎𝑛≥3；

(2)求证：𝑎𝑛<𝑒3，𝑛∈𝑁∗(𝑒为自然对数的底数，参考数据ln3<1.1，ln4<1.4)．

2011年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）答案

1. A

2. D

3. B

4. C

5. D

6. A

7. B

8. D

9. D

10. A

11. B

12. C

13. D

14. 1或2

15. √2

16. (−√3，√3)

17. 0

18. 解：（1）利用正弦定理化简已知的等式得：sin𝐵cos𝐶+(2sin𝐴+sin𝐶)cos𝐵=0，

整理得：sin𝐵cos𝐶+cos𝐵sin𝐶=−2sin𝐴cos𝐵，即sin(𝐵+𝐶)=sin𝐴=−2sin𝐴cos𝐵，

∵ 𝐴为三角形的内角，即sin𝐴≠0，

∴ cos𝐵=−12，又𝐵为三角形的内角， ∴ 𝐵=2𝜋3；

（2）∵ 𝑏=2，cos𝐵=−12，

∴ 由余弦定理𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐵得：4=𝑎2+𝑐2+𝑎𝑐=(𝑎+𝑐)2−𝑎𝑐≥4𝑎𝑐−𝑎𝑐=3𝑎𝑐，

（当且仅当𝑎=𝑐时取等号），

∴ 𝑎𝑐≤4，

∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑐sin𝐵≤12×43×√32=√33，

则△𝐴𝐵𝐶面积的最大值为√33．

19. 解：（1）如图以𝐶为坐标原点，𝐶𝐴、𝐶𝐷为𝑦、𝑧轴，垂直于𝐶𝐴、𝐶𝐷的直线𝐶𝑇为𝑥轴，建立空间直角坐标系（如图），则设𝐴(0, 1, 0)，𝐷(0,0,𝑘2)，𝐸(0, 1, 𝑘)，𝐵(√32，12，0)．

取𝐴𝐵的中点𝑀，则𝑀(√34，34，0)，则平面𝐴𝐵𝐸的一个法向量为𝐶𝑀→=(√34,34,0)，

由题意sin𝛼=|𝐶𝐸|→⋅|𝐶𝑀→|˙=34⋅=√32√1+𝑘2．

由𝛼∈[𝜋6，𝜋4]，则12≤sin𝛼=√32√1+𝑘2≤√22，

得√22≤𝑘≤√2．…6分

（2）由（1）知𝑘最大值为√2，则当𝑘=√2时，设平面𝐵𝐷𝐸法向量为𝑛→=(𝑥, 𝑦, 𝑧)，则{𝑛→⋅𝐵𝐸→=√32𝑥+𝑦2+√22𝑧=0˙

取𝑛→=(−√3,−1,√2)，又平面𝐴𝐵𝐶法向量为𝑚→=(0, 0, 1)，…10分

所以cos<𝑛→，𝑚→>=√2√2+3+1=√33，

所以平面𝐵𝐷𝐸与平面𝐴𝐵𝐶所成角大小arccos√33．…12分．

20. 解：(𝐼)𝑓(𝑥)的定义域为(0, +∞)．…，

𝑓′(𝑥)=1𝑥+𝑥2−𝑎=2𝑥2−𝑎𝑥+1𝑥(𝑥>0)， 设𝑔(𝑥)=2𝑥2−𝑎𝑥+1，只需讨论𝑔(𝑥)在(0, +∞)上的符号．…

（1）若𝑎4≤0，即𝑎≤0，由𝑔(𝑥)过定点(0, 1)，

知𝑔(𝑥)在(0, +∞)上恒正，故𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)在(0, +∞)上为增函数．…

（2）若𝑎4>0，当𝑎2−8≤0时，即0<𝑎≤2√2时，

知𝑔(𝑥)≥0（当𝑥=√22时，取“=”），

故𝑓′(𝑥)≥0，𝑓(𝑥)在(0, +∞)上为增函数；…

（3）当𝑎2−8>0，𝑎>2√2时，由2𝑥2−𝑎𝑥+1=0，得𝑥=𝑎±√𝑎2−84，

当0<𝑥<𝑎−√𝑎2−84或𝑥>𝑎+√𝑎2−84时，𝑔′(𝑥)>0，即𝑓′(𝑥)>0，