高中数学定积分的简单应用综合测试题(有答案)

高中数学定积分试题一．选择题（共32小题）1．＝（）A．4+πB．4+2πC．4+4πD．2+π2．的值为（）A．e﹣2B．e C．e+1D．e﹣13．|1﹣x2|dx＝（）A．B．4C．D．4．P（a，b）为函数f（x）＝x2（x＞0）图象上一点，当直线x＝0，y＝b与函数的图象围成区域的面积等于时，a的值为（）A．B．C．1D．5．计算的值为（）A．ln2+1B．2ln2+1C．3ln2+3D．3ln2+1 6．如图，在矩形OABC内随机取一点，则它位于阴影部分的概率为（）A．B．C．D．7．已知函数，则定积分的值为（）A．B．C．D．8．定积分（x+e x）的值为（）A．e B．e+C．e﹣D．e+19．定积分（+x）dx＝（）A．+B．C．+1D．10．若a＝（x+1）dx，b＝cos xdx，c＝e x dx，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 11．计算：＝（）A．﹣1B．1C．﹣8D．812．抛物线y＝x2+1和直线y＝x+3所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．13．函数f（x）在区间[﹣1，5]上的图象如图所示，g（x）＝f（t）dt，则下列结论正确的是（）A．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＞0B．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＜0C．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＞0D．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＜014．设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1B．32C．243D．102415．曲线，以及直线l：x＝2所围成封闭图形的面积为（）A．1B．3C．6D．816．如图所示阴影部分是由函数y＝e x、y＝sin x、x＝0和x＝围成的封闭图形，则其面积是（）A．e+2B．e﹣2C．e D．2﹣e17．直线y＝x与曲线y＝围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．18．若函数f（x）＝A sin（ωx﹣）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（）A．﹣1+B．C．1﹣D．19．已知，由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S．如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S．所谓“分之弥细，所失弥少”，这就是高中课本中的数列极限的思想．由此可以求出S的值为（）A．B．C．D．20．曲线y＝e2x与直线x+y＝1、x﹣1＝0围成的平面图形的面积等于（）A．e2﹣1B．e2﹣C．e2﹣D．e2﹣21．曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为（）A．B．C．D．﹣1 22．汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是（）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m23．曲线y＝﹣x2﹣x与x轴所围成图形的面积被直线y＝kx分成面积相等的两部分，则k的值为（）A．B．C．D．24．求曲线y＝x2与y＝x所围成的图形的面积S，正确的是（）A．B．C．D．25．直线y＝﹣x与函数f（x）＝﹣x3围成封闭图形的面积为（）A．1B．C．D．026．如图，阴影部分的面积为（）A．2B．2﹣C．D．27．由曲线y＝，直线y＝x﹣2及x轴所围成的图形的面积为（）A．B．C．D．828．由y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3围成的图形的面积是（）A．B．C．D．929．一物体在变力F（x）＝5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）作的功为（）A．1J B．J C．J D．2J30．圆（x﹣a）2+y2＝r2（a，r∈R，且r＞0）的面积等于（）A．（a+）dyB．2（a+）dyC．dxD．2dx31．由曲线y＝x2﹣4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积（如图）是（）A．（x2﹣4）dxB．|（x2﹣4）dx|C．|x2﹣4|dxD．（x2﹣4）dx+（x2﹣4）dx32．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y＝lnx与直线x＝e，y＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个区间[0，1]上的均匀随机数，其数据如表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10 lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．B．C．D．二．填空题（共18小题）33．cos xdx+dx＝．34．计算定积分＝．35．（e x+2x）dx＝．36．计算：dx＝．37．若，则a＝．38．由曲线y＝﹣x2+2x与直线y＝x围成的封闭图形的面积为．39．由x的正半轴、y＝x2和x＝4所围成的封闭图形的面积是40．计算定积分sin xdx＝．41．定积分＝．42．的值为．43．由曲线，直线y＝2x，x＝2所围成的封闭的图形面积为．44．已知曲线y2＝x与y＝x﹣2的图象所围成的阴影部分面积为．45．直线x＝0、直线y＝e+1与曲线y＝e x+1围成的图形的面积为．46．如图是平面直角坐标系下y＝sin x与圆O：x2+y2＝π2图象，在圆O内随机取一点，则此点落在右图中阴影部分的概率是．47．曲线y＝与直线y＝2x﹣1及x轴所围成的封闭图形的面积为．48．由函数y＝e x，y＝，x＝e所围成的封闭图形的面积为．49．直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为1，则k＝．50．计算2xdx＝．参考答案与试题解析一．选择题（共32小题）1．＝（）A．4+πB．4+2πC．4+4πD．2+π【分析】对2和分别积分，结合定积分的几何意义求解即可．【解答】解：＝+，而表示以原点为圆心，2为半径的上半个圆在[0，2]部分的面积，故＝+＝2x+＝4+π，故选：A．【点评】本题考查了定积分的求法，考查了定积分的几何意义，主要考查计算能力，属于基础题．2．的值为（）A．e﹣2B．e C．e+1D．e﹣1【分析】根据定积分的计算方法直接求解即可．【解答】解：＝（x﹣lnx）＝（e﹣1）﹣（1﹣0）＝e﹣2，故选：A．【点评】本题考查了定积分的计算，主要考查计算能力，属于基础题．3．|1﹣x2|dx＝（）A．B．4C．D．【分析】根据函数|1﹣x2|为偶函数，将原式转化为[0，2]上的定积分，再分别转化为[0，1]和[1，2]上分别积分即可．【解答】解：∵函数|1﹣x2|为偶函数，∴|1﹣x2|dx＝2＝2+2＝2（x﹣）|+2（）|＝4．故选：B．【点评】本题考查了定积分的计算，主要考查计算能力，属于基础题．4．P（a，b）为函数f（x）＝x2（x＞0）图象上一点，当直线x＝0，y＝b与函数的图象围成区域的面积等于时，a的值为（）A．B．C．1D．【分析】画出图象，利用定积分求出即可．【解答】解：＝b﹣＝，b＝1，故b＝1，把b＝1代入f（x）＝x2（x＞0），得a＝1，故选：C．【点评】考查定积分的应用，基础题．5．计算的值为（）A．ln2+1B．2ln2+1C．3ln2+3D．3ln2+1【分析】由定积分公式，求解．【解答】解：，故选：D．【点评】本题考查定积分，属于基础题．6．如图，在矩形OABC内随机取一点，则它位于阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用定积分求出阴影面积，再求出概率．【解答】解：阴影部分的面积m＝，矩形的面积为n＝3，故阴影部分概率为，故选：B．【点评】考查了几何概型和用定积分求面积，基础题．7．已知函数，则定积分的值为（）A．B．C．D．【分析】依题意，＝（﹣x+2）dx+，根据定积分的几何意义，表示已（3，0）为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，计算即可．【解答】解：依题意，＝（﹣x+2）dx+其中表示已（3，0）为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，如图，所以＝（﹣x+2）dx+＝（2x﹣）|+＝，故选：C．【点评】本题考查了定积分的计算，定积分的几何意义，属于基础题．8．定积分（x+e x）的值为（）A．e B．e +C．e ﹣D．e+1【分析】直接利用定积分的应用求出结果．【解答】解：＝＝．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：利用定积分的关系式的应用求出结果，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．9．定积分（+x）dx＝（）A ．+B ．C ．+1D ．【分析】直接利用定积分的运算和几何意义的应用求出结果．【解答】解：＝＝．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，定积分的几何意义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10．若a ＝（x+1）dx，b ＝cos xdx，c ＝e x dx，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【分析】直接利用定积分和三角函数的值的应用求出结果．【解答】解：a ＝（x+1）dx ＝．b ＝cos xdx ＝，c ＝e x dx ＝所以：c＞a＞b故选：C．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，定积分的几何意义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11．计算：＝（）A．﹣1B．1C．﹣8D．8【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得＝（x2+2x ），进而计算可得答案．11【解答】解：根据题意，＝（x2+2x ）＝（4+4）﹣（4﹣4）＝8；故选：D．【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式，属于基础题．12．抛物线y＝x2+1和直线y＝x+3所围成的封闭图形的面积是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意分析，封闭图形面积即为（x+3）﹣（x2+1）在x＝﹣1到x＝2上定积分的值．【解答】解：令x+3＝x2+1，得x1＝﹣1，x2＝2，则S ＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查定积分的基本定理，涉及定积分的计算，属于基础题．13．函数f（x）在区间[﹣1，5]上的图象如图所示，g（x ）＝f（t）dt，则下列结论正确的是（）A．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＞0B．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＜0C．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＞0D．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＜0【分析】由定积分，微积分基本定理可得：f（t）dt表示曲线f（t）与t轴以及直线t＝0和t＝x所围区域面积，当x 增大时，面积减小，减小，g（x）增大，故g（x）递增且g（x）＜0，得解．【解答】解：如图，g（x ）＝f（t）dt ＝﹣，因为x∈（﹣1，0），12所以t∈（﹣1，0），故f（t）＞0，故f（t）dt表示曲线f（t）与t轴以及直线t＝0和t＝x所围区域面积，当x 增大时，面积减小，减小，g（x）增大，故g（x）递增且g（x）＜0，故选：B．【点评】本题考查了定积分，微积分基本定理，属中档题．14．设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1B．32C．243D．1024【分析】由定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数得a ＝＝﹣cos x＝2，所以二项式（2x +）5展开式中令x＝1可得：二项式（2x +）5展开式的所有项系数和为（2+1）5＝243，得解【解答】解：因为a ＝＝﹣cos x＝2，所以二项式（2x +）5展开式中令x＝1可得：二项式（2x +）5展开式的所有项系数和为（2+1）5＝243，故选：C．【点评】本题考查了定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数，属基础题．15．曲线，以及直线l：x＝2所围成封闭图形的面积为（）A．1B．3C．6D．8【分析】联立得交点A（2，4），联立，得交点B（2，﹣4），解得A（2，4），B（2，﹣4），由曲线，以及直线l：x＝2围成的封闭图形面积S，即可判断出正误．【解答】解：联立得交点A（2，4），联立，得交点B（2，﹣4），所以曲线，以及直线l：x＝2所围成封闭图形的面积为：S ＝＝＝2x2＝2×22﹣2×02＝8，13故选：D．【点评】本题主要考查积分的应用，求出积分上限和下限，是解决本题的关键．16．如图所示阴影部分是由函数y＝e x、y＝sin x、x＝0和x ＝围成的封闭图形，则其面积是（）A．e+2B．e﹣2C．e D．2﹣e【分析】直接利用定积分的应用求出结果．【解答】解：根据封闭图形的组成，所以：＝＝．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．17．直线y＝x与曲线y ＝围成的封闭图形的面积为（）A ．B ．C ．D ．【分析】利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示面积，然后计算即可．【解答】解：y＝x与曲线y ＝围成的封闭图形的面积S ＝＝＝．14故选：D．【点评】本题考查了定积分的几何意义的应用，关键是正确利用定积分表示面积，属基础题．18．若函数f（x）＝A sin（ωx ﹣）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（）A．﹣1+B ．C．1﹣D ．【分析】先求出f（x）的解析式，以及对应的零点，积分即可．【解答】解：依题意A＝1，＝＝π，∴T＝2π，ω＝＝1，∴f（x）＝sin（x ﹣），故当x ＝时，f（x）＝0．∴阴影面积为＝＝cos（x ﹣）|＝1﹣．故选：C．【点评】本题考查了正弦型函数的图象，定积分，主要考查计算能力，属于基础题．19．已知，由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S．如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S．所谓“分之弥细，所失弥少”，这就是高中课本中的数列极限的思想．由此可以求出S的值为（）A ．B ．C ．D ．15【分析】由题意利用积分法求出由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积．【解答】解：由题意，令S ＝x2dx ＝x 3＝×（1﹣0）＝，∴由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S ＝．故选：B．【点评】本题考查了定积分的几何意义与应用问题，是基础题．20．曲线y＝e2x与直线x+y＝1、x﹣1＝0围成的平面图形的面积等于（）A ．e2﹣1B ．e2﹣C ．e2﹣D．e2﹣【分析】先求出曲线与直线的交点，设围成的平面图形面积为S，利用定积分求出S 即可．【解答】解：由题意，曲线y＝e2x与直线x+y＝1、x﹣1＝0围成的平面图形如图所示∴S ＝＝（）＝﹣＝故选：A．【点评】本题主要考查定积分求面积．用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基本运算．21．曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为（）A ．B ．C ．D ．﹣1【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．16【解答】解：由，解得或，则曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为S ＝（﹣x2）dx ＝（﹣x3）＝（﹣）﹣0＝，故选：C．【点评】本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．22．汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是（）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m【分析】根据题意，由定积分定理，可得汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S ＝（3t+1）dt，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S ＝（3t+1）dt ＝（+t ）＝5.5；故选：C．【点评】本题考查了微积分基本定理，关键是理解定积分的几何意义．23．曲线y＝﹣x2﹣x与x轴所围成图形的面积被直线y＝kx分成面积相等的两部分，则k的值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】先计算出曲线y＝﹣x2﹣x与x轴围成区域的面积，然后求出曲线y＝﹣x2﹣x与直线y＝kx的交点坐标，然后利用定积分计算直线y＝kx与曲线y＝﹣x2﹣x围17成区域的面积，等于曲线y＝﹣x2﹣x与x轴围成区域的面积的一半，列方程求出k 的值．【解答】解：曲线y＝﹣x2﹣x与x轴交于（﹣1，0）和原点，所以，曲线y＝﹣x2﹣x与x轴围成的平面区域的面积为，联立，解得或，即直线y＝kx与曲线y＝﹣x2﹣x交于点（﹣k﹣1，﹣k2﹣k）和坐标原点，所以，曲线y＝﹣x2﹣x位于直线y＝kx上方区域的面积为＝＝，解得，故选：D．【点评】本题考察利用定积分计算曲边三角形的面积，关键在于积分函数与积分区间，属于中等题、24．求曲线y＝x2与y＝x所围成的图形的面积S，正确的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意，画出图象确定所求区域，结合定积分的几何性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，如图所示，阴影部分为曲线y＝x2与y＝x所围成的图形，其面积S＝S△ABO﹣S曲边梯形ABO ＝（x﹣x2）dx；故选：A．【点评】本题考查定积分的几何意义，要注意明确被积函数和积分区间．1825．直线y＝﹣x与函数f（x）＝﹣x3围成封闭图形的面积为（）A．1B ．C ．D．0【分析】先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为1，积分下限为﹣1的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：联立方程可得，解得x＝﹣1，0，1，∴直线y＝﹣x与函数f（x）＝﹣x3围成封闭图形的面积S＝2（x﹣x3）dx＝2（）＝2（﹣）＝，故选：C．【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．26．如图，阴影部分的面积为（）A．2B．2﹣C ．D ．【分析】确定积分区间与被积函数，求出原函数，即可求得定积分．【解答】解：由题意阴影部分的面积等于（3﹣x2﹣2x）dx＝（3x ﹣x3﹣x2）＝（3﹣﹣1）﹣（﹣9+9﹣9）＝，故选：C．19【点评】本题考查定积分求面积，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．27．由曲线y ＝，直线y＝x﹣2及x轴所围成的图形的面积为（）A ．B ．C ．D．8【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y＝x2与直线y＝6x围成的封闭图形的面积，即可求得结论．【解答】解：由解得，∴曲线y ＝，直线y＝x﹣2及x轴所围成的图形的面积S ＝﹣（x ﹣2）dx ＝﹣（）＝﹣2＝．故选：A．【点评】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．28．由y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3围成的图形的面积是（）A ．B ．C ．D．9【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3的面积，即可求得结论．【解答】解：由y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3联立，解得y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3的交点为（﹣3，﹣9）和（1，﹣1）因此，y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3围成的图形的面积是S ＝（﹣x2﹣2x+3）dx ＝（﹣x3﹣x2+3x ）＝．故选：B．【点评】本题给出y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3，求它们围成的图形的面积，着重考查了20定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题．29．一物体在变力F（x）＝5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）作的功为（）A．1J B．J C．J D．2J【分析】由物理学知识知，变力F（x）所作的功对应“位移﹣力”只要求W＝∫12（5﹣x2）•cos30°dx，进而计算可得答案．【解答】解：由于F（x）与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F•cos30°，W＝∫12（5﹣x2）•cos30°dx＝∫12（5﹣x2）dx＝（5x﹣x3）|12＝故选：C．【点评】本题属于物理学科的题，体现了数理结合的思想方法，属于基础题．30．圆（x﹣a）2+y2＝r2（a，r∈R，且r＞0）的面积等于（）A．（a+）dyB．2（a+）dyC．dxD．2dx【分析】由圆的方程求得y关于x的解析式，再求出x的取值范围，根据圆的对称性和定积分的几何意义，写出圆的面积表达式．【解答】解：由圆（x﹣a）2+y2＝r2（a，r∈R，且r＞0），得y＝±，由（x﹣a）2≤r2，解得a﹣r≤x≤a+r；根据圆的对称性和定积分的几何意义，计算圆的面积为S圆＝2dx．故选：D．【点评】本题考查了圆的方程与定积分的应用问题，是基础题．31．由曲线y＝x2﹣4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积（如图）是（）A．（x2﹣4）dxB．|（x2﹣4）dx|C．|x2﹣4|dxD．（x2﹣4）dx+（x2﹣4）dx【分析】由题意结合定积分的几何意义整理计算即可求得最终结果．【解答】解：定积分表示曲边梯形的面积，位于x轴上方为正面积，位于x轴下方为负面积，据此可得：由曲线y＝x2﹣4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积是．故选：C．【点评】本题考查定积分的几何意义及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．32．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y＝lnx与直线x＝e，y＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个区间[0，1]上的均匀随机数，其数据如表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10 lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．B．C．D．【分析】首先确定所给数据中唯一曲边三角形的点的个数，然后利用频率近似概率，结合几何概型求解曲边三角形的面积即可．【解答】解：由表可知，向矩形区域{（x，y）|1⩽x⩽e，0⩽y⩽1}内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其横坐标分别为2.5，1.22，2.52，2.17，1.89，2.22其频率为．∵矩形区域的面积为e﹣1，∴曲边三角形面积的近似值为．故选：D．【点评】本题考查了蒙特卡洛模拟的方法，频率值近似为概率值，将古典概型与几何概型联系起来即可，属于常考题目．二．填空题（共18小题）33．cos xdx+dx＝1+．【分析】cos xdx可以直接积分，dx根据几何意义积分即可．【解答】解：dx表示单位圆在[0，1]上的部分的面积，即个单位圆的面积，∴cos xdx+dx＝sin x+＝1+，故答案为：1+．【点评】本题考查了定积分的求法，考查了定积分的几何意义，主要考查计算能力，属于基础题．34．计算定积分＝．【分析】＝dx﹣dx，前式根据定积分的几何意义求解，后式直接积分即可得到所求．【解答】解：＝dx﹣dx，dx表示半圆y＝在[0，1]上部分的面积，即个单位圆的面积，∴＝dx﹣dx＝﹣x＝．故答案为：．【点评】本题考查了定积分的求法，定积分的几何意义，主要考查计算能力，属于基础题．35．（e x+2x）dx＝e2+3．【分析】直接利用定积分运算法则求解即可【解答】解：（e x+2x）dx＝e2﹣1+（22﹣0）＝e2+3，故答案为：e2+3【点评】题考查定积分的运算法则的应用，考查计算能力36．计算：dx＝π﹣．【分析】根据定积分的几何意义，结合圆的知识求解即可．【解答】解：依题意，dx表示半圆y＝，在x＝1和x＝2之间的部分与x轴围成的区域的面积，如图中阴影所示，依题意，△AOB为等边三角形，故B的纵坐标为∴dx＝π×22﹣＝π﹣，故答案为：π﹣．【点评】本题考查了定积分的求法，考查定积分的几何意义，主要考查计算能力和直观想象，属于中档题．37．若，则a＝2．【分析】直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出a的值．【解答】解：若，则，即，所以a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．38．由曲线y＝﹣x2+2x与直线y＝x围成的封闭图形的面积为．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y＝x2+2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积，即可求得结论．【解答】解：将直线方程与曲线方程联立可得，所以正直线y＝x和抛物线y＝﹣x2+2x交点坐标为（0，0），（1，1），结合图象可知围成的封闭图形的面积为．故答案为：．【点评】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．本题属于基础题．39．由x的正半轴、y＝x2和x＝4所围成的封闭图形的面积是【分析】根据定积分的几何意义和积分法则求解即可．【解答】解：根据定积分的几何意义，由x的正半轴、y＝x2和x＝4所围成的封闭图形的面积是：S＝＝＝﹣0＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了定积分的几何意义与计算问题，是基础题．40．计算定积分sin xdx＝2．【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得sin xdx＝（﹣cos x），进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，sin xdx＝（﹣cos x）＝cos0﹣cosπ＝2；故答案为：2．【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式．41．定积分＝+e．【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得＝（+e x），进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，＝（+e x）＝（+e）﹣（0+1）＝+e，故答案为：+e．【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式．42．的值为8π．【分析】利用定积分性质和圆的面积求出即可．【解答】解：根据定积分的性质，y＝sin3x为奇函数，在[﹣4，4]图象关于原点对称，定积分为0，y＝在x∈[﹣4，4]的面积为以（0，0）为圆心，半径为4的圆的面积的一半，故为8π，故答案为：8π．【点评】本题考查定积分的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．43．由曲线，直线y＝2x，x＝2所围成的封闭的图形面积为3﹣2ln2．【分析】求出曲线，直线y＝2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式求解即可．【解答】解：依题意，由解得，∴封闭的图形面积为＝（x2﹣2lnx）＝3﹣2ln2．故答案为：3﹣2n2．【点评】本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．44．已知曲线y2＝x与y＝x﹣2的图象所围成的阴影部分面积为．【分析】联立直线和抛物线，可得交点坐标，对y积分即可求得面积．【解答】解：联立y2＝x与y＝x﹣2可得，直线与抛物线的交点为（1，﹣1），（4，2），根据定积分的意义，图象所围成的阴影部分面积：S＝＝（）＝，故答案为：．【点评】本题考查了定积分的应用，定积分的几何意义，属于基础题．45．直线x＝0、直线y＝e+1与曲线y＝e x+1围成的图形的面积为1．【分析】根据定积分的几何意义求解即可．【解答】解：依题意，令e+1＝e x+1，得x＝1，所以直线x＝0，y＝e+1与曲线y＝e x+1围成的区域的面积为S＝＝＝（ex﹣e x）|＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了定积分的几何意义，定积分的计算，属于基础题．46．如图是平面直角坐标系下y＝sin x与圆O：x2+y2＝π2图象，在圆O内随机取一点，则此点落在右图中阴影部分的概率是．【分析】计算出阴影面积，圆的面积，代入几何概型的概率计算公式即可．【解答】解：依题意，图中阴影面积为S＝2＝﹣2cos x|＝4，而圆的面积为S'＝π×π2＝π3，所以圆O内随机取一点，则此点落在右图中阴影部分的概率是＝．故答案为：．【点评】本题考查了定积分的求法，圆的方程与面积，几何概型的概率计算，属于基础题．47．曲线y＝与直线y＝2x﹣1及x轴所围成的封闭图形的面积为．【分析】根据定积分的几何意义，先求出积分的上下限，即可求出所围成的图形的面积【解答】解：由曲线y＝与直线y＝2x﹣1构成方程组，解得，由直线y＝2x﹣1与y＝0构成方程组，解得；∴曲线y＝与直线y＝2x﹣1及x轴所围成的封闭图形的面积为：S＝dx﹣（2x﹣1）dx＝﹣（x2﹣x）＝﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了定积分的计算问题，关键是求出积分的上下限，是基础题．48．由函数y＝e x，y＝，x＝e所围成的封闭图形的面积为e e﹣2e．【分析】运用定积分知识计算围城曲边梯形的面积可得结果．【解答】解：根据题意得，联立得；∴S＝＝e e﹣e﹣e（lne﹣ln1）＝e e﹣2e故答案为e e﹣2e．【点评】本题考查由定积分计算围成图形的面积．49．直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为1，则k＝±6．【分析】求出直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）的两个交点，确定被积函数和被积区间，利用定积分可求出围成的封闭区域的面积，即可求出k的值．【解答】解：当k＞0时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1交于（0，1）和（1，k+1）两点，且当0＜x＜1时，直线y＝kx+1在抛物线y＝kx2+1上方，此时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为＝k，得k ＝6；当k＜0时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1交于（0，1）和（1，k+1）两点，且当0＜x＜1时，直线y＝kx+1在抛物线y＝kx2+1下方，此时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为，得k＝﹣6．故答案为：±6．【点评】本题考查利用定积分来计算面积，解决本题的关键是确定被积函数和被积区间，属于中等题．50．计算2xdx＝8．【分析】直接根据定积分的计算法则即可．【解答】解：2xdx＝x2＝32﹣12＝8，故答案为：8【点评】本题考查了定积分的计算，属于基础题。

高中积分试题及答案一、选择题1. 已知函数f(x)的原函数为F(x)，则下列等式中正确的是（）。

A. ∫f(x)dx = F(x) + CB. ∫f(x)dx = F(x) - CC. ∫f(x)dx = F(x) - xD. ∫f(x)dx = F(x) + x答案：A解析：根据积分的定义，∫f(x)dx表示函数f(x)的原函数F(x)加上一个常数C，因此正确选项为A。

2. 计算定积分∫₀¹x²dx的值是（）。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A解析：根据积分公式∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，将n=2代入公式得到∫x² dx = (x^3)/3 + C。

计算定积分∫₀¹x²dx，即(1^3)/3 - (0^3)/3 = 1/3，因此正确选项为A。

二、填空题3. 计算不定积分∫x/(x²+1)dx的结果为______。

答案：(1/2)ln(x²+1) + C解析：使用换元法，令u = x² + 1，则du = 2x dx，即x dx = 1/2 du。

将x dx替换为1/2 du，得到∫x/(x²+1)dx = ∫1/2 * 1/u du =(1/2)ln|u| + C = (1/2)ln(x²+1) + C。

4. 计算定积分∫₋¹¹(2x+1)dx的值是______。

答案：0解析：根据积分公式∫x dx = (x²)/2 + C，将2x+1代入公式得到∫(2x+1) dx = x² + x + C。

计算定积分∫₋¹¹(2x+1)dx，即[(1² + 1) - (-1²- 1)] = (1 + 1) - (1 - 1) = 2 - 0 = 0。

三、解答题5. 计算定积分∫₀²sin(x)dx，并求出其几何意义。

滚动测试5定积分的简单应用（解析版）1．函数x x x y +=ln 2的一个原函数可以是( )A ．3ln 2+=x x yB ．x x y ln 2=C ．x x y ln 2=+x 2D ．12+=xy 【解析】B 由于x x x xx x x x x +=⋅+⋅=ln 21ln 2)ln (2'2，故x x x y +=ln 2的一个原函数可以是x x y ln 2=.2．下列积分值等于1的是( )A ．⎰10xdx B ．dx x ⎰+10)1( C ．⎰101dx D ．dx ⎰1021 【解析】C ⎰101dx ＝x|10＝1－0＝1，故选C . 3．下列图中阴影部分所示为由曲线x y sin =，直线2π=x 和0=y 所围图形的是( )【解析】D 结合函数的图象可知D 选项正确． 4．若2ln 3)12(1+=⎰+dx xx a ，则a 等于的值是 ( )A ．6B ．4C ．3D ．2【解析】D 由于2ln 31ln )|ln ()12(2121+=-+=+=⎰+a a x x dx xx aa ，所以2=a . 5．设⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,1)(2x x x x x f ，则dx x f ⎰2)(等于( ) A .83 B ．－83 C .73D ．2【解析】A 386|)2()21()1()(3102212120=++=⎰+⎰+=⎰x x x dx x dx x fdx x f故选A . 6．设)(x f 是一次函数，且617)(,5)(1010=⎰=⎰dx x xf dx x f ，则)(x f 的解析式为( ) A ．4x ＋3 B ．3x ＋4 C ．－4x ＋2 D ．－3x ＋4 【解析】A 设)0(,)(≠+=a b ax x f ，则521)()()(10101010=+⎰=+⎰=⎰+=⎰b a bdx dx ax dx b ax dx x f∴6172131)()()()(101021010=+=⎰⎰+=⎰⎰+=b a dx bx dx ax dx b ax x dx x xf 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+6172131521b a b a 解得a ＝4，b ＝3，故)(x f ＝4x ＋3.7．已知函数⎰=axdx a f 0sin )(，则=))2((πf f ( ) A ．1 B ．1－1cos C ．0 D ．1cos －1【解析】 B ,cos 1|)cos (sin )(00a x xdx a f a a -=⎰-== 1cos 1)1())2cos(1())2((-==-=f f f f ππ8.求由y ＝e x ，x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1]【解析】B 如图，作出y ＝e x ，x ＝2，y ＝1三个函数的图象，由三者围成的曲边梯形如图中阴影部分，若选择x 为积分变量，则积分区间应为[0,2]． 9．定积分⎰20cos sin πxdx x 的值为( )A .12B .14C ．－12D ．－14【解析】A 21|)2cos (41)2()2(sin 41)2(sin 21cos sin 20202020=-=⎰=⎰⎰=ππππx x d x dx x xdx x 10．抛物线y ＝x 2－x 与x 轴围成的图形面积为( )A .18B ．1C .16D .12 【解析】 C 所求面积为S ＝120x x dx ＝120x x dx x ＝(12x 2－13x 3)|10＝16.11．如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3C .323D .353【解析】C 12-332x x dx ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323.故选C . 12．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A .103B ．4C .163D ．6 【解析】C 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，所以由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为342422116+2=2323xx dx x x x13．dx x x )30(2423-+⎰等于 【解析】563 356|30|31|4130)30(42423424424224234223=-+⎰⎰=-+⎰=⎰-+x x x dx dx x dx x dx x x 14．定积分=⎰-dx x 20)sin(π【解析】－1 1|cos )sin ()sin(202020-==⎰-=⎰-πππx dx x dx x 15．计算定积分=⎰+-dx x 043【解析】5 5|)321(|)321()3()3(3032342033404=++--=⎰++⎰--=⎰+-------x x x x dx x dx x dx x16．定积分dx x ⎰+2112＝【解析】535－ 3 dx x ⎰+2112＝2123|)12(31+x ＝)3315(312323⨯-⨯＝535－ 3.17．右图中阴影部分的面积S ＝【解析】 163 由图知S ＝⎰20[(5－x 2)－1]d x ＝(4x －x 33)|20＝(8－83)－0＝163.18．由曲线y ＝e x ，x ＝2，x ＝4，y ＝0所围成的图形的面积等于【解析】24e e - S ＝244242|e e e dx e x x -==⎰.19．曲线)230(cos π≤≤=x x y 与坐标轴所围成的面积 【解析】3 由于当20π≤≤x 时，232,0cos ππ≤<≥x x 时，0cos ≤x ，故所求图形的面积为3|sin |sin )cos (cos cos 2322020232230=-=⎰⎰-+=⎰πππππππx dx x xdx dx x20．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝【解析】 14图形如图所示．所求图形的面积41|414341102210210102==⎰=⎰⎰-=x dx x dx x dx x S。

高中数学测试题积分与定积分的几何应用高中数学测试题：积分与定积分的几何应用一、综合选择题1. 下列函数的不定积分中，是其原函数的是（）。

A. f(x) = 2x + 3B. f(x) = x^2 - 2x + 1C. f(x) = 3sin(x)D. f(x) = e^x2. 设函数 f(x) 在[0, 3]上连续，下列命题正确的是（）。

A. ∫[0, 3] f(x)dx = ∫[3, 0] f(x)dxB. ∫[0, 3] f(x)dx = -∫[3, 0] f(x)dxC. ∫[0, 3] f(x)dx = ∫[0, 3] |f(x)| dxD. ∫[0, 3] f(x)dx = ∫[0, 3] -f(x) dx3. 给定曲线 C 的参数方程为 x = t^2, y = t^3 - t（其中t ≥ 0），则曲线 C 的弧长为（）。

A. 8/3B. 8/5C. 5/8D. 3/8二、计算题1. 求 f(x) = e^x 在[-1, 2]上的定积分。

2. 设函数 f(x) = x^3 - 3x + 2，求 f(x) 在[-1, 2]上的平均值。

3. 已知曲线 C 的参数方程为 x = t^2, y = t^3 - t（其中t ≥ 0），求曲线 C 与 x 轴所围成的面积。

三、解答题1. 简述积分与定积分的概念，并说明它们在数学和几何上的应用。

2. 设函数 f(x) 在[a, b]上连续，且在 (a, b) 内可导，证明必存在ξ∈(a,b)，使得∫[a, b] f(x)dx = (b-a)f(ξ)。

3. 设函数 y = f(x) 在区间 [a, b] 上连续，且恒有f(x) ≥ 0，证明曲边梯形的面积S ≤ ∫[a, b] f(x)dx，其中曲边梯形由曲线 y = f(x)、直线 x = a、x = b以及 x 轴所围成。

四、综合应用题某城市一条马路的坡度曲线如下图所示，求该马路的总长度。

（插入坡度曲线图）提示：根据坡度曲线的定义，求曲线下方的面积即可得到距离。

《定积分的应用》复习题一．填空：1．曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b y ===<<及轴所围成的平面图形的面积为A =ln ln by ae dy ⎰=b-a______2.2y x y ==曲线和 ____13____二．计算题：1．求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。

解：（1）确定积分变量为y ，解方程组2222y x y x ⎧=⎨=-+⎩ 得12121/22,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 即抛物线与直线的交点为（21，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。

（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－21y ）-21y 2 ］,底为dy 的矩形面积，从而得到面积元素 dA = [(１－21y)- 21y 2 ]dy (3)所求图形面积 A =⎰-12[（1- 21y ）-21y 2 ]dy = [y - 41y 2 – 61y 3]12-= 942．求抛物线 y = - x 2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。

解：由y = - x 2 + 4x – 3 得 '24,'(0)4,'(3)2y x y y =-+==-。

抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ 32，3 ）。

故 面积A =332223029[(43)(43)][(26)(43)]4x x x dx x x x dx --+-+-+-+-=⎰⎰3．求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（02t π≤≤）与横轴所围成的图形的面积。

定积分综合练习一、选择题：1．将和式的极限)0(.......321lim 1>+++++∞→p nn P pp p p n 表示成定积分 （ ）A ．dx x⎰101B ．dx x p⎰1C ．dx xp⎰10)1(D ．dx n x p ⎰10)(2．下列等于1的积分是（ ）A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+10)1(C ．dx ⎰101D ．dx ⎰10213．dx x |4|102⎰-=（ ）A ．321 B ．322C ．323D ．325 4．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为 （ ）A ．320gt B ．20gtC ．220gtD ．620gt5．曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 （ ）A ．4B ．2C ．25D ．3 6．dx e e x x ⎰-+1)(=（ ）A ．e e 1+B ．2eC ．e2D ．ee 1-7．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）A ．［0，2e ］B ．［0，2］C ．［1，2］D ．［0，1］ 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为 （ ） A ．()[]dy y y ⎰--101 B ．()[]dx x x ⎰-+-2101 C ．()[]dy y y ⎰--2101 D ．()[]dx x x ⎰+--1019．如果1N 力能拉长弹簧1cm ，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是 （ ） A ．0.18 B ．0.26 C ．0.12 D ．0.2810．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为（ ）A ．⎰32dx x ρB ．()⎰+212dx x ρC ．⎰1dx x ρ D ．()⎰+321dx x ρ二、填空题：12．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．13．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ． 14．按万有引力定律，两质点间的吸引力221r m m kF =，ｋ为常数，21,m m 为两质点的质量，ｒ为两点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为ｂ处，试求所作之功（ｂ＞a ） ．三、解答题：15．计算下列定积分的值 （1）⎰--312)4(dx x x ； （2）⎰-215)1(dx x ； （3）dx x x ⎰+20)sin (π； （4）dx x ⎰-222cos ππ；16．求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积．17．求由抛物线ax y 42=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.18．一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所作的功．19．设y =f （x ）是二次函数,方程f （x ）=0有两个相等的实根，且f ′（x ）=2x +2. （1）求y =f （x ）的表达式；（2）求y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（2）若直线x =－t （0＜t ＜1＝把y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.20．抛物线y=ax 2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y=4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值，并求S max ．OxyF ABCD E G图参考答案一、1．B ；2．C ；3．C ；4．C ；5．D ；6．D ；7．B ；8．C ；9．A ；10．A ； 二、11．dx x ⎰+1011；12．dx x ⎰-102)1(；13．dx x ⎰π20|cos |；14．)11(21ba m km -； 三、15．（1）（2）（3）（4）16．解：首先求出函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .又易判断出在)0 , 1(-内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方，所以所求面积为dx x x x A ⎰-++--=01 23)2(dx x x x ⎰++-+20 23)2(1237=17．解：焦点坐标为)0,(a F ，设弦AB 、CD 过焦点F ，且OF AB ⊥． 由图得知：FBD FBE AGF ACF S S S S >=>，故AFBDOA ACFDOA S S >． 所求面积为：22 023842a dy a y a A a ⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=． 18．解：物体的速度233)(bt bt dtdxV ='==．媒质阻力422229)3(t kb bt k kv F zu ===，其中k 为比例常数，k>0．当x=0时，t=0；当x=a 时，311)(bat t ==，又ds=vdt ，故阻力所作的功为3277130320302727727)3(111b a k t kb dt bt k dt v k dt v kv ds F W t t t zu zu ====⋅==⎰⎰⎰⎰19．解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ，又已知f ′（x ）=2x +2 ∴a =1，b =2.∴f （x ）=x 2+2x +c又方程f （x ）=0有两个相等实根， ∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1. 故f （x ）=x 2+2x +1. （2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201=++=++--⎰x x x dx x x . （3）依题意，有x x x x x x t td )12(d )12(2021++=++⎰⎰---，∴023123|)31(|)31(tt x x x x x x ---++=++，－31t 3+t 2－t +31=31t 3－t 2+t ，2t 3－6t 2+6t －1=0， ∴2（t －1）3=－1，于是t =1－321. 评述：本题考查导数和积分的基本概念.20．解 依题设可知抛物线为凸形，它与x 轴的交点的横坐标分别为x 1=0，x 2=－b/a ，所以32261)(b a dx bx ax S ab =+=⎰-(1) 又直线x ＋y=4与抛物线y=ax 2＋bx 相切，即它们有唯一的公共点，由方程组⎩⎨⎧+==+bx ax y y x 24得ax 2＋(b ＋1)x －4=0，其判别式必须为0，即(b ＋1)2＋16a=0． 于是,)1(1612+-=b a 代入（1）式得： )0(,)1(6128)(43>+=b b b b S ，52)1(3)3(128)(+-='b b b b S ； 令S'(b)=0；在b ＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b ＜3时，S'(b)＞0；当b ＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S 取得最大值，且29max =S ．。

图3定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续曲线()(()0),y f x f x x a x b =≥==及及x 轴所围成的平面图形面积为()baA f x dx =⎰②设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为： dx x f x f S ba ⎰-=)]()([下上.③连续曲线()(()0),x y y c y d φφ=≥==及y 及y轴所围成的平面图形面积为()d cA y dy φ=⎰④由方程1()x y φ=与2()x y φ=以及,y c y d==所围成的平面图形面积为12[()()]dcA y y dy φφ=-⎰ 12()φφ>例１ 计算两条抛物线2x y =与2y x =所围成的面积．解 求解面积问题，一般需要先画一草图（图3），我们要求的是阴影部分的面积．需要先找出交点坐标以便确定积分限，为此解方程组：⎩⎨⎧==22y x x y得交点(0,0)和(1,1)．选取x 为积分变量，则积分区间为]1,0[，根据公式(1) ，所求的面积为31)3132()(103102=-=-=⎰x x x dx x x S ．一般地，求解面积问题的步骤为：(1) 作草图，求曲线的交点，确定积分变量和积分限． (2) 写出积分公式． (3) 计算定积分．例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积. 解 (1)画图.(2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: 4)( ,21)(2+==y y y y 右左ϕϕ.(4)计算积分⎰--+=422)214(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y .例3 求在区间[21,2 ]上连续曲线 y=ln x ,x 轴及二直线 x =21,与x = 2所围成平面区域（如图2）的面积 。

高考定积分应用常见题型大全含答案一．选择题共21小题1．2012福建如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率 CA．B．C．D．解答：解：根据题意,正方形OABC的面积为1×1=1,而阴影部分由函数y=x与y=围成,其面积为∫01﹣xdx=﹣|01=, 则正方形OABC中任取一点P,点P 取自阴影部分的概率为=；2．2010山东由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为 AA．B．C．D．解答：解：由题意得,两曲线的交点坐标是1,1,0,0故积分区间是0,1 所求封闭图形的面积为∫01x2﹣x3dx═,3．设fx=,函数图象与x轴围成封闭区域的面积为A．B．C．D．解答：根据定积分,得所围成的封闭区域的面积S=故选C4．定积分的值为A．B．3+ln2 C．3﹣ln2 D．6+ln2 解答：解：=x2+lnx|12=22+ln2﹣12+ln1=3+ln2 故选B．5．如图所示,曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图阴影部分,其面积是A．1B．C．D．解答：解：联立得,解得或,设曲线与直线围成的面积为S, 则S=∫01﹣x2dx=故选：C6．=A．πB．2C．﹣πD．4解答：解：∵ x2++sinx′=x+cosx,∴x+cosxdx= x2+sinx=2．故答案为：B7．若a=,b=,则a与b的关系是A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a+b=0解答：解：∵a==﹣cosx=﹣cos2﹣﹣cos=﹣cos2≈﹣°=°, b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈°,∴b＞a．故选A．8．的值是A．B．C．D．解答：解；积分所表示的几何意义是以1,0为圆心,1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积,故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积之差．即=﹣=﹣=故选A 9．若fx=e为自然对数的底数,则=A．+e2﹣e B．+e C．﹣e2+e D．﹣+e2﹣e解答：解：===故选C．10．已知fx=2﹣|x|,则A．3B．4C．D．解答：解：由题意,=+=2﹣+4﹣2=故选C．11．设fx=3﹣|x﹣1|,则∫﹣22fxdx=A．7B．8C．D．解答：解：∫﹣22fxdx=∫﹣223﹣|x﹣1|dx=∫﹣212+xdx+∫124﹣xdx=2x+x2|﹣21+ 4x﹣x2|12=7 故选A．12．积分=A．B．C．πa2D．2πa2解答：解：根据定积分的几何意义,则表示圆心在原点,半径为3的圆的上半圆的面积,故==．故选B．13．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为A．1/2 B．1C．2D．3/2解答：解：由题意图象与x轴所围成图形的面积为=﹣|01+sinx=+1=故选D．14．由函数y=cosx0≤x≤2π的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积是A．4B．C．D．2π解答：解：由函数y=cosx0≤x≤2π的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积, 就是：∫01﹣cosxdx=x﹣sinx|0=．故选B．15．曲线y=x3在点1,1处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为A．B．C．D．解答：解：∵y=x3,∴y'=3x2,当x=1时,y'=3得切线的斜率为3,所以k=3；所以曲线在点1,1处的切线方程为：y﹣1=3×x﹣1,即3x﹣y﹣2=0．令y=o得：x=,∴切线与x轴、直线x=1所围成的三角形的面积为：S=×1﹣×1=故选B．16．图中,阴影部分的面积是A．16 B．18 C．20 D．22解答：解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为2,﹣2,8,4．过2,﹣2作x轴的垂线把阴影部分分为S1,S2两部分,分别求出它们的面积A1,A2：A1=∫02dx=2 dx=,A2=∫28dx=所以阴影部分的面积A=A1+A2==18 故选B．17．如图中阴影部分的面积是A．B．C．D．解答：解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为﹣3,﹣6和1,2抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点﹣,0设阴影部分面积为s,则==所以阴影部分的面积为, 故选C．18．曲线与坐标轴围成的面积是A．B．C．D．解答：解：先根据题意画出图形,得到积分上限为,积分下限为0曲线与坐标轴围成的面积是：S=∫0﹣dx+∫dx=∴围成的面积是故选D．19．如图,点P3a,a是反比例函y=k＞0与⊙O的一个交点,图中阴影部分的面积为10π,则反比例函数的解析式为A．y=B．y=C．y=D．y=解答：解：设圆的半径是r,根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr2=10π解得：r=2．∵点P3a,a是反比例函y=k＞0与⊙O的一个交点．∴3a2=k且=r∴a2=×22=4．∴k=3×4=12,则反比例函数的解析式是：y=．故选C．。