高中数学3.1.1 两角和与差的余弦 二 教案2 新人教B版必修4

两角差的余弦公式教学设计一、教材分析：本节课选自人教版必修四，第三章第一节，其中心任务是通过已知的《平面向量》和《三角函数》的知识，探索推导出两角差的余弦公式。

并通过简单的运用，使学生初步理解公式的由来，结构，功能及其运用，共一课时完成。

三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点上，两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材。

所以，从知识的结构和内容上看都具有承上启下的作用。

二、教学目标（一）知识与技能目标：1、理解两角差余弦公式的推导过程；2、掌握两角差的余弦公式并能用之解决某些简单的问题。

（二）过程与方法目标：1、通过对公式的推导，让学生体会所蕴含的类比思想和分类讨论的思想；2、通过对公式的推导提高学生分析问题，解决问题的能力，让学生从公式探索中体会认知新事物时从一般到特殊的思想和规律;（三）情感态度与价值观目标：通过对公式的推导与简单应用，使学生经历数学知识的发现、认知的过程，体验成功探索新知的乐趣，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试，从而提高学生的学习兴趣。

三、教学重、难点重点：两角差的余弦公式及公式的灵活应用；难点：余弦公式的探索，推导和证明;四、学情分析1、从学生已有的知识与方法看: 高一学生已经学习了《平面向量》和《三角函数》的知识，从日常教学所反应的学生特点来看，学生对类比和分类讨论的思想有所体会，但是还是只停留在体会阶段，没有办法真正灵活的运用。

具有了一定归纳总结的能力，但对于一般结论的原因，还是没能用严格的定义证明。

2、从学生的情感，态度看：高一学生已经厌倦老师的单独说教，希望老师创设便于他们进行观察的环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，小组交流，使他们获得施展自己创造才能的空间。

五、教学策略选择与设计课标要求我们要尽量的把课堂还给学生，让学生小组合作，在得到新知的同时又能培养他们的合作，分析和探索能力。

3.1.1两角和与差的余弦（一）教学目标1、知识目标（1）利用向量的数量积去发现两角差的余弦公式（2）灵活正反运用两角差的余弦2、能力目标（1）通过求两个向量的夹角，发现两角差的余弦，培养学生融会贯通的能力。

（2）培养学生注重知识的形成过程。

3、情感目标：通过公式的推导，更进一步发现“向量”的强大作用。

（二）教学重点、难点重点：（1）两角差的余弦（2）灵活应用两角差的公式解决问题难点：（1）两角差的余弦的推导（2）两角差的余弦的灵活应用（三）教学方法本节主要是采用数形结合的思路，由代数的精密推导和几何的直观性，推导出两角差的余弦，使学生养成数形结合的习惯；另外，整体上是由特殊到一般，再由一般回归特殊应用的辩证唯物思想的方法。

这样学生易接受；在公式的应用上采用练习讲解法。

（四）教学内容安排教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习向量的数量积以及它的主要作用：求两个向量夹角的余弦值。

正板书：例1：已知向量)45sin,45(cos ooa=，)30sin,30(cos oob=，求<ba,>的余弦学生回答，老师写副板书；写出向量的数量积以及它的变形（求夹角的余弦值）师：求向量夹角的余弦值，应具备哪些条件？生：应该求出两个向量的数量积以及它们各自的模师：回答很好。

我们先来求以旧带新，注意创设问题的情境，为引出新课程打基础。

通过这道题一来巩固向量积，二解：o o a 45sin 45cos ||22+==1oo b 30sin 30cos ||22+==1)30sin ,30(cos )45sin ,45(cos o o o o b a ⋅=⋅=o o o o 30sin 45sin 30cos 45cos ⋅+⋅ =426+ ><b a ,cos =||||b a b a ⋅⋅=426+即：cos15o=o o o o 30sin 45sin 30cos 45cos ⋅+⋅ =426+ 这两个向量的模以及它们的数量积。

两角和与差的余弦公式教学设计教学目标1知识目标： 理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。

2能力目标： 培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3情感目标： 通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

教学重点:两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。

教学难点: 两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广。

一、 产生对公式的需求 引入新课首先让学生通过具体实例消除对“co α-β=co α-co β”的误解，说明两角和（差）的三角函数不能按分配律展开。

并鼓励同学对公式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索。

二、自主探究 引发思考 层层深入 得出结论（1）单位圆上的点的坐标表示有图可知：()0,11P ，()ααsin ,cos 2P ， ()()()βαβα++sin ,cos 3P ，()()()ββ--sin ,cos 4P问题1 ： 由可得出什么结论？ 问题2 ：两角和与差的余弦公式推导（一）两角和的余弦公式设()0,11P ，()ααsin ,cos 2P ， ()()()βαβα++sin ,cos 3P ，()()()ββ--sin ,cos 4P 由4231P P P P =，则1324PP P P =()[]()22sin 1cos βαβα++-+=()()[]()[]22sin sin cos cos αβαβ--+-- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+∴，对于任意的角βα,都成立。

根据两角差的余弦公式，你可以猜猜?)cos(=-βα 提示：令 ββ=-（二）两角和的余弦公式（学生回答）结论：）（两角和与差的余弦公式βα±C =±)cos(βα βαβαsin sin cos cos注： 1公式中两边的符号正好相反（一正一负）；2式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；3式子中α、β是任意的。

§3.1.1两角和与差的余弦（二）
（一）教学目标
1、知识目标
（1）利用两角差的余弦得到两角和的余弦
（2）灵活正反运用两角和与差的余弦
2、能力目标
（1）通过两角差的余弦会转化成两角和的余弦，发现区别，转化区别，培养学生化未知为已知的能力。

（2）培养学生灵活应用公式的能力。

3、情感目标：通过对公式的灵活应用，培养学生融会贯通的能力。

（二）教学重点、难点
重点：两角和与差的余弦公式的灵活应用
难点：（1）两角差的余弦过渡成两角和的余弦
（2）两角和与差的灵活应用
（三）教学方法
练习讲解法
的和
（60o+45o）
o
o45
sin⋅
60
sin。

案例 3.1.1两角和与差的余弦
（一）教学目标
知识目标：掌握用向量方法建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
能力目标：进一步理解向量法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，
进而获取知识的能力．
情感目标：培养学生探索和创新的意识，构建良好的数学思维品质．
（二）教学重点，难点
本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式．难点是两角差的余弦公式的推导与证明．
（三）学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
复习：1。

余弦的定义
在第一章三角函数的学习当中我们知道，。

3.1.1 两角和与差的余弦明目标、知重点 1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法推导出公式的主要步骤.3.熟记两角和、差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.两角和与差的余弦公式：C α＋β：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.C α－β：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.我们在初中时就知道cos 45°＝22，cos 30°＝32，由此我们能否得到cos 15°＝cos(45°－30°)＝？大家可以猜想，是不是等于cos 45°－cos 30°呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式.探究点一 两角差余弦公式的探索思考1 有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举两例加以说明.答 不正确.例如：当α＝π2，β＝π4时， cos(α－β)＝cos π4＝22， 而cos α－cos β＝cos π2－cos π4＝－22， cos(α－β)≠cos α－cos β；再如：当α＝π3，β＝π6时，cos(α－β)＝cos π6＝32， 而cos α－cos β＝cos π3－cos π6＝1－32， cos(α－β)≠cos α－cos β.思考2 请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想.①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝1＝cos 0°；②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝32＝cos 30°； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0＝cos(－90°)；④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝12＝cos(－60°). 猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)；即：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.探究点二 两角差余弦公式的证明思考 如图，以坐标原点为中心，作单位圆，以Ox 为始边作角α与β，设它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，请回答下列问题：(1)P 点坐标是(cos α，sin α)，向量OP →＝(cos α，sin α)，|OP →|＝1.Q 点坐标是(cos β，sin β)，向量OQ →＝(cos β，sin β)，|OQ →|＝1.(2)当α为钝角，β为锐角时，α－β和向量OP →与OQ →的夹角〈OP →，OQ →〉之间的关系是：α－β＝〈OP →，OQ →〉；当α为锐角，β为钝角时，α－β和向量OP →与OQ →的夹角〈OP →，OQ →〉之间的关系是：α－β＝－〈OP →，OQ →〉；当α，β均为任意角时，α－β和〈OP →，OQ →〉的关系是：α－β＝2k π±〈OP →，OQ →〉，k ∈Z .(3)向量OP →与OQ →的数量积OP →·OQ →＝|OP →||OQ →|·cos 〈OP →，OQ →〉＝cos(α－β)；另一方面，OP →与OQ→的数量积用点坐标形式表示：OP →·OQ →＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β.从而，对任意角α，β均有cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.例1 利用和、差角余弦公式求cos 75°、cos 15°的值.解 cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24；cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. 反思与感悟 在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题.然后利用公式化简求值.而把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos 15°＝cos(60°－45°)，要学会灵活运用.跟踪训练1 求cos 105°＋sin 195°的值.解 cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(90°＋105°)＝cos 105°＋cos 105°＝2cos 105°＝2cos(135°－30°)＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)＝2⎝⎛⎭⎫－22×32＋22×12＝2－62. 例2 已知sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－513，β是第三象限角，求cos(α－β)的值. 解 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45. 由此得cos α＝－1－sin 2α＝－ 1－⎝⎛⎭⎫452＝－35， 又因为cos β＝－513，β是第三象限角， 所以sin β＝－1－cos 2β＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－5132＝－1213. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－513＋45×⎝⎛⎭⎫－1213＝－3365. 反思与感悟 (1)注意角α、β的象限，也就是符号问题.(2)三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12，α＝12等.跟踪训练2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2的值.解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－181＝459， cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－49＝53. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. 探究点三 两角和与差的余弦公式的应用思考1 若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？答 cos α＝cos ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)·sin β.思考2 利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？答 cos β＝cos ＝cos(α－β)cos α＋sin(α－β)·sin α.思考3 若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？答 cos(α－β)＝2－a 2－b 22. 例3 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求β的值. 解 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314. 又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.又∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π3. 反思与感悟 (1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找区间)；③确定角的值.(2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.跟踪训练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值.解 由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213， 得sin(α－β)＝513， 由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213， 得sin(α＋β)＝－513. cos 2β＝cos＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又∵α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2. ∴2β＝π，则β＝π2.1.cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )A.12B.13C.32D.33答案 A解析 cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12，故选A. 2.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是( )A.32B.12C.－32 D.－12 答案 B解析 sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos60°＝12. 3.12sin 60°＋32cos 60°＝ . 答案 32解析 原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32. 4.已知锐角α、β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β. 解 ∵α、β为锐角且sin α＝55，cos β＝31010， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255， sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255·31010－55·1010＝22. 由0<α<π2，0<β<π2得0<α＋β<π， 又cos(α＋β)>0，∴α＋β为锐角，∴α＋β＝π4.1.公式C α－β与C α＋β都是三角恒等式，既可正用，也可逆用.要注意公式的结构特征. 如：cos αcos β±sin αsin β＝cos(α∓β).2.要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解.3.注意角的拆分技巧的积累，如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝α＋β2＋α－β2等.一、基础过关1.化简：cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得( )A.12B.－12C.32D.－32答案 A解析 原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos ＝cos(－60°)＝12. 2.计算：cos 70°cos 335°＋sin 110°sin 25°的结果是( )A.1B.22C.32D.12答案 B解析 原式＝cos 70°cos 25°＋sin 70°sin 25°＝cos(70°－25°)＝cos 45°＝22. 3.在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( )A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形 答案 D解析 ∵sin A sin B <cos A cos B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0即cos(π－C )>0，∴cos C >0，∴cos C <0，∵0<C <π，∴π>C >π2， ∴△ABC 为钝角三角形.4.已知点A (cos 80°，sin 80°)，B (cos 20°，sin 20°)，则|AB →|等于( ) A.12 B.22 C.32 D.1答案 D解析 |AB →| ＝(cos 80°－cos 20°)2＋(sin 80°－sin 20°)2 ＝2－2(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝2－2cos 60°＝ 2－2×12＝1. 5.若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( ) A.－55 B.55 C.11525D.5 答案 B解析 ∵sin(π＋θ)＝－35，∴sin θ＝35， ∵θ是第二象限角，∴cos θ＝－45. ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，∴cos φ＝－255， ∵φ是第三象限角，∴sin φ＝－55. ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－255＋35×⎝⎛⎭⎫－55＝55.6.若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝ . 答案 83解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝83. 7.已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求cos(α－β). 解 由cos α－cos β＝12两边平方得 (cos α－cos β)2＝cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝14.①由sin α－sin β＝－13两边平方得 (sin α－sin β)2＝sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝19.② ①＋②得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1336. ∴cos αcos β＋sin αsin β＝5972， ∴cos(α－β)＝5972. 二、能力提升8.将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∵m >0，∴m 的最小值为π6. 9.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是 .答案 －12解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ ①cos α＋cos β＝－cos γ ② ①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－12. 10.已知α、β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β的值为 . 答案 －π4解析 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝255，sin β＝31010， ∵sin α<sin β，∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22， ∴α－β＝－π4. 11.已知：cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β). 解 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π. 因为cos(2α－β)＝－22，所以π2<2α－β<π. 所以sin(2α－β)＝22. 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2. 因为sin(α－2β)＝22，所以0<α－2β<π2， 所以cos(α－2β)＝22， 所以cos(α＋β)＝cos＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－22×22＋22×22＝0. 12.求2cos 50°－3sin 10cos 10°的值. 解 原式＝2cos (60°－10°)－3sin 10°cos 10°＝2(cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°)－3sin 10°cos 10°＝2cos 60°cos 10°＋2sin 60°sin 10°－3sin 10°cos 10°＝cos 10°＋3sin 10°－3sin 10°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 三、探究与拓展13.已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈，f (5α＋53π)＝－65，f (5β－56π)＝1617，求cos αcos β－sin αsin β的值. (3)求f (x )的单调递增区间.解 (1)T ＝2πω＝10π，所以ω＝15. (2)f (5α＋53π) ＝2coshslx3y3h 15(5α＋53π)＋π615(5β－56π)＋π60，π210k π－35π6，10k π－5π6(k ∈Z ).。