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概率论中的随机变量及其分布的特点和性质随机变量是概率论与数理统计中的一个重要概念，它可用于描述某种随机过程中，可能出现的各种数值结果。
其定义包括两个方面，即具有某种分布规律和可能取相应数值。
下面就随机变量及其分布的特点和性质，进行介绍和探讨。
一、随机变量的定义和基本概念随机变量是将随机试验的结果映射到一组实数，即使试验的结果不确定，随机变量却具有确定性的特征。
常用符号包括X、Y等，大写表示随机变量本身，小写表示特定的取值。
随机变量仅是映射结果，而不是试验过程本身。
随机变量可以是离散型和连续型两种。
如果随机变量只能取离散值，称为离散随机变量，如掷骰子、投硬币等试验结果；如果随机变量是在一连续的区间上变化的，称为连续随机变量，如电压、温度等。
概率分布是随机变量取各种可能值的可能性大小，通常由概率密度函数或累积分布函数来描述。
概率密度函数是表示连续随机变量X 可能取到某个数值的概率分布，表示为f(x)，满足非负性、归一性和可积性。
累积分布函数是表示随机变量X小于等于x的概率分布，表示为F(x)，具有单调不降性和右连续性。
二、离散型随机变量及其分布的特点和性质离散型随机变量指只可能取离散值的随机变量，取值只能是有限或无限个数，但个数可以是可数的。
例如，某班学生的身高和体重等指标就是离散型随机变量。
离散型随机变量的概率分布通常用概率质量函数表示，通常记为P(X=x)，表示随机变量X取值为x的概率，满足非负性和归一性。
离散随机变量的特点和性质如下：1. 概率非负性：对于任意一个取值x，有P(X=x)≥0。
2. 归一性：所有可能取值x的概率之和为1，即∑P(X=x)=1。
3. 可数性：离散随机变量的取值是有限个或可数无限个。
4. 期望与方差：离散随机变量的期望和方差分别为E(X)=∑xP(X=x)和Var(X)=E[X-E(X)]^2=∑(x-E(X))^2P(X=x)。
5. 独立性：如果两个离散随机变量X和Y，对于任何一组实数x 和y，都有P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)，则称X和Y是独立的。
第二章 随机变量及其分布18.[十七] 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F X ，求（1）P (X<2), P {0<X ≤3}, P (2<X<25)；（2）求概率密度f X (x ). 解：（1）P (X ≤2)=F X (2)= ln2， P (0<X ≤3)= F X (3)－F X (0)=1，45ln 2ln 25ln )2()25(252(=-=-=<<X X F F X P （2）⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它,0,1,1)(')(e x x x F x f24.[二十二] 设K 在（0，5）上服从均匀分布，求方程02442=+++K xK x 有实根的概率∵ K 的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他50051)(K K f要方程有根，就是要K 满足(4K )2－4×4× (K+2)≥0。
解不等式，得K ≥2时，方程有实根。
∴53051)()2(5522=+==≥⎰⎰⎰∞+∞+dx dx dx x f K P 25.[二十三] 设X ～N （3.22）（1）求P (2<X ≤5)，P (－4)<X ≤10)，P {|X|>2}，P (X>3)∵ 若X ～N （μ，σ2），则P (α<X ≤β)=φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-σμβφ⎪⎭⎫ ⎝⎛-σμα ∴P (2<X ≤5) =φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-235φ⎪⎭⎫ ⎝⎛-232=φ(1)－φ(－0.5) =0.8413－0.3085=0.5328P (－4<X ≤10) =φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2310φ⎪⎭⎫ ⎝⎛--234=φ(3.5)－φ(－3.5) =0.9998－0.0002=0.9996P (|X |>2)=1－P (|X |<2)= 1－P (－2< P <2 )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-2322321 =1－φ(－0.5) +φ(－2.5) =1－0.3085+0.0062=0.6977P (X >3)=1－P (X ≤3)=1－φ⎪⎭⎫⎝⎛-233=1－0.5=0.5（2）决定C 使得P (X > C )=P (X ≤C )∵P (X > C )=1－P (X ≤C )= P (X ≤C )得 P (X ≤C )=21=0.5 又P (X ≤C )=φ023,5.023=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C C 查表可得∴ C =3 28.[二十六] 一工厂生产的电子管的寿命X （以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要求P (120＜X ≤200＝=0.80，允许σ最大为多少？∵ P (120＜X ≤200)=80.04040160120160200=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φσσσσ 又对标准正态分布有φ(－x )=1－φ(x )∴ 上式变为80.040140≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ--⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ 解出9.040:40≥⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ便得 再查表，得25.31281.140281.140=≤≥σσ 31.[二十八] 设随机变量X 在（0，1）上服从均匀分布 （1）求Y=e X 的分布密度∵ X 的分布密度为：⎩⎨⎧<<=为其他x x x f 0101)(Y=g (X ) =e X 是单调增函数 又 X=h (Y )=lnY ，反函数存在且α = min [g (0), g (1)]=min (1, e )=1=βmax [g (0), g (1)]=max (1, e )= e∴ Y 的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅=⋅=为其他y e y yy h y h f y ψ0111|)('|)]([)(（2）求Y=－2lnX 的概率密度。
随机变量及其分布函数随机变量是描述随机事件的数学工具，它将随机事件映射到实数上。
我们可以将随机变量理解为一个函数，它将样本空间上的随机事件转化为一个实数。
随机变量的取值通常用大写字母来表示，例如X、Y、Z等，并且随机变量的取值可以是有限个或无限个。
随机变量的分布函数一个随机变量有着不同取值的可能性，而这些可能性可以用概率来描述。
针对一个随机变量而言，其取值在不同的范围内所对应的概率，就被称为该随机变量的分布函数。
分布函数通常用F(x)来表示，其中F是函数符号，x是随机变量的取值。
对于一个随机变量X，其分布函数定义为：F(x) = P(X≤x)其中P(X≤x)指的是随机变量X小于或等于x的概率。
因此，对于小于或等于x的所有可能取值，X的分布函数F(x)均可以计算出来。
随机变量的类型随机变量可以分为两类：离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量离散随机变量是只能取某些特定离散值的随机变量，它们通常意味着某个事件只能发生某些确定的次数。
例如，抛掷一颗骰子的结果就是一个典型的离散随机变量，因为其可能取的值只有1、2、3、4、5、6六种可能。
对于某个离散随机变量而言，它的分布函数是一个阶梯函数，在每个离散值处有一个跳跃，即：F(x) = P(X≤x) = ΣP(X=i)，i≤x其中ΣP(X=i)表示随机变量取i的概率，i≤x表示X取i的所有取值小于或等于x。
例如，对于一个只能取0或1的离散随机变量X，其分布函数F(x)可以表示为：F(x) = P(X≤0) + P(X=1) = P(X=0) + P(X=1)其中P(X=0)和P(X=1)表示X取0和1的概率，因此：F(0) = P(X=0)F(1) = P(X=0)+P(X=1)连续随机变量连续随机变量是指可以取到任意实数值的随机变量，通常用于描述某个事件的结果可以连续变化的场景。
例如，衡量人的身高或体重就是一种典型的连续随机变量。
对于某个连续随机变量而言，由于它可以取到任意实数值，因此其分布函数也是一个连续函数。
考研数学概率论辅导讲义主讲：马超第二章 随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎭⎬⎫⎩⎨⎧-→⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<→⎭⎬⎫⎩⎨⎧)()()()(a F b F A P b X a A X 随机事件随机变量基本事件ωω→≤=)()(x X P x F 分布函数： 函数分布正态分布指数分布均匀分布连续型几何分布超几何分布泊松分布二项分布分布离散型八大分布→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-102、重要公式和结论例2．1：4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“取白球的数”，求X 的分布律。
例2．2：给出随机变量X 的取值及其对应的概率如下：,31,,31,31,,,2,1|2k k PX ， 判断它是否为随机变量X 的分布律。
例2．3：设离散随机变量X 的分布列为214181812,1,0,1，，，-P X ，求X 的分布函数，并求)21(≤X P ，)231(≤<X P ，)231(≤≤X P 。
例2．4： )()(21x f x f +是概率密度函数的充分条件是： （1）)(),(21x f x f 均为概率密度函数 （2）1)()(021≤+≤x f x f例2．5：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中先后取a+b 个球（放回），试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。
例2．6：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。
例2．7：设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为0.05，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率约为多少？例2．8：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b 个球，试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。
例2．9：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中先后取a+b 个球（不放回），试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。
例2．10：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中先后取a+b 个球（放回），试求直到第a+b 次时才取到白球的概率（a ≤α，b ≤β）。
例2．11：4黑球，2白球，每次取一个，放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“抽取次数”，求X 的分布律。
例2．12：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开不扔掉，问以下事件的概率？ ①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。
例2．13：若随机变量X 服从[1，6]上的均匀分布，求方程012=++Xx x 有实根的概率。
例2．14：设非负随机变量Ｘ的密度函数为f(x)=A 272x ex -，x>0,则A= 。
例2．15：设),(~2σμN X ，求)3|(|σμ<-X P 。
例2．16：X~N(2,σ2)且P(2<X<4)＝0.3，则P(X<0)＝？例2．17：设随机变量X 服从正态分布N(0,1)，对给定的)10(<<αα，数αu 满足αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于(A) 2αu . (B) 21α-u. (C) 21α-u . (D) α-1u .例2．18：已知随机变量X 的分布列为,,,,,,2,,,2,02npq pq pq p n P X πππ∙， 其中1=+q p 。
求X Y sin =的分布列。
例2．19：已知随机变量)1(1)(~2x x x f X +=，求32+=X Y 的密度函数)(y f Y 。
第二节 重点考核点常见分布、函数分布第三节 常见题型1、常见分布例2．20：若有彼此独立工作的同类设备90台，每台发生故障的概率为0.01。
现配备三个修理工人，每人分块包修30台，求设备发生故障而无人修理的概率。
若三人共同负责维修90台，这时设备发生故障而无人修理的概率是多少？例2．21：随机变量X 满足P （X>h ）=P(X>a+h ∣X>a). (a,h 均为正整数)的充分条件为：(1) X 服从几何分布 P(X=k)=p(1-p)k-1(k=1,2,…)(2) X 服从二项分布 P(X=k)=kn C P k(1-p)n-k(k=0,1,2,…n)例2．22：实验器皿中产生甲乙两种细菌的机会是相等的，且产生细菌的数X 服从参数为λ的泊松发布，试求：（1）产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率；（2）在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率。
例2．23：设随机变量X 服从[a,b](a>0)的均匀分布，且P(0<X<3)＝41，P(X>4)＝21，求： （1）X 的概率密度 （2）P(1<X<5)例2．24：X,Y 独立，均服从U[1,3]，A={X ≤a}，B={Y ≤a}，已知P(A ∪B)=95,求a=？定义：如果P({X ≤x}∩{Y ≤y})=P(X ≤x)P(Y ≤y)，称X 与Y 独立。
例2．25：设随机主量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈=其他,0]6,3[,92]1,0[,31)(x x x f 其使得32)(=≥k X P ，则k 的取值范围是。
例2．26：设顾客到某银行窗口等待服务的时间X （单位：分）服从指数发布，其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,51)(5x x e x f x某顾客在窗口等待服务，如超过10分钟，他就离开。
他一个月到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，求Y 的分布列，并求P(Y ≥1)。
例2．27：X 3~N(1,72)，则P(1<X<2)=？例2．28：设随机变量X 的概率密度为：)(,21)(||+∞<<-∞=-x e x x φ则其分布函数F(x)是 （A ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=.0,1,0,21)(x x e x F x（B ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<=-.0211,0,21)(x e x e x F x x（C ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<-=-.0,1,0,211)(x x e x F x（D ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=--.1,1,10,211,0.,21)(x x e x e x F x x [ ]例2．29：设随机变量X 的绝对值不大于1，即|X|≤1，且41)1(,81)1(===-=X P X P ，在事件{-1<X<1}出现的条件下，X 在（-1，1）内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比。
试求X 的分布函数F(x)及P （X<0）（即X 取负值的概率）。
2、函数分布例2．30：设随机变量X 具有连续的分布函数F(x)，求Y=F （X ）的分布函数F （y ）。
（或证明题：设X 的分布函数F(x)是连续函数，证明随机变量Y=F （X ）在区间（0，1）上服从均匀分布。
） 例2．31：设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他若,0]8,1[,31)(32x xx f F （x ）是X 的分布函数，求随机变量Y =F （X ）的分布函数。
例2．32：假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX ）为5小时。
设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。
试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F （y ）。
第四节 历年真题数学一：1（88，2分）设随机变量X 服从均值为10，均方差为0.02的正态分布上。
已知，9938.0)5.2(,21)(22=Φ=Φ-∞-⎰du ex u xπ则X 落在区间（9.95, 10.05）内的概率为。
2（88，6分）设随机变量X 的概率密度函数为)1(1)(2x x f X +=π，求随机变量Y=1-3X 的概率密度函数)(y f Y 。
3（89，2分） 设随机变量ξ在区间（1，6）上服从均匀分布，则方程012=++x x ξ有实根的概率是。
4（90，2分）已知随机变量X 的概率密度函数||21)(x e x f -=，+∞<<∞-x ，则X 的概率分布函数F （x ）=。
5（93，3分）设随机变量X 服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量2X Y =在（0，4）内的概率分布密度=)(y f Y。
6（95，6分） 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-0,00)(x x e x f xX 求随机变量Xe Y =的概率密度)(yf Y 。
7（02，3分）设随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσμN ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率为21，则=μ。
8（04，4分） 设随机变量X 服从正态分布N(0,1)，对给定的)10(<<αα，数αu 满足αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于(A) 2αu . (B) 21α-u. (C) 21α-u . (D) α-1u . [ ]9（06，4分） 设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<（A ）1 2.σσ< （B ）1 2.σσ> （C ）1 2.μμ<（D ）1 2.μμ>数学三：1（87，2分）（是非题） 连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0。
2（87，4分） 已知随机变量X 的概率分布为P {X =1}=0.2，P {X =2}=0.3, P {X =3}=0.5试写出其分布函数F (x ).3（88，6分）设随机变量X 在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Xe Y 2=的概率密度f (y )。
4（89，3分）设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x A x x F 若若若则A =，}6|{|π<X P = 。
5（89，8分） 设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布，现在对X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。
6（90，7分） 对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。
[附表]：999.0994.0977.0933.0841.0692.0500.0)(0.35.20.25.10.15.00x x Φ表中)(x Φ是标准正态分布函数。
