三角恒等变换讲义

三角恒等变换专题讲义李 霞知识点1：两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.两角和与差的余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )-cos(+=βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+注： 1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后3.会逆用及其变形2.两角和与差的正弦βαβαβαsin cos -cos sin )-sin(=βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+注： 1.公式中两边的符号相同2.式子右边异名三角函数相乘再加减3.会逆用及其变形3.两角和与差的正切公式 tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+ tan(α-β)=.tan tan 1tan tan βαβα+- 注：1.两角和时，上加下减2.两角差时，上减下加3.会逆用及其变形考点1：求值问题【例】求下列各式的值（1）cos75°（2）cos75°cos15°－sin255°sin15°(3） sin47°－sin47°cos30cos17°（4） 1+tan75°1－tan75°（5）tan20°+tan40°+3tan20°tan40°考点2：化简问题【例】化简下列各式(1)－23sinx+21cosx(2)23sinx －21cosx知识点2：两倍角的正弦、余弦和正切公式1.两倍角的正弦公式Sin2α=2sin αcos α2.两倍角的余弦公式Cos2α=.cos ²α-sin ²α=2cos ²α－1=1－2sin ²α3.两倍角的正切公式t an2α=αα2tan 1tan 2-注：对以上三个公式会逆用及其变形考点：求值问题【例1】已知：sinα－cos α=2，α），（π0∈，则sin2α=【例2】计算求值10sin 1－ 10cos 3知识点3：简单的三角恒变形1.半角公式（1）2cos 12sinαα-±= （2）2cos 12cos αα+±=（3）αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+= 2. 和差化积 （1）2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+（2）2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=- （3）2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ （4）2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 3. 积化和差（1）)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=（2）)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=（3）)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= （4）)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=4. 辅助角公式 辅助角公式：()22sin cos a x b x a b x θ+=++(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b aθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用 考点1：化简求值问题 （1）升幂化简【例1】若32(,)αππ∈111122222cos α++【例2】化简： 440sin 12-【例3】α是第三象限角，化简 ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+【例4】化简 ),2(cos 1cos 1cos 1cos 1ππθθθθθ∈-+++-（2）降幂化简【例1】求函数22cos sin 2y x x =+的最小值【例2】函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭最小正周期为【例3】函数2553f (x )sin x cos x x =-532(x R )∈的单调递增区间为___________（3）切化弦【例1】求sin50°（1+3tan10°）的值【例2】（tan10°－3）50sin 10cos（4）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）【例1】已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，求tan()4πα+的值【例2】已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求的值 cos()αβ+【例3】已知：锐角α和β，满足sin （α－β）=53，sin α=54，求sin β的值【例4】已知：tan （α+6π）=21，tan （β－6π）=21，求tan （α＋β）的值（5）辅助角【例1】已知函数3()2cos sin()32f x x x π=+- （1）求函数()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合（2）求函数()f x 图像的对称轴方程【例2】已知函数23()2cos sin cos 2f x a x b x x =+-，且3(0)2f =，1()42f π=。

三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若α是第二象限角，试分别确定2α，2α，3α的终边所在的位置。

(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )2.在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．3.（1）用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示（不包括边界）。

三角恒等变换讲解三角恒等变换是指在三角函数之间相互变换的一系列等式关系，常用于简化和证明三角函数的性质以及求解三角方程。

下面介绍一些常见的三角恒等变换：1. 基本恒等变换：-正弦与余弦的关系：sin²θ+ cos²θ= 1-正切与余切的关系：tanθ= sinθ/ cosθ，cotθ= cosθ/ sinθ-余割与正割的关系：cscθ= 1 / sinθ，secθ= 1 / cosθ2. 倍角恒等变换：-正弦的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ-余弦的倍角公式：cos(2θ) = cos²θ- sin²θ= 2cos²θ- 1 = 1 - 2sin²θ-正切的倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)3. 和差恒等变换：-正弦的和差公式：sin(A ±B) = sinAcosB ±cosAsinB-余弦的和差公式：cos(A ±B) = cosAcosB ∓sinAsinB-正切的和差公式：tan(A ±B) = (tanA ±tanB) / (1 ∓tanAtanB)4. 反函数恒等变换：-正弦的反函数：sin⁻¹(x) = θ，其中sinθ= x，-π/2 ≤θ≤π/2-余弦的反函数：cos⁻¹(x) = θ，其中cosθ= x，0 ≤θ≤π-正切的反函数：tan⁻¹(x) = θ，其中tanθ= x，-π/2 < θ< π/2注意，上述恒等变换只是一部分常见的例子，实际上还有许多其他的三角恒等变换。

在解题或证明过程中，根据需要，可以根据题目的要求和三角函数的关系，使用适当的三角恒等变换来简化计算或推导出所需的结果。

1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。

2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。

3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=。

21sin 2(sin cos )ααα±=±（2）辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中（3）万能公式：a 、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB=A． b 、22tan sin 21tan ααα=+；221tan cos 21tan ααα-=+；22tan tan 21tan ααα=-4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角，如()++=βαα2()βα-，()()()=--+=+--+=βαββαβαβαβαβ2222，，()ββα+-2，()()()()αβαβαβαβββααββαα+--=-+=+-=-+=，，，等。

简单的三角恒等变换三角恒等变换是指在三角函数中，通过一系列等价转换，将一个三角函数表达式转化为另一个等价的三角函数表达式的过程。

掌握三角恒等变换的关键是熟悉三角函数的基本性质和一些常见的恒等关系。

一、基本恒等变换：1.正弦函数和余弦函数的关系：sin^2(x) + cos^2(x) = 12.余弦函数和正弦函数的关系：cos(x) = sin(x + π/2)sin(x) = cos(x - π/2)3.正切函数的定义：tan(x) = sin(x) / cos(x)4.正切函数和余切函数的关系：tan(x) = 1 / cot(x)cot(x) = 1 / tan(x)5.正弦函数和余切函数的关系：sin(x) = cos(x) / cot(x)cot(x) = cos(x) / sin(x)6.余弦函数和余切函数的关系：cos(x) = sin(x) / csc(x)csc(x) = sin(x) / cos(x)7.倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = (2tan(x)) / (1 - tan^2(x))8.半角公式：sin(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / 2)cos(x/2) = ±√((1 + cos(x)) / 2)tan(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / (1 + cos(x)))二、和差角公式：1.正弦函数的和差角公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)2.余弦函数的和差角公式：cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)3.正切函数的和差角公式：tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y)) / (1 ∓ tan(x)tan(y))三、倍角公式与半角公式：1.正弦函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)2.余弦函数的倍角公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)3.正切函数的倍角公式：tan(2x) = (2tan(x)) / (1 - tan^2(x))4.正弦函数的半角公式：sin(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / 2)5.余弦函数的半角公式：cos(x/2) = ±√((1 + cos(x)) / 2)6.正切函数的半角公式：tan(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / (1 + cos(x)))四、和差化积公式：1.正弦函数的和差化积公式：sin(x) + sin(y) = 2sin((x + y)/2)cos((x - y)/2)sin(x) - sin(y) = 2cos((x + y)/2)sin((x - y)/2)2.余弦函数的和差化积公式：cos(x) + cos(y) = 2cos((x + y)/2)cos((x - y)/2)cos(x) - cos(y) = -2sin((x + y)/2)sin((x - y)/2)3.正切函数的和差化积公式：tan(x) + tan(y) = sin(x + y) / (cos(x)cos(y))tan(x) - tan(y) = sin(x - y) / (cos(x)cos(y))以上是一些常见的三角恒等变换，通过熟练掌握和灵活运用这些公式，可以在解决三角函数相关问题时简化计算过程，提高解题效率。

3．1.1两角差的余弦公式探究：在平面直角坐标系中作，以原点为圆心，单位长度为半径的圆，以Ox 为始边作角βα,，与单位圆交于点A,B ，设)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==，与夹角为θ，则（1）=⋅_______________________（2）OBOA OB OA ⋅=θcos =_______________________（3）公式：cos(α－β)＝__________________________例1计算：(1)cos15°=____________(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°=____________(3)2cos 10°－sin 20°cos 20°＝____________例2已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为()A ．－6365B ．－3365B ．6365D.3365练习（1）已知α，β均为锐角，且sin α＝255，sin β＝1010α－β的值．（2）已知π4<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α的值．常见角的变换：①α＝(α－β)＋β.②α＝α＋β2＋α－β2.③2α＝(α＋β)＋(α－β)．④2β＝(α＋β)－(α－β)．例3已知cos α＝35，22παπ<<-，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ6的值是___________变式：已知sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ6＝35，π3<α<5π6，则cos α的值是()A.3－4310B.4－3310C.23－35D.3－235练习已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，ββ的值．当堂检测（10min ）：每小题10分1.cos 80°·cos 35°＋sin 80°·cos 55°的值是()A.22B ．－22C.12D ．－122.已知sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)等于()A ．－32B ．－12C.12D.323.已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β的值为________．4.若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，且α，β均为锐角，α<β，则α＋β的值为()A.π6B.π4C.3π4D.5π63．1.2两角和与差的正弦、余弦公式公式一：cos(α＋β)＝____________________________公式二：sin(α＋β)＝____________________________公式三：sin(α－β)＝____________________________例1(1)已知角α的终边经过点(－3,4)，则sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πα的值为()A.25B ．－25C.210D ．－210(2)计算：cos74°sin 14°－sin 74°cos 14°=_____________.(3)sin 20cos10cos160sin10-=o o o o （A ）32-（B ）32（C ）12-（D ）12例2辅助角公式：（1）=-x x cos sin _____________（2）=+x x cos sin _____________（3）=+x x cos sin 3_____________（4）=-x x sin 6cos 2_____________（5）=-x x sin 23cos 21_____________练习计算：（1）sinπ12－3cos π12＝_____________.（2）已知sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πα＋sin α＝435，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα的值是()A.45B ．－45C.235D ．－235例3求值：（1）10cos 310sin 1-（2）)310(tan 40sin -例4已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα＝45(α为锐角)，则sin α等于()A.33＋410 B.3＋4310C.3－4310D.33－410变式：已知sin ⎪⎭⎫⎝⎛+απ43＝513，cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-βπ4＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)．练习在△ABC 中，sin A ＝513，cos B ＝53，则cos C 等于_________当堂检测（20min ）：每小题10分1.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于()A ．－32B.32C ．－12D.122.在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于()A.255B ．－255C.55D ．－553.已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π.求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．4.求值：)10tan 31(50sin+5.函数x x x f cos 4sin 3)(+=的最大值是_________3．1.2两角和与差的正切公式公式一：t an(α＋β)＝_________________变形：tan α＋tan β＝_______________，tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝_______________在△ABC 中，=++C B A tan tan tan _______________公式二：tan(α－β)＝_________________变形：tan α－tan β＝______________，=15tan _____________，=75tan ____________例1(1)若tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πα＝16，则tan α＝.(2)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为()A ．－3B ．－1C ．1D ．3练习已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为．例2(1)1＋tan 15°1－tan 15°＝，3－tan 15°1＋3tan 15°＝.(2)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.变式：在△ABC 中，若3(tan B ＋tan C )＝tan B tan C －1，则sin 2A 等于()A ．－32B.32C ．－12D.12练习若A ，B 是△ABC 的内角，并且(1＋tan A )·(1＋tan B )＝2，则A ＋B 等于()A.π4B.3π4C.5π4D.2π3当堂检测（10min ）：每小题10分1. 75tan 175tan 1+-=2．(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是()A.3B ．1＋2C ．2D ．2(tan 18°＋tan 27°)3.已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝4.在△ABC 中，已知tan A ，tan B 是x 的方程x 2＋p(x +1)＋1＝0两根，则C ＝3．1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝______________cos 2α＝_____________＝_____________＝_____________tan 2α＝_____________1.填空：二倍角是相对的sin 4α＝___________，2sin 2cos 22αα-=___________，8cos 8sin 2αα=___________cos ()α＝2sin 21-()，cos ()α＝1)(cos 22-，)(tan 1)tan(2)tan(2-=2．公式的逆用sin αcos α＝___________，cos 2α－sin 2α＝___________，2tan α1－tan 2α＝___________3．降幂公式:cos 2α＝___________，sin 2α＝___________升幂公式:1＋cos 2α＝___________，1－cos 2α＝___________1＋cos α＝___________，1－cos α＝___________例1(1)求值：8cos 8sinππ＝___________cos 2π12－sin 2π12＝___________18cos 22-π＝___________5.22tan 15.22tan 2-＝___________(2)计算：12cos 24cos 48cos 48sin8ππππ变式：计算cos 20°cos 40°cos 80°例2(1)已知：sinα－cosα=2，α），（π0∈，则sin2α=(2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于()A.6425B.4825C ．1D.1625(3)已知α∈(0，2π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=A．15B．55C．33D．255(4)若3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A）257（B）51（C）51-（D）257-(5)计算求值10sin 1－10cos 3例3化简：1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ.练习求证：cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B .当堂检测（10min ）：每小题10分1.已知α为第三象限角，cos α＝－35，则tan 2α＝.2.化简：cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°等于()A ．1B ．2C.12D ．－13.1＋cos 100°－1－cos 100°等于()A ．－2cos 5°B ．2cos 5°C ．－2sin 5°D ．2sin 5°4.cos π7cos 3π7cos 5π7的值为()A.14B ．－14C.18D ．－185.已知θ∈(0，π)，且＝210，则tan 2θ＝.三角函数恒等变换综合应用1．已知函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1.求：(1)函数的最小正周期；(2)函数的单调递减区间．变式：已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）求5()4f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．2.已知函数()23cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x R ∈.（Ⅰ）化简()f x 并求最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上的最大值和最小值．变式：已知函数2()cos 222x x x f x =-．(Ⅰ)化简()f x 并求对称轴方程；(Ⅱ)求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．当堂检测（20min ）：每小题10分1．函数y ＝sin 2x －2sin x sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx ＋sin 3π2的图象的对称轴是____________，对称中心是____________．2.函数y ＝3sin x +4cos x 的最大值为____________3．已知函数f (x )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 3π·cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 3π，g (x )＝12sin 2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合．3.2简单的三角恒等变换1.半角公式（1）2cos 12sinαα-±=（2）2cos 12cos αα+±=（3）αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=±1－cos α1＋cos α2.和差化积（1）2cos 2sin2sin sin βαβαβα-+=+（2）2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-（3）2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+（4）2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-3.积化和差（1）)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=（2）)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=（3）)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=（4）)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=4.辅助角公式辅助角公式：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a ,b 的符号确定，θ角的值由tan b aθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用例1已知sin θ＝45，5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2.练习若cos α＝13，α∈(0，π)，求cos α2，tan α2的值涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2．例2已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形.记α=∠COP ，求当角α取何值时，矩形ABCD 面积最大？当堂检测（30min ）：每小题10分1．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2等于()A.12 B.12或不存在C ．2D ．2或不存在2．已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα的值等于()A.4＋3310 B.4－3310 C.33－410 D.－4－33103．已知cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π＝35，则sin 2x 等于()A.1825 B.725C ．－725D ．－16254．已知角α是第一象限角，且cos α＝35，则()A.25 B.75 C.145D ．－255．设α为钝角，且3sin 2α＝cos α，则sin α＝________.6．已知sin θ＝－35，3π<θ<72π，则tan θ2的值为()7.计算：(1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°；(2)tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°.8.已知＝－277，＝12，且αβ求：(1)cos α＋β2；(2)tan(α＋β)．9.已知函数f (x )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx －sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx .(1)判断函数f (x )的奇偶性，并给出证明；(2)若θ为第一象限角，且f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πθ＝23，求cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πθ的值．10.已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R )．(1)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－t ＝1在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，内有两个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．。

简单的三角恒等变换讲义一、知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C (α－β))，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C (α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S (α－β))，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S (α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β)) 2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 注意：1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. 2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.3．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. 二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)对任意角α都有1＋sin α＝)2cos 2(sin αα+2.( ) (3)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( ) 题组二：教材改编 2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin )4(πα+等于( ) A ．－210 B.210 C ．－7210 D.72103．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .4．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ .题组三：易错自纠5．化简：cos 40°cos 25°·1－sin 40°＝ . 6．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ . 三、典型例题题型一：和差公式的直接应用1．已知sin α＝35，α∈),2(ππ，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211 B.211 C.112 D ．－1122．已知角α为锐角，若sin )6(πα-＝13，则cos )3(πα-等于( ) A.26＋16B.3－28C.3＋28D.23－16 3．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为 ． 思维升华：(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．题型二：和差公式的灵活应用命题点1：角的变换典例 (1)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)已知cos(75°＋α)＝13，则cos(30°－2α)的值为 ． 命题点2：三角函数式的变换 典例 (1)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°)5tan 5tan 1( -. 思维升华：(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．跟踪训练 (1)计算：cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝ .(用数字作答) (2)已知α∈)20(π，，β∈)20(π，，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin β＝ . 四、反馈练习1．若cos θ＝23，θ为第四象限角，则cos )4(πθ+的值为( )A.2＋106 B.22＋106 C.2－106 D.22－1062．若sin α＝45，则sin )4(πα+－22cos α等于( ) A.225 B ．－225 C.425 D ．－425 3．已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α等于( ) A ．－31010B.31010 C ．－35 D.354．设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°sin 127°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b5．已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan )42(πα+等于( ) A ．－195 B ．－519 C ．－3117 D ．－17316．已知sin 2α＝23，则cos 2)4(πα+等于( ) A.16B.13C.12D.23 7．2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12B.32C. 3D.28．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( ) A ．α<π4<β B ．β<π4<α C.π4<α<β D.π4<β<α9．若tan )4(πα-＝16，则tan α＝ . 10．化简：2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝ . 11．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2)4(απ-＝ . 12．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin )45(βπ+＝ . 13．若α∈)2(ππ，，且3cos 2α＝sin )4(απ-，则sin 2α的值为( )A ．－118 B.118 C ．－1718 D.171814．已知cos )4(θπ+cos )4(θπ-＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为 ． 15．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ．16．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x . (1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f )84(πα-＝22，求tan )3(πα+的值．。

§4.4 简单的三角恒等变换 课标要求 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 知识梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S 2α：sin 2α＝____________________________.(2)公式C 2α：cos 2α＝______________________＝__________________＝________________.(3)公式T 2α：tan 2α＝________________.2．半角公式(不要求记忆) sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝±1＋cos α2；tan α2＝±1－cos α1＋cos α.符号由α2所在象限决定． 常用结论1．二倍角公式的变形公式(1)1－cos α＝2sin 2α2，1＋cos α＝2cos 2α2.(升幂公式) (2)1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22.(升幂公式) (3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2， tan 2α＝1－cos 2α1＋cos 2α.(降幂公式) 2．半角正切公式的有理化tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )(2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k ＋1)π(k ∈Z )．( )(3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )(4)sin 2π12－cos 2π12＝32.( )2．(必修第一册P226T2改编)cos 15°等于( ) A.1＋cos 30°2 B.1－cos 30°2 C ．±1＋cos 30°2 D ．±1－cos 30°2 3．若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于( )A ．－43 B.34 C ．－34 D.434．(必修第一册P223T2改编)若cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝－74，则cos 2θ的值为________.题型一 三角函数式的化简例1 (1)1－sin 40°＋1－cos 40°2的化简结果为( ) A ．－sin 20°B ．－cos 20°C ．cos 20°D ．sin 20°(2)化简：cos 20°cos 40°cos 80°＝__________.积化和差、和差化积公式在三角函数的化简、求值中，有时可以用和差化积、积化和差公式，把非特殊角转化为特殊角进行计算．典例 化简下列各式．(1)sin 54°－sin 18°＝__________；(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°＝________________________.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．跟踪训练1 (1)(2023·成都联考)已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，163cos 2θ2＝1＋cos 2θ，则tan θ等于( )A ．－53B ．－52C ．－355D ．－255(2)已知0<θ<π，则(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ＝________. 题型二 三角函数式的求值命题点1 给角求值例2 (2024·保定模拟)黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．已知在顶角为36°的黄金三角形中，36°角对应边与72°角对应边的比值为5－12≈0.618，这个值被称为黄金比例．若t ＝5－12，则1－2sin 227°2t 4－t 2等于( ) A.5＋14 B.5－14C.12D.14命题点2 给值求值 例3 (2023·济宁模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6等于( ) A ．－23 B.23 C ．－13 D.13命题点3 给值求角例4 已知α，β均为锐角，cos α＝277，sin β＝3314，则cos 2α＝________，2α－β＝________. 跟踪训练2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π10＝－45，则sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π10＝________. (2)(2023·青岛统考)已知α为锐角，1＋3tan 80°＝1sin α，则α＝__________. 题型三 三角恒等变换的综合应用例5 (2023·广州模拟)若α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，则下列结论正确的是( )A ．2α＋β＝5π2B ．2α－β＝3π4C ．α＋β＝7π4D ．α－β＝π2跟踪训练3 (2024·哈尔滨模拟)已知π4<θ<π3，若a ＝tan θtan 2θ＋1，b ＝12－12cos 2θ，c ＝1cos θ－cos θ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c。

课程主题：第4讲 三角恒等变换【知识点】1．两角和与差的三角函数sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+；sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-； cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-；cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+．2．二倍角公式（升幂公式）αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα=-．3．三角函数式的化简 （1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=． （2）辅助角公式()22sin cos sin a x b x a b x ϕ+=++，2222sin cos a ba bϕϕ==++其中【课堂演练】题型一 两角和与差的三角函数 考点1 公式直接应用例1 sin 20cos10cos20sin10︒︒+︒︒=（ ） A ．3B 3C ．12-D ．12例2 ︒+︒75sin 15sin 的值是 ．课程类型： 1对1课程 ☐ Mini 课程 ☐ MVP 课程例3 已知5,,sin 25παπα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．例4 若1tan 47πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A ．34 B ．43C ．34-D ．43-例5 已知4,,cos ,25παπα⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．17 B ．7C ．17-D ．7-练1 sin 75︒的值为 ．练2 cos47sin13sin 47cos13︒︒+︒︒的值等于 ．练3 已知,αβ为锐角，且cos 105αβ==αβ+的值是（ ） A ．23πB ．34π C ．4π D ．3π练4 已知431cos ,(,),tan ,(,),5232πααππββπ=-∈=-∈，则cos()αβ+= ．练5 已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,53sin ，则cos sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为 ．练6 .若tan 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ααsin cos 等于（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2考点2 角的代换常见的角的变换有： )()2(),(,)(βαβαααββααβαα+-+=--=-+=[][])()(2,)()(2αβαβαβαβαα--+=-++= )4()4(πβπαβα-++=+例6 已知()()44cos ,cos ,55αβαβ+=-=-且()()3,2,,22ππαβπαβπ⎛⎫⎛⎫+∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α= ．例7 若3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，312sin(),sin()5413παββ+=--=，则cos()4πα+= ．例8 已知sin cos αβ+13=，sin cos βα-12=，则sin()αβ-= ．例9 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则tan 2α的值为（ ） A ．47- B ．47C ．18D ．18-例10 已知向量)sin ,(cos ),sin ,(cos ββα==→→b a a ,552=-→→b a ． （1）求)cos(βα-的值； （2）若20πα<<,02<<-βπ,且135sin -=β,求αsin 的值．已知P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求sin 2α的值； （2）若2πβα-=求cos()αβ+的值．练7 已知()()44cos ,cos ,55αβαβ+=-=-且()()3,2,,22ππαβπαβπ⎛⎫⎛⎫+∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2β= ．练8 若3,,4παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()312sin ,sin 5413παββ⎛⎫+=--= ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．练9 已知()1,0,,cos ,tan 350αβπαβ∈=-=-，则2αβ+= ．练10 已知()1cos 753α︒+=，则()()sin 15cos 105αα-︒+︒-= ．点，已知B A ,的横坐标分别为225,． （1）求)tan(βα+的值； （2）求2αβ+的值．题型二 二倍角公式 例12 化简下列式子： （1）1sin 2x +（2）1cos 2x +例13 若31tan =θ，则=θ2cos （ ） A ．54- B ．51-C ．51 D ．54例14 设α为钝角，且3sin 2cos αα=，则sin α=（ ）A ．16-B ．16C ．35 D ．13例15 已知1cos sin 2αα-=，则sin 2α=（ ） A ．38B ．12C ．34D ．32练12 已知(),0x π∈-，且3cos 5x =-，则sin 2x = ．练13 化简下列式子： （11sin 2x -（21cos 2x -练14 已知1sin()24πα-=，则cos2α的值是（ ） A ．78B ．78-C ．89D ．89-练15 已知10,,sin 22a πα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭则sin 2α= ．练16 已知23sin cos22θθ+=那么sin θ的值为 ．练17 已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724D ．724-练18 已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan （ ） A ．34 B ．43 C ．43-D ．34-练19 已知3sin 4θ=，且θ在第二象限，那么2θ在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限例16 下列各式中的值为12的是（ ） A ．22sin 151︒-B ．22cos 15sin 15︒-︒C ．2sin15cos15︒︒D ．22cos 15sin 15︒+︒例17 22cos sin 88ππ-= ．例18 函数22cos 14y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数练20 计算212sin 22.5-︒的结果等于（ ） A ．12B ．22C ．33D ．32练21 下列各式中的值为32-的是（ ） A ．22sin 151︒- B ．22cos 15sin 15︒-︒C ．2sin15cos15︒︒D ．22cos 15sin 15︒+︒练22 若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A ．2564 B ．2548C ．1D ．2516练23 函数232sin 12y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是（ ） A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为2π的奇函数题型三 辅助角公式 考点1 公式的应用例19 求函数2sin 3cos y x x =+的最大值和最小值．例20 将函数sin cos y x x =+转化为()sin y A x ωϕ=+的形式．例21 将函数3cos y x x =+转化为()sin y A x ωϕ=+的形式．例22 设︒+︒=14cos 14sin a ，︒+︒=16cos 16sin b ，62c =，则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a <<D ．a c b <<练24 求下列函数的最大值和最小值． （1）3sin 4cos y x x =+ （2）5sin 12cos y x x =-练25 将函数2sin 2cos y x x =+转化为()sin y A x ωϕ=+的形式．练26 将函数33cos y x x =-转化为()sin y A x ωϕ=+的形式．考点2 与性质结合例23 已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>在(,)62ππ上单调，且满足()()062f f ππ+=，则ω=（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5例24 函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．例25 关于函数()x x x f 2cos 32sin +=有下列命题：①()x f y =的最大值为2；②1213π=x 是()x f y =的一条对称轴；③⎪⎭⎫⎝⎛0,8π是()x f y =的一个对称中心，其中正确的命题序号是 ．（把你认为正确命题的序号都写上）练27 函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A ．5π B ．2π C ．πD ．2π练28 函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（ ） A ．3- B ．2-C ．1-D ．5练29 函数2cos sin cos y x x x =-的单调增区间是 ．练30 已知函数()()πϕϕϕ<<-+=02sin sin 2cos 2cos2sin 22x x x x f 图象的一条对称轴为3π=x .则ϕ= ．【课后巩固1】1．cos24cos36sin 24sin36︒︒-︒︒的值为（ ） A ．0 B ．12C 3D ．12-2．sin68sin67cos68cos67︒︒-︒︒= ．3．2sin15cos15︒︒= ．4．化简下列式子： （111cos 222α+（2）22sin cos 2cos x x x +5．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ= ．6．设θ为第二象限角，若1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+= ．7．若角α为锐角，且316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα，则cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭ ．8．函数2sin 22sin y x x =-的最小正周期是（ ） A ．5π B ．2π C ．π D ．2π9．已知23cos ,41024x x πππ⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求sin ,sin ,cos 24x x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值10．已知,,0,22ππαπβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()5cos 13αβ+=-，()4cos 5αβ-=，求cos2α的值．【课后巩固2】1．sin65cos5cos65sin5︒︒-︒︒= ．2．已知角α的终边经过点()3,4-，则cos α= ；cos2α= ．3．44sin 15cos 15︒-︒= ． 4．2cossincos121212πππ+= ．5．已知1cos sin 2αα-=，则cos sin αα=（ ） A ．38B ．12C ．34D ．326．函数sin 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期和最大值分别为（ ） A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，27．若1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于 ．8．已知()1cos 3αβ+=，()1cos 5αβ-=，求tan tan αβ的值．9．已知函数()2,.12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭(Ⅰ)求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ)若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．10．已知函数()22cos3,.2xf x x x R =∈ (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域； (Ⅱ)若α为第二象限角，且133f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos 21cos 2sin 2ααα+-的值．【课后巩固3】1．οο15tan 115tan 1+-＝ ．2．sin55sin5cos55cos5︒︒-︒︒= ．3．若角α为锐角，且316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πα，则=αcos ．4．1sin cos 21212ππ=（ ） A ．12 B ．14C ．18D ．1165．已知()11cos ,cos ,33ααβ=+=-且0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、，则cos β=（ ） A ．12-B ．12C ．13-D ．796．函数2sin 22cos y x x =-的最大值是（ ） A ．1 B ．0C 21D 217．函数sin 322x xy =+的图像的一条对称轴方程是（ ） A ．x =113π B ．x =53π C ．53x π=-D ．3x π=-8．观察下列各等式：223sin 30cos 60sin 30cos604︒+︒+︒︒=； 223sin 20cos 50sin 20cos504︒+︒+︒︒=；223sin 15cos 45sin15cos 454︒+︒+︒︒=．分析上述各等式的共同点，请你写出能反映一般规律的等式为 ．9．已知函数()1224sin 2x f x x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）若角α是第四象限角，且3cos 5α=，求()f α．10．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4cos 25α=． (Ⅰ)求sin cos αα+的值； (Ⅱ)若,2πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且()5sin 2sin αββ+=，求角β的大小 ．。

三角恒等变换知识讲解一、三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式1）sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; 2）cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ;3）tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m (2k k Zπαβαβπ+??，，，);变形式tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ??m ()2k k Z παβαβπ+??，，，．2.二倍角公式1）sin22sin cos ααα=;变形式1sin cos sin 22ααα=．2）2222cos2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-;变形式2cos21cos 2αα+=；21cos2sin 2x α-=． 3）22tan tan 21tan ααα=-．3.辅助角公式()22222222sin cos (sin cos )sin y a b a b a b a b a b αααααϕ=+=++=++++，其中ϕ所在的象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan baϕ=确定． 4.化简中常用1的技巧“1”的代换221sin cos αα=+；212cos cos2αα=-，21cos2sin αα=+，1tan4π=．经典例题一．填空题（共5小题）1．（2012•北京模拟）如果函数y=cos 2ωx ﹣sin 2ωx 的最小正周期是4π，那么正数ω的值是 14．【解答】解：因为函数y=cos 2ωx ﹣sin 2ωx=cos2ωx ，它的最小正周期是4π，所以2π2ω=4π，解得ω=14．故答案为：142．（2015•张掖模拟）已知α为第二象限角，sinα+cosα=√33，则cos2α= −√53 ．【解答】解：∵sinα+cosα=√33，两边平方得：1+sin2α=13，∴sin2α=﹣23，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=53，∵α为第二象限角， ∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=√153，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣√153）×√33=−√53．故答案为：−√53．3．（2016春•信阳月考）已知函数f（x）=cos2x+asinx在区间（0，nπ）（n∈N*）内恰有9个零点，则实数a的值为±1．【解答】解：依题意，令F（x）=asinx+cos2x=0，现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=﹣cos2xsinx的解的情况．令h（x）=﹣cos2xsinx，x∈（0，π）∪（π，2π），则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．h′（x）=cosx(2sin2x+1)sin2x，令h′（x）=0，得x=π2或x=3π2，当x变换时，由h′（x），h（x）的变化情况可得：当x＞0且x趋近于0时，h（x）趋向于﹣∞，当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于﹣∞，当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞，当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞，故当a＞1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点；当a＜﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；当﹣1＜a＜1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内恰有9个零点；又当a=1或a=﹣1时，直线y=a 与曲线y=h （x ）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，9=3×3， ∴依题意得n=3×2=6．综上，当a=1，n=6，或a=﹣1，n=6时，函数f （x ）=cos2x +asinx 在（0，nπ）内恰有9个零点． 故答案为：±1．4．（2013•四川）设sin2α=﹣sinα，α∈（π2，π），则tan2α的值是 √3 ．【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（π2，π），∴cosα=﹣12，sinα=√1−cos 2α=√32，∴tanα=﹣√3，则tan2α=2tanα1−tan α=√31−(−√3)2=√3． 故答案为：√35．（2013•新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f （x ）=sinx ﹣2cosx 取得最大值，则cosθ=﹣2√55．【解答】解：f （x ）=sinx ﹣2cosx=√5（√55sinx ﹣2√55cosx ）=√5sin （x ﹣α）（其中cosα=√55，sinα=2√55），∵x=θ时，函数f （x ）取得最大值， ∴sin （θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=√5， 又sin 2θ+cos 2θ=1，联立得（2cosθ+√5）2+cos 2θ=1，解得cosθ=﹣2√55．故答案为：﹣2√55二．解答题（共10小题）6．（2018•浙江模拟）已知函数f （x ）=√32cos （2x +φ）+sin 2x （0≤φ＜π）（1）若φ=π6，求f （x ）的值域；（2）若f （x ）的最大值是32，求φ的值．【解答】解：（1）φ=π6时，函数f （x ）=√32cos （2x +φ）+sin 2x=√32cos （2x +π6）+1−cos2x 2=√32（cos2xcos π6﹣sin2xsin π6）+12﹣12cos2x =14cos2x ﹣√34sin2x +12 =12cos （2x +π3）+12， 由﹣1≤cos （2x +π3）≤1，得0≤12cos （2x +π3）+12≤1，∴f （x ）的值域为[0，1]；（2）函数f （x ）=√32cos （2x +φ）+sin 2x=√32cos2xcosφ﹣√32sin2xsinφ+1−cos2x 2=（√32cosφ﹣12）cos2x ﹣√32sinφsin2x +12，且f （x ）的最大值是32，即(√32cosφ−12)2+(√32sinφ)2=1， ∴34﹣√32cosφ+14=1，解得cosφ=0， 又0≤φ＜π， ∴φ=π2．7．（2018•诸暨市二模）己知函数f （x ）=4sinxsin （x +π3）﹣l ．（1）求f （5π6）的值：（2）设A 是△ABC 中的最小角，f （A ）=85，求f （A +π4）的值．【解答】解：（1）函数f （x ）=4sinxsin （x +π3）﹣l ，f （5π6）=4sin 5π6sin （5π6+π3）﹣1=4•12•sin 7π6﹣1=2•（﹣12）﹣1=﹣2；（2）函数f （x ）=4sinxsin （x +π3）﹣l=4sinx （12sinx +√32cosx ）﹣1=2sin 2x +2√3sinxcosx ﹣1 =√3sin2x ﹣cos2x=2sin （2x ﹣π6），又A 是△ABC 中的最小角，∴A ∈（0，π3]，2A ﹣π6∈（﹣π6，π2]，∴f （A ）=2sin （2A ﹣π6）=85，∴sin （2A ﹣π6）=45，2A ﹣π6∈（0，π2]，∴f （A +π4）=2sin （π2+2A ﹣π6）=2cos （2A ﹣π6）=65．8．（2018•广西三模）已知函数f （x ）=sinx +tanx ﹣2x ． （1）证明：函数f （x ）在（﹣π2，π2）上单调递增；（2）若x ∈（0，π2），f （x ）≥mx 2，求m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）=sinx +tanx ﹣2x 则f′(x)=cosx +1cos 2x−2， ∵x ∈(−π2，π2)，∴cosx ∈（0，1]，于是f′(x)=cosx +1cos 2x −2≥cos 2x +1cos 2x−2≥0（等号当且仅当x=0时成立）．故函数f （x ）在(−π2，π2)上单调递增．（Ⅰ）由（Ⅰ）得f （x ）在(0，π2)上单调递增，又f （0）=0，∴f （x ）＞0，（Ⅰ）当m ≤0时，f （x ）＞0≥mx 2成立． （Ⅰ）当m ＞0时，令p （x ）=sinx ﹣x ，则p'（x ）=cosx ﹣1，当x ∈(0，π2)时，p'（x ）＜0，p （x ）单调递减，又p （0）=0，所以p （x ）＜0， 故x ∈(0，π2)时，sinx ＜x ．（*）由（*）式可得f （x ）﹣mx 2=sinx +tanx ﹣2x ﹣mx 2＜tanx ﹣x ﹣mx 2， 令g （x ）=tanx ﹣x ﹣mx 2，则g'（x ）=tan 2x ﹣2mx由（*）式可得g′(x)＜x 2cos 2x −2mx =xcos 2x(x −2mcos 2x)， 令h （x ）=x ﹣2mcos 2x ，得h （x ）在(0，π2)上单调递增， 又h （0）＜0，ℎ(π2)＞0，∴存在 t ∈(0，π2)使得h （t ）=0，即x ∈（0，t ）时，h （x ）＜0，∴x ∈（0，t ）时，g'（x ）＜0，g （x ）单调递减， 又∵g （0）=0，∴g （x ）＜0，即x ∈（0，t ）时，f （x ）﹣mx 2＜0，与f （x ）＞mx 2矛盾． 综上，满足条件的m 的取值范围是（﹣∞，0]．9．（2018•宁波二模）已知函数f （x ）=4cosx•sin （x ﹣π6）﹣1．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅰ）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若满足f （B ）=0，a=2，且D 是BC 的中点，P 是直线AB 上的动点，求|CP |+|PD |的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）=4cosx•sin （x ﹣π6）﹣1=4cosx （√32sinx ﹣12cosx ）﹣1=√3sin2x ﹣cos2x ﹣2=2sin （2x ﹣π6）﹣2； ……………………（4分）由于﹣π2+2kπ≤2x ﹣π6≤π2+2kπ，k ∈Z ，解得﹣π6+kπ≤x ≤π3+kπ，k ∈Z ；所以f （x ）的增区间为[kπ﹣π6，kπ+π3]，k ∈Z ；……………………（6分）（Ⅰ）由f （B ）=2sin （2B ﹣π6）﹣2=0得2B ﹣π6=π2，所以B=π3；…………（8分）作C 关于AB 的对称点C′，连C′D ，C′P ，C′B ，如图所示；（C′D ）2=BD 2+（BC′）2+BD•BC′=7；…………………（12分） CP +PD=C′P +PD ≥C′D=√7，C′，P ，D 三点共线时取得最小值√7．……………………（14分）10．（2017秋•昌吉市期末）已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x +2√3sinxcosx ． （1）求f （x ）的最小正周期和单调递增区间． （2）当x ∈[0，π4]时，求f （x ）的最值．【解答】解：（1）函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x +2√3sinxcosx =cos2x +√3sin2x=2（12cos2x +√32sin2x ）=2sin （2x +π6）；∴f （x ）的最小正周期为T=2πω=π；令2kπ﹣π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ；解得kπ﹣π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ；∴f （x ）单调递增区间为[kπ﹣π3，kπ+π6]，k ∈Z ；（2）当x ∈[0，π4]时，2x +π6∈[π6，2π3]，∴sin （2x +π6）∈[12，1]；∴x=0时，f （x ）取得最小值为1，x=π6时，f（x）取得最大值为2．11．（2016•淮南一模）已知函数f（x）=√3sin（x﹣ϕ）cos（x﹣ϕ）﹣cos2（x﹣ϕ）+12（0≤ϕ≤π2）为偶函数．（I）求函数的最小正周期及单调减区间；（II）把函数的图象向右平移π6个单位（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的对称中心．【解答】解：（I）函数f（x）=√3sin（x﹣ϕ）cos（x﹣ϕ）﹣cos2（x﹣ϕ）+12=√32sin（2x﹣2φ）﹣12（2cos2φ﹣1）=√32sin（2x﹣2φ）﹣12cos（2x﹣2φ）=sin（2x﹣2φ−π6）函数f（x）为偶函数，则﹣2φ−π6=kπ，k∈z∵0≤ϕ≤π2∴φ=5π12∴f（x）=sin（2x﹣π）=﹣sin2x∴函数的最小正周期T=2π2=π令2x∈[﹣π2+2kπ，π2+2kπ]k∈Z 解得：﹣π4+kπ≤x≤π4+kπ∴函数f（x）的单调递减区间为[﹣π4+kπ，π4+kπ]k∈Z（II）由（I）知f（x）=﹣sin2x由题意知g（x）=﹣sin[2（x﹣π6）]=﹣sin（2x﹣π3）令2x﹣π3=kπ（k∈Z），则x=π6+kπ2（k∈Z），∴函数的对称中心坐标为（π6+kπ2，0）（k∈Z）．12．（2016•岳阳县校级三模）已知f（x）=2sin4x+2cos4x+cos22x﹣3．（1）求函数f （x ）的最小正周期． （2）求函数f （x ）在闭区间[π16，3π16]上的最小值并求当f （x ）取最小值时，x的取值集合．【解答】解：f （x ）=2（sin 2x +cos 2x ）2﹣4sin 2xcos 2x +cos 22x ﹣3 =2×1﹣sin 22x +cos 22x ﹣3 =cos 22x ﹣sin 22x ﹣1 =cos4x ﹣1（1）函数的最小正周期T=2π4=π2． （2）x ∈[π16，3π16]4x ∈[π4，3π4]∴f （x ）=cos4x ﹣1在[π16，3π16]是减函数当x=3π16时f （x ）有最小值f （3π16）=cos 3π4﹣1=﹣√22﹣1，此时x 的集合是{3π4}13．（2018春•湖南期末）已知向量m →=（2sinθ，sinθ+cosθ），n →=（cosθ，﹣2﹣m ），函数f （θ）=m →•n →的最小值为g （m ）（m ∈R ） （1）当m=1时，求g （m ）的值； （2）求g （m ）；（3）已知函数h （x ）为定义在R 上的增函数，且对任意的x 1，x 2都满足h （x 1+x 2）=h （x 1）+h （x 2）问：是否存在这样的实数m ，使不等式h （f （θ））﹣h （4sinθ+cosθ）+h （3+2m ）＞0对所有θ∈[0，π2]恒成立，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵f （θ）=sin2θ﹣（2+m ）（sinθ+cosθ）， 令t=sinθ+cosθ，t ∈[﹣√2，√2]， ∴sin2θ=t 2﹣1，当m=1时，g （m ）=（t 2﹣3t ﹣1）min =1﹣3√3．（2）f （θ）=F （t ）=t 2﹣（m +2）t ﹣1，t ∈[﹣√2，√2]，∴g （m ）={(m +2)√2+1，m ≤−2√2−2−m 2+4m+84，−2√2−2＜m ＜2√2−21−(m +2)√2，m ≥2√2−2，（3）h （x 1+x 2）=h （x 1）+h （x 2）， 可令x 1=x 2=0，可得h （0）=0，由x 1=x ，x 2=﹣x ，可得h （x ）+h （﹣x ）=0， 可得函数h （x ）为R 上的奇函数， 使不等式h （f （θ））﹣h （4sinθ+cosθ）+h （3+2m ）＞0对所有θ∈[0，π2]恒成立，∴只需使不等式h [sin2θ﹣（2+m ）（sinθ+cosθ）﹣4sinθ+cosθ]+h （3+2m ）＞0对所有θ∈[0，π2]恒成立，∴h [sin2θ﹣（2+m ）（sinθ+cosθ）﹣4sinθ+cosθ]＞﹣h （3+2m ）=h （﹣3﹣2m ），∵函数h （x ）为定义在R 上的增函数， ∴sin2θ﹣（2+m ）（sinθ+cosθ）﹣4sinθ+cosθ＞﹣3﹣2m ，令t=sinθ+cosθ， ∴sin2θ=t 2﹣1， ∵θ∈[0，π2]，∴t ∈[1，√2]，∴原命题等价于t 2﹣1﹣（m +2）t ﹣4t+3+2m ＞0对t ∈[1，√2]恒成立，∴（2﹣t ）m ＞2t ﹣t 2+4t﹣2，∴m ＞t(2−t)+2t(2−t)2−t=t +2t，由对勾函数的图象和性质，得： g （t ）在[1，√2]为减函数， ∴g （t ）的最大值为3， ∴m ＞3时，原命题成立．14．（2018春•中山市期末）定义非零向量OM →=(a ，b)的“相伴函数”为f （x ）=asinx +bcosx （x ∈R ），向量OM →=(a ，b)称为函数f （x ）=asinx +bcosx 的“相伴向量”（其中O 为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ． （1）设h （x ）=cos （x +π6）﹣2cos （x +a ）（a ∈R ），求证：h （x ）∈S ；（2）求（1）中函数h （x ）的“相伴向量”模的取值范围；（3）已知点M （a ，b ）（b ≠0）满足：(a −√3)2+(b −1)2=1上一点，向量OM→的“相伴函数”f （x ）在x=x 0处取得最大值．当点M 运动时，求tan2x 0的取值范围．【解答】解：（1）∵h （x ）=cos （x +π6）﹣2cos （x +a ）=（2sina ﹣12）sinx +（√32﹣2cosa ）cosx∴函数h （x ）的相伴向量OM →=（2sina ﹣12，√32﹣2cosa ），∴h （x ）∈S…（4分）（2）∵|OM →|=√(2sina −12)+(√32−2cosa)=√5−2sina −2√3cosa=√5−4sin(a +π3)∴|OM →|max =√5+4=3，|OM →|min =√5−4=1 ∴|OM →|的取值范围为[1，3]…（10分）（3）OM →的相伴函数f （x ）=asinx +bcosx=√a 2+b 2sin （x +φ）， 其中cosφ=√a 2+b 2，sinφ=√a 2+b 2当x +φ=2kπ+π2，k ∈Z 即x 0=2kπ+π2﹣φ，k ∈Z 时f （x ）取得最大值，∴tanx 0=tan （2kπ+π2﹣φ）=cotφ=ab，∴tan2x 0=2tanx 01−tan 2x 0=2×ab1−(ab)2=2b a −ab． ∵b a 为直线OM 率，由几何意义知ba∈（0，√3] 令m=b a ，tan2x 0=2m−1m，m ∈（0，√3] ∵m ∈（0，√3]，故1m ≥√33，﹣1m ≤﹣√33，∴m ﹣1m ∈（﹣∞，2√33]，∴tan 2x 0∈(−∞，0)∪[√3，+∞)…（18分）15．（2015秋•桐乡市期中）定义向量OM →=(a ，b)的“相伴函数”为f （x ）=asinx +bcosx ；函数f （x ）=asinx +bcosx 的“相伴向量”为OM →=(a ，b)（其中O 为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．（1）设g(x)=3sin(x +π2)+4sinx ，试判断g （x ）是否属于S ，并说明理由；（2）已知h （x ）=cos （x +α）+2cosx ，且h （x ）∈S ，求其“相伴向量”的模；（3）已知M （a ，b ）是函数F(x)=2x +1x 的图象上一动点，向量OM →的“相伴函数”f （x ）在x=x 0处取得最大值．当点M 运动时，求tan2x 0的取值范围． 【解答】（本题满分15分）解：（1）因为：g(x)=3sin(x +π2)+4sinx =4sinx +3cosx ，g （x ）的相伴向量为（4，3），所以：g （x ）∈S ； （3分）（2）∵h （x ）=cos （x +α）+2cosx=﹣sinαsinx +（cosα+2）cosx ，∴h （x ）的“相伴向量”为OM →=(−sinα，cosα+2)，|OM →|=√(−sinα)2+(cosα+2)2=√5+4cosα．（7分） （3）OM →的“相伴函数”f(x)=asinx +bcosx =√a 2+b 2sin(x +ϕ)，其中tanϕ=b a， 当x +ϕ=2kπ+π2，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值， 故x 0=2kπ+π2−ϕ，k ∈Z ， ∴tanx 0=tan(π2−ϕ)=1tanϕ=ab ， ∴tan2x 0=2tanx 01−tan 2x 0=2⋅a b 1−a 2b 2=2b a −a b ， 又M （a ，b ）是满足b =2a +1a ，所以b a =2+1a ＞2，令m =ba ＞2，∴tan2x 0=2m−1m，m ＞2， ∵tan2x 0=2m−1m 在（1，+∞）上单调递减， ∴tan2x 0∈(0，43)（15分）。