2016年专项练习题集-定积分的计算

一、选择题1．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝2π所围成的平面区域的面积为( ) A ．π20⎰(sin x －cos x )d x B ．2π40⎰(sin x －cos x )d x C ．π20⎰(cos x －sin x )d xD ．2π40⎰(cos x －sin x )d x2．已知()22214a x ex dx π-=--⎰，若()201620121ax b b x b x -=++ 20162016b x ++（x R ∈），则12222b b + 201620162b ++的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．e3．定积分= A ．B ．C ．D ．4．已知函数()f x 的图像如图所示， ()f x '就()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A ．()()()()224224f f f f <-'<'B ．()()()()242242f f f f '<<-'C ．()()()()222442f f f f '<<-'D ．()()()()422422f f f f '<'-<5．设若20lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，((1))1f f =，则a 的值是( ) A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-26．曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（ ） A ．83B ．73C ．53D ．437．已知402cos 2d t x x π=⎰，执行下面的程序框图，如果输入的,2a t b t ==，那么输出的n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设31()min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积（ ）A ．12ln 26+ B ．12ln 24+ C ．1ln 24+ D ．1ln 26+ 9．20sin xdx π=⎰（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．010．1201(1))x x dx ⎰--=（ ） A ．22π+B ．12π+ C ．122π-D ．142π- 11．计算()122x x dx -⎰的结果为（ ）A ．0B ．1C ．23D ．5312．二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，观察发现()S r l '=：三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，观察发现()V r S '=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）. A ．224r πB ．283r πC ．514r πD ．42r π二、填空题13．设函数2y nx n =-+和1122y x n =-+（*n N ∈，2n ≥）的图像与两坐标轴围成的封闭图形的面积为n S ，则lim n n S →∞=________ 14．直线x ＝0、直线y ＝e +1与曲线y ＝e x +1围成的图形的面积为_____． 15．曲线y x =与直线21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ____．16．计算()0cos 1x dx π⎰+=_________.17．定积分121(4sin )x x dx --+=⎰________.18．如图所示，则阴影部分的面积是 .19．2(1)x dx -=⎰________.20．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为____________．三、解答题21．已知函数()f x 为一次函数，若函数()f x 的图象过点()0,2，且()28f x dx =⎰.（1）求函数()f x 的表达式.（2）若函数()22g x x =+，求函数()f x 与()g x 的图象围成图形的面积.22．已知函数2()ln f x x a x =-（a R ∈），()F x bx =（b R ∈）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设2a =，()()()g x f x F x =+，若12,x x （120x x <<）是()g x 的两个零点，且1202x x x +=， 试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行？请说明理由.23．现有一个以OA 、OB 为半径的扇形池塘，在OA 、OB 上分别取点C 、D ，作DE OA 、CF OB 分别交弧AB 于点E 、F ，且BD AC =，现用渔网沿着DE 、EO 、OF 、FC 将池塘分成如图所示的养殖区域.已知1km OA =，2AOB π∠=，EOF θ∠=（02πθ<<）.（1）若区域Ⅱ的总面积为21km 4，求θ的值； （2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？24．已知()xkx bf x e+=． （Ⅰ）若()f x 在0x =处的切线方程为1y x =+，求k 与b 的值； （Ⅱ）求1x xdx e ⎰． 25．已知曲线sin y x =和直线0,x x π==及0y =所围成图形的面积为0S . (1)求0S .(2)求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积. 26．已知函数()ln mf x x x=+()m R ∈. （1）若函数()f x 的图象与直线240x y +-=相切，求m 的值； （2）求()f x 在区间[]1,2上的最小值；（3）若函数()f x 有两个不同的零点1x ， 2x ，试求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】π40⎰(-sin x +cos x )d x 2π4π+⎰(sin x -cos x )dx=2π40⎰(cos x －sin x )d x ,选D. 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．2．A解析：A 【解析】因为2224d x x --⎰表示的是以原点为圆心、半径为2的上半圆的面积，即2224d 2πx x --=⎰，222221e d (e )|02x x x --==⎰，所以()22214e d 2a x x x π-=--=⎰，则()2016201212x b b x b x -=++ 20162016b x ++，令0x =，得01b =，令12x =，得1202022b b b =++ 201620162b ++，则12222b b + 2016201612b ++=-；故选A. 点睛：在处理二项展开式的系数问题要注意两个问题：一是要正确区分二项式系数和各项系数；二要根据具体问题合理赋值（常用赋值是1、-1、0）.3．B解析：B【解析】 由题意得，故选B.4．A解析：A【解析】解：观察所给的函数图象可知： ()()()()42'2'442f f f f -<<- ，整理可得： ()()()()224224f f f f <-'<' . 本题选择A 选项.5．C解析：C 【详解】233003|aat dt t a ==⎰，33(1)lg10,(0),1, 1.f f a a a ===∴==故选：C6．A解析：A 【解析】试题分析：()'323x x=,所以切线方程为13(1),32y x y x -=-=-,所以切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积()2238323S x dx =-=⎰.考点：1、切线方程；2、定积分.【易错点晴】本题易错点有三个,一个是切线方程,错解为看成过()1,1的切线方程；第二个错误是看成与y 轴围成的面积,()()22320328103232333S x dx x dx =--+-=+=⎰⎰；第三个是没有将切线与x 轴的交点求出来,导致没有办法解决题目.切线的常见问题有两种,一种是已知切点求切线方程；另一种是已知切线过一点求切线方程,两种题目都需要我们认真掌握.7．B解析：B 【解析】由题意得4402cos2d sin 2|sin 12t x x x πππ====⎰．所以输入的1,2a b ==． 执行如图所示的程序，可得：①3,5,5,2a b S n ====，不满足条件，继续运行； ②8,13,18,3a b S n ====，不满足条件，继续运行；③21,33,51,4a b S n ====，满足条件，停止运行，输出4．选B ．8．B解析：B 【解析】由31x x=，得1x =±，则图象的交点为(1,1)--，(1,1) ∵()31min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∴根据对称性可得函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积为143401141111|ln |ln 42ln 201444x dx dx x x x +=+=+=+⎰⎰ 故选B9．D解析：D 【分析】根据积分公式直接计算即可. 【详解】2200sin cos |cos 2cos0110xdx x πππ=-=-+=-+=⎰.故选：D. 【点睛】本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，属于基础题.10．D解析：D 【分析】 函数()1201(1)y x dx =--⎰的图象是以(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆，作出直线y x =，则图中阴影部分的面积为题目所要求的定积分.【详解】 由题意，()()1112201(1)1(1)()x x dx x dx x dx ---=--+-⎰⎰⎰，如图：1201(1)x dx --⎰的大小相当于是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的面积的14，故其值为4π，021011()1()|22x d x x --=-=⎰， 所以，)1112211(1)1(1)()42x x dx x dx x dx π--=--+-=-⎰⎰⎰ 所以本题选D. 【点睛】本题考查求定积分，求解本题关键是根据定积分的运算性质将其值分为两部分来求，其中一部分要借用其几何意义求值，在求定积分时要注意灵活选用方法，求定积分的方法主要有两种，一种是几何法，借助相关的几何图形，一种是定义法，求出其原函数，本题两种方法都涉及到了，由定积分的形式分析，求解它的值得分为两部分来求，1201(1)x dx --⎰和1()x dx -⎰.11．C解析：C 【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答案. 【详解】122312300112(2)()|11333x x dx x x -=-=-⨯=⎰， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关定积分的运算求解问题，属于简单题目.12．D解析：D 【解析】因为4328W r W r V ππ'=⇒==，所以42W r π=，应选答案D ． 点睛：观察和类比题设中的函数关系，本题也可以这样解答：34418824W r dr r r πππ=⎰=⨯=，应选答案D ． 二、填空题13．【分析】联立两直线得到交点坐标当时判断出两直线与坐标轴围成的封闭区间的形状即可求出对应的面积【详解】解当时直线斜率此时直线与轴交点为当时直线斜率此时直线与轴交点为此时函数和的图象与两坐标轴围成的封闭解析：14【分析】联立两直线，得到交点坐标，当n →+∞时，判断出两直线与坐标轴围成的封闭区间的形状，即可求出对应的面积． 【详解】解，当n →+∞时，直线2y nx n =-+斜率1k →-∞，此时，直线与x 轴交点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当n →+∞时，直线1122y x n =-+斜率20k →，此时，直线与y 轴交点为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 此时函数2y nx n =-+和11(*,2)22y x n N n n =-+∈的图象与两坐标轴围成的封闭图形近似于边长为12的正方形， 故111lim 224n n S →∞=⨯=，故答案为：14． 【点睛】本题考查极限的计算，可以先由n →+∞，判断围成四边形的形状，再计算，属于中档题．14．1【分析】如图所示：计算交点为计算积分得到面积【详解】依题意令e+1＝ex+1得x ＝1所以直线x ＝0y ＝e+1与曲线y ＝ex+1围成的区域的面积为S 故答案为：1【点睛】本题考查了利用积分求面积意在考解析：1 【分析】如图所示：计算交点为()1,1e +计算积分()()111xe e dx ⎡⎤+-+⎣⎦⎰得到面积.【详解】依题意，令e +1＝e x +1，得x ＝1，所以直线x ＝0，y ＝e +1与曲线y ＝e x +1围成的区域的面积为S ()()()1111110xx x e e dx e e dx ex e ⎡⎤=⎰+-+=⎰-=-=⎣⎦ 故答案为：1【点睛】本题考查了利用积分求面积，意在考查学生的计算能力.15．【分析】根据定积分的几何意义先联立直线与曲线方程求出积分的上下限将面积转化为定积分从而可求出所围成的图形的面积【详解】由曲线与直线构成方程组解得由直线与构成方程组解得；曲线与直线及x 轴所围成的封闭图 解析：512【分析】根据定积分的几何意义，先联立直线与曲线方程，求出积分的上下限，将面积转化为定积分11102(21)xdx x dx --⎰⎰，从而可求出所围成的图形的面积.【详解】由曲线y x =21y x =-构成方程组21y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得{11x y ==，由直线21y x =-与0y =构成方程组，解得120x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩；∴曲线y x =21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为：()131212011222215(21)||33412S xdx x dx x x x =--=--=-=⎰⎰． 故答案为512． 【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a x b ==之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.16．【解析】【分析】利用微积分基本定理直接计算即可【详解】即答案为【点睛】本题考查了定积分的运算属于基础题 解析：π【解析】 【分析】利用微积分基本定理直接计算即可. 【详解】()()()()0cos 1sin sin sin 00.0x dx x x πππππ⎰+=+=+-+=即答案为π. 【点睛】本题考查了定积分的运算，属于基础题．17．【解析】分析：由定积分的几何意义画出图形由面积可得定积分由奇函数在对称区间的积分知为0可得解详解：∵表示圆与x 轴围成的图形CDAB ∴又为奇函数所以∴故答案为：点睛：定积分的计算一般有三个方法：（1）解析：233π+. 【解析】分析：由定积分的几何意义画出图形由面积可得定积分，由奇函数在对称区间的积分知为0，可得解.详解：11122111(4sin )4sin x x dx x dx xdx ----+=-+=⎰⎰⎰，∵214x dx --表示圆224x y +=与x 轴围成的图形CDAB ，OAB 1214233632OCB ODAS SSππ=⨯⨯=+=⨯扇形，.∴212433x dx π--=又sin x 为奇函数，所以11sin 0xdx -=⎰，∴1212(4sin )33x x dx π--=⎰ 故答案为：233π+ 点睛：定积分的计算一般有三个方法：（1）利用微积分基本定理求原函数；（2）利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；（3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为0.18．【解析】试题分析：由题意得直线与抛物线解得交点分别为和抛物线与轴负半轴交点设阴影部分的面积为则考点：定积分在求面积中的应用【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用其中解答中根据直线方解析：323【解析】试题分析：由题意得，直线2y x =与抛物线23y x =-，解得交点分别为(3,6)--和(1,2)，抛物线23y x =-与x 轴负半轴交点(3,0)-，设阴影部分的面积为S ，则12203(32)(3)S x x dx x dx -=--+-⎰⎰32332(3)xdx x dx ---+-⎰⎰5322392333=++-=． 考点：定积分在求面积中的应用．【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用，其中解答中根据直线方程与曲线方程的交点坐标，确定积分的上、下限，确定被积函数是解答此类问题的关键，同时解答中注意图形的分割，在x 轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．19．【详解】试题分析：考点：定积分的计算【名师点睛】本题主要考查定积分的计算意在考查学生的运算求解能力属于容易题定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解解析：. 【详解】试题分析：222001(1)02x dx x x ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭⎰. 考点：定积分的计算. 【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.20．【解析】【分析】确定被积函数与被积区间利用用定积分表示面积即可求得结论【详解】曲线y=sinx 与直线x=0x=π4y=0所围成的封闭图形的面积为0π4sinx dx=-cosx|0π4=1-22故答案 解析：【解析】 【分析】确定被积函数与被积区间,利用用定积分表示面积,即可求得结论. 【详解】 曲线与直线所围成的封闭图形的面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查利用定积分求面积，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.三、解答题21．（1）()22f x x =+；（2）43. 【分析】（1）设一次函数的解析式，由20()8f x dx =⎰．及微积分定理可得248k +=，解得k 的值，进而求出函数()f x 的解析式；（2）由面积和微积分的关系求出()f x 与()g x 的图象围成图形的面积的表达式，进而求出其面积． 【详解】解：（1）∵()f x 为一次函数且过点()0,2，可设()()20f x kx k =+≠ ∴()()022022222482k f x dx kx dx x x k ⎛⎫⎰=⎰+=+=+=⎪⎝⎭，解得2k =,∴()22f x x =+. （2）由2222y x y x ⎧=+⎨=+⎩得：10x =，22x =，∴()f x 与()g x 围成的图形面积()()20S f x g x dx =-⎡⎤⎣⎦⎰ 即()()002223202214222233S x x dx x xdx x x ⎛⎫=⎰+--=⎰-=-= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查微积分定理的应用，及曲线围成的面积的运算方法，属于中档题． 22．（1）当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增，0(),22a a a f x 所以时，的单调减区间是，单调增区间是⎛⎫>+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）()y f x =在0x 处的切线不能平行于x 轴. 。

高三数学积分试题答案及解析1.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，这是一个几何概型概率的计算问题.正方形的面积为，阴影部分的面积为，故选．【考点】1.定积分的应用；2.几何概型.2.如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.【答案】【解析】由对数函数与指数函数的对称性,可得两块阴影部分的面积相同..所以落到阴影部分的概率为.【考点】1.几何概型.2.定积分.3.二项式()的展开式的第二项的系数为，则的值为( ) A．B．C．或D．或【答案】A【解析】∵展开式的第二项的系数为，∴，∴，∵，∴，当时，.【考点】二项式定理、积分的运算.4. [2013·江西高考]若S1＝，S2＝，S3＝，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1<S2<S3B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1D．S3<S2<S1【答案】B【解析】S1＝＝x3＝，S2＝＝lnx＝ln2，S3＝＝e x＝e2－e＝e(e－1)>e>，所以S2<S1<S3，故选B.5. [2014·琼海模拟]如图所示，则由两条曲线y＝－x2，x2＝－4y及直线y＝－1所围成图形的面积为________．【答案】【解析】由图形的对称性，知所求图形的面积是位于y轴右侧图形面积的2倍．由得C(1，－1)．同理，得D(2，－1)．故所求图形的面积S＝2{[－－(－x2)]dx＋[－－(－1)]dx}＝2[－]＝2[－(－x)]＝.6.如图，阴影区域是由函数的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】根据余弦函数的对称性可得，曲线从到与x轴围成的面积与从到与轴围成的面积相等，∴由函数的一段图象与轴围成的封闭图形的面积，，故选B．【考点】定积分求面积。

一、求下列数列的极限（每题5分，共10分）：1.21lim(1)n n n -→∞+解：2222111lim(1)lim[(1)][lim(1)]n n n n n n e n n n----→∞→∞→∞+=+=+=2.2222lim()123n n n n nn n n n n→∞+++⋅⋅⋅++++ 解：222222221231n n n n n n n n n n n n n n ≤+++⋅⋅⋅≤++++++ ， 又2222211lim lim 1,lim lim 111111n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞====++++ 所以由夹逼准则知，2222lim()1123n n n n nn n n n n→∞+++⋅⋅⋅=++++二、求下列函数的极限：（每小题5分,共20分）.1. x →解：23x →==厦门大学《微积分IV 》课程期末试卷试卷类型：（A 卷） 考试日期 2016.01.122. 2211lim x x x x→--解：221111lim lim 2x x x x x x x →→-+==-或者用洛必达法则，2211122lim lim 22121x x x x x x x →→-===---3.30lim sin x x x x →-解：3200036limlim lim 6sin 1cos sin x x x x x xx x x x→→→===--4. lim )x x x →+∞解：lim )limlimlimx x x x x x →+∞===12==。

三、求函数的微分或导数：（每小题5分,共20分）1. 已知2sin y x x =，求dy .解：2(2sin cos )dydy dx x x x x dx dx==+2.已知sin xy x =，求y '. 解：y '=22(sin )()sin cos sin x x x x x x xx x''⋅--=3.已知32cos (1)y x =-，求(1)y '解：22222223cos (1)[cos(1)]3cos (1)(sin(1))(1)y x x x x x '''=-⋅-=-⋅--⋅-2222223cos (1)sin(1)(2)6cos (1)sin(1)x x x x x x =--⋅-⋅-=⋅-⋅-所以222(1)61cos (11)sin(11)0y '=⋅⋅-⋅-=4. 设()y y x =由方程y e xy e +=所确定，求(0)y '.解：方程ye xy e +=两边对x 求导，得0y e y y x y ''++⋅=，从而y y y e x -'=+，又(0)1y =，因此(0)(0)1(0)0y y y e e-'==-+。

§29 导数和定积分的概念及运算
一、导数：
1.概念： 2.运算：
又名瞬间变化率 连续平滑是形法
六个公式两特例 单个函数纯字母
点点可导线可导 一差二比三极限
简单函数两标准 不符条件用法则
二、定积分：
1.概念：
2.运算：
数法定义四大步 几何意义是面积 分代求和取极限 部分恰好逆求导
(1)方法 (2)性质 (3)常见的公式
n B. n＋2 n＋1 C. 2n＋4 n D. 2n＋4
3.已知函数 f(x)的导函数为f /(x) ,且 f(x)＝2x f /(1)＋x2
则 f /(1) ＝_______
2 x ，x 0， 4.设 f(x)＝ x ,则 2 ，x 0，
5.

2 0

1
1 1
f ( x)dx ______
x nx
n '
n 1
sin x cos x ' cos x sin x
'
⑤若 f x a , 则 f x a ln a
x ' x
特别地 若 f x e , 则 f x e
x '
x
a a e e
x '
x
ln a
n ' n 1
x ' x
③ [ log a f x ]
/
[
1 ] f x ln a
f x
/
log a x
'
1 x ln a
④[sin f x ] [cos f x ] f x
/
⑤[cos f x ]/ [－sin f x ] f / x

定积分典型例题20例答案例1 求33322321lim(2)n n n n n®¥+++．分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．找出被积函数与积分上下限．解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x nD =，然后把2111n n n =×的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim (2)n n n n n ®¥+++=333112lim ()n n n n nn ®¥+++=13034xdx =ò．例2 2202x x dx -ò=_________．解法1 由定积分的几何意义知，2202x x dx -ò等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ³) 与x 轴所围成的图形的面积．故2202x x dx -ò=2p． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t pp-££），则，则222x x dx -ò=2221sin cos t tdt pp --ò=22021sin cos t tdt p-ò=2202cos tdt pò=2p例3 （1）若22()x t x f x e dt -=ò，则()f x ¢=___；（2）若0()()xf x xf t dt =ò，求()f x ¢=___．分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ¢¢=-ò．解 （1）()f x ¢=422x x xee---；（2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =ò，则可得可得()f x ¢=()()xf t dt xf x +ò．例4 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=ò，则(26)f =_________．解 对等式310()x f t dt x -=ò两边关于x 求导得求导得32(1)31f x x -×=，故321(1)3f x x-=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =．例5 函数11()(3)(0)xF x dt x t =->ò的单调递减开区间为_________．解 1()3F x x ¢=-，令()0F x ¢<得13x>，解之得109x <<，即1(0,)9为所求．为所求． 例6 求0()(1)arctan xf x t tdt =-ò的极值点．的极值点． 解 由题意先求驻点．于是()f x ¢=(1)arctan x x -．令()f x ¢=0，得1x =，0x =．列表如下：如下： 故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．为极小值点． 例7 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中处的切线相同，其中2arcsin 0()xt g x e dt -=ò，[1,1]x Î-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n ®¥．分析 两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ¢¢=．解 由已知条件得由已知条件得2(0)(0)0tf g e dt -===ò，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知处切线斜率相同知2(arcsin )2(0)(0)11x x e f g x-=¢¢===-．故所求切线方程为y x =．而．而3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n®¥®¥-¢=×==-．例8 求 22sin lim(sin )x x x tdt t t t dt®-òò；分析 该极限属于型未定式，可用洛必达法则．型未定式，可用洛必达法则． 解 22000sin lim (sin )x x xtdtt t t dt ®-òò=2202(sin )lim(1)(sin )x x x x x x ®-××-=220()(2)lim sin x x x x ®-×-=304(2)lim 1cos x x x ®-×- =2012(2)lim sin x x x®-×=0．注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．x (,0)-¥(0,1)1 (1,)+¥()f x ¢-＋－例9 试求正数a 与b ，使等式2021lim1sin xx t dt x b x a t®=-+ò成立．成立．分析 易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则． 解 20201lim sin x x t dt x b x a t ®-+ò=220lim 1cos x x a x b x ®+-=22001lim lim 1cos x x x b x a x ®®×-+201lim 11cos x x b xa ®==-，由此可知必有0lim(1cos )0x b x ®-=，得1b =．又由．又由 2012lim11cos x x xaa®==-，得4a =．即4a =，1b =为所求．为所求． 例10 设sin 20()sin xf x t dt =ò，34()g x x x =+，则当0x ®时，()f x 是()g x 的（的（）． A ．等价无穷小．．等价无穷小． B ．同阶但非等价的无穷小．．同阶但非等价的无穷小． C ．高阶无穷小．．高阶无穷小．D ．低阶无穷小． 解法1 由于由于 22300()sin(sin )cos lim lim ()34x x f x x x g x x x ®®×=+ 2200cos sin(sin )lim lim 34x x x x x x ®®=×+ 22011lim 33x x x ®==． 故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到的幂级数，再逐项积分，得到sin223370111()[()]sin sin 3!342x f x t t dt x x =-+=-+ò，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f xg x x x x ®®®-+-+===++．例11 计算21||x dx -ò．分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -ò＝0210()x dx xdx --+òò＝220210[][]22x x --+＝52．注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时在使用牛顿－莱布尼兹公式时,,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 33222111[]6dx x x --=-=ò，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界积区间内无界. .例12 设()f x 是连续函数，且1()3()f x x f t dt =+ò，则()________f x =．分析 本题只需要注意到定积分()baf x dx ò是常数（,a b 为常数）．解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而1()f t dt ò是常数，记1()f t dt a =ò，则，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==òò．所以所以2101[3]2x ax a +=，即132a a +=，从而14a =-，所以，所以 3()4f x x =-．例13 计算2112211x xdx x-++-ò． 分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解2112211x x dx x -++-ò=211112221111xxdx dx x x--++-+-òò．由于22211x x +-是偶函数，而211xx +-是奇函数，有112011x dx x-=+-ò, 于是于是 2112211x xdx x-++-ò=212411x dx x+-ò=2212(11)4x x dx x--ò=11200441dx x dx --òò由定积分的几何意义可知12014x dx p-=ò, 故2111022444411x xdx dx x p p -+=-×=-+-òò．例14 计算22()x d tf x t dt dx -ò，其中()f x 连续．连续． 分析 要求积分上限函数的导数，要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，因此不能直接求导，必须先换必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．，然后再求导．解 由于由于220()xtf x t dt -ò=22201()2xf x t dt -ò．故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以，所以22()x tf x t dt -ò=201()()2xf u du -ò=21()2x f u du ò，故220()x d tf x t dt dx -ò=201[()]2x d f u du dx ò=21()22f x x ×=2()xf x ． 错误解答 22()x d tf x t dt dx -ò22()(0)xf x x xf =-=．错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xa d x f t dt f x dx¢F ==ò中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．导，而应先换元． 例15 计算3sin x xdx pò．分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法． 解 3s i n x x d x pò3(c o s )x d x p=-ò330[(c o s )](co s )x x x d x pp=×---ò 30cos 6xdx pp=-+ò326p=-． 例16 计算1200ln(1)(3)x dx x +-ò． 分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-ò=101ln(1)()3x d x +-ò=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-×--+ò =101111ln 2()2413dx x x-++-ò 11ln 2ln324=-．例17 计算20sin x e xdx pò．分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法． 解 由于2sin xe xdx pò20sin xxde p=ò220[sin ]cos xxe x e xdx p p=-ò220cos xe e xdx p p=-ò，（1） 而2cos xe xdx pò20cos xxde p=ò2200[cos ](sin )xxe x e x dx p p=-×-ò 2sin 1xe xdx p=-ò， （2）将（将（22）式代入（）式代入（11）式可得）式可得2sin xe xdx pò220[sin 1]xe e xdx p p=--ò,故20sin xe xdx pò21(1)2e p=+．例18 计算10arcsin x xdx ò．分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解10arcsin x xdx ò210arcsin ()2x xd =ò221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =×-ò 21021421x dx x p=--ò． （1） 令sin x t =，则，则2121x dx x-ò2202sin sin 1sin t d t tp =-ò220sin cos cos t tdt tp=×ò220sin tdt p=ò 201cos 22t dt p-==ò20sin 2[]24t t p-4p =． （2） 将（将（22）式代入（）式代入（11）式中得）式中得1arcsin x xdx =ò8p ．例19设()f x [0,]p 上具有二阶连续导数，()3f p ¢=且0[()()]cos 2f x f x xdx p¢¢+=ò，求(0)f ¢．分析分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解． 解 由于0[()()]cos f x f x xdx p ¢¢+ò00()sin cos ()f x d x xdf x p p¢=+òò[]0000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx pppp¢¢¢=-++òò()(0)2f f p ¢¢=--=． 故 (0)f ¢=2()235f p ¢--=--=-．例20 计算2043dx x x +¥++ò． 分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解 2043dx x x +¥++ò=20lim 43t t dx x x ®+¥++ò=0111lim ()213t t dx x x ®+¥-++ò =011lim [ln ]23t t x x ®+¥++=111lim (ln ln )233t t t ®+¥+-+ =ln 32．。

定积分练习题一、基本概念题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (3x^2 + 4) \, dx$。

2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} (x^3 2x) \, dx$。

3. 设函数 $f(x) = x^2 3x + 2$，求 $\int_{1}^{3} f(x) \,dx$。

4. 已知函数 $g(x) = \sqrt{1 x^2}$，求 $\int_{1}^{1} g(x) \, dx$。

5. 计算 $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$。

二、定积分的性质题6. 利用定积分的性质，计算 $\int_{0}^{2} (3x^2 + 4x) \,dx$。

7. 已知 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$，求 $\int_{1}^{2}f(x) \, dx$。

8. 设 $f(x)$ 是奇函数，证明 $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$。

9. 已知 $\int_{0}^{1} (f(x) + g(x)) \, dx = 5$，$\int_{0}^{1} (f(x) g(x)) \, dx = 3$，求 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ 和 $\int_{0}^{1} g(x) \, dx$。

三、定积分的计算题10. 计算 $\int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx$。

11. 计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \, dx$。

12. 计算 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$。

13. 计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 x^2}} \, dx$。

14. 计算 $\int_{0}^{2} |x 1| \, dx$。

四、定积分的应用题15. 计算由曲线 $y = x^2$，直线 $x = 2$ 和 $y = 0$ 所围成的图形的面积。

一、选择题1. 设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的符号( ) A ．一定是正的 B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的，当a <b <0时是负的D ．以上结论都不对解析： 由⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义及f (x )>0，可知⎠⎛a b f (x )d x 表示x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积．∴⎠⎛ab f (x )d x >0.答案：A 2. 若22223,,sin a x dx b x dx c xdx ===⎰⎰⎰，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b解析：a ＝13x 3 |20＝83，b ＝14x 4 |20＝4，c ＝－cos x |20＝1－cos2，∴c <a <b . 答案：D3. 求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .4.11(sin 1)x dx -+⎰的值为( )A. 2B.0C.22cos1+D. 22cos1- 【答案】A 【解析】[][]1111(sin 1)cos (cos11)cos(1)12x dx x x --+=-+=-+----=⎰5. 由曲线22y x x =+与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 （ ）A ．16B ．13C ．56D ．23【答案】 A由22,x x x +=解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0）， 利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:23201111111((2)()|().32326S x x x dx x x --=-+=--=--=⎰ 二、填空题6. 已知f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ，则当x ∈[－1,3]时，f (x )的最小值为________．解析： f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ＝(t 2－4t )| x 0＝x 2－4x ＝(x －2)2－4(－1≤x ≤3)，∴当x ＝2时，f (x )min ＝－4.答案： －47. 一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8(m/s)的速度运动，在前30 s 内的平均速度为________． 解析：由定积分的物理意义有：s ＝3020(38)t t dt -+⎰＝(13t 3－32t 2＋8t )|300＝7890(m)．∴v ＝s t ＝789030＝263(m/s)．答案：263 m/s 三、解答题8.求下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ；(2)(cos e )d x x x π-⎰＋；(3)⎠⎛49x (1＋x )d x ；(4)⎠⎛0πcos 2x 2d x .解析： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121x d x ＝x 22| 21－x 33| 21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)(cos e )d x x x π-⎰＋＝00cosxd e d x x x ππ--+⎰⎰＝sin x ||0－π＋e x 0－π＝1－1eπ. (3)⎠⎛49x (1＋x )d x ＝⎠⎛49(x 12＋x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 32＋12x 249＝23×932－23×432＋12×92－12×42＝4516. (4)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |0π＋12sin x |0π＝π2.9. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图：直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f (x )．解：由f (0)＝0得c ＝0， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 由f ′(0)＝0得b ＝0， ∴f (x )＝x 3＋ax 2＝x 2(x ＋a )，由∫－a 0[－f (x )]d x ＝274得a ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x 2.10.已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解析： (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－ab ＝0.∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x | 10＝2－23a ＝－2， ∴a ＝6，∴c ＝－4. 从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]， 所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2.B 卷：5+2+2一、选择题1. 已知f (x )为偶函数且61(),2f x dx =⎰则66()f x dx -⎰等于( )A ．2B ．4C ．1D ．-1解析：∵f (x )为偶函数，∴661()(),2f x dx f x dx -==⎰⎰∴6660()2() 1.f x dx f x dx -==⎰⎰答案：C2. (改编题)A ． 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5 【答案】C【解析】2220202101102,0()2,()(2)(2)(2)|(2)|2,02232 3.5.2x x x x f x x f x dx x dx x dx x x x x ----≥⎧=-=∴=++-=++-⎨+<⎩=+=⎰⎰⎰3. 已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k 等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝kx 消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为 ∫k 0(kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3) |k 0＝92. 即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3. 4. 一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )作的功为( )A ．44B ．46C ．48D ．50解析： W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42＝46.答案：B5. 函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的A ．31 B ．34 C ．2 D ．38 【答案】B【解析】由导函数()x f '的图像可知，函数()x f 为二次函数，且对称轴为1,x =-开口方向向上，设函数2()(0),(0)0,0.()2,f x ax bx c a f c f x ax b '=++>=∴==+因过点（-1,0）与（0,2），则有2(1)0,202,1, 2.a b a b a b ⨯-+=⨯+=∴==2()2f x x x ∴=+， 则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为232032-22114(2)()|=2)(2).333S x x dx x x -=--=--⨯+-=⎰（- 二、填空题6.（改编题）设20lg ,0(),3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰若((1))1,f f =则a 为 。

高三数学积分试题1.．【答案】【解析】=.考点:定积分2.定积分的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选C.【考点】定积分.3.直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．4【答案】D【解析】由已知得，，故选D.【考点】定积分的应用.4. [2014·汕头模拟]设f(x)＝，则等于()A．B．C．D．不存在【答案】C【解析】本题画图求解，更为清晰，如图，＝＋＝x3＋(2x－x2)＝＋(4－2－2＋)＝.5.直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于() A．B．2C．D．【答案】C【解析】由C：x2＝4y，知焦点P(0,1)．直线l的方程为y＝1.所求面积S＝＝＝.6.已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据图像可得：，再由定积分的几何意义，可求得面积为．7.设函数的图象与直线轴所围成的图形的面积称为在上的面积，则函数上的面积为．【答案】【解析】用积分表示面积.【考点】定积分8.设，若曲线与直线，，所围成封闭图形的面积为2，则（）A．2B．e C．2e D．【答案】D【解析】，∴.【考点】定积分.9.已知t>0,若(2x-1)dx=6,则t的值等于()A．2B．3C．6D．8【答案】B【解析】(2x-1)dx=2xdx-1·dx=x2-x=t2-t,由t2-t=6得t=3或t=-2(舍去).【方法技巧】定积分的计算方法(1)利用定积分的几何意义,转化为求规则图形(三角形、矩形、圆或其一部分等)的面积.(2)应用微积分基本定理:求定积分f(x)dx时,可按以下两步进行,第一步:求使F'(x)=f(x)成立的F(x);第二步:计算F(b)-F(a).10.已知函数f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与x轴在原点处相切,且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值为.【答案】-1【解析】f'(x)=-3x2+2ax+b,∵f'(0)=0,∴b=0,∴f(x)=-x3+ax2,令f(x)=0,得x=0或x=a(a<0).=-(-x3+ax2)dx=a4=,∴a=-1.S阴影11.________．【答案】1【解析】.【考点】定积分的应用.12.dx + .【答案】+1【解析】，，所以的图像是半圆，由定积分的几何意义可知，所以。

一、选择题1．已知函数2(1),10()01x x f x x ⎧+-≤≤⎪=<≤则11()d f x x -=⎰（ ） A ．3812π- B ．4312π+ C ．44π+ D ．4312π-+ 2．给出以下命题： （1）若()0haf x dx >⎰，则()0f x >；（2）20|sin |4x dx π=⎰；（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则：()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰其中正确命题的个数为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．43．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于（ ）A ．1-B ．1C．D4．若连续可导函数()F x 的导函数()()'F x f x =，则称()F x 为()f x 的一个原函数.现给出以下函数()F x 与其导函数()f x ：①()2cos F x x x =+， ()2sin f x x x =-；②()3sin F x x x =+， ()23cos f x x x =+，则以下说法不正确．．．的是（ ） A ．奇函数的导函数一定是偶函数 B ．偶函数的导函数一定是奇函数 C ．奇函数的原函数一定是偶函数 D ．偶函数的原函数一定是奇函数5．设若20lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，((1))1f f =，则a 的值是( ) A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-26．等比数列{}n a 中,36a =,前三项和3304S xdx =⎰,则公比q 的值为（ ）A ．1-或12-B ．1或12-C ．12-D ．17．设()2012a x dx =-⎰,则二项式6212a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项是（ ） A ．240B ．240-C ．60-D ．608．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为（ ） A ．52 B ．4 C ．2 D ．929．已知二次函数()y f x =的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．25π B ．43C ．32D ．2π 10．函数()325f x x x x =+-的单调递增区间为（ ）A ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和1,B ．5,3⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭1,C ．(),1-∞-和5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-⋃5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，观察发现()S r l '=：三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，观察发现()V r S '=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）. A ．224r πB ．283r πC ．514r πD ．42r π12．若函数31()log ()(01)(,0)3a f x x ax a a 且在区间=->≠-内单调递增，则实数a 的取值范围是( )． A ．2[,1)3B ．1[,1)3C ．1[,1)(1,3]3D ．(1,3]二、填空题13．424(16)x x dx --=⎰__________．14．曲线,,0x y e y e x ===围成的图形的面积S =______ 15．定积分121(4sin )x x dx --=⎰________.16．201x dx -=⎰__________．17．函数()xf x e x =-在［-1，1］上的最小值__________．18．()12021x x dx +-=⎰________19．曲线21y x =-与直线2,0x y ==所围成的区域的面积为_______________．20．若，则的值是__________．三、解答题21．设函数()()3223168f x x a x ax =-+++，其中a R ∈，已知()f x 在3x =处取得极值. （1）求()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间.22．已知函数()32f x x ax =+图像上一点()1,P b 的切线斜率为3-，()()()3261302t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[]1,4x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围.23．已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >，设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性和极值。

1．定积分的概念在ʃb a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．2．定积分的性质(1)ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x(k为常数)；(2)ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x；(3)ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F(b)－F(a)F(x)|b a，即ʃb a f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．【知识拓展】1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则ʃa－a f(x)d x＝2ʃa0f(x)d x.(2)若f(x)为奇函数，则ʃa－a f(x)d x＝0.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.(√)(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃb a f(x)d x>0.(√)(3)若ʃb a f(x)d x<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(×)(4)微积分基本定理中的F(x)是唯一的．(×)(5)曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积是ʃ10(x2－x)d x.(×)。

π 2 0
π 2 0

当n为奇数时，设n 2k +1(k ), 有
2k 2k 2 2 (2k )!! I 2 k 1 I1 2k 1 2 k 1 3 (2k 1)!!
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b a
1 例3、 求 dx 0 1 x2
1
1 1 解： 0 1 x 2 dx arctanx |0 arctan 1 arctan 0 4
1
练习题 .4 2 5 8 （）

1
1
1 1 1 1 1 2 5 4 x |1 1 dx d (5 4 x ) 4 1 4 5 - 4x 5 - 4x
ln 1 2
e
ln
1 1 1 1 ln 2 2 2
1 1 1 1 1 e (l n 1) (l n l n e ) l n 2 2 2 2 2 2
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§8.4 定积分的计算
例5、 求

1 2 0
arcsin x dx .
dx 1 x2 xdx
1
解： u arcsin x , dv dx , 则 d u 设
移项后则得
a u( x )v( x ) d x u( x ) v( x ) a u( x )v( x) d x. 即 udv uv | vdu 定积分的分部积分公式
b a b a b a
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§8.4 定积分的计算
例4、求
ln 2
Hale Waihona Puke 0xe x dx.
x
则du dx, v e x 解：令 x, dv e dx, u

..分割..
22
考点4 定积分的综合应用 例 4：已知函数 y＝f(x)的图象是折线段 ABC，其中 A(0,0)，
B
1 2
,1
，C(1,0)，函数
y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与
x
轴围成的图
形的面积为__________．
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23
解析：根据题意，得 f(x)＝－2x，2x＋0≤2，x≤1212<，x≤1.
若在 D 内随机取一点，则该点落入 E 中的概率为__3___.
图 2-16-1
..分割..
18
考点3 定积分在物理方面的应用
例3：汽车以 54 千米/时的速度行驶，到某处需要减速停车， 设汽车以 3 米/秒 2 的加速度匀减速刹车，问从开始刹车到停车， 汽车走了多少千米？
解：由题意，v0＝54 千米/时＝15 米/秒， ∴v(t)＝v0－at＝15－3t，令 v(t)＝0，得 15－3t＝0，t＝5， 即 5 秒时，汽车停车． ∴汽车由刹车到停车所行驶的路程为
s＝
5 v(t)dt＝
0
5 (15－3t)dt＝
0
15t－32t205
＝37.5(米)＝0.037 5(千米)．
答：汽车走了 0.037 5 千米．
..分割..
19
【规律方法】汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可 以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之前
应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式．若做变速
第16讲 定积分及其应用举例
..分割..
1
1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了 解定积分的概念.
2．了解微积分基本定理的含义．

一、选择题1．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( )A ．ln 2B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-2．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（ ）A ．5000B ．6667C ．7500D ．78543．设11130,,a xdx b xdx c x dx ===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c >>4．已知()22214a x ex dx π-=--⎰，若()201620121ax b b x b x -=++ 20162016b x ++（x R ∈），则12222b b + 201620162b ++的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．e5．等比数列{}n a 中,36a =,前三项和3304S xdx =⎰,则公比q 的值为（ ）A ．1-或12- B ．1或12-C ．12-D ．16．定积分220[4(2)]x x dx ---⎰的值为（ ）A ．24π- B ．2π- C ．22π- D ．48π-7．121(1)x x dx --+=⎰（ ）A ．1π+B ．1π-C ．πD ．2π 8．等比数列{}n a 中，39a =前三项和为32303S x dx =⎰，则公比的值是（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．-1或12-9．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J10．由直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．3 B ．32ln 2+C ．223e -D ．e11．曲线2y x 与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．16 B ．13C ．12D ．5612．20sin xdx π=⎰（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．0二、填空题13．由直线2x y +=，曲线2y x =所围成的图形面积是________ 14．已知函数()xxf x e =，在下列命题中，其中正确命题的序号是_________. （1）曲线()y f x =必存在一条与x 轴平行的切线； （2）函数()y f x =有且仅有一个极大值，没有极小值；（3）若方程()0f x a -=有两个不同的实根，则a 的取值范围是1()e-∞，； （4）对任意的x ∈R ,不等式1()2f x <恒成立； （5）若1(0,]2a e∈，则12,x x R +∃∈,可以使不等式()f x a ≥的解集恰为12[,]x x ； 15．若二项式2651()5x x +的展开式中的常数项为m ，则21(2)d mx x x -=⎰_________．16．曲线2yx 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.17．若()()4112ax x -+的展开式中2x 项的系数为4，则21ae dx x=⎰________________ 18．π4cos xdx =⎰______．19．若，则的值是__________．20．曲线2y x 和曲线y x =________．三、解答题21．已知函数2()ln f x x a x =-（a R ∈），()F x bx =（b R ∈）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设2a =，()()()g x f x F x =+，若12,x x （120x x <<）是()g x 的两个零点，且1202x x x +=， 试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行？请说明理由. 22．已知函数f （x ）=x 3+32x 2+mx 在x=1处有极小值， g （x ）=f （x ）﹣23x 3﹣34x 2+x ﹣alnx ． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）是否存在实数a ，对任意的x 1、x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有1212()()1g x g x x x ->-恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．23．已知函数()32f x x ax =+图像上一点()1,P b 的切线斜率为3-，()()()3261302t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[]1,4x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围.24．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数给出：3221362936,69844159{,91084366345,1012t t t t y t t t t t --+-≤<=+≤≤-+-<≤ 求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻． 25．（2015秋•钦州校级期末）求曲线y=sinx 与直线，，y=0所围成的平面图形的面积．26．已知定义域为R 的函数f (x)有一个零点为1， f (x)的导函数()12f x x '=()()2212ax a g x f x +-=+，其中a R ∈．（1）求函数f (x)的解析式； （2）求()g x 的单调区间；（3）若()g x 在[)0,+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果. 【详解】()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.2．B解析：B 【分析】应用微积分基本定理求出对应的原函数，再由定积分定义求出空白区域面积，由正方形面积减去空白区域面积即可求出阴影部分面积，结合几何概型可推导出对应区域内的点的个数 【详解】由微积分基本定理可求出2yx 的原函数为()313F x x =，空白区域面积为31101133S x ==，故阴影部分面积212133S =-=，由几何概型可知，落入阴影部分的点数估计值为21000066673⨯≈ 故选：B 【点睛】本题考查定积分与微积分的基本定理，几何概型，属于基础题3．D解析：D 【解析】根据微积分定理，3120022|33a x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1210011|22b xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，13410011|44c x dx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，所以a b c >>，故选择D 。

南开大学2016年数学分析考研试题解答1.(15分)求定积分xdx en x ln 1⎰,Z n ∈.解:令t x =ln ,则[]1,0,∈=t x e t 且.则原积分化为dt t etn )1(10+⎰=11+n )()1(1etn d t +⎰=11+n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰++10)1(1dt e e t n n =11+n . 2.(20分)求曲线积分,2yzds L x -⎰其中L 是0=++z y x 和1222=++z y x 的交线.解:首先,根据对称性可知,=⎰ds Lx 2ds zy x L 22231++⎰=32π又有⎰-Lyzds =61-⎰++Lzxds yz xy 222=61-ds zy x z y x L2222)(---⎰++=3π 故原积分=-⎰yzds L x 23π+32π=π. 3.(15分)求)2(120121x xn n n +∑+∞=+的收敛域及和函数. 解:命()=x a n)2(12121x x n n +++,则()=+x a n 1)2(32321xx n n +++.故 ()()x x a a nn n 1lim +∞→=)2()2(lim 12323212x x x x n n n n n ++++∞→++=)2(2xx +, 故由Alembert d '判别法可知, 当)2(2xx +<1时所给的广义幂级数绝对收敛;当xx+2=-1时,由Leibnitz 判别法易知级数收敛.解上述关于x 的不等式即得此广义幂级数的收敛域为)[∞+-,1. 记()=x S )2(120121xxn n n +∑+∞=+,则易验证其在)(∞+-,1内一致收敛.因而()∑+∞=='02)2(n nxx x S =xx x 444442+++,)(∞+-∈∀,1x .两边对x 积分及结合()00=S 即可得到())1ln(4181432x x x S x +++=,)(∞+-∈∀,1x . 又由于()41π=-S ,即得()x S 表达式. 4.(15分)求)(y xy y x f y x 12469,22-++=在闭域D :)({}3669,22≤+y x y x 内的最大值.5.(15分)设()x f n 在I 上一致连续,且()x f n 一致收敛于()x f .证明:()x f 在I上一致连续.证明:由()x f n 一致连续知,0>∀ε,0>∃δ只要δ<-x x 21就有()()321ε<-x f x f nn.又由()x f n一致收敛于()x f 知,对上述,0>εN N ,+∈∃当N n >时,()()3ε<-x f x f n 对I x ∈成立.则有()()≤-x x f f 21()()+-x f x nf 11()()x f x f nn21-()()x x f f n22-+3ε<εεε=++33.由此知()x f 在I上一致连续.6.(15分)设()x f 在)(∞+,0上非负,对,0>∀A ()x xf 在][A ,0上可积,且()dx x f ⎰+∞收敛.证明:().01lim 0=⎰+∞→dx x xf A AA证明:()dx x f ⎰+∞0收敛知:,0>∀ε..,0t s M >∃()ε<⎰+∞dx x f M.取A,..M A t s >ε则()=⎰dx x xf A A1()=⎰dx x f AxA()()dx x f A x dx x f AxA A A ⎰⎰+εε()()dx x f dx x f AA A ⎰⎰+<εεε0()⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎰+∞01dx x f ε 由此即可得证. 7.(20分)求极限+∞→x lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++++)11()111(12x x x xx 解:注意到+∞→x lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++++)11()111(12x x x xx =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++∞→e e x x x x x x 11ln 111ln 12lim ,则有()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→ee xx x x x x 11ln 111ln 12lim=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-+++∞→++e xxx x x x xx )111ln()1()11ln(211lim )111(=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++∞→)11ln(111ln 1lim 21)111(x x x x x xxx , ()1 又有()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++)(21111111ln 1)11()11(22x x o x x x x ,as +∞→x ,及 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=+)1()1(21)11ln(22x x o x x x x ,as +∞→x .代入()1中即可得,+∞→x lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++++)11()111(12x x x xx =2e .8.(20分)设二元函数)(y x f ,二阶可偏导，)({}1,22≤+=y x y x D 且.12222=∂+∂∂∂y xf f求证:dxdy y fy x f x D)(∂∂+∂∂⎰⎰=4π.证:先引进Laplacian f ∆,则.1=∆f我们只要考虑fdxdy Dy x ∆+⎰⎰)2(22即可.根据第二Green 公式可知,fdxdy Dy x ∆+⎰⎰)2(22=-dxdy y f y x f xD)(∂∂+∂∂⎰⎰+ds n Ly x ∂+⎰2(22, 其中L 方向为单位圆周沿逆时针方向，n 为外法向量.故dxdy y f y x f xD)(∂∂+∂∂⎰⎰=n L y x ∂+⎰2(22-fdxdy Dy x ∆+⎰⎰)2(22=ds n L ⎰∂21-dxdy Dy x ⎰⎰+)2(22=)(21dx y fdy x f L ∂∂-∂∂⎰-rdr d r ⎰⎰102202πθ =4π,证毕!9.(15分)已知()x f 在][1,0上连续,在)(1,0上可导.且()x f =()1+x f ,()0f =0,()x f '单调递减,对x ∀和Z n ∈∀,求证:()nx f ≤()x nf .证:)1由于()0f =0,故当0=x 时,()()x nf nx f =(Z n ∈∀).又()x f =()1+x f ,故()()1nf n f =也易验证.)2[]1,0∈∀x 注意到()nx f =()dtt f nx⎰'0=()dt t f nk kxx k ∑⎰=-'1)1(以及()x nf =()dt t f nk x∑⎰='1，因此只要证()dt t f kxxk ⎰-')1(≤()dt t f x⎰'0即可.N k +∈∀,若][][1,0,)1(⊂-kx x k ,根据()01≥-x k ,0≥kx 以及()x f '的递减性,上述不等式显然成立.若()x k 1-1<2<<kx (the case where1=kxis trivial),则有()dt t f kxxk ⎰-')1(=()()dt t f dt t f kxxk ⎰⎰'+'-11)1(=()()dt t f dt t f kx xk ⎰⎰--'+'101)1(将上述不等式左边减去右边,有()()dt t f dt t f kx xk ⎰⎰--'+'11)1(-()dt t f x⎰'0=()dt t f xk ⎰-'1)1(-()01≤'⎰-dt t f xkx ,此即所要证明的命题成立.。

专题三 导数及其应用第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理2019年1.（2019全国Ⅰ理13）曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==−， B ．a=e ，b =1C ．1e 1ab −=，D ．1e a −= ，1b =−2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+−+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =−B ．y x =−C ．2y x =D ．y x =2．(2016年四川)设直线1l ,2l 分别是函数()f x = ln ,01,ln ,1,x x x x −<< >图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e =D ．3y x =4．(2015福建)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =−，其导函数()f x ′满足()1f x k ′>> ，则下列结论中一定错误的是A ．11()f kk <B ．11()1f k k >−C ．11()11f k k <−− D ．1()11kf k k >−− 5．（2014新课标Ⅰ）设曲线ln(1)y ax x =−+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．（2014山东）直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．2D ．4 7．（2013江西）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===∫∫∫则123,,S S S 的大小关系为A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S << 8．（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．14 B ．15C ．16 D ．179．（2011新课标）由曲线y =，直线2y x =−及y 轴所围成的图形的面积为A ．103 B ．4 C ．163D ．6 10．（2011福建）1(2)x e x dx +∫等于A ．1B ．1e −C ．eD ．1e + 11．（2010湖南）421dx x∫等于 A ．2ln 2− B ．2ln 2 C ．ln 2− D ．ln 2 12．（2010新课标）曲线3y 21x x =−+在点(1,0)处的切线方程为A ．1y x =−B ．1y x =−+C ．22y x =−D ．22y x =−+ 13．（2010辽宁）已知点P 在曲线y=41xe +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是A ．[0,4π) B ．[,)42ππC ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ二、填空题14．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln(1)+yx 在点(0,0)处的切线方程为__________．15．(2018全国卷Ⅲ)曲线(1)x y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2−，则a =____． 16．(2016年全国Ⅱ)若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．17．(2016年全国Ⅲ) 已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =−+，则曲线()y f x =，在点(1,3)−处的切线方程是_________．18．（2015湖南）2(1)x dx −∫= ．19．（2015陕西）设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．20．（2015福建）如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．（第15题） （第17题）21．（2014广东）曲线25+=−x e y 在点)3,0(处的切线方程为 ．22．（2014福建）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．23．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(−P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ． 24．（2014安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x = ②直线1:−=x l 在点()0,1−P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:−=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =．25．（2013江西）若曲线1y x α=+（R α∈）在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α= ． 26．(2013湖南)若209,Tx dx T =∫则常数的值为 ．27．（2013福建）当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=− 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=−∫∫∫∫∫从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +×+×+×++×+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：122311111111()()()2223212n n n n n n C C C C n +×+×+×+⋅⋅⋅+×+= ．28．（2012江西）计算定积分121(sin )x x dx −+=∫___________．29．（2012山东）设0>a ，若曲线x y =与直线0,==y a x 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a ． 30．（2012新课标）曲线(3ln 1)yx x +在点(1,1)处的切线方程为________．31．（2011陕西）设2lg 0()30ax x f x x t dt x >= + ∫ ，若((1))1f f =，则a = ．32．（2010新课标）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ∫，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点(,)(1,2,)i i x y i N =…,，再数出其中满足()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分1()f x dx ∫的近似值为 ．33．（2010江苏）函数2y x =(0x >)的图像在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，其中*k N ∈，若116a =，则135a a a ++= ．三、解答题34．（2017北京）已知函数()cos x f x e x x =−．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．35．(2016年北京)设函数()a x f x xe bx −=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =−+，（I ）求a ，b 的值； （II ）求()f x 的单调区间.36．（2015重庆）设函数23()()e xx ax f x a R +=∈． （Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[3,)+∞上为减函数，求a 的取值范围． 37．（2015新课标Ⅰ）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =−． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数{}()min (),()h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数．38．(2014新课标Ⅰ)设函数1()ln x xbe f x ae x x−=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为(1)2y e x =−+． (Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >．39．（2013新课标Ⅱ）已知函数()()ln xf x e x m =−+ (Ι)设0x =是()f x 的极值点，求m ,并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >．40．（2012辽宁）设()()()=ln +1+,,,f x x ax b a b R a b ∈为常数，曲线()=y f x 与直线3=2y x 在()0,0点相切． （1）求,a b 的值；（2）证明：当0<<2x 时，()9<+6xf x x ． 41．（2010福建）（1）已知函数3()=f x x x −，其图象记为曲线C ．（i ）求函数()f x 的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(,())P x f x 处的切线交于另一点222(,())P x f x ，曲线C 与其在点222(,())P x f x 处的切线交于另一点333(,())P x f x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值； （2）对于一般的三次函数32()g x ax bx cx d +++(0)a ≠，请给出类似于（1）（ii ）的正确命题，并予以证明．。

§8.4 定积分的计算一、按照定义计算定积分定积分的定义其实已经给出了计算定积分的方法，即求积分和的极限：∑⎰=→∆=nk kk T l bax f dx x f 10)()()(lim ξ但在定义中，分法T 是任意的，ξk 的取法也是任意的，这给我们的计算带来了困难。

因此，一般我们都是对已知是可积的函数才用定义求它的定积分。

这时，我们可以选用特殊的分割T （比如用等分）和特殊的点ξk （比如取每个小区间的右端点、或左端点、或中点等等）来计算。

例1 求由抛物线2x y =，]1,0[∈x ，及0=y 所围平面图形的面积。

解 根据定积分的几何意义，就是要计算定积分⎰102dx x .显然，这个定积分是存在的。

取分割T 为n 等份，并取k ξnk 1-=，n k ,,2,1 =。

则所求面积为：n n k dx x S nk n 1)1(lim2112⋅-==∑⎰=∞→=∑=∞→-nk n k n123)1(1lim=316)12()1(lim3=--∞→nn n n n 。

二、积分上限函数从上面的例子看到，用定积分的定义计算定积分是相当麻烦的。

下面我们探讨计算定积分的简便方法。

为此，先引入积分上限函数的概念。

设函数)(x f 在区间],[b a 上可积，],[b a x ∈∀，函数)(x f 在区间],[x a 上可积。

于是，由⎰=Φxadt t f x )()(， ],[b a x ∈定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为积分上限函数。

定理1（原函数存在定理） 若函数)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=Φxadt t f x )()(在],[b a 上处处可导，且)()()(x f dt t f dxd x xa==Φ'⎰，],[b a x ∈。

此定理沟通了导数与定积分之间的关系，也就沟通了不定积分（原函数）与定积分的关系。

同时也证明了连续函数必有原函数这一结论，并以积分的形式给出了)(x f 的一个原函数⎰=Φxadt t f x )()(。

定积分习题二十四 定积分的概念和性质一、填空题 1．1212ln x xdx ⎰的值的符号为______；2．放射性物体的分解速度为V=V （T ），用定积分表示放射性物体由时间T1到T2所分解的质量_______m =； 3．若()f x 在[,]a b 上连续，且()0baf x dx =⎰，则[()1]______baf x dx +=⎰；二、选择题1、 定积分()baf x dx ⎰是（ ）；A 、一个常数B 、()f x 的的一个原函数C 、一个函数族D 、一个非负常数2、 下列命题中正确的是（ ）（其中()f x ，()g x 均为连续函数）。

A 、 在[,]a b 上若()f x ≠()g x ，则()baf x dx ⎰≠()bag x dx ⎰B 、()baf x dx ⎰≠()baf t dt ⎰C 、 C 、()()badf x dx f x dx =⎰D 、 ()(),f x g x ≠则()()f x dx g x dx ≠⎰⎰三、定积分的几何意义，填写下列定积分值：1、12_____;xdx =⎰ 2、20cos _____;xdx π=⎰3、_____;=⎰四、比较下列各组两个积分的大小（填不等号） 1、211300_____;x dx x dx ⎰⎰ 2、44233ln _____(ln );xdx x dx ⎰⎰3、112_____(1);xe dx x dx +⎰⎰ 4、0sin _____cos ;xdx xdx ππ⎰⎰五、设质点作变速直线运动，其速度()2v t t =（单位：/m s ），试用定积分处理问题的4个步骤求在第一秒内经过的路程。

六、估计22xxe dx -⎰的值。

七、利用定积分的估值性质证明：411122dx x≤≤+⎰；八、利用积分中的值定理证明2sin 01xdx xππ≤≤⎰； 习题二十五 一, 填空题 1,()()_____(()xf x dx f t dt f x -=⎰⎰在实数域内连续)2, 20sin _____,x d dt dx =⎰20sin _____,x d dt dx =⎰3, 220sin _____,x d t dt dx =⎰ 2sin _____,d x dt dx=⎰ 4, 120sin _____,d x dx dx =⎰ 20sin _____,x e d xdx dx =⎰二,计算下列定积分1,4dx +⎰2,1⎰3, 211dx x+ 4, 21211sin dx x xππ⎰ 5, 222|1|x dx --⎰ 6, 设21,1(),12x x f x x x +≤⎧⎫⎪⎪=⎨⎬>⎪⎪⎩⎭, 求20()f x dx ⎰ 三,求下列极限1, 20cos limsin xxx t dx tdt t→⎰⎰: 2, 202ln(1)limxx t dt x →+⎰四,设()f x >0且在[,]a b 上连续,令()()()xxabdtF x f x dt f t =+⎰⎰求证:1, '()2F x >=;2,方程()0F x =在(),a b 内有且只仅有一实根.习题二十六 定积分的换元法和分部积分法 一,填空题 1,32sin ______;xxdx ππ-=⎰2,21______;dx =⎰3,3sin()______;3x dx πππ+=⎰ 4,sin ______;x xdx π=⎰5. ()f x 连续, a b ≠为常数,则()____bad f x t dt dx +=⎰二,用换元积分法求下列定积分:1, 123(115)dxx -+⎰ 2, 320sin cos x xdx π⎰3,221t te dx -⎰ 4,π⎰5,1⎰6,⎰7,21e ⎰8,21dx x三,用分部积分法求下列定积分:1, 20(sin )x x x dx π+⎰2.10x xe dx -⎰;3.41⎰4, 1arctan xdx ⎰5.1|ln |eex dx ⎰6, 1arctan⎰7,620cos xdx π⎰四,设1/(1),0()1/(1),0xx x f x e x +>=⎧⎫=⎨⎬+<⎩⎭求20(1)f x dx -⎰ 五, 1,证明:2200sin cos sin cos cos cos x xdx dx x xx x ππ=++⎰⎰2,由上面结论求2cos sin cos xdx x xπ+⎰习题二十七 广义积分(反常积分)一、是非题1．因为3()f x x =为奇函数，则30x dx +∞-∞=⎰； （ ）2．22212(1)1dx x x ==---⎰； （ ） 3．1111222111111t x dx dt dx x t x ---=-=-+++⎰⎰⎰ 得12101dx x -=+⎰； （ ）4．2223202arctan arctan cos sin sin 12(1)x u xdx u udu u u udu x ππππ+∞==-=-+⎰⎰⎰。