随机变量及其分布

概率论中的随机变量及其分布的特点和性质随机变量是概率论与数理统计中的一个重要概念，它可用于描述某种随机过程中，可能出现的各种数值结果。

其定义包括两个方面，即具有某种分布规律和可能取相应数值。

下面就随机变量及其分布的特点和性质，进行介绍和探讨。

一、随机变量的定义和基本概念随机变量是将随机试验的结果映射到一组实数，即使试验的结果不确定，随机变量却具有确定性的特征。

常用符号包括X、Y等，大写表示随机变量本身，小写表示特定的取值。

随机变量仅是映射结果，而不是试验过程本身。

随机变量可以是离散型和连续型两种。

如果随机变量只能取离散值，称为离散随机变量，如掷骰子、投硬币等试验结果；如果随机变量是在一连续的区间上变化的，称为连续随机变量，如电压、温度等。

概率分布是随机变量取各种可能值的可能性大小，通常由概率密度函数或累积分布函数来描述。

概率密度函数是表示连续随机变量X 可能取到某个数值的概率分布，表示为f(x)，满足非负性、归一性和可积性。

累积分布函数是表示随机变量X小于等于x的概率分布，表示为F(x)，具有单调不降性和右连续性。

二、离散型随机变量及其分布的特点和性质离散型随机变量指只可能取离散值的随机变量，取值只能是有限或无限个数，但个数可以是可数的。

例如，某班学生的身高和体重等指标就是离散型随机变量。

离散型随机变量的概率分布通常用概率质量函数表示，通常记为P(X=x)，表示随机变量X取值为x的概率，满足非负性和归一性。

离散随机变量的特点和性质如下：1. 概率非负性：对于任意一个取值x，有P(X=x)≥0。

2. 归一性：所有可能取值x的概率之和为1，即∑P(X=x)=1。

3. 可数性：离散随机变量的取值是有限个或可数无限个。

4. 期望与方差：离散随机变量的期望和方差分别为E(X)=∑xP(X=x)和Var(X)=E[X-E(X)]^2=∑(x-E(X))^2P(X=x)。

5. 独立性：如果两个离散随机变量X和Y，对于任何一组实数x 和y，都有P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)，则称X和Y是独立的。

第二章 随机变量及其分布18.[十七] 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F X ，求（1）P (X<2), P {0<X ≤3}, P (2<X<25)；（2）求概率密度f X (x ). 解：（1）P (X ≤2)=F X (2)= ln2， P (0<X ≤3)= F X (3)－F X (0)=1，45ln 2ln 25ln )2()25(252(=-=-=<<X X F F X P （2）⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它,0,1,1)(')(e x x x F x f24.[二十二] 设K 在（0，5）上服从均匀分布，求方程02442=+++K xK x 有实根的概率∵ K 的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他50051)(K K f要方程有根，就是要K 满足(4K )2－4×4× (K+2)≥0。

解不等式，得K ≥2时，方程有实根。

∴53051)()2(5522=+==≥⎰⎰⎰∞+∞+dx dx dx x f K P 25.[二十三] 设X ～N （3.22）（1）求P (2<X ≤5)，P (－4)<X ≤10)，P {|X|>2}，P (X>3)∵ 若X ～N （μ，σ2），则P (α<X ≤β)=φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-σμβφ⎪⎭⎫ ⎝⎛-σμα ∴P (2<X ≤5) =φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-235φ⎪⎭⎫ ⎝⎛-232=φ(1)－φ(－0.5) =0.8413－0.3085=0.5328P (－4<X ≤10) =φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2310φ⎪⎭⎫ ⎝⎛--234=φ(3.5)－φ(－3.5) =0.9998－0.0002=0.9996P (|X |>2)=1－P (|X |<2)= 1－P (－2< P <2 )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-2322321 =1－φ(－0.5) +φ(－2.5) =1－0.3085+0.0062=0.6977P (X >3)=1－P (X ≤3)=1－φ⎪⎭⎫⎝⎛-233=1－0.5=0.5（2）决定C 使得P (X > C )=P (X ≤C )∵P (X > C )=1－P (X ≤C )= P (X ≤C )得 P (X ≤C )=21=0.5 又P (X ≤C )=φ023,5.023=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C C 查表可得∴ C =3 28.[二十六] 一工厂生产的电子管的寿命X （以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要求P (120＜X ≤200＝=0.80，允许σ最大为多少？∵ P (120＜X ≤200)=80.04040160120160200=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φσσσσ 又对标准正态分布有φ(－x )=1－φ(x )∴ 上式变为80.040140≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ--⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ 解出9.040:40≥⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ便得 再查表，得25.31281.140281.140=≤≥σσ 31.[二十八] 设随机变量X 在（0，1）上服从均匀分布 （1）求Y=e X 的分布密度∵ X 的分布密度为：⎩⎨⎧<<=为其他x x x f 0101)(Y=g (X ) =e X 是单调增函数 又 X=h (Y )=lnY ，反函数存在且α = min [g (0), g (1)]=min (1, e )=1=βmax [g (0), g (1)]=max (1, e )= e∴ Y 的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅=⋅=为其他y e y yy h y h f y ψ0111|)('|)]([)(（2）求Y=－2lnX 的概率密度。

随机变量及其分布函数随机变量是描述随机事件的数学工具，它将随机事件映射到实数上。

我们可以将随机变量理解为一个函数，它将样本空间上的随机事件转化为一个实数。

随机变量的取值通常用大写字母来表示，例如X、Y、Z等，并且随机变量的取值可以是有限个或无限个。

随机变量的分布函数一个随机变量有着不同取值的可能性，而这些可能性可以用概率来描述。

针对一个随机变量而言，其取值在不同的范围内所对应的概率，就被称为该随机变量的分布函数。

分布函数通常用F(x)来表示，其中F是函数符号，x是随机变量的取值。

对于一个随机变量X，其分布函数定义为：F(x) = P(X≤x)其中P(X≤x)指的是随机变量X小于或等于x的概率。

因此，对于小于或等于x的所有可能取值，X的分布函数F(x)均可以计算出来。

随机变量的类型随机变量可以分为两类：离散随机变量和连续随机变量。

离散随机变量离散随机变量是只能取某些特定离散值的随机变量，它们通常意味着某个事件只能发生某些确定的次数。

例如，抛掷一颗骰子的结果就是一个典型的离散随机变量，因为其可能取的值只有1、2、3、4、5、6六种可能。

对于某个离散随机变量而言，它的分布函数是一个阶梯函数，在每个离散值处有一个跳跃，即：F(x) = P(X≤x) = ΣP(X=i)，i≤x其中ΣP(X=i)表示随机变量取i的概率，i≤x表示X取i的所有取值小于或等于x。

例如，对于一个只能取0或1的离散随机变量X，其分布函数F(x)可以表示为：F(x) = P(X≤0) + P(X=1) = P(X=0) + P(X=1)其中P(X=0)和P(X=1)表示X取0和1的概率，因此：F(0) = P(X=0)F(1) = P(X=0)+P(X=1)连续随机变量连续随机变量是指可以取到任意实数值的随机变量，通常用于描述某个事件的结果可以连续变化的场景。

例如，衡量人的身高或体重就是一种典型的连续随机变量。

对于某个连续随机变量而言，由于它可以取到任意实数值，因此其分布函数也是一个连续函数。

随机变量及其分布列知识点随机变量是描述随机实验结果的数值，它可以是离散的（只能取一些离散的数值）或连续的（可以取所有的数值）。

随机变量可以用来描述实验结果的各种特征，如数量、位置、时间等。

离散随机变量的分布列是一个表格，列出了随机变量取各个值的概率。

概率可以通过实验或理论分析得出。

在计算机科学和统计学中，分布列通常被表示为一个数组或字典。

离散随机变量的分布列有以下几个重要性质：1. 概率和为1：所有随机变量取值的概率之和等于1，即P(X=x1) + P(X=x2) + ... + P(X=xn) = 12.非负性：概率永远不会为负数，即P(X=x)>=0，对于所有的x。

3.互斥性：不同取值的随机变量概率互不重叠，即P(X=x1)与P(X=x2)不重叠，对于所有的x1和x24.互斥性：如果随机变量取值是离散的，那么分布列是一个离散函数，概率只在取值点有定义。

如果随机变量是连续的，那么分布列是一个连续函数，概率在区间上有定义。

离散随机变量的分布列可以用于计算各种统计量，如期望值、方差、标准差等。

期望值是随机变量取值的加权平均，方差是随机变量取值偏离平均值的程度。

标准差是方差的平方根，用来度量随机变量的离散程度。

在实际应用中，离散随机变量的分布列可以用来描述概率分布、事件的发生概率等。

它可以用来解决各种问题，如生活中的投资决策、经济模型的拟合、产品质量控制等。

例如，一个骰子的随机变量可以描述它可能的取值为1、2、3、4、5或6，对应的分布列是[1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6]。

这个分布列可以用来计算骰子摇出特定点数的概率，以及求得骰子取值的期望值和方差。

另一个例子是二项分布，它描述了在一系列独立实验中成功次数的概率分布。

二项分布的随机变量是一个离散随机变量，它的分布列可以用来计算成功次数的概率和期望值。

连续随机变量的分布列被称为概率密度函数。

概率密度函数描述了随机变量取值的概率密度，而不是概率。

随机变量及其分布、离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为》X 。

,…,X ,…,X ,X 取每一个12in值X (i =1,2，…,n )的概率P (X =X )=p ,则称以下表格i ii为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）P 20,i =1,2,…,n i常见的两种分布： 1．两点分布如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称p =P (x=i )为成功概率. 2．超几何分布一般地，在含有乂件次品的N 件产品中，任取口件，其中恰有乂件次品， 则事件｛X 二k ｝发生的概率为：C k C n —kP (X =k )=M_N -M ,k =0,1,2,3,...,mC nN(2) p +p +…+p =1 12n则随机变量X的概率分布列如下:其中m=min{M,n},且〃<N,M<N,n,M,N G N*注：超几何分布的模型是不放回抽样二、条件概率P(AB)一般地，设A,B为两个事件,且P(A)>0，称P(B|A)=p p A^-为在事件A发生的条件下，事件8发生的条件概率.0W P(B I A)W1三、相互独立事件设A,B两个事件，如果事件人是否发生对事件8发生的概率没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)),则称事件A与事件B相互独立。

即A、B相互独立o P(AB)=P(A)P(B)一般地，如果事件A1,A2,…,A n两两相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(AA...A)=P(A)P(A)...P(A).12n12n 注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.四、n次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.在n次独立重复试验中，记A是“第i次试验的结果”，显然，iP(AA…A)=P(A)P(A)•••P(A)12n12n“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响注:独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.五、二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X=k)=C k p k(1-p)n一k，k=0,1,2,…，nn此时称随机变量X服从二项分布，记作~(,)，并称p为成功概率.六、离散随机变量的均值(数学期望)一般地，随机变量X的概率分布列为则称E(X)=xp+xp++xp++xp1122iinn为X的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.1.若y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是变量则EY=aE(X)+b，即E(aX+b)=aE(X)+b2.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=1x p+0x(1-p)=p即若X服从两点分布，则E(X)=p3•若X~B(n,p)，则E(X)=np七、离散型随机变量取值的方差和标准差一般地,若离散型随机变量X的概率分布列为2p为随机变量X的方差.1122nn并称、DXT,为随机变量X的标准差.1.若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p)2•若X~B(n,p)，则D(X)=np(1-p)3．D(aX+b)=a2D(X)八、正态分布1.正态分布一般记为N(u,。

随机变量和分布的基本概念及其应用前言在统计学上，随机变量是一种被广泛应用的概念。

随机变量不是固定的数值，而是可能取到多个不同数值的变量，这些变量通常被用于描述概率和统计分布，进而用于解决实际问题。

而分布则是用于描述随机变量取值的概率分布情况，对于我们了解和分析随机现象有重要的理论和实际应用价值。

在这篇文章中，我们将学习关于随机变量和分布的基本概念，并探讨它们在实际应用中的重要性。

一、随机变量随机变量是指在随机试验中随机过程的结果，可以是任何数值或者一组数值。

我们把它定义为一一个变量，因为它执行的值取决于随机试验。

在数学中，我们用大写字母来表示随机变量，例如“X”，“Y”和“Z”。

在随机的情况下，一个随机变量可以具有不同的概率分布。

这样的概率分布说明了在随机试验中每个可能取值的概率。

一个随机变量可以是离散的，也可以是连续的。

离散随机变量是在有限的集合内取值的随机变量。

换句话说，离散随机变量只能取一些特定的数值。

一个简单的例子是一个硬币的投掷结果。

一个硬币是正面或反面的。

我们可以定义这个随机变量为“X”，其中“X”等于1代表硬币正面朝上，“X”等于0代表硬币反面朝上。

这是一个二元离散随机变量。

连续随机变量是能够取任何值的随机变量。

这种类型的随机变量通常表示某些实际上是连续的变量，例如高度、重量和温度等。

一个连续随机变量具有一个密度函数来描述变量可能取到的取值范围，并且对于任何一个确定的取值，概率都是零。

一个简单的例子是身高，该随机变量在某个范围内有任意数量的可能值。

随机变量的期望值是指随机变量的预期平均值。

我们可以认为期望值代表随机变量的中心或均值。

期望值是用来计算随机变量的平均值，其值是各个取值乘以其相应的概率之和。

期望值可以在随机变量的概率分布情况下进行计算。

二、分布随机变量的分布是指随机变量所有可能取到的不同值和每个值的概率分布情况。

分布的概率密度函数描述了随机变量的概率分布情况，并可以预测随机变量未来的变化。

郑州轻工业学院数学与信息科学系第二章：随机变量及其分布概率统计教研组我们观察一个随机现象，其样本空间的样本点可以是数量性质的，也可以是非数量性质的，概率论是从数量的角度来研究随机现象的统计规律性，建立起一系列的公式和定理，借以更好地描述、处理和解决各种与随机现象有关的理论和应用问题．为此，需要将样本空间的样本点与实数联系起来，建立样本空间与实数空间或某一部分的对应关系，这就是随机变量．本章首先引入随机变量的概念，介绍一些常用的随机变量，最后讨论随机变量函数的分布．主要内容§ 2.1随机变量§ 2.2离散型随机变量§ 2.3连续型随机变量§ 2.4随机变量函数的分布第二章：总结●【工作效率问题】某工厂有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一人处理．为了提高设备维修的效率，节省人力资源，考虑两种配备维修工人的方法：其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台．试比较两种配备维修工人方法的工作效率，即比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小．●2.1.1随机变量的概念随机试验的结果有些本身就是数量，例如，一只灯泡的寿命，每天的最高气温等；随机试验的结果有些不是数量例如，检查一个产品，结果可能是“合格”与“不合格”，但是我们可以将其数量化，比如用“1”表示“合格”，用“0”表示“不合格”．这样，随机试验的结果就是随机变化的变量．把随机试验的结果数量化，便于应用数学知识研究随机现象，使对随机现象的研究更深入和简单．●2.1.1随机变量的概念【例2-1】有朋自远方来，他可能乘船，乘火车，或者乘飞机，记ω1={乘船}，ω2={乘火车}，ω3={乘飞机}，这就是以Ω={ω1，ω2，ω3}为样本空间的随机试验，现考虑该客人的旅费，假定乘船，火车与乘飞机的单价分别为100，200，300元，则所需旅费就是如下实值函数X =X (ω)是随试验结果而变化的变量,称之为随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=====321 ,ωωωωωωω若若若,300,200100)(X X●2.1.1随机变量的概念【定义2.1】设随机试验的样本空间为Ω={ω}，X=X(ω)是定义在样本空间Ω上的实值单值函数，称X=X(ω)为随机变量．常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量，其取值常用小写字母x，y，z等表示．这个定义表明：随机变量X是样本点的一个实值函数，一个样本点只能对应一个实数，不同样本点可以对应不同的实数，也可以对应同一个实数．随机变量的取值随试验的结果而定，在试验之前不能预知它取到的值，且它的取值有一定的概率，这些性质显示了随机变量与普通函数和普通变量有着本质的区别．●2.1.1随机变量的概念【定义2.1】设随机试验的样本空间为Ω={ω}，X=X(ω)是定义在样本空间Ω上的实值单值函数，称X=X(ω)为随机变量．常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量，其取值常用小写字母x，y，z等表示．引入随机变量后，我们很容易用随机变量表示随机事件及其概率．如用随机变量X表示掷一枚骰子朝上一面的点数，则{X=1}和{X≤3}分别表示事件“朝上一面的点数为1”和“朝上一面的点数小于等于3”两事件，P{X=1}= 1/6，P{X≤3}=1/2则分别表示两事件发生的概率．●2.1.2随机变量的分布函数为了计算与随机变量X 有关事件的概率，下面引入随机变量分布函数的概念．【定义2.2】设X 是一个随机变量，对任意实数x ，称事件{X ≤x }发生的概率(2.1)为随机变量X 的分布函数,且称X 服从F (x ),记为X ～F (x ) 由分布函数的定义易知，对任意实数a ，b （a ≤b ），有},{)(x X P x F ≤=∞<<∞-x =≤<}{b X a P }{}{a X P b X F ≤-≤}{a X P >,．)()(a F b F -=}{1a X P ≤-=)(1a F -=●2.1.2随机变量的分布函数 容易证明分布函数F (x )具有以下三条基本性质：(1)单调性：F (x )是定义在整个实数轴(–∞，+∞)上的单调非减函数，即对任意的x 1<x 2，有F (x 1)≤F (x 2)；(2)有界性：对任意的，有0≤F (x )≤1，且(3)右连续性：F (x )是x 的右连续函数，即对任意的x 0，有这三个基本性质成为判别分布函数的充要条件．0)(lim )(==-∞-∞→x F F x ,1)(lim )(==+∞+∞→x F F x )()(lim 00x F x F x x =+→}{)(x X P x F ≤=●2.1.2随机变量的分布函数【例2-2】向半径为r 的圆内随机抛一点，求此点到圆心的距离X 的分布函数，并求解：事件{X ≤x }表示所抛一点落在半径为x 的圆内．若x <0，{X ≤x }为不可能事件，则F (x )=P {X ≤x }=0； 若x ≥r ，{X ≤x }为必然事件，F (x )=P {X ≤x }=1； 若0≤x <r ，由几何概型知}{)(x X P x F ≤=22r x ππ=2⎪⎭⎫ ⎝⎛=r x .32⎭⎬⎫⎩⎨⎧>r X P●2.1.2随机变量的分布函数【例2-2】向半径为r 的圆内随机抛一点，求此点到圆心的距离X 的分布函数，并求 从而X 的分布函数为 且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛<=r x rx r x x x F ,10,0,0)(2}32{r X P >)32(1r F -=}32{1r X P ≤-=2321⎪⎭⎫ ⎝⎛-=95=.32⎭⎬⎫⎩⎨⎧>r X P●2.1.2随机变量的分布函数【例2-3】证明是一个分布函数．证：显然F (x )在整个数轴上是连续、单调严增函数，且，因此它满足分布函数的三条基本性质，故F (x )是一个分布函数．该函数称为柯西分布函数．+∞<<-∞+=x x x F ],2[arctan 1)(ππ●2.2.1离散型随机变量及其分布律有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量．如掷骰子朝上一面的点数，一昼夜110接到的呼叫次数等均为离散型随机变量．●2.2.1离散型随机变量及其分布律【定义2.3】设X是一个离散型随机变量，若X的全部可能取值为x1，x2，…，xn，…，则称X取xi的概率P{X=xi}=p i，i=1，2，…为X的概率分布或简称分布律，也可以称为概率函数．X的分布律也可用如下方式表示：X x1x2…xn…p i p1p2…pn…●2.2.1离散型随机变量及其分布律【定义2.3】设X 是一个离散型随机变量，若X 的全部可能取值为x 1，x 2，…，x n ，…，则称X 取x i 的概率P {X =x i }=p i ，i =1，2，…为X 的概率分布或简称分布律，也可以称为概率函数．显然分布律应具有如下性质：(1)非负性：p i ≥0，i =1，2，…(2)归一性： 这两条性质是判别离散型随机变量分布律的充要条件．11=∑∞=i i p●2.2.1离散型随机变量及其分布律【定义2.3】设X 是一个离散型随机变量，若X 的全部可能取值为x 1，x 2，…，x n ，…，则称X 取x i 的概率P {X =x i }=p i ，i =1，2，…为X 的概率分布或简称分布律，也可以称为概率函数．由分布函数的定义，知离散型随机变量X 的分布函数为：)(x F }{x X P ≤=,∑≤=x x ii p +∞<<∞-x●2.2.1离散型随机变量及其分布律【例2-4】设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以概率p 禁止汽车通过，以X 表示汽车首次停下来时已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求X 的分布律．解：因为每一组信号灯禁止汽车通过的概率为p ，允许汽车通过的概率为1–p ，则X 的分布律为01234p (1-p )p (1-p )2p (1-p )3p (1 –p )4Xp i●2.2.1离散型随机变量及其分布律【例2-4】设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以概率p 禁止汽车通过，以X 表示汽车首次停下来时已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求X 的分布律．解： 如果p =0.5,则X 的分布律为X01234p (1-p )p (1-p )2p (1-p )3p (1 –p )4p i X012340.50.250.1250.06250.0625p i●2.2.1离散型随机变量及其分布律【例2-5】设离散型随机变量X 的分布律为试求P {X ≤0.5},P {1.5<X ≤2.5},并写出X 的分布函数．解：．X 的分布函数为X -123p i 1/41/21/4}5.0{≤X P }5.25.1{≤<X P 41}1{=-==X P 21}2{===X P●2.2.1离散型随机变量及其分布律【例2-5】设离散型随机变量X 的分布律为试求P {X ≤0.5},P {1.5<X ≤2.5},并写出X 的分布函数．解：F (x )的图形呈阶梯形右连续，在X 的可能取值处有跳跃X -123p i 1/41/21/4F (x )=0,1/4,1/4 +1/2, 1,x < -1-1≤x <22≤x <3x ≥3●2.2.2常用离散分布1.0-1分布如果随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是则称X服从0-1分布或两点分布．分布律也可写成对于一个随机试验，如果它的样本空间Ω只包含两个样本点ω1、ω2，我们总能在Ω上定义一个服从0-1分布的随机变量)10(1,0,)1(}{1<<=-==-pkppkXP kkX01pi1 –p p●2.2.2常用离散分布1.0-1分布如果随机变量X 只可能取0与1两个值，它的分布律是则称X 服从0-1分布或两点分布．分布律也可写成来描述这个随机试验的结果．)10(1,0,)1(}{1<<=-==-p k p p k X P k k X01p i 1 –p p⎩⎨⎧====21,1,0)(ωωωωωX X●2.2.2常用离散分布2.二项分布在上一章介绍的n 重伯努利试验中我们已经知道，若事件A 在每次试验中发生的概率为P (A )=p (0<p <1)，则n次试验中事件A 发生k 次的概率为 如果随机变量X 的分布律是k =0，1，…，n则称X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )．显然，B (1，p )就是0-1分布，实际上二项分布是n 重伯努利试验的概率模型．,,,1,0,)1(n k p p C k n k k n =--==}{k X P ,)1(k n k k n p p C --●2.2.2常用离散分布2.二项分布二项分布是一种常用的离散分布，例如，检查10个产品，10个产品中不合格品的个数X服从二项分布B(10，p)，其中p为不合格品率；又如，调查50个人，50个人中患色盲的人数Y服从二项分布B(50，p)，其中p为色盲率．●2.2.2常用离散分布2.二项分布【例2-6】设X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P{X≥1}=5/9，试求P{Y≥1}．解：由P{X≥1}=5/9，知P{X=0}=4/9，所以(1–p)2=4/9，由此得p=1/3．再由Y～B(3，p)，可得P{Y≥1}=1–P{Y=0}=1–(1–1/3)3=19/27．●2.2.2常用离散分布3.泊松分布泊松分布是概率论中又一种重要的离散分布，它在理论和实践中都有广泛的应用．如果随机变量X 的分布律为为参数，k =0,1,2,...， 则称X 服从泊松分布，记为X ～P (λ)．,!}{>==-λλλe k k X P k●2.2.2常用离散分布3.泊松分布【例2-7】某种铸件的砂眼（缺陷）数服从参数为的泊松分布，试求该铸件至多有一个砂眼（合格品）的概率和至少有2个砂眼（不合格品）的概率．解：以X 表示铸件的砂眼数，由题意知X ～P (0.5)，则该种铸件上至多有1个砂眼的概率为至少有2个砂眼的概率为}1{≤X P 5.00!05.0-=e 5.01!15.0-+e 91.0=}2{≥X P }1{1≤-=X P 09.0=●2.2.2常用离散分布3.泊松分布在二项分布B (n ，p )的概率计算中，往往计算量很大，利用下面的泊松定理近似计算，可以大大减少计算量．下面不加证明地给出泊松定理．【定理2.1】（泊松定理）设λ>0是一个常数，n 是任意正整数，设np =λ（p 与n 有关），则对于任一固定的非负整数k ，有定理条件np =λ（常数）意味着当n 很大时p 必定很小.!)1(lim λλ--∞→=-e k p p C k k n k k n n●2.2.2常用离散分布3.泊松分布【定理2.1】（泊松定理）设λ>0是一个常数，n 是任意正整数，设np =λ（p 与n 有关），则对于任一固定的非负整数k ，有 因此，当n 很大p 很小，有下面近似计算公式该公式说明，在对二项分布B (n ，p )计算概率时，如果n 很大p 很小，可由参数为λ=np 的泊松分布的概率值近似.!)1(lim λλ--∞→=-e k p p C k k n k k n n ,2,1,0,!)()1(=≈---k e k np p p C np kk n k kn●2.2.2常用离散分布3.泊松分布【例2-8】已知某疾病发病率为0.001，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率解：设该单位患有这种疾病的人数为X ，则有X ～B (5000，0.001)，则所求概率为取λ=np =5，用泊松分布近似计算并查附表1得}5{≤X P kk k k C-=∑=5000505000999.0001.0}5{≤X P ∑=-≈505!5k ke k 616.0=●2.2.2常用离散分布3.泊松分布【实验2.1】X ～B (5000，0.001)，求P {X ≤5}；np =5,X ~P (5)，求P {X ≤5}实验准备：AB 1n =50002p =0.0013P {X ≤5}0.61594P {X ≤5} ≈0.6159近似=BINOMDIST(5, 5000,0.001,TRUE)=POISSON(5,5,TRUE)●2.2.2常用离散分布3.泊松分布【实验2.1】X ～B (5000，0.001)，求P {X ≤5}；np =5,X ~P (5)，求P {X ≤5}实验结果：近似n =5000p=0.001P (X <=5)=0.615961P (X <=5)≈0.61596●2.2.2常用离散分布3.泊松分布【实验2.2】二项分布与泊松分布分布关系 实验准备,2,1,0,!)()1(=≈---k e k np p p C np kkn kk nA B CD E F 1n =100λ=6p =0.12k B (n , p )P (λ)310.0403110.073263…………=BINOMDIST(A3, $B$1, $F$1, FALSE)= POISSON(A3, $D$1, FALSE)●2.2.2常用离散分布3.泊松分布【实验2.2】二项分布与泊松分布分布关系 实验结果：,2,1,0,!)()1(=≈---k e k np p p C np kkn k k nn =50λ = 6p = 0.1k B (n, p )P (λ)10.01140.014920.03820.044630.08330.089240.13340.133950.16740.160660.17120.160670.14670.137780.10750.103390.06840.0688100.03830.0413110.01900.0225120.00840.0113130.00340.0052140.00120.0022150.00040.0009160.00010.0003170.00000.0001180.00000.0000二项分布与泊松分布0.020.040.060.080.10.120.140.160.18系列1系列2●2.2.2常用离散分布3.泊松分布在应用中，诸如服务系统中对服务的呼叫数，产品的缺陷（如布匹上的疵点、玻璃内的气泡等）数，一定时期内出现的稀有事件（如以外事故、自然灾害等）个数，放射性物质发射出的离子数等等，都以泊松分布为其概率模型．这是因为上述例子本来就是n大p小的二项分布．以服务系统中的呼叫数为例，服务设施的用户n很大，每个用户在指定时间内使用这个设施的概率p很小，而且各用户使用情况又独立．●2.2.2常用离散分布3.泊松分布在应用中，诸如服务系统中对服务的呼叫数，产品的缺陷（如布匹上的疵点、玻璃内的气泡等）数，一定时期内出现的稀有事件（如以外事故、自然灾害等）个数，放射性物质发射出的离子数等等，都以泊松分布为其概率模型．因此，服务系统中的呼叫数应是n大p小的二项分布，由泊松定理，可以近似认为服从 =np泊松分布．上述应用表明泊松分布广泛用于社会生活的许多方面，它在运筹学、管理科学中占有突出的地位．●2.3.1连续型随机变量及其概率密度【定义2.4】如果对于随机变量X 的分布函数F (x )，存在非负函数f (x )，使得对于任意实数x 有(2.2)则称X 为连续型随机变量．其中函数f (x )称为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数．从(2.2)式可以看出，连续型随机变量的分布函数一定是连续函数，且在F (x )的导数存在的点上有(2.3)⎰∞-=x dtt f x F )()()()(x f x F ='●2.3.1连续型随机变量及其概率密度【定义2.4】如果对于随机变量X 的分布函数F (x )，存在非负函数f (x )，使得对于任意实数x 有(2.2)则称X 为连续型随机变量．其中函数f (x )称为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数． 概率密度的基本性质：(1)非负性：(2)归一性：以上两条基本性质是判别概率密度的充要条件．)(≥x f ⎰+∞∞-=1)(dx x f ⎰∞-=x dtt f x F )()(●2.3.1连续型随机变量及其概率密度．注1：对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数值a的概率为0，即P{X=a}=0．事实上，设X的分布函数为F(x)，∆x>0，则由{X=a}⊂{a–∆x<X≤a}得0≤P{X=a}≤P{a–∆x<X≤a}=F(a)–F(a–∆x)在上述不等式中令∆x→0，并注意到X为连续型随机变量，其分布函数F(x)是连续的，即得P{X=a}=0．这表明：概率为0的事件不一定是不可能事件；类似地，概率为1的事件不一定是必然事件．●2.3.1连续型随机变量及其概率密度．注2：由于连续型随机变量X仅取一点的概率恒为0，故在事件“a≤X≤b”中减去“X=a”或“X=b”，不影响其概率，即P{a≤X≤b}=P{a<X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}=F(b)–F(a)⎰=b a dt t f)(这给计算带来很大的方便．●2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-9】设随机变量X 的概率密度为试求：(1)系数A ；(2)X 落在(–1/2，1/2)内的概率；(3)X 的分布函数F (x )．解:(1)由概率密度的归一性知所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1||,01||,1)(2x x x A x f ⎰∞+∞-=dx x f )(1dx x A ⎰--=112110arcsin 2x A =AA ππ=⋅=22.1π=A2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-9】设随机变量X 的概率密度为试求：(1)系数A ；(2)X 落在(–1/2，1/2)内的概率；(3)X 的分布函数F (x )．解:(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1||,01||,1)(2x x x A x f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2121X P ⎰--=2/12/12111dx x π31arcsin 22/10==x π⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1||,01||,11)(2x x x x f π●2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-9】设随机变量X 的概率密度为试求：(3)X 的分布函数F (x )．解:(3)因为 当x <-1时， 当-1≤x <1时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1||,01||,1)(2x x x A x f =)(x F ⎰∞-xdtt f )(=)(x F ;00=⎰∞-x dt ；=)(x F dt t x ⎰--12111πx t 1arcsin 1-=π;21arcsin 1+=x π●2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-9】设随机变量X 的概率密度为试求：(1)系数A ；(2)X 落在(–1/2，1/2)内的概率；(3)X 的分布函数F (x )．解:(3)因为 当x ≥1时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1||,01||,1)(2x x x A x f =)(x F ⎰∞-xdt t f )()(x F dt t ⎰--=112111π1=2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-9】设随机变量X 的概率密度为试求：(1)系数A ；(2)X 落在(–1/2，1/2)内的概率；(3)X 的分布函数F (x )．解:(3)X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1||,01||,1)(2x x x A x f ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<=11,21arcsin 110)(x x x x x F , 11 , π●2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-10】设随机变量X 的概率密度为现对X 进行n 次独立重复观测，以Y 表示观测值不大于0.1的次数，试求随机变量Y 的分布律．解：事件“观测值不大于0.1”，即事件{X ≤0.1}的概率由题意Y 服从B (n ，0.01)，于是Y 的分布律为⎩⎨⎧<<=其它 ,010,2)(x x x f }1.0{≤X P ⎰∞-=1.0)(dx x f ⎰=1.002xdx 01.0=nk C k Y P k n k kn ,,2,1,0,)99.0()01.0(}{ ===-●2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-11】设随机变量X 的分布为求：(1)系数A 和B ；(2)X 落在(–1，1)内的概率；(3)X 的概率密度．解：(1)由可知于是,,arctan )(+∞<<-∞+=x x B A x F ,1)(,0)(=+∞=-∞F F ⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=-⨯+ 1)2(0)2(ππB A B A π,B A 121==⇒ +∞<<-∞+=x x x F ,arctan 121)(π2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-11】设随机变量X 的分布为求：(1)系数A 和B ；(2)X 落在(–1，1)内的概率；(3)X 的概率密度．解：(2)(3),,arctan )(+∞<<-∞+=x x B A x F {}11<<-X P )1()1(--=F F ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1arctan 121π⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-)1arctan(121π21=+∞<<-∞+=x x x F ,arctan 121)(π+∞<<-∞+==x x x F x f ,)1(1)(')(2π●2.3.2常用连续分布1.均匀分布如果连续型随机变量X 具有概率密度(2.4)则称X 在区间(a ，b )上服从均匀分布，记为X ～U (a ，b )．均匀分布的分布函数为：(2.5)⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它 ,0,1)(b x a a b x f ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=b x bx a ab a x a x x F , ,1,0)(。