下载文档原格式
2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,则cos A=()A.12B.-12C.32D.-322.(5分)(2023·连云港模拟)在△ABC中,a=5,c=3,cos A=23,则b=()A.1B.2C.3D.43.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,cos B=74,则A=()A.π6B.π3C.5π6D.π6或5π64.(5分)(2023·丰台模拟)在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos(π2+B),则C=()A.π6B.π3C.2π3D.5π65.(5分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=c2-2bc且b cos C=a sin B,则△ABC是()A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形6.(5分)(多选题)在△ABC中,已知c2=3(a2-b2),tan C=3,则下列结论正确的是()A.cos B=2 3B.tan A=2tan BC.tan B=-12D.B=45°7.(5分)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b=2,c=3,A=2B,则a=.8.(5分)(2022·上海高考)已知在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为.9.(5分)(2023·潍坊质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=2π3,则△ABC的面积为.10.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=3a sin C-c cos A.(1)求角A;(2)若a=7,b+c=19,求△ABC的面积S.11.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2(π2+A)+cos A=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.【能力提升练】12.(5分)在△ABC中,∠B=45°,c=4,只需添加一个条件,即可使△ABC存在且唯一.在条件:①a=32;②b=25;③cos C=-45中,所有可以选择的条件的序号为() A.① B.①②C.②③D.①②③13.(5分)(多选题)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,对于图2,下列结论正确的是()A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,则A'B'=2C.若AB=2A'B',则AB'=5BB'D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍14.(10分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且c=23,2sin(2C-π3)=3.(1)若a=22,求角A;(2)求△ABC面积的最大值.2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,则cos A=()A.12B.-12C.32D.-32【解析】选B.因为sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,所以由正弦定理得a2=b2+c2+bc,则cos A= 2+ 2- 22 =-12.2.(5分)(2023·连云港模拟)在△ABC中,a=5,c=3,cos A=23,则b=()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bc cos A=b2+9-4b=5,即b2-4b+4=0,解得b=2.3.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,cos B=74,则A=()A.π6B.π3C.5π6D.π6或5π6【解析】选A.因为a=2,b=3,cos B=74,所以sin B=1-cos2 =34,因为由正弦定理可得 sin = sin ,所以sin A= ·sin =2×343=12,又b>a,可得A为锐角,所以A=π6.4.(5分)(2023·丰台模拟)在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos(π2+B),则C=()A.π6B.π3C.2π3D.5π6【解析】选C.在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos(π2+B),则(a-c)(sin A+sin C)=-(a+b)sin B,由正弦定理可得(a-c)(a+c)=-(a+b)b,所以a2+b2-c2=-ab,则cos C= 2+ 2- 22 =-12,由于C∈(0,π),故C=2π3.5.(5分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=c2-2bc且b cos C=a sin B,则△ABC是()A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形【解析】选A.因为a2-b2=c2-2bc,即b2+c2-a2=2bc,所以cos A= 2+ 2- 22 =2 2 =22,又A∈(0,π),所以A=π4,因为b cos C=a sin B,利用正弦定理可得sin B cos C=sin A sin B,由sin B≠0,可得cos C=sin A=22,又C∈(0,π),所以C=π4,B=π-A-C=π2,则△ABC是等腰直角三角形.6.(5分)(多选题)在△ABC中,已知c2=3(a2-b2),tan C=3,则下列结论正确的是()A.cos B=2 3B.tan A=2tan BC.tan B=-12D.B=45°【解析】选ABD.因为c2=3(a2-b2),所以b2=a2- 23,所以cos B= 2+ 2- 22 = 2+ 2-( 2- 23)2 =23 ,故A正确;由cos B=2 3 可得3a cos B=2c,所以3sin A cos B=2sin(A+B),3sin A cos B=2sin A cos B+2cos A sin B,sin A cos B=2cos A sin B,所以tan A=2tan B,故B正确;因为tan C=3,所以tan(A+B)=tan +tan1-2tan2 =3tan 1-2tan2 =-3,1-tan tan =2tan +tan得tan B=-12或tan B=1.因为cos B=2 3 >0,所以B为锐角,tan B=1,B=45°,故C错误,D正确.7.(5分)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b=2,c=3,A=2B,则a=.【解析】因为A=2B,所以sin A=sin2B,故sin A=2sin B cos B,由正弦定理得a=2b cos B,又由余弦定理得a=2b· 2+ 2- 22 ,代入b=2,c=3,可得a2=10,故a=10.答案:108.(5分)(2022·上海高考)已知在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为.【解析】在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,利用余弦定理BC2=AC2+AB2-2AB·AC·cos A,整理得BC=7,所以 sin =2R,解得R=213.答案:2139.(5分)(2023·潍坊质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=2π3,则△ABC的面积为.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,因为b=3,a-c=2,A=2π3,所以(c+2)2=32+c2-2×3c×(-12),解得c=5,则△ABC的面积为S=12bc sin A=12×3×5×32=1534.答案:153410.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=3a sin C-c cos A.(1)求角A;(2)若a=7,b+c=19,求△ABC的面积S.【解析】(1)因为c=3a sin C-c cos A,所以sin C=3sin A sin C-sin C cos A,又sin C≠0,所以1=3sin A-cos A,即sin(A-π6)=12.又A∈(0,π),所以A=π3.(2)因为a=7,b+c=19,A=π3,所以由a2=b2+c2-2bc cos A,得7=b2+c2-bc,即7=(b+c)2-3bc,解得bc=4.所以S=12bc sin A=3.11.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2(π2+A)+cos A=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.【解析】(1)因为cos2(π2+A)+cos A=54,所以sin2A+cos A=54,即1-cos2A+cos A=54,解得cos A=12.又0<A<π,所以A=π3.(2)因为A=π3,所以cos A= 2+ 2- 22 =12,即b2+c2-a2=bc.①又b-c=33a,②将②代入①,得b2+c2-3(b-c)2=bc,即2b2+2c2-5bc=0,而b>c,解得b=2c,所以a=3c.所以b2=a2+c2,即△ABC是直角三角形.【能力提升练】12.(5分)在△ABC中,∠B=45°,c=4,只需添加一个条件,即可使△ABC存在且唯一.在条件:①a=32;②b=25;③cos C=-45中,所有可以选择的条件的序号为() A.① B.①②C.②③D.①②③【解析】选B.在△ABC中,∠B=45°,c=4,若添加条件①,则由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac cos B=10,即b=10,即△ABC存在且唯一;若添加条件②,则由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,可得:a2-42a-4=0,解得a=2(2+3),即△ABC存在且唯一;若添加条件③,则由-45<-22,得C>135°,则B+C>45°+135°=180°,即△ABC不存在,即可以选择的条件的序号为①②.13.(5分)(多选题)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,对于图2,下列结论正确的是()A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,则A'B'=2C.若AB=2A'B',则AB'=5BB'D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍【解析】选ABD.由图可知AA'=BB',所以BB'<AB',故A正确;在△ABB'中,sin∠ABB'=5314,而∠AB'B=120°,所以cos∠ABB'=1-sin2∠ '=1114,sin∠BAB'=sin(60°-∠ABB')=sin60°cos∠ABB'-cos60°sin∠ABB'=3314.由正弦定理得 'sin∠ '= 'sin∠ ',解得AB'=5.又因为AA'=BB'=3,所以A'B'=AB'-AA'=2,故B正确;不妨设AB=2A'B'=2,BB'=x,由余弦定理得AB2=BB'2+AB'2-2BB'·AB'cos120°,解得x=5-12,所以 ' '=1+ =5+1故C错误;若A'是AB'的中点,则S△ABB'=12BB'·AB'sin120°=B'C'·A'B'sin60°=2S△A'B'C',所以S △ABC =7S △A'B'C',故D 正确.14.(10分)在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且c =23,2sin(2C -π3)=3.(1)若a =22,求角A ;(2)求△ABC 面积的最大值.【解析】(1)由2sin(2C -π3)=3,得sin(2C -π3)=32,因为△ABC 为锐角三角形,所以C ∈(0,π2),则2C -π3∈(-π3,2π3),所以2C -π3=π3,得C =π3.由正弦定理得 sin = sin ,22sin =23sin π3,得sin A =22,因为A ∈(0,π2),所以A =π4;(2)由(1)可知C =π3,在锐角三角形ABC 中,c =23,C =π3,则由余弦定理得,c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,12=a 2+b 2-2ab cos π3=a 2+b 2-ab ≥2ab -ab =ab ,当且仅当a =b 时取等号,所以ab 的最大值为12,所以12ab sin C ≤12×12×32=33,当且仅当a =b 时取等号,所以△ABC 面积的最大值为33.。
课时作业(十五) [第15讲 导数的应用(二)](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( ) A ．π－1 B.π2－1C ．πD ．π＋12．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a <1 B ．0<a <1 C ．－1<a <1 D ．0<a <123．函数f (x )＝e xcos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A ．0 B.π4C ．1 D.π24．函数f (x )＝x 3－3x 2－a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是________________． 能力提升5．已知f (x )＝12x 2－cos x ，x ∈[－1，1]，则导函数f ′(x )是( )A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值，又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．既有最大值，又有最小值的奇函数6．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，若对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)7．做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积的价格为b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )A.a bB.a 2bC.b aD.b 2a8．对于R 上可导的任意函数f (x )，满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)＜2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)＞2f (1)9．[2012·浙江卷] 设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( ) A ．若e a ＋2a ＝e b＋3b ，则a >b B ．若e a ＋2a ＝e b＋3b ，则a <b C ．若e a －2a ＝e b－3b ，则a >b D ．若e a －2a ＝e b－3b ，则a <b10．[2012·荆州模拟] 设动直线x ＝m 与函数f (x )＝x 3，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |的最小值为________．11．若函数f (x )＝－x 3＋mx 2＋1(m ≠0)在(0，2)内的极大值为最大值，则m 的取值范围是________．12．若a >3，则方程x 3－ax 2＋1＝0在(0，2)上恰有________个实根．13．[2012·南京一模] 若关于x 的方程kx ＋1＝ln x 有解，则实数k 的取值范围是________．14．(10分)已知a 为实数，函数f (x )＝(x 2＋1)(x ＋a )，若f ′(－1)＝0，求函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1上的最大值和最小值．15．(13分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (L)关于行驶速度x (km/h)的函数解析式可以表示为：y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0＜x ≤120)．已知甲、乙两地相距100 km.(1)当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？难点突破16．(12分) [2012·石家庄二模] 己知函数f(x)＝(x2－ax＋a)e x(a<2，e为自然对数的底数)．(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若存在x∈[－2，2]，使得f(x)≥3a2e2，求实数a的取值范围．课时作业(十五)【基础热身】1．C [解析] f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以f (x )的最大值为f (π)＝π－sin π＝π，故选C.2．B [解析] f ′(x )＝3x 2－3a ，－3a <0得a >0，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2.又x ∈(0，1)，所以0<a <1.3．B [解析] f ′(x )＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x ＋e x(－sin x )＝e x (cos x －sin x )，则函数f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝e 0＝1，故切线的倾斜角为π4，故选B.4．(－∞，－4)∪(0，＋∞) [解析] f ′(x )＝3x 2－6x .令f ′(x )＝0有x ＝0或x ＝2. 当x <0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；当x >2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数．因为f (x )有且只有一个零点，所以f (0)<0或f (2)>0，得a >0或a <－4.【能力提升】5．D [解析] f ′(x )＝x ＋sin x ，显然f ′(x )是奇函数，令h (x )＝f ′(x )，则h (x )＝x ＋sin x ，求导得h ′(x )＝1＋cos x .当x ∈[－1，1]时，h ′(x )>0，所以h (x )在[－1，1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f ′(x )是既有最大值又有最小值的奇函数．6．B [解析] 令g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2＞0，所以由g (x )在R 上递增．又g (－1)＝f (－1)－2＝0.所以由g (x )＞0，得x ＞－1.故选B.7．C [解析] 如图，设圆柱的底面半径为R ，高为h ，则V ＝πR 2h .造价为y ＝2πR 2a ＋2πRhb ＝2πaR 2＋2πRb ·V πR 2＝2πaR 2＋2bV R，所以y ′＝4πaR －2bV R 2.由题意，令y ′＝0，得2R h ＝ba.8．C [解析] 由(x －1)f ′(x )≥0，得x ≥1时，f ′(x )≥0；x ≤1时，f ′(x )≤0， ①函数y ＝f (x )在(－∞，1]上单调递减，f (0)＞f (1)；在[1，＋∞)上单调递增，f (2)＞f (1)．所以f (0)＋f (2)＞2f (1)．②函数y ＝f (x )可为常数函数，则f (0)＋f (2)＝2f (1)．故选C.9．A [解析] 由e a＋2a ＝e b＋3b ，有e a＋3a >e b＋3b ，令函数f (x )＝e x＋3x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∵f (a )>f (b )，∴a >b ，A 正确，B 错误；由e a－2a ＝e b－3b ，有e a－2a <e b－2b ，令函数f (x )＝e x－2x ，则f ′(x )＝e x－2，函数f (x )＝e x －2x 在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，当a ，b ∈(0，ln2)时，由f (a )<f (b )，得a >b ，当a ，b ∈(ln2，＋∞)时，由f (a )<f (b )得a <b ，故C ，D 错误．10.13(1＋ln3) [解析] 由题意知|MN |＝|x 3－ln x |，设h (x )＝x 3－ln x ，h ′(x )＝3x 2－1x ，令h ′(x )＝0，得x ＝313，易知当x ＝313时，h (x )取得最小值，h (x )min ＝13－13ln 13＝131－ln 13>0，故|MN |min ＝131－ln 13＝13(1＋ln3)． 11．(0， 3) [解析] f ′(x )＝－3x 2＋2mx ＝x (－3x ＋2m )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2m 3.因为x ∈(0，2)，所以0<2m3<2，所以0<m <3.12．1 [解析] 设f (x )＝x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )，由于a >3，则在(0，2)上f ′(x )<0，f (x )为减函数，而f (0)＝1>0，f (2)＝9－4a <0，则方程x 3－ax 2＋1＝0在(0，2)上恰有1个实根．13．－∞，1e 2 [解析] 因x >0，所以分离参数可得k ＝ln x －1x ，因为方程kx ＋1＝ln x有解，所以k 的取值为函数f (x )＝ln x －1x 的值域．又f ′(x )＝1x ·x －（ln x －1）x 2＝2－ln xx2，令f ′(x )＝0，则x ＝e 2.当x ∈(0，e 2)时，f ′(x )>0；当x ∈(e 2，＋∞)时，f ′(x )<0.所以f (x )max ＝f (e 2)＝1e 2，故实数k 的取值范围是－∞，1e2.14．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1.因为f ′(－1)＝0，∴3－2a ＋1＝0，即a ＝2.所以f ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x ＋1)．由f ′(x )≥0，得x ≤－1或x ≥－13；由f ′(x )≤0，得－1≤x ≤－13.因此，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1上的单调递增区间为－32，－1和－13，1，单调递减区间为－1，－13.所以f (x )在x ＝－1取得极大值f (－1)＝2，f (x )在x ＝－13取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝5027.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝138，f (1)＝6，且5027>138，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1上的最大值为f (1)＝6，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝138.15．解：(1)当x ＝40 km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5 h ．要耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000×403－380×40＋8×2.5＝17.5 L. 所以当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 L. (2)当速度为x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶100xh ，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280x 2＋800x －154(0＜x ≤120)．h ′(x )＝x640－800x ＝x 3－803640x(0＜x ≤120)，令h ′(x )＝0，得x ＝80，当x ∈(0，80)时，h ′(x )＜0，h (x )是减函数； 当x ∈(80，120]时，h ′(x )＞0，h (x )是增函数． 所以当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25. 因此h (x )在(0，120]上只有一个极值，也是它的最小值．所以，当汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L. 【难点突破】16．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝(x 2－x ＋1)e x，切点为(1，e)， 于是有f ′(x )＝(x 2＋x )e x，k ＝f ′(1)＝2e ， 所以切线方程为y ＝2e x －e. (2)f ′(x )＝x (x －a ＋2)e x，令f ′(x )＝0，得x ＝a －2<0或x ＝0， ①当－2≤a －2<0，即0≤a <2时，当0≤a <2时，有f (2)≥f (a －2)，若存在x ∈[－2，2]使得f (x )≥3a 2e 2，只需e 2(4－a )≥3a 2e 2，解得－43≤a ≤1，所以0≤a ≤1.②当a －2<－2，即a <0时，因为e －2(4＋3a )<e 2(4－a )， 所以f (2)>f (－2)，若存在x ∈[－2，2]使得f (x )≥3a 2e 2，只需e 2(4－a )≥3a 2e 2， 解得－43≤a ≤1，所以－43≤a <0.综上所述，有－43≤a ≤1.。
