二次函数知识点归纳
1. 定义：一般地，如果 y ax 2 bx c （a,b,c 是常数，a 0），那么y 叫做x 的二次函数.
2. 二次函数y ax 2的性质
（1） 抛物线y ax 2的顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴.
（2） 函数y ax 2的图像与a 的符号关系.
① 当a 0时 抛物线开口向上 顶点为其最低点； ② 当a 0时
抛物线开口向下
顶点为其最高点.
（3） 顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y ax 2（a 0）.
3. 二次函数 y ax 2 bx c 的图像是对称轴平行于（包括重合）
y 轴的抛物线.
4. 二次函数y ax 2 bx c 用配方法可化成：
y ax h 2 k 的形式，其中h —， k 4ac _ .
2a
4a
2 2 2 2
5. 二次函数由特殊到一般， 可分为以下几种形式： ①y ax 2 :②y ax 2 k :③y a x h 二④y a x h k ；
2
⑤ y ax bx c .
6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 ① a 的符号决定抛物线的开口方向：当
a 0时，开口向上；当 a 0时，开口向下；
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同
.
② 平行于y 轴（或重合）的直线记作 x h .特别地，y 轴记作直线x 0.
如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同, 只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y a x h 2 k 的形式，得到顶点为（h , k ），对称轴是直线
x h .
（3 ）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对
称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点
.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数, (1 )公式法：y ax 2 bx c
b a x
2a
2 2
4ac b
b 4a
c b
,•••顶点是( ，- ),对称轴是直线x
4a 2a 4a b
2a
9.抛物线y ax 2 bx c 中，a,b,c 的作用
(1) a 决定开口方向及开口大小，这与 y ax 2中的a 完全一样.
(2) b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线y ax 2 bx c 的对称轴是直线
x
——，故：①b 0时，对称轴为y 轴；②- 0 (即a 、b 同号)时，对称轴在 y 轴左侧；③一 0 (即a 、
2a a a
b 异号)时，对称轴在 y 轴右侧.
(3)c 的大小决定抛物线 y ax 2 bx c 与y 轴交点的位置
②c 0,与y 轴交于正半轴；③ c 0,与y 轴交于负半轴
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立
.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 - 0.
a
(1 )一般式：y ax bx c .已知图像上三点或三对 x 、y 的值，通常选择一般式. (2 )顶点式：y a x h 2 k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式 (3)交点式：已知图像与
x 轴的交点坐标X 1、X 2，通常选用交点式：
y a x 为x X 2
12.直线与抛物线的交点
(1) y 轴与抛物线y
ax 2 bx c 得交点为(0, c ).
(2)与y 轴平行的直线x h 与抛物线y ax 2 bx c 有且只有一个交点(h , ah 2 bh c ). (3 )抛物线与x 轴的交点
当x 0时，y c ，二抛物线y
ax 2 bx c 与y 轴有且只有一个交点(
0, c ):
①c 0,抛物线经过原点
二次函数y ax 2 bx c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标 x 1、x 2，是对应一元二次方程 ax 2 bx c 0的两 个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
① 有两个交点
0 抛物线与x 轴相交；
② 有一个交点(顶点在 x 轴上) 0
抛物线与x 轴相切；
③ 没有交点
0 抛物线与x 轴相离.
(4) 平行于x 轴的直线与抛物线的交点
同(3) —样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横
坐标是ax 2 bx c k 的两个实数根.
(5) —次函数y kxnk 0的图像I 与二次函数y ax bx c a 0的图像G 的交点，由方程组 y kx n
2
訥勺解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时
I 与G 有两个交点；②方程组只有一组解时
y ax bx c I
I 与G 只有一个交点；③方程组无解时
I 与G 没有交点.
(6) 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线
y ax 2 bx c 与x 轴两交点为A x 1?0 , B x 2,0，由于x 1
、x 2
是 方程ax 2 bx c 0
的两个根，故
b
c x 1
x 2
, x-i x 2
a
a
1 2
A
-
2
：
2
[ b 4c AB x 1
x 2
v
x-i x 2
斗 x 1 x 2
4x-i x 2
J
V a a
、b 2 4ac
l a a
