§75 线性变换的本征值和本征向量

§7.5 线性变换的本征值和本征向量教学目的本节要求掌握线性变换的本征值和本征向量的概念及其求法，掌握线性变换可以对角化的条件。

教学难点 本征值和本征向量的求法 教学重点 本征值和本征向量的概念及其求法教 学 过 程 备 注教学内容一、本征值和本征向量的定义 在上节我们已经知道，若能将n 维向量空间V 分解成n 个关于某个线性变换σ的一维不变子空间W i 的直和(i ＝1,2,…,n )，在每个子空间取一个基，凑成V 的一个基{α1,α2,…,αn }，那么σ关于这个基的矩阵是一个对角阵，即 σ ( α1,α2,…,αn )= (α1,α2,…,αn )⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a21 亦即σ (α1)＝a 1α1, σ (α2)＝a 2α2 , …, σ (αn )＝a n αn .但是，并不是每个线性变换σ都存在一维不变子空间，若σ有一维不变子空间，则σ必满足：存在非零向量α及F 实数中的数λ，使σ (α)＝λα . 这时W ＝L (α)就是V 的关于σ的一维不变一维子空间. 这给我们一个很重要的启示，即研究线性变换σ，很重要的事情就是去找满足条件σ (ξ)＝λξ的数λ及非零向量ξ，这就是本节的主要内容 .定义1 设V 是数域F 上的向量空间，σ是V 的线性变换. 若对F 上的数中的数λ，存在V 的一个非零向量ξ，使σ (ξ)＝λξ,.则称λ是线性变换σ的本征值，ξ称为σ的属于本征值λ的本征向量.例1 设ιI 是向量空间V 上的恒等变换，对任意的非零向量α，都有ιI (α)＝α.即α是属于特征值是属于本征值1的特征向量的本征向量.又设θ 是向量空间V 上的零变换，对任意的非零向量α，都有θ (α)＝0＝0α.即α是属于本征值0的本征向量.例2 令D 表示定义在实数域R 上的可微分任意次的实函数所成的向量空间. σ：f (x )→f '(x )是求导数运算. σ是D 的一个线性变换，对任意实数λ，有σ (e λx )＝λe λx因此任何实数λ都是σ 的本征值，而e λx 是σ的属于λ的一个本征向量.例3 设R [x ]是所有是全体关于文字x 的一元实系数多项式所成的向量空间，令σ (f (x ))＝xf (x )，∀ f (x )∈ R [x ]. 可以证明σ是R [x ]的一个线性变换. 比较次数可知，对任意的实数λ，都不存在非零多项式f (x )，使xf (x )＝λf (x ). 因此σ没有本征值.可以证明σ (f (x ))＝xf (x )是R [x ]的一个线性变换. 比较次数可知，对任意的实数λ，都不存在非零多项式f (x )，使xf (x )＝λf (x ). 因此σ没有本征值.这个例子告诉我们，并不是每个线性变换都有本征值 . 二、本征值和本征向量的求法对于一个给定的线性变换，若它有本征值及本征向量，怎样才能把这些本征值和本征向量都求出来呢？为此，我们需要先搞清楚线性变换的本征值和本征向量与它的矩阵的本征值和本征向量之间的关系我们需要先搞清楚线性变换的本征值和本征向量与它在一个基下的矩阵的特征根和特征向量之间的关系.设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，取定V 的一个基{α1,α2, …，αn }. 并设σ关于这个基的矩阵为A ，即σ (α1,α2,…,αn )= (α1,α2,…,αn )A再设ξ是σ的属于本征值λ的本征向量,. 即σ (ξ)＝λξ.若ξ关于基{α1,α2,…，αn }的坐标为 X=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21，则σ(ξ)关于基{α1,α2,…，αn }的坐标为A .21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a .又因为σ (ξ)＝λξ，所以σ (ξ)与λ ξ关于基的坐标相等，即有{α1,α2,…, αn }的坐标应为λ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21因此 A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21=λ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21.因为ξ是非零向量，则其坐标X ＝向量(a 1, a 2,…, a n )T X 非不是F n 中的零向量. 上式说明λ是矩阵A 的在F 中的特征根，ξ关于基{α1,α2 ,…,αn }的坐标X 是A 的属于特征根λ的在F n 中的特征向量. 反之，若A 是线性变换σ关于基{α1,α2 ,…,αn }的矩阵，λ是A 的一个在F 中的特征根，(a 1, a 2,…, a n )T '(x 1,x 2,…, x n ) 是A 的属于特征根λ的在F n 中的特征向量. 则由A (a 1, a 2,…, a n )T '＝λ(a 1, a 2,…, a n )T ' 知σ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n i i i a 1α＝λ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑=n i i i a 1α.即λ是σ的本征值，∑=ni i i a 1α(≠0)是σ的属于本征值λ的本征向量. 这样我们得到下述定理7.5.1 设V 是F 上n (>0)维向量空间，σ∈L (V )，σ在V 的基{α1,α2 ,…,αn }下的矩阵为A .(i) λ是σ的本征值当且仅当λ是A 的在F 中的特征根；(ii) 设λ是σ的本征值，则ξ是σ的属于本征值λ的本征向量当且仅当ξ在{α1,α2 ,…,αn }下的坐标是齐次线性方程组(λI －A )X ＝0的在F n 中的非零解向量.那么，λ未必是σ的一个本征值，只有矩阵A 的属于F 的特征根λ才是线性变换σ的本征值，而A 的属于λ的在F n 中的特征向量就是σ的属于λ的本征向量关于给定基{α1,α2 ,…,αn }的坐标.这样，我们就可以用求线性变换的矩阵的本征值和本征向量的方法来求线性变换的本征值和本征向量，而求矩阵的本征值和本征向量的方法我们在前面已讲过，这里就不再赘述.例4 设线性变换设σ是有理数域Q 上的3维向量空间V 的线性变换，且σ在V 的基{ε1, ε2, ε3}下的矩阵为A ＝⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---122212221.求σ的全部本征值及本征向量.解 已知本征值λ与本征向量ξ的坐标(x1, x2, x3)满足A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ＝λ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x 而由于f A (x )＝det(x I －A )=A xI -＝122212221------x x x ＝(λ(x －1) (λ(x ＋1) (λ(x－3)，因此，矩阵A 的特征根为λ1＝1, λ2＝－1, λ3＝3.显然 由定理7.5.1(i)知，这三个特征根都是σ的本征值。

本征值与本征向量本征值与本征向量是线性代数中重要的概念和工具，它们在很多实际问题中有着广泛的应用。

在本文中，我们将详细介绍本征值与本征向量的定义、性质及其应用。

一、本征值与本征向量的定义在矩阵理论中，给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X，使得下式成立：AX = λX其中，λ为一个常数，称为矩阵A的本征值（Eigenvalue），X称为矩阵A对应于本征值λ的本征向量（Eigenvector）。

本征值与本征向量的求解可以通过以下步骤进行：1. 确定矩阵A。

2. 解方程AX = λX，找到满足条件的解向量X。

3. 将解向量X进行标准化处理，即使其模长为1。

二、本征值与本征向量的性质本征值与本征向量具有以下重要性质：1. 一个矩阵的特征方程的根就是该矩阵的本征值。

特征方程是指n阶方阵A满足 |A-λI| = 0 的方程，其中I为单位矩阵。

解特征方程可得到矩阵的本征值。

2. 本征向量与本征值之间存在一一对应关系。

给定一个本征值λ，可以找到唯一的本征向量X。

反之亦然。

3. 当矩阵A是对称矩阵时，本征向量X之间正交。

对称矩阵的本征向量对应不同本征值的本征向量之间是正交的。

三、本征值与本征向量的应用本征值与本征向量在实际问题中有着广泛的应用，以下是其中几个典型的应用场景。

1. 特征值与特征向量的求解。

在物理、化学等科学领域中，特征值与特征向量的求解是研究问题的重要一步。

例如，在量子力学中，本征值与本征向量的求解可以用来描述能量量子态。

2. 矩阵的对角化。

对于一个n阶方阵A，如果存在可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵D，那么矩阵A就可以对角化。

对角化的好处是方便进行运算和求解。

3. 幂迭代法求解矩阵的最大本征值与最大本征向量。

幂迭代法是一种求解矩阵最大本征值与最大本征向量的迭代算法。

该方法简单易行，且收敛速度较快。

4. 主成分分析（PCA）。

主成分分析是一种常用的数据分析方法，它利用矩阵的本征值与本征向量对数据进行降维和特征提取。

第七章线性变换计划课时：24学时.( P 307—334)§7.1 线性变换的定义及性质（2学时）教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质本节内容可分为下面的两个问题讲授.一. 线性变换的定义（P307）注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。

二. 线性变换的性质定理7.1.1（P309）定理7.1.2 （P309）推论7.1.3 （P310）注意：1.定理7.1.2给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。

2.两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。

作业：习题七P330 1，2，3.§7.2 线性变换的运算（4学时）教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件本节内容分为下面四个问题讲授：一. 加法运算定义1 （P310）注意：＋是V的线性变换.二. 数乘运算定义2（P311）显然k也是V的一个线性变换.定理7.2.1 L(V)对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间.三. 乘法运算(1). 乘法运算定义3 （P311-312）注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可能是零变换.(2). 线性变换的方幂四. 可逆线性变换定义4 （P 313）线性变换可逆的充要条件例2 （P 314）线性变换的多项式的概念 (阅读内容).作业：P 330 习题七 4，5.§7.3 线性变换的矩阵（6学时）教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握 与 ()关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L (V )与M n (F )的同构理论。

线性变换与特征值特征向量的计算线性变换是线性代数中一个重要的概念，它描述了向量空间内的一种变换关系。

在线性变换中，特征值与特征向量是一对重要的概念，能够帮助我们更好地理解和分析线性变换的性质。

本文将介绍线性变换的定义与性质，并详细阐述特征值与特征向量的计算方法。

一、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个向量空间中的向量，通过某种变换关系，映射到另一个向量空间中的向量。

具体来说，设有两个向量空间V和W，线性变换T是从V到W的一种映射，满足以下两个性质：首先，对于V中的任意向量x和y，以及任意的标量a和b，都有T(ax+by)=aT(x)+bT(y)；其次，对于V中的零向量0，有T(0)=0。

这两个性质使得线性变换具有保持向量加法和数量乘法运算的特点，从而可以表示向量空间之间的变换关系。

对于线性变换T，我们常常用矩阵A来表示它的变换关系。

设V的一组基为{v1,v2,...,vn}，W的一组基为{w1,w2,...,wm}，则矩阵A的第j 列表示向量vj在基{w1,w2,...,wm}下的表示，即A=[T(v1)|T(v2)|...|T(vn)]。

根据线性变换的定义和性质，我们可以通过计算矩阵A来描述线性变换T。

二、特征值与特征向量的计算特征值与特征向量是线性代数中一个重要的概念，在线性变换中有着重要的应用。

设有线性变换T和向量v，如果存在一个标量λ使得T(v)=λv，那么称λ为线性变换T的特征值，v为对应的特征向量。

特征值和特征向量可以帮助我们揭示线性变换的性质和变换结果的特点。

在计算特征值与特征向量时，我们面临的一个关键问题是如何求解特征值方程T(v)=λv。

设A是线性变换T的矩阵表示，v是对应的特征向量，那么特征值方程可以表示为Av=λv。

将其转化为(A-λI)v=0，其中I是单位矩阵，0是零向量。

为了使(A-λI)v=0有非零解，必须满足矩阵A-λI的行列式为零，即|A-λI|=0。

这样就得到了特征值方程的表达式。