数学建模中的初等模型

湖南城市学院数学与计算科学学院《数学建模》实验报告专业：学号：姓名：指导教师：成绩：年月日实验一 初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。

实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。

A 题 飞机的降落曲线在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。

根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条S 形曲线。

如下图所示，已知飞机的飞行高度为h ，飞机的着陆点为原点O ，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u 。

出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过g ／10，此处g 是重力加速度。

（1）若飞机从0x x 处开始下降，试确定出飞机的降落曲线； （2）求开始下降点0x 所能允许的最小值。

B 题 铅球的投掷问题众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m 的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o 的有效扇形区域内。

以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。

在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。

而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。

影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。

最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。

参考数据资料如下：实验报告：一、问题分析在研究飞机下落过程中，需要分析飞机下降的降落曲线，根据经验应该是一条五次多项式。

以降落点为原点O建立直角坐标系。

第二章 初等模型如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。

通过下面的几个实例我们能够看到，用很简单的数学方法就可以解决一些有趣的实际问题。

需要强调的是，衡量一个模型的优劣完全在于它的应用效果，而不是它看它采用了多么高深的数学方法。

进一步说，对于某个实际问题我们如果能够用初等方法和所谓的高等方法建立了两个模型，而它们的应用效果相差无几的话，那么受人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。

§2.1公平的席位分配设有A 、B 两个单位，各有人数1p 、2p 个，现在要求按人数选出q 个代表召开一次代表会议。

那么怎样分配这q 个席位呢？一般的方法是令：q p p p q 211*1+= q p p p q 212*2+= （2.1）若*1q ，*2q 恰好是两个整数，就以*1q ，*2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数，即可以获得一个完全合理的分配方案。

当*1q ，*2q 不是两个整数时，那么怎样分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。

首先给出一种自然的想法，也就是通常所执行的方法。

即由（2.1）式计算出的*1q ，*2q ，用][*i i q q =表示*i q 的整数部分。

当*1q －1q ＞*2q －2q 时，则用1q ＋1与2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数；当*2q －2q ＞*1q －1q 时，则用1q 与2q ＋1分别作为A ，B 两个单位的席位数；而当*2q －2q ＝*1q －1q 时，就只能由A ，B 两个单位协商来确定那多余的一个席位了。

这个方法的优点是简单、方便，并被很多人所接受，同时也容易推广到m （m ＞2）个单位的席位分配问题。

但是这个分配方案是存在弊病的，它有明显的不合理性。

例1 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。

若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10、6、4个席位。

数学建模初等模型
数学建模是将现实世界的问题抽象化为数学模型，并利用数学方法和技巧来分析和解决这些问题的过程。

在数学建模中，初等模型是指使用基本的数学概念和方法来描述和解决问题的模型。

常见的初等模型包括线性模型、指数模型、对数模型、多项式模型等。

线性模型是最简单的初等模型之一，它假设变量之间的关系是线性的，可以用直线来表示。

指数模型描述的是变量之间的指数关系，对数模型则描述的是变量之间的对数关系。

多项式模型可以用多项式函数来描述变量之间的关系。

使用初等模型进行数学建模时，我们需要确定问题中的关键变量和它们之间的关系，然后建立数学方程或函数来表示这些关系。

通过对这些方程或函数进行求解和分析，我们可以得到问题的解答或结论。

初等模型的优点是简单易懂，容易理解和应用。

它适用于一些简单的实际问题，例如人口增长、物体运动、投资收益等。

但初等模型也有一些限制，它对问题的描述和解决方法有一定的限制性，不能很好地处理复杂的问题。

总之，初等模型是数学建模中的一种简单模型，通过使用基本的数学
概念和方法来描述和解决问题。

它易于理解和应用，适用于一些简单的实际问题。

但在处理复杂问题时，可能需要借助更高级的数学模型和技巧来进行建模和分析。

概率论与数理统计在数学建模中的应用概率论与数理统计在数学建模中的应用——国 冰。

第一节 概率模型一、初等概率模型初等概率模型主要介绍了可靠性模型、传染病流行估计、常染色体遗传模型等三类问题：1、复合系统工作的可靠性问题的数学模型设某种机器的工作系统由N 个部件组成，各部件之间是串联的，即只要有一个部件失灵，整个系统就不能正常工作．为了提高系统的可靠性，在每个部件上都装有主要元件的备用件及自动投入装置(即当所使用元件损坏时，备用元件可自动替代之而开始工作)明显地，备用件越多，整个系统正常工作的可靠性就越大. 但是，备用件过多势必导至整个系统的成本、重量和体积相应增大，工作精度也会降低. 因此，配置的最优化问题便被提出来了：在某些限制性条件之下，如何确定各部件的备用件数量，使整个系统的工作可靠性最大? 这是一个整体系统的可靠性问题.我们假设第i 个部件上装有i x 个备用件(1,2,,)i N =,此时该部件正常工作的概率为()i p x ，那么整个系统正常工作的可靠度便可用1()ni i p p x ==∏ （9.1）来表示.又设第i 个部件上的每个备用件的费用为i C ，重量为i W ，并要求总费用不超过C ，总重量不超过W ，则问题的数学模型便写成为1max ()ni i p p x ==∏合理的决策必须具备三个条件：（1）目标合理；（2）决策结果满足预定目标的要求；（3）决策本身符合效率、满意、有限合理、经济性的原则。

所谓风险型决策是指在作出决策时，往往有某些随机性的因素影响，而决策者对于这些因素的了解不足，但是对各种因素发生的概率已知或者可估算出来，因此这种决策存在一定的风险.①风险决策模型的基本要素决策者——进行决策的个人、委员会或某个组织.在问题比较重大和严肃时，通常应以后者形式出现.方案或策略——参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋略. 如渔民要决定出海打鱼与否便是两个方案或称两个策略.准则——衡量所选方案正确性的标准.作为风险型决策，采用的比较多的准则是期望效益值准则，也即根据每个方案的数学期望值作出判断.对收益讲，期望效益值越大的方案越好；反之对于损失来讲，期望效益值越小的方案越好.事件或状态——不为决策者可控制的客观存在的且将发生的自然状态称为状态(事件)，如下小雨，下大雨和下暴雨即为三个事件或称三种状态，均为人所不可控因素.结果——某事件(状态)发生带来的收益或损失值.②风险决策方法•利用树形图法表示决策过程具有直观简便的特点，将其称为决策树的方法.•充分利用灵敏度分析(即优化后分析)方法对决策结果作进一步的推广和分析.决策树一般都是自上而下的来生成的。

数学建模习题指导第一章 初等模型讨论与思考讨论题1 大小包装问题在超市购物时你注重到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。

（1）分析商品价格C 与商品重量w 的关系。

（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，并解释其实际意义。

提示：决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。

单价随重量增加而减少单价的减少随重量增加逐渐降低思考题2 划艇比赛的成绩赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。

各种艇虽大小不同，但形状相似。

T .A .M c M a h o n 比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m 比赛的最好成绩(包括1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。

建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。

329434w w c γβ+=''-各种艇的比赛成绩与规格第二章 线性代数模型森林管理问题森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。

为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。

被出售的树木，其价值取决于树木的高度。

开始时森林中的树木有着不同的高度。

我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。

思考：试解释为什么模型中求解得到的 为每周平均销售量会略小于模型假设中给出的1。

练习：857.0 nR将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0或1时订购，使下周初的库存达到3架；否则，不订购。

建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。

2.将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0时订购本周销售量加2架；否则，不订购。

建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。