第五节 离散型随机变量及其分布列 复习讲义

离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量是指在有限个或无限个取值中，只能取其中一个数值的随机变量。

离散型随机变量可以用分布列来描述其概率分布特征。

离散型随机变量的概率分布列概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的表格，通常用符号P 表示。

其一般形式如下：P(X=x1)=p1P(X=x2)=p2P(X=x3)=p3…P(X=xn)=pn其中，Xi表示随机变量X的取值，pi表示随机变量X取值为Xi的概率。

离散型随机变量的特点1. 离散型随机变量只取有限或无限个取值中的一个，变化不连续。

2. 取值之间具有间隔或间距。

3. 每个取值对应一个概率，概率分布可用概率分布列来体现。

4. 概率之和为1。

离散型随机变量的常见分布1. 0-1分布0-1分布是指当进行一次伯努利试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p的离散型随机变量的分布。

其分布列为：P(X=0)=1-pP(X=1)=p2. 二项分布二项分布是进行n次伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p时，恰好出现k次事件发生的离散型随机变量的分布。

其分布列为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)为从n中选出k个的组合数。

3. 泊松分布泊松分布是指在某个时间段内，某一事件发生的次数符合泊松定理的离散型随机变量的分布。

其分布列为：P(X=k)=λ^ke^(-λ)/k!其中，λ为这段时间内事件的平均发生次数。

总结离散型随机变量及其分布列是概率论中的重要基础概念之一，具有广泛的应用。

掌握离散型随机变量及其分布列的知识点对于深入理解概率论及其实际应用有重要意义。

离散型随机变量及其分布列1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果的变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)概念：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则下表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝1． 3．常见的离散型随机变量分布列 (1)两点分布若随机变量X 服从两点分布，则其分布列为其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． (2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，即：其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．( ) (2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( )(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) (6)由下表给出的随机变量X 的分布列服从两点分布．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)×(教材习题改编)设随机变量X 的分布列如下表所示，则p 4的值是( )A.1 B ．12 C ．14D ．18解析：选D.由分布列的性质，得12＋14＋18＋p 4＝1，所以p 4＝18.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k 15，k ＝1，2，3，4，5，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝________．解析：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15. 答案：15在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X 的分布列为________． 解析：由题意知，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝4，所以分布列为P (X ＝k )＝C k3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3.答案：P(X ＝k )＝C k 3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3离散型随机变量的分布列的性质设离散型随机变量X 的分布列为求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列．【解】 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， 解得m ＝0.3. (1)2X ＋1的分布列为(2)|X －1|的分布列为在本例条件下，求P (1<X ≤4)． 解：由本例知，m ＝0.3，P (1<X ≤4)＝P (X ＝2)＋(X ＝3)＋P (X ＝4)＝0．1＋0.3＋0.3＝0.7.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；(2)若X 为随机变量，则2X ＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．1．设随机变量X 等可能地取1，2，3，…，n ，若P (X ＜4)＝0.3，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．10D ．不确定解析：选C.“X ＜4”的含义为X ＝1，2，3，所以P (X ＜4)＝3n＝0.3，所以n ＝10.2．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d≤13. 答案：23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13离散型随机变量的分布列(高频考点)离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列； (2)古典概型的离散型随机变量的分布列；(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容)角度一 用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列． 【解】 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X 的可能取值为2，3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X 的分布列为角度二 古典概型的离散型随机变量的分布列(2019·浙江省名校协作体高三联考)一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同)．(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；(2)在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)“设取出的3个小球中，含有编号为4的小球”为事件A ， P (A )＝C 12C 24＋C 22C 14C 36＝45，所以取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率为45. (2)X 的可能取值为3，4，5.P (X ＝3)＝1C 36＝120；P (X ＝4)＝C 12C 23＋C 22C 13C 36＝920； P (X ＝5)＝C 35C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义． (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率． (3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．[提醒] 求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求X 的分布列． 解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12（n －6）n （n －1），则12（n －6）n （n －1）≥12，化简得n 2－25n ＋144≤0，解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16.(2)由题意得，X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，X 的分布列为超几何分布一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3， P (X ＝k )＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0，1，2，3.于是可得其分布列为在本例条件下，若从袋中任意摸出4个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．解：X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝4， P (X ＝k )＝C k 5C 4－k5C 410，k ＝0，1，2，3，4，于是可得其分布列为超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出．(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列． 解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1，2，3，4)．所以，随机变量X 的分布列为对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率．易错防范(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的． (2)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1，2，…，n )，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．[基础达标]1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0B ．12C ．13D ．23解析：选C.设X 的分布列为即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功．由p ＋2p ＝1，得p ＝13，故应选C.2．(2019·绍兴调研)在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：选C.X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，故k ＝4，故选C.3．设随机变量Y 的分布列为则“32≤Y ≤72”的概率为( )A ．14B ．12C ．34D ．23解析：选C.依题意知，14＋m ＋14＝1，则m ＝12.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤Y ≤72＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＝12＋14＝34.4．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：若F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1，2)时，F (x )等于( ) A ．13 B ．16 C ．12D ．56解析：选D.由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.5．已知离散型随机变量X 的分布列为则P (X ∈Z )＝( ) A ．0.9 B ．0.8 C ．0.7D ．0.6解析：选A.由分布列性质得0.5＋1－2q ＋13q ＝1，解得q ＝0.3，所以P (X ∈Z )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________． 解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，其中X ＝2对应(1，1)；X ＝3对应(1，2)，(2，1)；X ＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝136＋236＋336＝16.答案：167．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，所以a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，138．若离散型随机变量X 的分布列为则常数c ＝________，P (X ＝1)＝________． 解析：依分布列的性质知，⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，解得c ＝13，故P (X ＝1)＝3－8×13＝13.答案：13 139．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X 的分布列为________．解析：X 的所有可能值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (X ＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (X ＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.所以X 的分布列为答案：10.(2019·温州市高考模拟)袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是________，设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则P (X ＝k )取最大值时，k 的值为________．解析：袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是：n ＝C 26C 13＝45.设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，3， P (X ＝0)＝C 33C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 23C 39＝1884，C 984P (X ＝3)＝C 36C 39＝2084，所以P (X ＝k )取最大值时，k 的值为2. 答案：45 211．抛掷一枚质地均匀的硬币3次． (1)写出正面向上次数X 的分布列； (2)求至少出现两次正面向上的概率． 解：(1)X 的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝C 0323＝18；P (X ＝1)＝C 1323＝38；P (X ＝2)＝C 2323＝38；P (X ＝3)＝C 3323＝18.所以X 的分布列为(2)至少出现两次正面向上的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝38＋18＝12. 12．(2019·台州高三质检)在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．(1)求该顾客中奖的概率；(2)求该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列． 解：(1)该顾客中奖的概率P ＝1－C 04C 26C 210＝1－1545＝23.(2)X 的所有可能取值为0，10，20，50，60，且 P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，C 1015故X 的分布列为[能力提升]1．(2019·浙江高中学科基础测试)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；(2)记X 为取出的3个球中编号的最小值，求X 的分布列．解：(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则P (B )＝C 14C 17C 39＝2884＝13，所以P (A )＝1－P (B )＝23.(2)X 的取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 12C 27＋C 22C 17C 39＝4984，P (X ＝2)＝C 12C 25＋C 22C 15C 39＝2584， P (X ＝3)＝C 12C 23＋C 22C 13C 39＝984，P (X ＝4)＝1C 39＝184. 所以X 的分布列为2.(2019·惠州市第三次调研考试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)． 所以随机变量X 的分布列为3.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28(种)，当X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为4.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用X 表示终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量X 的分布列； (3)求甲取到白球的概率． 解：(1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2nC 27＝n （n －1）27×62＝n （n －1）7×6，所以n (n －1)＝6，解得n ＝3或n ＝－2(舍去)． 即袋中原有3个白球．(2)由题意知X 的可能取值为1，2，3，4，5.P (X ＝1)＝37； P (X ＝2)＝4×37×6＝27； P (X ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (X ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (X ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以取球次数X 的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球． 设“甲取到白球”的事件为A ， 则P (A )＝P (X ＝1或X ＝3或X ＝5)．因为事件“X ＝1”“X ＝3”“X ＝5”两两互斥，所以P (A )＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝37＋635＋135＝2235.。

离散型随机变量及其分布列一．考点知识总结 １．离散型随机变量随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母,,,X Y ξη，…表示． 所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ２．离散型随机变量的分布列（１）定义：若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,,,i n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，X 取每一个值i x （i ＝１，２，３，…，n ）的概率()=i i P X x p =则表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列有时为了表达简单，也用等式()=i i P X x p =，i ＝１，２，３，…，n 表示X 的分布列（２）离散型随机变量的分布列的性质ａ．0i p ≥（i ＝１，２，３，…，n ） ｂ．=1ni i p ∑＝１３．两点分布若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为其中()==1p P X 称为成功概率 ４．超几何分布在含有Ｍ件次品的Ｎ件产品中，任取ｎ件，其中恰有X 件次品，则事件{}=X k 发生的概率为()--=k n k M N MnNC C P X k C =，k ＝０，１，２，…，ｍ，其中ｍ＝{}min ,M n ，且,,,,n N M N M N n N *≤≤∈,称分布列为超几何分布列二．跟踪练习１．袋中有３个白球和５个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是Ａ．至少取到１个白球 Ｂ．至多取到１个白球 Ｃ．取到白球的个数 Ｄ．取到的球的个数 ２．下列４个表格中，可以作为离散型随机变量的是 Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．３．已知随机变量X 的分布列为：()1==,2kP X k k ＝１，２，…则()2<4P X ≤＝ Ａ．316 Ｂ．14 Ｃ．116 Ｄ．516４．从４名男生和２名女生中任取３人参加演讲比赛，则所选３人中女生人数不超过１人的概率是５．从装有３个红球和２个白球的袋中随机取出２个球，设其中有X 个红球，则随机变量X的概率分布为６．在一个口袋中装有黑白两个球，从中随机取一球，记下他的颜色后放回，再取一球，有记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为 ７．某一随机变量X 的概率分布如下表，且ｍ＋２ｎ＝１．２，则ｍ－2n＝８．设随机变量X 的概率分布表如下：()()=F x P X x ≤，当x 的取值范围是[１,２)时，()F x ＝９．已知随机变量η的分布列为若X ＝２η－３，则()1<X 5P ≤＝１０．在甲乙等６个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采取抽签的方法随机确定各单位的演出顺序（序号１,２,３,４,５,６）求： （１）甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率 （２）甲乙两单位之间的演出单位个数X 的分布列参考答案１—３．ＣＣＡ ４．45５．X ＝０，P ＝０．１；X ＝１，P ＝０．６；X ＝２，P ＝０．３ ６．７． （０．２） ８．56 ９． （０．６） １０． （１）45（２）。

第五节离散型随机变量及其分布列复习目标学法指导1.了解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.3.理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题. 1.了解离散型随机变量的意义,能利用古典概型的概率公式求分布列.2.了解两个事件相互独立及独立重复试验的概念,能把复杂事件转化为n个互斥事件的和或几个独立事件的和求解,并注意每个公式的适用条件.一、离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.二、离散型随机变量的分布列及性质1.一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,x i,…,x n,X取每一个值x i(i=1,2,…,n)的概率P(X=x i)=p i,则表X x1x2…x i…x n P p1p2…p i…p n称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.2.离散型随机变量的分布列的性质(1)p i≥0,i=1,2,…,n.(2)p1+p2+…+p n=1.三、相互独立事件一般地,对两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立.四、两点分布若随机变量X的分布列为X 0 1P 1-p p则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率.五、独立重复试验与二项分布1.独立重复试验一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. 2.二项分布一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=C kp k(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).n此时称随机变量X服从二项分布,记作X～B(n,p),并称p为成功概率.1.概念理解(1)随机变量是将随机试验的结果数量化.(2)离散型随机变量的分布列从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小,反映了随机变量取值的规律性.(3)因为一次试验的各种结果是互斥的,而全部结果之和为一个必然事件,所以离散型随机变量的分布列具有性质p 1+p 2+…+p i +…+p n =1. (4)由事件A 和B 同时发生所构成的事件称为事件A 与B 的交(或积),记作A ∩B(或AB).(5)相互独立的两个事件实质上是一个事件的发生对另一个事件的发生没有影响.(6)独立重复试验必须满足三个特征:①每次试验的条件都完全相同,即每次试验事件发生的概率相等;②各次试验互相独立;③每次试验只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.(7)P(X=k)=C k np k (1-p)n-k 恰好是[(1-p)+p]n 展开式的第k+1项1k T =C k n (1-p)n-kp k .(8)独立重复试验的实际原型是有放回的抽样问题,但在实际中,从大批产品中抽取少量样品的不放回检验,也可以近似地看作此类型. (9)独立重复试验中的概率公式P n (k)=C knp k (1-p)n-k 中的p 与(1-p)的位置不能互换,否则式子表示为事件A 有k 次不发生的概率. 2.与独立事件有关的结论(1)若A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B,A 与B 也都相互独立. (2)若A 与B 相互独立,则P(B|A)=P(B)且P(A|B)=P(A).(3)事件A,B发生的概率关系如表所示事件概率A,B互斥A,B相互独立A,B至少有一个发生P(A+B)P(A)+P(B)1-P(A)·P(B)A,B同时发生P(A·B)0 P(A)·P(B)A,B都不发生P(A·B)1-[P(A)+P(B)]P(A)·P(B)A,B恰有一个发生P(A·B+A·B)P(A)+P(B)P(A)·P(B)+P(A)·P(B)A,B至多有一个发生P(A·B+A·B+A·B)11-P(A)·P(B)1.随机变量X的分布列如表:X -1 0 1P a b c其中a,b,c 成等差数列,则P(|X|=1)等于( A ) (A)23(B)12(C)13(D)162.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为13,乙、丙去北京旅游的概率分别为14,15,假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内三人同去北京旅游的概率为( D )(A)5960 (B)35 (C)12 (D)160解析:因甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别为13,14,15,且三人的行动相互独立,故三人同去北京旅游的概率为 13×14×15=160.故选D. 3.离散型随机变量X 的概率分布规律为P(X=n)=()1an n +(n=1,2,3,4),其中a 是常数,则P(12<X<52)的值为( D ) (A)23 (B)34 (C)45 (D)56解析:因为P(X=n)=()1an n +(n=1,2,3,4),所以2a +6a +12a +20a =1,所以a=54, 所以P(12<X<52)=P(X=1)+P(X=2)=54×12+54×16=56.故选D. 4.从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有X 个红球,则随机变量X=1的概率为 .解析:P(X=1)=113225C C C =610=35.答案:35考点一 离散型随机变量分布列的性质及其应用[例1] 设随机变量X 的分布列为P(X=5k )=ak(k=1,2,3,4,5).(1)求a; (2)求P(X ≥35).解:(1)由分布列的性质得,P(X=15)+P(X=25)+P(X=35)+P(X=45)+P(X=1)=a+2a+3a+4a+5a=1,所以a=115.(2)P(X ≥35)=P(X=35)+P(X=45)+P(X=1) =3×115+4×115+5×115 =45.(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时注意检验,保证每个概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的概率时,根据分布列及互斥事件的概率加法公式,将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可.设X 是一个离散型随机变量,其分布列为:X -10 1 P132-3qq 2则q 的值为( C ) (A)1 (B)3233(C)3233(D)3233解析:由分布列的性质知22230,0,1231,3⎧⎪-≥⎪≥⎨⎪⎪+-+=⎩q q q q解得q=32-336.故选C.考点二 求离散型随机变量的分布列[例2] 一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4,从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X 的分布列.解:(1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A,则P(A)=1322252547C CC C C =67.所以取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=1)=3347C C =135,P(X=2)=3447C C=435,P(X=3)=3547C C =27, P(X=4)=3647C C =47,所以随机变量X 的分布列是X 1234P1354352747(1)求离散型随机变量X 的分布列的步骤:①理解X 的意义,写出X 可能取的全部值;②求X 取每个值的概率;③写出X 的分布列.(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.某外语学校的一个社团中有7名同学,其中2人只会法语,2人只会英语,3人既会法语又会英语,现选派3人到法国的学校交流访问.求: (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率;(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X 的分布列. 解:(1)设事件A:选派的3人中恰有2人会法语,则P(A)=215237C CC =47.(2)依题意知X 的取值为0,1,2,3,P(X=0)=3437C C=435,P(X=1)=214337C C C =1835, P(X=2)=124337C C C =1235, P(X=3)=3337C C=135,所以X 的分布列为X 0123P43518351235135考点三 独立重复试验与二项分布[例3] 甲将要参加某决赛,赛前A,B,C,D 四位同学对冠军得主进行竞猜,每人选择一名选手,已知A,B 选择甲的概率均为m,C,D 选择甲的概率均为n(m>n),且四人同时选择甲的概率为9100,四人均未选择甲的概率为125.(1)求m,n 的值;(2)设四位同学中选择甲的人数为X,求X 的分布列和数学期望.解:(1)由已知可得()()22229,100111,25,m n m n m n ⎧=⎪⎪⎪--=⎨⎪⎪>⎪⎩ 解得3,51.2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩m n(2)X 可取0,1,2,3,4.P(X=0)=125,P(X=1)=12C ×35×(1-35)×(1-12)2+(1-35)2×12C ×12×(1-12)=15, P(X=2)=12C ×35×(1-35)×12C ×12×(1-12)+(35)2×(1-12)2+(1-35)2×(12)2=37100,P(X=3)=12C ×35×(1-35)×(12)2+(35)2×12C ×12×(1-12)=310, P(X=4)=9100.X 的分布列为 X 01234P12515371003109100E(X)=0×125+1×15+2×37100+3×310+4×9100=2.2. 二项分布的简单应用是求n 次独立重复试验中事件A 恰有k次发生的概率,其解题一般思路是:根据题意设出随机变量X →分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p →分析X 取每个值对应的k 值→将k 代入公式求概率.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.(1)求甲以4比1获胜的概率;(2)求比赛局数的分布列.解:(1)由已知得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12,设A={甲以4比1获胜},则P(A)=34C(12)3(12)4-3·12=18.(2)设比赛的局数为X,则X的可能取值为4,5,6,7,P(X=4)=2·44C(12)4=18,P(X=5)=2·34C(12)3(12)4-3·12=14,P(X=6)=2·35C(12)3(12)5-3·12=516,P(X=7)=2·36C(12)3(12)6-3·12=516,比赛局数的分布列为X 4 5 6 7P 1814516516古典概型与离散型随机变量的分布列[例题] 某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X 表示参赛的男生人数,求X 的分布列和数学期望. 解:(1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为33343366C C C C =1100.因此,A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100=99100.①(2)根据题意,X 的可能取值为1,2,3.②P(X=1)=133346C C C =15, P(X=2)=223346C C C =35,P(X=3)=313346C C C =15.③ 所以X 的分布列为④因此,X 的数学期望为E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×15+2×35+3×15=2.⑤规范要求:步骤①②③④⑤应齐全,能够正确利用计数原理、排列、组合求出概率.温馨提示:对于“至少”“至多”型问题常考虑利用对立事件概率加法公式求解.[规范训练] 在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,记X=|x-2|+|y-x|.(1)求随机变量X的最大值,并求事件“X取得最大值”的概率;(2)求随机变量X的分布列.解:(1)由题意知,x,y可能的取值为1,2,3,则|x-2|≤1,|y-x|≤2,所以X≤3,且当x=1,y=3或x=3,y=1时,X=3.因此,随机变量X的最大值为3.而有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3=9(种),所以P(X=3)=2.故随机变量X的最大值为3,事件“X取得最大值”的9.概率为29(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.当X=0时,只有x=2,y=2这一种情况,当X=1时,有x=1,y=1或x=2,y=1或x=2,y=3或x=3,y=3四种情况, 当X=2时,有x=1,y=2或x=3,y=2两种情况.当X=3时,有x=1,y=3或x=3,y=1两种情况.所以P(X=0)=19,P(X=1)=49,P(X=2)=29,P(X=3)=29.则随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P 19492929类型一离散型随机变量1.已知8件产品中有2件次品,从中任取3件,取到次品的件数为随机变量ξ,那么ξ的可能取值为( C )(A)0,1 (B)1,2 (C)0,1,2 (D)0,1,2,3解析:因为8件产品中有2件次品,所以从中任取3件,表示取到次品件数的随机变量ξ的可能取值为0,1,2.故选C.类型二求概率2.随机变量X的分布列如下:X -1 0 1P a b c其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)等于( D )(A)16(B)13(C)12(D)23解析:由题意知a,b,c成等差数列,所以2b=a+c. 又因为a+b+c=1,解得b=13,所以P(|X|=1)=a+c=23.故选D.3.某科研小组共有5名成员,其中男生3名,女生2名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为( C ) (A)25(B)35(C)710(D)以上都不对解析:所求概率P=1-2325C C =710.故选C.4.已知甲袋中有1个黄球和2个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球,现随机地从甲袋中取出两个球放入乙袋中,然后从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出红球的概率为( C )(A)13 (B)12 (C)59 (D)29解析:根据题意,分两种情况讨论:①从甲袋中取出两个红球,其概率为13,此时乙袋中有2个黄球和4个红球,则从乙袋中取出红球的概率为46=23,则这种情况下的概率为13×23=29,②从甲袋中取出1个红球和1个黄球,其概率为23,此时乙袋中有3个黄球和3个红球,则从乙袋中取出红球的概率为36=12,则这种情况下的概率为23×12=13, 则从乙袋中取出红球的概率为29+13=59.故选C. 类型三 分布列5.若在甲袋内装有8个白球、4个红球,在乙袋内装有6个白球、6个红球,今从两袋里各任意取出1个球,设取出的白球个数为X,则下列概率中等于11118646111212C C C C C C +的是( C )(A)P(X ≤1) (B)P(X ≤2) (C)P(X=1) (D)P(X=2)解析:P(X=1)= 11118646111212C C C C C C +,故选C.6.随机变量X 的概率分布规律为P(X=n)=()1+an n (n=1,2,3,4),其中a是常数,则P(23<X<52)的值为( D ) (A)23 (B)34 (C)45 (D)56解析:由题意知P(X=1)=2a ,P(X=2)=6a ,P(X=3)=12a ,P(X=4)=20a , 所以2a +6a +12a +20a =1, 可解得a=54, 因为P(23<X<52)=P(X=1)+P(X=2), 所以P(23<X<52)=56.故选D. 7.设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1,则随机变量ξ的分布列是 . 解析:ξ的可能取值为P(ξ=0)=232128C C =411,P(ξ2126C =111.P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ411-111=611. 答案:8.生产方提供50箱的一批产品,其中有2箱不合格产品,采购方接收该批产品的准则是:从该批产品中任取5箱产品进行检测,若至多有一箱不合格产品,便接收该批产品,则该批产品被接收的概率是 .解析:设“5箱中的不合格品的箱数”为X, 则该批产品被接收的概率是 P(X ≤1)=P(X=0)+P(X=1)=05248550CC C ⋅+14248550CC C ⋅=243245.答案:2432459.某高校一专业在一次自主招生中,对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试,结果如下表:由于部分数据丢失,只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人,抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25.(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名,求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率;(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名,设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X,求随机变量X 的分布列.解:(1)用A 表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人,抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”,因为语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6+n)名,所以P(A)=620 n = 25,解得n=2,即m=4,用B 表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名,其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”, 所以P(B)=1-2629C C =712.(2)随机变量X 的可能取值为0,1,2.因为20名学生中,语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有8名,所以P(X=0)=212220C C=3395,P(X=1)=11812220C C C =4895,P(X=2)=28220C C = 1495, 所以X 的分布列为。

第五节离散型随机变量及其分布列-备考方向明确I方向比勢力更重要t 复习目标学法指导1. 了解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2. 了解条件概率和两个事件相互独立的概念.3.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.-知识链条完善、离散型随机变量1. 了解离散型随机变量的意义，能利用古典概型的概率公式求分布列.2. 了解两个事件相互独立及独立重复试验的概念,能把复杂事件转化为n个互斥事件的和或几个独立事件的和求解，并注意每个公式的适用条件.f把隸落的知识连起来才网络构建随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,所有取值可以----- 列出的随机变量，称为离散型随机变量.二、离散型随机变量的分布列及性质1. 一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x i,x 2,…,x i,…,x n,X 取每一个值X i(i=1,2,…,n)的概率P(X=x)二p i, 则表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.2.离散型随机变量的分布列的性质(1)P i》0,i=12 …,n.(2)P 1 + P2 +…+P n=1.三、相互独立事件般地,对两个事件A,B,如果P(AB)二P(A)P(B),则称A,B相互独立. 四、两点分布若随机变量X的分布列为则称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率.五、独立重复试验与二项分布1.独立重复试验般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.2.二项分布般地,在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为P,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)= c k p k(1-p) n-k(k=0,1,2,…,n).此时称随机变量X服从二项分布，记作X〜B(n,p),并称P为成功概率.1.概念理解(1)随机变量是将随机试验的结果数量化.(2)离散型随机变量的分布列从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律性.(3)因为一次试验的各种结果是互斥的，而全部结果之和为一个必然事件,所以离散型随机变量的分布列具有性质p+p2 +…+»+••• +p n=1.(4)由事件A和B同时发生所构成的事件称为事件A与B的交(或积),记作An B(或AB).(5)相互独立的两个事件实质上是一个事件的发生对另一个事件的发生没有影响.(6)独立重复试验必须满足三个特征：①每次试验的条件都完全相同，即每次试验事件发生的概率相等；②各次试验互相独立；③每次试验只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.⑺P(X二k)二c n p k(1-p) n-k恰好是[(1-p)+p] n展开式的第k+1 项.. X n-k kTk+二C k(1- p) p.(8)独立重复试验的实际原型是有放回的抽样问题，但在实际中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验,也可以近似地看作此类型.(9)独立重复试验中的概率公式P n(k)= c n p k(1- p) n-k中的P与(1-P)的位置不能互换，否则式子表示为事件A有k次不发生的概率.2.与独立事件有关的结论(1)若A与B相互独立，则A与B, A与B,A与B也都相互独立.⑵ 若A 与B 相互独立，则P(B|A)二P(B)且P(A|B)二P(A). (3) 事件A,B 发生的概率关系如表所示A,P(A) • P(B)A,1-[ P(A)+P(B)P(A ) - P(B )A,概率 P( A+B)A,B 互斥 P( A)+P(B )A,B 相互独立1-P(A) - P(B)P(A - B) P( A - B )温故知新1.随机变量X 的分布列如表：其中a,b,c 成等差数列，则P(|X|=1)等于(A )(A)| (B)l (C)1(D)22.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为-，乙、丙去北京旅游的概率分3别为-,-,假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内三人4 5同去北京旅游的概率为(D )3. 离散型随机变量X 的概率分布规律为P(X 二n)=^」(n=1,2,3,4),n (n +1)其中a 是常数，则P(f vX^)的值为(D(A)| (B)5 (C)2 (D 耳 解析：因为 P(X 二n)=&(n=1,2,3,4),n (n P )所以 a + a + A+A=1,2 6 12 20所以a 仝，4所以 P(-<X<|)=P(X=1)+P(X=2)= 5X 1+彳4. 某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4,那么播下3粒这样的5种子恰有2粒发芽的概率是 答案：绝125-高频考点突破考点一离散型随机变量分布列的性质及其应用(A) 59 (B) 3(C)〕 (D)丄605260解析:因甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别为-,〕，〕，且三人的行345动相互独立，故三人同去北京旅游的概率为2 X1 X34560X -=-.故选 D.6 6｛在训练中幸握方法t【例1】设随机变量X的分布列为P(X=k)=ak(k=1,2,3,4,5).5(1)求a;(2)求P(X》3).5解：(1)由分布列的性质得,P(X=l)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(X=1)=a+2a+3a+4a+5a=1,所5 5 5 5以a=—.15(2)P(X > 3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=1)5 5 5=3X 丄+4X L+5X丄15 15 15_4—5 ■肢思I勢(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时注意检验,保证每个概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列及互斥事件的概率加法公式，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可曾迁極训绦设E是一个离散型随机变量，其分布列为则a等于(D )(A)1 (B)1 士¥ (C)1+ ¥ (D)1-耳11 _2a >0, 解析：由分布列的性质，得4i 2冲1_2a)+a2二1,解得a=1- 故选D.2考点二求离散型随机变量的分布列【例2】一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4,从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率； (2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列.解:(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A,则J Q I J J "P(A)= C2 C5 +C2C5 =6I 一 C _7 ■所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为号.⑵ 随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.Pk1)唁=35，P(X=2)=| = ±P(X=3)=C l = ?,7C7P (X=4)=C4 = 7,C77所以随机变量X的分布列是虞團&列(1)求离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义, 写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列.(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值的概率在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客, 将获得一次摸奖机会，规则如下: 奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球,1个黄球,1个白球和1个 黑球.顾客不放回地每次摸出1个球,若摸到黑球则停止摸奖，否则就 要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元,摸到白球 或黄球奖励5元,摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率;⑵记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X 的分布列.2解:(1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A,则P(A)=^ = 1A 44故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为丄.4⑵ 随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20. P(X=0)=丄,P(X=5)=电二1P(x=10)=占+A _=6,A 4 A 46" A 2.p (X=15)=C2-A^=^,* 6所以，随机变量X 的分布列为A 3P (X=20)=£=1考点三独立重复试验与二项分布【例3】甲将要参加某决赛，赛前A,B,C,D 四位同学对冠军得主进行 竞猜,每人选择一名选手，已知A,B 选择甲的概率均为m,C,D 选择甲的 概率均为n(m>n),且四人同时选择甲的概率为 侖，四人均未选择甲的 概率为1.(1)求m,n 的值;⑵ 设四位同学中选择甲的人数为 X,求X 的分布列和数学期望.解：(1)由已知可得¥(1—m j(1_n )—,I 25|m >n.I 3■m =-, 解得彳121 1 戸. ⑵X 可取0,123,4. P (X=o)=215, 2= 37100P(x=4)=盒X 的分布列为P(X=1)=c 12XP(X=2)= c ； X3X (1 3X (1 53) X (1- 2)2+(1- |)2X c 2X 1 X (1-2)=2，3)Xc ；X£X (1-2)+G )2X(1-p2+(1-|)2xG)P (X=3)= C1；23X (1-3)xG)2+(|)2xc；x x(TV ，E(X)=0 X 丄+1 X 1+2X 2L+3X 2+4X 2=2225 5 100 10 100原圍@緬」二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰有k 次发生的概率，其解题一般思路是：根据题意设出随机变量XT分析出随机变量服从二项分布7找到参数n,pT分析X取每个值对应的k值T将k代入公式求概率.督迁極训缘乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.(1)求甲以4比1获胜的概率;⑵求比赛局数的分布列.解:(1)由已知得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12，设A=｛甲以 4 比 1 获胜｝,则P(A)二c3(2)勒)4-3• 2=1⑵ 设比赛的局数为X,则X的可能取值为4,5,6,7,P(X=4)=2 - P(X=5)=2 - P(X=6)=2 - P(X=7)=2 - (1)4=1,(2)3(2)4-3(2)3(2)5-3(2)3(扩3丄=12 4 '1=_52161_ 5-比赛局数的分布列为古典概型与离散型随机变量的分布列【例题】(2015 •四川卷)某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐了 3名男生、2名女生,B 中学推荐了 3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加 集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率； ⑵ 某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X 表示 参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望.解:(1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率 为 CCH . 因此,A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为丄理100 100⑵根据题意,X 的可能取值为1,2,3.1 3P 以=1)=咨=1,C 65P (X=2)=C^ = -,C65P (X=3)=算=2.C 65所以X 的分布列为-解题规范夯实hJ 在平凡的事情上精益求精t④因此,X的数学期望为E(X)=1 X P(X=1)+2 X P(X=2)+3X P(X=3) =1 X -+2X 3+3X -5 5 5=2.⑤I解題规范回规范要求：步骤①②③④⑤应齐全，能够正确利用计数原理、排列、组合求出概率.温馨提示：对于“至少” “至多”型问题常考虑利用对立事件概率加法公式求解.【规范训练】盒内有大小相同的9个球,其中2个红色球,3个白色球,4 个黑色球.规定取出1个红色球得1分,取出1个白色球得0分,取出1个黑色球得-1分.现从盒内任取3个球.(1)求取出的3个球中至少有1个红球的概率;(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率;(3)设X为取出的3个球中白色球的个数，求X的分布列.解：(1)p=1-耸=2.C912⑵记“取出1个红色球,2个白色球”为事件B, “取出2个红色球,11 2 2 1 个黑色球”为事件C,则P(B+C)二P(B)+P(C)二芈+芈=2.C9 C942⑶X可能的取值为0,1,2,3,X 服从超几何分布，所以P (X=k)= 容,k=0,1,2,3. 故P 以=0)=耸=2,C 9211 2P (X=1)=^ = ^, P (X=2)=CCi = A,C 914P(X=3)=C_ = 84.类型一离散型随机变量1.已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量E ,那么E 的可能取值为（C ）(A)0,1(B)1,2(C)0,1,2 (D)0,1,2,3解析：因为8件产品中有2件次品，所以从中任取3件,表示取到次品 件数的随机变量E 的可能取值为0,1,2.故选C. 类型二求概率2.设随机变量X 的分布列如表，则P （|X-2|=1）等于（C ）所以X 的分布列为F 在煤习中依会学习的乐趣才-课堂类题精练(A) (B) 1 (C) 1 (D) 2解析:由所有概率和为1,可得mi .4又 P(|X-2|=1)=P(X=1)+P(X=3)= 1+ 1=A 故选C.3. 某科研小组共有5名成员,其中男生3名,女生2名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为(C ) (A)| (B)355(C) 1 (D)以上都不对102解析：所求概率卩=1鸟=上C 510故选C.4. 已知甲袋中有1个黄球和2个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球,现随机地从甲袋中取出两个球放入乙袋中，然后从乙袋中随机取出1 个球,则从乙袋中取出红球的概率为(C ) (A)3 (B )2 (C)彳(D)彳 解析：根据题意,分两种情况讨论：1 y2 _2—X — 一 一,339②从甲袋中取出1个红球和1个黄球,其概率为2，此时乙袋中有3个3黄球和3个红球,则从乙袋中取出红球的概率为◎=丄,则这种情况下6 2的概率为3 X 1=!则从乙袋中取出红球的概率为2+1=5 故选C.①从甲袋中取出两个红球，其概率为 红球,则从乙袋中取出红球的概率为1,此时乙袋中有2个黄球和4个34=-,则这种情况下的概率为类型三分布列5.若在甲袋内装有8个白球、4个红球,在乙袋内装有6个白球、6个红球,今从两袋里各任意取出1个球,设取出的白球个数为X,则下列概率中等于C8C611C4C6的是（C ）(A)P(X < 1) (B)P(X < 2)(C) P(X=1) (D) P(X=2)解析:P(X=1)= g+g ,故选 C.C12C126.若随机变量X的分布列为则当P（Xva）=0.8时，实数a的取值范围是（C ）(A)(- - ,2] (B)[1,2] (C)(1,2] (D)(1,2)解析：由随机变量X的分布列知:P (X<-1)=0.1, P(XV0)=0.3 ,P (XV1)=0.5, P(XV2)=0.8, 则当P（X<a）=0.8时，实数a的取值范围是（1,2].故选C.7.设E为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，E =0;当两条棱平行时，E的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，E =1,则随机变量E的分布列是解析：E的可能取值为0,1, 0p( S =0)=8|呻， P 仁询喀呻.答案:P( S =1)=1-p( S =0)-P( S =72)=1-岛孑善8.生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品，采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有 一箱不合格产品，便接收该批产品，则该批产品被接收的概率解析：设“5箱中的不合格品的箱数”为X, 则该批产品被接收的概率是答案：2439. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓 要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次 音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分, 没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的 概率为丄，且各次击鼓出现音乐相互独立.2(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X 的分布列; (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？解:(1)X 的可能取值有-200,10,20,100.根据题意,有P(X=-200)= c 3(1)0(1- 2)3=8,P (X=10)=c 3( 1)1(1- 1)2=3,2 2 8P(XW 1)=P(X=0)+P(X=1)= CcC 量 +c 2 C 48 = 243 — C ：。