4.2 二次函数的性质(北师大版)

北师大二次函数知识点总结二次函数作为高中数学中的重要内容之一，是函数学习的基础。

下面将对北师大的二次函数知识点进行总结。

一、二次函数的定义和特点二次函数是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。

它的图像是抛物线。

1. 二次函数的图像特点：- 开口方向：若a > 0，抛物线开口向上；若a < 0，抛物线开口向下。

- 顶点坐标：顶点的横坐标x = -b / (2a)，纵坐标y = f(x)。

- 对称轴：过顶点的直线，方程为x = -b / (2a)。

- 判别式：Δ = b² - 4ac，当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实根；当Δ < 0时，方程无实根。

2. 二次函数的变形：- 平移变形：对原函数y = ax² + bx + c，平移后的函数为y = a(x - h)² + k，其中(h, k)为平移的距离。

- 缩放变形：对原函数y = ax² + bx + c，缩放后的函数为y = a(x - h)² + k，其中a为缩放参数。

二、二次函数的图像与解析式1. 根据解析式确定图像：- 当a > 0时，抛物线开口向上，顶点在y轴上方，图像开口向上。

- 当a < 0时，抛物线开口向下，顶点在y轴下方，图像开口向下。

2. 根据图像确定解析式：- 顶点坐标：(h, k)- 根据开口方向和对称性确定a的正负- 利用顶点坐标推导解析式三、二次函数的性质和应用1. 判别式的意义：- Δ > 0时，二次函数与x轴有两个交点，此时方程有两个不相等的实根。

- Δ = 0时，二次函数与x轴有一个交点，此时方程有两个相等的实根。

- Δ < 0时，二次函数与x轴没有交点，此时方程无实根。

2. 最值和最值点：- 最值点是二次函数的顶点，即极值点。

安边中学 高一 年级 1学期 数学 学科导学稿 执笔人： 邹英 总第 课时备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间： 2013.9 集体备课 个人空间一、课题：2.4.2二次函数的性质二、学习目标1、掌握研究二次函数常用的方法—配方法；2、会求二次函数在闭区间上的最值（值域）；三、教学过程【温故知新】问题1、如何由2x y =的图象得到)0(2≠=a ax y 的图象？问题2、如何由2ax y =的图象得到k h x a y ++=2)(的图象？【导学释疑】问题1、完成下表函数 二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）性质 a>0a<0 1、抛物线开口1、抛物线开口2、对称轴是 ，顶点坐标是2、对称轴是 ，顶点坐标是3、在区间,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是减函数，在区间,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数 3、在区间 上是增函数，在区间 上是减函数4、抛物线有最低点，当2b x a =-时，y 有最小值，y min = 4、抛物线有最高点，当2b x a=-时，y 有最大值， y max =问题2、0<a 时，二次函数的单调性你能证明吗？【巩固提升】例1、见P 46页例2。

例2、见P 46页例3。

【检测反馈】1、 用配方法求下列函数的对称轴和定点坐标，并作出图像，指出其单调区间。

（1）()f x =x 2+8x+3； （2）()f x =5x 2-4x-3；2、已知二次函数()f x =x2-2x+3，（1）、当[)2,0x ∈-时，求()f x 的最值；（2）、当[)2,3x ∈-时，求()f x 的最值；【学生小结】反思栏。

二次函数知识点归纳1.定义：一般地，如果y =ax +bx +c (a ,b ,c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数y =ax 的性质（1）抛物线y =ax 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数y =ax 的图像与a 的符号关系.①当a >0时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当a <0时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为y =ax （a ≠0）.3.二次函数y =ax +bx +c 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数y =ax +bx +c 用配方法可化成：y =a (x -h )22222222b 4ac -b 2+k 的形式，其中h =-，k =.2a 4a22225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y =ax ；②y =ax +k ；③y =a (x -h )；④y =a (x -h )+k ；2⑤y =ax +bx +c .6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当a >0时，开口向上；当a <0时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作x =h .特别地，y 轴记作直线x =0.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法b 4ac -b 2b b ⎫4ac -b 2⎛2（-，）（1）公式法：y =ax +bx +c =a x +，∴顶点是，对称轴是直线x =-.⎪+2a 4a 2a 2a 4a ⎝⎭（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x -h )+k 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线22x =h .（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y =ax +bx +c 中，a ,b ,c 的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y =ax +bx +c 的对称轴是直线222x =-b b b ，故：①b =0时，对称轴为y 轴；②>0（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③<0（即a 、2a a a b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线y =ax +bx +c 与y 轴交点的位置.当x =0时，y =c ，∴抛物线y =ax +bx +c 与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①c =0，抛物线经过原点;②c >0,与y 轴交于正半轴；③c <0,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向当a >0时开口向上对称轴顶点坐标（0,0）(0,k )(h ,0)(h ,k )22b <0.ay =ax 2y =ax +k y =a (x -h )2x =0（y 轴）x =0（y 轴）x =h x =hx =-b 2a 22y =a (x -h )+k 当a <0时开口向下y =ax +bx +c 2b 4ac -b 2，(-)2a 4a11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y =ax +bx +c .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y =a (x -h )+k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.22（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2).12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线y =ax +bx +c 得交点为(0,c ).2（2）与y 轴平行的直线x =h 与抛物线y =ax +bx +c 有且只有一个交点(h ,ah +bh +c ).22（3）抛物线与x 轴的交点2二次函数y =ax +bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二次方程ax +bx +c =0的两2个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔∆>0⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔∆=0⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔∆<0⇔抛物线与x 轴相离.（4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax +bx +c =k 的两个实数根.（5）一次函数y =kx +n (k ≠0)的图像l 与二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)的图像G 的交点，由方程组22y =kx +ny =ax +bx +c 2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.0)，B (x 2，0)，由于x 1、x 2是（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax +bx +c 与x 轴两交点为A (x 1，2方程ax +bx +c =0的两个根，故2b c x 1+x 2=-,x 1⋅x 2=a aAB =x 1-x 2=(x 1-x 2)2=(x 1-x 2)24c b 2-4ac ∆⎛b ⎫-4x 1x 2= -⎪-==a a a ⎝a ⎭2。

课题：4.2二次函数性质导学案自主备课一、学习目标1、掌握二次函数常用的配方法方法，体会数形结合思想；2、研究二次函数的对称性，值域和单调性；3、会求二次函数在闭区间上的最值。

重点 理解并掌握二次函数的图像和性质。

难点 利用二次函数的图像性质解决一些实际问题。

二、教学过程【复习回顾】【导学释疑】认真阅读教材P45-P47,认真独立完成本节的题目.1、二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象是一条抛物线，对称轴方程为__________，顶点坐标是_________（1）当a ＞0时，抛物线开口向上，函数在________上递减，在____________上递增，当ab x 2＝－时min [()]f x ＝____________； （2）当a ＜0时，抛物线开口向下，函_______上递增，在_________上递减，当ab x 2＝－时，max [()]f x =_______ 2 、二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）当________时，函数图像与x 轴有两个交点。

当△=240b ac -=，图像与x 轴有_____个交点。

当△=24b ac -________，函数与x函数二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）性质 a>0 a<0 1、抛物线开口 1、抛物线开口 2、对称轴是 ， 顶点坐标是 2、对称轴是 ， 顶点坐标是 3、在区间,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是减函数，在区间,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数 3、在区间 上是增函数， 在区间 上是减函数 4、抛物线有最低点，当2b x a=-时，y 有最小值，y min = 4、抛物线有最高点，当2b x a =-时，y 有最 大值，y max =轴没有交点。

3、求函数223y x x =--+的开口方向，对称轴，顶点坐标和单调性。

【例题讲解】知识点一 二次函数的性质例1、用配方法求下列函数的对称轴和顶点坐标，并作出图像，指出其单调区间。

4 二次函数性质再研究4.2二次函数的性质教学目标：1、掌握二次函数的概念、图像特征；2、能熟练地对一般二次函数的解析式配方,研究二次函数的对称性、值域和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值；3、逐步培养学生对参数的讨论能力；4、通过本节学习进一步体会数形结合思想的作用，感受数学中数与形的辩证统一。

重点难点：1．教学重点：二次函数的图像性质 .2．教学难点：利用二次函数的图像性质解决一些实际问题.教学过程：一、复习回顾1.二次函数解析式的三种形式：⑴一般式 )0(2≠++=a c bx ax y ; ⑵顶点式 )0()(2≠+-=a k h x a y ; ⑶ 交点式)0())((21≠--=a x x x x a y（任意二次函数解析式都有顶点式和一般式，但不一定有交点式。

）2.求二次函数的解析式常见方法是待定系数法——根据题设条件选取二次函数解析式的某种形式,将已知条件代入解析式，求解关于系数的方程（组）.3. 求二次函数的顶点坐标常用配方法.(要熟练掌握配方法.) 二、学习新知将二次函数2(0)y ax bx c a =++≠配成2()(0)y a x h k a =++≠2(0)y ax bx c a =++≠2b c a x x a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2222222b b b c a x x a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质练一练：1、把下列二次函数配方2(1)()352f x x x =+- 23(2)()24f x x x =- 2(3)()361f x x x =+- 三、典型例题例2 将函数y x x =--+2361配方,确定其对称轴,顶点坐标,求出它的单调区间及最大值或最小值,并画出它的图像.注：在配方后选取函数的关键点,使画图的操作更简便,图像更精确例3 绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一各饮料.根据以前的统计数据,若零售价定为每瓶4元,每月可销售400瓶;若每瓶售价每降低0.05元,则可多销售40瓶.在每月的进货量当月销售完的前提下,请你给该商店设计一个方案:销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时,才可获得最大利润?四、课堂练习【课本第46页练习2、3、4】2、从1990年到1997年,某地区每人每年吃的蔬菜平均数量(㎏)可以用函数c(t )=2.7t+165表示,在此期间,人口函数可以用p (t )=2.6t+248表示,其中t 代表年数.那么,每年该地吃掉的蔬菜总量就是上述两个式子的乘积,即()27.021098.640920v t t t =++.试求1995年该地消耗的蔬菜总量.（47764.32㎏）3、指出下列函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴,以及函数的单调性: (1) 221y x =+; (2) ()221y x =+; (3) 2652y x x =--; (4) ()()12y x x =-+-4、汽车使用单位容积燃料行驶的千米数是行车速度的函数.由实验可知这个函数是2()0.011.2 5.8f x x x =-+-.求(50)f ,并说明它的意义;当速度为多少时,汽车最省油?解答：其意义是速度为50km/h 时,单位容积燃料行驶29.2km 速度为60km/h 时,汽车最省油 五、补充练习1、函数24 5y x mx =-+的对称轴为2x =-则1x =时y =____ A –7 B 1 C 17 D 252、23 (26)3y x m x m =-+++的值域为()0,+∞，则m 的范围是 ()A 答案：A {}-3,0B []-3,0C ()-3,0D ∅3、26y x x k =--+图像顶点在x 轴上，k =___________ 4、 ()y f x =的图像关于直线1x =对称，当1x ≤时，21y x =+;则1x >时， y =_______()245y x x =-+答案：5、函数()322+-=mx x x f ，当]1,(-∝-∈x 时，是减函数，则实数m 的取值范围是6、当22≤≤-x 时，求二次函数x x y 622+-=的最大、最小值。