75 本征值与本征向量

第五章 矩阵的特征值与特征向量§1矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶方阵,如果有数λ和n 维非零列向量x 使得x Ax λ=,则称数λ为A 的特征值,非零向量x 称为A 的对于特征值λ的特征向量.由x Ax λ=得0)(=-x E A λ,此方程有非零解的充分必要条件是系数行列式0=-E A λ,此式称为A 的特征方程,其左端是关于λ的n 次多项式,记作)(λf ,称为方阵A 特征多项式.设n 阶方阵)(ij a A =的特征值为n λλλ,,,21 ,由特征方程的根与系数之间的关系,易知：nn n a a a i +++=+++ 221121)(λλλA ii n =λλλ 21)(例1 设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式482-=A ,求λ. 解：482-=A 64823-=∴-=∴A Aλ⨯⨯=32A 又 1-=∴λ例2 设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 求矩阵A 的秩.解：因为0=A 所以A 的特征值中有一个为0,其余的均不为零.所以A 与)0,,(21λλdiag 相似.所以A 的秩为2.定理1对应于方阵A 的特征值λ的特征向量t ξξξ,,,21 ,t ξξξ,,,21 的任意非零线性组合仍是A 对应于特征值λ的特征向量.证明 设存在一组不全为零的数t k k k ,,,21 且存在一个非零的线性组合为t t k k k ξξξ+++ 2211，因为t ξξξ,,,21 为对应于方阵A 的特征值λ的特征向量。

则有),,2,1(1t i k Ak i i i ==ξλξ所以)()(22112211t t t t k k k k k k A ξξξλξξξ+++=+++ 所以t t k k k ξξξ+++ 2211是A 对应于特征值λ的特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的方法：第一步：写出矩阵A 的特征多项式,即写出行列式E A λ-.第二步：解出特征方程0=-E A λ的根n λλλ,,,21 就是矩阵A 的特征值.第三步：解齐次线性方程组0)(=-x E A i λ,它的非零解都是特征值i λ的特征向量.例3 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为2)1)(2(201034011λλλλλλ--=-----=-E A 所以,A 的特征值为1,2321===λλλ. 当21=λ时,解方程组0)2(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000010001~2010340112E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001p ,所以特征值21=λ的全部特征向量为11p k ,其中1k 为任意非零数.当132==λλ时,解方程组0)(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000210101~101024012E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1212p ,所以特征值132==λλ的全部特征向量为22p k ,其中2k 为任意非零数. 二、特征值与特征向量的性质与定理性质1 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均非零. 此性质读者可利用A n =λλλ 21可证明.定理 2 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,则21,p p 线性无关.证明 假设设有一组数21,x x 使得02211=+p x p x (1)成立. 以2λ乘等式(1)两端,得0222121=+p x p x λλ (2) 以矩阵A 左乘式(1)两端,得0222111=+p x p x λλ (3) (3)式减(2)式得0)(1211=-p x λλ 因为21,λλ不相等,01≠p ,所以01=x .因此(1)式变成022=p x . 因为02≠p ,所以只有02=x . 这就证明了21,p p 线性无关.性质2 设)(A f 是方阵A 的特征多项式,若λ是A 的特征值.对应于λ的特征向量为ξ,则)(λf 是)(A f 的特征值,而ξ是)(A f 的对应于)(λf 的特征向量,而且若O A f =)(,则A 的特征值λ满足0)(=λf ,但要注意,反过来0)(=λf 的根未必都是A 的特征值.例4 若λ是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量,证明：1-λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量,证明 λ 是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量λξξ=∴A ξξλ11--=∴Aξξλ11--=∴A A A ξξλ*1A A =∴-1-∴λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量, 1-λA 是*A 的特征值,ξ是*A 对应于特征值1-λA 的特征向量.例5 设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,求E A --14.解：A 的特征值为1,2,2,,所以1-A 的特征值为1,12,12, 所以E A--14的特征值为4113⨯-=,41211⨯-=,41211⨯-=所以311341=⨯⨯=--E A .例6 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,证明21p p +一定不是A 的特征向量.证明 假设21p p +是矩阵A 的特征向量，对应的特征值为.λ根据特征值定义可知：)()(2121p p p p A +=+λ …………………(1) 21,λλ 又是n 阶方阵A 的特征值，对应的特征向量分别为21,p p .,111p Ap λ=∴ 222p Ap λ= (2)将(2)带入(1)式整理得：0)()(2211=-+-p p λλλλ因为21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p 线性无关.所以21λλλ==.与21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值矛盾. 所以假设不成立.例7 若A 为正交矩阵,则1±=A ,证明,当1-=A 时,A 必有特征值1-;当1=A 时,且A 为奇数阶时,则A 必有特征值1.证明 当1-=A 时.TT T A E A A E A AA A E A +=+=+=+)(A E A E T +-=+-=,所以 .0=+A E `所以1-是A 的一个特征值反证法：因为正交阵特征值的行列式的值为1，且复特征值成对出现，所以若1不是A 的特征值，那么A 的特征值只有-1，以及成对出现的复特征值。

本征值与本征向量本征值与本征向量是线性代数中重要的概念和工具，它们在很多实际问题中有着广泛的应用。

在本文中，我们将详细介绍本征值与本征向量的定义、性质及其应用。

一、本征值与本征向量的定义在矩阵理论中，给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X，使得下式成立：AX = λX其中，λ为一个常数，称为矩阵A的本征值（Eigenvalue），X称为矩阵A对应于本征值λ的本征向量（Eigenvector）。

本征值与本征向量的求解可以通过以下步骤进行：1. 确定矩阵A。

2. 解方程AX = λX，找到满足条件的解向量X。

3. 将解向量X进行标准化处理，即使其模长为1。

二、本征值与本征向量的性质本征值与本征向量具有以下重要性质：1. 一个矩阵的特征方程的根就是该矩阵的本征值。

特征方程是指n阶方阵A满足 |A-λI| = 0 的方程，其中I为单位矩阵。

解特征方程可得到矩阵的本征值。

2. 本征向量与本征值之间存在一一对应关系。

给定一个本征值λ，可以找到唯一的本征向量X。

反之亦然。

3. 当矩阵A是对称矩阵时，本征向量X之间正交。

对称矩阵的本征向量对应不同本征值的本征向量之间是正交的。

三、本征值与本征向量的应用本征值与本征向量在实际问题中有着广泛的应用，以下是其中几个典型的应用场景。

1. 特征值与特征向量的求解。

在物理、化学等科学领域中，特征值与特征向量的求解是研究问题的重要一步。

例如，在量子力学中，本征值与本征向量的求解可以用来描述能量量子态。

2. 矩阵的对角化。

对于一个n阶方阵A，如果存在可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵D，那么矩阵A就可以对角化。

对角化的好处是方便进行运算和求解。

3. 幂迭代法求解矩阵的最大本征值与最大本征向量。

幂迭代法是一种求解矩阵最大本征值与最大本征向量的迭代算法。

该方法简单易行，且收敛速度较快。

4. 主成分分析（PCA）。

主成分分析是一种常用的数据分析方法，它利用矩阵的本征值与本征向量对数据进行降维和特征提取。

矩阵的特征值与特征向量分析及应用毕业论文摘要特征值和特征向量是高等代数中的一个重要概念，为对角矩阵的学习奠定了基础.本文在特征值和特征向量定义的基础上进一步阐述了特征值和特征向量的关系.本文还研究矩阵的特征值和特征向量的求解方法.再列举了特征值和特征向量相关的性质.最后给出了阵的特征值与特征向量在生活中的运用，并应用于实例.关键词：矩阵特征值特征向量AbstractEigenvalues and eigenvectors are important concepts of advanced algebra which laid the foundation for the diagonal matrix learning. This paper, on the basis of the definition of eigenvalues and eigenvectors, study the relationship of them. This also study the solution method of eigenvalues and eigenvectors. And then lists the related properties of eigenvalues and eigenvectors. Finally, use the matrix eigenvalues and eigenvectors in ordinary live, and application in real examples.Keywords: matrix ; eigenvalue ; eigenvector目录引言第一章、本征值和本征向量的关系1.1 本征值与本征向量的定义1.2 求解本征值与本征向量的方法探索第二章、矩阵的特征多项式和特征根2.1 矩阵的特征多项式和特征根的定义2.2 求解特征根和特征向量的方法2.3 线性变换的特征根与特征向量的求法第三章、特征值和特征向量在生活中的应用3.1 经济发展与环境污染的增长模型3.2 莱斯利（Leslie）种群模型四、结论引言矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具.。

线性代数中的本征值问题是一类重要的数学问题，涉及到矩阵、向量、特征值等概念，是线性代数理论的核心之一。

本文将从基本概念入手，探讨本征值问题的一般性质、求解方法及应用等方面。

一、基本概念矩阵是线性代数中的重要概念，是一个按照一定排列方式排列的数表，常用大写字母表示。

对于一个矩阵A，若存在一个非零向量x满足下式：Ax = λx其中λ为常数，则称常数λ为矩阵A的一个特征值，称向量x 为矩阵A关于特征值λ的一个特征向量。

二、一般性质本征值问题是线性代数中重要的问题之一，有以下一般性质：1.特征值与特征向量是成对出现的，每个特征值对应一个或多个线性无关的特征向量。

2.矩阵的特征值和其转置矩阵的特征值是相同的。

3.若矩阵是实对称矩阵，则其特征值一定是实数。

4.若矩阵是正定矩阵，则其特征值一定是正数。

三、求解方法求解本征值问题的方法有很多，以下主要介绍两种：1.特征值分解法对于一个n阶矩阵A，若它有n个线性无关的特征向量，则可以通过它们组成的特征向量矩阵P和对角矩阵Λ，将矩阵A分解为以下形式：A = PΛP^-1其中Λ为以矩阵A的特征值为对角线元素的对角矩阵，即：Λ = [λ1 0 0 … 0][0 λ2 0 … 0][0 0 λ3 … 0]...[0 0 0 … λn]该方法的优点是求解简单，但必须存在n个线性无关的特征向量。

2.幂法幂法是一种迭代法，用于求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量。

其主要思想是：先任选一个初始向量x0，将其乘以矩阵A，并将结果归一化（即除以模），得到一个新的向量x1。

反复迭代，直到结果的变化趋于趋于稳定。

迭代公式如下：xi+1 = Axi / ||Axi||其中||·||表示向量的模。

该方法的优点是对于大型稀疏矩阵求解较为方便。

四、应用本征值问题具有广泛的应用，涵盖了各个领域，以下列举几个具体的应用：1.物理学中的量子力学，关于能量和动量的本征值问题。

2.工程学中的结构动力学，关于结构振动的本征值问题。

特征值和特征向量原矩阵特征值和特征向量在线性代数中是非常重要的概念。

它们可以帮助我们理解和分析矩阵的性质和行为。

本文将围绕特征值和特征向量展开，介绍它们的定义、性质和应用。

一、特征值和特征向量的定义特征值和特征向量是矩阵的重要属性。

对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个常数，那么λ称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。

特征值和特征向量的定义可以用以下公式表示：A·x = λ·x在这个公式中，A是一个n阶方阵，x是一个n维非零向量，λ是一个常数。

特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的变换行为。

特征向量描述了矩阵变换后仍然指向自身方向的向量，而特征值则表示了这个变换的比例因子。

二、特征值和特征向量的性质特征值和特征向量有一些重要的性质，下面我们将逐一介绍。

1. 特征值和特征向量是成对出现的。

对于一个n阶方阵A，它有n 个特征值和n个特征向量。

2. 特征值可以是实数也可以是复数。

特征值的类型取决于矩阵A的性质。

3. 特征向量可以相互线性组合。

如果x是矩阵A的特征向量，那么对于任意非零常数c，c·x也是矩阵A的特征向量。

4. 特征值的和等于矩阵的迹，特征值的乘积等于矩阵的行列式。

即特征值λ1，λ2，...，λn满足以下等式：λ1 + λ2 + ... + λn = tr(A)λ1 · λ2 · ... · λn = |A|三、特征值和特征向量的应用特征值和特征向量在很多领域都有广泛的应用，下面我们列举一些常见的应用场景。

1. 特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量的形式，可以帮助我们简化矩阵的计算和分析。

特征值分解在物理学、工程学和计算机科学等领域都有重要的应用。

2. 主成分分析主成分分析是一种常用的数据分析方法，它通过计算协方差矩阵的特征值和特征向量，找到数据集中最重要的特征，并进行降维处理。

探究特征值与特征向量在线性代数中的重要性线性代数是数学中一个重要的分支，探究它的意义和应用已经成为一个热门话题。

在线性代数中，特征值与特征向量是两个重要的概念。

本文将探究这两个概念在线性代数中的重要性。

首先，特征向量是一个非零向量，它在一个线性变换下的方向不发生改变，只是乘上一个系数。

具体来说，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax=λx，则x称为A的特征向量，λ称为A的特征值。

探究特征向量和特征值的重要性，我们可以从不同角度来剖析。

一个重要的应用是在物理上的本征值问题。

在经典力学和量子力学中，许多问题都需要使用特征值和特征向量。

例如，量子力学中，可观测量的本征值对应着物理量的测量结果，而本征向量则代表着物理量所在的位置空间。

本征值问题在物理学中有非常广泛的应用，特别是在量子化学中，本征向量和本征值是对于分子和化学反应进行研究的必备工具。

另一个应用领域是图像处理和计算机视觉中。

通过计算机视觉技术，我们可以处理图像、视频、三维模型等不同类型的数据，使其更适用于计算。

特征向量和特征值在这个领域中也有着重要的应用。

通过特征值分解（EVD, Eigen Value Decomposition）和奇异值分解（SVD, Singular Value Decomposition）等技术，可以实现对于图像的压缩、去噪、重构等功能。

此外，特征值和特征向量也广泛应用于机器学习的领域。

在机器学习中，特征向量和特征值可以用来研究一些数据之间的相似性，帮助我们分类和识别图像、语音、文本等数据类型。

特别是在深度学习的领域中，卷积神经网络（CNNs，Convolutional Neural Networks）中常会使用特征向量和特征值来对图像进行卷积和池化等处理，并实现物体的识别和检测功能。

特征向量和特征值还有许多其他的应用，例如流体力学领域、信号处理、音乐分析等。

在这些领域中，特征向量通常表示对象的主要特性或属性，特征值则表示这些私人辨别特征的程度。

数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非退化的向量，其方向在该变换[2]下不变。

该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。

图1给出了一幅图像的例子。

一个变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。

特征空间是相同特征值的特征向量的集合。

这些概念在纯数学和应用数学的很多领域发挥着巨大的作用—在线性代数，泛函分析，甚至在一些非线性的情况中也有着显著的重要性。

―特征‖一词来自德语的eigen。

1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。

eigen一词可翻译为―自身的‖，―特定于...的‖，―有特征的‖或者―个体的‖—这强调了特征值对于定义特定的变换有多重要。

定义空间上的变换—如平移(移动原点)，旋转，反射，拉伸，压缩，或者这些变换的组合；以及其它变换—可以通过它们在向量上的作用来显示。

向量可以用从一点指向另一点的箭头来表示。

变换的特征向量是指在变换下不变或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量[3]。

特征向量的特征值是它所乘的那个缩放因子。

特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。

变换的主特征向量是对应特征值最大的特征向量。

特征值的几何重次是相应特征空间的维数。

有限维向量空间上一个变换的谱是其所有特征值的集合。

例如，三维空间旋转的特征向量是沿着旋转轴的一个向量，相应的特征值是1，相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。

该特征空间是一个一维空间，因而特征值1的几何重次是1。

特征值1是旋转的谱当中唯一的实特征值。

参看：特征平面例子随着地球的自转，每个从地心往外指的箭头都在旋转，除了在转轴上的那些箭头。

考虑地球在一小时自转后的变换：地心指向地理南极的箭头是这个变换的一个特征向量，但是从地心指向赤道任何一处的箭头不会是一个特征向量。

因为指向极点的箭头没有被地球的自转拉伸，它的特征值是1。

另一个例子是，薄金属板关于一个固定点均匀伸展，使得板上每一个点到该固定点的距离翻倍。