高中数学 随机变量及其分布列 版块一 离散型随机变量及其分布列1完整讲义(学生版)

理科数学复习专题 统计与概率 离散型随机变量及其分布列知识点一1、离散型随机变量：随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，X,Y ,表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。

2、 离散型随机变量的分布列及其性质：〔1〕定义：一般的，假设离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,,,,i n x x x x X 取每一个值(1,2,,)i x in 的概率为()i i P Xx p ，那么表称为离散型随机变量离散型随机变量X ，简称X 的分布列。

〔2〕分布列的性质：①0,1,2,,ip in ；②11nii p〔3〕常见离散型随机变量的分布列： ①两点分布：假设随机变量X 的分布列为, 那么称X 服从两点分布，并称(1)pP x为成功概率②超几何分布：一般的，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，那么()(0,1,2,,k nk M NMn NC C P Xk km C 其中min{,}m M n ，且*,,,,)nN MN n M NN ,称分布列为超几何分布列。

如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布0n M NMn NCC1n M NMn NC Cm n m M NMn NC C3、随机变量的数学期望〔均值〕与方差题型一 由统计数据求离散型随机变量的分布列【例1】一随机变量的分布列如下，且E (ξ)＝6.3，那么a 值为( )A. 5 【变式1】 某公司有5万元资金用于投资开发工程，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似工程开发的实施结果：那么该公司一年后估计可获收益的期望是________．题型二 由古典概型求离散型随机变量的分布列〔超几何分布〕【例2】在一次购物抽奖活动中，假设某10券中有一等奖券1，可获价值50元的奖品；有二等奖券3，每可获价值10元的奖品；其余6没有奖．某顾客从此10奖券中任抽2，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X 元的概率分布列．【变式2】某饮料公司招聘了一名员工，现对其进展一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全一样，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．假设4杯都选对，那么月工资定为3 500元；假设4杯选对3杯，那么月工资定为2 800元；否那么月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望．知识点二1．条件概率及其性质对于两个事件A 和B ，在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率叫做条件概率，用符号P (A |B )来表示，其公式为P (A |B )＝P (AB )P (B )(P (B )>0)．在古典概型中，假设用n (B )表示事件B 中根本领件的个数，那么P (A |B )＝n (AB )n (B ).2．相互独立事件(1)对于事件A 、B ，假设事件A 的发生与事件B 的发生互不影响，称A 、B 是相互独立事件． (2)假设A 与B 相互独立，那么P (AB )＝P (A )P (B )．(3)假设A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)假设P (AB )＝P (A )P (B )，那么A 与B 相互独立． 3．二项分布(1)独立重复试验是指在一样条件下可重复进展的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．题型三 条件概率例1(1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数〞，事件B 为“取到的2个数均为偶数〞，那么P (B |A )＝ ________.(2)如下图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 〞，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影局部)〞，那么P (B |A )＝________.练：某地空气质量监测资料说明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，某天的空气质量为优良，那么随后一天的空气质量为优良的概率是________．题型四 由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列〔二项分布〕例1 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢送歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，“求X ≥2〞的事件概率．例2在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名学生选做每一道题的概率均为12.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布．练习：一款击鼓小游戏的规那么如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐那么扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的概率分布．(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？【误区解密】抽取问题如何区分超几何分布和二项分布？例：某学校10个学生的考试成绩如下：〔≥98分为优秀〕〔1〕10人中选3人，求至多1人优秀的概率〔2〕用10人的数据估计全级，从全级的学生中任选3人，用X表示优秀人数的个数，求X 的分布列练：18、某市在“国际禁毒日〞期间，连续假设干天发布了“珍爱生命，远离毒品〞的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这那么广告的10,20，宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段在[)[)50,60的市民进40,50，[)30,40，[)20,30，[)展问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如下图.30,40的人〔Ⅰ〕求随机抽取的市民中年龄在[)数；50,60年龄段〔Ⅱ〕从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5从，求[)抽取的人数；〔Ⅲ〕从〔Ⅱ〕中方式得到的5人中再抽到2人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[)50,60年龄段的人数，求X的分布列及数学期望.2、一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽一样的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量〔单位：克〕，重量分组区间为〔5，15]，〔15，25]〔25，35]，〔35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图．〔Ⅰ〕求a的值；〔Ⅱ〕根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；〔Ⅲ〕从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在〔5，15]的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望及方差．。

1． 离散型随机变量及其分布列⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示．如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列将离散型随机变量X 所有可能的取值x 与该取值对应的概率p (1,2,,)i n =列表表示：X 1x 2x … i x … n x P1p2p…i p…n pX 的分布列．2．几类典型的随机分布⑴两点分布如果随机变量X 的分布列为X 1 0 P p q其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X X 的分布列满足二点分布．X 1P 0.8 0.2两点分布又称01-布又称为伯努利分布．⑵超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N MnNP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X知识内容离散型随机变量的定义取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．⑶二项分布1．独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k k n kn n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 2．二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =．于是得到由式0111()CC CC nn n k kn k nn nnn nq p pq pq p q p q--+=++++ 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布， 记作~(,)X B n p ．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑷正态分布1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()2()x f x μσ--=，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．⑷若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特别的，2~(01)N ξμσ-，，称22()t x x dt φ-=⎰为标准正态分布函数． ()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．3．离散型随机变量的期望与方差1．离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则1122()n n E x x p x p x p =+++，叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）．离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2．离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差．离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．()D X 叫做离散型随机变量X 的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．3．X 为随机变量，a b ，为常数，则2()()()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，； 4． 典型分布的期望与方差：⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．⑵二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑶超几何分布：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布，则()nME X N=，2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-．4．事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．5．条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =（或D AB =）．【例1】 以下随机变量中，不是离散型随机变量的是：⑴ 某城市一天之内发生的火警次数X ； ⑵ 某城市一天之内的温度Y ．【考点】离散型随机变量的定义 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】⑴ X 是随机变量，其取值为012，，，；⑵ Y 不是随机变量，它可以取某一范围内的所有实数，无法一一列举．【例2】 下列随机变量中，不是离散随机变量的是（ ）A ．从10只编号的球 （ 0号到9号） 中任取一只，被取出的球的号码ξB ．抛掷两个骰子，所得的最大点数ξC ．[]0,10区间内任一实数与它四舍五入取整后的整数的差值ξD ．一电信局在未来某日内接到的电话呼叫次数ξ【考点】离散型随机变量的定义 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无【解析】A 中ξ为取值于0,1,2,...,9的随机变量，自然是离散型；B 中ξ为取值于1,2,...,6的随机变量，离散型；D 中ξ为取值于0,1,2,...非负整数集的随机变量，离散型，故而选C ． 事实上，C 为取值于[)0,1区间的连续型随机变量．【答案】C ；【例3】 写出下列各随机变量可能的取值．⑴ 小明要去北京旅游，可能乘火车、汽车，也可能乘飞机，他的旅费分别为100元、260元和600 元，记他的旅费为X ； ⑵ 正方体的骰子，各面分别刻着123456，，，，，，随意掷两次，所得的点数之和X ． 【考点】离散型随机变量的定义典例分析【难度】1星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】⑴ 100260600X =，，；⑵ 23412X =，，，，．【例4】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．⑴一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；⑵某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η． 注意事件与数字间的对应关系．【考点】离散型随机变量的定义 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】⑴ ξ可取3，4，53ξ=，表示取出的3个球的编号为1，2，3；4ξ=，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4； 5ξ=，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5．⑵η可取0，1，…，n ，…i η=，表示被呼叫i 次，其中0,1,2,...i =．离散型随机变量的取值可以一一列举，当可取值较多时也可采用类似⑵的表示方法．【例5】 抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么4ξ=表示的随机试验结果是（ ）A ．一颗是3点，一颗是1点B ．两颗都是2点C ．两颗都是4点D ．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点【考点】离散型随机变量的定义 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无【解析】对A，B中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D是4ξ=代表的所有试验结果．掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键．【答案】D；【例6】如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是（）A．ξ取每一个可能值的概率都是非负数；B．ξ取所有可能值的概率之和为1；C．ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D．ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和【考点】离散型随机变量的定义【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】略【答案】D；。

第7节离散型随机变量及其分布列最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.知识梳理1.离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i ＝1，2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，则表X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n称为离散型随机变量X的概率分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质：①p i≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝1.3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为，X 0 1P 1－p p其中p＝P(X＝1)称为成功概率.(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.X 01…mP C0M C n－0N－MC n NC1M C n－1N－MC n N…C m M C n－mN－MC n N1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义.()(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，X 2 5P 0.30.7则它服从两点分布.()(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布.()2.(选修2－3P49练习2改编)抛掷一枚质地均匀的硬币2次，则正面向上次数X的所有可能取值是________.3.(选修2－3P77A1改编)已知离散型随机变量X的分布列为则常数q＝________.4.(2018·菏泽联考)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为()A.1220 B.2755 C.27220 D.21555.(2019·郑州二模)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________.6.(2019·南宁二模改编)设随机变量X的概率分布列为X 123 4P 13m1416则P(|X－3|＝1)＝________. X 01 2 P 0.51－2q q2考点一 离散型随机变量分布列的性质【例1】 设随机变量X 的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1，2，3，4，5).(1)求a 的值； (2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥35；(3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X ≤710.规律方法 分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.【训练1】 随机变量X 的分布列如下：X －1 0 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________. 考点二 超几何分布的应用典例迁移【例2】 (经典母题)(2017·山东卷改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列.【迁移探究1】用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的分布列.【迁移探究2】用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，求X的分布列.规律方法 1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.【训练2】(2018·天津卷节选)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.考点三求离散型随机变量的分布列【例3】(2019·豫南九校联考改编)为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列.规律方法求随机变量分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格.对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量对应的概率.【训练3】已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.[思维升华]1.对于随机变量X的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率.2.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率.[易错防范]掌握离散型随机变量的分布列，须注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率.看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率.(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.(3)超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要会根据问题特征去判断随机变量是否服从超几何分布，然后利用相关公式进行计算.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球C.取到白球的个数D.取到的球的个数2.某射手射击所得环数X的分布列为则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()A.0.28B.0.88C.0.79D.0.513.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是()A.ξ＝4B.ξ＝5C.ξ＝6D.ξ≤54.从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是()A.435 B.635 C.1235 D.363435.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于()A.15 B.25 C.35 D.45二、填空题6.若离散型随机变量X的分布列为则常数c的值为________.7.袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________.8.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________.三、解答题9.某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列.6种坐法.(1)求n的值；(2)求随机变量X的概率分布列.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1<x2，则P(x1≤ξ≤x2)等于()A.(1－α)(1－β)B.1－(α＋β)C.1－α(1－β)D.1－β(1－α)12.一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于（n－m）A2mA3n的是()A.P(X＝3)B.P(X≥2)C.P(X≤3)D.P(X＝2)13.口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的分布列为________.14.(2019·长沙模拟)私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力.为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查结果进行整理后制成下表：(1)若从年龄在[15，25)和[25，35)这两组的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；(2)在(1)的条件下，令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列.。

离散型随机变量及其分布列编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1．了解离散型随机变量的概念．2．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．3．掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单问题．4. 理解两个特殊的分布列：“两点分布”和“超几何分布”。

【要点梳理】要点一、随机变量和离散型随机变量1. “随机试验”的概念一般地，一个试验如果满足下列条件：a ．试验可以在相同的情形下重复进行．B ．试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个．c ．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．2．随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z （或小写希腊字母ξ，η，ζ）等表示。

要点诠释:（1）所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的。

例如，任意掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上这两种结果，虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但仍可以用数量来表示它，比如，我们用ξ来表示这个随机试验中出现正面向上的次数，则ξ=0，表示试验结果为反面向上，ξ=1，表示试验结果为正面向上。

（2）随机变量实质是将随机试验的结果数量化 。

3．离散型随机变量的定义如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….4. 随机变量的分类随机变量有以下两种：(1)离散型随机变量:(2)连续型随机变量: 如果随机变量可以取其一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量．要点诠释:离散型随机变量和连续型随机变量的区别：离散型随机变量，它所可能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出.连续性随机变量可取某一区间内的一切值，我们无法将其中的值一一列举．例如，抛掷一枚骰子，可能出现的点数就是一个离散型随机变量；某人早晨在出租车站等出租车的时间（单位：秒）就不是一个离散型随机变量．5. 若是随机变量，其中a,b 是常数，则也是随机变量，并且不改变其属性（离散型、连续型）。

1． 离散型随机变量及其分布列⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示．如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列将离散型随机变量X 所有可能的取值x 与该取值对应的概率p (1,2,,)i n =列表表示：X 1x 2x … i x … n x P1p2p…i p…n pX 的分布列．2．几类典型的随机分布⑴两点分布如果随机变量X 的分布列为X 1 0 P p q其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X X 的分布列满足二点分布．X 1P 0.8 0.2两点分布又称01-布又称为伯努利分布．⑵超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N MnNP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X知识内容离散型随机变量的定义取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．⑶二项分布1．独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k k n kn n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 2．二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =．于是得到由式0111()CC CC nn n k kn k nn nnn nq p pq pq p q p q--+=++++ 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布， 记作~(,)X B n p ．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑷正态分布1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()2()x f x μσ--=，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．⑷若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特别的，2~(01)N ξμσ-，，称22()t x x dt φ-=⎰为标准正态分布函数． ()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．3．离散型随机变量的期望与方差1．离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则1122()n n E x x p x p x p =+++，叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）．离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2．离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差．离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．()D X 叫做离散型随机变量X 的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．3．X 为随机变量，a b ，为常数，则2()()()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，； 4． 典型分布的期望与方差：⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．⑵二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑶超几何分布：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布，则()nME X N=，2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-．4．事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．5．条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =（或D AB =）．【例1】 以下随机变量中，不是离散型随机变量的是：⑴ 某城市一天之内发生的火警次数X ； ⑵ 某城市一天之内的温度Y ．【例2】 下列随机变量中，不是离散随机变量的是（ ）A ．从10只编号的球 （ 0号到9号） 中任取一只，被取出的球的号码ξB ．抛掷两个骰子，所得的最大点数ξC ．[]0,10区间内任一实数与它四舍五入取整后的整数的差值ξD ．一电信局在未来某日内接到的电话呼叫次数ξ【例3】 写出下列各随机变量可能的取值．⑴ 小明要去北京旅游，可能乘火车、汽车，也可能乘飞机，他的旅费分别为100元、260元和600 元，记他的旅费为X ； ⑵ 正方体的骰子，各面分别刻着123456，，，，，，随意掷两次，所得的点数之和X ．【例4】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．⑴一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；⑵某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η．典例分析注意事件与数字间的对应关系．ξ=表示的随机试验结果是（）【例5】抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么4A．一颗是3点，一颗是1点B．两颗都是2点C．两颗都是4点D．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点【例6】如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是（）A．ξ取每一个可能值的概率都是非负数；B．ξ取所有可能值的概率之和为1；C．ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D．ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和。

2．1.1 离散型随机变量知识点 随机变量(1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个□01确定的数字表示．在这个对应关系下，□02数字随着□03试验结果的变化而变化．像这种随着□04试验结果变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母□05X ，Y ，ξ，η表示． 知识点随机变量与函数的关系知识点 离散型随机变量 所有取值可以□01一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．随机试验的特点(1)试验的所有结果可以用一个数来表示；(2)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前，却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．判断一个变量是否为离散型随机变量，首先看它是不是随机变量，其次看可能取值是否能一一列出，也就是说变量的取值若是有限的，或者是可以列举出来的，就可以视为离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的取值是任意的实数．( )(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．( )答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(1)甲进行3次射击，甲击中目标的概率为12，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________．(2)同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为________．(3)在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件取到次品就停止，抽取次数为X，则X＝3表示的试验是________．答案(1)0,1,2,3 (2){0,1,2,3,4,5} (3)共抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品解析(1)甲可能3次全击中，也可能一次未中，中1次，2次，所以ξ的取值为0,1,2,3.(2)当硬币全部为正面向上时，ξ＝0，硬币反面向上的个数还可能有1个，2个，3个，4个，也可能都反面向上，即5个．(3)由随机试验可知X＝3表示抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品．探究1 随机变量的概念例1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．(1)某机场一年中每天运送乘客的数量．(2)某单位办公室一天中接到电话的次数．(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数．(4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．[解] (1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．(4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量．拓展提升随机变量的辨析方法(1)随机试验的结果是否具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．(2)随机试验的结果的确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．[跟踪训练1]指出哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；(3)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；(4)某个人的属相随年龄的变化．解 (1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0,1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，因此出现正面向上的次数是随机变量．(3)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．(4)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量． 探究2 离散型随机变量的判定例2 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)某超市5月份每天的销售额；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位监测站所测水位ξ.[解] (1)某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．(3)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．拓展提升判断一个随机变量X 是否为离散型随机变量的关键是判断随机变量X 的所有取值是否可以一一列出，其具体方法如下：(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的试验结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．[跟踪训练2] 某市公交公司规定：身高不超过120 cm 的学生免费乘车，凡身高超过120 cm 的学生，每次乘车0.5元，若学生每次乘车应交的车费为η(单位：元)，学生的身高用ξ(单位：cm)表示，那么ξ和η是不是离散型随机变量？若是，请写出相应的取值情况．解 由于每个学生对应唯一的一个身高，并且可以一一列举出来，因此ξ是一个离散型随机变量，其取值为本市所有学生的身高．η＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0(ξ≤120)，0.5(ξ>120)，因此η也是一个离散型随机变量，其取值为0,0.5.探究3 随机变量的应用例3 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，每次取到的红球不放回，直到取出的球是白球为止所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．[解] (1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前(i－1)次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2， (11)(2)设所取卡片上的数字之和为ξ，则ξ可取3,4，…，11，其中：{ξ＝3}表示取出标有1,2的两张卡片；{ξ＝4}表示取出标有1,3的两张卡片；{ξ＝5}表示取出标有1,4或2,3的两张卡片；{ξ＝6}表示取出标有1,5或2,4的两张卡片；{ξ＝7}表示取出标有1,6或2,5或3,4的两张卡片；{ξ＝8}表示取出标有2,6或3,5的两张卡片；{ξ＝9}表示取出标有3,6或4,5的两张卡片；{ξ＝10}表示取出标有4,6的两张卡片；{ξ＝11}表示取出标有5,6的两张卡片．拓展提升解此类题主要是运用离散型随机变量的定义，随机变量X满足三个特征：①可以用数来表示；②试验前可以判断其可能出现的所有值；③在试验前不能确定取何值．[跟踪训练3]写出下列随机变量ξ的所有可能取值，并说明随机变量ξ＝4所表示的随机试验的结果．(1)从10张已编号的卡片(编号从1号到10号)中任取2张(一次性取出)，被取出的卡片的较大编号为ξ；(2)某足球队在点球大战中5次点球射进的球数为ξ.解(1)ξ的所有可能取值为2,3,4，…，10.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大号码为4”．基本事件有如下三种：取出的两张卡片编号分别为1和4,2和4或3和4.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“5次点球射进4个球”．1．下列变量中，不是随机变量的是( )A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数答案 B解析标准状态下，水沸腾时的温度是一个确定值，而不是随机变量．故选B.2．若用随机变量X表示从一个装有1个白球、3个黑球、2个黄球的袋中取出的4个球中不是黑球的个数，则X的取值不可能为 ( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 A解析由于白球和黄球的个数和为3，所以4个球不是黑球的个数分别可能是1,2,3，X 不可能取0.故选A.3．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是________．答案300,100，－100，－300解析可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．4．连续不断地射击某一目标，首次击中目标需要的射击次数X是一个随机变量，则X＝4表示的试验结果是________．答案前3次未击中目标，第4次击中目标解析由于随机变量X表示首次击中目标需要的射击次数，所以当X＝k时，表示前k－1次均未击中目标，第k次击中目标，故X＝4表示的试验结果为前3次未击中目标，第4次击中目标．5．同时掷两枚质地均匀的硬币．(1)用X表示掷出正面的个数，要表示试验的全部可能结果，X应取哪些值？(2)X<2和X>0各表示什么？解(1)掷两枚硬币时，掷出正面的个数可能是0,1,2中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的．用X表示掷出正面的个数，X的值应随机地取0,1,2中的某个．(2)X<2表示事件“正面个数小于2”，即事件“正面个数为0或1”；X>0表示事件“正面个数大于0”，即事件“正面个数为1或2”．。

1． 离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示．如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，那么称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列将离散型随机变量X 所有可能的取值x 与该取值对应的概率p (1,2,,)i n =列表表示：X 1x 2x … i x … n x P1p2p…i p…n pX 的分布列．2．几类典型的随机分布 ⑴两点分布如果随机变量X 的分布列为X 1 0P p q其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，产品的合格率为80%，随机变量X X 的分布列满足二点分布．X 1P 0.8 0.2两点分布又称01-布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn NP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． ⑶二项分布1．独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)kk n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 2．二项分布假设将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试知识内容验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =．于是得到X由式00111()C C C C n n n k k n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布， 记作~(,)X B n p ．二项分布的均值与方差：假设离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，那么 ()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑷正态分布1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，那么这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，那么表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()2()x f x μσ--=，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%． ②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原那么． ⑷假设2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，那么称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特别的，2~(01)N ξμσ-，，称22()t x x dt φ-=⎰为标准正态分布函数． ()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．3．离散型随机变量的期望与方差 1．离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，那么1122()n n E x x p x p x p =+++，叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望〔简称期望〕．离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2．离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，那么2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差．离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小〔离散程度〕．()D X 的算术平方根()D x 叫做离散型随机变量X 的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．3．X 为随机变量，a b ，为常数，那么2()()()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，； 4． 典型分布的期望与方差：⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．⑵二项分布：假设离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，那么()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑶超几何分布：假设离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布，那么()nME X N=，2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-．4．事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．5．条件概率对于任何两个事件A 和B ，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A 〞来表示．把由事件A 与B 的交〔或积〕，记做D A B =〔或D AB =〕．【例1】 投掷1枚骰子的点数为ξ，那么ξ的数学期望为〔 〕A ．3B ．3.5C ．4D ．4.5【例2】 同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，那么ξ的数学期望是〔 〕 A ．20B ．25C ．30D ．40典例分析【例3】 从123456，，，，，这6个数中任取两个，那么两数之积的数学期望为．【例4】 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现共有4颗子弹，命中后尚余子弹数目ξ的期望为〔 〕A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4【例5】 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c 〔a 、b 、()01c ∈，〕，他投篮一次得分的数学期望为2〔不计其它得分情况〕，那么ab 的最大值为〔 〕 A ．148B ．124C ．112D ．16【例6】 一家保险公司在投保的50万元的人寿保险的保单中，估计每一千保单每年有15个理赔，假设每一保单每年的营运成本及利润的期望值为200元，试求每一保单的保费．【例7】 甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为1212()P P P P >，，该题被甲或乙解出的概率为0.8，甲乙两人同时解出该题的概率为0.3，求： ⑴12P P ，； ⑵解出该题的人数X 的分布列及EX ．【例8】 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙那么约定：两人面试都合格就一同签约，否那么两人都不签约．设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响．求签约人数ξ的数学期望．【例9】某批发市场对某种商品的周销售量〔单位：吨〕进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：⑵每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和〔单位：千元〕．假设以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．【例10】某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为23，科目B每次考试成绩合格的概率均为12．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．【例11】某同学如下图的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外〔环数记为0〕的概率为0.1，飞镖落在靶内的各个点是椭机的．圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30cm、20cm、10cm，飞镖落在不同区域的环数如图中标示．设这位同学投掷一次一次得到的环数这个随机变量X，求X的分布列及数学期望．1098【例12】 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润． ⑴ 求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款〞的概率()P A ；⑵ 求η的分布列及期望E η．【例13】 学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且7(0)10P ξ>=． ⑴求文娱队的人数；⑵写出ξ的概率分布列并计算期望．【例14】一接待中心有A、B、C、D四部热线．某一时刻A、B占线的概率为0.5，C、D占线的概率为0.4，各部是否占线相互之间没有影响．假设该时刻有X部占线，试求随机变量X的概率分布和它的期望．【例15】某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.40.50.6，，，且客人是否游览哪个景点互不影响，设X表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．求X的分布及数学期望．【例16】某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答以下问题者进入下一轮考核，否那么即被淘汰．某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45、3 5、25，且各轮问题能否正确回答互不影响．⑴ 求该选手被淘汰的概率；⑵ 该选手在选拔中回答以下问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．〔注：本小题结果可用分数表示〕【例17】在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为0.4，0.5，0.8，在测试过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响．⑴求甲、乙、丙三人均达标的概率；⑵求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率；⑶设X表示测试结束后达标人数与没达标人数之差的绝对值，求X的概率分布及数学期望EX．【例18】在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个数．⑴ 求这3个数中恰有1个是偶数的概率；⑵ 设ξ为这3个数中两数相邻的组数〔例如：假设取出的数为1，2，3，那么有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2〕．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【例19】甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙那么约定：两人面试都合格就一同签约，否那么两人都不签约．设甲面试合格的概率为12，乙、丙面试合格的概率都是13，且面试是否合格互不影响．求：⑴ 至少有1人面试合格的概率；⑵ 签约人数X的分布列和数学期望．【例20】某公司“咨询热线〞共有8路外线，经长期统计发现，在8点到10点这段时间内，外线同时打入情况如下表所示：①求至少一种不能一次接通的概率；②在一周五个工作日中，如果至少有三个工作日的这段时间〔8点至10点〕内至少一路不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用该事件的概率表示公司形象的“损害度〞，求上述情况下公司形象的“损害度〞．⑵求一周五个工作日的这段时间〔8点至10点〕内，同时打入数ξ的期望．【例21】某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，假设该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率，如图．〔例如：A C D→→算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为110，路段CD发生堵车事件的概率为115〕．记路线A C F B→→→中遇到堵车次数为随机变量X，求X的数学期望()E X．11510【例22】口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规那么从袋中有放回摸球，每次摸出一个球，规那么如下：假设一方摸出一个红球，那么此人继续下一次摸球；假设一方摸出一个白球，那么由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球；求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数ξ的分布列及数学期望．【例23】某商场举行抽奖促销活动，抽奖规那么是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额．求：⑴X的概率分布；⑵X的期望．【例24】 如下图，甲、乙两只小蚂蚁分别位于一个单位正方体的A 点和1C 点处，每只小蚂蚁都可以从每一个顶点处等可能地沿各条棱向每个方向移动，但不能按原路线返回．如：甲在A 时可沿AB ，AD ，1AA 三个方向移动，概率都是13，到达B 点时，可沿BC ，1BB 两个方向移动，概率都是12．小蚂蚁每秒钟移动的距离为1个单位． ⑴如果甲、乙两只小蚂蚁都移动1秒，那么它们所走的路线是异面直线的概率是多少？⑵假设乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒后，甲、乙两只小蚂蚁间的距离的期望值是多少？D 1C 1(乙)B 1A (甲)BCD A 1【例25】从集合{}12345，，，，的所有非空子集．．．．中，等可能地取出一个．⑴记性质:γ集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；⑵记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【例26】某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B 肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是12．同样也假定D受A、B和C感染的概率都是1 3．在这种假定之下，B、C、D中直接．．受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列〔不要求写出计算过程〕，并求X的均值〔即数学期望〕．【例27】⑴用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案?⑵用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．求恰有两个区域用红色鲜花的概率．⑶条件同⑵，记花圃中红色鲜花区域的块数为X ，求它的分布列及其数学期望EX ．图二图一【例28】 有甲、乙两个箱子，甲箱中有6X 卡片，其中有2X 写有数字0，2X 写有数字1，2X写有数字2；乙箱中有6X 卡片，其中3X 写有数字0，2X 写有数字1，1X 写有数字2．⑴如果从甲箱中取出1X 卡片，乙箱中取出2X 卡片，那么取得的3X 卡片都写有数字0的概率是多少？⑵从甲、乙两个箱子中各取一X 卡片，设取出的2X 卡片数字之积为X ，求X 的分布列和期望．【例29】 A B ，两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是123A A A ，，，B 队队员是123B B B ，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分．设A 队、B 队最后总分分别为ξη，．求ξη，的期望．【例30】 连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i 次得到的点数为i a ，假设存在正整数k ，使126k a a a ++=，那么称k 为你的幸运数字．⑴求你的幸运数字为4的概率；⑵假设1k =，那么你的得分为6分；假设2k =，那么你的得分为4分；假设3k =，那么你的得分为2分；假设抛掷三次还没找到你的幸运数字那么记0分．求得分ξ的分布列和数学期望．【例31】 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否那么投第三次，某同学在A 处的命中率1q 为0.25，在B 处的命中率为2q ，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为2⑵ 求随机变量ξ的数学期望E ξ；⑶ 试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．【例32】 在奥运会射箭决赛中，参赛为1~4号的四名射箭运动员参加射箭比赛．⑴通过抽签将他们安排到1~4号靶位，试求恰有两名运动员所抽靶位号与其参赛相同的概率；⑵记1号、2号射箭运动员射箭的环数为ξ〔ξ所有取值为01210，，，，〕的概率分别为1P 、2P ．根据教练员提供的资料，其概率分布如下表：②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由．【例33】 某人有10万元，准备用于投资房地产或购买股票，如果根据盈利表进行决策，那么，合理的投资方案应该是哪种？【例34】甲、乙两名工人加工同一种零件，分别检测5个工件，结果分别如下：试比较他们的加工水平．【例35】一软件开发商开发一种新的软件，投资50万元，开发成功的概率为0.9，假设开发不成功，那么只能收回10万元的资金，假设开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元，召开新闻发布会成功的概率为0.8，假设发布成功那么可以销售100万元，否那么将起到负面作用只能销售60万元，而不召开新闻发布会那么可销售75万元．⑴求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率．⑵如果开发成功就召开新闻发布会的话，求开发商的盈利期望．⑶如果不召开新闻发布会，求开发商盈利的期望值，并由此决定是否应该召开新闻发布会．【例36】某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85．假设预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少．〔总费用＝采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值．〕【例37】最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案：第一种方案：将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%〔只有这两种可能〕，且获利的概率为12；第二种方案：将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年可能获利20%，也可能损失10%，也可能不赔不赚，且三种情况发生的概率分别为311 555，，；第三种方案：将10万块钱全部存入银行一年，现在存款利率为4%，存款利息税率为5%．针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由．【例38】 某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；假设实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．假设实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案，第二年与第一年相互独立．令(12)i i ξ=，表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．⑴写出12ξξ，的分布列；⑵实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？ ⑶不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？【例39】 某企业准备投产一批特殊型号的产品，该种产品的成本C 与产量q 的函数关系式为3232010(0)3q C q q q =-++>，该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p 与产量q 的函数关系式如下表所示：123k q ，而市场前景无法确定的利润． ⑴分别求利润123L L L ，，与产量q 的函数关系式； ⑵当产量q 确定时，求期望k E ξ；⑶试问产量q 取何值时，市场无法确定的利润取得最大值．【例40】 某电器商由多年的经验发现本店出售的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列1()(1212)12P kξξ===，，，，设每售出一台电冰箱，该台冰箱可获利300元，假设售不出那么囤积在仓库，每台需支付保管费100元/月，问：该电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己的月平均收入最大？【例41】某鲜花店每天以每束2.5元购入新鲜玫瑰花并以每束5元的价格销售，店主根据以往的销售统计得到每天能以此价格售出的玫瑰花数ξ的分布列如表所示，假设某天所购进的玫瑰花未售完，那么当天未售出的玫瑰花将以每束1.5元的价格降价处理完毕．⑴假设某天店主购入玫瑰花40束，试求该天其从玫瑰花销售中所获利润的期望；⑵店主每天玫瑰花的进货量x〔3050x≤≤，单位：束〕为多少时，其有望从玫。