初等数学方法建模
现实世界中有很多问题，它的机理较简单，用静态,线性或逻辑的方法即可建立模型，使用初等的数学方法，即可求解，我们称之为初等数学模型。本章主要介绍有关自然数，比例关系，状态转移，及量刚分析等建模例子，这些问题的巧妙的分析处理方法，可使读者达到举一反三，开拓思路，提高分析, 解决实际问题的能力。
第一节 有关自然数的几个模型
1.1鸽笼原理
鸽笼原理又称为抽屉原理，把N 个苹果放入)(N n n < 个抽屉里，则必有一个抽屉中至少有2个苹果。 问题1：如果有N 个人，其中每个人至多认识这群人中的)(N n n <个人（不包括自己），则至少有两个人所认识的人数相等。
分析：我们按认识人的个数，将N 个人分为n ,2,1,0 类，其中)0(n k k ≤≤类，表示认识k 个人，这样形成 1+n 个“鸽笼”。若 1- 问题2：在一个边长为1的正三角形内最多能找到几个点，而使这些点彼此间的距离大于5.0. 分析：边长为1的正三角形 ABC ?，分别以C B A ,,为中心，5.0为半径圆弧，将三角形分为四个部分（如图1-1 ），则四部分中任一部分内两点距离都小于5.0 ，由鸽笼原理知道，在三角形内最多能找四个点，使彼此间距离大于5.0 ，且确实可找到如C B A ,,及三角形中心四个点。 图1—1 问题3：能否在88?的方格表的各个空格中，分别填写3,2,1这三个数中的任一个，使得每行，每列及对角线的各个数的和都不相同？为什么？ 分析：若从考虑填法的种类入手，情况太复杂；这里我们注意到，方格表中行,列及对角线的总数为18 个；而用3,2,1填入表格，每行,列及对角线都是8个数，8个数的和最小为8，最大为24，共有17 1824=+-种；利用鸽笼原理，18个“鸽”放入17个“鸽笼”，必有两个在一个“鸽笼”，也即必有两个和相同。所以 题目中的要求，无法实现。 思考题：在一个边长为1的正三角形内，若要彼此间距离大于1()n n 为正整数 ， 最多能找到几个点？ 1.2 “奇偶校验”方法 所谓 “奇偶校验”，即是如果两个数都是奇数或偶数，则称这两个数具有相同的奇偶性；若一个数是奇数，另一个数是偶数，则称具有相反的奇偶性。在组合问题中，经常使用“奇偶校验”考虑配对问题。 问题1（棋盘问题）：假设你有一张普通的国际象棋盘，一组对角上的两个方格被切掉，这样棋盘上只剩下62个方格（如图1—2）。若你还有31块骨牌，每块骨牌的大小为21?方格。试说明用互不重叠的骨牌完全覆盖住这张残缺的棋盘是不可能的。 分析：关键是对图1—2的棋盘进行黑白着色，使得相邻的两个方格有不同的颜色；用一块骨牌覆盖两个方格，必是盖住颜色不同的方格。我们计算一下黑白着色棋盘的黑格，白格个数，分别为30和32；因此不同能用31块骨牌盖住这张残缺的棋盘。用奇偶校验法，我们可以把黑色方格看成奇数方格，白色方格看成偶数方格；因为奇偶个数不同，所以不能进行奇偶配对，故题中要求的作法是不可能实现的。 问题2（菱形十二面体上的H 路径问题）：沿一菱形十二面体各棱行走，要寻找一条这样的路径它通过各顶点恰好一次，该问题被称为Hamilton 路径问题。 分析：我们注意到菱形十二面体每个顶点的度或者为3或者为4，所谓顶点的度是指通过这一顶点的棱数，如图1—3；且每3度顶点刚好与3个4度顶点相连，而每个4度顶点刚好与4个3度 顶点相连。因此一个Hamilton 路径必是3度与4度顶点交错，故若存在Hamilton 路径，则3度顶点个数，与4度顶点个数要么相等，要么相差1。用奇偶校验法3度顶点为奇数顶点，4度顶点为偶数顶点，奇偶配对，最多只能余1个；而事实上菱形十二面体中，有3度顶点8个，4度顶点6个；可得结论，菱形十二面体中不存在Hamilton 路径. 图1-2 图1-3 思考题：1、设一所监狱有64间囚室，其排列类似8 8?棋盘，看守长告诉关押在一个角落里的囚犯，只要他能够不重复地通过每间囚室到达对角的 囚室（所有相邻囚室间都有门相通）,他将获释，问囚犯能否获得自由？ 2、某班有49个学生，坐成7行7列，每个坐位的前后左右的坐位叫做 它的邻座，要让49个学生都换到他的邻座上去，问是否有这种调换位置 的方案？ 1.3 自然数的因子个数与狱吏问题 令) (n d有的为奇数，有的为偶数，见下表: d为自然数n的因子个数，则) (n 我们发现这样一个规律，当且仅当n为完全平方数时,) (n d为奇数；这是因为n的因子是成对出现的,也即ab n=; 只有n为完全平方数, 才会出现2a n=的情形，) (n d才为奇数。 下面我们利用上述结论研究一个有趣的问题. 狱吏问题：某王国对囚犯进行大赦，让一狱吏n次通过一排锁着的n间牢房，每通过一次按所定规则转动门锁, 每转动一次, 原来锁着的被打开, 原来打开的被锁上；通过n次后，门锁开着的，牢房中的犯人放出，否则犯人不得获释。转动门锁的规则是这样的，第一次通过牢房，要转动每一把门锁，即把全部锁打开；第二次通过牢房时，从第二间开始转动，每隔一间转动一次；第k次通过牢房，从第k间开始转动，每隔k-1 间转动一次；问通过n次后，那些牢房的锁仍然是打开的？ 问题分析： 牢房的锁最后是打开的，则该牢房的锁要被转动奇数次；如果把n 间牢房用n ,,2,1 编号，则第k 间牢房被转动的次数，取决于k 是否为n ,,2,1 整除，也即k 的因子个数，利用自然数因子个数定理，我们得到结论：只有编号为完全平方数的牢房门仍是开着的。 1．4 相识问题 问题：在6人的集会上，总会有3人互相认识或互相不认识。 分析：设6人为621,,,A A A ;下面分二种情形，1.1A 至少和三个人不相识，不妨设1A 不认识432,,A A A ；若432,,A A A 互相都认识，则结论成立，若432,,A A A 中有两人不认识，则加上1A ，有三人互不相识. 2．1A 至少和三人相识，不妨设1A 认识432,,A A A ；若432,,A A A 互不相识结论成立，若432,,A A A 有两人相识，加上1A 则有三人互相认识 。这样，我们就证明了结论成立 第二节 状态转移问题 本节介绍两种状态转移问题，解决这种问题的方法,有状态转移法，图解法及用图的邻接距阵等。 2．1 人、狗、鸡、米问题 人、狗、鸡、米均要过河，船上除1人划船外，最多还能运载一物，而人不在场时，狗要吃鸡，鸡要吃米，问人，狗、鸡、米应如和过河？ 分析：假设人、狗、鸡、米要从河的南岸到河的北岸，由题意，在过河的过程中， 两岸的状态要满足一定条件，所以该问题为有条件的状态转移问题。 1. 允许状态集合 我们用（w, x, y, z ），w, x, y, z=0或1，表示南岸的状态，例如（1，1，1，1）表示它们都在南岸，（0，1，1，0）表示狗，鸡在南岸，人，米在北岸；很显然有些状态是允许的，有些状态是不允许的，用穷举法可列出全部10个允许状态向量， (1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 0) (1, 1, 0, 1) (1, 0, 1, 1) (1, 0, 1, 0) (1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 0) (1, 1, 0, 1) (1, 0, 1, 1) (1, 0, 1, 0) 我们将上述10个可取状态向量组成的集合记为S ，称S 为允许状态集合 2、状态转移方程 对于一次过河，可以看成一次状态转移，我们用向量来表示决策，例（1，0，0，1）表示人，米过河。令D 为允许决策集合， D={ (1, x, y, z) : x+y+z=0 或 1} 另外，我们注意到过河有两种，奇数次的为从南岸到北岸，而偶数次的为北岸回到南岸，因此得到下述转移方程， k k k k d S S )1(1-+=+ ------------------------(2.1) ),,,(k k k k k z y x w S =表示第k 次状态，D d k ∈ 为决策向量. 图2-1 2. 人、狗、鸡、米过河问题，即要找到D d d d m ∈-121,,, ，S S S S m ∈,,,10 )0,0,0,0(0=S )1,1,1,1(=m S 且满足（2.1）式。 下面用状态转移图求解 将10个允许状态用10个点表示，并且仅当某个允许状态经过一个允许决策仍为允许状态，则这两个允许状态间存在连线，而构成一个图, 如图2—1 , 在其中寻找一条从（1，1，1，1）到（0，0，0，0）的路径， 这样的路径就是一个解, 可得下述路径图 , 由图2—2，有两个解都是经过7次运算完成，均为最优解 2．2 商人过河问题 三名商人各带一个随从乘船渡河，现有一只小船只能容纳两个人，由他们自己划行，若在河的任一岸的随从人数多于商人，他们就可能抢劫财物。但如何乘船渡河由商人决定，试给出一个商人安全渡河的方案。 首先介绍图论中的一个定理 G 是一个图，V （G ）为G 的顶点集，E(G)为G 的边集。 设G 中有n 个顶点n v v v ,,,21 ; n n ij a A ?=)(为G 的邻接距阵，其中 ?? ??∈=) (0 )(1G E v v G E v v a j i j i ij n j i ,,2,1, = 定理1：设)(G A 为图G 的邻接距阵，则G 中从顶点i v 到顶点j v ，长度为k 的道路的条数为k A 中的i 行 j 列元素. 证： 对k 用数学归纳法 1=k 时，显然结论成立; 假设k 时，定理成立， 考虑 1+k 的情形. 记l A 的i 行j 列元素为 2) (≥l a l ij , 因为 1 +=?l l A A A , 所以 nj l in j l i j l i l ij a a a a a a a +++=+ 2211) 1( (2.2) 而从 i v 到 j v 长1+k 的道路无非是从i v 经k 步到某顶n l v l ≤≤1,再从l v 走一步到j v ；由归纳假设从i v 到l v 长为k 的道路共计k il a 条，而从l v 到j v 长为1的道路为lj a 条，所以长为1+k 的从i v 经k 步到l v 再一步到j v 的道路共有lj k il a a )(条，故从i v 经1+k 步到j v 的路径共有∑=+= n l lj k il k ij a a a 1 )() 1(条. 下面分析及求解 假设渡河是从南岸到北岸，（m ，n ）表示南岸有m 个商人，n 个随从，全部的允许状态共有10个 )2,2()0,3()1,3()2,3() 3,3(54321=====v v v v v )0,0() 1,0() 2,0() 3,0() 1,1(109876=====v v v v v 以{}1021,,v v v V =为顶点集，考虑到奇数次渡河及偶数次渡河的不同，我们建立两个邻接距阵 图2-2 T A B A A A A =?? ?? ??=3210 其中 ??????? ???????? ?=??????????????? ?=????????????? ?? ?=00 010******** 0110011000 00 1 10000000001 0000000000 00 00000001000 1110010110321A A A 其中A 表示从南岸到北岸渡河的图的邻接距阵，T A B =表示从北岸到南岸渡河的图的邻接距阵。 由定理1、我们应考虑最小的k ，A AB t s k )(? 中1行10列的元素不为0，此时12+k 即为最少的 渡河次数，而矩阵A AB k )(中1行10列的元素为最佳的路径数目。 经过计算K=5时, A AB 5 )(的第1行10列元素为2，所以需11次渡河，有两条最佳路径. 最后我们用图解法求解： 前面我们已求出问题的10种允许状态，允许决策向量集合{}2,1:),(=+=v u v u D ,状态转移方程为 k k k k d S S )1(1-+=+ , 如图2—3，标出10种允许状态，找出从1s 经由允许状态到原点的路径，该路径还 要满足奇数次向左，向下；偶数次向右, 向上. 由图2—3可得这样的过河策略，共分11次决策 图2--3 去一商一随 （2，2） （3，3） 回一商 （3，2） 去二随 （3，0） 回一随 （3，1） 去二商 （1，1） 回一商一随 （2，2） 去二商 （0，2） 回一随 （0，3） 去二随 （0，1） 回一随 （0，2） 去二随 （0，0） 思考题：1、在商人过河中若有4名商人，各带一随从能否过河？ 2、夫妻过河问题：有3对夫妻过河，船最多能载2人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他男子在一起，如何安排三对夫妻过河？若船最多能载3人，5对夫妻能否过河？ 3、量纲分析法 量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。 3.1 量纲齐次原则与Pi 定理 许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。例如在动力学中，把长度l , 质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记为 [][][]T t M m L l ===,,; 而速度f v ，力的量纲可表示为[][]2 1 , --= =MLT f LT v . 在国际单位制中，有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L 、M 、T 、I 、Θ、J 、和N ；称为基本量纲。任意物理量q 的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积： []η ξ ε δ γ β α J N I T M L q Θ= 量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。 量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系；先看一个具体的例子，再给出量纲分析的一般方法。 例3—1： 单摆运动，质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置后，在重力mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期t 的表达式。 解：在这个问题中有关的物理量有g l m t ,,,设它们之间有关系式 3 2 1 1ααα λg l m t = ---------------（3.1） 其中32,,ααα为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（3．1）式的量纲表达式有 [][][][]3 2 1 αααg l m t = 整理得：3 3 21 2αααα-+=T L M T --------------（3.2） 由量纲齐次原则应有 ?? ? ??=-=+=1 2003321αααα ---------------（3.3） 解得：,2 1, 2 1,0321- == =ααα 代入（3．1）得 g l t λ = -------（3.4） （3.4）式与单摆的周期公式是一致的 下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理， 定理：设n 个物理量n x x x ,,,21 之间存在一个函数关系 ()0,,,21=n x x x f --------------（3.5） [][]m x x 1为基本量纲，n m ≤。i x 的量纲可表示为 n i x x ij j m j i ,,2,1] [][1 == =α∏ 矩阵m n ij A ?=)(α称为量纲距阵，若,r RankA =则（3.5）式与下式等价， 0)(21=-r n F π ππ 其中F 为一个未定的函数关系，s π为无量纲量，且s π可表示为 () 1 s i n s i i x βπ == ∏ -----------(3.6) 而)() () (2)(1) (s n s s s ββββ =为线性齐次方程组0=βT A 的基本解向量. 利用Pi 定理建模，关键是确定与该问题相关的几个基本量纲的无量纲量r n -πππ 21, 作为量纲分析法的应用，下面我们介绍航船阻力的建模. 3．2 航船的阻力， 长l 吃水深度h 的船以速度v 航行，若不考虑风的影响，航船受到的阻力f 除依赖于船的诸变量 v h l 、、以外，还与水的参数——密度P ，粘性系数μ, 以及重力加速度g 有关。 我们利用pi 定理分析f 和上述物理之间的关系 1． 航船问题中涉及的物理量及其量纲为 ????? ??????=======------21 1 3 1 2 ][][][][][][][LT g MT L M L LT v L h L l LMT f μρ 我们要寻求的关系式为 0),,,,,,(=g v h l f μρ? ---------------（3.7） 这些物理量中涉及到的基本量纲为L 、M 、T 2． 写出量纲距阵 T M L A T ???? ? ?????------=21 1 2 01100011131111 3=A rank 3． 解齐次线性方程组0=βT A , 可得 4=-A r a n k n 个基本解向量 ??? ? ?? ? ---=-=-=-=T T T T ） 、、、、、、（）、、、、、、（、、、、、、、、、、、、00120210111010) 1002010()0000110() 4()3()2()1(β βββ 由（3.6）式，可给出4个无量量纲 ??? ? ?? ? ====------1 2 2 4 132 2 11ρ π ρμππ πv fl lv g lv lh - -------------------（3.8） 由Pi 定理，（3.7）等价于下列方程 0),,,(4321=Φππππ -------------------（3.9） 这里Φ是未定的函数 由（3.８）,（３.９）可得阻力f 的显式表达式， ),,(3212 2 πππρψv l f = -------------------（3.10） 其中ψ是由（３.９）可得到的未知的函数关系,在力学上, lg v 称为Froude 数（弗劳德数），记为 Fr ; μ ρ lv 称为Reynold 数（雷诺数），记为Re , 因此（3.10）又可写为 Re),,(2 2Fr v l f h l ρψ= ------------------（3.11） 4. 下面我们利用物理模拟进一步确定航船在水中的阻力。 设:g v h l f g v h l f '''''''、、、、、、和、、、、、、μρμρ分别表示模型和原型中的各物理量, 由(3.11)有 ), lg , ( 2 2 μρ ρψlv v h l v l f = ), g l , ( 2 2μρψρ' ' ''' ''' ''''='v l v h l v l f 当无量纲量 μρμ ρ ' ' ''= ' ''= ' '= v l lv v v h l h l g l lg -------------------（3.12） 成立时 , 可得 ρ ρ'?? ? ??''=' 2 lv v l f f --------------------（3.13） 则此时由模型船的阻力f ，及其它的ρρ'''、、、、、v l v l ；可确定原型船的阻力f '. 下面,我们讨论一下(3.12)成立的条件,如果在实验中采用跟实际同样的水质,则 ;,μμ='='p p 又 g g '= 故可得 ： l l v v l l v v h l h l '= ' ' = ' ' '= ---------------------------（3.14） 要使得(3.14)成立 , 必有h h l l '='=,；也即模型船与原型船一样大，这显然排除了物理模拟的可行性。若考虑选用不同的水质，,μμ≠'?t s 仍设 ρρ=' 则(3.12)式化为 μμ' ? '=' ' = ' ' '=l l v v l l v v h l h l ---------------------（3.15） 由(3.15)可得 2 3 ?? ? ??'='l l μμ , 若按1：20的比例，0011μμ'=?，显然无法找到如此小的粘性系数的液体 实际上的一种近似处理方法是，在一定条件下Re 数的影响很小，这样可近似得到， )lg ,( 2 2 v h l v l f ρψ≈ 类似地分析，只要 l l v v h l h l ' = ' ' '= 即有 3 ?? ? ??'=' l l f f ----------------（3.16） 由（3.16）式就容易确定原型船的阻力f ' 3.3 无量纲化 抛射问题 下面我们通过一个例子,介绍如何使用无量纲化方法简化模型。 抛射问题：在某星球表面以初速度v 竖直向上发射火箭，记星球半径为r ，星球表面重力加速度为g ，忽略阻力，讨论发射高度x 随时间T 的变化规律. 模型建立：设x 轴竖直向上，0=t 时 0=x ，火箭和星球质量分别记为1m 和2m ，由牛顿第二定律和万有引力定律可得: 1212 () m m m x k x r ''=-+ -----------------------（3.17） 以(0)0, (0)x x g ''==- 代入（3.17）可得 2 2gr km = 故得如下初值问题 2 2() (0)0(0)r g x x r x x v ?''=- ?+?? =? ?'=??? ----------------------（3.18） (3.18)式的解可以表为 )(g v r t x 、、、= 也即发射高度是以 g v r 、、 为参数的t 的函数,下面我们采用无量纲化方法化简方程（3.18）, 显然抛射问题中的基本量纲为 ;, T L 而2 1 ][][][][][--=====LT g LT v L r T t L x 所谓无量纲化是指，对(3.18)式中的x 和t 分别构造且有相同的参数组合c x 和c t ，使得新变量 c c x t x t x t = = 为无量纲量，其中 c c t x , 称为特征尺度或参考尺度；把方程（3.18）化为 x 对 t 的微分方程， 即可简化模型，如何寻找特征尺度，这里我们以c t 为例，首先写出参数g v r 、、的量纲距阵A ?? ? ? ??--=21 111A t 的量纲向量为 T )1,0( 记为 : 0β 求解线性方程组 0ββ=A 得通解: T T k )1,2,1()0,1,1(-+-=β 任取k ，即得到一种特征尺度，例如 0=k 得 1; 1 -==-k rv t c 得 2 1;1 - ==-k vg t c 得 1 -= rg t c 同理可得x 的几种特征尺度21 ,,r r v g -等 以下，我们利用不同的c x 和c t 化简（3.18） 1. 令 1 , -==rv t r x c c ; 则1 , -==rv t t r x x 由 d x x v d t '= , 2 2 2v d x x r d ''= 代入(3.18)可得: 2 2 1,(1) (0)0(0)1 v x rg x x x εε?''=- = ?+??=??'=??? ----------（3.19） (3.19)式的解可表为 ),(εt x x =,含一个独立参数且ε为无量纲量. 2. 令 ,r x c = 1 -= rg t c , 类似地可将(3.18)化为 : 2 2 1, (1) (0)0(0),x x x v x rg ε?''=-?+??=???'= = ?? ---------------（3.20） 3. 令 21 ,c x v g -=1 ;c t vg -=可将(3.19)化为 2 2 1,(1) (0)0(0)1 v x rg x x x εεε?''=- = ?+?? =? ?'=??? ---------------（3.21） 按照现有科技能力, 秒米8000≈<< rg v , ,1<<∴ ε在（3.21）中令0=ε，则有 1(0)0(0)1x x x ''=-?? =??'=? ------------------------（3.22） (3.22) 的解为: t t t x +- =2)(2 , 代回原变量 得: vt gt t x +-=2 2 1)( , ------------------------（3.23） (3.23)式恰为假定火箭运动过程中所受星球引力不变的运动方程。 小结：无量纲化是用数学工具研究物理问题时常用的方法，恰当地选择特征尺度不仅可以减少参数的 个数，而且可以帮助人们决定舍弃哪些次要因素 思考题： 在（3.19）和(3.20)式中,令0=ε会得到什么结果? 第三节 比例与函数建模 本节介绍的几个模型,都是利用基本的比例关系与函数建立起的数学模型。 4.1 动物体型问题 问题： 某生猪收购站，需要研究如何根据生猪的体长（不包括头尾）估计其体重？ 模型假设： 1． 将四足动物的躯干（不含头尾）视为质量为m 的圆柱体，长度为l ，截面面积s ，直径为d 如图4-1 图4-1 2． 把圆柱体的躯干看作一根支撑在四肢上的弹性梁，动物在体重f 作用下的最大下垂为δ，即梁的 最大弯曲，根据弹性力学弯曲度理论，有: 2 3sd fl ∞ δ --------------------------（4.1） 3． 以生物进化学的角度，可认为动物的相对下垂度l δ已达到一个最合适的数值，也即 l δ为常数 模型建立： 4 2 d s π= ; l d f 4 2 π= - -----------------------（4.2） 由（1）式 可令 2 31sd fl k =δ 1k 为比例常数 由（2）式 2 2 2222 141)4(4l f l l d sd ? =?= πππ ------------------------（4.3） f l k 5 1 4πδ=∴ 4 1 5 1 4 4 l l k l k f ?= = ∴δ πδ π 令 δ π l k k 1 4 = 由假设3，k 为常数 4 kl f =∴ ------------------------（4.4） 因此生猪的体重与体长的四次方成正比，在实际工作中，工作人员可由实际经验及统计数据找出常数K ，则可近似地由生猪的体长估计它的体重。 4．2 双重玻璃的功效 问题： 房间居室的窗户有的是双层的，即在窗户上装两层玻璃，且中间留有一定的空隙，试比较双层玻璃窗与单层玻璃窗的热量流失？ 模型假设：1。设双层玻璃窗的两玻璃的厚度都为d ，两玻璃的间距为L ；单层玻璃窗的玻璃厚度为2d ， 所用玻璃材料相同，如图4-2 2．假设窗户的封闭性能很好，两层玻璃之间的空气不流动，即忽略热量的对流，只考虑热量的传导. 3. 室内温度1T 和室外温度2T 保持不变，热传导过程处于稳定状态，即单位时间通过单位面 积的热量为常数 4. 玻璃材料均匀，热传导系数为常数. 图4-2 模型建立： 对于厚度为d 的均匀介质，两侧温度差为T ?，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧 通过单位面积的热量Q 满足 d T k Q ?? = k 为热传导系数 设玻璃的热传导系数为1k ，空气的热传导系数为2k （1） 先考虑单层玻璃的单位时间，单位面积的热量传导 d T T k Q 22 111-? = --------------------（4.5） （2） 考虑双层玻璃情形 此时热量先通过厚度为d 的玻璃传导到两层玻璃的夹层空气中，再通过空气传导，再通过 厚度为d 的玻璃传导；设内层玻璃的外侧温度为a T ，外层玻璃的内侧温度为b T ;则有: d T T k l T T k d T T k Q b b a a 2 1 2112-=-=-= ------------（4.6） 由（4.6）式可得 ?? ? ? ?-=-+=+) (2212 1T T d l k k T T T T T T b b a b a ------------------（4.7） 记 12k l s k d = 则 )(2221T T s T T T b b --+= ------------------（4.8） )()(22212T T s T T T T b b ---=- - -----------------（4.9） )(21)(212T T S T T b -+= - -------------（4.10） )()2(1 211 2T T d k S Q -+= --------------（4.11） 考虑两者之比 s Q Q += 221 2 ---------------（4.12） 显然 12Q Q <, 也即双层玻璃的热量损失较小. 模型分析与应用： 常用玻璃的热传导系数 c s cm J k ????=--3 3 110 810 4 ， 而不流通,干燥空气的热传导系数 c s cm J k ???=-4 2105.2 ， 若取 h d l =, 则 h S h 3216≤≤ , 故 h Q Q 8111 2+≤ ------------------（4.13） 若取 4=h ， 则 33 11 2≤ Q Q 又此可见双层玻璃的保暖效果是相当可观的。 我国北方寒冷地区的建筑物，通常采用双层玻璃；由（4.13）式 h=4时, 1233 1Q Q ≈ , h 再大， 热量传递的减少就不明显了，再考虑到墙体的厚度；所以建筑规范通常要求 4≈h . 4.3 席位分配模型 问题：某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名；若学生会中学生代表有20个席位，则公平又简单的分法应各有10，6，4个席位。若丙系有6名学生分别转入甲、乙两系各3人，此时各系的人数为103，63，34；按比例席位分配应为10.3，6.3和3.4，出现了小数，19个整数席位分配完后，最后一席留给小数部分最大的丙系，分别为10，6，4。为方便提案表决，现增加1席共21席，按比例计算甲、乙、丙三系分别占有10.815，6.615，3.570；按上面的分法应分别为11，7，3；这样虽然增加了一个席位，但丙系的席位反而减少一席，因此这种分法显然是不合理的，请给出一个比较公平的席位分配方案？ 问题分析： 席位分配问题，当出现小数时，无论如何分配都是不完全公平的。那么一个比较公平的分法是 应该找到一个不公平程度最低的方法，因此首先要给出不公平程度的数量化，然后考虑使之最小的分配方 案。 模型建立： 一、讨论不公平程度的数量化 设A ，B 两方人数分别为12,n n ；分别占有 1N 和 1N 个席位，则两方每个席位所代表的人数分别为 11 n N 和 22 n N 。 我们称 121 2 n n N N - 为绝对不公平值。 例：1212120,100,10n n N N ==== 则 121 2 2n n N N - = 又 12121020,1000,10n n N N ==== 则 121 2 2n n N N - = 由上例可知，用绝对不公平程度作为衡量不公平的标准，并不合理，下面我们给出相对不公平值 若 121 2 n n N N > 则称 1 21 2 12221 21n n N N n N n n N N -=-为对A 的相对不公平值， 记为12(,)A r N N 若 121 2 n n N N < 则称 2 12 1 21112 1 1n n N N n N n n N N -=-为对B 的相对不公平值 ，记为12(,)B r N N 上例中，相对不公平值分别为：0.2 和 0.02，可见相对不公平值较合理。 二、 下面我们用相对不公平值建立模型， 设，A ，B 两方人数分别为 12,n n ；分别占有 1N 和 2N 个席位现在增加一个席位，应该给A 还是B ？不妨设 121 2 n n N N > ，此时对A 不公平，下面分二种情形 （1） 12121n n N N ≥ + ，这说明即使A 增加1席，仍对A 不公平, 故这一席应给A 。 （2） 1212 1 n n N N <+ ， 说明A 方增加1席时，将对B 不公平，此时计算对B 的相对不公平值 211212 (1)(1,)1B n N r N N n N ++= - 若这一席给B ，则对A 的相对不公平值为 121221 (1)(,1)1A n N r N N n N ++= - 本着使得相对不公平值尽量小的原则， 若 1212(1,)(,1)B A r N N r N N +<+ ----------------------------（4.14） 则增加的1席给A 方， 若 1212(,1)(1,)A B r N N r N N +<+ ----------------------------（4.15） 则增加的1席给B 方 由（4.14）式可得 ： 2 2 2 1 2211(1')(1) (1) n n N N N N < ++ 由（4.15）式可得 ： 2 2 2 1 2211(2')(1) (1) n n N N N N > ++ 记 ： (1) i i i i n Q N N = + 则增加的1席，应给Q 值大的一方 第一种情形，显然也符合该原则， 现在将上述方法推广到m 方分配席位的情况i A 方人数为i p 已占有i n 席 m i ,,2,1 = 计算 2 (1) i i i i n Q N N = + 则将增加的1席分配应给?值最大的一方 下面考虑原问题： 前19席的分配没有争议，甲系得10席，乙系得6席，丙系得3席 第20席的分配 4.96)110(10103 2 1=+= Q 5.94)16(663 2 2=+= Q 3.96) 13(334 2 3=+= Q 故第20席分配给甲系 第21席的分配 4.80) 111(11103 2 1=+= Q 3.96, 5 .9432==Q Q 故第21席分配给丙系 甲、乙、丙三系各分得11，6，4席，这样丙系保住它险些丧失的1席。 思考题： 1．若单层玻璃窗的玻璃厚度也是d，结果将如何？ 2．怎样讨论三层玻璃的功效？ 3．怎样讨论双层玻璃的隔音效果？ 4．比利时) d'分配方案： (Hondt 将甲、乙、丙三系的人数都用 ,1去除，将商从大到小排列，取前21个最大的，这21个中 2 , ,3 各系占有几个，就分给几个席位，你认为这种方法合理吗？ 5．学校共有1000名学生，235人住在A楼，333人住在B楼，432人住在C楼。学生们要组成一个10人委员会，使用Q值方法及Hondt d'方法给出分配方案。如果委员会为15人，分配方案是什么？ §16.3 建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理 性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.§16.2节的示例都属于机理分析方法。测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份 一、摘要 内容： （1）用1、2句话说明原问题中要解决的问题； （2）建立了什么模型（在数学上属于什么类型），建模的思想（思路），模型特点； （3）算法思想（求解思路），特色； （4）主要结果（数值结果，结论）；（回答题目的全部“问题”） （5）模型优点，结果检验；模型检验，灵敏度分析，有无改进，推广 要求 （1）特色和创新之处必须在这里强调； （2）长度 （3）要确保准确、简明、条理、清晰、突出特色和创新点； 二、问题的提出 内容： 用自己的语言阐述背景，条件，要求；重点列出‘问题’也即要求； 要求： （1）不是题目的完整拷贝 （2）根据自己的理解，用自己的语言清楚简明的阐述背景、条件和要求； 三、条件假设 内容 （1）根据题目中的条件做出假设 （2）根据题目中的要求做出假设； 要求 （1）合理性最重要； （2）假设合理且全面，但不欣赏罗列大量的无关假设，关键性假设不能缺； （3）合理假设作用： 简化问题，明确问题，限定模型的适用范围 四、符号约定 五、问题分析 1．名词解释 2．问题的背景分析 3．问题分析 六、模型建立 抽象要求 （1）模型的主要类别：初等模型、微分方程模型、差分方程模型、概率模型、统计预测模型、 优化模型、决策模型、图论模型等 （2）几种常见的建模目的：（对应相对（1）的方法） 描述或解释现实世界的各类现象，常采用机理型分析方法，探索研究对象的内在规律性； 预测感兴趣的时间爱你是否会发生，或者事物的房展趋势，常采用数理统计或模拟的方法； 优化管理、决策或者控制事物，需要合理地定义可量化的评价指标及评价方法； （3）建模过程常见的几个要点： 模型的整体设计、合理的假设、建立数学结构、建立数学表达式； （4）模型的要求： 明确、合理、简洁、具有一般性； 例如：有些论文不给出明确的模型，只是就赛题所给的特殊情况，用凑得方法给出结果，虽然结果大致对，但缺乏一般性，不是建模的正确思路；（（与第三点对应）） （5）鼓励创新，特别欣赏独树一帜、标新立异，但要合理 （6）避免出现罗列一系列的模型，又不做评价的现象； 具体要求： （1）基本模型：首先要有数学模型：数学公式、方案等；基本模型，要求完整，正确，简明（2）简化模型：要明确说明，简化思想，依据；简化后的模型尽可能给出； 七、模型求解 每一块内容包括：计算方法设计或选择、算法设计或选择、算法思想依据、步骤及实现、计算框图、所采用的软件名称 写作要求： 1、需要建立数学命题时：命题叙述要符合数学命题的表述规范，尽可能论证严密 2、需要说明计算方法或算法的原理、思想、依据、步骤。若采用现有软件，说明采用此软件的理由，软件名称 3、计算过程，中间结果可要可不要的，不要列出 4、设法算出合理的数值结果 5、最终数值结果的正确性或合理性是第一位的 6、对数值结果或模拟结果进行必要的检验。结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因，对算法、计算方法、或模型进行修正、改进 7、题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出 8、列数据问题：考虑是否需要列出多组数据，或额外数据对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据 9、结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比较分析 ▲数值结果表示：精心设计表格；可能的话，用图形图表形式 ▲求解方案，用图示更好 10、必要时对问题解答，作定性或规律性的讨论。最后结论要明确 内容 （1）算法设计或选择，算法的思想依据，步骤； （2）引用或建立必要的数学命题和定理； （3）在不能给出精确解的情况下，需要给出不知一种解法（算法），并进行测试比较，给出 1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。 你是否走得越快，淋雨量越少呢？ 2.假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书 馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？ 3.一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早 6：00从B下山，晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？ 4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？ 5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家 中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。分析半小时后，狗在何处？ 6.甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先 约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？ 7.设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至 少存在两人他们认识的人一样多。 8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10 端小孔的 面积为0.5 9.假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜 坡，计算这种情 下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？ 10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。 :顶=1：a:b ，选坐v>0,而设语雨速 L( 1q -+v x ),v≤x Q(v)= L( v x -q +1),v>x 2.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周 实验02 初等模型（4学时） （第2章初等模型） 1.（编程）光盘的数据容量p23~27 表1 3种光盘的基本数据 CAV光盘：恒定角速度的光盘。 CLV光盘：恒定线速度的光盘。 R2=58 mm, R1=22.5 mm，d, ρ见表1。 CLV光盘的信息总长度(mm) L CLV 22 21 () R R d π- ≈ CLV光盘的信息容量(MB) C CLV = ρL CLV / (10^6) CLV光盘的影像时间(min) T CLV = C CLV / (0.62×60) CAV光盘的信息总长度(mm) L CAV 2 2 2 R d π≈ CAV光盘的信息容量(MB) C CAV = ρL CAV / (10^6) CAV光盘的影像时间(min ) T CAV = C CAV / (0.62×60) 1.1（验证、编程）模型求解 要求： ①（验证）分别计算出LCLV, CCLV和TCLV三个3行1列的列向量，仍后输出结果，并与P26的表2（教材）比较。 程序如下： ②（编程）对于LCAV, CCAV和TCAV，编写类似①的程序，并运行，结果与P26的表3（教材）比较。 ★要求①的程序的运行结果： ★要求②的程序及其运行结果： 1.2（编程）结果分析 信道长度LCLV 的精确计算：21 2R CLV R L d π=? 模型给出的是近似值：2221() CLV R R L L d π-= ≈ 相对误差为：CLV L L L δ-= 要求： ①取R2=58 mm, R1=22.5 mm，d, ρ见表1（题1）。 分别计算出LCLV, L和delta三个3行1列的列向量，仍后将它组合起来输出一个3行3列的结果。 ②结果与P26的表2和P27（教材）的结果比较。 [提示] 定积分计算用quad、quadl或trapz函数，注意要分别取d的元素来计算。要用数组d参与计算，可用quadv（用help查看其用法）。 ★编写的程序和运行结果： 程序： 初等数学模型 本章重点是：雨中行走问题、动物的身长与体重、实物交换、代表名额的分配与森林救火模型的建立过程和所使用的方法 复习要求 1．进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵。 2．进一步理解数学模型的作用与特点。 类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法.作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上去给以类似的解决：这个问题与我们熟悉的什么问题类似?如果有类似的问题曾被解决过，我们的建模工作便可省去许多麻烦.实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构. 利用几何图示法建模.有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可，我们称这种建模方法为图示法.这种方法既简单又直观，且其应用面很宽. 1．雨中行走问题 雨中行走问题的结论是： （1）如果雨是迎着你前进的方向落下，即2 0π θ≤ ≤，那么全身被淋的雨水总量为 ? ? ? ??++=++= +=h v hr dr pwD v r h dr v pwD C C C θθθθcos sin )] cos (sin [21 这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑. （2）如果雨是从你的背后落下，即πθπ≤≤2 . 令απθ+=2 ，则2 0π α<<. 那么全身被淋 的雨水总量为 ?? ? ??+-=h v rh rd Dpw v C ααθsin cos ),( 这时你应该控制在雨中行走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量. 从建模结果看，“为了少些淋雨，应该快跑”，这个一般的“常识”被基本上否定，那么根据何在？由此提出了建模目的：减少雨淋程度. 而为减少雨淋程度，便自然提出“被淋在身上的雨水量”这个目标函数C ，而C =C （v ），于是问题便归结为确定速度v ，使C （v ）最小——本模型的关键建模步骤便得以确定。 有了确定的建模目的，自然引出与C （v ）有关的量的设定与简化假设. 一般地，开始时不要面面俱到地把所有相关量都涉及到，往往只需考虑几个主要量，甚至暂时舍弃某个主要量，以求尽快建立模型.尤其对初学者，这样做有助于建模信心的增强.自不必说建模过程往往如此，更有模型尚有的进一步修改和推广的主要步骤.而一旦建立起简单模型后，其进一步的改善也相对容易多了.这就是本模型只所以建立了两个模型的原因，是符合人们的认识规律的. 另外，为了检验所建模型的合理性，建模后用较为符合实际的几组数据对模型加以检验是重要的，它既是对所建模型是否基本符合实际的检测，也是进一步完善模型的需要. 例1 在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市O （如 《数学模型第三版》学 习笔记 集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN] 《数学模型(第三版)》学习笔记 写在开始 ---小康社会欢迎您今天第一次归纳、复习，整理思路重点，从最后两章（除了“其他模型”）开始，想可能印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距，自己也是自学看书，非常希望各位提出宝贵意见，内容、学习方法经验上的 都是. 整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展，总结起来有一下几个特点： (一)“实际—>模型”的建模过程很关键，本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”，但简化分析中，还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假 设了； (二)模型求解之后的处理，许多地方似乎求解完毕可以结束，但却都未戛然而止，而是进一步“结果分析”、“解释”，目的不一，要看进程而定，有的促进了模型的改进，有的对数学结果做出了现实对应的解释（这一点建模过程中也经常做，就是做几步解释一下实际意义），也还有纯数学分析的，这些都是很重要的，在我看来，这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始，前面的 求解似乎是家常便饭了； (三)用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程，这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性，同时书中也设计到了一些（虽是浅浅涉及）新的 数学知识和技巧，许多我在读的过程中只是试图了解这个思想，而推导过程未能花很多时间琢磨，但即便如此，还是让我的数学知识有了很大的拓展（作为工科专业 学生）。 从上周六继续自学《数学模型》开始一周，比预期的时间长了许多，但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。最近学习任务比较多，所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结，从今天起每天做2章的小结，既是复习总结重点，也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。 也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~ ——Tony Sun July 2012, TJU （目前已更新：全12章） 第1章建立数学模型关键词：数学模型意义特点 第1章是引入的一章，对数学模型的意义来源，做了很好的解释。其实数学模型 也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常，数学模型有严谨的特点，而且我们可以根据建模实际需要改变模型，成本也比较低；同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。 椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子，用 简单的数学进行描述、建模分析，给数学模型一个最好的诠释：用数学语言描述事 数学模型的分类有哪些？ 数学模型可以按照不同的方式分类，下面介绍常用的几种． 1.按照模型的应用领域(或所属学科)分：如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等．范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等． 2.按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分：如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等． 按第一种方法分类的数学模型教科书中，着重于某一专门领域中用不同方法建立模型，而按第二种方法分类的书里，是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用．在本书中我们重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中建模． 3.按照模型的表现特性又有几种分法： 确定性模型和随机性模型取决于是否考虑随机因素的影响．近年来随着数学的发展，又有所谓突变性模型和模糊性模型． 静态模型和动态模型取决于是否考虑时间因素引起的变化． 线性模型和非线性模型取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的． 离散模型和连续模型指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的． 虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的，但是由于确定性、静态、线性模型容易处理，并且往往可以作为初步的近似来解决问题，所以建模时常先考虑确定性、静态、线性模型．连续模型便于利用微积分方法求解，作理论分析，而离散模型便于在计算机上作数值计算，所以用哪种模型要看具体问题而定．在具体的建模过程中将连续模型离散化，或将离散变量视作连续，也是常采用的方法． 4.按照建模目的分：有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等． 5.按照对模型结构的了解程度分：有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模型．这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关，要通过建模来揭示它的奥妙．白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这方面的模型大多已经基本确定，还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了．灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做．至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象．有些工程技术问题虽然主要基于物理、化学原理，但由于因素众多、关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理．当然，白、灰、黑之间并没有明显的界限，而且随着科学技术的发展，箱子的“颜色”必然是逐渐由暗变亮的． 数学建模实验答案初等 模型 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】 实验02 初等模型（4学时） （第2章初等模型） 1.（编程）光盘的数据容量p23~27 表1 3种光盘的基本数据 CAV光盘：恒定角速度的光盘。 CLV光盘：恒定线速度的光盘。 R2=58 mm, R1=22.5 mm，d, ρ见表1。 CLV光盘的信息总长度(mm) L CLV 22 21 () R R d π- ≈ CLV光盘的信息容量(MB) C CLV = ρL CLV / (10^6) CLV光盘的影像时间(min) T CLV = C CLV / ×60) CAV光盘的信息总长度(mm) L CAV 2 2 2 R d π≈ CAV光盘的信息容量(MB) C CAV = ρL CAV / (10^6) CAV光盘的影像时间(min ) T CAV = C CAV / ×60) （验证、编程）模型求解 要求： ①（验证）分别计算出LCLV, CCLV和TCLV三个3行1列的列向量，仍后输出结果，并与P26的表2（教材）比较。 程序如下： ②（编程）对于LCAV, CCAV和TCAV，编写类似①的程序，并运行，结果与P26的表3（教材）比较。 ★要求①的程序的运行结果： ★要求②的程序及其运行结果： （编程）结果分析 信道长度LCLV 的精确计算：21 2R CLV R L d π=? 模型给出的是近似值：2221() CLV R R L L d π-= ≈ 相对误差为：CLV L L L δ-= 第2章初等数学建模方法示例 公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：某单位席位分配数 = 某单位总人数比例总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题： 某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为 系名甲乙丙总数 学生数 100 60 40 200 学生人数比例 100/200 60/200 40/200 席位分配 10 6 4 20 后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为： 系名甲乙丙总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 20 按惯例席位分配 10 6 4 20 由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 21 按惯例席位分配 11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。 模型构成 先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设 单位 人数 席位数 每席代表人数 单位A 1p 1n 1n 单位B 2p 2n 2n 要公平，应该有=1n 2n ， 但这一般不成立。注意到等式不成立时有 若21n n >，则说明单位A 吃亏(即对单位A 不公平 ) 若21n n <，则说明单位B 吃亏 (即对单位B 不公平 ) 因此可以考虑用算式2 211n p n p p -= 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式 《数学模型》教学大纲 课程名称: 数学模型(Mathematical Model) 适用专业：应用数学、信息与计算科学 课程学时: 48学时理论+32学时实验 课程学分: 4 先修课程：微积分、线性代数、概率论 考核方式：期末论文 理论课教学大纲 一、课程的性质与任务 随着其它学科和计算机的迅速发展，数学已经向各个领域广泛渗透，数学已经由原来的高度抽象、严格推理和严密证明的理论课过渡成为解决许多边缘学科和交叉学科的关键技术。而数学一开始就是为了解决实际问题的需要而产生，数学模型或建立数学模型课程的开设就是一个朴素的回归。 设立数学建模课程的主要目的是培养学生应用所学的数学基础知识（微积分、线性代数、概率统计）解决实际问题的能力，培养新型的应用型动手能力强的人才。本课程通过一系列典型案例的分析、学习和应用，使学生掌握解决实际问题的一般步骤和原理；通过一些必要的辅助计算软件（lingo优化软件、matlab科学计算软件等）的培训，培养学生新型的数学观：数学中很多的复杂而重复的计算，应该完全交给计算机去做，人就回到思考、分析、设计、评估等更重要的工作中去。 由于实际问题的复杂性和广泛性，本课程在讲授不同类型的模型时，可以参考不同的教材和选取不同的计算软件，所以在教材的选取上本着灵活性和多样性，因而不同章节有不同的参考书。 二、课程的内容 第1章．数学建模概论 1.1 什么是数学模型 1.2 几个简单的建模案例 1.3 建立数学模型的基本方法和步骤 1.4 数学模型的特点和分类 1.5 数学建模能力的培养 参考教材：《数学模型》.高教出版社.姜启源 《数学建模与数学实验》.高教出版社.赵静 《数学建模方法及其应用》高教出版社.韩中庚 第2章. 初等数学模型 2.1 公平的席位分配问题 2.2 动物的身长和体重 2.3 空间点热源的扩散问题 参考教材：《数学模型》.高教出版社.姜启源 《数学建模与数学实验》.高教出版社.赵静 第3章. 数学规划模型 3.1 线性和非线性规划模型相关概念 3.2 几种线性规划问题 指派为问题运输问题材料切割问题配方问题排序问题 多阶段生产计划问题生产流程问题 参考教材：《数学模型》.高教出版社.姜启源 《运筹学》.清华大学出版社.胡运权 《管理运筹学》.高教出版社.韩伯棠 《lingo优化软件》.清华大学出版社.谢金星 第4章与图有关的优化问题 4.1 最短路径问题 4.2 流量问题 4.3 最优连线问题（最小树问题） 4.4 最优回路问题（哈密尔顿回路） 4.5 最小覆盖与最小配对问题 参考教材：《运筹学》.清华大学出版社.胡运权 《管理运筹学》.高教出版社.韩伯棠 数学模型第三版学习笔记 The document was prepared on January 2, 2021 《数学模型(第三版)》学习笔记 写在开始 ---小康社会欢迎您今天第一次归纳、复习，整理思路重点，从最后两章（除了“其他模型”）开始，想可能印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距，自己也是自学看书，非常希望各位提出宝贵意见，内容、学习方法经验上的都是. 整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展，总结起来有一下几个特点：(一) “实际—>模型”的建模过程很关键，本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”，但简化分析中，还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了；(二) 模型求解之后的处理，许多地方似乎求解完毕可以结束，但却都未戛然而止，而是进一步“结果分析”、“解释”，目的不一，要看进程而定，有的促进了模型的改进，有的对数学结果做出了现实对应的解释（这一点建模过程中也经常做，就是做几步解释一下实际意义），也还有纯数学分析的，这些都是很重要的，在我看来，这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始，前面的求解似乎是家常便饭了； (三) 用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程， 这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要 性，同时书中也设计到了一些（虽是浅浅涉及）新的数学知识和技巧，许多我在读的过程中只是试图了解这个思想，而推导过程未能花很多时间琢磨，但即便如此，还是让我的数学知识有了很大的拓展（作为工科专业学生）。 从上周六继续自学《数学模型》开始一周，比预期的时间长了许多，但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。最近学习任务比较多，所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结，从今天起每天做2章的小结，既是复习总结重点，也是请诸位同学指教、提意见交流— —毕竟自己领会很有限。 也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~ ——Tony Sun July 2012, TJU （目前已更新：全12章） 第1章建立数学模型关键词：数学模型意义特点 第1章是引入的一章，对数学模型的意义来源，做了很好的解释。其实数学模型也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常，数学模型有严谨的特点，而且我们可以根据建模实际需要改变模型，成本也比较低；同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。 初等模型 ——贷款、税收等问题 一、房贷款 小李夫妇欲购一套价值10万元的房子，俩人现有积蓄4万元。需向银行贷款6万元，准备25年还清，假定银行贷款利息为月息1%，每月还款数一定，一月还一次，问每月需还多少钱，给出一般数学模型。 1、重述问题（略） 2、符号及假设： 设总贷款额为M 元，n 个月还清，月息r ，每月还款额为定值x ，每月月底还钱。 3、模型的建立与求解： 第1月底还欠多少钱：()1M r x +- 第2月底还欠多少钱：()()()()2 1111M r x r x M r x r x +-+-=+-+-???? 第3月底还欠多少钱： ()()()()()()232111111M r x r x r x M r x r x r x ??+-+-+-=+-+-+-?? … … 第n 月底还欠多少钱： ()() () ()() ()1 2 11 11111n n n n n r M r x r x r x r x M r x r --+-+-+-+- -+-=+- 由于n 个月还清，因此有() ()11 10n n r M r x r +-+-= ()()()11 11111n n n r x M r Mr r r ??+∴=?=+ ? ?+-+-?? 将M =60000元，n =25×12=300，r =0.001 代入得 x =232 (231.5970) 将M =60000元，n =25×12=300，r =0.01 代入得 x =632 (631.9345) 将M =60000元，n =25×12=300，r =0.02 代入得 x =1203 (1203.1643) 将M =60000元，n =25×12=300，r =0.03 代入得 x =1800 (1800.2536) 第2章初等数学建模方法示例 2.1公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：某单位席位分配数= 某单位总人数比例 总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗？下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题： 某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为 系名甲乙丙总数 学生数100 60 40 200 学生人数比例100/200 60/200 40/200 席位分配10 6 4 20 后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为：系名甲乙丙总数 学生数103 63 34 200 学生人数比例103/200 63/200 34/200 按比例分配席位10.3 6.3 3.4 20 按惯例席位分配10 6 4 20 由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。 模型构成 先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设 单位 人数 席位数 每席代表人数 单位A 1p 1n 1n 单位B 2p 2n 2n 要公平，应该有=1n 2n ， 但这一般不成立。注意到等式不成立时有 若21n n >，则说明单位A 吃亏(即对单位A 不公平 ) 若21n n <，则说明单位B 吃亏 (即对单位B 不公平 ) 因此可以考虑用算式2 211n p n p p -= 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不足之处（绝对数的特点），如： 某两个单位的人数和席位为 1021==n n ，1201=p ，1002=p ， 算得 2=p 另两个单位的人数和席位为 1021==n n ，10201=p ，10002=p , 算得 2=p 第二单元初等数据分析方法 1数学建模方法论：类比、创新 2最简定量关系：人类建立起来的变量之间最简单最直观的定量关系就是函数关系 (1)函数概念的力学来源．(2)1637年笛卡尔的《几何学》首次涉及到变量，也引入了函数思想．(3)1667年英国数学家格雷果里被认为是函数解析定义的开始(4)公认最早提出函数概念的是17世纪德国数学家莱布尼茨．(5)为了得到变量之间的函数关系需要采集数据，于是提出三个问题：(6)如何采集数据？采集什么数据？如何分析数据3建立函数关系的方法 由此产生建立变量之间函数关系三种基本方法观察法：利用数据的比例性质拟合方法、插值方法统称初等数据分析方法 数据及其品质(1)有的提供数据：2008年“奥运场馆设计” (2)有的不给数据：2010年世博会的影响力(3)有的问你需要什么数据：2008年重金属污染源头问题(4)有的需要你自己判明应该采集什么数据才能说明这件事情：2015年“出租车”试建立合理的指标并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度因此，需要评估数据的精确性，由于收集数据时精确度不高比如记录或报告一个数据时的人为错误，或测量精度限制等多种情况。比如在绘制地图时是按比例缩小的但测量时总有误差在分析一个数据集合时，可能遇到的问题是: (1)根据收集的数据进行建模．要么数据具有明显特征要么插值(2)按照选出的一个或多个模型(函数)类型对数据进行拟合．(3)从已经拟合模型中选取最合适的例：判断指数与多项式模型哪个拟合更好 4 观察法和初等数学方法 通过大量数据利用变量之间的比例性质得到自然规律：(1)Kepler(开普勒)第三定律开普勒曾帮第谷(Tycho Brahe) 收集了13年火星的相对运动的观察资料到1609年开普勒已经形成了头两条定律: a)每个行星都沿一条椭圆轨道运行太阳在该椭圆的一个焦点处．b)对每个行星来说，在相等的时间里该行星和太阳的联线扫过相等的面积．开普勒花了许多 年来验证并形成了第三定律T = c其中T 是周期(天数)而R是行星到太阳的平均距离他建立了轨道周期与从太阳到行星平均距离之间的关系．如表2.1中的数据 初等数学方法建模 现实世界中有很多问题，它的机理较简单，用静态,线性或逻辑的方法即可建立模型，使用初等的数学方法，即可求解，我们称之为初等数学模型。本章主要介绍有关自然数，比例关系，状态转移，及量刚分析等建模例子，这些问题的巧妙的分析处理方法，可使读者达到举一反三，开拓思路，提高分析, 解决实际问题的能力。 第一节 有关自然数的几个模型 1.1鸽笼原理 鸽笼原理又称为抽屉原理，把N 个苹果放入)(N n n < 个抽屉里，则必有一个抽屉中至少有2个苹果。 问题1：如果有N 个人，其中每个人至多认识这群人中的)(N n n <个人（不包括自己），则至少有两个人所认识的人数相等。 分析：我们按认识人的个数，将N 个人分为n ,2,1,0 类，其中)0(n k k ≤≤类，表示认识k 个人，这样形成 1+n 个“鸽笼”。若 1- 学习数学建模需要哪些书籍及软件 我也要参加今年九月份的数学建模比赛，以下是我们老师给我们的几点建议，希望对你有些帮助。 赛前学习内容 1建模基础知识、常用工具软件的使用 一、掌握建模必备的数学基础知识（如初等数学、高等数学等），数学建模中常用的但尚未学过的方法，如图论方法、优化中若干方法、概率统计以及运筹学等方法。 二、，针对建模特点，结合典型的建模题型，重点学习一些实用数学软件（如Mathematica 、Matlab、Lindo 、Lingo、SPSS）的使用及一般性开发,尤其注意同一数学模型可以用多个软件求解的问题。 例如, 贷款买房问题: 某人贷款8 万元买房，每月还贷款880.87 元，月利率1％。 （1）已经还贷整6 年。还贷6 年后，某人想知道自己还欠银行多少钱，请你告诉他。（2）此人忘记这笔贷款期限是多少年，请你告诉他。 这问题我们可以用Mathematica 、Matlab、Lindo 、Lingo 等多个不同软件包编程求解 2 建模的过程、方法 数学建模是一项非常具有创造性和挑战性的活动，不可能用一些条条框框规定出各种模型如何具体建立。但一般来说，建模主要涉及两个方面：第一，将实际问题转化为理论模型；第二，对理论模型进行计算和分析。简而言之，就是建立数学模型来解决各种实际问题的过程。这个过程可以用如下图1来表示。 3常用算法的设计 建模与计算是数学模型的两大核心，当模型建立后，计算就成为解决问题的关键要素了，而算法好坏将直接影响运算速度的快慢答案的优劣。根据竞赛题型特点及前参赛获奖选手的心得体会，建议大家多用数学软件（Mathematica,Matlab,Maple,Lindo,Lingo,SPSS 等）设计算法，这里列举常用的几种数学建模算法. （1）蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法，通常使用Mathematica、Matlab 软件实现）。 （2）数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab 作为工具）。 （3）线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件实现）。 （4）图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备，通常使用Mathematica、Maple 作为工 我也要参加今年九月份的数学建模比赛，以下是我们老师给我们的几点建议，希望对你有些帮助。 赛前学习内容 1建模基础知识、常用工具软件的使用 一、掌握建模必备的数学基础知识（如初等数学、高等数学等），数学建模中常用的但尚未学过的方法，如图论方法、优化中若干方法、概率统计以及运筹学等方法。 二、，针对建模特点，结合典型的建模题型，重点学习一些实用数学软件（如Mathematica 、Matlab、Lindo 、Lingo、SPSS）的使用及一般性开发,尤其注意同一数学模型可以用多个软件求解的问题。 例如, 贷款买房问题: 某人贷款8 万元买房，每月还贷款880.87 元，月利率1％。 （1）已经还贷整6 年。还贷6 年后，某人想知道自己还欠银行多少钱，请你告诉他。（2）此人忘记这笔贷款期限是多少年，请你告诉他。 这问题我们可以用Mathematica 、Matlab、Lindo 、Lingo 等多个不同软件包编程求解 2 建模的过程、方法 数学建模是一项非常具有创造性和挑战性的活动，不可能用一些条条框框规定出各种模型如何具体建立。但一般来说，建模主要涉及两个方面：第一，将实际问题转化为理论模型；第二，对理论模型进行计算和分析。简而言之，就是建立数学模型来解决各种实际问题的过程。这个过程可以用如下图1来表示。 3常用算法的设计 建模与计算是数学模型的两大核心，当模型建立后，计算就成为解决问题的关键要素了，而算法好坏将直接影响运算速度的快慢答案的优劣。根据竞赛题型特点及前参赛获奖选手的心得体会，建议大家多用数学软件（Mathematica,Matlab,Maple,Lindo,Lingo,SPSS 等）设计算法，这里列举常用的几种数学建模算法. （1）蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法，通常使用Mathematica、Matlab 软件实现）。 （2）数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab 作为工具）。 （3）线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件实现）。 （4）图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备，通常使用Mathematica、Maple 作为工具）。（5）动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中，通常使用Lingo 软件实现）。 （6）图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab 进行处理）。 （7）最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用，通常使用Lingo、Matlab、SPSS 软件实现）。 4 论文结构，写作特点和要求 数学模型与数学建模 《经济数学基础》是电大财经与管理类专科学生的一门必修课程，也是学习其它技术基础课和专业课的必要基础课程，无论学生和教师都非常重视这门课程的教学。但是现在的经济数学教材，多数只注重理论和计算，对应用性不够重视，即使有个别的应用也是限于较少的几何方面以及经济方面的简单应用。很多学生都有这样的认识：数学很重要，但很枯燥，学了半天除了知道能在几何等方面的应用外，不知道还能有什么用，但又不得不学。学生学习数学的目的不明确、缺少自觉学习的动力。归于一点，就是学生不知道学了数学有什么用。在今后的学习和工作中数学到底有什么作用呢？学生很茫然，但数学又是非常重要的课程。因此，很多学生都是怀着不得不学的态度来学习数学的，缺乏自觉学习的动力。这就要求我们数学教师进行课程内容和教学方法的大胆改革，让学生明白数学除了在几何以及经济上应用以外，还有很多用处，可以说我们的生活中、工作中无时无刻的充满着数学，只是你没有认识它，不知道该怎样用它。近20年来发展起来的数学建模正是为数学的应用性提供了展示的舞台，也为大学生们提供了一个很好的学习机会。 一、数学模型 什么是数学模型呢？ 1、模型 所谓模型是指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩，提炼而成的原型替代物。这里的原型是指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。模型可以分为形象模型与抽象模型，前者包括直观模型（如机械模型，玩具等）和物理模型（如核爆炸反应模拟设备等），后者包括思维模型（如个人凭经验行事的思维模式及习惯等）和符号模型（如地图，电路图，化学分子结构式等）。 模型的特征：目的性、应用性、功能性、抽象性是一般模型所普遍具有的特征。 这里特别强调模型的目的性，模型的基本特征是由模型的目的决定的。一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。例如，为了制定大型企业的生产管理计划，模型就不必反映各生产装置的动态特性，但必须反映产品的产量、销售量和库存原料等变化情况。也就是说，各装置的动态特性对这种模型来说是非本质的。相反，为了实现各生产装置的最佳运行，模型就必须详细地描述各装置内部状态变化的生产过程动态特性。这时，各装置的动态待性就变成了本质的。可见，模型所反映的内容将因其使用的目的的不同而不同。 模型的分类：模型一般分为具体模型（物质模型）和抽象模型（理想模型）两大类。具体模型有直观模型、物理模型等，抽象模型有思维模型、符号模型、数学模型等。建立数学模型的方法步骤特点及分类
数学建模的经典模板
初等数学建模试题极其标准答案
数学建模实验答案初等模型
一些经典初等数学模型
《数学模型第三版》学习笔记完整版
数学模型的分类有哪些
数学建模实验答案初等模型
初等数学建模方法示例
数学模型课程学习大纲.doc
数学模型第三版学习笔记
数学建模之初等模型
初等数学建模方法示例
数学建模 第二单元 初等数据分析方法
数学建模 初等建模
数学建模所需要的知识
学习数学建模需要哪些书籍及软件
(完整word版)数学模型与数学建模
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