2017年春季新版北师大版九年级数学下学期2.3、确定二次函数的表达式课件20

【例题】
【例2】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1，4），（2，7）三 点，求这个函数的表达式.
解析： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，
由条件得：
a-b+c=10， a+b+c=4， 解方程组得： 4a+2b+c=7，
a=2, b=-3, c=5
因此，所求二次函数的表达式是
y=2x2-3x+5.
∴所求抛物线的表达式为
C
O
B
x
y
1 2 2 x x 1. 3 3
【议一议】
一个二次函数的图像经过A（0，-1），B（1， 2），C（2，1）三点，你能确定这个二次函 数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行 交流.
【议一议】
解析（一）设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c, 根据题意，得
3.（潼南·中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形， 点C的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发， 沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC 的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN 的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4）,则 能大致反映S与t的函数关系的图象是(
ห้องสมุดไป่ตู้
1．（衢州·中考）下列四个函数图象中，当x＞0时，
y随x的增大而增大的是(
)
C
2.（莆田·中考）某同学用描点法画y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列出
如下表格:
x y 0 3 1 0 2 2 3 0 4 3
经检查，发现只有一处数据计算错误，请你写出这个二次函数的表达 式 . y=x24x+3

北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式 PPT优
【变式二】(变换问法)过点A(1，0)，B(3，0)，C(-1，2)三点的抛物线的顶点坐标是 ( )
D
【变式二】(变换问法)过点A(1，0)，B(3，0)，C(-
感谢观看，欢迎指导！
善良、淳朴、真诚。三婶买了老宅并把钥匙交给了我们，体现了她的
y=x2+2x(答案不唯一)
y=-2(x+2)2+1
2.写出经过点(0，0)，(-2，0)的一个二次函数的表达y
知识点一 由顶点式求二次函数表达式(P43随堂练习T1拓展)【典例1】(2019·汕头潮阳区一模)若二次函数图象的顶点坐标是(2，1)，且经过点(1，-2)，求此二次函数的表达式.
知识点一 由顶点式求二次函数表达式(P43随堂练习T1拓展)
【母题变式】 【变式一】(变换条件)根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的表达式为 ( )
A
【母题变式】A 北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数
x
…
-1
0
1
2
…
y
…
-1
-
-2
-
…
x…-1012…y…-1- -2- …北师大版九年级
D
【题组训练】 D北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的
★2.若二次函数的图象经过(0，3)，(-2，-5)，(1，4)三点，则它的表达式为 世纪金榜导学号( )A.y=x2+6x+3 B.y=-3x2-2x+3C.y=2x2+8x+3 D.y=-x2+2x+3

九年级数学北师大版·下册
第二章 二次函数
2.3 确定二次函数的表达式（1）
一、新课引入
基础回顾 1.二次函数表达式的一般形式是什么?
y=ax² +bx+c (a,b,c为常数,a ≠0) 2. 二次函数表达式的顶点式是什么?
y=a(x-h)2+k (a ≠0)
一、新课引入
3. 我们在用待定系数法确定一次函数 y=kx+b(k,b 为
解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3） ， 因此设它的关系式为 y a ( x 4 ) 3 又∵图象过点（10，0） ∴ (1 0 4 ) a 3 0
2
2
解得
a
1 12
y 1 12 (x 4) 3
2
∴图象的表达式为
二、新课讲解
用心想一想 确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流.
常数，k≠0)的关系式时，通常需要
y 条件.确定反比例函数 k x
2 个独立的
（k≠0)关系式时，通
常需要 1 个条件.
4.如果确定二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0） 的关系式时，通常又需要几个条件？
二、新课讲解
一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离 x(m)之间的关系如图所示，其中（4，3）为图象的顶 点，你能求出其表达式吗？
三、归纳小结
通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数 表达式采用的一般方法是什么? 待定系数法 你能否总结出上述解题的一般步骤?
(1)设二次函数的表达式；
(2)根据图象或已知条件列方程(或方程组)； (3)解方程（或方程组）,求出待定系数；
(4)答：写出二次函数的表达式.

为(8,9)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为
(8,9)，因此，可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9. 又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得
1 a . 解得 8
1=a(0-8)2+9.
1 2 y ( x 8) 9. ∴所求的二次函数的表达式是 8
1 2 x
归纳总结 交点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交 点法. 其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于
a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
三 交点法求二次函数的表达式
选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函
数的表达式. 解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点. 所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2 为交点的横坐标.因此得 y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得 a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是 y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. y 2 1 O -4 -3 -2 -1-1 -2 -3 -4 -5
.ห้องสมุดไป่ตู้
3 y= x2 4
2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式
2+6 y =-2( x -1) 是
. 顶点坐标是（1，6）

所以
4a 2
4a
2
22aa11153,.解得ba22,.
所以这个二次函数的表达式为 y=2x2-2x+1.
想一想
在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可 以确定它的表达式？ 二次函数 y=ax2+bx+c 可化为 y=a（x-h）2+k，顶点是 （h，k）.如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另 一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 中一项系数，再知道图象上 两点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.
例 1 已知二次函数 y=ax2+c 的图象经过点（2，3） 和（-1，-3），求这个二次函数的表达式.
做一做
已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标 为 1，且经过点（2，5）和（-2，13）， 求这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式为 y=ax2+bx+1.
因为经过点（2，5）和（-2，13），
练习
1.抛物线 y=x2+4x+3 的开口向 上 ，对称轴是直 线 x=-2 ，顶点坐标为（-2，-1），图象与 x 轴 的交点为 （-3,0），（-1,0） ，与 y 轴的交点 为 （0，3）. 2.二次函数 y=3（x+1）2+4 的顶点坐标为（-1，4）.
一名学生推铅球，铅球行进高度 y（m）与水 平距离 x（m）之间的关系如图，你能求出 y 与 x 之间的关系式吗？
想一想
确定二次函数的表达式需要几个条件？ 与同伴交流.
二次函数有如下三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）； （2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）； （3）两根式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.

解析:设二次函数的解析式为y=a(x-3)(x-4),而a=1,所以二次函数 的解析式y=(x-3)(x-4)=x2-7x+12.故填y=x2-7x+12.
4.已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函 y=x2-2x-3 数的表达式为 . 解析:∵抛物线过(0,-3),∴c=-3,设二次函数的表达式 为y=ax2+bx-3, 把(-1,0),(3,0)分别代入二次函数表达式 y=ax2+bx-3中,得 a b 3=0，
泉喷出的最远距离,即地面点A距离点B所在的柱子的距 离(OA的长度)是3 m,李冰同学建立了如图所示的直角坐
3 5 标系,得到该抛物线还经过(2,1), 2 ， 4
两点,你能
1.某抛物线的顶点坐标为(1,-2),且经过(2,1),则 抛物线的解析式为 ( B )
检测反馈
A.y=3x2-6x-5
C.y=3x2+6x+1
B.y=3x2-6x+1
D.y=3x2+6x+5
解析:∵抛物线的顶点坐标为(1,-2),且经过(2,1),∴设抛物线的解析 式为y=a(x-1)2-2,把(2,1)代入得1=a(2-1)2-2,解得a=3,∴y=3(x-1)22=3x2-6x+1.故选B. 2. 二次函数的图象如图所示,则它的解析式正确的是( D ) A.y=2x2-4x B.y=-x(x-2) C.y=-(x-1)2+2 D.y=-2x2+4x 解析:根据图象得:抛物线的顶点坐标为
解:∵(4,3)是抛物线的顶点坐标,∴设二次 函数表达式为y=a(x-4)2+3, 把点(10,0)代入y=a(x-4)2+3,解得a= 之间的函数表达式为y=-

(1).图象经过(0，1)， (1，6) ， (-1，0) 三点；
(2).图象的顶点(2，2)， 且经过点(3，1) ；
(3).图象经过(-2，0)， (3，0) ，(2，-4)。
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(4) .已知抛物线的对称轴是直线x=-2，且经过点 (1,13)，(-4,3)，求抛物线解析式
y=2(x+2)2-5=2x2+8x+3(a≠0)
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例1：已知抛物线图象上三个点的坐标（1，0）， （3，0），（2，-1），求二次函数关系式。
解法一: 设所求二次函数关系式为：y = ax2+bx+c.
又抛物线过点（1，0），（3，0），（2，-1），
依题意得: a+b+c=0
a 143; 2b + c=-1
第 二章 二次函数
第二章 二次函数
3 确定二次函数的表达式
（第2课时）
学习目标
1、会用待定系数法确定二次函数表达式.(重点） 2、能根据抛物线上两个或三个点的坐标，选择恰当的 表达式确定二次函数的表达式。（难点）
温故知新
1、一般地，形如y＝ax2＋bx＋c (a,b,c是常数， a≠0)的函数，叫做二次函数，所以，我们把 ________________叫做二次函数的一般式。

∵该抛物线又经过点(0，-2)，
∴− = ( − )( =
∴该抛物线的解析式为： =



−



− ．

(

− )( + )
5. 已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，-3）,且过点P（2，0），
求这个二次函数的表达式.
课堂总结
待定系数法
已知条件
求二次函数解析式
所选方法
①已知三点坐标
用一般式法：y=ax2+bx+c
②已知顶点坐标
用顶点法：y=a(x-h)2+k
或对称轴或最值
③已知抛物线与
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
x轴的两个交点
(x1,x2为交点的横坐标）
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
课堂练习
1. 一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝
﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（
A．y＝4x2+3x﹣5B．y＝2x2+x+5
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
y
2
1
O
-4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
1 2 x
提炼概念
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；

解 ： 设所求的二次函数表达式为 ，yax2bxc (a≠0)
c=1 由条件得： 4a+2b+c=5
4a-2b+c=13
解方程组得
a=2 b=-2 c=1
因此，所求二次函数的表达式是 y=2x2-2x+1
已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和 （-2，13），求这个二次函数的表达式.
y=-(x+1)2+1
2、已知二次函数y＝x2+bx+c的图象 经过点（2，3）和（1，1），求出这 个二次函数的表达式
y＝x2-x+1
在什么情况下，一个二次函数只知道 其中两点就可以确定它的表达式？
1.用顶点式y=a(x－h)2+k时，知道顶点（h,k）和图 象上的另一点坐标,就可以确定这个二次函数的表达 式。
2.3 确定二次函数的表达式 （第1课时）
1.会用待定系数法确定二次函数 的表达式.
2.会求简单的实际问题中的二 次函数表达式.
（一）二次函数表达式有
一般式：y=ax2+bx+c (a≠0) 顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)
相信自己，推荐自我!
解：设抛物线表达式为y=ax2(a≠0) 因为 抛物线过点（1，－2） 所以 a=-2 所以 抛物线表达式为y=-2x2
c=5.
因此，所求二次函数的表达式是
y=2x2-3x+5.
感悟与反思
我感触最深的是…… 我已领悟到……
作业：1、书本40页练习1、2题， 2、43页11题。
谢谢指导!
在我的印象里，他一直努力而自知，每天从食堂吃饭后，他总是习惯性地回到办公室看厚厚的专业书不断提升和充实自己，他的身上有九零后少见的沉稳。同事们恭喜他，大多看 到了他的前程似锦，却很少有人懂得他曾经付出过什么。就像说的：“如果这世上真有奇迹，那只是努力的另一个名字，生命中最难的阶段，不是没有人懂你，而是你不懂自已。” 而他的奇迹，是努力给了挑选的机会。伊索寓言中，饥饿的狐狸想找一些可口的食物，但只找到了一个酸柠檬，它说，这只柠檬是甜的，正是我想吃的。这种只能得到柠檬，就说 柠檬是甜的自我安慰现象被称为：“甜柠檬效应”。一如很多人不甘平庸，却又大多安于现状，大多原因是不知该如何改变。看时，每个人都能从角色中看到自已。高冷孤独的安 迪，独立纠结的樊胜美，乐观自强的邱莹莹，文静内敛的关睢尔，古怪精灵的曲筱绡。她们努力地在城市里打拼，拥有幸或不幸。但她依然保持学习的习惯，这样无论什么事她都 有最准确的判断和认知；樊胜美虽然虚荣自私，但她努力做一个好HR，换了新工作后也是拼命争取业绩；小蚯蚓虽没有高学历，却为了多卖几包咖啡绞尽脑汁；关睢尔每一次出镜 几乎都是在房间里戴着耳机听课，处理文件；就连那个嬉皮的曲筱潇也会在新年之际为了一单生意飞到境外……其实她们有很多路可以走：嫁人，啃老，安于现状。但每个人都像 个负重的蜗牛一样缓缓前行，为了心中那丁点儿理想拼命努力。今天的努力或许不能决定明天的未来，但至少可以为明天积累，否则哪来那么多的厚积薄发和大器晚成？身边经常 有人抱怨生活不幸福，上司太刁，同事太蛮，公司格局又不大，但却不想改变。还说：“改变干嘛？这个年龄了谁还能再看书考试，混一天是一天吧。”一个“混”字就解释了他 的生活态度。前几天我联系一位朋友，质问为什么好久不联系我？她说自已每天累的像一条狗，我问她为什么那么拼？她笑：“如果不努力我就活得像一条狗了。”恩，新换的上 司，海归，虽然她有了磨合几任领导的经验，但这个给她带来了压力。她的英语不好，有时批阅文件全是大段大段的英文，她心里很怄火，埋怨好好的中国人，出了几天国门弄得 自己像个洋鬼子似的。上司也不舒服，流露出了嫌弃她的意思，甚至在一次交待完工作后建议她是否要调一个合适的部门？她的脸红到了脖子，想着自己怎么也算是老员工，由她 羞辱？两个人很不愉快。但她有一股子倔劲，不服输，将近40岁的人了，开始拿出发狠的学习态度，报了个英语培训班。回家后捧着英文书死啃，每天要求上中学的女儿和自己英 语对话，连看电影也是英文版的。功夫不负有心人，当听力渐渐能跟得上上司的语速，并流利回复，又拿出漂亮的英文版方案，新上司看她的眼光也从挑剔变柔和，某天悄悄放了 几本英文书在她桌上，心里突然发现上司并没那么讨厌。心态好了，她才发现新上司的优秀，自从她来了后，部门业绩翻了又翻，奖金也拿到手软，自己也感觉痛快。她说：这个 社会很功利，但也很公平。别人的傲慢一定有理由，如果想和平共处，需要同等的段位，而这个段位，自己可能需要更多精力，但唯有不断付出，才有可能和优秀的人比肩而立。 人为什么要努力？一位长者告诉我：“适者生存。”这个社会讲究适者生存，优胜劣汰。虽然也有潜规则，有套路和看不见的沟沟坎坎，但一直努力的人总会守得云开见月明。有 些人明明很成功了，但还是很拼。比如剧中的安迪，她光环笼罩，商场大鳄是她的男闺蜜，不离左右，富二代待她小心呵护，视若明珠，加上她走路带风，职场攻势凌历，优秀得 让身边人仰视。这样优秀的人，不管多忙，每天都要抽出两个小时来学习。她的学习不是目的，而是能量，能让未��