专题3三角形中的最值、范围-2017-2018学年下学期高一数学期末复习专题

专题3 三角形中的最值、范围高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、不等式、导数等结合考查，试题难度控制在中等以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．本专题围绕三角形中的最值、范围精选例题，并给出针对性练习，以期求得热点难点的突破.【热点难点突破】例1.【2016年山东卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明； （Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC ，由基本不等式求cos C 的最小值. 试题解析：()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B ⎛⎫+=+⎪⎝⎭， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+， 即()2sin sin sin A B A B +=+. 因为A B C π++=,所以()()sin sin sin A B C C π+=-=. 从而sin sin =2sin A B C +. 由正弦定理得2a b c +=.()∏由()I 知2a b c +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立.故 cos C 的最小值为12.例2.【2016年北京卷】在∆ABC 中，222+=a c b . （1）求B ∠ 的大小；（2cos cos A C + 的最大值. 【答案】（1）4π；（2）1.【解析】试题分析：（1）根据余弦定理公式求出cos B 的值，进而根据B 的取值范围求B 的大小；（2cos A C +进行化简变形，进而根据A 的取值范围求其最大值.点睛：正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．例3.（1（2.【答案】（1（2 6.【解析】试题分析：（1）根据已知条件，由正弦定理，（2）再求出周长的最大值。

三角形内最值问题
三角形内最值问题是一个常见的问题，它涉及到在给定三角形中找到某些几何量的最大值或最小值。

下面是一些解决这类问题的一般方法：
1. 基础几何知识：解决这类问题需要掌握一些基本的几何知识，如三角形的性质、三角函数、勾股定理等。

2. 对称性：考虑三角形是否具有某种对称性，如轴对称或中心对称，这有助于找到最值的位置。

3. 极值定理：在某些情况下，可以使用极值定理（如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等）来找到最值。

4. 函数建模：将问题转化为函数的最值问题，然后使用导数或其他数学工具来找到最值。

5. 参数方程：有时可以通过引入参数来表示几何量，然后通过参数的变化找到最值。

6. 优化技术：可以使用一些优化技术，如梯度下降、牛顿法等，来找到最值。

解决三角形内最值问题的具体方法取决于问题的具体情况和给定的条件。

在处理这类问题时，需要仔细分析问题，选择合适的数学工具和方法来解决。

第11讲解三角形中面积最值与取值范围问题题型一：三角形面积最大值问题【例1】已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3A π=，a =则ABC 面积的最大值为（）A．4B ．2C ．1D【例2】在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()tan tan 2B C +=，且2a =，则ABC 的面积的最大值为A ．3B ．2C D ．【答案】A【解析】：因为()tan tan2AB C +=，且B C A +=π-，所以()22tan2tan tan 1tan 2A B C A A +=-=--tan 02A =>，所以tan 2A =，则2π3A =.由于2a =为定值，由余弦定理得222π42cos 3b c bc =+-，即224b c bc =++.根据基本不等式得22423b c bc bc bc bc =++≥+=，即43bc ≤，当且仅当b c =时，等号成立.所以11433sin 22323ABC S bc A =≤⨯⨯=.故选：A【例3】在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若4a c +=，2sin sin sin B A C =+，则ABC △的面积的最大值为（）AB ．2C．D ．4【答案】A 【解析】因为2sin sin sin B A C =+，所以2b a c =+，因4a c +=，所以2=b ，由余弦定理得()acac ac ac ac b ac c a ac b c a B 221224216222cos 22222-=--=--+=-+=所以ac B ac 212cos 2-=，所以acacB -=6cos ，所以()()()()acac ac ac ac B B 22222661cos 1sin --=--=-=因11sin 22ABCSac B ac ac ∆==⋅==因为ac c a 2≥+，所以()442=+≤c a ac，ABC S ∆=≤=【例4】在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，若2a =，b =，则ABC △的面积的最大值为（）AB ．2C ．D ．4【答案】A 【解析】因为2a =，b =，由余弦定理得()2222222324432432cos c c cc cc bcac b A -=⋅-+=-+=所以()()2244244222223216324121632161232441cos 1sin c c c cc c c c c A A -+-=-+-=--=-=因21sin 2ABCS bc A ∆===设t c =2，则ABCS∆==≤【例5】在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 若2222312++=a b c ，则ABC 面积最大值为__________【例6】如图，在ABC 中，3ABC ∠=，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，3BD =，则ABC 面积的最大值为___．【例7】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知B c C b a sin cos +=．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=b ，求ABC 面积的最大值.【详解】(1)∵Bc C b a sin cos +=∴由正弦定理知B C C B A sin sin cos sin sin +=①在三角形ABC 中，()C B A +-=π∴()B C C B C B A sin sin cos sin sin sin +=+=②由①和②得C B C B sin cos sin sin =而()π,0∈C ，∴0sin ≠C ，∴B B cos sin =又()π,0∈B ，∴4π=B(2)ac B ac S ABC 42sin 21==∆，由已知及余弦定理得：4＝a 2+c 2﹣2ac cos 4π≥2ac ﹣2ac 22⨯，整理得：ac≤，当且仅当a ＝c 时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为(1212222⨯=+1=+【题型专练】1.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若8ac =，sin sin 20a B c A +=，则ABC 面积的最大值为______．2．材料一：已知三角形三边长分别为,,a b c ，则三角形的面积为S =，其中2a b cp ++=.这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius ）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数(大于)12F F 的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知ABC 中，6,10BC AB AC =+=，则ABC 面积的最大值为（）A ．6B ．10C ．12D ．20【答案】C【分析】令(2,8)AB x =∈，根据材料一海伦公式写出ABC 面积S ，由二次函数性质求面积最大值即可.3．在ABC 中，角,,A B C的对边分别为,,a b c .已知角,3C AB =边上的高为(1)若ABC S = ABC 的周长；(2)求ABC 面积的最小值.。

无锡玉祁高中2017—2018学年度第二学期期末复习试卷高一数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinAcosC＝sinB_______．【答案】1而求得答案.故答案为：1.点睛：利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这个结论．2. 将400名学生随机地编号为1~400，现决定用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为20的样本，按编号顺序平均分为20个组（1～20号，21～40号，…，381～400号）．若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11，则第3组抽取的号码为_______．【答案】51【解析】分析：先求系统抽样的抽样问题，再根据第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11计算第3组抽取的号码.又第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11，第3故答案为：51.点睛：(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．(2)使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．3. 设x，y_______．【答案】[﹣3，3]【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.详解：由约束条件作出可行域如图：联立化目标函数为直线方程的斜截式，直线在y轴上的截距最大，z时，直线在y轴上的截距最小，z的取值范围为[﹣3，3].故答案为：[﹣3，3].点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.4. 一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，2，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为_______．【解析】分析：古典概型，可用列举法举出所有可能，然后找出数字之和为5的或者去掉数字之和不是5的事件.5的必须一次为2，一次为3故答案为：.点睛：求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．5. 如图是一个算法流程图，则输出的s的值为_______．【答案】27【解析】分析：模拟执行程序即可.详解：模拟执行程序，可得S的值为27.故答案为：27.点睛：(1)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断；(2)对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．6. 一组数据9.8，9.9，10，a，10.2的平均数为10，则该组数据的方差为_______．【答案】0.02.考点：平均数和方差公式.7. 1的等差数列，其前n项和为55_______．【答案】91的等差数列，其前n55，解得，故答案为：9.点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．8. 一只蚂蚁在边长分别为6，8，10的△ABC区域内随机爬行，则其恰在到顶点A或顶点B或顶点C的距离小于1的地方的概率为___【解析】分析：先求出三角形的面积，再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和时半圆，求出半圆的面积，利用几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都小于1的地方的概率.详解：蚂蚁活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为6，8，10，是直角三角形，1”正好是一个半径为1的半圆，面，根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于1的地方的概率为点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的方法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域.9. 在△ABC中，若a＋c＝ABC面积的最大值是_______．【答案】6【解析】分析：由条件可得△ABC得S的最大值.详解：在△ABC＋c＝ABC故△ABC面积的最大值是6.故答案为：6.点睛：(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.10. 设△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B﹣C＝90°，b＋c，则角C＝_______．【答案】15°【解析】分析：由三角形内角和定理与三角恒等变换即可求得答案.ABC中，B﹣C为钝角，又b＋c＝a，，又解得.故答案为：15°.点睛：利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c cosB＝2a＋b，若△ABC的面积ab的最小值为_______．【答案】c cosB＝2a＋b，，的面积为，化简得点睛：本题考查正余弦定理、三角形内角和定理及基本不等式相结合.12. n_______．【解析】分析：设公差为d，利用等差中项的性质，通过两次平方运算即可求得答案.详解：设公差为d为正项数列，故答案为：点睛：本题考查等差数列的性质，考查等差中项的性质，考查化归与方程思想.13. 已知实数a，b，c满足a＞c﹣2_______．【答案】3)【解析】分析：先由条件利用不等式的基本性质求得.a，b，c满足a＞c﹣2再由，可得由①②可得得取值范围为(，3).故答案为：3).点睛：本题主要考查不等式的基本性质的应用.14. 已知正数x，y满足x＋2y＝1_______．【解析】分析：利用“乘1法”和基本不等式即可得出.x，y满足x＋2y＝1，当且仅当时取等号，的最小值为18.故答案为：二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15. 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：（1）估计该校男生的人数；（2）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；（3）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．【答案】（1）400（2）0.5（3【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，求出样本中男生人数，再由分层抽样比例，估计全校男生人数；（2）由统计图计算出样本中身高在170～185cm之间的学生数，根据样本数据计算对应的概率；（3）利用列举法计算基本事件数以及对应的概率试题解析：（Ⅰ）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400. （Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有52人，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率故有估计该校学生身高在170~185cm 之间的概率p=（Ⅲ）样本中身高在180~185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，样本中身高在185~190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，从上述6人中任取2人的树状图为：故从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185~190cm之间的可能结果数为9考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式视频16. 已知函数（1）若对于任意的x∈[m，m＋1]，都有0成立，求实数m的取值范围；（2）如果关于x m的取值范围．【答案】（1）0）．（2）{m|m≤﹣4，或m≥﹣1}．【解析】分析：（1）由题意可得m的取值范围；（2﹣1，由此求得实数m的取值范围；详解：（1）由题意可得：即实数m的取值范围为（，0）．（21，求得m≤﹣4，或m≥﹣1，即实数m的取值范围为{m|m≤﹣4，或m≥﹣1}．点睛：本题主要考查二次函数的图象和性质应用，体现了转化的数学思想.17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB a＝5c．（1）求sinC的值；（2）若△ABC的面积，求b的值．【答案】（12【解析】分析：（1）△ABC中，由条件利用余弦定理求出b＝，，由cosB sinB（2）由a＝5c，可得sinA＝5sinC的值，由△ABC得面积S•sinB，即可求得b的值.详解：（1）∵△ABC中，cosB a＝5c，故由余弦定理可得b2＝a2＋c2﹣2ac•cosB＝18c2，∴b＝．求得sinC＝（2）∵a＝5c，∴sinA＝5sinC∴△ABC的面积S．又∵△ABC的面积S＝•sinB＝2b点睛：(1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子，然后进行判断；(2)在三角变换过程中，一般不要两边约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解；在利用三角函数关系推证角的关系时，要注意利用诱导公式，不要漏掉角之间关系的某种情况.。

Җ㊀山东㊀冯海侠㊀㊀在新高考形势下, 解三角形 应该会出现在第１７题或第１８题的位置,一般都属于中等或中等偏下难度的题目,是学生必拿分的题．高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活,题型多变㊁综合性强,有利于培养学生的创新意识．这类问题简单,但部分学生却拿不到满分,尤其是求最值或范围的问题．下面笔者以两道高考题为例来归纳这类问题的解答方法及技巧,希望能帮助读者突破瓶颈,提高学习效率．例１㊀(２０１９年全国卷Ⅲ理１８)әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a s i nA ＋C２＝b s i n A ．(１)求B ;(２)若әA B C 为锐角三角形,且c ＝１,求әA B C 面积的取值范围．(１)由a s i n A ＋C２＝b s i n A ,可得s i n A s i n π－B ２＝s i n B s i n A ,即s i n A c o s B２＝s i n B s i n A ,因为s i n A ʂ０,所以c o s B ２＝s i n B ＝２s i n B ２c o s B２．又因为B ɪ(０,π),所以B ２ɪ(０,π２),则c o s B ２ʂ０,所以s i n B ２＝１２,则B ２＝π６,即B ＝π３．(２)由c ＝１,a s i n A ＝c s i n C,可得a ＝c s i n A s i n C ＝s i n A s i n C．所以S әA B C ＝１２a c s i n B ＝１２ˑ３２a ＝３４a ＝３４s i n A s i n C ＝３４s i n (B ＋C )s i n C＝３４ˑ３２c o s C ＋１２s i n Cs i n C ＝３８＋３８ˑ１t a n C．又因为әA B C 是锐角三角形,故０＜C ＜π２且０＜２π３－C ＜π２,所以π６＜C ＜π２,则t a n C ＞３３,即０＜１t a n C ＜３,所以S әA B C ɪ(３８,３２)．例２㊀(２０１３年全国卷Ⅱ理１７)әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a ＝b c o s C ＋c s i n B ．(１)求B ;(２)若b ＝２,求әA B C 面积的最大值．(１)由已知条件及正弦定理得s i n A ＝s i n B c o s C ＋s i n C s i n B ．①又因为A ＝π－(B ＋C ),故s i n A ＝s i n (B ＋C )＝s i n B c o s C ＋c o s B s i n C ．②由①②得s i n B ＝c o s B ,又B ɪ(０,π),所以B ＝π４．(２)әA B C 的面积S ＝１２a c s i n B ＝２４a c ,由已知条件及余弦定理得４＝a ２＋c ２－２a c c o sπ４ȡ２a c －２a c ,故a c ɤ４２－２＝２(２＋２),当且仅当a ＝c 时,等号成立．因此,S ＝１２a c s i n B ＝２４a c ɤ２４ˑ２(２＋２)＝２＋１,即әA B C 面积的最大值为２＋１．解三角形中的最值及范围问题主要有两种方法,其一是利用基本不等式求最大值或最小值,这类问题多与余弦定理相结合,常见形式如下．(１)a ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ȡ２b c －２b c c o s A ,从而求出b c 的最大值;(２)a ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ＝(b ＋c )２－(２－２c o s A )b c ȡ(b ＋c )２－(２－２c o s A )(b ＋c ２)２．在使用基本不等式时一定不要忘了等号的验证,同时,要将所求式子转化为含有一个未知数的函数,大多情况下是转化成关于某个角的函数,利用三角函数性质及角的条件求解,有时也转化为某个边的函数,再结合边的范围求解．解三角形中的最值和范围问题是重点也是难点,综合性较强,所以学生不仅要有扎实的基本功,还要灵活应变,掌握做题技巧,这样在高考中才能取得满意的成绩．(作者单位:山东省菏泽市巨野县第一中学)３。

三角形中的范围(最值)问题三角形中的取值范围和最值问题一直是高考的热点和难点，常以小的压轴题出现，解例题：(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，且BD＝1，求4a＋c的最小值．变式1在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(2a＋c，b)，n＝(cos B，cos C)，且m，n垂直．(1)求角B的大小；(2)若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD＝1，设BC＝x，BA＝y，试确定y关于x的函数关系式，并求边AC的取值范围．变式2如图，某水域有两条直线型岸边l1和l2成定角120°，该水域中位于该角平分线上且与顶点A相距1 km的D处有一固定桩，现某渔民准备经过该桩安装一直线型的隔离网BC(B，C分别在l1和l2上)围出三角形ABC的养殖区，且AB和AC的长都不超过5 km，设AB＝x km，AC＝y km，(1)将y表示成x的函数，并求其定义域；(2)该渔民至少可以围出多少平方千米的养殖区？串讲1在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b，△ABC周长为7，求BC边上的中线AD的最小值．串讲2在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝π2，OP ＝22，点M 在线段PQ 上，点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝π6.(1)设∠POM ＝α，试用α表示OM ，ON ，并写出α的范围； (2)当α取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．(2018·全国大联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(c ＋a ，b )，n ＝(c －a ，b ＋c )，且a ＝3，m ⊥n .(1)求△ABC 面积的最大值； (2)求b ＋c 的取值范围．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，且4S ＝3(a 2＋c 2－b 2)．(1)求∠B 的大小；(2)设向量m ＝(sin2A ，3cos A )，n ＝(3，－2cos A )，求m ·n 的取值范围．答案：(1)π3；(2)(－6，32－3]．解析：(1)由题意，有4×12ac sin B ＝3(a 2＋c 2－b 2)，2分则sin B ＝3×a 2＋c 2－b 22ac ，所以sin B ＝3cos B .4分因为sin B ≠0，所以cos B ≠0，所以tan B ＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3.6分(2)由向量m ＝(sin2A ，3cos A )，n ＝(3，－2cos A )，得m ·n ＝3sin2A －6cos 2A ＝3sin2A －3cos2A －3＝32sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4－3.8分由(1)知B ＝π3，所以A ＋C ＝2π3，所以0<A <2π3.所以2A －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，13π12.10分所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1.12分所以m ·n ∈(－6，32－3]．即m ·n 的取值范围是(－6，32－3].14分例题1 答案：9.解法1由S △ABD ＋S △CBD ＝S △ABC ，得12c·1·sin 60°＋12a·1·sin 60°＝12ac sin 120°，所以，a ＋c ＝ac.即1a ＋1c＝1.所以4a ＋c ＝(4a ＋c)(1a ＋1c )＝5＋c a ＋4ac≥5＋2c a ·4a c ＝9.当且仅当c ＝2a 即a ＝32，c ＝3取等号，所以4a ＋c 的最小值为9.解法2如图作DE ∥AB 交BC 点E ，所以∠EDB ＝∠DBA ＝∠DBE ＝60°，因为BD ＝1，所以△BDE 是边长为1的正三角形，CE CB ＝DEAB ，即a －1a ＝1c，变形得a ＋c ＝ac ，变形得44a ＋1c＝1. 于是1＝44a ＋1c ≥（2＋1）24a ＋c ，解得4a ＋c ≥9，当且仅当4a ＝2c ，当且仅当c ＝2a 即a ＝32，c ＝3时取等号，所以4a ＋c 的最小值为9.解法3设∠BDC ＝θ，易得60°<θ<120°，在△BDC 中，BC sin θ＝BDsin C ，因为BD ＝1，sin C ＝sin (θ＋60°)，所以a ＝sin θsin （θ＋60°），同理c ＝sin θsin （θ－60°）.所以4a ＋c ＝4sin θsin （θ＋60°）＋sin θsin （θ－60°）＝4sin θ12sin θ＋32cos θ＋sin θ12sin θ－32cos θ＝81＋3tan θ＋21－3tan θ≥（22＋2）2（1＋3tan θ）＋（1－3tan θ）＝9.当且仅当22(1－3tan θ)＝ 2(1＋3tan θ)时取等号，即tan θ＝33时4a ＋c 取最小值9. 解法4以B 为坐标原点，BC 为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，则A 落在第二象限，设直线AC 的方程为y －32＝k(x －12)，其中－3<k<0，令y ＝0得x C ＝k －32k >0，即a ＝k －32k，由于直线BA 的方程为y ＝－3x 代入y －32＝k(x －12)，解得x A ＝k －32（k ＋3）<0，所以c ＝－2x A ＝3－k （k ＋3）>0，则4a ＋c ＝2（k －3）k ＋3－k 3＋k＝1＋23(1－k ＋1k ＋3)≥1＋23×（1＋1）2－k ＋k ＋3＝9. 当且仅当－k·1＝(k ＋3)·1，即k ＝－32时取等号，所以4a ＋c 的最小值为9. 变式联想变式1答案：(1)2π3；(2)[23，＋∞)．解析：(1)因为m ⊥n ，所以(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得(4R ·sin A ＋2R ·sin C )cos B ＋2R ·sin B cos C ＝0，所以(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0，即2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0，即sin A (2cos B ＋1)＝0，因为A ，B ∈(0，π)，所以sin A ≠0，解得cos B ＝－12，B ＝2π3.(2)因为S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，S △ABC ＝12xy sin 2π3＝34xy ，S △ABD ＝12y sin π3＝34y ，S △BCD＝12x sin π3＝ 34x ，所以xy ＝x ＋y ， 即y ＝xx －1，x ∈(1，＋∞)．在△ABC 中，由余弦定理得 AC 2＝x 2＋y 2－2xy cos2π3＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ＝(x ＋y －12)2－14，因为x ＋y ＝xy ≤（x ＋y ）24，x >0，y >0，所以x ＋y ≥4，所以AC 2≥(4－12)2－14，所以AC ≥2 3.所以AC的取值范围是[23，＋∞)． 变式2答案：(1)y ＝xx －1， ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|54≤x ≤5；(2) 3. 解析：(1)由S △ABC ＝S △ABD ＋ S △ACD 得，12x sin 60°＋12y sin 60°＝12xy sin 120°，所以x ＋y ＝xy ，所以y ＝x x －1，又0<y ≤5，0<x ≤5，所以54≤x ≤5，即定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|54≤x ≤5. (2)设△ABC 的面积为S ，则结合(1)得S ＝12xy sin A ＝12x·x x －1·sin 120°＝3x 24（x －1）(54≤x ≤5)，因为x 2x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥4，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取等号． 故当x ＝y ＝2时，面积S 取得最小值3平方千米． 答：该渔民至少可以围出3平方千米的养殖区．串讲激活串讲1 答案：726. 解析：设∠BDA ＝θ，AD ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD·BD·cos ∠BDA ，可得15a 24－28a ＋49＝x 2－xa cos θ，①在△ACD 中，由余弦定理得3a 24＝x 2＋xa cos θ，②，由①＋②可得2x 2＝92a 2－28a ＋49＝92(a －289)2＋499≥499，所以x ≥726，当且仅当a ＝289时等号成立，所以中线AD 的最小值为726.串讲2 答案：(1)OM ＝2sin （α＋π4），ON ＝2sin （α＋5π12），0≤α≤π3；(2)α＝π6，8－4 3.解析：(1)在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OP sin ∠OMP ，即OM ＝2sin （α＋π4），同理ON ＝2sin （α＋5π12），0≤α≤π3.(2)S △OMN ＝12OM·ON sin ∠MON ＝1sin （α＋π4）×sin （α＋5π12）＝1sin （α＋π4）×sin （α＋π4＋π6）＝132sin 2（α＋π4）＋12sin （α＋π4）cos （α＋π4）＝134[1－cos （2α＋π2）]＋14sin （2α＋π2）＝134＋34sin 2α＋14cos 2α＝112sin （2α＋π6）＋34，因为0≤α≤π3，π6≤2α＋π6≤5π6，所以当α＝π6时，sin (2α＋π6)的最大值为1，此时△OMN 的面积最小．即α＝π6时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.答案：(1)334；(2)(3，23]．解析：(1)因为m ⊥n ，所以(c ＋a )(c －a )＋b (b ＋c )＝0，即c 2－a 2＋b 2＋bc ＝0，所以 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又A 是三角形的内角，所以A ＝120°，由c 2－a 2＋b 2＋bc ＝0，且a ＝3，所以b 2＋c 2＝9－bc ≥2bc ，解得bc ≤3.所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3·sin120°＝334.(2)由(1)可知c 2＋b 2＋bc ＝9，(b ＋c )2－bc ＝9，即(b ＋c )2－9＝bc ≤(b ＋c 2)2，解得b ＋c ≤23，又b ＋c >a ＝3，所以b ＋c 的取值范围是(3，23]．。

专题24 解三角形中的最值、范围问题解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网 例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-变式：()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值4、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.5、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值【经典例题】例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形中，，设与面积分别为，则的最大值为_____.【答案】【解析】分析：利用余弦定理推，求出的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围，求的最大值即可．点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得．例2.【2018届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在中，角A,B,C所对的边分别为，则实数a的取值范围是____________.【答案】.【解析】由，得，所以，则由余弦定理，得，解得，又，所以的范围是.例3.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．【答案】2例4.【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．【答案】【解析】由的三边分别为，，可得：，可知：，，，例5.【2018届湖南省株洲市高三检测（二）】已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小； (2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长. 【答案】(1)(2).【解析】分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此可求角的大小； （2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.（2）因为所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，例6.【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.学/科/*网（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知(Ⅱ)由己知，当有且只有一解时，或,所以；当时，为直角三角形，当 时，由正弦定理 ，，所以，当时，综上所述，.例7.【2018届四川省资阳市高三4月（三诊）】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a b A B +- ()sin sin c C B =-．（1）求A ．（2）若4a =，求22b c +的取值范围．【答案】（1）3A π=；（2）(]16,32.221616b c bc +=+>，进而可得结果.试题解析：（1）根据正弦定理得()()a b a b +- ()c c b =-，即222a b c bc -=-，则222122b c a bc +-=，即1cos 2A =，由于0πA <<，【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 例8．【2018届甘肃省张掖市高三三诊】已知3cos,cos 44x x m ⎛⎫= ⎪⎭， sin ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， c 成等比数列，求()f B 的取值范围．【答案】(1) 424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈．(2) ⎛ ⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）由题()13cos ,cos sin ,cos sin 4444262x x x x x f x m n π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=++ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭，根据正弦函数的性质222262x k k πππππ-≤+≤+可求其单调增区间；（2）由题2b ac =可知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=， （当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤，6263B πππ<+≤，由此可求 ()f B 的取值范围．（当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤， 6263B πππ<+≤， ()1f B <≤，综上， ()f B的取值范围为⎛ ⎝⎦． 例9.【2018届吉林省吉林市高三第三次调研】锐角ABC ∆中， ,,A B C 对边为,,a b c ，()()()222sin cos ba c B C A C --+=+（1）求A 的大小； （2）求代数式b c a +的取值范围.【答案】（1）3π（22b ca+<≤ 【解析】试题分析：（1）由()()()222sin cos b a c B C A C --+=+及余弦定理的变形可得2cos sin B A B -，因为cos 0B ≠，故得sin A =ABC ∆中3A π=．（2）利用正弦定理将所求变形为2sin sin 32sin sin 6B B b c B a A ππ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭，然后根据6B π+的取值范围求出代数式b ca+的取值范围即可．试题解析： （1）∵2222cos b a c ac B --=-， ()()()222sin cos b a c B C A C --+=+，∴()()2cos sin cos ac B B C A C -+=+ ， ∴()()2cos sin ,B A B ππ--=-∴2cos sin B A B -=，∴23sin sin sin sin sin 3222sin sin sin 6sin 3B B B Bb c B C B a A A πππ⎛⎫+++ ⎪++⎛⎫⎝⎭====+ ⎪⎝⎭,∵ABC ∆为锐角三角形，且3A π=∴02{02B C ππ<<<<，即02{ 2032B B πππ<<<-<, 解得62B ππ<<，∴2,363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭．2b c a +<≤．故代数式b c a +的取值范围2⎤⎦．点睛：（1）求b ca+的取值范围时，可根据正弦定理将问题转化为形如()sin y A x ωϕ=+的函数的取值范围的问题解决，这是在解三角形问题中常用的一种方法，但在解题中要注意确定角x ωϕ+的范围．（2）解答本题时要注意“锐角三角形”这一条件的运用，根据此条件可的求得6B π+的范围，然后结合函数的图象可得sin 6B π⎛⎫+⎪⎝⎭的范围，以达到求解的目的． 例10.【2018届衡水金卷信息卷（一）】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-，且//m n .（1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆的外接圆半径为2ABC ∆周长的取值范围. 【答案】(1) 3A π=(2) (]4,6 【解析】试题分析：（1）由//m n ，得62)0c c o s A a c o s B-+=（，利用正弦定理统一到角上易得1cos 2A =；（2）根据题意，得2sin 2a R A ==，由余弦定理，得()223a b c bc =+-，结合均值不等式可得()216b c +≤，所以b c +的最大值为4，又2b c a +>=，从而得到ABC ∆周长的取值范围.得1cos 2A =.又()0,A π∈，所以3A π=.（2）根据题意，得2sin 2a R A ===.由余弦定理，得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，即()223432b c bc b c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，整理得()216b c +≤，当且仅当2b c ==时，取等号， 所以b c +的最大值为4.又2b c a +>=，所以24b c <+≤，所以46a b c <++≤. 所以ABC ∆的周长的取值范围为(]4,6.【精选精练】1.【2018届东莞市高三第二次考试】在中，若，则的取值范围为( )A.B.C.D. 【答案】D【解析】因为，所以，即，即，2．【2018届湖南省衡阳市高三二模】在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】 ，，，，又，，，，故选C.3．【2018届四川省绵阳市高三三诊】四边形ABCD 中， AB =， 1BC CD DA ===，设ABD ∆、BCD ∆的面积分别为1S 、2S ，则当2212S S +取最大值时， BD =__________．【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式的应用,考查同角三角函数关系,考查利用余弦定理解三角形,考查二次函数最值的求法.首先根据题目所求,利用三角形面积公式,写出面积的表达式,利用同角三角函数关系转化为余弦值,利用余弦定理化简,再利用配方法求得面积的最值,并求得取得最值时BD 的值. 4．【2018届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为________.【答案】5．【2018届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设的内角所对的边分别为且+,则的范围是__________．【答案】 【解析】由+得,所以，即，再由余弦定理得 ，即，解得，又，所以的范围是.点睛：在解三角形问题中，一般需要利用余弦定理结合均值不等式，来求两边和的取值范围或者是三角形的面积的最值，只需运用余弦定理，并变形为两边和与两边积的等式，在利用均值不等式转化为关于两边和或两边积的不等式，解不等式即可求出范围.6．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知锐角ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且2cos 2,2a C c b a +==,则ABC ∆的最大值为__________．即4bc ≤，所以ABC ∆的最大值为max 11sin 422S bc A ==⨯= 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.7．【2018届宁夏石嘴山市高三4月适应性测试（一模）】已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且sin cos b A B =.（1）求角B ；（2）若b =ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3B π=；（2）.【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得到tan B =（2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 2212a c ac =+-结合222a c ac +≥即可得最值.试题解析：（1）∵sin cos b A B =，∴由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，即ABC ∆面积的最大值为.8．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知由余弦定理得，所以，即,，所以.由正弦定理 ，，所以，当时，综上所述，.点睛：本题在转化有且只有一解时,容易漏掉m=2这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.9．【衡水金卷信息卷（二）】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos a C A =. （1）求角A 的大小；（2）若2b =，且43B ππ≤≤，求边c 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) 1⎡⎤⎣⎦.在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin b c B C=，∴22sin 2sin 311sin sin sin tan B C B c B B B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+=+，∵43B ππ≤≤，∴1tan B ≤≤21c ≤≤，即c的取值范围为1⎡⎤⎣⎦.10．【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三三模】已知ABC ∆三个内角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积S满足222a b c =+-． （1）求角C 的值；（2）求()cos2cos A A B +-的取值范围． 【答案】（1）23π；（2）(tan C =0C π<<， 23C π∴=.（2）()3cos2cos =cos2cos 2cos232A A B A A A A π⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭0,2333A A ππππ<<∴<+<(203A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 11．【2018届江苏省姜堰、溧阳、前黄中学高三4月联考】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =.（1）求b 的值；（2）若4B π=， S 为ABC ∆的面积，求cos S A C +的取值范围.【答案】(1) 4b =(2) (【解析】试题分析：（1）利用正余弦定理， sin cos 3cos sin A C A C =可转化为2222b ac -=，又222a c b -=，从而得到b 的值； （2）由正弦定理1sin sin 2S bc A A C ==，故324S AcosC A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭限制角A的范围，求出cos S A C +的取值范围.（2）由正弦定理sin sin b c B C =得114sin 4sin sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=()324S AcosC A C A π⎛⎫∴+=-=-⎪⎝⎭， 在ABC ∆中，由3040{ 202A A C A C πππ<<<<<<> 得3,82A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 320,44A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，3cos 24A π⎫⎛⎫∴-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(S AcosC ∴+∈.12．【衡水金卷信息卷 （五）】在锐角ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且25sin 2sin 224B C A π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.（1）求角A ；（2）若a =ABC ∆周长的取值范围. 【答案】(1) 3A π=(2) (3+(3.试题解析：（1）∵252224B C sin A sin π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，∴()15224cos B C cos A -+-=-， ∴2152124cosA cos A +--=-，整理，得28210cos A cosA --=，∴14cosA =-或12cosA =， ∵02A π<<，∴12cosA =，即3A π=.（2）设ABC ∆的外接圆半径为r，则22a r sinA===，∴1r =. ∴()2b c r sinB sinC +=+ 223sinB sin B π⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ABC ∆周长的取值范围是(3+.。