随机变量及其分布测试题

一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．2．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．【解答】解：（1）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，每次取出次品的概率为：，相当于5次独立重复实验，ξ～B（5，），P（ξ＝0）＝＝0.59059，P（ξ＝1）＝＝0.32805，P（ξ＝2）＝＝0.07329，P（ξ＝3）＝＝0.0081，P（ξ＝4）＝＝0.00045，P（ξ＝5）＝＝0.00001，∴ξ的分布列为：ξ012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.00001（2）由题意知η的可能取值为0，1，2，3，4，5，且η～B（5，0.1），∴η的分布列为：η012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.000012．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．【解答】解：（1）由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为；（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中﹣人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次“为事件B，“这两人中﹣人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：X012P3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）由意可知，选出的3名同学全是男生的概率为＝，∴选出的3名同学中至少有1名女生的概率为P＝1﹣＝．（2）根据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ0123P4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．【解答】解：（I）从甲中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，从乙中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，故“两球颜色相同”的概率P＝．（II）由题意可得，ξ所有可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列为：ξ012P5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．【解答】解：（1）依题意，得，解得或（舍去），所以．（2）由（1）得，，所以，．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）设事件该射手第i次射击，击中目标为A i，i＝1，2，3，则，所以，事件射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标可表示为，因为事件，，A1A2A3互斥，所以又事件A1，A2，A3相互独立，所以＝＝；（2）事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次等于事件前3次中恰好击中两次目标且第四次击中目标，又各次击中目标的概率为，所以前3次中恰有两次击中目标的概率为，第四次击中目标的概率为，所以事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率；（3）由已知ξ的取值有3，4，5，⋅⋅⋅，n，⋅⋅⋅，又，，，⋅⋅⋅，，所以随机变量ξ的分布列为：ξ345…n…P……7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．【解答】解：（1）由题意可得，X可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，故X的分布列为：X0123P（2）设得分为Y，则得分Y可以取4，5，6，7，分别对应4个黑球，3黑1红，2黑2红，1黑3红四种情况，P（Y≥6）＝P（Y＝6）+P（Y＝7）＝，故得分不小于6分的概率为．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．【解答】解：（1）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：ξ012P（2）事件“选出的2学生至少有一女生”的概率为：P＝P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝＝．。

一、选择题1．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p .某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X .若()8D X =，(20)P X =(30)P X <=，则p =（ ） A ．0.16B ．0.2C ．0.8D ．0.842．已知随机变量X 的分布列则对于任意01a b c <<<<，()E X 的取值范围是（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭3．假定男女出生率相等，某个家庭有两个小孩，已知该家庭至少有一个女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．164．随机变量ξ的分布列如表所示，若1()3E X =-，则(31)D X +=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内增大时（ ）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（ ） A ．38B ．1340C ．1345D ．347．已知随机变量~X N ()22,σ，(0)0.84P X=，则(04)P X <<=（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.66D ．0.688．袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件A ，“摸得的两球不同色”为事件B ，则概率()|P B A 为( ) A ．14B ．23C ．13D ．129．随机变量X 服从正态分布()()()210,12810X N P X m P X n σ->==，，≤≤，则12m n+的最小值为（ ）A ．3+B ．6+C ．3+D ．6+10．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A 为4名同学所报项目各不相同”,事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则(|)P B A =（ ） A ．14B ．34C ．29D ．5911．某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ） A ．313B ．413C ．14D ．1512．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽取两张.则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率是( ) A ．27B ．29C ．310D ．15二、填空题13．游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为14，停在不同区域的概率为34，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为X ，若开始时指针停在红色区域，则()E X =______.14．由“0，1，2”组成的三位数密码中，若用A 表示“第二位数字是2”的事件，用B 表示“第一位数字是2”的事件，则(|)P A B =__________.15．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是________. 16．下列说法中，正确的有_______．①回归直线ˆˆˆy bx a =+恒过点(),x y ，且至少过一个样本点；②根据22⨯列列联表中的数据计算得出2 6.635K ≥，而()26.6350.01P K ≥≈，则有99%的把握认为两个分类变量有关系；③2K 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当2K 的值很小时可以推断两个变量不相关；④某项测量结果ξ服从正态分布()21,N a，则(5)0.81P ξ≤=，则(3)0.19P ξ≤-=．17．已知某随机变量X 的分布列如下（,p q R ∈）：且X 的数学期望()12E X =，那么X 的方差()D X =__________． 18．（1）10件产品，其中3件是次品，任取2件，若ξ表示取到次品的个数，则()E ξ=_______；（2）设随机变量ξ的分布列为()P k ξ==21C ()()33k k n kn -，k =0，1，2，…，n ，且()24E ξ=，则()D ξ= _______；（3）设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X 表示三次中红球被摸中的次数（每个小球被抽取的概率相同，每次抽取相互独立），则方差()D X =______．三、解答题19．已知某射手射中固定靶的概率为34，射中移动靶的概率为23，每次射中固定靶､移动靶分别得1分､2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次.（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率； （2）求该射手的总得分X 的分布列和数学期望.20．某校拟举办“成语大赛”，高一（1）班的甲、乙两名同学在本班参加“成语大赛”选拔测试，在相同的测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）的茎叶图如图所示.（1）你认为选派谁参赛更好？并说明理由；（2）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取1次进行分析，设抽到的2次成绩中，90分以上的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X .21．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩ξ近似服从正态分布()70,100N ．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．（1）此次参赛的学生总数约为多少人?（2）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，则设奖的分数线约为多少分? 说明：对任何一个正态分布()2~,X Nμσ来说，通过1X Z μσ-=转化为标准正态分布()~0,1Z N ，从而查标准正态分布表得到()()1P X X Z <=Φ． 参考数据：可供查阅的（部分）标准正态分布表()Z Φ Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 1.2 0.8849 0.869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.985722．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数； (2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列及均值E (X );(3)试比较男生学习时间的方差21s 与女生学习时间的方差22s 的大小.(只需写出结论) 23．为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取100只小白鼠，并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率）：（1）根据频率分布直方图，估计100只小白鼠该项医学指标平均值x （同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）若认为小白鼠的该项医学指标值X 服从正态分布()2,N μσ，且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于14.77时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的100只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有10只小白鼠又产生了抗体．这里μ近似为小白鼠医学指标平均值x ，2σ近似为样本方差2s ．经计算得2 6.92s =，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率p （精确到0.01）． 附：参考数据与公式6.92 2.63≈，若()2~,X N μσ，则①()0.6827P X μσμσ-<≤+=；②()220.9545P X μσμσ-<≤+=；③()330.9973P X μσμσ-<≤+=． 24．甲､乙两人进行乒乓球比赛，规定比赛进行到有一人比对方多赢2局或打满6局时比赛结束.设甲､乙在每局比赛中获胜的概率均为12，各局比赛相互独立，用X 表示比赛结束时的比赛局数（1）求比赛结束时甲只获胜一局的概率； （2）求X 的分布列和数学期望.25．现有编号为1，2，3的三只小球和编号为1，2，3的三个盒子，将三只小球逐个随机地放入三个盒子中，每只球的放置相互独立. （1）求恰有一个空盒的概率；（2）求三只小球在三个不同盒子中，且每只球编号与所在盒子编号不同的概率； （3）记录所有至少有一只球的盒子，以X 表示这些盒子编号的最小值，求()E X . 26．某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5),[5,6]共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）.（1）从甲班每天学习数学的平均时间在[0,2)的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0,1)范围内的概率；（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由(20)(30)p X P X =<=求出的范围，再由方差公式求出值．【详解】∵(20)(30)p X P X =<=，∴2020303030205050(1)(1)C p p C p p -<-，化简得1p p -<，即12p >，又()850(1)D X p p ==-，解得0.2p =或0.8p =，∴0.8p =，故选C ． 【点睛】 本题考查概率公式与方差公式，掌握这两个公式是解题的关键，本题属于基础题．2．B解析：B 【分析】由题易得222()E X a b c =++，结合题中条件再由基本不等式可得2222()133a b c a b c ++++>=，即1()3E X >；再由2222()2()12()1a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=++-++=-++<，即()1E X <，最后得出()E X 的取值范围. 【详解】由随机变量的期望定义可得出222()E X a b c =++， 因为01a b c <<<<，且1a b c ++=，所以222222222a b aba c acbc bc ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，三式相加并化简可得222a b c ab bc ac ++>++，故2222222222()2222()3()a b c a b c ac bc ab a b c ac bc ab a b c ++=+++++=+++++<++，即2222()133a b c a b c ++++>=，所以2()1()33a b c E X ++>=，又因为2()()2()12()1E X a b c ab bc ca ab bc ca =++-++=-++<，所以1()13E X <<. 故选：B . 【点睛】本题考查随机变量的期望，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.3．B解析：B 【分析】记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，分别求出A 、B 的结果个数，问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式求解即可. 【详解】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}．记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，则{A =（男，女），（女，男），（女，女）}，{B =（男，女），（女，男），（女，女）}，{AB =（女，女）}．于是可知3()4P A =，1()4P AB =． 问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式，得()114334P B A ==．故选：B ． 【点睛】本题的考点是条件概率与独立事件，主要考查条件概率的计算公式：()()()P AB P B A P A =，等可能事件的概率的求解公式：()mP M n=（其中n 为试验的所有结果，m 为基本事件的结果）.4．B解析：B 【分析】 由于()13E X =-，利用随机变量的分布列列式，求出a 和b ，由此可求出()D X ，再由()(319)X D D X +=，即可求出结果.根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=， ()13E X =-，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=，()22211111151013233369X D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()59959(31)D D X X ==⨯+=， ∴5(31)D X +=.故选：B. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列､数学期望等知识，考查运算求解能力.5．B解析：B 【分析】根据题意计算随机变量ξ的分布列和方差，再判断p 在(0,1)内增大时，()E ξ、()D ξ的单调性即可． 【详解】解：设01p <<，随机变量ξ的分布列是1131()01222222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=-， 方差是22231311311()(0)(1)(2)222222222p p D p p p ξ-=-+⨯+-+⨯+-+⨯ 21144p p =-++ 215(2)44p =--+，当p 在(0,1)内增大时，()E ξ减小，()D ξ增大．故选：B ． 【点睛】本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力．6．B【分析】由条件概率的定义()(|)()P A B P B A P A =，分别计算(),()P A B P A 即得解.【详解】 由题意5()9P A = 事件AB 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313⨯+⨯=个事件1313()9872P A B ==⨯由条件概率的定义：()13(|)()40P A B P B A P A ==故选：B 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.7．D解析：D 【分析】先由对称性求出(X 4)P ≥，再利用(04)12(4)P X P X <<=-≥即得解. 【详解】由于随机变量~X N ()22,σ，关于2X =对称，故(4)(0)1(0)10.840.16P X P X P X ≥=≤=-≥=-= (04)12(4)10.320.68P X P X ∴<<=-≥=-=故选：D 【点睛】本题考查了正态分布在给定区间的概率，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.8．B解析：B 【分析】根据题目可知，求出事件A 的概率，事件AB 同时发生的概率，利用条件概率公式求得()|P B A ，即可求解出答案．【详解】依题意，()1214C 1C 2P A ==，()11221143C C 1C C 3P AB ==，则条件概率()()()123|132P AB P B A P A ===．故答案选B ． 【点睛】本题主要考查了利用条件概率的公式计算事件的概率，解题时要理清思路，注意()P AB 的求解．9．D解析：D 【分析】利用正态密度曲线的对称性得出12m n +=，再将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后可利用基本不等式求出12m n+的最小值． 【详解】 由于()210,XN σ，由正态密度曲线的对称性可知，()()128P X P X m >=<=，所以，()()188102P X P X <+≤≤=，即12m n +=，221m n ∴+=， 由基本不等式可得()1212422266m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭6=， 当且仅当()420,0m n m n n m=>>，即当n =时，等号成立， 因此，12m n +的最小值为6+，故选D. 【点睛】本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值，解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值，以及对所求代数式进行配凑，以便利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题．10．A解析：A 【分析】确定事件AB ，利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概型的概率公式可计算出()P B A 的值. 【详解】事件AB 为“4名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()3344A P AB =，()4444A P A =，()()()3434444144P AB A P B A P A A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题．11．A解析：A 【分析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果. 【详解】设事件A 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件B 为“学生丙第一个出场”则()41134333555578A C C A P A A A +==，()1333555518C A P AB A A == 则()()()1837813P AB P B A P A === 本题正确选项：A 【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.12．B解析：B 【分析】根据第一次抽完的情况下重新计算总共样本数和满足条件样本数，再由古典概型求得概率． 【详解】在第一次抽中奖后，剩下9张奖券，且只有2张是有奖的，所以根据古典概型可知，第二次中奖的概率为29P =．选B. 【点睛】事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率称为“事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率”，记为(|)P B A ；条件概率常有两种处理方法： （1）条件概率公式：()(|)()P AB P B A P A =． （2）缩小样本空间，即在事件A 发生后的己知事实情况下，用新的样本空间的样本总数和满足特征的样本总数来计算事件B 发生的概率．二、填空题13．【分析】依题意画出数形图即可求出的分布列即可求出数学期望；【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：则的分布列如下：0 1 2 3 故故答案为：【点睛】本题考查概率的计算随机解析：27 16【分析】依题意画出数形图，即可求出X的分布列，即可求出数学期望；【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：则X的分布列如下：X0123P 16421643964364故()01236464646416 E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为：27 16【点睛】本题考查概率的计算，随机变量的分布列和数学期望，解答的关键是画出树形图. 14．【分析】利用古典摡型的概率计算公式分别求得结合条件概率的计算公式即可求解【详解】由012组成的三位数密码共有个基本事件又由用A表示第二位数字是2的事件用B表示第一位数字是2的事件可得所以故答案为：【解析：1 3【分析】利用古典摡型的概率计算公式，分别求得(),()P B P A B，结合条件概率的计算公式，即【详解】由“0，1，2”组成的三位数密码，共有33327⨯⨯=个基本事件，又由用A表示“第二位数字是2”的事件，用B表示“第一位数字是2”的事件，可得33131 (),()273279P B P A B⨯====，所以1()19 (|)1()33P A BP A BP B===.故答案为：1 3 .【点睛】本题主要考查了条件概率的计算与求解，其中解答中熟记条件概率的计算公式，准确运算时解答得关键，属于基础题.15．【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下基本事件总数n=3这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下这时另一个也是女孩的概率【详解】一个家庭有解析：1 3【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，基本事件总数n=3，这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1，由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率.【详解】一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，基本事件有: {男，男}，{男，女}，{女,男}，{女,女},已知这个家庭有一个女孩的条件下，基本事件总数n=3 ,这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1，∴已知这个家庭有一个女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是13mpn==，故答案为：1 3【点睛】本题主要考查了条件概率，可以列举在某条件发生的情况下，所有事件的个数及所研究事件的个数，利用古典概型求解，属于中档题.16．②④【分析】由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④【详解】回归直线恒过点但不一定要过样本点故①错误；由得有99的把握认为两个分类变量有关系故②正确；的值很小解析：②④ 【分析】由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④. 【详解】回归直线ˆˆˆybx a =+恒过点(),x y ，但不一定要过样本点，故①错误； 由2 6.635K ≥，得有99%的把握认为两个分类变量有关系，故②正确；2K 的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能说明两个变量不相关，故③错误；(5)0.81P ξ≤=,(5)(3)10.810.19P P ξξ∴>=<-=-=，故④正确；故答案为：②④ 【点睛】本题主要考查了正态分布求指定区间的概率等，属于中等题.17．【解析】根据题意可得解得故的方差解析：34【解析】根据题意可得112p q p q +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得34p =，14q =，故X 的方差()22131131124244D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．18．8【解析】（1）由题意得随机变量的可能取值为012所以（2）由题意可知所以解得所以（3）每次取球时取到红球的概率为黑球的概率为所以服从二项分布即所以解析：358 23 【解析】（1）由题意得，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，()27210C 70C 15P ξ===，()1P ξ=1173210C C 7C 15==， ()23210C 12C 15P ξ===，所以()77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=． （2）由题意可知2,3B n ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，所以()2243n E ξ==，解得36n =，所以()D ξ= 22361833⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭．（3）每次取球时，取到红球的概率为23、黑球的概率为13，所以X 服从二项分布，即23,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()22231333D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．三、解答题19．（1）13；（2）分布列答案见解析，数学期望：4112. 【分析】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ，得到D ABC BC A =+，结合互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，根据互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ， 则()34P A =，()()23P B P C ==， D ABC BC A =+，其中ABC C AB +互斥，,,,,A B C B C 相互独立，从而()()()()322114336P ABC P A P B P C ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭， 则()()()()13P D P ABC ABC P ABC P ABC =+=+=， 所以该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为13. （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5， 则()()()()()3221011143336P X P ABC P A P B P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()3111143312P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=，1211121(2)()()()()()()()4334339P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=，()()()()()()()()321312134334333P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=()()()()()122144339P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,3221(5)()()()()4333P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,该射手的总得分X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012345.3612939312E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤： 理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值； 求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列； 由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.20．（1）选派乙参赛更好，理由见解析；（2）分布列见解析，()25E X =. 【分析】（1）计算出甲、乙两人5次测试的成绩的平均分与方差，由此可得出结论；（2）由题意可知，随机变量X 的取值有0、1、2，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可计算得出()E X . 【详解】（1）甲5次测试成绩的平均分为555876889236955x ++++==甲，方差为22222213693693693693695704555876889255555525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦甲，乙5次测试成绩的平均分为658287859541455x ++++==乙，方差为22222214144144144144142444658285879555555525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦乙，所以，x x <甲乙，22s s >甲乙，因此，选派乙参赛更好；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2，()24160525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()148125525P X ==⨯⨯=，()2112525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：因此，()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 21．（1）526（人）；（2）83分. 【分析】（1）由题意知9070(90)(2)10P ξ-⎛⎫<=Φ=Φ ⎪⎝⎭，则(90)1(90)P P ξξ=-<可求，结合对应人数可得总人数；（2）假定设奖的分数线为x 分，由题意知7050()10.095110526x P x ξ-⎛⎫=-Φ== ⎪⎝⎭，查表得x 值.【详解】 （1）由题意知9070(90)1(90)11(2)10.97720.022810P P ξξ-⎛⎫=-<=-Φ=-Φ=-= ⎪⎝⎭，故此次参赛的学生总数约为125260.0228≈（人）．（2）假定设奖的分数线为x 分，由题意知7050()1()10.095110526x P x P x ξξ-⎛⎫=-<=-Φ== ⎪⎝⎭， 即700.904910x -⎛⎫Φ=⎪⎝⎭，查表得70 1.3110x -=， 解得83.1x =，故设奖的分数线约为83分．【点睛】本题关键在于正确理解正态分布概率计算公式及运用. 22．（1）240人；（2）分布列见解析，2；（3）2212s s >. 【分析】（1）由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，把频率当概率可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0，1，2，3，4；利用组合知识，由古典概型公式计算可得X =0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X 的分布列；（3）根据折线图，看出男生、女生的学习时间的集中与分散程度，根据方差的实际意义可得答案． 【详解】(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×1220=240. (2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4， 故X 的所有可能取值为0，1，2，3，4. 由题意可得P (X=0)=4448170C C =，P (X=1)=1344481687035C C C ==， P (X=2)=22444836187035C C C ==， P (X=3)=3144481687035C C C ==， P (X=4)=4448170C C =.∴均值E (X )=0×170+1×835+2×1835+3×835+4×170=2.(3)由折线图可得2212s s >. 【点睛】方法点睛：本题考查了折线统计图和超几何分布，考查了离散型随机变量分布列和数学期望的计算，求解离散型随机变量分布列的步骤是： 首先确定随机变量X 的所有可能取值；计算X 取得每一个值的概率，可通过所有概率和为1来检验是否正确； 进行列表，画出分布列的表格；最后扣题，根据题意求数学期望或者其它． 23．（1）17.4；（2）0.94. 【分析】（1）利用每一个小矩形的面积乘以对应的底边中点的横坐标之和即为x ；（2）先计算第一次注射疫苗后产生抗体的概率()()14.77P x P x μσ≥=≥-，即可计算第一次注射疫苗后100只小白鼠中产生抗体的数量，加上第二次注射疫苗10只小白鼠又产生了抗体，可以得出两次注射疫苗产生抗体的总数，即可求概率. 【详解】（1）0.021220.061420.141620.181820.05202x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.032220.0224217.4+⨯⨯+⨯⨯= （2）17.40 2.6314.77μσ-=-=∴()10.68270.68270.84142P x μσ-≥-=+= 记事件A 表示首先注射疫苗后产生抗体，则()()()14.770.8414P A P x P x μσ=≥=≥-=，因此100只小鼠首先注射疫苗后有1000.841484⨯≈只产生抗体，有1008416-=只没有产生抗体．故注射疫苗后产生抗体的概率84100.94100P +==. 【点睛】 结论点睛：频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算， ①直方图中各个小长方形的面积之和为1； ②直方图中每组样本的频数为频率乘以总数； ③最高的小矩形底边中点横坐标即是众数； ④中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；⑤平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 24．（1）18；（2）分布列见解析，()72E X =.【分析】（1）先分析出甲只获胜一局的所有情况，然后根据对应的情况去计算概率；（2）先分析X 的可能取值，然后根据取值列出对应的比赛获胜情况，由此计算出对应的概率，可得X 的分布列，根据分布列可计算出数学期望.【详解】（1）因为比赛结束时甲只获胜一局，所以一共比赛了4局，且甲在第1局或第2局赢了，当甲在第1局赢了，则乙在后面3局都赢了，此事件的概率为：31112216⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，当甲在第2局赢了，则乙在第1,3,4局赢了，此事件的概率为：2111122216⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭，记“比赛结束时甲只获胜一局”为事件A ，则()112168P A =⨯=； （2）根据条件可知：X 可取2,4,6，当2X =时，包含甲或乙前2局连胜，此时2种情况：{甲，甲}，{乙，乙}；当4X =时，包含甲或乙前2局赢了1局，后2局都没赢，此时4种情况：{甲，乙，乙，乙}，{乙，甲，乙，乙}，{乙，甲，甲，甲}，{甲，乙，甲，甲}（大括号中，按顺序为各局的获胜者）；()2112222P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()4114424P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()()()161244P X P X P X ==-=-==， 所以X 的分布列为：所以()2462442E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点睛：求离散型随机变量X 的数学期望的一般步骤： （1）先分析X 的可取值，根据可取值求解出对应的概率； （2）根据（1）中概率值，得到X 的分布列；（3）结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出X 的数学期望. 25．（1）23；（2）227；（3）43. 【分析】（1）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率； 方法二：用排列组合数表示；（2）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率；方法二：用排列组合数表示；（3）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率；方法二：用排列组合数表示；【详解】解：方法一：记三个球分别为①，②，③，试验的全部基本事件如下表：共27种.根据古典概型公式()182 273P A==.（2）记“三只小球在三个不同盒子中，且每只球的编号与所在盒子编号不同”为事件B，事件B包含的基本事件数有2种.根据古典概型公式2 ()27 P B=.（3）X的可能取值为1，2，3.。

一、选择题1．已知随机变量X 的分布列则对于任意01a b c <<<<，()E X 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭2．随机变量ξ的分布列如表所示，若1()3E X =-，则(31)D X +=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73．随机变量X 的概率分布为()()()1,2,31aP X n n n n ===+，其中a 是常数，则()E aX =（ ）A ．3881B ．139C ．152243D ．52274．从一个装有3个白球，3个红球和3个蓝球的袋中随机抓取3个球，记事件A 为“抓取的球中存在两个球同色”，事件B 为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率()|P B A =（ ） A ．37B ．1237C ．1219D ．16215．先后抛掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为4x y +>，事件B 为x y ≠，则概率()|P B A =（ ）A ．45B ．56C ．1315D ．2156．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A 为4名同学所报项目各不相同”,事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则(|)P B A =（ ） A ．14B ．34C ．29D ．597．甲、乙、丙三人每人准备在3个旅游景点中各选一处去游玩，则在“至少有1个景点未被选择”的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是（ ） A ．17B ．18C ．114D ．3148．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（ ）A ．1320B ．920C ．15D ．1209．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q+的最小值为（ ） A ．2B ．52C ．94D ．410．已知一组数据12,,,n x x x 的平均数3x =，方差24s =，则数据1232,32,,32n x x x +++的平均数、方差分别为（ ）A ．9,12B ．9,36C ．11,12D ．11,3611．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为（ ） A ．8225B ．12C ．34D ．3812．已知2~(1,)X N σ，(03)0.7P X <≤=，(02)0.6P X <≤=，则(3)≤=P X （ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.9二、填空题13．中国福利彩票3D 游戏(以下简称3D )，是以一个3位自然数(如：0记作000)为投注号码的彩票.投注者从000~999这些3位自然数中选择一个进行投注，每注2元，如果与官方公布的三位数相同，则视为中奖，获得奖金1000元，反之则获得奖金0元.某人随机投了一注，他的奖金的期望是______元.14．一位篮球运动员投篮一次得3分概率为a ，得2分概率为b ，不得分概率为c ，(),,0,1a b c ∈.若他投篮一次得分的期望为1，则12a b+的最小值为______.15．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率(A |B)P 等于______.16．一次英语测验由50道选择题构成,每道题有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,每个选对得3分,选错或不选均不得分,满分150.某学生选对每一道题的概率均为0.7,则该生在这次测验中的成绩的期望是__________17．下表是随机变量X 的分布列，其中a ，b ，c 成等比数列，23a c b +=，且a ，b ，c 互不相等.则()D X =__________．18．袋中有20个大小相同的球,其中标号为0的有10个,标号为(1,2,3,4)n n =的有n 个.现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.若2,()1a E ηξη=-=,则()D η的值为_____.参考答案三、解答题19．某班级以“评分的方式”鼓励同学们以骑自行车或步行方式“绿色出行”，培养学生的环保意识．“十一黄金周”期间，组织学生去A 、B 两地游玩，因目的地A 地近，B 地远，特制定方案如下：若甲同学去A 地玩，乙、丙同学去B 地玩，选择出行方式相互独立． （1）求恰有一名同学选择“绿色出行”方式的概率； （2）求三名同学总得分X 的分布列及数学期望EX ．20．某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同. （1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）21．某企业为了解职工A 款APP 和B 款APP 的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表：男职工女职工使用不使用 使用 不使用 A 款APP72人 48人 40人 80人 B 款APP60人60人84人36人（1）分别估计该企业男职工使用A 款APP 的概率､该企业女职工使用A 款APP 的概率； （2）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用A 款APP 的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（3）据电商行业发布的市场分析报告显示，A 款APP 的用户中男性占52.04%､女性占47.96%；B 款APP 的用户中男性占38.92%､女性占61.08%.试分析该企业职工使用A 款APP 的男､女用户占比情况和使用B 款APP 的男､女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男､女用户占比情况更相符.22．在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中，大赛分预赛与复赛两个环节．预赛有4000人参赛．先从预赛学生中随机抽取100人成绩得到如下频率分布直方图：（1）若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，求至少1人成绩不低于80分的概率；（2）由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可以近似为100名学生的预赛平均成绩，2362σ=，试估计全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数；（3）预赛成绩不低于91分的学生可以参加复赛．复赛规则如下：①每人复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量()1n n >，每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格，规定回答第()1,2,,k k n =题时扣掉0.2k 分；③每答对一题加2分，答错既不加分也不扣分；④答完n 题后参赛学生的最后分数即为复赛分数．已知学生甲答对每题的概率为0.75，且各题答对与否相互独立，若甲期望得到最佳复赛成绩，则他的答题数量n 应为多少？19≈，若()2~,z Nμσ，则()0.6826P x μσμσ-<≤+=，()220.9544P x μσμσ-<≤+=，()330.9974P x μσμσ-<≤+=）．23．学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A 、B 两个靶子进行射击，先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B 靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分．甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A 靶射击，命中的概率是23；向B 靶射击，命中的概率为34．假设甲同学每次射击结果相互独立． （1）求甲同学恰好命中一次的概率；（2）求甲同学获得的总分X 的分布列及数学期望．24．假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，试求： （1）先取出的零件是一等品的概率； （2）两次取出的零件均为一等品的概率．25．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有()|P A C 0.95=，()|0.95P A C =.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即()0.005P C =，试求()|P C A .26．共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下一个很好的发展商机.某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品.市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎，一般使用共享电动车的概率为23，使用共享单车的概率为13.该公司为了促进大家消费，使用共享电动车一次记2分，使用共享单车一次记1分.每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立. （1）从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）记某一市民已使用该公司共享交通工具的累计得分恰为n 分的概率为n B (比如：1B 表示累计得分为1分的概率，2B 表示累计得分为2分的概率，n *∈N )，试探求n B 与1n B -之间的关系，并求数列{}n B 的通项公式.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由题易得222()E X a b c =++，结合题中条件再由基本不等式可得2222()133a b c a b c ++++>=，即1()3E X >；再由2222()2()12()1a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=++-++=-++<，即()1E X <，最后得出()E X 的取值范围. 【详解】由随机变量的期望定义可得出222()E X a b c =++， 因为01a b c <<<<，且1a b c ++=，所以222222222a b aba c acbc bc ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，三式相加并化简可得222a b c ab bc ac ++>++，故2222222222()2222()3()a b c a b c ac bc ab a b c ac bc ab a b c ++=+++++=+++++<++，即2222()133a b c a b c ++++>=，所以2()1()33a b c E X ++>=，又因为2()()2()12()1E X a b c ab bc ca ab bc ca =++-++=-++<，所以1()13E X <<. 故选：B . 【点睛】本题考查随机变量的期望，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.2．B解析：B 【分析】 由于()13E X =-，利用随机变量的分布列列式，求出a 和b ，由此可求出()D X ，再由()(319)X D D X +=，即可求出结果.【详解】 根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=， ()13E X =-，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=，()22211111151013233369X D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()59959(31)D D X X ==⨯+=， ∴5(31)D X +=.故选：B. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列､数学期望等知识，考查运算求解能力.3．D解析：D 【分析】根据裂项相消法以及概率的性质求出a ，再得出()E X ，最后由()()E aX aE X =得出答案. 【详解】()()11a a aP X n n n n n ===-++(1)(2)(3)1P X P X P X =+=+== 122334a a a a a a ∴-+-+-=，解得43a =则221(1),(2),(3)2369129a a a P X P X P X ========= 62113()1239999E X ∴=⨯+⨯+⨯=452()()392137E aX aE X ∴==⨯=故选：D 【点睛】本题主要考查了随机变量分布列的性质以及均值的性质，属于中档题.4．C解析：C 【分析】根据题意，求出()P A 和()P AB ，由公式()()()|P AB P B A P A =即可求出解答.【详解】解：因为事件A 为“抓取的球中存在两个球同色”包括两个同色和三个同色，所以()213363393357198428C C C P A C +=== 事件A 发生且事件B 发生概率为：()12213336392363847C C C C P AB C +=== 故()()()3127|191928P AB P B A P A ===. 故选：C. 【点睛】本题考查条件概率求法，属于中档题.5．C解析：C 【分析】分别得到所有基本事件总数、4x y +>的基本事件个数、满足4x y +>且x y ≠的基本事件个数，根据古典概型概率公式计算可得()P AB 和()P A ；由条件概率公式计算可得结果. 【详解】先后抛掷骰子两次，正面朝上所得点数(),x y 的基本事件共有6636⨯=个 则4x y +≤的有()1,1、()1,2、()2,1、()2,2、()1,3、()3,1，共6个基本事件4x y ∴+>的基本事件共有36630-=个，其中x y =的有()3,3、()4,4、()5,5、()6,6，共4个∴满足4x y +>且x y ≠的基本事件个数为30426-=个()26133618P AB ∴==，()30153618P A == ()()()131318151518P AB P B A P A ∴=== 故选：C【点睛】本题考查条件概率的计算问题，涉及到古典概型概率问题的求解；关键是能够准确计算基本事件总数和满足题意的基本事件的个数.6．A解析：A 【分析】确定事件AB ，利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概型的概率公式可计算出()P B A 的值. 【详解】事件AB 为“4名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()3344A P AB =，()4444A P A =，()()()3434444144P AB A P B A P A A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题．7．A解析：A 【分析】设事件A 为：至少有1个景点未被选择，事件B 为：恰有2个景点未被选择,计算()P AB 和()P A ,再利用条件概率公式得到答案.【详解】设事件A 为：至少有1个景点未被选择，事件B 为：恰有2个景点未被选择331()39P AB == 3337()139A P A =-=()1()()7P AB P B A P A == 故答案选A 【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生对于条件概率的理解和计算.8．C解析：C 【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B ，利用二项分布的知识计算出()P A ，再计算出()P AB ，结合条件概率公式求得结果. 【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B则()2323332122033327P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()122433327P AB =⨯⨯=()()()15P AB P B A P A ∴==本题正确选项：C 【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.9．C解析：C 【分析】根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到11p q+的最小值.【详解】离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p ，，所以有()4E X np ==，()()1D X q np p ==-（，所以44p q +=，即14qp +=，（0p >，0q >） 所以11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 5592144444q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭， 当且仅当423q p ==时取得等号．故选C ． 【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题． 10．D解析：D 【解析】分析：由题意结合平均数，方程的性质即可求得新数据的平均数和方差. 详解：由题意结合平均数，方程的性质可知： 数据1232,32,,32n x x x +++的平均数为：3211x +=，方差为22336s ⨯=.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查平均数的性质，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．D解析：D 【解析】分析：根据条件概率求结果.详解：因为在下雨天里，刮风的概率为既刮风又下雨的概率除以下雨的概率，所以在下雨天里，刮风的概率为13104815=， 选D.点睛：本题考查条件概率，考查基本求解能力.12．D解析：D 【解析】分析：根据随机变量X 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得()3P X ≤．详解：由题意230.70.60.1P x =-=，（＜＜） ， ∵随机变量()2~1,X N σ，(02)0.6P X <≤=，(12)0.3P X <≤=∴()130.30.10.4,P X <≤=+=30.40.50.9P X =+=（＜）， 故选D ．点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．二、填空题13．1【分析】求出此人中奖和不中奖的概率利用期望的公式即可求得数学期望得到答案【详解】由题意此人中奖的概率为不中奖的概率为所以此人随机投注一次他的奖金的期望为：元故答案为：1【点睛】本题主要考查了离散型解析：1 【分析】求出此人中奖和不中奖的概率，利用期望的公式，即可求得数学期望，得到答案. 【详解】由题意，此人中奖的概率为11000，不中奖的概率为9991000，所以此人随机投注一次，他的奖金的期望为：199910000110001000⨯+⨯=元. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的数学期望的求法，其中解答中正确理解题意，求得此人中奖和不中奖的概率，结合期望的计算公式求解是解答的关键，属于基础题.14．；【分析】推导出从而利用基本不等式能求出的最小值【详解】一位篮球运动员投篮一次得3分概率为得2分概率为不得分概率为他投篮一次得分的期望为1当且仅当时取等号的最小值为故答案为：【点睛】本题考查代数式的解析：7+； 【分析】推导出321a b +=，从而121262()(32)7a b a b a b a b b a+=++=++，利用基本不等式能求出12a b +的最小值． 【详解】一位篮球运动员投篮一次得3分概率为a ，得2分概率为b ， 不得分概率为c ，a ，b ，(0,1)c ∈，他投篮一次得分的期望为1， 321a b ∴+=，∴1212626()(32)7727a b a a b a b a b b a b +=++=+++=+ 当且仅当62a bb a=时取等号，∴12a b+的最小值为7+．故答案为：7+ 【点睛】本题考查代数式的最小值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．【分析】本题利用条件概率公式求解【详解】至少出现一个5点的情况有：至少出现一个5点的情况下三个点数之和等于15有一下两类：①恰好一个5点则另两个点数只能是4和6共有；②恰好出现两个5点则另一个点数也 解析：113【分析】本题利用条件概率公式()(|)()n AB P A B n B =求解． 【详解】至少出现一个5点的情况有：336591-=，至少出现一个5点的情况下，三个点数之和等于15有一下两类：①恰好一个5点，则另两个点数只能是4和6，共有11326C C ⨯=；②恰好出现两个5点，则另一个点数也只能是5点，共有1种情况．()611(|)()9113n AB P A B n B +∴===，故答案为：113. 【点睛】本题考查条件概率的公式，需要求出基本事件的个数，运用正难则反的思想．16．105【解析】分析：先判断概率分别为二项分布再根据二项分布期望公式求结果详解：因为所以点睛：解析：105. 【解析】分析：先判断概率分别为二项分布，再根据二项分布期望公式求结果. 详解：因为(150,0.7)x B ~，所以1500.7105.Ex =⨯= 点睛：(,),(),()(1).x B n p E X np V X np p ~==-17．【解析】分析：由题意首先求得实数abc 的值然后利用期望公式求得期望值最后结合求得的期望值求解方差即可详解：由题意可得：解得：或互不相等则：分布列为： 故其方差为：点睛：本题主要考查 解析：5249【解析】分析：由题意首先求得实数a ,b ,c 的值，然后利用期望公式求得期望值，最后结合求得的期望值求解方差即可.详解：由题意可得：2231b ac a c b a b c ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩，解得：131313a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩或472717a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩.a ，b ，c 互不相等，则：421,,777a b c ===，分布列为：故()0777E X =-++=-，其方差为： ()2222422215210277777749D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.点睛：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差的计算及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【解析】根据题意得出随机变量ξ的分布列： 0 1 2 3 4 P ∵∴即a=2∴∵故答案为11 解析：11【解析】根据题意得出随机变量ξ的分布列：()01234220102052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ，∵2,()1a E ηξη=-= ，∴3122a =⨯- ， 即a=2，∴22,()1E ηξη=-= ，22222131113331311()234222021022020524D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，∵11()4()4114D D ηξ==⨯= . 故答案为11.三、解答题19．（1）736；（2）分布列见解析，1225=EX ． 【分析】（1）分析恰有一个同学选择“绿色出行”方式的情况，利用相互独立事件的概率计算公式求解；（2）根据题意得，X 的所有可能取值为0，1，2，3，分别计算概率，列出分布列，代入公式求解EX . 【详解】（1）恰有一名同学选择绿色出行方式的概率2123111274343336P C ⎛⎫=⋅+⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭．（2）根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，根据事件的独立性和互斥性得：1111(0)43336P X ==⨯⨯=；1231112173(1)4334363==⨯⨯+⨯⨯⨯=P X C ；21221124(2)4393343⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭P X C ；3221(3)4333==⨯⨯=P X ．故X 的分布列为：所以360123369312=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ． 【点睛】本题考查了随机变量分布列问题，一般列分布列时先判断变量的可能取值，遇到比较复杂的情况可以采用列表格的方式能更直观的判断出可能取值有哪些，然后计算不同取值下的概率，需要分析清楚不同取值对应的所有情况，注意是二项分布还是超几何分布问题. 20．（1）12；（2）分布列见解析；（3）15次. 【分析】（1）利用组合数公式和古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）由题意可知，34,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量ξ的分布列； （3）根据独立重复试验的概率公式可得出结论. 【详解】（1）一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球，相当于从3个红球中摸出2个红球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为232412C P C ==；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，则每次摸到红球的概率均为34， 这样摸球4次，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以，()4110=4256P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()3143131=4464P C ξ⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，()22243127244128P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()334312734464P C ξ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()438144256P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭. 因此，随机变量ξ的分布列如下表所示：【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.21．（1）13；（2）分布列答案见解析，数学期望：1415；（3）该企业职工使用B APP 的情况与官方发布的男､女用户情况更相符 【分析】（1）根据题中数据，用频率估计概率，即可求出；（2）先确定X 的取值，再计算出对应的概率，即求出X 的分布列及数学期望；（3）分别计算出A 款，B 款APP 的男､女用户总人数，再计算对应的男用户，女用户的概率，再根据题意判断即可. 【详解】解：（1）由所给数据可知，男职工使用A 款APP 的人数为72， 用频率估计概率，可得男职工使用京东APP 的概率约为7231205=， 同理，女职工使用A 款APP 的概率约为4011203=； （2）X 的可能取值为0，1，2，()3140115315P X ⎛⎫⎛⎫∴==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()31318111535315P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3112535P X ==⨯=.∴X 的分布列为：X 的数学期望()0121515515E X =⨯+⨯+⨯=； （3）样本中，A 款APP 的男､女用户为7240112+=(人)，其中男用户占7264.3112≈%；女用户占4035.7112≈%， 样本中，B 款APP 的男､女用户为6084144+=(人)，其中男用户占6041.7144≈%；女用户占8458.3144≈%， ∴该企业职工使用B APP 的情况与官方发布的男､女用户情况更相符.【点睛】 思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）. 22．（1）813，（2）91，（3）若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量n 应该是7． 【分析】（1）求出样本中成绩不低于60分的学生共有40人，其中成绩不低于80分的人数为15人，由此能求出至少有1人成绩不低于80分的概率．（2）样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：53，则53μ=，由2362σ=，得19σ=，从而(91)(2)P Z P Z μσ=+，由此能求出估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数．（3）以随机变量ξ表示甲答对的题数，则~(,0.75)B n ξ，求出E ξ，记甲答完n 题所加的分数为随机变量X ，则2X ξ=，求出EX ，为了获取答n 题的资格，甲需要扣掉的分数为：20.1()n n +，设甲答完n 题的分数为()M n ，则2()1000.1() 1.5M n n n n =-++，由此能求出学生甲期望获得最佳复赛成绩的答题量n 的值． 【详解】解：（1）样本成绩不低于60分的学生有()0.01250.00752010040+⨯⨯=人 其中成绩不低于80分的有0.00752010015⨯⨯=人则至少有1人成绩不低于80分的概率2252408113C P C =-=（2）由题意知样本中100名学生成绩平均分为100.1300.2500.3700.25900.1553⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以53μ=，2362σ=，所以19σ=所以()~53,362Z N ，则()()()191210.95440.02282P Z P Z μσ≥=≥+≈-= 故全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数为0.022*******⨯≈人 （3）以随机变量ξ表示甲答对的题数，则~(,0.75)B n ξ，且0.75E n ξ=， 记甲答完n 题所加的分数为随机变量X ，则2X ξ=， 2 1.5EX E n ξ∴==，依题意为了获取答n 题的资格，甲需要扣掉的分数为：20.2(123)0.1()n n n ⨯+++⋯+=+， 设甲答完n 题的分数为()M n ，则22()1000.1() 1.50.1(7)104.9M n n n n n =-++=--+，由于*n N ∈，∴当7n =时，()M n 取最大值104.9，即复赛成绩的最大值为104.9．∴若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量n 应该是7．【点睛】本题考查概率、频数、数学期望的求法及应用，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力． 23．（1）16；（2）分布列见解析；期望为20348． 【分析】（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C ，“甲射击命中A 靶”为事件D ，“甲第一次射击B 靶命中”为事件E ，“甲第二次射击B 靶命中”为事件F ，然后利用互斥事件概率的求解方法求解即可.（2）随机变量X 的可能取值为：0，1，2，3，5，6，求出概率，列出分布列，然后求解期望. 【详解】（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C ，“甲射击命中A 靶”为事件D ，“甲第一次射击B 靶命中”为事件E ，“甲第二次射击B 靶命中”为事件F ，由题意可知()23P D =，()()34P E P F ==．由于C DEF DEF DEF =++，()()21111313134434413446P C P DEF DEF DEF =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）随机变量X 的可能取值为：0，1，2，3，5，6．()1111034448P X ==⨯⨯=()2111134424P X ==⨯⨯=()12113123448P X C ==⨯⨯⨯=()12231334144P X C ==⨯⨯⨯=()1333534416P X ==⨯⨯=()233363448P X ==⨯⨯=()48E X =． 【点睛】 关键点点睛：古典概型及其概率计算公式的应用，求离散型随机变量的分布列及其期望的求法，解题的关键为正确求出X =0，1，2，3，5，6，所对应的概率. 24．（1）715；（2）0.22. 【分析】（1）记事件=i A “任取的一箱为第i 箱零件”，则1i =、2、3，记事件j B =“第j 次取到的是一等品”，则1j =、2，利用条件概率和全概率公式可求得所求事件的概率； （2）求出()121P B B A 、()122P B B A 、()123P B B A ，利用全概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）记事件=i A “任取的一箱为第i 箱零件”，则1i =、2、3， 记事件j B =“第j 次取到的是一等品”，则1j =、2，由题意知1A 、2A 、3A 构成完备事件组，且()()()12313P A P A P A ===， ()11200.450P B A ==，()12120.430P B A ==，()13240.640P B A ==， 由全概率公式得()()()()()()()()1111212313170.40.40.6315P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯++=；（2）因为()22012125038245C P B B A C ==，()21212223022145C P B B A C ==，()2241232402365C P B B A C ==，由全概率公式得()()()()()()()12112121223123P B B P A P B B A P A P B B A P A P B B A =++13822230.22324514565⎛⎫=⨯++≈ ⎪⎝⎭. 【点睛】易错点点睛：本题考查利用条件概率和全概率公式计算事件的概率，解本题的关键在于确定一等品是从哪个箱子里取出的，再结合相应的知识求解.25．19218【分析】根据条件概率和全概率公式可求得结果. 【详解】因为()|0.95P A C =，所以()|1P A C =-()|0.05P A C =， 因为()0.005P C =，所以()0.995P C =，所以由全概率公式可得()()()()()||P A P A C P C P A C P C =⋅+⋅， 因为()P AC =()|P C A ()P A ()()|P A C P C = 所以()|P C A ()()()|()0.950.005190.950.0050.050.995218|()|()P A C P C P A C P C P A C P C ⨯===⨯+⨯+.【点睛】关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键. 26．（1）分布列答案见解析，数学期望：5；（2）1213n n B B -=-+，13425153n n B -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据题意，得到总得分为随机变量ξ的可能取值为3,4,5,6，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求得其数学期望；（2）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得出1213n n B B -+=，结合等比数列的定义，得到35n B ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，则总得分为随机变量ξ的可能取值为3,4,5,6， 则3311(3)C 327P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，12132162(4)C 33279P ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 122312124(5)C 33279P ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33328(6)C 327P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以ξ的分布列为所以数学期望8()34565279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分， 再得2分，概率为123n B -，其中113B =. 因为1213n n B B -+=，即1213n n B B -=-+，所以1323535n n B B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 则35n B ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为134515B -=-，公比为23-的等比数列， 所以13425153n n B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以13425153n n B -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.【点睛】 求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤：理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值；求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.。

离散型随机变量及其分布列测试题一、选择题：1、如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. X 取每一个可能值的概率都是非负数；B. X 取所有可能值的概率之和为1；C. X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D . X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2、甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响.设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则==)(k P ξA.4.06.01⨯-k B.76.024.01⨯-k C.6.04.01⨯-k D.24.076.01⨯-k3、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（ ）A. 4B. 6 C . 10 D. 无法确定4、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ）A. 一枚是3点，一枚是1点B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点 D . 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点5．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的6. 如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为A.3 B .5 C.6 D.107.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ，则⎥⎦⎤ ⎝⎛π∈θ20，的概率是A.125 B.21 C .127 D.65 8.设随机变量ξ的分布列为)5,4,3,2,1(15)(===k k k P ξ，则)2521(<<ξP 等于（ ）A.21B.91C. 61D.51 9.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为: A.41004901C C -B.4100390110490010C C C C C + C.4100110C C D.4100390110C C C .10.位于坐标原点的一个质点P ，其移动规则是：质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是21．质点P 移动5次后位于点（2，3）的概率是： A.5)21( B .525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C11.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是A. 0．216B.0．36C.0．432 D .0．648 5.把一枚质地不均匀．．．．．的硬币连掷5次，若恰有一次正面向上的概率和恰有两次正面向上的概率相同（均不为0也不为1），则恰有三次正面向上的概率是: A ．40243 B ．1027C ．516 D ．1024312.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于: A9160 B 21 C 185 D 2169113.从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是:A ．95B ．94 C ．2111 D ．2110 14.从甲口袋摸出一个红球的概率是31，从乙口袋中摸出一个红球的概率是21，则32是A ．2个球不都是红球的概率 B. 2个球都是红球的概率C ．至少有一个个红球的概率 D. 2个球中恰好有1个红球的概率 15.通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时发生错误的概率是101，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为: A ．1001 B ．2507 C ．2501 D ．10001 16. .已知随机变量ξ的分布列为：若12)(2=<x P ξ，则实数x 的取值范围是（ ）A.94≤<xB.94<≤xC.94≥<x x 或D.94>≤x x 或17. 12.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则==)12(ξP （ ）A.2101012)85()83(⋅C B .83)85()83(29911⨯C C.29911)83()85(⋅C D. 29911)85()83(⋅C18. 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）（A ）175 （B ） 275 （C ）375 （D ）475二、填空题：19.若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_____20. 如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________．解：由题，因为()p n B ,~ξ且ξ取不同值时事件互斥，所以，[][]n n n n n n n n n p p q p q q p C q p C q p C P P P P )21(121)()(21)4()2()0(44422200-+=-++=+++=+=+=+==-- ξξξ．（因为1=+q p ，所以p p q 21-=-）21.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9 .她连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是30.90.1⨯；③他至少击中目标1次的概率是410.1-.其中正确结论的序号是 ①③ __（写出所有正确结论的序号）. 22.对有n (n ≥4)个元素的总体{}1,2,,n 进行抽样，先将总体分成两个子总体{}1,2,,m 和{}1,2,,m m n ++ (m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ;4()m n m -三、解答题：23、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．24.一个口袋中装有n 个红球（5n ≥且n N ∈）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（Ⅰ）试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；（Ⅱ）若5n =，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ．当n 取多少时，P 最大？24.（Ⅰ）一次摸奖从5n +个球中任选两个，有25n C +种，它们等可能，其中两球不同色有115n C C 种，一次摸奖中奖的概率10(5)(4)np n n =++．（Ⅱ）若5n =，一次摸奖中奖的概率59p =,三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是:123380(1)(1)243P C p p =⋅⋅-=． （Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为123233(1)(1)363P P C p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，2'91233(1)(31)P p p p p =-+=--，知在1(0,)3上P 为增函数，在1(,1)3上P 为减函数，当13p =时P 取得最大值．又101(5)(4)3n p n n ==++,解得20n =．25. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31.(1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.•（1）X 的分布列为P （X=k ）=·，k=0，1，2，3，4，5，6.（2）Y 的概率分布为：Y 0 1 2 3P·· ·Y 4 5 6P··（3）0.912 解析:（1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，故X～B（6，）， 2分所以X的分布列为P（X=k）=·，k=0，1，2，3，4，5，6. 5分（2）由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5.其中：{Y=k}（k=0，1，2，3，4，5）表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k+1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算.P（Y=k）=·（k=0，1，2，3，4，5），而{Y=6}表示一路没有遇上红灯，故其概率为P（Y=6）=.8分因此Y的概率分布为：Y 0 1 2 3P···Y 4 5 6P··12分（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为 {X≥1}={X=1或X=2或…或X=6}， 14分 所以其概率为P （X≥1）==1-=≈0.912. 16分20．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为多少21、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X .22．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的分布列．高中数学系列2—3单元测试题（2.1）参考答案一、选择题：1、D2、B3、C4、D5、C6、B7、C8、B二、填空题： 18、 20三、解答题：18、解：设黄球的个数为n ，由题意知 绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴ 44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==． 所以从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为X 10 －1 P74 71 72 19、解从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C 310=120，而“至少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即C 25+C 9033351822172315=++⋅+⋅⋅C C C C C C （种）.所以，所求概率为.4312090= 20解P （A ）=112211122232562122326=⨯⨯-⨯=-C C C .21、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为X 24 8 16 ．．．n 2 ．．． P21 4181 161 ．．． n 21 ．．．∴ (10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++．22. [解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34，X 的分布列为： X 1 2 P3414。

高中新课标选修（2-3）第二章随机变量及其分布测试题一、选择题1．将一枚均匀骰子掷两次，下列选项可作为此次试验的随机变量的是（）Ａ．第一次出现的点数Ｂ．第二次出现的点数Ｃ．两次出现点数之和Ｄ．两次出现相同点的种数答案：C2．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么310为（）Ａ．恰有1只坏的概率Ｂ．恰有2只好的概率Ｃ．4只全是好的概率Ｄ．至多2只坏的概率答案：BX表示击中目标的次数，则(2)P X≥等于（）Ａ．81125Ｂ．54125Ｃ．36125Ｄ．27125答案：A4．采用简单随机抽样从个体为6的总体中抽取一个容量为3的样本，则对于总体中指定的个体a，前两次没被抽到，第三次恰好被抽到的概率为（）Ａ．12Ｂ．13Ｃ．15Ｄ．16答案：D5．设~(100.8)X B，，则(21)D X+等于（）答案：Ｃ6．在一次反恐）答案：Ｄ7．设1~24X N⎛⎫-⎪⎝⎭，，则X落在(][)3.50.5---+，，∞∞内的概率是（）Ａ．95.4%Ｂ．99.7%Ｃ．4.6%Ｄ．0.3%答案：Ｄ8．设随机变量X0 1 2 30．1 0．10.2-0.4-答案：Ｃ9．任意确定四个日期，设X表示取到四个日期中星期天的个数，则DX等于（）Ａ．67Ｂ．2449Ｃ．3649Ｄ．4849答案：Ｂ10．有5支竹签，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3支，以X表示取出竹签的最大号码，则EX 的值为（ ）Ａ．4 Ｄ．5 答案：Ｂ11．袋子里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15支，白色手套10只，现从中随机地取出2只手套，如果2只是同色手套则甲获胜，2只手套颜色不同则乙获胜．试问：甲、乙获胜的机会是（ ）Ａ．甲多 Ｂ．乙多 Ｃ．一样多 Ｄ．不确定 答案：Ｃ，节日期间这种鲜花的需求量X 服从如下表所示的分布：200 300 400 5000．200．350．30 0．15若进这种鲜花500束，则利润的均值为（ ）Ａ．706元 Ｂ．690元 Ｃ．754元 Ｄ．720元答案：Ａ 二、填空题13．事件A B C ，，相互独立，若111()()()688P A B P B C P A B C ===，，····，则()P B = ．答案：1214．设随机变量X 等可能地取1，2，3，…，n ，若(4)0.3P X <=，则EX 等于 ． 15．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是 ．答案：215⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 16．某公司有5万元资金用于投资开发项目．如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%．下表是过去200例类似项目开发的实施结果． 则该公司一年后估计可获收益的均值是 元． 答案：4760 三、解答题17．掷3枚均匀硬币一次，求正面个数与反面个数之差X 的分布列，并求其均值和方差．解：3X =-，1-，1，3，且1111(3)2228P X =-=⨯⨯=；213113(1)228P X C ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭，213113(1)228P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；1111(3)222P X ==⨯⨯=，1303EX DX ==，∴18．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求（1）恰有1人译出密码的概率；（2）若达到译出密码的概率为99100，至少需要多少乙这样的人． 解：设“甲译出密码”为事件A ；“乙译出密码”为事件B ， 则11()()34P A P B ==，．（1）13215()()343412P P A B P A B =+=⨯+⨯=··．（2）n 个乙这样的人都译不出密码的概率为114n⎛⎫- ⎪⎝⎭．199114100n⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴≥．解得17n ≥．达到译出密码的概率为99100，至少需要17人. 19．生产工艺工程中产品的尺寸偏差2(mm)~(02)X N ，，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4mm 的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于80%的概率． 解：由题意2~(02)X N ，，求得(4)(44)0.9544P X P X =-=≤≤≤． 设Y 表示5件产品中合格品个数，则~(50.9544)Y B ，．0.18920.79190.981≈+≈．20．甲、乙、丙三名射击选手，各射击一次，击中目标的概率如下表所示(01)p <<：选手甲乙丙概率若三人各射击一次，恰有k 名选手击中目标的概率记为()0123k P P X k k ===，，，，． (1) 求X 的分布列；（2）若击中目标人数的均值是2，求P 的值．解：（1）201(1)2P p =-；2211111(1)2(1)2222P P p p p =-+-=-+·， 2221112(1)222P p p p p p =-+=-+··，2312P p =， X ∴的分布列为 0123（2）22221111110(1)1232222222EX p p p p p p ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯-++⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222p +=∴，34p =∴．21．张华同学上学途中必须经过A B C D ，，，四个交通岗，其中在A B ，岗遇到红灯的概率均为12，在C D ，岗遇到红灯的概率均为13．假设他在4个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，X 表示他遇到红灯的次数．（1）若3x ≥，就会迟到，求张华不迟到的概率；（2）求EX ． 解：（1）2221122111121(3)232336P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭·····； 22111(4)2336P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭·．故张华不迟到的概率为29(2)1(3)(4)36P X P X P X =-=-==≤． （2）X 的分布列为123411131150123493366363EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴.22．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m 处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150m 处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分．已知射手甲在100m 处击中目标的概率为12，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的． （1）求这位射手在三次射击中命中目标的概率； （2）求这位射手在这次射击比赛中得分的均值． 解：记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A B C ，，，三次都未击中目标为事件D ，依题意1()2P A =，设在x m 处击中目标的概率为()P x ，则2()k P x x =，且212100k=， 5000k =∴，即25000()P x x =， 250002()1509P B ==∴，250001()2008P C ==，17749()298144P D =⨯⨯=． （1） 由于各次射击都是相互独立的，∴该射手在三次射击中击中目标的概率()()()P P A P AB P A B C =++ (11212195)111229298144⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭···． （2）依题意，设射手甲得分为X ，则1(3)2P X ==， 121(2)299P X ==⨯=，1717(1)298144P X ==⨯⨯=，49(0)144P X ==， 117492558532102914414414448EX =⨯+⨯+⨯+⨯==∴．。

第二章 《随机变量及其分布》练习题一、选择题1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )A ．34 B ．38 C ．13 D ．142．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )A ．13 B ．25 C ．56 D ．343．若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )A ．C 810×0.88×0.22B ．C 810×0.82×0.28 C ．0.88×0.22D ．0.82×0.284．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．E (X )D ．2E (X )5．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为( ) A ．0.4 B ．1.2 C ．0.43D ．0.66．已知随机变量ξ的概率分布如下表所示：且η＝2ξ＋3，则E (η)等于( )A.35 B.65 C.215 D.1257．随机变量ξ的分布列为则ξ的数学期望是( )A ．2B ．2.1C ．2.3D ．随m 的变化而变化8．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，则E (－ξ)的值为( ) A.14 B ．－14 C.54 D ．－549．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6 10．设随机变量ξ的分布列如下表：且E (ξ)＝1.6，则a －b 等于( D ．－0.411．设一随机试验的结果只有A 和A 且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m )12．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：D ．无法确定 13．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.614.随机变量X 的分布列如下：若E (X )＝158，则D (X )等于( ) A.732 B.932 C.3364 D.556415．若随机变量ξ的分布列为P (ξ＝m )＝13，P (ξ＝n )＝a ，若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．无法计算16．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( )A ．0.9 B ．0.8 C ．1.2 D ．1.117.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6二、填空题1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为________．2．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X 是取得红球的次数，则E (X )＝________.3．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.4.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.三、解答题1．某师范大学志愿者支教团体有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学系，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个系．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求选出的3名同学来自互不相同的系的概率；（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．2.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34；向乙靶射击一次命中的概率为23，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手进行一次测试，先向甲靶射击两次，若两次都命中，则通过测试；若两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中也可通过测试，其它情况均不能通过测试．(1)求该射手通过测试的概率；(2)求该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列及数学期望．3．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；(2)用X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．4.某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为34、12、13、14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．第二章 《随机变量及其分布》练习题一、选择题1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )A ．34 B ．38 C ．13 D ．14[解析] 抛一枚硬币，正面朝上的概率为12，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为P ＝C 23⎝⎛⎭⎫122×12＝38. 2．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )A ．13 B ．25 C ．56 D ．34[解析] 事件A 在一次试验中发生的概率为p ，由题意得1－C 04p 0(1－p )4＝6581，所以1－p ＝23，p ＝13， 3．若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )A ．C 810×0.88×0.22B ．C 810×0.82×0.28 C ．0.88×0.22D ．0.82×0.28[解析] ∵X ～B (10,0.8)，∴P (X ＝k )＝C k 100.8k (1－0.8)10－k ，∴P (X ＝8)＝C 8100.88·0.22，故选A ． 4．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．E (X )D ．2E (X )[解析] 只要认识到E (X )是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．∵E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，而E (X )为常数，∴E (X －E (X ))＝E (X )－E (X )＝0. [答案] B5．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为( )A ．0.4B ．1.2C ．0.43D ．0.6[解析] ∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴E (X )＝3×0.4＝1.2. [答案] B 6．已知随机变量ξ的概率分布如下表所示：且η＝2ξ＋3，则E (η)等于( )A.35 B.65 C.215 D.125解析：E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝35，E (η)＝E (2ξ＋3)＝2E (ξ)＋3＝2×35＋3＝215.答案：C7．随机变量ξ的分布列为则ξ的数学期望是( )A ．2B ．2.1C ．2.3D ．随m 的变化而变化解析：∵0.2＋0.5＋m ＝1，∴m ＝0.3，∴E (ξ)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.答案：B8．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，则E (－ξ)的值为( )A.14 B ．－14 C.54 D ．－54 解析：∵E (ξ)＝5×14＝54，∴E (－ξ)＝－E (ξ)＝－54，故选D.9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6解析：X 的取值为6,9,12，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.答案：A10．设随机变量ξ的分布列如下表：且E (ξ)＝1.6，则a －b 等于( D ．－0.4解析：根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，0×0.1＋a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3b ＝0.5.所以a －b ＝－0.2.答案C11．设一随机试验的结果只有A 和A 且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m ) 解析：依题意ξ服从两点分布，∴D (ξ)＝m (1－m )，故选D.12．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：A ．甲B ．乙C ．甲、乙均可D ．无法确定解析：E (ξ1)＝E (ξ2)＝1.1，D (ξ1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D (ξ2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D (ξ1)<D (ξ2)，即甲比乙得分稳定，选甲参加较好，故选A.13．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6D ．6和5.6解析：由已知E (ξ)＝10×0.6＝6，D (ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.∵ξ＋η＝8，∴η＝8－ξ.∴E (η)＝－E (ξ)＋8＝2，D (ξ)＝(－1)2D (ξ)＝2.4.答案：B 14.随机变量X 的分布列如下：若E (X )＝158，则D (X )等于( ) A.732 B.932 C.3364 D.5564解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1×0.5＋2x ＋3y ＝158，0.5＋x ＋y ＝1，得⎩⎨⎧x ＝18，y ＝38.所以D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－1582×12＋⎝⎛⎭⎫2－1582×18＋⎝⎛⎭⎫3－1582×38＝5564. 答案：D15．若随机变量ξ的分布列为P (ξ＝m )＝13，P (ξ＝n )＝a ，若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．无法计算解析：由于分布列中，概率和为1，则a ＋13＝1，a ＝23. ∵E (ξ)＝2，∴m 3＋2n3＝2.∴m ＝6－2n .∴D (ξ)＝13×(m －2)2＋23×(n －2)2＝23×(n －2)2＋13×(6－2n －2)2＝2n 2－8n ＋8＝2(n －2)2.∴n ＝2时，D (ξ)取最小值0.答案：A16．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( )A ．0.9 B ．0.8 C ．1.2D ．1.1[解析] X 的取值为0、1、2，P (X ＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3， P (X ＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5， P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴E (X )＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9. [答案] A17.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6[解析] X 的取值为6、9、12，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115. E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8. [答案] A二、填空题1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为________．解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P (X ＝3)＝0.6；P (X ＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P (X ＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P (X ＝0)＝0.43＝0.064.所以E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.2．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X 是取得红球的次数，则E (X )＝________.解析：每一次摸得红球的概率为610＝35，由X ～B ⎝⎛⎭⎫4，35，则E (X )＝4×35＝125. 3．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.解析：由题意设P (ξ＝1)＝p ，则ξ的分布列如下由E (ξ)＝1，可得p ＝35，所以D (ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25. 答案：254.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E (ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．设利润为η，则η＝5ξ＋1.6×(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450， 所以E (η)＝3.4E (ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元)． 三、解答题1．某师范大学志愿者支教团体有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学系，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个系．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求选出的3名同学来自互不相同的系的概率；（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）3A 设“选出的名同学来自互不相同的系”为事件，1203373731049()60C C C C P A C346310()(0,1,2,3)k k c c p xk k c （Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.随机变量X 的分布列为数学期望113161236210305E X ．2.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34；向乙靶射击一次命中的概率为23，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手进行一次测试，先向甲靶射击两次，若两次都命中，则通过测试；若两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中也可通过测试，其它情况均不能通过测试．(1)求该射手通过测试的概率；(2)求该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列及数学期望．[解析] (1)设“该射手通过测试”为事件A ，“向甲靶射击两次都命中”为事件B ，“向甲靶射击两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中”为事件C ．事件B ，C 互斥，且A ＝B ＋C ．所以该射手通过测试的概率P (A )＝P (B )＋P (C )＝⎝⎛⎭⎫342＋C 12·34·⎝⎛⎭⎫1－34·23＝1316. (2)由题意知，X ＝0,1,2. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－342＝116；P (X ＝1)＝C 12·34·⎝⎛⎭⎫1－34·⎝⎛⎭⎫1－23＝18；P (X ＝2)＝P (A )＝1316. 所以该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列为该射手在这次测试中命中的次数X 的数学期望为E (X )＝0×116＋1×18＋2×1316＝74.3．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；(2)用X 表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．[分析] (1)设A 表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，B 表示事件“媒体乙选中3号歌手”，C 表示事件“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P (A )，P (B )，由此利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号歌手且媒体乙未选中3号歌手的概率．(2)先由等可能事件概率计算公式求出P (C )，由已知得X 的可能取值为0,1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列及数学期望．[解析] (1)设A 表示事件“媒体甲选中3号歌手”，B 表示事件“媒体乙选中3号歌手”，C 表示事件“媒体丙选中3号歌手”， P (A )＝C 14C 25＝25，P (B )＝C 24C 35＝35，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )(1－P (B ))＝25×(1－35)＝425.(2)P (C )＝C 25C 36＝12，由已知得X 的可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝P (A B C )＝(1－25)(1－35)(1－12)＝325，P (X ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝25(1－35)(1－12)＋(1－25)×35×(1－12)＋(1－25)(1－35)×12＝1950， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝25×35×(1－12)＋25(1－35)×12＋(1－25)×35×12＝1950，P (X ＝3)＝P (ABC )＝25×35×12＝325，∴X 的分布列为E (X )＝0×325＋1×1950＋2×1950＋3×325＝32.114.某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A 、B 、C 、D 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A 、B 、C 、D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34、12、13、14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] 设A 、B 、C 、D 分别表示甲同学能正确回答第一、二、三、四个问题的事件，A －、B －、C －、D－分别为A 、B 、C 、D 的对立事件(例如A －表示甲同学第一题回答错误)．由题设条件知，P (A )＝34，P (B )＝12，P (C )＝13，P (D )＝14，P (A －)＝14，P (B －)＝12，P (C －)＝23，P (D －)＝34. (1)记“甲同学能进入下一轮”为事件W ，则由题设条件知W ＝ABC ＋AB C －D ＋A B －CD ＋A －BCD ＋A－B C －D ，∵A 、B 、C 、D 各事件相互独立，∴P (W )＝P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C －)·P (D )＋P (A )·P (B －)·P (C )·P (D )＋P (A －)·P (B )·P (C )·P (D )＋P (A －)·P (B )·P (C －)·P (D )＝34×12×13＋34×12×23×14＋34×12×13×14＋14×12×13×14＋14×12×23×14＝14. (2)由题意知，ξ的可能取值为2、3、4，则P (ξ＝2)＝P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝14×12＝18， P (ξ＝3)＝P (ABC ＋A B －C －)＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C －)＝34×12×13＋34×12×23＝38. P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－18－38＝12， ∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝278.。

随机变量及其分布综合测试题一一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知随机变量X 满足D (X )＝2，则D (3X ＋2)＝( ) A ．2B ．8C ．18D ．202．离散型随机变量X 的概率分布列如下,则c 等于( ) A ．0.1B ．0.24C ．0.01D ．0.763．设服从二项分布X ～B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和454n 、p 的值分别是( ) A ．50，14B ．60，14C ．50，34D ．60，344．某次语文考试中考生的分数X ～N (90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是( ) A ．68.26%B ．95.44%C ．99.74%D ．31.74%5．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是⎝⎛⎭⎫10，12，则该随机变量的方差等于( )A ．10B ．100 C.2πD.2π6．(2010·山东文，6)在某项项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ) A ．92,2B ．92,2.8C ．93,2D ．93,2.87．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为( ) A ．0.9B ．0.2C ．0.7D ．0.58．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( ) A ．恰有1只是坏的 B ．4只全是好的 C ．恰有2只是好的 D ．至多有2只是坏的9．某计算机网络有n 个终端，每个终端在一天中使用的概率为p ，则这个网络在一天中平均使用的终端个数为( )A ．np (1－p )B ．npC ．nD ．p (1－p )10．在高三某个班中，有14的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么，其中数学成绩优秀的学生数1X~B 5,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则k5-k513P(X=k)=C ?44k ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭取最大值时k 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．311．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2.又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( ) A.53B.73 C ．3D.11312．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( )X 1 2 3 4 P0.20.30.4c自然状况A1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A.A1B．A2C．A3D．A4二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X的均值E(X)＝________.14．一离散型随机变量X的概率分布列如下所示，且E(X)＝1.5，则a－b＝________.X 012 3P 0.1 a b 0.115．(2009·上海·理7)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望(均值)E(ξ)________(结果用最简分数表示)[答案]4 716．(2010·安徽理，15)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P(B)＝25；②P(B|A1)＝511；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X的均值和方差．18．(本题满分12分)9粒种子种在甲，乙，丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．(1)求甲坑不需要补种的概率；(2)求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；(3)求有坑需要补种的概率(精确到0.001)．19．(本题满分12分)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75，Ⅰ.求第一次烧制后恰有一件产品合格概率；Ⅱ.经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X，求随机变量X的均值．20．(本题满分12分)(2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求X的分布列．21.(本题满分12分)坛子里放着5个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．22． (2010·山东理，20)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为34，12，13，14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率； (2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.选修2-3第二章综合检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知随机变量X 满足D (X )＝2，则D (3X ＋2)＝( ) A ．2 B ．8 C ．18 D ．20[答案] C;[解析] D (3X ＋2)＝9D (X )＝18.2．离散型随机变量X 的概率分布列如下,则c 等于( ) A ．0.1B ．0.24C ．0.01D ．0.76[答案] A[解析] c ＝1－(0.2＋0.3＋0.4)＝0.1.3．设服从二项分布X ～B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和454n 、p 的值分别是( ) A ．50，14 B ．60，14 C ．50，34D ．60，34[答案] B4．某次语文考试中考生的分数X ～N (90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是( ) A ．68.26% B ．95.44% C ．99.74%D ．31.74%[答案] B5．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是⎝⎛⎭⎫10，12，则该随机变量的方差等于( )A ．10B ．100 C.2πD.2π[答案] C;[解析] 由正态分布密度曲线上的最高点⎝⎛⎭⎫10，12知12π·σ＝12，∴D (X )＝σ2＝2π. 6．(2010·山东文，6)在某项项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ) A ．92,2B ．92,2.8C ．93,2D ．93,2.8[答案] B[解析] 本题考查了方差及平均值的概念，数据设置便于运算属基础题，可各减去90，得0,0,3,4,3.3＋4＋3＋0＋05＝2，∴平均数为92，方差(2－0)2＋(2－0)2＋(2－3)2＋(2－4)2＋(2－3)25＝2.8，选B. 7．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为( ) A ．0.9B ．0.2C ．0.7D ．0.5 [答案] D;设事件A 、B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P (A )＝0.4，P (B )＝0.5，事件恰有一人击中敌机的概X 1 2 3 4 P0.20.30.4c率为P(A B＋A B)＝P(A)·(1－P(B))＋(1－P(A))·P(B)＝0.5.8．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为() A．恰有1只是坏的B．4只全是好的C．恰有2只是好的D．至多有2只是坏的[答案]C; [解析]X＝k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(X＝k)＝C k7C4－k3C410k＝1、2、3、4)．∴P(X＝1)＝130，P(X＝2)＝310，P(X＝3)＝12，P(X＝4)＝16，∴选C.9．某计算机网络有n个终端，每个终端在一天中使用的概率为p，则这个网络在一天中平均使用的终端个数为()A．np(1－p) B．np C．n D．p(1－p)[答案] B[解析]每天平均使用的终端个数X～B(n，p)，每天平均使用的终端个数值即E(X)＝np，故答案选B.10．在高三某个班中，有14的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么，其中数学成绩优秀的学生数1X~B5,4⎛⎫⎪⎝⎭，则k5-k513P(X=k)=C?44k⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最大值时k的值为()A．0 B．1 C．2 D．3[答案] B11．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝23，P(X＝x2)＝13，且x1＜x2.又已知E(X)＝43，D(X)＝29，则x1＋x2的值为() A.53 B.73C．3 D.113[答案]C12．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()自然状况A1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A.A1B．A2C．A3D．A4[答案] C [解析]A1的均值为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7.A2的均值为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5.A3的均值为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7. A4的均值为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6.∴选方案A3.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X 的均值E (X )＝________. [答案] 503 [解析] 这是100次独立重复试验，X ～B ⎝⎛⎭⎫100，16，∴E (X )＝100×16＝503.14．一离散型随机变量X 的概率分布列如下所示，且E (X )＝1.5，则a －b ＝________.X 0123P0.1 a b 0.1[答案] 0[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0.8a ＋2b ＋0.3＝1.5∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.4b ＝0.4 ∴a －b ＝0. 15．(2009·上海·理7)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望(均值)E (ξ)________(结果用最简分数表示)[答案] 47[解析] 本题考查概率、互斥事件、数学期望，以及运用知识解决问题的能力． 由题意，ξ的可能取值为0,1,2，则P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121.∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望E (ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝1221＝47.16．(2010·安徽理，15)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25； ②P (B |A 1)＝511； ③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件； ⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． [答案] ②④[解析] 由条件概率知②正确．④显然正确．而且P (B )＝P (B ∩(A 1∪A 2∪A 3)) ＝P (B ∩A 1)＋P (B ∩A 2)＋P (B ∩A 3)＝P (A 1)·P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3) ＝510·511＋210·411＋310·411＝922. 故①③⑤不正确．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X 的均值和方差．[解析] 取球次数X 是一个随机变量，X 的所有可能值是1、2、3、4、5.为了求X 的均值和方差，可先求X 的分布列．P (X ＝1)＝15＝0.2， P (X ＝2)＝45×14＝0.2， P (X ＝3)＝45×34×13＝0.2，P (X ＝4)＝45×34×23×12＝0.2， P (X ＝5)＝45×34×23×12×11＝0.2. 于是，我们得到随机变量X 的分布列X 1 2 3 4 5 P0.20.20.20.20.2由随机变量的均值和方差的定义可求得：E (X )＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2 ＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，D (X )＝(1－3)2×0.2＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.2＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.2＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2. [点评] 把5个小球排成一排，在每一个位置上是白球的概率都是15，∴P (X ＝k )＝15，k ＝1、2、3、4、5. 18．(本题满分12分)9粒种子种在甲，乙，丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．(1)求甲坑不需要补种的概率； (2)求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； (3)求有坑需要补种的概率(精确到0.001)．[解析] (1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝18， 所以甲坑不需要补种的概率为1－18＝78＝0.875.(2)3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为C 13×78×⎝⎛⎭⎫182≈0.041.(3)因为3个坑都不需要补种的概率为⎝⎛⎭⎫783，所以有坑需要补种的概率为1－⎝⎛⎭⎫783≈0.330.19．(本题满分12分)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75，Ⅰ.求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；Ⅱ.经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X ，求随机变量X 的均值． [解析] 分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A 1、A 2、A 3. Ⅰ.设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则P (E )＝P (A 1·A 2·A 3)＋P (A 1·A 2·A 3)＋P (A 1·A 2·A 3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38. Ⅱ.解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p ＝0.3，所以X ～B (3,0.3)，故E (X )＝np ＝3×0.3＝0.9.解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A 、B 、C ，则 P (A )＝P (B )＝P (C )＝0.3， 所以P (X ＝0)＝(1－0.3)3＝0.343，P (X ＝1)＝3×(1－0.3)2×0.3＝0.441， P (X ＝2)＝3×0.32×0.7＝0.189，P (X ＝3)＝0.33＝0.027. 于是，E (X )＝1×0.441＋2×0.89＋3×0.027＝0.9.20．(本题满分12分)(2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的分布列． [解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X＝1)＝1－P (X ＝2)＝34X 的分布列为：21.(本题满分12分)2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．[解析] 设第1次拿出绿皮鸭蛋为事件A ，第2次拿出绿皮鸭蛋为事件B ，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB .(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的基本事件数为μ(Ω)＝A 25＝20. 又μ(A )＝A 13×A 14＝12.于是P (A )＝μ(A )μ(Ω)＝1220＝35. (2)因为μ(AB )＝A 23＝6，所以P (AB )＝μ(AB )μ(Ω)＝620＝310.(3)解法一：由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12.解法二：因为μ(AB )＝6，μ(A )＝12，所以P (B |A )＝μ(AB )μ(A )＝612＝12.22．(本题满分14分)(2010·山东理，20)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A 、B 、C 、D 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A 、B 、C 、D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34，12，13，14，且各题回答正确与否相互之间没有影响． (1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.[分析] 本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力．解决的关键是理解题意，对于(1)问可借助对立事件解决，第(2)问的关键是分清每种情况的含义．[解析] (1)因为甲同学能进入下一轮与淘汰出局互为对立事件，所以甲同学能进入下一轮的概率为1－14×12＋14×12×23＋34×12×23＝1324.(2)ξ可能取2,3,4，则P (ξ＝2)＝14×12＝18；P (ξ＝3)＝34×12×13＋34×12×23＝38； P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－18－38＝12， 所以ξ的分布列为数学期望E (ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝278.。

第二章随机变量及其分布练习题1．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，则两人都击中目标的概率是〔 〕Ａ．1.4 Ｂ．0.9Ｃ．0.6 Ｄ．0.48 2．设随机变量1~62X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则(3)P X =等于〔 〕 Ａ．516 Ｂ．316 Ｃ．58 Ｄ．7163．设随机变量X 的概率分布列为X1 2 3 P 16 13 12则E (X ＋2)的值为 ( )．A.113 B ．9 C.133 D.734．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a ，b ，则产生故障的电脑台数的均值为〔 〕Ａ．abＢ．a b + Ｃ．1ab - Ｄ．1a b --5．某一般高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分．甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能到达合格的概率分别是0.9,0.8,0.75，则三人中至少有一人达标的概率为( )A ．0.015B ．0.005 6．设随机变量~()X B n p ，，则22()()DX EX 等于〔 〕 Ａ．2p Ｂ．2(1)p - Ｃ．np Ｄ．2(1)p p -7．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是()．A.35 B.25 C.110 D.598．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数〞，事件B＝“取到的2个数均为偶数〞，则P(B|A)＝()．A.18 B.14 C.25 D.129．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，P(ξ＞1)＝p，则P(－1＜ξ＜0)等于()．A.12p B．1－p C．1－2p D.12－p10．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6.假设μ＝4，σ＝1，则P(5<X<6)＝( ) A．0.135 9 B．0.135 8C．0.271 8 D．0.271 611．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜〞，即以先赢2局者为胜．依据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是()．A．0.216 B．0.36 C．0.432 D．0.648 12．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：处字迹模糊，但能断定这两个“？〞处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________．13．如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内〞，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影局部)内〞，则(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________．14．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1.5%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品数X的均值为个，方差为．15．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠，假设该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1 3，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________．16．在口袋中有不同编号的3个白球和2个黑球．如果不放回地依次取两个球，求在第1次取到白球的条件下，第2次也取到白球的概率．17．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为12，假设中奖，商场返回忆客现金100元．某顾客现购置价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．(1)设该顾客中奖的奖券张数为X，求X的分布列；(2)设该顾客购置台式电脑的实际支出为Y元，用X表示Y，并求Y的数学期望．18．某公司“咨询热线〞共有8路外线，经长期统计发觉，在8点到10点这段时间内，外线同时打入情况如下表所示：同时0 1 2 3 4 5 6 7 8打入个数x概率p 0．13 0．35 0．27 0．14 0．08 0．02 0．01 0 0〔1〕假设这段时间内，公司只安排了2位接线员〔一个接线员一次只能接一个〕①求至少一路不能一次接通的概率；②在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这段时间〔8点至10点〕内至少一路不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用至少一路不能一次接通的概率表示公司形象的“损害度〞，求上述情况下公司形象的“损害度〞．〔2〕求一周五个工作日的这段时间〔8点至10点〕内，同时打入数X的均值．19．某仪表厂从供给商处购置元器件20件，双方协商的验货规则是：从中任取3件进行质量检测，假设3件中无不合格品，则这批元器件被接受，否则就要重新对这批元器件逐个检查．(1)假设该批元器件的不合格率为10%，求需对这批元器件逐个检查的概率；(2)假设该批元器件的不合格率为20%，求3件中不合格元器件个数的分布列与期望．20．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)012 3频数159 5该商品3件，当天营业结束后检查存货．假设发觉存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数．求X的分布列和数学期望．21.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.。

选修2-3 第二章 随机变量及其分布列一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．已知随机变量ξ的概率分布列如下：则P (ξ＝A.239 B.2310 C.139 D.1310 2．某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率是( )A ．0.146 2B ．0.153 8C ．0.996 2D ．0.853 8 3．已知离散型随机变量ξ的概率分布如下：则其数学期望E (ξ)等于( )A ．1B ．0.6C ．2＋3mD ．2.4 4．已知随机变量X 服从二项分布X ～B (6，13)，则P (X ＝2)等于( )A.1316B.4243C.13243D.80243 5．投掷3枚硬币，至少有一枚出现正面的概率是( )A.38B.12C.58D.786．在比赛中，如果运动员A 胜运动员B 的概率是23，那么在五次比赛中运动员A 恰有三次获胜的概率是( )A.40243B.80243C.110243D.202437．如果随机变量ξ表示抛掷一个各面分别有1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量ξ的均值为( )A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4 8.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口3出来，那么你取胜的概率为( )A.516B.532C.16 D ．以上都不对 9．已知离散型随机变量ξ的分布列为ξ 10 20 30 P0.6a14－a 2则D (3ξ－3)等于( )A ．42B ．135C ．402D ．405 10．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ<0)等于( )A.12p B ．1－p C ．1－2p D.12－p 11．一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率为12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.164B.5564C.18D.116 12．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( )A.A1B．A2 C．A3D．A4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设随机变量ξ只能取5,6,7，…，14这10个值，且取每一个值的概率均相等，则P(ξ≥10)＝______；P(6<ξ≤14)＝________.14．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．15．如果随机变量ξ服从N(μ，σ)，且E(ξ)＝3，D(ξ)＝1，那么μ＝________，σ＝________.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)一个口袋中有5个同样大小的球，编号为3,4,5,6,7，从中同时取出3个小球，以ξ表示取出的球的最小号码，求ξ的分布列．18.(12分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲比赛活动．(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．19．(12分)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.(1)记甲击中目标的次数为X ，求X 的概率分布列及数学期望E (X )； (2)求乙至多击中目标2次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．20．(12分)老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．21．(12分)甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数X 稳定在7,8,9,10环．他们的这次成绩画成频率分布直方图如下图所示：(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P (X 乙＝8)，并求甲、乙同时击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高．22．(2012·陕西)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望．第二章 随机变量及其分布列1.答案 C解析 P (ξ＝10)＝1－P (ξ＝1)－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)－…－P (ξ＝9)＝1－23－232－…－239＝139.2.答案 A解析 所求的概率为1－C 237C 240＝1－37×3640×39＝0.146 2.3.答案 D解析 ∵0.5＋m ＋0.2＝1，∴m ＝0.3. ∴E (ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4. 4.答案 D解析 P (X ＝2)＝C 26·(23)4·(13)2＝80243. 5.答案 D解析 P (至少有一枚正面)＝1－P (三枚均为反面)＝1－(12)3＝78.6.答案 B解析 所求概率为C 35(23)3×(1－23)2＝80243. 7.答案 C解析 P (ξ＝k )＝16(k ＝1,2,3，…，6)，∴E (ξ)＝1×16＋2×16＋…＋6×16＝16(1＋2＋ (6)＝16×[6×(1＋6)2]＝3.5. 8.答案 A解析 由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法，因而基本事件个数为25.而从出口出来的每条线路中有2个“向右”和3个“向左”，即共C 25条路线，故所求的概率为C 2525＝516. 9.答案 D 10.答案 D解析 由于随机变量服从正态分布N (0,1)，由标准正态分布图像可得P (－1<ξ<1)＝1－2P (ξ>1)＝1－2p . 故P (－1<ξ<0)＝12P (－1<ξ<1)＝12－p .11.答案 B解析 设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为T ，E 与F 至少有一个不闭合的事件为R ，则P (T )＝P (R )＝1－12×12＝34，所以灯亮的概率为P ＝1－P (T )·P (R )·P (C )·P (D )＝5564.12.答案 C 13.答案 25，45解析 由题意P (ξ＝k )＝110(k ＝5,6，…，14)，P (ξ≥10)＝4×110＝55.P (6<ξ≤14)＝8×110＝45.14.答案 0.8解析 P (敌机被击中)＝1－P (甲未击中敌机)P (乙未击中敌机)＝1－(1－0.6)(1－0.5)＝1－0.2＝0.8. 15.答案 3,1解析 ∵ξ～N (μ，σ)，∴E (ξ)＝μ＝3，D (ξ)＝σ2＝1，∴σ＝1. 16.答案 0.128解析 此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.17.解析 ξ的取值分别为3,4,5，P (ξ＝5)＝C 22C 35＝110，P (ξ＝4)＝C 23C 35＝310，P (ξ＝3)＝C 24C 35＝35，所以ξ的分布列为18.解析 (1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得P (ξ＝0)＝C 4C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15. ∴ξ的分布列为(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ， 则P (C )＝C 34C 36＝420＝15.∴所求概率为P (C )＝1－P (C)＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12；P (B |A )＝C 14C 25＝410＝25.19.解析 (1)X 的概率分布列为E (X )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5或E (X )＝3×12＝1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1－C 33(23)3＝1927. (3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1、B 2为互斥事件，P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝38×127＋18×29＝124.20.解析 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，则X 为离散型随机变量，且X 服从超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3，当X ＝0时，P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，当X ＝1时，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，当X ＝2时，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，当X ＝3时，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16，则可得X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝12＋16＝23.21.解析 (1)由图可知：P (X 乙＝7)＝0.2，P (X 乙＝9)＝0.2， P (X 乙＝10)＝0.35.所以P (X 乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25. 同理P (X 甲＝7)＝0.2，P (X 甲＝8)＝0.15， P (X 甲＝9)＝0.3.所以P (X 甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35. 因为P (X 甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65， P (X 乙≥9)＝0.2＋0.35＝0.55.所以甲、乙同时击中9环以上(包含9环)的概率为 P ＝P (X 甲≥9)·P (X 乙≥9)＝0.65×0.55＝0.357 5.(2)因为E (X 甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8， E (X 乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7， E (X 甲)>E (X 乙)，所以估计甲的水平更高．22.解析 设Y 表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y 的分布列如下：(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A 对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)方法一X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01.所以X的分布列为：E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.方法二X的所有可能取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49.所以X的分布列为：E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.。

高中数学选修2-3第二章 随机变量及其分布 章末检测题（满分150分，时间120分钟）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列表格可以作为ξ的分布列的是( )【解析】根据分布列的性质各概率之和等于1，易知D 正确． 【答案】D2．某同学通过计算机测试的概率为13，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )A.49B.29C.427D.227【解析】213124339P C ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】A3．某射手射击所得的环数X 的分布列如下：如果命中8～10环为优秀，则该射手射击一次为优秀的概率是( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.5D ．0.6【解析】从分布列中不难看出该射手命中环数不小于8环的概率是0.3＋0.25＋0.05＝0.6.【答案】D4．某镇互不认识的甲、乙两个体老板准备在同一天在同一车站乘车进城进货，甲乘座第一班车的概率为0.7，乙乘座第一班车的概率为0.8，则其中至少有一人乘座第一班车的概率为( )A ．0.06B ．0.15C ．0.56D ．0.94【解析】P ＝1－0.3×0.2＝0.94. 【答案】D5．已知随机变量ξ的分布列为：又变量η＝4ξ＋3，则η的期望是( ) A.72 B.52 C ．－1D ．1【解析】E (ξ)＝－1×12＋0×18＋1×38＝－18E (η)＝4E (ξ)＋3＝4×18⎛⎫- ⎪⎝⎭＋3＝52.【答案】B6．设X 是随机变量，且D (10X )＝90，则D (X )等于( ) A ．0.9 B ．9 C ．90D ．900 【解析】D (10X )＝100D (X )，∴90＝100D (X )，则D (X )＝0.9. 【答案】A7．若随机变量ξ的分布列为，其中m ∈(0,1)，则下列结果中正确的是( ) A ．E (ξ)＝m ，D (ξ)＝n 3 B ．E (ξ)＝n ，D (ξ)＝n 2 C ．E (ξ)＝1－m ，D (ξ)＝m －m 2 D ．E (ξ)＝1－m ，D (ξ)＝m 2 【解析】∵m ＋n ＝1，∴E (ξ)＝n ＝1－m ，D (ξ)＝m (0－n )2＋n (1－n )2＝m －m 2. 【答案】C8．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为( )A ．(90,100]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115]【解析】∵X ～N (110,52)， ∴μ＝110，σ＝5，∴5760＝0.95≈P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝P (100＜X ≤120)． 【答案】C9．已知离散型随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，若P (1≤X ≤3)＝15，则n 的值为( )A ．3B ．5C ．10D ．15 【解析】由已知X 的分布列为P (X ＝k )＝1n ，k ＝1,2,3，…，n ，∴P (1≤X ≤3)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝15，∴n ＝15.【答案】D10．已知某产品的次品率为0.04，现要抽取这种产品进行检验，则要使检查到次品的概率达到95%以上，至少要选的产品个数为( )A ．24B ．25C ．74D ．75【解析】由题意得1－(1－0.04)n ≥0.95，解得n ≥74. 【答案】C11．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子的个数为X ，则P (X ≤2)＝( )A ．C 210216⎛⎫⎪⎝⎭×856⎛⎫⎪⎝⎭B ．C 11016⎛⎫⎪⎝⎭×956⎛⎫ ⎪⎝⎭＋1056⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．C 11016⎛⎫⎪⎝⎭×956⎛⎫ ⎪⎝⎭＋C 210216⎛⎫⎪⎝⎭×856⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．以上都不对【解析】P (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 010016⎛⎫ ⎪⎝⎭×1056⎛⎫ ⎪⎝⎭＋C 11016⎛⎫ ⎪⎝⎭×956⎛⎫ ⎪⎝⎭＋C 210216⎛⎫ ⎪⎝⎭×856⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【答案】D12．有10件产品，其中2件次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是( )A.145B.110C.19D.25【解析】记“第一次抽到次品”为事件A ，第二次抽到次品为事件B .P (A )＝C 12C 19C 110C 19＝15，P (AB )＝C 12C 11C 110C 19＝145 ，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝19.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p ，若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p ＝________.【解析】因为通过各科考试的概率为p ，所以不能通过考试的概率为1－p ， 易知ξ～B (6,1－p )，所以E (ξ)＝6(1－p )＝2.解得p ＝23.【答案】2314．设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________．【解析】P (B |A )＝P (AB )P (A ) ，∴P (A )＝P (AB )P (B |A )＝31012＝35.【答案】3515．中国乒乓球队可谓高手如云，在某届世乒乓赛中，有3名世界排名前10位的运动员，据专家分析每位运动员进入前四名的概率为45，那么这三名运动员恰有2名进入前4名的概率是________．【解析】P ＝C 23245⎛⎫⋅⎪⎝⎭15＝48125. 【答案】4812516．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.【解析】由题意得：p ＝12，P (X ＝0)＝13×(1－p )2＝112，P (X ＝1)＝13×12×12×2＋23×12×12＝13，P (X ＝2)＝13×12×12＋23×12×12×2＝512，P (X ＝3)＝23×12×12＝16，∴ E (X )＝13×1＋512×2＋16×3＝53.【答案】53三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．【解析】记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； B i 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先． (1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A )＝P (A 0·A )＋P (A 1·A )＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A )＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4) ＝0.352.(2)P (B 0)＝0.62＝0.36，P (B 1)＝2×0.4×0.6＝0.48， P (B 2)＝0.42＝0.16，P (A 2)＝0.62＝0.36. C ＝A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2 P (C )＝P (A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2) ＝P (A 1·B 2)＋P (A 2·B 1)＋P (A 2·B 2) ＝P (A 1)P (B 2)＋P (A 2)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2)＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16＝0.307 2.18．(本小题满分12分)设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求随机变量X 的期望E (X )与方差D (X ).【解析】由0.5＋2a ＋3a ＝1，得a ＝0.1， 故X 的分布列为：∴E (X )＝－1×0.5＋0×0.2＋1×0.3＝－0.2.D (X )＝(－1＋0.2)2×0.5＋(0＋0.2)2×0.2＋(1＋0.2)2×0.3＝0.76.19．(本小题满分12分)袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．(1)若直到取到新球为止，求抽取次数X 的概率分布列及其均值；(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X 的均值． 【解析】(1)X 的可能取值为1、2、3，P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝2×35×4＝310，P (X ＝3)＝2×1×35×4×3＝110，故抽取次数X 的分布列为：E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.(2)每次检验取到新球的概率均为35，故X ～B 35,5⎛⎫⎪⎝⎭，∴E (X )＝5×35＝3.20．(本小题满分12分)已知随机变量X 的正态曲线如下图所示，(1)求E (2X －1)，D 14X ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)试求随机变量X 在(110,130]范围内取值的概率．【解析】由正态曲线知，随机变量X 的均值为120，标准差为5，即μ＝120，σ＝5. 因此E (2X －1)＝2E (X )－1＝239， D 14X ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝116D (X )＝2516.(2)由于μ＝120，σ＝5，μ－2σ＝110，μ＋2σ＝130，且随机变量在(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，所以随机变量X 在(110,130]范围内取值的概率是0.954 4.21．(本小题满分13分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)【解析】(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P (X ＝1)＝15100＝320，P (X ＝1.5)＝30100＝310，P (X ＝2)＝25100＝14，P (X ＝2.5)＝20100＝15，P (X ＝3)＝10100＝110.X 的分布列为：X 的数学期望为：E (X )＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.(2)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”， X i (i ＝1,2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则P (A )＝P (X 1＝1且X 2＝1)＋P (X 1＝1且X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5且X 2＝1)． 由于各顾客的结算相互独立，且X 1，X 2的分布列都与X 的分布列相同，所以 P (A )＝P (X 1＝1)×P (X 2＝1)＋P (X 1＝1)×P (X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5)×P (X 2＝1) ＝320×320＋320×310＋310×320＝980. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980. 22．(本小题满分13分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (B |A )． 【解析】(1)X 的所有可能取值为0,1,2，依题意得P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35 ，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.∴X 的分布列为：(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ，则P (C )＝C 34C 36＝15；∴所求概率为P (C )＝1－P (C )＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12；P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 14C 36C 25C 36＝25.。