(文章)三角恒等变换分类探究巧求值

高中数学中的三角恒等变换利用恒等变换简化复杂三角式子的技巧在高中数学中，三角函数是一个非常重要的概念。

通过恒等变换，我们可以简化复杂的三角式子，使其更易于计算和理解。

本文将介绍一些常用的三角恒等变换以及利用恒等变换简化复杂三角式子的技巧。

一、基本恒等变换1. 正弦函数的基本恒等变换正弦函数的基本恒等变换包括：sin²θ + cos²θ = 1sin(90° - θ) = cosθsin(-θ) = -sinθsin(180° - θ) = sinθ2. 余弦函数的基本恒等变换余弦函数的基本恒等变换包括：cos²θ + sin²θ = 1cos(90° - θ) = sinθcos(-θ) = cosθcos(180° - θ) = -cosθ3. 正切函数的基本恒等变换正切函数的基本恒等变换包括：tanθ = sinθ/cosθtan(-θ) = -tanθtan(π/2 - θ) = 1/tanθtan(π + θ) = tanθ二、常用恒等变换1. 二倍角恒等变换二倍角恒等变换可以将一个角的正弦、余弦、正切函数转化为两倍角的正弦、余弦、正切函数。

常用的二倍角恒等变换包括：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ/1 - tan²θ2. 和差角恒等变换和差角恒等变换可以将两个角的正弦、余弦、正切函数转化为一个角的正弦、余弦、正切函数。

常用的和差角恒等变换包括：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)三、利用恒等变换简化复杂三角式子的技巧1. 利用二倍角恒等变换当我们遇到一个三角函数中带有角度为θ的复杂式子时，可以尝试使用二倍角恒等变换将其转化为两倍角的三角函数。

三角恒等变换与求值【热点聚焦】三角函数式的恒等变换与求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍【基础知识】1.任意角的三角函数：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P （x ，y ）与原点的距离是r （r =22y x +＞0），则sin α=r y ，cos α=r x，tan α=xy .上述三个比值不随点P 在终边上的位置改变而改变.2.同角三角函数关系式：sin 2α+cos 2α=1；ααcos sin =tan α；tan αcot α=1. 3.诱导公式：α+2k π（k ∈Z ）、－α、π±α、2π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 即“函数名不变，符号看象限！”另外再加上：sin （2π－α）=cos α，cos （2π－α）=sin α.所以诱导公式即α+πt 2k与α之间函数值关系（k ∈Z ），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”。

4．两角和与差的三角函数()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ ① ()βαβαβαs i n c o s c o s s i n s i n -=- ②()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ ③ ()βαβαβαs i n s i n c o s c o s c o s +=- ④5．倍角公式2tan 2222(1)sin22sin cos ,(2)cos2cos sin 12sin 2cos 1,(3)tan221tan ααααααααααα==-=-=-=-.6.几个常用的派生公式（1）sin α±cos α＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛±4πα＝2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛4πα（2）a sin α＋b cos α＝22b a +sin （α＋φ）（其中tan baϕ=） （3）a sin α＋b cos α＝＝22b a +cos （α－φ1）（其中1tan b aϕ=）（辅助角公式） （4）cos 21cos222αα+=；21cos 2sin 2αα-=.（降幂公式）7 求值问题的基本类型 ①给角求值，②给值求值，③给式求值，④求函数式的最值或值域，⑤化简求值8 技巧与方法 ①要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式 ②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用 ③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法 ④求最值问题，常用配方法、换元法来解决【课前训练】1．已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于（ ）A.71B.7C.－ 71D.－7 2．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A +=（ ）A.3 B ．3- C ．53 D ．53-3． "等式sin(α+γ)=sin2β成立"是"α、β、γ成等差数列"的( )A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4．已知sin 5α=，2παπ≤≤，则tan α= 。

三角恒等变换与解题技巧三角恒等变换是解决三角函数相关问题的重要方法之一，通过巧妙地变换三角函数的表达式，可以简化计算、化简复杂的式子、推导出新的关系等。

在解题过程中，合理应用三角恒等变换可以帮助我们降低难度、提高效率。

本文将介绍三角恒等变换的基本概念、常用公式以及解题技巧，以帮助读者更好地理解和运用三角恒等变换。

一、基本概念三角恒等变换是指通过等式的变换，将一个三角函数表达式变为与之等价的另一个表达式。

通常，三角恒等变换会使得原先复杂的式子简化或转化成更易处理的形式，从而方便我们求解问题。

三角恒等变换的基本思想是利用三角函数之间的相互关系以及已知恒等式，将三角函数表达式转换为其他函数的组合或者其他三角函数的形式。

二、常用公式以下是一些常用的三角恒等变换公式：1. 余弦的平方与正弦的平方恒等变换：cos^2θ + sin^2θ = 12. 二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos^2θ - sin^2θ = 2cos^2θ - 1 = 1 - 2sin^2θ3. 和差角公式：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβsin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβcos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβcos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ4. 倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos^2θ - sin^2θ= 2cos^2θ - 1 = 1 - 2sin^2θ5. 平方和与平方差公式：sin^2θ + cos^2θ = 1sin^2θ - cos^2θ = sin^2θ / cos^2θ以上只是一部分常用的三角恒等变换公式，通过合理运用这些公式，我们可以将复杂的三角函数式子转化为简单易解的形式，为解题提供便利。

三、解题技巧1. 利用三角恒等变换化简式子在解决问题时，我们常常会遇到需要化简复杂的三角函数式子的情况。

高中数学的解析如何利用三角恒等变换解决数学问题高中数学是培养学生数理思维和解决问题能力的重要学科，其中解析几何和三角函数的学习尤为重要。

在解析几何中，使用三角恒等变换可以简化问题的研究和解决过程。

本文将探讨高中数学的解析如何利用三角恒等变换解决数学问题，并给出实例说明。

一、三角恒等变换的基本概念在学习解析几何和三角函数之前，我们先来了解一下三角恒等变换的基本概念。

三角恒等变换是指在三角函数的运算过程中，通过等式的变形来简化计算的方法。

常用的三角恒等变换有正弦定理、余弦定理、和差化积公式等。

例如，正弦定理可以表达为：$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$其中，a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为对应的内角，R为三角形的外接圆半径。

二、解析几何中的三角恒等变换在解析几何中，我们通过运用三角恒等变换来简化和推导问题的解决过程。

以一个简单的例子来说明。

例1：已知直线L的对称点在直线L'上，且L：2x+y-3=0，L'：3x-y-8=0，求直线L与L'的交点坐标。

解：设交点坐标为(x0, y0)，代入直线方程得：2x0 + y0 - 3 = 03x0 - y0 - 8 = 0通过观察以上的方程，我们可以发现其中存在一个正弦关系。

为了简化解题过程，我们可以利用正弦关系进行求解。

令2x0 + y0 - 3 = A3x0 - y0 - 8 = B通过求解A和B之间的关系，可以得到：2A + B = 133A - B = 11通过联立方程组求解，可以得到：A = 5B = 3将A和B带入原方程，可以解得：x0 = 2y0 = -1因此，直线L与L'的交点坐标为(2, -1)。

通过以上的例子，我们可以看到，在解析几何中，通过利用三角恒等变换来简化问题的解决过程，不仅可以减少计算量，还可以提高问题解决的效率。

三角恒等变换的常用技巧1.三角函数的互余关系三角函数的互余关系是指正弦函数与余弦函数之间、正切函数与余切函数之间存在一种关系，即sin(x) = cos(π/2 - x)，cos(x) =sin(π/2 - x)，tan(x) = cot(π/2 - x)，cot(x) = tan(π/2 - x)。

利用这个关系，可以将一个三角函数用另一个三角函数表示，从而简化计算。

2.三角函数的辅助角公式三角函数的辅助角公式是指通过引入辅助角，使得原函数形式得到简化或变形的运算方法。

常见的辅助角公式包括:sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan^2(x))利用辅助角公式，可以将一个三角函数表达式化简为另一个形式，从而方便计算。

3.和差角公式和差角公式是指将两个角的三角函数的和或差，表示为一个三角函数乘积的展开公式。

常见的和差角公式包括:sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y))/(1 ∓ tan(x)tan(y))通过和差角公式，可以将一个复杂的三角函数表达式展开为两个简单的三角函数表达式的和或差，方便进一步计算。

4.二倍角公式二倍角公式是指将一个角的三角函数的平方形式化简为另一个角的三角函数表达式的公式。

常见的二倍角公式包括:sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2tan^2(x) = (1 - cos(2x))/(1 + cos(2x))通过二倍角公式，可以将一个角的三角函数平方形式化简为另一个角的三角函数的表达式，使得计算更加简化。

第十章三角恒等变换10.1两角和与差的三角函数....................................................................................... - 1 -10.1.1两角和与差的余弦.................................................................................... - 1 -10.1.2两角和与差的正弦.................................................................................... - 5 -10.1.3两角和与差的正切.................................................................................... - 8 -10.2二倍角的三角函数............................................................................................. - 11 -10.3几个三角恒等式................................................................................................. - 15 - 10.1两角和与差的三角函数10.1.1两角和与差的余弦知识点两角和与差的余弦公式(1)两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．(2)两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．cos(90°－30°)＝cos 90°－cos 30°成立吗？[提示]不成立．重点题型类型1两角和与差的余弦公式的简单应用【例1】求下列各式的值：(1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°；(2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°；(3)12cos 15°＋32sin 15°．[解](1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝3 2．(2)原式＝cos(15°－8°)－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝2＋6 4．(3)∵cos 60°＝12，sin 60°＝32，∴12cos 15°＋32sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝2 2．1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．提醒：要重视诱导公式在角和函数名称的差异中的转化作用．类型2已知三角函数值求角【例2】已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β的值．以同角三角函数的基本关系为切入点，求得cos α，sin β的值，在此基础上，借助cos(α＋β)的公式及α＋β的范围，求得α＋β的值.[解]因为α，β为锐角，且sin α＝55，cos β＝31010，所以cos α＝1－sin2α＝1－15＝255，sin β＝1－cos2β＝1－910＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22．由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π．因为cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝π4．已知三角函数值求角，一般分三步：第一步：求角的某一三角函数值(该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数)；第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围； 第三步：根据角的范围写出所求的角. 类型3 给值求值问题【例3】 (对接教材P 51例3)已知sin α＝－45，sin β＝513，且π<α<3π2，π2<β<π，求cos(α－β)．[解] ∵sin α＝－45，π<α<3π2， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－35．又∵sin β＝513，π2<β<π， ∴cos β＝－1－sin 2β＝－1213，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝1665．1．(变条件)若将本题改为已知sin α＝－45，sin β＝513，且π<α<2π，0<β<π2，求cos(α－β)．[解] ∵sin β＝513，0<β<π2， ∴cos β＝1－sin 2β＝1213． 又sin α＝－45，且π<α<2π，①当π<α<3π2时，cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝－5665；②当3π2<α<2π时，cos α＝1－sin 2α＝35， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝1665．综上所述，cos(α－β)＝－5665或1665．2．(变条件)若将本例改为已知sin α＝－45，π<α<3π2，cos(α－β)＝1665，π2<β<π．求sin β．[解] ∵sin α＝－45，且π<α<3π2， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－35． 又∵π2<β<π， ∴－π<－β<－π2， ∴0<α－β<π． 又cos(α－β)＝1665，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β) ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16652＝6365， ∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sin α·sin(α－β) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1665＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×6365＝－1213， ∴sin β＝1－cos 2β＝513．1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．提醒：注意角的范围对三角函数值符号的限制．10.1.2 两角和与差的正弦知识点 两角和与差的正弦公式 (1)两角和的正弦公式：S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β． (2)两角差的正弦公式：S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β． (3)辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ， 令cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2，则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(cos φsin x ＋sin φcos x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba ，φ为辅助角．重点题型类型1 两角和与差的正弦公式的简单应用 【例1】 求下列各式的值： (1)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°； (2)2cos 55°－3sin 5°sin 85°．(1)从角和“形”入手，转化成两角和(差)的正弦求值. (2)注意角的差异与变换：55°＝60°－5°，85°＝90°－5°.[解] (1)原式＝sin 163°sin(90°＋133°)＋sin(90°＋163°)·sin(180°＋133°) ＝sin 163°cos 133°－cos 163°sin 133° ＝sin(163°－133°)＝sin 30°＝12． (2)原式＝2cos (60°－5°)－3sin 5°sin (90°－5°)＝cos 5°＋3sin 5°－3sin 5°cos 5°＝cos 5°cos 5°＝1．1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正负相消的项，消去求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．类型2 给值求值【例2】 已知0＜β＜π4，π4＜α＜3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求cos(α＋β)的值．注意⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2＋(α＋β)，可通过求出3π4＋β和π4－α的正、余弦值来求cos (α＋β).[解] 由0＜β＜π4，π4＜α＜3π4得 －π2＜π4－α＜0，3π4＜3π4＋β＜π． ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45，cos(α＋β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365．解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式. 类型3 形如a sin x ＋b cos x 的函数的化简及应用【例3】 (对接教材P 54探究)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，求函数f (x )的值域．等式a sin x ＋b cos x ＝A sin (x ＋φ)中A 和φ一定存在吗？它们与a ，b 有什么关系？[解] f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∵π2≤x ≤π， ∴π3≤x －π6≤5π6． ∴12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≤1．∴函数f (x )的值域为[1，2]．1．(变结论)本例条件不变，将函数f (x )用余弦函数表示． [解] f (x )＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x sin π3－cos x cos π3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x cos π3－sin x sin π3＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3．2．(变结论)本例条件不变，求函数f (x )的单调区间． [解] f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3，与π2≤x ≤π取交集得π2≤x ≤2π3，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3；由2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2，得2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3，与π2≤x ≤π取交集得2π3≤x ≤π， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π．此类问题的求解思路如下：首先将函数f (x )化简为f (x )＝a sin x ＋b cos x 的形式；,然后借助辅助角公式化f (x )为f (x )＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)的形式；最后，类比y ＝sin x 的性质，树立“x ＋φ”的团体意识研究y ＝f (x )的性质.10.1.3 两角和与差的正切知识点 两角和与差的正切公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β．T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β．公式T(α±β)有何结构特征和符号规律？[提示](1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．重点题型类型1条件求值问题【例1】已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan 2α，tan 2β，tan⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4．2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，tan⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4可以用tan 2α表示出来.[解]tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan(α＋β)＋tan(α－β)1－tan(α＋β)tan(α－β)＝5＋31－5×3＝－47，tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝tan(α＋β)－tan(α－β)1＋tan(α＋β)tan(α－β)＝5－31＋5×3＝18，tan⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝1＋tan 2α1－tan 2α＝1－471＋47＝311．求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来繁杂的运算.类型2 给值求角【例2】 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，求α＋β．利用根与系数的关系求tan α＋tan β及tan αtan β的值，进而求出tan (α＋β)的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值.[解] 因为tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－33＜0，tan αtan β＝4＞0，所以tan α＜0，tan β＜0．又因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以－π＜α＋β＜0．又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，所以α＋β＝－2π3．1．给值求角的一般步骤 (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角． 2．选取函数时，应遵照以下原则 (1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．类型3 T (α±β)公式的变形及应用【例3】 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．当一个代数式中同时出现“tan α＋tan β”及“tan α tan β”两个团体时，我们可以联想哪些公式解题？[解] ∵3tan A ＋ 3 tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33．又∵0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6． ∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33， ∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33， ∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为等腰三角形．1．公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．10.2 二倍角的三角函数知识点 倍角公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan α．(1)T 2α对任意角α都成立吗？(2)倍角公式中的“倍角”只能是2α吗？[提示] (1)不是．所含各角要使正切函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”具有相对性，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．重点题型类型1 直接应用二倍角公式求值【例1】 (对接教材P 63例1)已知sin 2α＝513，π4＜α＜π2，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值．[解] 由π4＜α＜π2，得π2＜2α＜π． 又因为sin 2α＝513， 所以cos 2α＝－1－sin 22α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213． 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α ＝2×513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－120169；cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝119169；tan 4α＝sin 4αcos 4α＝－120169119169＝－120119．对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是32α的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是α6的二倍角；…，又如α＝2·α2，α2＝2·α4，…．类型2逆用二倍角公式化简求值【例2】化简：2cos2α－12tan⎝⎛⎭⎪⎫π4－αsin2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α．[解]原式＝2cos2α－12sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos⎝⎛⎭⎪⎫π4－α·cos2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos2α－12sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－α·cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos2α－1cos 2α＝cos 2αcos 2α＝1．1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．2．解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．类型3活用“倍角”关系巧解题【例3】已知sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝513，0＜x＜π4，求cos 2xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x的值．本题中角“π4－x”与角“π4＋x”有什么关系？如何借助诱导公式实现cos 2x与sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x的转换？[解]∵⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＋⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝π2，∴sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝513，又0＜x＜π4，∴π4＜x＋π4＜π2，∴sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝1213．∴cos 2xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x cos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2413．1．(变结论)本例条件不变，求cos 2x．[解]∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4，由sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝513，得cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝1213，cos 2x＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝2×513×1213＝120169．2．(变结论)本例条件不变，求sin 2x－2sin2x1－tan x的值．[解]∵⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＋⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝π2，∴cos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝513．∵sin 2x－2sin2x1－tan x＝2sin x cos x－2sin2x1－sin xcos x＝2sin x(cos x－sin x)cos x－sin xcos x＝2sin x cos x＝sin 2x，又sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1－2×25169＝119169．∴sin 2x －2sin 2x 1－tan x＝119169．当遇到π4±x 这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似这样的变换还有：(1)cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ；(2)sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1；(3)sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等.提醒：在使用二倍角公式时要特别注意公式中的系数，防止出错.10.3 几个三角恒等式知识点1 积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cos αcos β12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]． (2)和差化积公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2， sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2， cos α＋cos β＝2cosα＋β2cos α－β2， cos α－cos β＝－2sinα＋β2sin α－β2．知识点2 半角公式与降幂公式半角公式降幂公式sin α2＝±1－cos α2， cos α2＝±1＋cos α2， tan α2＝±1－cos α1＋cos α，tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin αsin 2α＝1－cos 2α2， cos 2α＝1＋cos 2α2， tan 2α＝1－cos 2α1＋cos 2α设tan α2＝t ，则sin α＝2t 1＋t 2，cos α＝1－t 21＋t 2，tan α＝2t1－t 2．重点题型类型1 应用和差化积或积化和差求值【例1】 求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°·cos 50° 的值． [解] 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14 ＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70° ＝34－12sin 70°＋12sin 70° ＝34．套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.类型2 万能代换公式的应用 【例2】 设tan θ2＝t ，求证：1＋sin θ1＋sin θ＋cos θ＝12(t ＋1)．利用万能代换公式，分别用t 表示sin θ，cos θ，代入待证等式的左端即可证明.[证明] 由sin θ＝2tan θ21＋tan 2θ2及cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2，得1＋sin θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan θ221＋tan 2θ2＝(1＋t )21＋t 2， 1＋sin θ＋cos θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan θ21＋tan 2θ2＝2(1＋t )1＋t2， 故1＋sin θ1＋sin θ＋cos θ＝12(t ＋1)．在万能代换公式中不论α的哪种三角函数(包括sin α与cos α)都可以表示成tan α2＝t 的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t 的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值.类型3 f (x )＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx 的性质【例3】 求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24的最小值，并求其单调减区间．[解] f (x )＝53×1＋cos 2x 2＋3×1－cos 2x2－2sin 2x ＝33＋23cos 2x －2sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x＝33＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵π4≤x ≤7π24， ∴π6≤2x －π3≤π4． ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22．∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时， f (x )取最小值为33－22．∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递增，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递减．1．(变结论)本例中，试求函数f (x )(x ∈R )的对称轴方程． [解] f (x )＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ． 所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ．2．(变条件)本例中，函数解析式变为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )，求f (x )的单调减区间．[解] ∵f (x )＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z ．1．应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 (1)运用和、差、倍角公式和重要恒等式化简． (2)统一化成f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 的形式．(3)利用辅助角公式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，研究其性质． 2．对三角函数式化简的常用方法 (1)降幂化倍角； (2)升幂角减半；(3)利用f (x )＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a ，化为“一个角”的函数．。

思路探寻步骤,不管是求三角函数的值、证明某个结论,都需要进行三角恒等变换.些进行三角恒等变换的技巧是很有必要的.角恒等变换主要是对三角函数式中的角、幂、常数进行变换.下面，三角变换的一些技巧.一、对角进行变换若题设中含有多个不同的角，换，建立已知角与所求角的之间的联系，用诱导公式、两角和差的正余弦公式、将已知角逐步朝着所求角靠拢.同时，角的范围和三角函数值，角函数值．例1.若cos(α-β)=-45，cos(α+β)=1213π)，α+β∈(3π2,2π)，求cos 2α的值．解析：观察所求角和已知角的差异，系2α=(α+β)+(α-β).和的余弦公式进行三角恒等变换.解：cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α-β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)又α-β∈(π2,π)，α+β∈(3π2,2π)，由已知易得sin(α-β)=35,sin(α+β)=-315代入上式可得cos 2α=-3365.二、对函数名称进行变换我们需要对函数的名称进行变换，同角的三角函数关系式：cos 2α+sin 2α=1、tan 二倍角公式、有“切化弦”或“弦化切”.例2.若3sin α+cos α=0，求cos 2解析：由于3sin α+cos α=0，可得tan α么我们需利用关系式sin2α+cos 2α=1和tan αcos 2α+sin2α用tan α表示出来.解：cos 2α+sin2α=cos 2α+sin 2αcos 2α+sin 2α，将上式的分子、分母同时除以cos 2α，得．三、对幂进行变换有些函数式中幂的次数不统一，一般需将高次的幂变换为低次的幂.常用到的公式有cos2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α、tan 2α=2tan α1-tan 2α、cos 2α+sin 2α=1.例3.已知sinα-cosα=12，求sin 3α-cos 3α的值．解析：由于已知式与目标式的次数存在较大的差异，将目标式降次是首要任务.可利用cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α和cos 2α+sin 2α=1来进行变换.解：因为(sin α-cos α)2=sin 2α+cos 2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α,所以sin αcos α=38，故sin 3α-cos 3α=(sin α-cos α)(sin 2α+cos 2α+sin αcos α)=(sin α-cos α)(1+sin αcos α)=12×(1+38)=1116．四、对常数进行变换对常数进行变换是进行三角恒等变换的常用技巧.常见的变换有1=cos 2α+sin 2α、sin30°=12、sin45°=、sin60°=、sin90°=tan45°=1.这样通过对常数进行变换，可将三角函数式转化为可利用公式进行化简的式子.例4.已知cos α=-13，α是第二象限角，且sin(α+β)=1，求cos(2α+β)的值．解：由cos α=-13，且α是第二象限角，可得sin α=，由于sin(α+β)=1，所以α+β=2k π+π2（k ∈Z ），故cos （2α+β）=cos[（α+β）+α]=cos （2k π+π2+α）=cos （π2+α）=-sin α=-．因为已知条件sin(α+β)=1比较特殊，所以可直接求出α+β的值，将其整体代入求解，便把复杂的三角求值问题变为求特殊角的值的问题.此解法与常规方法不同，但效果很好．总之，进行三角函数恒等变换，需要仔细分析三角函数式的结构特点，选择恰当的公式将三角函数式化成单角、项数尽可能少、次数尽可能低、结构尽可能简单的三角函数式，这样便能快速求得问题的答案.（作者单位：福建省龙岩市长汀县第一中学）Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

浅谈三角恒等变换之高考探究【摘要】三角恒等变换是历年高考重头戏之一,要想拿到满意成绩,就必须加强对各种题型的日常训练与解题规律总结,掌握解决此类问题的一般方法和常用技巧,以便在考场快速准确答题。

【关键词】恒等变换给值求值给角求值给值求角综合运用【中图分类号】g424 【文献标识码】 a 【文章编号】 1006-5962(2012)06(a)-0143-02三角恒等变换是高考的重点之一,要求掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式;高考对本部分内容的考查重点:一方面是简单的化简、求值,以客观题为主,难度一般不大,有时以向量为载体出现解答题;另一方面本节内容常作为数学工具常融合三角函数,这时要先对三角函数解析式进行化简、变形,再深入考查三角函数的图像和性质。

还需说明一点的是“几个三角恒等式”及积化和差、和差化积公式和半角公式不要求记忆和运用,已经淡出高考范围。

本文现从江苏和全国其他各省近几年的高考试卷中精选出一些典型考题与大家一起研讨高考中这部分内容的命题方向和考查方向,希望能起到一个抛砖引玉的效果。

1 高考命题热点一:给值求值问题。

【真题再现1】(2011年全国卷理科第14题)已知,,则【解析】本题考查了同角三角函数的基本关系式与二倍角的正切公式的运用。

由已知得,则,所以。

规律小结:对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值求另外一些角的三角函数值,关键在于变角,使目标角变换成已知角,若角所在的象限没有确定则应分情况讨论,应注意这部分内容中公式的正用、逆用、变形利用,同时根据题目的结构特征,学会拆角、拼角等技巧,如,等。

2 高考命题热点二:给角求值问题。

【真题再现2】(2006年江苏卷第14题)【解析】本题考查了切割化弦、辅助角公式,倍角正弦公式、降幂公式。

原式===。

规律小结:给角求值问题,一般给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系。

撷英篇三角恒等变换是解决三角函数问题的重要工具.三角恒等变换是高中数学的一个重要模块，在历年的高考中都是必考内容，同时也是很多学生学习，考试的难点.本文将三角恒等变换的一些常见题型及解决策略作了梳理，仅供参考，希望能对学生学习有所帮助.一、公式的变形三角公式是变换的基础，应熟练地掌握公式的顺用、逆用及变形应用.1.化简（1）cos （α+β）cos β+sin （α+β）sin β；（2）sin （α+β）cos β-cos （α+β）sin β解：（1）cos （α+β）cos β+sin （α+β）sin β=cos ［（α+β）-α］=cos β（2）sin （α+β）cos β-cos （α+β）sin β=sin ［（α+β）-α］=sin α2.求证：tan20°+tan40°+3√tan20°tan40°=3√.证明：由tan （20°+40°）=tan20°+tan40°1-tan20°tan40°得tan20°+tan40°=3√（1-tan20°tan40°），所以3√（1-tan20°tan40°）+3√tan20°tan40°=3√.二、角的变换在表达式中或者在已知条件和所求问题中出现较多的相异角，可以通过观察，寻找两角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，从而应用角的变换，建立已知和结论之间的联系，使问题得以解决.1.已知cos α=17，cos （α+β）=-1114且α，β均为锐角，求cos β.思路分析：通过寻找题目中的角α，α+β，β三者之间的关系，利用角的变换来解决.解：因为cos α=17，cos （α+β）=-1114，且α，β均为锐角，所以sin α=1-17()2√=43√7，sin （α+β）=1--1114()2√=53√14cos β=cos ［（α+β）-β］=cos （α+β）cos β+sin （α+β）sin β=-1114×17+53√14×43√7=122.已知cos （α-β）=-45，cos （α+β=）45，且（α-β）∈π2，π()（α+β）∈3π2，2π()，求cos2α.思路分析：通过寻找题目中的角α-β，α+β，2α三者之间的关系，利用角的变换来解决.解：因为cos （α-β）=-45，（α-β）∈π2，π()，所以sin （α-β）=1--45()2√=35.因为cos （α+β）=45，（α+β）∈3π2，2π()，所以sin （α+β）=1-45()2√=-35.所以cos2α=cos ［（α-β）+（α+β）］=cos （α-β）cos （α+β）-sin （α-β）sin （α+β）=-45×45-35×-35()=-725三、函数名称的改变三角变形中，常常需要变不同函数名称为同名函数.如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，化弦为切，变异名为同名.1.求sin15°sin30°sin75°值.解：sin15°sin30°sin75°=12sin15°cos15°=14sin30°=14×12=182.化简2cos 2α-1tan π4-α()sin 2π4+α().解：原式=cos 2αsin π4-α()cosπ4-α()sin 2π4+α()=cos2αsinπ4-α()cos π4-α()cos 2π4-α()=cos2αsinπ4-α()cos π4-α()=cos2α12sin π2-2α()=cos2α12cos2α=2.四、常数变换，巧用“1”在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数1转化为三角函数值来代换，以达到解决问题的目的.1.已知tan π4+θ()=3，求sin2θ-2cos 2θ.解：由tan π4+θ()=3得，tan θ=12.sin2θ-2cos 2θ=2sin θcosθ-2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=2tan θ-2tan 2θ+1=2×12-212()2+1=-45.2.求1-tan15°tan60°+3√tan15°.解：原式=tan45°-tan15°3√+3√tan15°=tan45°-tan15°3√（1+tan45°tan15°）=13√tan30°=13五、幂的变换升降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法，降幂并非绝对，有时需要升幂.求使函数f （x ）=12cos 4x +3√sin x cos x -12sin 4x 为正值的x 的集合.解：f （x ）=12cos 4x +3√sin x cos x -12sin 4x =12（cos 4x -sin 4x ）+3√2sin2x =12（cos 2x -sin 2x ）（cos 2x +sin 2x ）+3√2sin2x =12cos2x +3√2sin2x =sin 2x+π6()，由sin 2x+π6()>0得2k π<2x +π6<2k π+π，k ∈z .解得-π12+k π<x <k π+5π12.所以x 的集合为x -π12+k π<x <k π+5π12，k ∈z {}.六、结构的变换通过表达式结构特点，通过构造上的变换，从而使问题得到解决.求cos20°cos40°cos80°的值.解析：根据式子结构特点，乘以并除以2sin20°.解：cos20°cos40°cos80°=2sin20°cos20°cos40°cos80°2sin20°=sin40°cos40°cos80°2sin20°=12sin80°cos80°2sin20°=14sin160°2sin20°=sin20°8sin20°=18.参考文献：［1］牛晓伟.三角恒等变换的技巧及其应用［J ］.考试周刊，2012（49）.［2］黄伟军.三角恒等变换之七变［J ］.泛舟学海（高中），2008.［3］华丽凤.三角恒等变换之“差异分析”策略［J ］.高中数理化，2011（22）.［4］杜春辉.例谈三角恒等变换中的“变角”技巧及其应用［J ］.考试周刊（数理系），2011（78）.•编辑谢尾合三角恒等变换之题型总结及解题策略分析王传勇（诸城市实验中学，山东诸城）337--. All Rights Reserved.。

三角恒等变换给值求值问题哎呀，今天咱们聊聊三角恒等变换。

听起来好像很复杂，其实啊，这事儿可简单得很。

想象一下，你在一片大草原上，微风拂面，心情大好。

突然，一个数学公式像小鸟一样飞了过来，跟你打招呼：“嘿，伙计，想不想知道我能帮你做点啥？”这就是三角恒等变换的魅力所在。

说起三角恒等变换，很多人第一反应就是“这是什么鬼？”三角恒等变换就像我们平时生活中的那些小技巧，能让你轻松搞定许多问题。

想想看，咱们每天出门，穿衣服、梳头发，都是在用不同的方式打扮自己。

三角恒等变换也是如此，通过一些简单的公式，给那些复杂的三角函数换个新衣服，真的是方便得不得了。

拿最基本的正弦、余弦来说吧。

你可能会发现，正弦和余弦之间的关系就像一对青梅竹马，总是纠缠在一起。

比如说，正弦平方加余弦平方等于一，这就是数学界的“金童玉女”，永远不分开。

这些恒等式就像老朋友一样，无论你怎么变换，他们始终陪伴在你身边。

用得好，可以轻松化繁为简，真是“麻雀虽小，五脏俱全”。

再说说那令人捉摸不透的和差公式。

想象一下，你和朋友在一起，聊得火热，突然你们的想法出现了分歧。

这时候，你们可以用和差公式把问题的复杂度降低，就像把一块大蛋糕切成几块，大家分享的时候都能开心。

正弦的和差，不仅能让你们的讨论更加顺畅，还能让你们的友谊更加深厚。

人生就像这公式，有时候需要两个人的合作，才能找出最优解。

然后我们再聊聊双角和半角的那些事儿。

双角公式就像是在告诉你：“嘿，来吧，把事情做得更大一点！”无论是你吃的汉堡，还是你做的决定，双角公式都能让你想得更远，看到更大的图景。

而半角公式呢，就像是把那些复杂的问题一分为二，让你轻松应对。

就像是你去超市买东西，看到特价商品，心里想着“买一送一”，瞬间觉得自己赚到了，哈哈，真是太爽了。

咱们不能忽视反三角函数。

生活中，总会有一些逆向的操作，就像你努力攒钱，结果发现存款不见了，心里那个郁闷啊。

但是，反三角函数告诉你，别担心，虽然有时候看不见，但你永远可以通过计算找回失去的东西。