专题20三角恒等变换与求值

专题二十 简洁的三角恒等变换【高频考点解读】1.把握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简洁的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【热点题型】题型一 已知三角函数值求值例1、已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求2cos 2A2－3sin A －12sin A ＋π4的值．(2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2A2－3sin A －12sin A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A1＋tan A＝1－3×－341＋－34＝13.【提分秘籍】对于条件求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”即使“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分状况争辩，应留意公式的正用、逆用、变形运用，把握其结构特征，还要留意拆角、拼角等技巧的运用．【举一反三】已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．【热点题型】题型二 已知三角函数值求角例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 两点的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．又∵α、β为锐角， ∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.【提分秘籍】(1)已知某些相关条件，求角的解题步骤： ①求出该角的范围；②结合该角的范围求出该角的三角函数值．(2)依据角的函数值求角时，选取的函数在这个范围内应是单调的． 【举一反三】已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)相互垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求φ的值．【热点题型】题型三 正、余弦定理的应用例3、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .【解析】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k ，【提分秘籍】(1)利用正弦定理，实施角的正弦化为边时只能是用a 替换sin A ，用b 替换sin B ，用c 替换sin C . sin A ，sin B ，sin C 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分；(2)以三角形为背景的题目，要留意三角形的内角和定理的使用．像本例中B ＋C ＝60°；(3)在求角的大小肯定要有两个条件才能完成：①角的范围；②角的某一三角函数值．在由三角函数值来推断角的大小时，肯定要留意角的范围及三角函数的单调性．【举一反三】在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A . (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．解：(1)由3a ＝2c sin A ，依据正弦定理，sin C ＝c sin A a ＝32，又0<C <π2，则C ＝π3.【热点题型】题型四 解三角形与实际问题例4、如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船马上前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．即该救援船到达D 点需要1小时.【提分秘籍】应用解三角形学问解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，精确 理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)依据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关学问正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案． 【举一反三】如图所示，上午11时在某海岛上一观看点A 测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，假如轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？在△ABE 中，由余弦定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos30°＝163＋25－2×433×5×32＝313，故BE ＝313. ∴船速v ＝BEt ＝31313＝93 (km/h)．故该船的速度为93 km/h. 【高考风向标】1．（2022·全国卷）直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．2．（2022·全国卷）若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．3．（2022·福建卷）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解析】方法一：(1)由于0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12.4．（2022·四川卷）已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是其次象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 【解析】(1)由于函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ， 由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z.5．（2022·天津卷）已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．(2)由于f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12. 6．（2022·北京卷）如图1-2，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．图1-27．（2022·福建卷）在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．【答案】23 【解析】 由BC sin A ＝AC sin B ，得sin B ＝4sin 60°23＝1，∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，则S △ABC ＝12·AC ·BC sin C ＝12×4×23sin 30°＝23，即△ABC 的面积等于2 3.8．（2022·湖南卷）如图1-5所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.图1-5(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD ＝－714，sin∠CBA＝216，求BC的长．9．（2022·四川卷）如图1-3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)10．（2021·四川卷）设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．11．（2021·重庆卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2.(1)求C；(2)设cos Acos B＝3 25，cos（α＋A）cos（α＋B）cos2α＝25，求tan α的值．【解析】(1)由于a2＋b2＋2ab＝c2，所以由余弦定理有cos C＝a2＋b2－c22ab＝－2ab2ab＝－22.故C＝3π4.(2)由题意得（sin αsin A－cos αcos A）（sin αsin B－cos αcos B）cos2α＝25，12．（2021·重庆卷）4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．2 2－1【随堂巩固】1．已知sin θ2＝45，cos θ2＝－35，则角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限解析：sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2×45×(－35)<0.cos θ＝cos 2θ2－sin 2θ2＝925－1625＝－725<0，∴θ是第三象限角．答案：C2．已知sin α＝55，则cos4α的值是( ) A.425 B ．－725C.1225D ．－18253．若－2π<α<－3π2，则1－cos α－π2的值是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α24．已知θ为其次象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.35B.45 C ．±35D ．±455．已知x ∈(π2，π)，cos 2x ＝a ，则cos x ＝( )A.1－a2B ．－1－a2C.1＋a2D ．－1＋a2解析：依题意得cos 2x ＝1＋cos 2x 2＝1＋a 2；又x ∈(π2，π)，因此cos x ＝－1＋a2. 答案：D6．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12 C ．2D ．－27．已知cos 2α＝14，则sin 2α＝________.解析：sin 2α＝1－cos 2α2＝38.答案：388．sin 2B1＋cos 2B －sin 2B ＝－3，则tan 2B ＝________. 解析：sin 2B 1＋cos 2B －sin 2B＝2sin B cos B2cos 2B ＝tan B ＝－3.∴tan2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝34.答案：349．设α是其次象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.10．化简：2sin(π4－x )＋6cos(π4－x )11．求3tan 10°＋14cos 210°－2sin 10°的值．解：原式＝3sin 10°＋cos 10°cos 10°2cos 20°sin 10°＝2sin 10°＋30°2cos 20°sin 10°cos 10°＝2sin 40°sin 20°cos 20°＝2sin 40°12sin 40°＝4.12．已知函数f (x )＝3sin2x －2sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值； (2)求函数f (x )的零点的集合．解：(1)由于f (x )＝3sin 2x －(1－cos 2x ) ＝2sin(2x ＋π6)－1，所以，当2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z时，函数f (x )取得最大值1.。

三角恒等变换专题复习教学目标：1、能利用单位圆中的三角函数线推导出 απαπ±±,2的正弦、余弦、正切的诱导公式；2、理解同角三角函数的基本关系式：；3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题; 教学重难点：可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题 基础知识一、同角的三大关系：① 倒数关系 tan α•cot α=1 ② 商数关系 sin cos αα= tan α ； cos sin αα= cot α ③ 平方关系 22sin cos 1αα+=温馨提示：1求同角三角函数有知一求三规律,可以利用公式求解,最好的方法是利用画直角三角形速解;来源:学+科+网2利用上述公式求三角函数值时,注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号;二、诱导公式口诀：奇变偶不变,符号看象限用诱导公式化简,一般先把角化成,2k z α+∈的形式,然后利用诱导公式的口诀化简如果前面的角是90度的奇数倍,就是 “奇”,是90度的偶数倍,就是“偶”；符号看象限是,把α看作是锐角,判断角2k πα+在第几象限,在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”,就加在前面;用诱导公式计算时,一般是先将负角变成正角,再将正角变成区间0(0,360)的角,再变到区间00(0,180)的角,再变到区间00(0,90)的角计算;三、和角与差角公式 ：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=变 用 tan α±tan β=tan α±β1 tan αtan β四、二倍角公式：sin 2α= 2sin cos αα.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-五、注意这些公式的来弄去脉这些公式都可以由公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=推导出来;六、注意公式的顺用、逆用、变用;如：逆用sin cos cos sin sin()αβαβαβ±=± 1sin cos sin 22ααα=变用22cos 1cos 2αα+=22cos 1sin 2αα-= 21cos 4cos 22αα+= 七、合一变形辅助角公式把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式;()22sin cos αααϕA +B =A +B +,其中tan ϕB=A． 八、万能公式ααα2tan 1tan 22sin += ααα22tan 1tan 12cos +-= ααα2tan 1tan 22tan -=九、用αsin ,αcos 表示2tanααααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=十、积化和差与和差化积积化和差 )]sin()[sin(cos sin βαβαβα-++=； )]sin()[sin(sin cos βαβαβα--+=；)]cos()[cos(cos cos βαβαβα-++=； )]cos()[cos(sin sin βαβαβα--+=.和差化积 2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2cos 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=- 2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+ 2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=-十一、方法总结1、三角恒等变换方法观察角、名、式→三变变角、变名、变式1 “变角”主要指把未知的角向已知的角转化,是变换的主线,如α=α+β－β=α－β+β, 2α=α+β+ α－β, 2α=β+α－β－α,α+β=2·错误! , 错误! = α－错误!－错误!－β等.2“变名”指的是切化弦正切余切化成正弦余弦sin cos tan ,cot cos sin αααααα==, 3“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂,利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等; 2、恒等式的证明方法灵活多样①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子. ③比较法, 即设法证明: "左边－右边=0" 或" 错误! =1";④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.例题精讲例1 已知α为第四象限角,化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-解：1因为α为第四象限角所以原式=αααααα2222cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+-- ()ααααααααααsin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin 1cos -=---=--+-=例2 已知360270<<α,化简α2cos 21212121++ 解：360270<<α,02cos,0cos <>∴αα所以原式2111cos211cos 22222αα++=+21cos cos cos 222ααα+===- 例3 tan20°+4sin20°解：tan20°+4sin20°=0020cos 40sin 220sin +=0sin(6040)2sin 40cos 20-+00003340sin 403cos 20223cos 20+=== 例4 05天津已知727sin()2425παα-==,求sin α及tan()3πα+．解：解法一：由题设条件,应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=,即57cos sin =-αα ①由题设条件,应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722ααααααααα+-=+-=-== 故51sin cos -=+αα ② 由①和②式得53sin =α,54cos -=α因此,43tan -=α,由两角和的正切公式11325483343344331433tan 313tan )3tan(-=+-=+-=-+=+ααπα 解法二：由题设条件,应用二倍角余弦公式得αα2sin 212cos 257-==, 解得 259sin 2=α,即53sin ±=α 由1027)4sin(=-πα可得57cos sin =-αα由于0cos 57sin >+=αα,且057sin cos <-=αα,故α在第二象限于是53sin =α,从而5457sin cos -=-=αα 以下同解法一小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力,可从已知角和所求角的内在联系均含α进行转换得到．2、在求三角函数值时,必须灵活应用公式,注意隐含条件的使用,以防出现多解或漏解的情形． 例 5 已知,,A B C 为锐角ABC ∆的三个内角,两向量(22sin ,cos sin )p A A A =-+,(sin cos ,q A A =-1sin )A +,若p 与q 是共线向量.1求A 的大小；2求函数232sin cos()2C By B -=+取最大值时,B 的大小. 解：122// 2(1)(1+)- p q sinA sinA sin A cos A ∴-=22220 120cos A cos A cos A ∴+=∴+= 1cos 2A 2∴=-0<2A<π,002A 120 A=60∴=∴200A=60 B+C=120∴ 2013y=2sin B+cos(602B)1cos 2B+cos 2B sin 2B 22-=-+31 =sin 2B cos 2B+1=sin(2B )1226π--+ , 2B B 623πππ-=当时，即=． 小结：三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意例6 设关于x 的方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在0, 2π内有相异二解α、β.1求α的取值范围; 2求tan α＋β的值. 解: 1∵sinx ＋3cosx ＝221sinx ＋23cosx ＝2 sinx ＋3π, ∴方程化为sinx ＋3π＝－2a.∵方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在0, 2π内有相异二解, ∴sinx ＋3π≠sin 3π＝23 .又sinx ＋3π≠±1 ∵当等于23和±1时仅有一解, ∴|－2a |<1 . 且－2a≠23. 即|a |<2且a ≠－3.∴ a 的取值范围是－2, －3∪－3, 2.2 ∵α、 β是方程的相异解, ∴sin α＋3cos α＋a ＝0 ①. sin β＋3cos β＋a ＝0 ②. ①－②得sin α－ sin β＋3 cos α－ cos β＝0. ∴ 2sin2βα-cos2βα+－23sin2βα+sin2βα-＝0, 又sin2βα+≠0, ∴tan2βα+＝33.∴tan α＋β＝2tan22tan22βαβα+-+＝3.小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别,这里不能忘记0, 2π这一条件. 例7 已知函数()x x m x f cos sin 2-=在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上单调递减,试求实数m 的取值范围．解：已知条件实际上给出了一个在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上恒成立的不等式． 任取∈21,x x ⎪⎭⎫⎝⎛2,0π,且21x x <,则不等式()()21x f x f >恒成立,即>-11cos sin 2x x m 22cos sin 2x x m -恒成立．化简得()()2112sin 2cos cos x x x x m ->- 由2021π<<<x x 可知：0cos cos 12<-x x ,所以()1221cos cos sin 2x x x x m --<上式恒成立的条件为：()上的最小值，在区间⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--<20cos cos sin 21221πx x x x m . 由于()2sin 2cos 22sin 2sin 22cos 2sin4cos cos sin 22121212121211221x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-+--=-- 2sin2cos 2cos 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 221212121x x x x x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2tan2tan 2tan 2tan 122121x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=且当2021π<<<x x 时,42,2021π<<x x ,所以 12tan ,2tan 021<<x x , 从而 02tan 12tan 12tan 2tan 2tan 2tan1212121>⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x , 有 22tan2tan 2tan 2tan 122121>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x , 故 m 的取值范围为]2,(-∞.基础精练1．已知α是锐角,且sin 错误!＝错误!,则sin 错误!的值等于A.错误! B ．－错误! C.错误! D ．－错误!2．若－2π＜α＜－错误!,则 错误!的值是A ．sin 错误!B ．cos 错误!C ．－sin 错误!D ．－cos 错误!3.错误!·错误!等于A.－sinαB.－cosαC.sinαD.cosα4.已知角α在第一象限且cosα＝错误!,则错误!等于A.错误!B.错误!C.错误!D.－错误!5.定义运算错误!＝ad －bc.若cosα＝错误!,错误!＝错误!,0<β<α<错误!,则β等于A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!6.已知tanα和tan 错误!－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根,则a 、b 、c 的关系是A.b ＝a ＋cB.2b ＝a ＋cC.c ＝b ＋aD.c ＝ab7.设a ＝错误!sin56°－cos56°,b ＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°,c ＝错误!,d ＝错误!cos80°－2cos 250°＋1,则a,b,c,d 的大小关系为A.a ＞b ＞d ＞cB.b ＞a ＞d ＞cC.d ＞a ＞b ＞cD.c ＞a ＞d ＞b8．函数y ＝错误!sin2x ＋sin 2x,x ∈R 的值域是A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!9.若锐角α、β满足1＋错误!tanα1＋错误!tanβ＝4,则α＋β＝ .10.设α是第二象限的角,tanα＝－错误!,且sin 错误!<cos 错误!,则cos 错误!＝ .11.已知sin-4πx=135,0<x<4π,求)4cos(2cos x x +π的值;12.若),0(,πβα∈,31tan ,507cos -=-=βα,求α+2β;拓展提高1、设函数fx ＝sin 错误!－错误!－2cos 2错误!＋11求fx 的最小正周期.2若函数y ＝gx 与y ＝fx 的图像关于直线x ＝1对称,求当x ∈0,错误!时y ＝gx 的最大值2.已知向量a ＝cosα,sinα,b ＝cosβ,sinβ,|a －b|＝错误!1求cosα－β的值；2若0<α<错误!,－错误!<β<0,且sinβ＝－错误!,求sinα.3、求证：αβαsin 2sin ）（+－2cos α+β=αβsin sin .基础精练参考答案4．C 解析原式＝错误!＝错误!＝错误!＝2×cosα＋sinα＝2×错误!＋错误!＝错误!. 5.D 解析依题设得：sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin α－β＝错误!.∵0<β<α<错误!,∴cosα－β＝错误!. 又∵cosα＝错误!,∴sinα＝错误!.sinβ＝sinα－α－β＝sinα·cosα－β－cosα·sinα－β ＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!,∴β＝错误!.6.C 解析tan tan()4,tan tan(),4b a c a πααπαα⎧+-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴tan 错误!＝tan 错误!－α＋α＝错误!＝1,∴－错误!＝1－错误!,∴－b ＝a －c,∴c ＝a ＋b.7.B 解析a ＝sin56°－45°＝sin11°,b ＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin52°－40°＝sin12°,c ＝错误!＝cos81°＝sin9°,d ＝错误!2cos 240°－2sin 240°＝cos80°＝sin10°∴b ＞a ＞d ＞c.8.C 解析y ＝错误!sin2x ＋sin 2x ＝错误!sin2x －错误!cos2x ＋错误!＝错误!sin 错误!＋错误!,故选择C. 9. 错误!解析由1＋错误!tanα1＋错误!tanβ＝4,可得错误!＝错误!,即tanα＋β＝错误!. 又α＋β∈0,π,∴α＋β＝错误!.10. －错误!解析：∵α是第二象限的角,∴错误!可能在第一或第三象限,又sin 错误!<cos 错误!,∴错误!为第三象限的角, ∴cos 错误!<0.∵tanα＝－错误!,∴cosα＝－错误!,∴cos 错误!＝－ 错误!＝－错误!.12.解析∵),0(,πβα∈,507cos -=α∴),0,33(71tan -∈-=α),0,33(31tan -∈-=β∴),65(,ππβα∈,α+2β)3,25(ππ∈,又tan2β=43tan 1tan 22-=-ββ,12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα,来源:Zxxk ∴α+2β=411π拓展提高参考答案1、解析 1fx ＝sin 错误!cos 错误!－cos 错误!sin 错误!－cos 错误!x ＝错误!sin 错误!x －错误!cos 错误!x＝错误!sin 错误!x －错误!,故fx 的最小正周期为T ＝错误!＝82法一：在y ＝g x 的图象上任取一点 x,gx,它关于x ＝1的对称点2－x,gx.由题设条件,点2－x ,gx 在y ＝fx 的图象上,从而gx ＝f2－x ＝错误!sin 错误!2－x －错误! ＝错误!sin 错误!－错误!x －错误!＝错误!cos 错误!x ＋错误!,当0≤x≤错误!时, 错误!≤错误!x ＋错误!≤错误!,因此y ＝gx 在区间0,错误!上的最大值为gx max ＝错误!cos 错误!＝错误!.法二：因区间0,错误!关于x ＝1的对称区间为错误!,2,且y ＝gx 与y ＝fx 的图象关于x ＝1对称,故y ＝gx 在0,错误!上的最大值为y ＝fx 在错误!,2上的最大值,由1知fx ＝错误!sin 错误!x －错误!, 当错误!≤x ≤2时,－错误!≤错误!x －错误!≤错误!,因此y ＝gx 在0,错误!上的最大值为gx max ＝错误!sin 错误!＝错误!.2、解析1∵a ＝cos α,sinα,b ＝cosβ,sinβ, ∴a －b ＝cosα－cosβ,sinα－sinβ. ∵|a －b|＝错误!,∴错误!＝错误!, 即2－2cosα－β＝错误!,∴cosα－β＝错误!.2∵0<α<错误!,－错误!<β<0,∴0<α－β<π,∵cosα－β＝错误!,∴sinα－β＝错误! ∵sin β＝－错误!,∴cosβ＝错误!,∴sinα＝sinα－β＋β＝sinα－βcosβ＋cosα－βsinβ＝错误!·错误!＋错误!·－错误!＝错误!。

三角恒等变换专题-、知识点总结1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴ cos ： - ： = cos ： cos 1 sin ： sin ：:⑵ cos ： 二 cos ： cos ； -sin ： sin ：；⑶ sin ： - - =sin ： cos ； -cos ： sin ： ；（4） sin ： : =sin ： cos ： cos ： sin ：；⑸ tan —J an -tan〔1 +tanot tan P形式―曲氏。

…,2 Sin ：「，其中聞「迁（tan ： - tan ： = tan ： - - 1 tan ： tan ：）；⑹tan ：—旦匹1 -tan 。

tan P（tan 二 1 tan ：二 tani* T"； ]1「tan ： tan ：）.2、二倍角的正弦、余弦和正切公式:⑴ sin2： =2sin : cos ：.= 仁sin2：2 2 2=si n ： cos ；二 2si n _：〉cos 「 - （s in ：二⑵ cos2：二 cos :「sin 2 ： = 2cos 2 < -1 二 1「2sin 2: 2 ：' =升幕公式 1 cos ： - 2cos ,1 - cos ： =2sin 2cos2-：i }12 ：'=■降幕公式cos2:■21 一：⑶tan2,西二1 -ta n «万能公式半角公式a cos -21 cos a sintan -21 - cos a-1 cos a. a;sin 2sin a 1 cos a1「cos a sin a4、合一变形=把两个三角函数的和或差化为"一个三角函数, a2 tan2 ;cos2a(后两个不用判断符号，更加好用) 2atan —2 tan 2 a2一个角，一次方”的y = A sin() B5. （1）积化和差公式1 sin 用 cos - = [sin （-：匚 + - ）+sin （二--）]2 1cos -：： cos ，，-'= [cos （：+ - ）+cos （-：i --）]2（2）和差化积公式ct + P a - P sin 、’+sin - = 2 sin ---------------- COS ------1cos/ sin - = [sin （二I + - ）-sin （-：i --）]2 1sin -：： sin= -[cos （二i + - ）-cos （二i -a + P a - Psin 、’ - sin = 2 COS ----- s in --------21 cos2：cos -■二 ------------2 sin c os 、£ =1 sin2-f27、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公 式，掌握运算，化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下：（1 ）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差, 倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如: ①2是〉的二倍；4是2'的二倍；:-是 '的二倍；2 '是一的二倍；24② 15° =45° -30°30ooo=60 - 45.问： sin —二:cos —21212—―TTTT^TT③〉=（二：亠「）_ _ :④ _ . = 一 _（一 _：.）.4 2 4'⑤ 2：二（黒亠卩）（）=（_：）_（_-：）.等等（2） 函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。

第三节三角恒等变换利用三角恒等变换求值1.(2012年山东卷,理7,5分)若θ∈[,],sin 2θ=,则sin θ等于( )(A)(B)(C)(D)解析:本小题主要考查二倍角公式.∵θ∈[,],∴2θ∈[,π],∴cos 2θ=-=-,∵cos 2θ=1-2sin2θ,∴sin θ==.答案:D.2.(2012年全国大纲卷,理7,5分)已知α为第二象限角,sin α+cos α=,则cos 2α等于( )(A)-(B)-(C)(D)解析:把sin α+cos α=两边平方,化为1+2sin αcos α=,解得sin 2α=-.又α为第二象限角,且sin α+cos α=>0,∴α∈(90°,135°),∴2α∈(180°,270°),∴cos 2α<0,cos 2α=-=-=-.答案:A.3.(2012年重庆卷,理5,5分)设tan α,tan β是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(α+β)的值为( )(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3解析:易知tan α+tan β=3,tan αtan β=2,故tan (α+β)===-3.故选A.答案:A.4.(2011年全国新课标卷,理5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ等于( )(A)-(B)-(C)(D)解析:因为终边在直线y=2x上,所以tan θ=2,所以cos 2θ=cos2θ-sin2θ====-.故选B.答案:B.5.(2011年浙江卷,理6)若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)等于( )(A)(B)-(C)(D)-解析:∵0<α<,∴<α+<.∵cos(+α)=,∴sin(+α)=.又∵-<β<0,∴<-<.∵cos(-)=,∴sin(-)=,∴cos(α+)=cos[(α+)-(-)]=cos(α+)cos(-)+sin(α+)sin(-)=×+×=.故选C.答案:C.6.(2010年全国新课标卷,理9)若cos α=-,α是第三象限的角,则等于( )(A)-(B)(C)2 (D)-2解析:法一:∵cos α=2cos2-1,即-=2cos2-1,∴cos=±.又∵α是第三象限的角,cos α=-<-,∴2kπ+π<α<π+2kπ,k∈Z,∴kπ+<<+kπ,k∈Z,∴tan<0,易得tan=-3,则==-.故选A.法二:=tan(45°+)====,∵α是第三象限的角,且cos α=-,∴sin α=-,∴原式==-,故选A.答案:A.7.(2012年全国大纲卷,理14,5分)当函数y=sin x-cos x(0≤x<2π)取得最大值时,x=.解析:y=sin x-cos x=2(sin x×-cos x×)=2sin(x-)(0≤x<2π)当y取最大值时,x-=,∴x=π.答案:π8.(2012年江苏数学,11,5分)设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为.解析:本题考查三角恒等变形、同角三角函数的基本关系.∵cos(α+)=,∴α+∈(0,),∴sin(α+)=,∴sin(2α+)=2cos(α+)sin(α+)=2××=,cos(2α+)=2cos2(α+)-1=,∴sin(2α+)=sin[(2α+)-]=sin(2α+)cos-cos(2α+)sin=.答案:9.(2011年江苏卷,7)已知tan(x+)=2,则的值为.解析:由tan(x+)=2得=2,即=2,∴tan x=,∴====.答案:10.(2012年辽宁卷,理17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.(1)求cos B的值;(2)边a,b,c成等比数列,求sin Asin C的值.解:(1)由A、B、C成等差数列,知2B=A+C,又由A+B+C=180°,得B=60°,∴cos B=.(2)法一:由a,b,c成等比数列知b2=ac,由正弦定理知sin2B=sin Asin C,∴sin Asin C=sin260°=()2=.法二:由a,b,c成等比数列知b2=ac,cos B===,得a=c.又B=60°,∴△ABC为等边三角形,sin Asin C=×=.此题考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形,注意角边转化,难度不大,中档.11.(2011年四川卷,理17)已知函数f(x)=sin(x+)+cos(x-),x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值;(2)已知cos(β-α)=,cos(β+α)=-,0<α<β≤.求证:[f(β)]2-2=0.(1)解:∵f(x)=sin(x+)+cos(x-)=sin xcos +cos xsin +cos xcos +sin xsin=sin x-cos x=2(sin x-cos x)=2sin(x-),∴f(x)的最小正周期T=2π,最小值为-2.(2)证明:∵0<α<β≤,∴0<β-α<,0<α+β<π.又cos(β-α)=,cos(β+α)=-,∴sin(β-α)=,sin(β+α)=,∴sin 2β=sin[(β-α)+(β+α)]=sin(β-α)cos(β+α)+cos(β-α)sin(β+α)=×(-)+×=0,∴[f(β)]2-2=[2sin(β-)]2-2=4×-2=2-2sin 2β-2=-2sin 2β=0,∴[f(β)]2-2=0.利用三角恒等变换化简三角函数式12.(2012年安徽卷,理16,12分)设函数f(x)=cos (2x+)+sin2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)设函数g(x)对任意x∈R,有g (x+)=g(x),且当x ∈[0,]时,g (x)=-f (x),求g(x)在区间[-π,0]上的解析式.解:(1)f(x)=cos (2x+)+sin2x=(cos 2x-sin 2x)+=-sin 2x+.∴T==π,即f(x)的最小正周期为π.(2)当x∈[0,]时,g(x)=-f(x)=-(-sin 2x+)=sin 2x.∵g (x+)=g(x),∴函数g(x)的周期T=,当x ∈[-π,-]时,x+π∈[0,],g(x)=g(x+π)=sin 2(x+π)=sin 2x;当x∈(-,0]时,x+∈(0,],g(x)=g(x+)=sin2(x+)=-sin 2x.∴g(x)在区间[-π,0]上的解析式为g(x)=.解决本题的关键是根据所给的三角函数式,利用和角的余弦公式和二倍角公式的变形进行三角恒等变形得出函数f(x)含有一个三角函数符号的解析式,利用周期公式即可得出函数的周期.第二问,先求函数g(x)在x∈[0,]上的解析式,然后把区间[-π,0]分成两部分x∈[-π,-],x∈(-,0],再利用周期性转化为x∈[0,]范围角来解.13.(2012年福建卷,理17,13分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:(1)sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;(2)sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;(3)sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;(4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°;(5)sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解:(1)选择(2)式,sin2 15°+cos2 15°-sin 15°cos 15°=1-sin 30°=.(2)推广的三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=.证明:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=+-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)=-cos 2α++(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)-sin αcos α-sin2α=1-cos 2α+cos 2α+sin 2α-sin 2α-(1-cos 2α)=1-cos 2α-+cos 2α=.14.(2012年广东卷,理16,12分)已知函数f(x)=2cos(ωx+)(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值;(2)设α,β∈[0,],f(5α+π)=-,f(5β-π)=,求cos(α+β)的值.解:(1)∵T=10π,∴=10π,∴ω=.(2)由(1)知f(x)=2cos(x+),f(5α+π)=2cos(α+)=-2sin α=-,有sin α=,f(5β-π)=2cos β=,有cos β=.又α、β∈[0,],∴cos α==,sin β==,∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-.15.(2010年天津卷,理17)已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0,]上的最大值和最小值;(2)若f(x0)=,x∈[,],求cos 2x的值.解:(1)∵f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),∴最小正周期T==π.∵f(x)=2sin(2x+)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,且f(0)=1,f()=2,f()=-1,∴f(x)在[0,]上的最大值为2,最小值为-1.(2)由(1)知,f(x0)=2sin(2x+)=,∴sin(2x+)=,又x0∈[,],∴2x+∈[,],∴cos(2x+)=-=-,∴cos 2x0=cos[(2x+)-]=cos(2x0+)cos +sin(2x+)sin =.(2011年广东卷,理16,12分)已知函数f(x)=2sin(x-),x∈R.(1)求f()的值;(2)设α,β∈[0,],f(3α+)=,f(3β+2π)=,求cos(α+β)的值.解:(1)f()=2sin(×-)1分=2sin 2分=.3分第(1)问赋分细则:(1)直接写f()=2sin =不扣分,但建议把代入式子写上;(2)直接写f()=只得1分,扣去2分.(2)由f(3α+)=,得2sin[×(3α+)-]=2sin α=4分∴sin α=.5分由f(3β+2π)=,得2sin[×(3β+2π)-]=2sin(β+)=2cos β=6分∴cos β=7分∵α,β∈[0,],8分∴cos α===9分sin β===10分故cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β11分=×-×=.12分第(2)问赋分细则:(1)把第(2)问中f(3α+)=转化求得sin α=共得2分,转化f(3β+2π)=求得cos β=,再得2分;(2)漏掉α,β∈[0,]直接计算cos α,sin β的值要扣1分;(3)求cos(α+β)直接写出cos(α+β)=没有展开代入运算过程的扣1分.通过高考阅卷统计分析,造成失分的原因如下:(1)第(1)问出现计算失误,把前面的2漏掉得;(2)对于第(2)问的两个条件不会利用或者化简出现错误;(3)忽略α,β∈[0,]的条件,讨论cos α,sin β的取值正负;(4)cos(α+β)公式记忆错误导致结果错误.。

三角恒等变换问题三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考。

例1 （式的变换---两式相加减，平方相加减）已知11cos sin ,sin cos 23αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221cos 2cos sin sin 4ααββ++=两式相加得，1322(cos sin sin cos )36αβαβ+-=化简得，59sin()72βα-=-即59sin()72αβ-=方法评析：式的变换包括：➢ 1、tan(α±β)公式的变用 ➢ 2、齐次式➢ 3、 “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方） ➢ 4、两式相加减，平方相加减➢ 5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）例2 （角的变换---已知角与未知角的转化） 已知27sin()241025παα-==，求sin α及tan()3πα+． 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即57cos sin =-αα ①由题设条件，应用二倍角余弦公式得故51sin cos -=+αα ② 由①和②式得53sin =α，54cos -=α，于是3tan 4α=-故333482534tan()31113tan 331παα-+-+===-+方法评析：1.本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到．2.在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．例3（合一变换---辅助角公式）设关于x的方程sin 0x x a +=在(0,2)π内有相异二解βσ和.求a 的取值范围.解:∵1sin 2(sin )2sin()23x x x x x π=+=+， ∴方程化为sin()32a x π+=-.∵方程sin 0x x a ++=在(0,2)π内有相异二解,∴sin()sin33x ππ+≠=. 又sin()13x π+≠± (1±时仅有一解),∴122a a <≠且-,即2a a <≠且∴ a的取值范围是(2,(3,2)--.方法评析：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0,2)π这一条件. 例4（ ，一题多解型）若cos 2sin αα+=求tan α的值.解： 方法一：(“1”的运用)将已知式两端平方得 方法二：(合一变换)()αϕ+=1tan 2ϕ=， 再由()sin 1αϕ+=-知,()22k k παϕπ+=-∈Z ，所以22k παπϕ=--，所以sin cos 2tan tan 2tan 222sin cos 2k πϕππϕαπϕϕπϕϕ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--=--=== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭方法三：(式的变换)令sin 2cos t αα-=，和已知式平方相加得255t =+，故0t =，即sin 2cos 0αα-=，故tan 2α=． 方法四：(与单位圆结合)我们可以认为点()cos ,sin M αα在直线2x y +=而点M 又在单位圆221x y +=上，解方程组可得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，从而tan 2y x α==．这个解法和用方程组22cos 2sin sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩求解实质上是一致的．方法评析：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知()1sin cos ,0,5βββπ+=∈，求tan β的值（人教A 版必修4第三章复习题B 组最后一题第一问）”之类的题目,背景是熟悉的,但要解决这个问题还需要学生具有相当的知识迁移能力．有关三角恒等变换的一般解题思路为“五遇六想”，即：遇正切，想化弦；遇多元， 想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角.。

三角函数的恒等变换及化简求值（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2018•西城区校级模拟）若函数())cos(2)(0)f x x x θθθπ=+++<<的图象经过点(2π，0)，则( )A ．()f x 在(0,)2π上单调递减B ．()f x 在(4π，3)4π上单调递减 C ．()f x 在(0,)2π上单调递增D ．()f x 在(4π，3)4π上单调递增 2．（2018•北京模拟）在sin50︒，sin50-︒，sin40︒，sin40-︒四个数中，与sin130︒相等的是( ) A ．sin50︒B ．sin50-︒C ．sin40︒D ．sin40-︒3．（2018秋•海淀区校级月考）函数21()sin sin cos 2f x x x x =+-的最小正周期和振幅分别是(( )A ．B ．2C ．2πD ．π4．（2017秋•大兴区期末）设3a ln =，8b π=，sin8c π=，则a ，b ，c 之间的大小关系是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>5．（2018秋•海淀区期中）函数()sin()f x x ϕ=+满足()13f π=，则5()6f π的值是( )A ．0B ．12C D ．1二．填空题（共8小题）6．（2019秋•海淀区校级月考）若角α满足sin cos αα-=α= ．7．（2019•海淀区校级模拟）已知α锐角，且cos()2πα-=，则tan α= ．8．（2019秋•东城区校级月考）已知1sin cos 3αα+=，则2sin ()4πα-= ．9．（2017秋•昌平区期末）已知tan 2α=，则5cos sin sin 2cos αααα-=+ ．10．（2017秋•东城区校级期末）已知tan 2α=，则sin 3cos sin cos αααα-=+ ，2sin 2sin cos ααα+= ．11．（2018春•通州区期末）已知(0,)2πα∈，tan 2α=，则cos α= ．12．（2017秋•西城区期末）已知函数()sin tan f x x x =．给出下列结论： ①函数()f x 是偶函数； ②函数()f x 在区间(,0)2π-上是增函数；③函数()f x 的最小正周期是2π； ④函数()f x 的图象关于直线x π=对称．其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）13．（2018•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，他们的终边关于x 轴对称，若1cos 4α=，则cos()αβ-= ． 三．解答题（共2小题）14．（2019•房山区一模）已知函数()f x =．（Ⅰ）求(0)f 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的定义域；（Ⅲ）求函数()f x 在(0,)2π上的取值范围．15．（2018秋•海淀区校级期末）求值：tan150cos(210)sin(420)sin1050cos(600)︒-︒-︒︒-︒．三角函数的恒等变换及化简求值（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2018•西城区校级模拟）若函数())cos(2)(0)f x x x θθθπ=+++<<的图象经过点(2π，0)，则( )A ．()f x 在(0,)2π上单调递减B ．()f x 在(4π，3)4π上单调递减 C ．()f x 在(0,)2π上单调递增D ．()f x 在(4π，3)4π上单调递增 【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：函数())cos(2)2sin(2)6f x x x x πθθθ=+++=++(0)θπ<<的图象经过点(2π，0)，2sin()06ππθ∴++=，sin()06πθ∴+=，6k πθπ∴+=，k Z ∈，56πθ∴=，5()2sin(2)2sin 266f x x x ππ=++=-． 在(0,)2π上，2(0,)x π∈，()2sin 2f x x =-没有单调性，故排除A 、C ；在(4π，3)4π上，2(2x π∈，3)2π，()2sin 2f x x =-单调递增，故排除B ，故选：D ．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，属于基础题．2．（2018•北京模拟）在sin50︒，sin50-︒，sin40︒，sin40-︒四个数中，与sin130︒相等的是( ) A ．sin50︒B ．sin50-︒C ．sin40︒D ．sin40-︒【分析】利用诱导公式化简可得答案．【解答】解：由sin130sin(18050)sin50︒=︒-︒=︒．∴与sin130︒相等的是sin50︒故选：A ．【点评】题主要考察了诱导公式的应用，属于基本知识的考查． 3．（2018秋•海淀区校级月考）函数21()sin sin cos 2f x x x x =+-的最小正周期和振幅分别是(( )A ．B ．2C ．22πD ．2π【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，则答案可求． 【解答】解：211cos211()sin sin cos sin 22222x f x x x x x -=+-=+-1(sin 2cos2))24x x x π=--．∴函数()f x 的最小正周期为22ππ=，振幅是2． 故选：D ．【点评】本题考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质，是基础题． 4．（2017秋•大兴区期末）设3a ln =，8b π=，sin8c π=，则a ，b ，c 之间的大小关系是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【分析】借用中间值和三角函数公式化简即可比较大小． 【解答】解：31a ln lne =>= 0.390.48b π<=<．由sin 2sin cos 488πππ==，即sin cos88ππ22sin cos 188ππ+=sin0.388c π==≈ a b c ∴>>．故选：A ．【点评】本题考查三角恒等变换及化简求值，是中档题．5．（2018秋•海淀区期中）函数()sin()f x x ϕ=+满足()13f π=，则5()6f π的值是( )A ．0B ．12C D ．1【分析】由已知求得ϕ，进一步得到5()6f π的值． 【解答】解：由()sin()f x x ϕ=+满足()13f π=，得sin()13πϕ+=，即232k ππϕπ+=+，k Z ∈．则26k πϕπ=+，k Z ∈．()sin()sin(2)sin()66f x x x k x ππϕπ∴=+=++=+．∴5()sin 06f ππ==． 故选：A ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查由已知三角函数值求角，是基础题． 二．填空题（共8小题）6．（2019秋•海淀区校级月考）若角α满足sin cos 2αα-=，则α= 5212k ππ+或13212k ππ+，k Z ∈ ． 【分析】由已知推导出1sin()42πα-=，由此能求出α．【解答】解：sin cos αα-∴)4πα-=， 1sin()42πα∴-=，∴246k ππαπ-=+或5246k ππαπ-=+，k Z ∈， ∴5212k παπ=+或13212k παπ=+，k Z ∈． 故答案为：5212k ππ+或13212k ππ+，k Z ∈． 【点评】本题考查三角函数中角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．7．（2019•海淀区校级模拟）已知α锐角，且cos()2πα-=，则tan α【分析】由已知利用诱导公式求得α，进一步得到tan α的值．【解答】解：由cos()2πα-=sin α，α是锐角，60α∴=︒，则tan α．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查由已知三角函数值求角，是基础题． 8．（2019秋•东城区校级月考）已知1sin cos 3αα+=，则2sin ()4πα-= 1718．【分析】利用平方化简已知条件，两角和与差的三角函数化简求解即可． 【解答】解：1sin cos 3αα+=，可得82sin cos 9αα=-，则2211817sin ())(12sin cos )(1)422918πααααα-==-=+=．故答案为：1718．【点评】本题考查两角和差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力． 9．（2017秋•昌平区期末）已知tan 2α=，则5cos sin sin 2cos αααα-=+34． 【分析】利用同角三角函数的基本关系化弦为切，然后代值计算即可得答案． 【解答】解：tan 2α=，∴5cos sin 5tan 523sin 2cos tan 2224αααααα---===+++．故答案为：34． 【点评】本题考查了同角三角函数基本关系的意义，熟练掌握基本关系是解本题的关键，是基础题． 10．（2017秋•东城区校级期末）已知tan 2α=，则sin 3cos sin cos αααα-=+ 13- ，2sin 2sin cos ααα+= ．【分析】把要求值的式子化弦为切求解． 【解答】解：tan 2α=，∴sin 3cos tan 3231sin cos tan 1213αααααα---===-+++；2222222sin cos 2tan 448sin 2sin cos 1415sin tan sin cos tan ααααααααααα++++====+++．故答案为：18,35-．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．11．（2018春•通州区期末）已知(0,)2πα∈，tan 2α=，则cos α=． 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得cos α的值． 【解答】解：已知(0,)2a π∈，sin 0α∴>，cos 0α>，tan sin 2cos ααα==，22sin cos 1αα+=，则cos α=【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题． 12．（2017秋•西城区期末）已知函数()sin tan f x x x =．给出下列结论： ①函数()f x 是偶函数； ②函数()f x 在区间(,0)2π-上是增函数；③函数()f x 的最小正周期是2π； ④函数()f x 的图象关于直线x π=对称．其中正确结论的序号是 ①③④ ．（写出所有正确结论的序号）【分析】利用函数奇偶性的判定判断①；举例说明②错误；利用周期函数的定义判断③；由()()f x f x ππ-=+判断④．【解答】解：对于()sin tan f x x x =，其定义域为{|2x x k ππ≠+，}k Z ∈，关于原点对称，且()sin()tan()sin tan f x x x x x -=--=，∴函数()f x 是偶函数，故①正确；当3x π=-时，3()sin()tan()3332f πππ-=--=，当6x π=-时，()sin()tan()666f πππ-=--36ππ-<-，而()()36f f ππ->-，故②错误；(2)sin(2)tan(2)sin tan f x x x x x πππ+=++=，∴函数()f x 的最小正周期是2π，故③正确；()sin()tan()sin tan f x x x x x πππ-=--=-， ()sin()tan()sin tan f x x x x x πππ+=++=-，()()f x f x ππ∴-=+，即函数()f x 的图象关于直线x π=对称，故④正确．∴正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数的性质，是中档题．13．（2018•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，他们的终边关于x 轴对称，若1cos 4α=，则cos()αβ-= 78- ． 【分析】由已知求得cos β，进一步求得sin sin αβ的值，展开两角差的余弦即可求得cos()αβ-． 【解答】解：1cos 4α=，且α与角β均以Ox 为始边，他们的终边关于x 轴对称， 1cos 4β∴=， 若α为第一象限角，则β为第四象限角， 若α为第四象限角，则β为第一象限角， 15sin sin 16αβ∴=-， 11157cos()cos cos sin sin 44168αβαβαβ∴-=+=⨯-=-．故答案为：78-．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的余弦，是基础的计算题． 三．解答题（共2小题）14．（2019•房山区一模）已知函数()f x =．（Ⅰ）求(0)f 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的定义域；（Ⅲ）求函数()f x 在(0,)2π上的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接在函数解析式中取0x =求解；（Ⅱ）由分式函数的分母不为0即可求得函数定义域；（Ⅲ）把已知函数解析式变形，再由x 的范围求得相位的范围，则函数值域可求． 【解答】解：（Ⅰ）3sin 0cos011(0)12f ++===；（Ⅱ）由cos 0x ≠，得,2x k k Z ππ≠+∈．∴函数的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；（Ⅲ）232sin cos 2cos1()x x x f x +-+=..sin cos 2sin()6x x x π=+=+．(0,)2x π∈，即02x π<<，∴2663x πππ<+<， ∴1sin()126x π<+，得12sin()26x π<+． ∴函数()f x 在(0,)2π上的取值范围为(1，2]．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数中的恒等变换应用，考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质，是中档题．15．（2018秋•海淀区校级期末）求值：tan150cos(210)sin(420)sin1050cos(600)︒-︒-︒︒-︒．【分析】由条件利用诱导公式求得tan15︒、cos210︒、sin 420︒、sin1050︒、cos(600)-︒的值，可得要求式子的值． 【解答】解：由诱导公式可得：tan150tan(18030)tan30︒=︒-︒=-︒=，cos(210)cos210cos(18030)cos30-︒=︒=︒+︒=-︒=， sin(420)sin 420sin(36060)sin 60-︒=-︒=-︒+︒=-︒=，1sin1050sin(336030)sin302︒=⨯︒-︒=-︒=-， 1cos(600)cos600cos(318060)cos602-︒=︒=⨯︒+︒=-︒=-，∴原式3()(3224111()()224-===--．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题．。

三角恒等变换(八大题型+精准练习)题型归类题型一、两角和与差的三角函数公式的应用题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形题型三、角的变换问题题型四、二倍角公式的应用题型五、给角求值题型六、给值求值题型七、给值求角题型八、三角恒等变换的综合应用题型一、两角和与差的三角函数公式的应用知识要点两角和与差的正余弦与正切①sin (α±β)=sin αcos β±cos αsin β；②cos (α±β)=cos αcos β∓sin αsin β；③tan (α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β；精准练习1.(24-25高三·山东泰安·开学考试)已知sin α+β =13，sin α-β =12，则tan αtan β=()A.15B.-15C.5D.-52.(24-25高三上·安徽·开学考试)已知sin α+β =-35,1tan α+1tan β=2，则sin αsin β=()A.-310B.15C.-15D.3103.(24-25高三·重庆·阶段练习)已知cos α+β =13，cos αcos β=12，则cos 2α-2β =()A.23B.19C.-19D.-134.(2025·广东·一模)已知sin α+π3 -sin α=23，则cos 2α+π3 =()A.-59B.-19C.19D.595.(2024·江西九江·二模)已知α,β∈0,π2 ，cos α-β =56，tan α⋅tan β=14，则α+β=()A.π3B.π4C.π6D.2π36.(24-25高三上·江苏徐州·开学考试)已知sin α-β =2cos α+β ,tan α-β =13，则tan α-tan β=()A.47 B.74C.45D.767.(2025·黑龙江大庆·一模)已知0<α<β<π，且sin α+β +cos α+β =0,sin αsin β=6cos αcos β，则tan α-β =()A.-1B.-12C.-16D.-178.(24-25高三上·河北张家口·开学考试)已知sin (α-β)=13,tan αtan β=4，则sin (α+β)=.题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形知识要点1、两角和与差的正切公式的变形tan α±tan β=tan (α±β)(1∓tan αtan β)；tan α⋅tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)=tan α-tan βtan (α-β)-1．2、辅助角公式a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+ϕ)(其中sin ϕ=ba 2+b2，cos ϕ=aa 2+b2，tan ϕ=ba精准练习9.(23-24高一·黑龙江齐齐哈尔·期末)tan13°+tan32°+tan13°tan32°=()A.tan19°B.1C.-tan19°D.-110.(2024·福建泉州·模拟预测)若sin θ+3cos θ=2，则tan θ=()A.-3B.-33C.33D.3题型三、角的变换问题知识要点拆分角问题：①α=2⋅α2；α=(α+β)-β；②α=β-(β-α)；③α=12[(α+β)+(α-β)]；④β=12[(α+β)-(α-β)]；⑤π4+α=π2-π4-α ．注意：特殊的角也看成已知角，如常用的拆角、配角技巧：2α=(α+β)+(α-β)；α=(α+β)-β=(α-β)+β；β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β)；α-β=(α-γ)+(γ-β)；15°=45°-30°；π4+α=π2-π4-α 等．11.(24-25高三·安徽·阶段练习)若cosα+βcosβ=1m,tanα+β=3cosβsinβ，则cos2α=()A.32m2-1 B.16m2-1 C.4m2-1 D.2m2-112.(2024·江苏镇江·三模)已知角α，β满足tanα=2，2sinβ=cos(α+β)sinα，则tanβ=()A.13B.17C.16D.213.(24-25高三·福建福州·开学考试)已知α，β∈(0,π)，且cosα=35，sin(α-β)=513，则cosβ=()A.5665B.1665C.3365D.636514.(23-24高一·江苏南京·期末)若sin(α+β)=cos2αsin(α-β)，则tan(α+β)的最大值为()A.62B.64C.22D.2415.(2024·黑龙江双鸭山·模拟预测)已知α,β∈0,π4，cos2α-sin2α=17，且3sinβ=sin(2α+β)，则α+β的值为()A.π12B.π6C.π4D.π316.(23-24高三·天津·阶段练习)已知角α，β为锐角，tanα=32，sin(α-β)=2114，则tan2α-β的值为．17.(24-25高三·福建·阶段练习)已知tanα+β=4，tanα-β=-3，则tan2β=．题型四、二倍角公式的应用知识要点1、二倍角公式①sin2α=2sinαcosα；②cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α；③tan2α=2tanα1-tan2α；2、降次(幂)公式sinαcosα=12sin2α;sin2α=1-cos2α2;cos2α=1+cos2α2;3、半角公式sinα2=±1-cosα2;cosα2=±1+cosα2;tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsin a.18.(2025·安徽·模拟预测)sin 2π12-sin 27π12=( )．A.32B.12C.-12D.-3219.(24-25高三·安徽亳州·开学考试)已知a ∈0,π2 ,sin3α=5sin a cos2α，则tan α值为()A.3B.32C.22D.120.(24-25高三·广西·阶段练习)已知sin π4+α =3sin π4-α ，则cos2α=()A.-45B.-35C.35D.4521.(24-25高三·云南昆明·阶段练习)已知3sin θ+π3 =cos θ+π6 ，则cos2θ=()A.-12B.17C.12D.3222.(23-24高一·江苏无锡·阶段练习)已知函数f (x )=cos 2ωx +sin ωx cos ωx -12(ω>1)的一个零点是π2，且f (x )在-π6,π16 上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.11423.(24-25高三·江苏徐州·阶段练习)已知sin2α=23,α∈0,π4 ，则cos α+π4 =()A.66B.56C.306D.15324.(24-25高三·全国·阶段练习)已知4tan π121+tan2π12cos αsin β+π3=1，则tan (β-α)=()A.3B.33C.1D.23325.(多选)(2024·辽宁·模拟预测)已知α∈π2,π ,β∈0,π ,cos2α=-35,cos β-α =-210，则()A.tan α=-12B.sin β-α =-7210C.α+β=5π4D.cos αcos β=-3210题型五、给角求值知识要点(1)给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．(2)给角求值问题的一般步骤①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；③将已知条件代入所求式子，化简求值．精准练习26.(23-24高三·甘肃·阶段练习)计算12cos 35π+cos 25πcos 45π()A.2B.-12C.-1D.-227.(多选)(23-24高三·安徽合肥·阶段练习)下列代数式的值为14的是()A.cos 275°-sin 275°B.tan15°1+tan 215°C.cos36°cos72°D.2cos20°cos40°cos80°28.(23-24高三·吉林长春·阶段练习)cos20°1+cos20°tan20°+3 =.29.(2024·广东深圳·模拟预测)计算：cos72°cos -36° =.30.(23-24高三·安徽·期中)tan20°+4sin20°=．31.(2024高三·全国·专题练习)化简求值：cos36°cos72°+sin50°1+3tan10° -cos20°cos80°1-cos20°.32.(2024高一·湖南株洲·竞赛)1-2sin 25°2sin10°-2cos10°=．33.(11-12高一·全国·课后作业)3tan12°-34cos 212°-2 sin12°=．题型六、给值求值知识要点给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式精准练习34.(2024·河南新乡·模拟预测)设cos20°=a ，则13tan50°-1=()A.1-a 23B.a 2+12C.aD.a 235.(24-25高三上·江苏徐州·开学考试)已知sin α+π3 +sin α=23，则cos 2α+π3=()A.-1927B.-19C.19D.192736.(24-25高三·湖南衡阳·开学考试)已知cosα+β=6-24,sinα⋅sinβ=24，则cos2α-2β=()A.12B.22C.32D.137.(24-25高三·云南昆明·阶段练习)若sin160°=m，则sin40°=()A.-2mB.-2m1-m2C.-2m1+m2D.2m1-m238.(24-25高三·四川绵阳·开学考试)已知sin4θ2-cos4θ2=35,θ∈0,π，则1+sin2θcos2θ-sin2θ+cosθ=()A.-2635B.-325C.-314D.-172839.(24-25高三·安徽·阶段练习)若cosα+βcosβ=1m,tanα+β=3cosβsinβ，则cos2α=()A.32m2-1 B.16m2-1 C.4m2-1 D.2m2-140.(24-25高三·贵州黔东南·开学考试)已知α∈0,π，且cosα+π4=13，则cos2α=()A.429B.±429C.79D.±7941.(2024·山东淄博·二模)设β∈0,π2，若sinα=3sin(α+2β)，tanβ=22，则tan(α+2β)=()A.-24B.24C.-22D.2242.(2024·江西宜春·模拟预测)已知α∈π2,3π4，tanπ4+α=12tanπ4-α，则1-sin2α4cos2α=() A.6+42 B.6-42 C.17+122 D.17-12243.(2024·湖南衡阳·模拟预测)已知cosπ5-α=13，则sin11π10+2α=()A.79B.-79C.429D.-42944.(2024·安徽合肥·三模)已知2sinα=1+23cosα，则sin2α-π6=()A.-18B.-78C.34D.7845.(2024·河北保定·三模)已知锐角α，β(α≠β)满足sin α+2cos α=sin β+2cos β，则sin (α+β)的值为()A.31010B.255C.35D.4546.(2024·福建泉州·模拟预测)已知α，β均为锐角，sin 2α-β =253cos α+sin β，则sin α-β =()A.255B.55C.23D.5347.(2024·重庆·三模)已知α∈0,π3，且2sin2α=4cos α-3cos 3α，则cos2α=()A.29B.13C.79D.22348.(2024·山西·三模)若sin2α=33,sin β-α =66，且α∈π4,π ,β∈π,3π2 ，则cos α+β =()A.5+26B.306C.63D.25-26题型七、给值求角知识要点给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角．精准练习49.(23-24高一·江苏盐城·期中)已知tan α=-13，tan β=2，且α,β∈0,π ，则α+β的值为()A.π4B.3π4C.5π4D.7π450.(23-24高一·河南·阶段练习)已知0<α<π2，1+sin2α sin π7=2cos 2π14cos2α，则α=()A.3π14B.5π28C.π7D.π1451.(多选)(2023·山西·模拟预测)已知0<β<α<π4，且sin α-β =13,tan α=5tan β，则()A.sin αcos β=56B.sin βcos α=112C.sin2αsin2β=536D.α+β=π352.(2024·陕西铜川·模拟预测)若α∈-π2,π2 ，且cos2α=sin π4-α ，则α的值为．53.(2024高三·江苏·专题练习)已知α为锐角，且sin α+sin α+π3 +sin α+2π3=3，则α=.54.(23-24高三·河北石家庄·阶段练习)若α，β∈0,π2 ，cos α-β2=32，sin α2-β =-12，则α+β=.题型八、三角恒等变换的综合应用知识要点(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)形如y =a sin x +b cos x 化为y =a 2+b 2sin (x +φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．精准练习55.(2024·广东珠海·一模)函数f x =23sin 2ωx +sin 2ωx +2π3，其中ω>0，其最小正周期为π，则下列说法错误的是()A.ω=1B.函数f x 图象关于点π3,3对称C.函数f x 图象向右移φφ>0 个单位后，图象关于y 轴对称，则φ的最小值为5π12D.若x ∈0,π2，则函数f x 的最大值为3+156.(22-23高三上·河北唐山·开学考试)已知α,β∈0,π2 ，且1+sin βcos β=tan π4+α ，则()A.2α=βB.α=βC.α+β=π2D.α+β=π57.(2024·宁夏吴忠·模拟预测)下列四个函数中，最小正周期为2π的是()A.f x =cos 2x +sin x cos xB.f x =1-cos2x2sin x cos xC.f x =cos x +π3+cos x -π3 D.f x =sin x +π6cos x +π6 58.(多选)(2023·河北保定·三模)已知f x =23cos 2x +2sin x cos x -3，则()A.f x =2cos 2x -π6B.f x 的图象的对称轴方程为x =2k π-π3k ∈Z C.f 2023π =3D.f x 在-3π2,-π2上单调递减59.(2024高三·全国·专题练习)设f x =2sin x cos x -2sin 2x -π4.当x ∈0,π2 时，f x +π6 =-13，则cos2x 的值为.60.(24-25高三上·河南·开学考试)已知函数f x =sin2x +sin 2x -π3在区间0,m 上有且仅有2个零点，则实数m 的取值范围为.61.(24-25高三·福建·阶段练习)已知函数f x =22cos 2x +22sin x cos x ．(1)将f x 化成f x =A cos ωx +φ +B A >0,ω>0,φ <π 的形式；(2)求f x 的单调区间；(3)若f x 在α,α+π4上的值域为a ,b ，求b -a 的取值范围．62.(24-25高三·北京·开学考试)已知函数f x =cos x 23sin x +cos x -sin 2x .(1)求函数f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若f (x )在区间[0,m ]上有且只有两个零点，求m 的取值范围.63.(22-23高三·陕西榆林·阶段练习)已知平面向量m =sin x -π6 ,12 ,n =cos x ,12.(1)若m ⊥n ,x ∈0,π2，求实数x 的值；(2)求函数f (x )=m ⋅n的单调递增区间.64.(24-25高一·全国·期末)设f (x )=2sin x cos x +2sin x +π4 ⋅sin π4-x ．(1)当x ∈-π2,0时，求f (x )的最大值和最小值；(2)已知f -α2 =33，且当π2≤α≤2π时，求f (α)的值．。

三角函数 三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2α所在的象限。

来判断3α所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。

注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(π∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。

三角恒等变换常考题型及解析山东省寿光中学 刘万岗 262700三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供同行们商榷。

题型一： 通过和差角公式以及倍角公式考察三角函数函数的求值问题。

例题1.若则的值为( ).A.2B.C.D. 答案：B. 解析：由得，解得，∴.点评：在三角恒等变换中和差倍角应用以及整体求值问题是常考题型，应该引起我们足够的重视。

题型二:通过角的重新组合求三角函数值。

例题2．已知tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝5，则tan 2α＝( )．A ．－47B ．47C ．－74D ．74 答案．C解析：tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝)－()＋(－)－()＋＋(βαβαβαβαtan tan 1tan tan ＝－74． 变式1．若0＜α＜2π＜β＜π，且cos β＝－31，sin (α＋β)＝97，则sin α 的值是( )． A ．271 B ．275 C ．31 D ．2723 解析：由0＜α＜2π＜β＜π，知2π＜α＋β＜23 π 且cos β＝－31，sin (α＋β)＝97， 得sin β＝322，cos (α＋β)＝－924．∴ sin α＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝31． 点评：角的重新组合是在三角恒等变换中解决求三角函数值常用的技巧，应该掌握这种基本技能，从而在求三角函数值时得心用手。

题型三：切弦互化解决三角函数求值问题。

例题3：锐角三角形的内角A ，B 满足tan A －A 2sin 1＝tanB ，则有( )． A ．sin 2A －cos B ＝0B ．sin 2A ＋cos B ＝0C ．sin 2A －sin B ＝0D ．sin 2A ＋sin B ＝0 解析：由tan A －A 2sin 1＝tan B ，得A 2sin 1＝tan A －tan B ⇒A A cos sin 21＝BA B A cos cos －sin )( ⇒cos B ＝2sin A sin (A －B )⇒cos [(A －B )－A ]＝2sin A sin (A －B )⇒cos (A －B )cos A －sin A sin (A －B )＝0，即cos (2A －B )＝0．∵ △ABC 是锐角三角形，∴ －2π＜2A －B ＜π， ∴ 2A －B ＝2π⇒sin 2A ＝cos B ，即sin 2A －cos B ＝0．答案A 点评：切化弦是解决含有切函数和弦函数常用的技巧，也是首选的思路。