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概率与数理统计概率与数理统计是随机数学的两个分支。
要求读者初步掌握处理随机现象的基本方法。
一、随机事件与概率直观上说，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事情称为随机事件（简称事件） ; 概率是随机事件发生可能性大小的度量。
记事件 A 的概率为 P （ A ）。
把必然事件（记作 U ）与不可能事件（记作 V ）看作特殊的随机事件。
规定（一）随机事件之间的关系1 ．包含事件 B 包含事件 A 表示“当 A 发生时 B 必定发生”，记作 B⊃A （或 A ⊂B ）。
2 ．相等事件 A 与 B 相等表示“ A ⊂ B 且 B ⊂ A " ，记作 A = B 。
3 ．互不相容（或互斥）事件 A 与 B 互不相容表示“ A 与 B 不可能同时发生”，记作AB ＝ V 。
（二）随机事件之间的运算1 ．和事件事件 A 与 B 的和事件表示“ A 与 B 中至少有一个发生”，记作 A + B （或 A ∪B ）。
2 ．积事件事件 A 与 B 的积事件表示“ A 与 B 同时发生”，记作AB（或 A∩B ）。
3 ．对立事件（或逆事件）事件 A 的对立事件表示“ A 不发生”，记作A。
4 ．差事件事件 A 与 B 的差事件表示“ A 发生且 B 不发生”，记作 A - B （或 A B）。
（三）概率的计算公式1 ．求逆公式 P （A） = 1－P（ A ）。
2 ．加法公式 P ( A + B ) ＝P（A）＋P（B）－P（AB）。
当 A 与 B 互不相容时， P ( A +B ) = P ( A ) + P ( B ）。
3 . P(B－A)＝P（B）－P（AB）。
当 A⊂ B ，那么 P ( A ) ≤ P ( B ) ，且 P ( B－A ) = P（B）－P （A）。
条件概率与相互独立性。
4 ．乘法公式 P（AB）＝P（A│B）P（B） P（B）= P（B│A）P（A）。
当 A 与 B 相互独立时， P （AB） = P ( A ) P ( B ）。
5 ．全概率公式如果事件 A
1，…，A
n
构成一个完备事件组（即 A
1
，…， A
n
两两互
不相容， A
1+ …＋ A
n
, = U ，且P（A
i
）> 0, i = 1 ，…，n），那么
6 ．贝叶斯公式（或逆概率公式）如果事件 A
1，… A
n
构成一个完备事件组，那么，当 P （ B ) >
0 时，
古典概型
如果试验只可能有有限个（记作n ）不同的试验结果，且这些不同结果的出现具有等可能性,那么随机事件 A 的概率为
其中m为 A 所包含的不同的试验结果的个数。
这个概率称为古典概率；用这个方法计算概率的数学模型称为古典概型。
例题
1．设P（A）=0.2，P（B）=0.5。
在下列三种情形下，分别求P（A+B）: （1）A与B互不相容；（2）A与B有包含关系；（3）A与B相互独立。
【解】 （1）由AB=V 推得P （A +B ）＝P （A ）＋P （B ）=0.2 +0.5 = 0.7 . （2）由于P （B ）＞P （A ），因此A B 。
由A+B=B 推得P （A+B ）＝P （B ）=0.5.
（3）由于A 与B 相互独立，因此P （AB ）＝P （A ）P （B ）=0.2×0.5 =0.1。
于是，P （A +B ）＝P （A ）+ P （B ）- P （AB ）＝ 0.2 + 0.5 -01 = 0.6 .
2．两台机床加工同样的零件，第一台出现次品的概率是 0.04 ，第二台出现次品的概率是0.02 。
加工出来的零件放在一起，第一台加工的零件占 25 ％。
（1）从这批零件中任意取出一个，求它是次品的概率；
（2）从这批零件中任意取出一个，经检查它是次品。
求它是由第二台机床加工的概率。
【 解 】 设事件 A i 表示“任意取出的零件是由第 i 台机床加工的” , i = 1 , 2 ；事件 B 表示“任意取出的零件是次品”。
由题设知道，P （A l ）= 0.25 ，P （A 2）=1－P （A 1）= 0.75 ；且P （B ｜A 1）= 0.04 , P （B ｜A 2） = 0.02 。
（ 1 ）由全概率公式算得
P （B ） = 0 .04×0.25 + 0.02×0.75 = 0.025
（ 2 ）由贝叶斯公式算得
3．口袋里装有 12 只外形相同的球，其中 5 只是红球， 7 只是白球。
从口袋中任意取出 2 只球。
求它们都是红球的概率。
【 解 】 设事件 A 表示“任意取出 2 个球都是红球”。
从 12 只球中任取 2 只，共有212
C 种不同的结果，即 n =2
12C =66 。
从 12 只球中任意取出 2 个球，它们都是红球，共有 25C 种不同
的结果，即 m =25C ＝ 10 。
因此
4． 在 1 , 2 ， … ， 100 中任取一个数。
（ 1 ）求它既能被 2 整除又能被 5 整除的概率；
（ 2 ）求它能被 2 整除或能被 5 整除的概率。
【解】任取一个数，“它能被 2 整除”记作事件 A , “它能被 5 整除”记作事件 B 。
（ 1 ）事件AB表示“既能被 2 整除又能被 5 整除”。
满足这样条件的数共 10 个，即m= 10 ，
于是，由n= 100 推得，P （ AB )= 10
100
=0.1 。
（ 2 ）事件 A + B 表示“能被 2 整除或能被 5 整除”。
能被 2 整除的数共 50 个，能被5 整除的数共 20 个。
由古典概率计算公式得到
按加法公式，并利用 P （AB） = 0 . 1 可得
P （A+ B）= 0 . 5 + 0 . 2－ 0 . 1 = 0 . 6
由于P（AB） = P（A）P（B），因此事件 A 与 B 相互独立。
