第34讲 概率

《概率》讲义一、什么是概率在我们的日常生活中，经常会听到“可能”“也许”“大概”这样的词汇，这些词所表达的不确定性，在数学中就可以用概率来描述。

概率，简单来说，就是衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。

比如抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上的可能性各占一半，我们就说抛硬币正面朝上的概率是 05 。

概率的取值范围在 0 到 1 之间。

如果一个事件完全不可能发生，那么它的概率就是0 ；如果一个事件肯定会发生，那么它的概率就是1 。

而大部分事件发生的概率则介于 0 和 1 之间。

二、概率的计算方法计算概率有多种方法，其中最基本的就是古典概型和几何概型。

古典概型适用于试验结果有限且等可能的情况。

例如，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。

因为总共有 8 个球，取出每个球的可能性相等，而红球有 5 个，所以取出红球的概率就是 5÷8 ＝ 0625 。

几何概型则适用于试验结果是无限的情况。

比如在一个单位圆中随机取一点，求这个点落在圆的某个扇形区域内的概率，这时就需要通过计算扇形区域的面积与整个圆的面积之比来得到概率。

除了这两种基本的概型，还有一些更复杂的概率计算方法，比如条件概率和全概率公式。

条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

例如，已知今天下雨，明天也下雨的概率就是一个条件概率。

全概率公式则是将一个复杂的事件分解为多个简单的互斥事件，然后通过这些简单事件的概率来计算复杂事件的概率。

三、概率在生活中的应用概率在我们的生活中有着广泛的应用，从简单的游戏到复杂的决策都离不开它。

在彩票中，虽然中奖的概率极低，但仍然吸引着很多人购买，这是因为人们总是抱着一丝侥幸心理，希望自己成为那个幸运儿。

但从概率的角度来看，购买彩票中大奖更多的是一种娱乐，而不是可靠的致富方式。

在保险行业，保险公司通过对各种风险发生的概率进行计算和评估，来确定保险的费率和赔偿金额。

《概率的概念》讲义一、什么是概率在我们的日常生活中，常常会听到“可能”“也许”“大概”这样的词汇，而这些表述其实都与概率有着千丝万缕的联系。

那么，究竟什么是概率呢？概率，简单来说，就是用来衡量某个事件发生的可能性大小的一个数值。

它的取值范围在 0 到 1 之间。

如果一个事件发生的概率为 0，那就意味着这个事件几乎不可能发生，是一种极其罕见的情况；而如果一个事件发生的概率为 1，那就表示这个事件肯定会发生，没有任何意外。

举个例子，比如说抛硬币。

当我们抛一枚质地均匀的硬币时，出现正面朝上和反面朝上的可能性是相等的。

所以，抛硬币正面朝上的概率就是 05，反面朝上的概率也是 05。

再比如，从一副完整的扑克牌（除去大小王）中随机抽取一张牌，抽到红桃的概率是 1/4，因为扑克牌一共有四种花色，每种花色的牌数量相等。

二、概率的计算方法计算概率的方法主要有两种：古典概型和几何概型。

古典概型是指在一个试验中，所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。

计算古典概型的概率，我们通常使用公式：P(A) ＝事件 A 包含的基本事件数／基本事件总数。

还是以抛硬币为例，抛硬币这个试验中，基本事件只有两个，即正面朝上和反面朝上。

所以，抛硬币正面朝上的概率 P(正面朝上) ＝ 1 ／2 ＝ 05。

几何概型则是在一个试验中，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积或体积成比例。

比如说，在一个数轴上的区间 0, 10内随机取一个点，取到 5 到 8 之间的点的概率，就可以通过计算区间 5,8 的长度与区间 0, 10 的长度之比来得到。

三、概率的性质概率具有一些重要的性质，理解这些性质有助于我们更好地运用概率解决问题。

首先，概率的值永远在 0 到 1 之间，包括 0 和 1。

这是因为概率是用来衡量可能性大小的，不可能出现小于 0 或者大于 1 的情况。

其次，必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0。

必然事件是指一定会发生的事件，比如“太阳从东方升起”，其概率就是 1；不可能事件是指绝对不会发生的事件，比如“月亮变成正方形”，其概率就是0。

第34讲矩、协方差矩阵、多元正态分布的性质主题概述：1、矩2、多元随机变量的数字特征（数学期望与协方差矩阵）3、多元正态分布的概率密度4、多元正态分布的四条性质定义1: X 为一个随机变量,若 存在，则称之为X 的k 阶(原点)矩；若 存在,则称之为X 的k 阶中心矩.之前所提到的随机变量的期望和方差就是其1阶原点矩和2阶中心矩. (), 1,2,k E X k ={}[()], 1,2,k E X E X k -=定义2: X 与Y 为两个随机变量,若 存在，则称之为X 与Y 的k+l 阶混合(原点)矩；若存在, 则称之为X 与Y 的k+l 阶混合中心矩.之前所提到的随机变量的协方差就是其1+1阶混合中心矩.{},1,2,k l E X Y k l =, {}[()][()], ,1,2,k l E X E X Y E Y k l --=定义3: 设n 元随机变量 若其每 一分量的数学期望都存在,则称12(,,,), 1,Tn X X X X n =≥12()((),(),()), 1,Tn E X E X E X E X n =≥X 为n 元随机变量 的数学期望(向量).定义4: 设n 元随机变量若 12(,,,), 1,Tn X X X X n =≥1121212212()(,)(,)(,)()(,)()(,)(,)()n n n n n D X Cov X X Cov X X Cov X X D X Cov X X C Cov X Cov X X Cov X X D X ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭X 为n 元随机变量 的协方差矩阵. (,), ,1,2,i j Cov X X i j n =都存在, 则称即： (), (,), ,1,2,,.⨯===ij n n ij i j C c c Cov X X i j n （是对称非负定矩阵）n 元正态随机变量的联合概率密度的矩阵表示引入列向量1212(,,,), ((),(),,()),T T n n x x x x E X E X E X μ==则n 元正态随机变量 其联合概率密度为 12(,,,), 1,Tn X X X X n =≥ (), (,), ,1,2,.ij n n ij i j C c c Cov X X i j n ⨯===协方差矩阵为 {}12211211(,,,)()().2(2)n T n f x x x exp x C x C μμπ-=---反之, 若均为一元正态变量, 且相互独立, 则 12(,,,), 1,T n X X X X n =≥ 1. n 元正态随机变量其任意子向量 均服从k 元正态分布. 12(,,,)(1)kT i i i X X X k n ≤≤特别地, 其中的每一个分量 都是一元正态变量. ,1,2,,i X i n =,1,2,,i X i n =12(,,,), 1,T n X X X X n =≥是n 元正态随机变量.如: 123(,,)T X X X X =为3元正态随机变量, 则(,),(,),(,)T T T X X X X X X 均为二元正态变量.12(,,,), 1,T n X X X X n =≥2. n 元随机变量 服从n 元正态分布 的任意线性组合 01122n nl l X l X l X ++++12,,,n X X X ⇔均服从一元正态分布, 其中 不全为0. 12,,,n l l l 如: 123(,,)TX X X X =为3元正态随机变量, 则 12132133,241,32X X X X X X X -++---均为一元正态变量.这一性质称为正态变量的线性变换不变性.12(,,,), 1,Tn X X X X n =≥ 3. n 元正态随机变量 若12,,,)T k Y Y Y (均为 的线性函数，则 12,,,,1,k Y Y Y k ≥,1,2,,i X i n =也服从k 元正态分布. 123(,,)TX X X X =为3元正态随机变量, 则 12132132(3, 241, 32, )-++---T X X X X X X X X 服从4元正态分布. 如:n 元正态随机变量的四条重要性质12(,,,), 1,T n X X X X n =≥4. 设 服从n 元正态分布, 则12,,, ⇔两两不相关n X X X 12()000()000()n D X D X C D X ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12,,, 相互独立n X X X .⇔的协方差矩阵为对角矩阵X1(,)(0,1;1,4;),2X Y N - 设随机变量服从二元正态分布例1:求: 1212(1)(2);(2)(2);(3)(,),,.->=+=-的分布 D X Y P X Y Z Z Z X Y Z X Y 1 :(0,1),:(1,4),.2 ρ~~-由题意知 解＝XY X N Y N ((1),),()()ρ= 由于 XY Cov X Y D X D Y (,)11(1(.))22XY Cov X Y D X D Y ρ=-⨯⨯=-从而 ＝故(2)(2)()2(2,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+-+-4144(1)12.=⨯+-⨯-=4()()(,)4D X D Y Cov X Y -=+2(2)(,),x yP X Y f x y dxdy >>=⎰⎰2~(1,12).X Y N --(2)2()()E X Y E X E Y -=-(2)(20)>=->故 P X Y P X Y 1(2)(,)~(0,1;1,4;),(2);2-> X Y N P X Y 求: 想到——不可行！！(2)(20),=>->由于 P X Y P X Y 2,(,),,, 根据多元正态的性质由于服从二元正态分布故其分量的任意线性组合服从一元正态即可得 X Y 2(1)0(1)1()1().121223-----=>=-ΦX Y P3(,)~(1,1;3,7;).-- Z Z N 则12()()()1; ()()()1;=+==-=-E Z E X E Y E Z E X E Y 12,(,).3根据多元正态的性质即正态变量的线性变换不变性，可知也服从二元正态分布Z Z 12()()()()2(,)142(1)3;()()()()2(,)142(1)7;=+=++=++⨯-==-=+-=+-⨯-=D Z D X Y D X D Y Cov X Y D Z D X Y D X D Y Cov X Y 121212(,)(,)(,)(,)(,)=()(Z )37ρ-+-=⨯Z Z Cov Z Z Cov X X Cov X Y Cov Y X Cov Y Y D Z D 12121(3)(,)~(0,1;1,4;),(,),,.2-=+=- X Y N Z Z Z X Y Z X Y 求:的分布 143==--；(,),(1,1),(2,4),,:(,)(2,2),(). ~~-- 设随机变量服从二元正态分布 且两分量独立求的:分布及例2X Y X N Y N X Y Cov X Y X Y E XY 4,:, 根据多元正态的性质知两分量是不相关的解故(,)(1,2;1,4;0).~X Y N 从而 (2,2)(2,)(2,2)(,)(,2)2()002()212410.--=+-+-+--=+++=⨯+⨯=Cov X Y X Y Cov X X Cov X Y Cov Y X Cov Y Y D X D Y ,再次利用分量的不相关性可知()()()12 2.==⨯=E XY E X E Y。

第34讲 归纳、猜想与说理型问题(建议该讲放第11讲后教学)类型一 通过数式变化产生规律例1 (2019·淄博)(1)填空：(a －b)(a ＋b)＝ ； (a －b)(a 2＋ab ＋b 2)＝ ； (a －b)(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝ ； (2)猜想：(a －b)(an －1＋an －2b ＋…＋abn －2＋bn －1)＝ (其中n 为正整数，且n≥2)；(3)利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.【解后感悟】此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证．对于本题来说，关键是先计算，再观察各等式的结构，猜想结果并验证．对于(3)根据结构特征进行设、列来构建等式求解．1．(1)(2019·资阳模拟)设一列数中相邻的三个数依次为m 、n 、p ，且满足p ＝m 2－n ，若这列数为－1，3，－2，a ，－7，b …，则b ＝ .(2)(2019·德州模拟)有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：输入x ――→第1次y 1＝2x x ＋1――→第2次y 2＝2y 1y 1＋1――→第3次y 3＝2y 2y 2＋1――→…则第n 次运算的结果y n ＝ (用含字母x 和n 的代数式表示)．类型二 通过图形变化产生规律例2 (2019·达州)如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是( )A ．25B ．33C ．34D ．50【解后感悟】本题通过一次操作，得到下一个图形的三角形个数与上一个图形的三角形个数之间的数量关系是解题的关键．解决这类问题的关键是仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律．具体地说，先根据图形写出数字规律，然后将每一个数字改写为等式，再比较各等式的相同点和不同点，分析不同点(数字)与等式序号之间的关系，从而得到一般规律．2．(2019·舟山)如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan ∠BA 1C ＝1，tan ∠BA 2C ＝13，tan ∠BA 3C ＝17，计算tan ∠BA 4C ＝____________________，…按此规律，写出tan ∠BA n C ＝____________________(用含n 的代数式表示)．类型三 通过平移、折叠产生规律例3 如图，直角三角形纸片ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设P n－1D n－2的中点为D n－1，第n次将纸片折叠，使点A与点D n－1重合，折痕与AD交于点P n(n＞2)，则AP6的长为( )A.5×35212B.365×29C.5×36214D.375×211【解后感悟】此题是翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式，从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力．3．如图，矩形OABC的两条边在坐标轴上，OA＝1，OC＝2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n 次(n＞1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为(用含n的代数式表示)．类型四通过旋转产生规律例4(2019·衢州)如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________，翻滚2019次后AB中点M经过的路径长为________．【解后感悟】解题的关键是尝试特殊情况，寻找循环规律，从特殊到一般的探究方法解决问题．4．(2019·东港模拟)如图，点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB1为一边，构造等边△OB1A1(点O，B1，A1按逆时针方向排列)，称为第一次构造；点B2是△OB1A1的两条中线的交点，再以OB2为一边，构造等边△OB2A2(点O，B2，A2按逆时针方向排列)，称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OB n A n 的边OA n 与等边△OBA 的边OB 第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是 .类型五 以数轴、平面直角坐标系为背景的规律问题例5 (2019·菏泽)如图，一段抛物线：y ＝－x(x －2)(0≤x≤2)记为C 1，它与x 轴交于两点O ，A 1；将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2；将C 2绕A 2旋转180°得到C 3，交x 轴于A 3；…如此进行下去，直至得到C 6，若点P(11，m)在第6段抛物线C 6上，则m ＝ .【解后感悟】此题是抛物线其中一段的旋转规律，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．5．(1)如图，在数轴上，A 1，P 两点表示的数分别是1，2，A 1，A 2关于点O 对称，A 2，A 3关于点P 对称，A 3，A 4关于点O 对称，A 4，A 5关于点P 对称…依此规律，则点A 14表示的数是 .(2) (2019·达州)在直角坐标系中，直线y ＝x ＋1与y 轴交于点A 1，按如图方式作正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2…，A 1、A 2、A 3…在直线y ＝x ＋1上，点C 1、C 2、C 3、…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S 1，S 2，S 3，…S n ，则S n 的值为____________________(用含n 的代数式表示，n 为正整数)．【探索研究题】用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S ，该多边形各边上的格点个数和为a ，内部的格点个数为b ，则S ＝12a ＋b －1(史称“皮克公式”)．小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角形格中的类似问题进行探究：正三角形格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：根据图中提供的信息填表：则S 与a 、b 之间的关系为S ＝________(用含a 、b 的代数式表示)．【方法与对策】此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．该题型采用特殊到一般探究问题的方法．是中考命题的一种方式．【探求一般规律，注意序号与变量之间对应关系】如图，△ABC 是斜边AB 的长为3的等腰直角三角形，在△ABC 内作第1个内接正方形A 1B 1D 1E 1(D 1、E 1在AB 上，A 1、B 1分别在AC 、BC 上)，再在△A 1B 1C 内按同样的方法作第2个内接正方形A 2B 2D 2E 2，…如此下去，操作n 次，则第n 个小正方形A n B n D n E n 的边长是________．第34讲 归纳、猜想与说理型问题【例题精析】例1 (1)a 2－b 2，a 3－b 3，a 4－b 4； (2)a n－b n； (3)令S ＝29－28＋27－…＋23－22＋2，∴S －1＝29－28＋27－…＋23－22＋2－1＝[2－(－1)](29－28＋27－…＋23－22＋2－1)÷3＝(210－1)÷3＝(1024－1)÷3＝341，∴S ＝342.例2 ∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个；…∴第n 次操作后，三角形共有4＋3(n －1)＝(3n ＋1)个；当3n ＋1＝100时，解得：n ＝33，故选：B.例 3 由题意得，AD ＝12BC ＝52，AD 1＝AD －DD 1＝158，AD 2＝5×3225，AD 3＝5×3327，…∴AD n ＝5×3n22n ＋1.故AP 1＝54，AP 2＝1516，AP 3＝5×3226…AP n ＝5×3n －122n.∴当n ＝6时，AP 6＝5×35212.故选A.例4 如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝5，B 3E ＝3，∴B 3(5，3)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为120π·3180＋120π·1180＋120π·1180＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋43π，∵2019÷3＝672……1，∴翻滚2019次后AB 中点M 经过的路径长为672·⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋43π＋233π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫134633＋896π.故答案为(5，3)；⎝ ⎛⎭⎪⎫134633＋896π.例5 ∵y＝－x(x －2)(0≤x≤2)，∴配方可得y ＝－(x －1)2＋1(0≤x≤2)，∴顶点坐标为(1，1)，∴A 1坐标为(2，0)，∵C 2由C 1旋转得到，∴OA 1＝A 1A 2，即C 2顶点坐标为(3，－1)，A 2(4，0)；照此类推可得，C 3顶点坐标为(5，1)，A 3(6，0)；C 4顶点坐标为(7，－1)，A 4(8，0)；C 5顶点坐标为(9，1)，A 5(10，0)；C 6顶点坐标为(11，－1)，A 6(12，0)；∴m＝－1.故答案为：－1.【变式拓展】1．(1)128 (2)2nx （2n－1）x ＋1 2.113 1n 2－n ＋1 3.145n （n ＋1）或65n （n ＋1） 4.1310 5.(1)－25 (2)22n －3【热点题型】【分析与解】根据8＝8＋2(1－1)，11＝7＋2(3－1)得到S ＝a ＋2(b －1)． 填表如下：【错误警示】∵∠A＝∠B＝45°，∴AE1＝A1E1＝A1B1＝B1D1＝D1B，∴第一个内接正方形的边长＝3AB＝1；同理可得：第二个内接正方形的边长＝13A1B1＝19AB＝13；第三个内接正方形的边长＝13A2B2＝127AB＝19；故可推出第n个小正方形A n B n D n E n的边长＝13n AB＝13n－1，故答案为：13n－1.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB 4=，BAD ∠的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，DG AE ⊥，垂足为G ，若DG 1=，则AE 的边长为( )A ．B ．C ．4D ．82．如图所示，点A 是双曲线y=1x（x ＞0）上的一动点，过A 作AC ⊥y 轴，垂足为点C ，作AC 的垂直平分线双曲线于点B ，交x 轴于点D ．当点A 在双曲线上从左到右运动时，四边形ABCD 的面积（ ）A ．不变B ．逐渐变小C ．由大变小再由小变大D ．由小变大再由大变小3．若k ＞0，点P （﹣k ，k ）在第（ ）象限． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，则sin B 的值为（ ）A ．23B ．35C ．34D ．455．如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点(-1，0)与(0，2)，则关于x 的不等式kx+b ＞0的解集是( )A ．x 1>-B ．x 1<-C ．x 2>D ．x 2<6．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AD=ABC S ∆=tanC 的值为（ ）A ．13 B ．12C D 7．下列函数中，自变量x 的取值范围为x ＞1的是（ ）A ．y =B ．11-=x yC ．11-=x y D ．y ＝（x ﹣1）08．关于x 的正比例函数，y=（m+1）23m x -若y 随x 的增大而减小，则m 的值为 （ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．-129．要组织一次羽毛球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排6天，每天安排6场比赛，设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为( ) A ．()1x x 1362+= B ．()1x x 1362-= C ．()x x 136+= D ．()x x 136-=10．下面是一个几何体的俯视图，那么这个几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象，对于下列说法：①ac ＞0，②2a+b ＞0，③4ac ＜b 2，④a+b+c ＜0，⑤当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤12．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出两个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．12二、填空题13．矩形的面积是240m ，设它的一边长为x （单位：m ），则矩形的另一边长y （单位：m ）与x 的函数关系是__________．14．已知直线y 1＝kx ＋1(k ＜0)与直线y 2＝nx(n ＞0)的交点坐标为(13，13n )，则不等式组nx －3＜kx ＋1＜nx 的解集为______．15．若a ，b 分别是方程x 2+2x-2017=0的两个实数根，则a 2 +3a+b=_________． 16．函数y =中，自变量x 的取值范围是________. 17．因式分解：244a a -+=____.18．这段时间，一个叫“学习强国”的理论学习平台火了，很多人主动下载、积分打卡，兴起了一股全民学习的热潮．据不完全统计，截止4月2号，华为官方应用市场“学习强国APP”下载量已达8830万次，请将8830万用科学记数法表示为是_____． 三、解答题 19．如图，ABC ∆为O 的内接三角形，AB 为O 的直径，过A 作AB 的垂线，交BC 的延长线于点D ，O 的切线CE 交AD 于点E .（1）求证：12CE AD =； （2）若点F 为直径AB 下方半圆的中点，连接CF 交AB 于点G ，且AD=6，AB=3，求CG 的长．20．阅读下列材料，解决问题：12345678987654321这个数有这样一个特点：各数位上的数字从左到右逐渐增大（由1到9，是连续的自然数），到数9时，达到顶峰，以后又逐渐减小（由9到1），它活像一只橄榄，我们不妨称它为橄榄数．记第一个橄榄数为a 1＝1，第二个橄榄数为a 2＝121，第三个橄榄数为a 3＝12321……有趣的是橄榄数还是一个平方数，如1＝12，121＝112，12321＝1112，1234321＝11112……而且，橄榄数可以变形成如下对称式：1111⨯=2222121121⨯=++3333331232112321⨯=++++…… 根据以上材料，回答下列问题（1）11111112＝ ；将123454321变形为对称式：123454321＝ ．（2）一个两位数（十位大于个位），交换其十位与个位上的数字，得到一个新的两位数，将原数和新数相加，就能得到橄榄数121，求这个两位数．（3）证明任意两个橄榄数a m ，a n 的各数位之和的差能被m ﹣n 整除（m ＝1，2…9，n ＝1，2…9，m ＞n ）21．已知方程组2+24x y ax by =-⎧⎨-=-⎩和方程组3128x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩的解相同，求（2a+b ）2015的值． 22．如图，ABC △的顶点分别为()()()3,4,B 4,2,C 2,1.A（1）请在平面直角坐标系中做出ABC △绕原点O 逆时针旋转90后得到的111A B C △(点,,A B C 的对应点分别为111,,A B C );(2) 画出点A 在旋转过程中所经过的路径，并求出点A 所经过的路径的长23．如图，二次函数图象的顶点为（﹣1，1），且与反比例函数的图象交于点A （﹣3，﹣3）（1）求二次函数与反比例函数的解析式；（2）判断原点（0，0）是否在二次函数的图象上，并说明理由；（3）根据图象直接写出二次函数的值小于反比例函数的值时自变量x 的取值范围．24．传统文化与我们生活息息相关，中华传统文化包括古文古诗、词语、乐曲、赋、民族音乐、民族戏剧、曲艺、国画、书法、对联、灯谜、射覆、酒令、歇后语等．在中华优秀传统文化进校园活动中，某校为学生请“戏曲进校园”和民族音乐”做节目演出，其中一场“戏曲进校园”的价格比一场“民族音乐”节目演出的价格贵600元，用20000元购买“戏曲进校园”的场数是用8800元购买“民族音乐节目演出场数的2倍，求一场“民族音乐”节目演出的价格．25．解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：2803(2)4xx x-<⎧⎨--⎩…．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．40 yx =14．14 33x<<15．201516．5x>-17．（a-2）218．83×107．三、解答题19．（1）详见解析；（2）5．【解析】【分析】（1）利用AB是⊙O的直径判断AD是⊙O的切线，利用切线长定理判断出AE=CE，进而得出∠DAC=∠EAC，再用等角的余角相等判断出∠D=∠DCE，得出DE=CE，即可得出结论；（2）先求出tan∠ABD值，进而得出GH=2CH，进而得出BC=3BH，再求出BC建立方程求出BH，进而得出GH，即可得出结论．【详解】（1）∵AB是⊙O直径，AB⊥AD，∴AD是⊙O的切线，∵EA，EC是⊙O的切线，∴AE=CE，∴∠DAC=∠ECA，∵∠ACD=90°，∴∠ACE+∠DCE=90°，∠DAC+∠D=90°，∴∠D=∠DCE，∴DE=CE，∴AD=AE+DE=CE+CE=2CE，∴CE=12 AD；（2）如图，在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，∴tan∠ABD=ADAB=2，过点G作GH⊥BD于H，∴tan∠ABD=GHBH=2，∴GH=2BH，∵点F是直径AB下方半圆的中点，∴∠BCF=45°，∴∠CGH=∠CHG-∠BCF=45°，∴CH=GH=2BH，∴BC=BH+CH=3BH，在Rt△ABC中，tan∠ABC=ACBC=2，∴AC=2BC，根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2，∴4BC2+BC2=9，∴，∴，∴，∴，在Rt△CHG中，∠BCF=45°，∴5．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出tan∠ABD的值是解本题的关键．20．（1）55555555551234567654321,123454321⨯++++++++；（2）65，74，83，92；（3）任意两个橄榄数a m，a n的各数位之和的差能被m﹣n整除．【解析】【分析】（1）根据题中给出的定义，直接可得：（2）设十位数字是x，个位数字是y，根据题意得到x+y=11，进而确定两位数；（3）根据数的规律求得a m的各数位之和m2，a n的各数位之和n2，然后因式分解证明结论. 【详解】（1）根据题中给出的定义，直接可得：11111112＝1234567654321，123454321＝⨯++++++++5555555555 123454321；（2）设十位数字是x，个位数字是y，x＞y，10x+y+10y+x＝11（x+y）＝121，∴x+y＝11，∴这个两位数是65，74，83，92；（3）a m的各数位之和1+2+3+…+m+（m﹣1）+…+2+1＝(1)(1)22m m m m+-+＝m2，a n的各数位之和1+2+3+…+m+（m﹣1）+…+2+1＝(1)(1)22n n n n+-+＝n2，∴a m，a n的各数位之和的差为m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），∵m＞n，∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）能被m﹣n整除，∴任意两个橄榄数a m，a n的各数位之和的差能被m﹣n整除．【点睛】本题考查新定义，字母表示数，自然数求和，因式分解；能够理解定义，熟练掌握因式分解，自然数求和方法是解题的关键．21．【解析】【分析】由两个方程组中不含a、b的两个方程可组成一个新的方程组，可求得x、y的值，再代入含有a、b的两个方程，可得到关于a、b的方程组，可求得a、b的值，代入计算即可．【详解】方程组224x yax by+-⎧⎨--⎩＝①＝②与3128x ybx ay＝③＝④-⎧⎨+-⎩有相同的解，∴由①、③可得方程组22312x y x y +-⎧⎨-⎩＝＝，解得26x y ⎧⎨-⎩＝＝， 再把26x y ⎧⎨-⎩＝＝代入②、④可得方程组264268a b b a +-⎧⎨--⎩＝＝，解得11a b ⎧⎨-⎩＝＝， ∴（2a+b ）2015=（2-1）2015=1．【点睛】本题主要考查方程组的解法，利用方程组的解相同求得方程组中x 、y 的值是解题的关键．22．(1) 111A B C △如图所示见解析；(2) 路径如图所示见解析，路径长为52π 【解析】【分析】（1)在平面直角坐标系中画出A,B,C 的对应点111,,A B C ,然后顺次连接即可;(2)求出AO 的长，根据弧长公式进行计算即可求出点A 所经过的路径长.【详解】(1) 111A B C △如图所示(2) 路径如图所示，则路径长为905180π⋅⋅ =52π. 【点睛】此题考查作图-旋转变换，解题关键在于掌握作图法则23．（1）y ＝﹣（x+1）2+1，9y x=；（2）原点（0，0）是在二次函数的图象上；（3）当x ＜﹣3或x ＞0时二次函数的值小于反比例函数的值．【解析】【分析】（1）设二次函数为y ＝a （x+1）2+1，设反比例函数的解析式为y ＝k x，把A 点的坐标代入，关键待定系数法即可求得；（2）把x ＝0代入求得的二次函数的解析式即可判断；（3）由两函数的图象直接写出x 的取值范围即可．【详解】解：（1）设二次函数为y＝a（x+1）2+1，∵经过点A（﹣3，﹣3）∴﹣3＝4a+1，∴a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+1，设反比例函数的解析式为y＝kx，∵二次函数的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，﹣3）∴k＝﹣3×（﹣3）＝9，∴反比例函数的解析式为y＝9x；（2）把x＝0代入y＝﹣（x+1）2+1，得y＝﹣1+1＝0，∴原点（0，0）是在二次函数的图象上；（3）由图象可知，二次函数与反比例函数图象的交点为A（﹣3，﹣3），当x＜﹣3或x＞0时二次函数的值小于反比例函数的值．【点睛】本题是一道函数的综合试题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式和求二次函数的解析式，由图象特征确定自变量的取值范围．24．一场“民族音乐”节目演出的价格为4400元．【解析】【分析】设一场“民族音乐”节目演出的价格为x元，根据等量关系：用20000元购买“戏曲进校园”的场数是用8800元购买“民族音乐节目演出场数的2倍列出分式方程求解即可.【详解】设一场“民族音乐”节目演出的价格为x元，则一场“戏曲进校园”的价格为（x+600）元．由题意得：2000088002600x x=⨯+解得：x＝4400经检验x＝4400是原分式方程的解．答：一场“民族音乐”节目演出的价格为4400元．【点睛】本题运用了分式方程解应用题，找准等量关系列出方程是解决问题的关键.25．1≤x＜4，见解析.【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．【详解】解：2803(2)4 xx x-<⎧⎨--⎩①②…解不等式①得：x＜4，解不等式②得：x≥1，所以不等式组的解集是：1≤x＜4，表示在数轴上如下：【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在5×5的方格纸中将图①中的图形N 平移到如图②所示的位置，那么下列平移正确的是A ．先向下移动1格，再向左移动1格B ．先向下移动1格，再向左移动2格C ．先向下移动2格，再向左移动1格D ．先向下移动2格，再向左移动2格2．在函数y =x 的取值范围是（ ） A.x 2≠-B.x 0>C.x 2>-D.x 2≥- 3．12019的倒数是（ ） A.12019 B.﹣12019C.2019D.﹣2019 4．2018年10月24日港珠澳大桥正式通车.港珠澳大桥是在“一国两制”框架下，粤港澳三地首次合作共建的超大型基础设施项目，总投资约480亿元，大桥全长55000米，主体工程集合了桥、岛、隧三部分.隧道两端的东西两个海中人工岛，犹如“伶仃双贝”熠熠生辉，寓意三地同心的青州航道桥，形似中华白海豚的江海直达航道桥，以及扬帆起航的九洲航道桥，也是伶仃洋上别致的风景.将数据480亿用科学记数法表示为（ ）A ．848010⨯B ．94810⨯C ．104.810⨯D ．110.4810⨯5．下列运算正确的是（ ）A.a 2×a 3＝a 6B.a 2+a 2＝2a 4C.a 8÷a 4＝a 4D.（a 2）3＝a 56．如图所示，在直角坐标系中，A 点坐标为（-3，-2），⊙A 的半径为1，P 为x 轴上一动点，PQ 切⊙A 于点Q ，则当PQ 最小时，P 点的坐标为（ ）A ．（-3，0）B ．（-2，0）C ．（-4，0）或（-2，0）D ．（-4，0）7．计算（2sin60°+1）+（﹣0.125）2006×82006的结果是（ ）A B C +2 D ．08．下列运算正确的是( )A ．336a a a +=B ．222()a b a b +=+C ．22122m m -= D ．2222)2961a a a ÷=-+ 9．如图，将一副三角板如图放置，BAC ADE 90∠∠==，E 45∠=，B 60∠=，若AE //BC ，则AFD (∠= )A ．75B ．85C ．90D ．6510．为了改善人民生活环境，建设美丽家园，某省第一季度投放垃圾箱及环境保护牌共250000个．将250000用科学记数法表示为（ ）A ．2.5×104B ．2.5×105C ．25×104D ．0.25×10711．函数x 的取值范围是（ ）A ．x≥-3B ．x≠-3C ．x>-3D ．x≤-312．为执行“均衡教育”政策，某区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是（ ）A ．2500(12)12000x +=B ．22500(1)12000x +=C ．25002500(1)2500(12)12000x x ++++=D ．225002500(1)2500(1)12000x x ++++=二、填空题13．有六张分别印有三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片（这些卡片除图案不同外，其余均相同）.现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为____.14．甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.5环，方差分别是S 甲2=0.90平方环，S 乙2=1.22平方环，在本次射击测试中，甲、乙两人中成绩较稳定的是__．15．如图，在Rt △OAB 中，OA=4，AB=5，点C 在OA 上，AC=1，⊙P 的圆心P 在线段BC 上，且⊙P 与边AB ，AO 都相切．若反比例函数 k y x= （k≠0）的图象经过圆心P ，则k=________.16．直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中如图所示，则关于x 的不等式12k x b k x +>的解为________________．17．如图，点A 的坐标（﹣1，2），点A 关于y 轴的对称点的坐标为__________．18．某实验室对150款不同型号的保温杯进行质量检测，其中一个品牌的30款保温杯的保温性、便携性与综合质量在此检测中的排名情况如图所示，可以看出其中A 型保温杯的优势是_____．三、解答题19．今年，某社区响应泰州市政府“爱心一日捐”的号召，积极组织社区居民参加献爱心活动．为了解该社区居民捐款情况，对社区部分捐款户数进行分组统计（统计表如下），数据整理成如图所示的不完整统计图．请结合图中相关数据回答下列问题：捐款分组统计表（1）本次调查的样本容量是多少？（2）求出C组的频数并补全捐款户数条形统计图．（3）若该社区有1000户住户，请估计捐款不少于200元的户数是多少？20．（1）计算：|1（12）﹣1﹣2tan60°（2）先化简，再求值：22121()242x x xxx x-++÷-++，其中x﹣1．21．某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度，方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN项部M的仰角为37°，然后在测量点B 处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E．请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan35°≈0.75）22．下面是两个转盘，每个转盘分成几个相等的扇形，甲、乙两个人做游戏，游戏者同时转动两个转盘一次，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，则甲赢否则乙赢．（1）甲和乙获胜的概率分别是多少？（2）这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．（3）如果你认为不公平，应怎样修改才能使游戏对双方公平？23．为了丰富学生的校园文化生活，学校开设了书法、体育、美术音乐共四门选修课程.为了合理的分配教室，教务处问卷调查了部分学生，并将了解的情况绘制成如下不完整的统计图：（1）参与问卷调查的共有________人，其中选修美术的有________人，选修体育的学生人数对应扇形统计图中圆心角的度数为________.（2）补全条形统计图；（3）若每人必须选修一门课程，且只能选一门，已知小红没有选体育，小刚没有选修书法和美术，则他们选修同一门课程的概率是多少，列树状图或列表法求解.24．一件上衣，每件原价500元，第一次降价后，销售甚慢，于是再次进行大幅降价，第二次降价的百分率是第一次降价的百分率的2倍，结果这批上衣以每件240元的价格迅速售出，求两次降价的百分率各是多少．25．如图，已知在矩形ABCD中，E是BC边上的一个动点，点F，G，H分别是AD，AE，DE的中点．（1）求证：四边形AGHF是平行四边形；（2）若BC＝10cm，当四边形EHFG是正方形时，求矩形ABCD的面积．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．1 214．甲15．5 416．1x<-；17．（1，2）18．便携性三、解答题19．（1）50；（2）C组的频数是：50×40%＝20；图见解析；（3）760.【解析】【分析】(1)根据样本的容量=A、B两组捐款户数÷A、B两组捐款户数所占的百分比即可求出(2)C组的频数=样本的容量×C组所占的百分比,进而可以补全捐款户数条形统计图;(3)捐款不少于200元的有C、D、E、两组,捐款不少于200元的户数=1000×D、E两组捐款户数所占的百分比;【详解】解：（1）调查样本的容量是：（10+2）÷（1﹣40%﹣28%﹣8%）＝50；（2）C组的频数是：50×40%＝20；补全捐款户数条形统计图如图所示：（3）估计捐款不少于200元的户数是：1000×（28%+8%+40%）＝760户．【点睛】此题综合考查了频数(率)分布表，扇形统计图，用样本估计总体，频数(率)分布直方图和扇形统计图，需要熟悉以上考点才能解答出此题20．（1+1；（2．【解析】【分析】（1）根据绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】（1）|1|+（12）﹣1﹣2tan60°1+21+2﹣；（2）22121() 242 x x xxx x-++÷-++＝21(2)(21) 222x x x xx x-+-+÷++（）（）＝2212 22221 x xx x x x-+++--（）（）＝211211 xx x-+-（）（）（）＝12(1)xx-+，当x﹣1＝12．【点睛】本题考查分式的化简求值、绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．21．人民英雄纪念碑MN的高度约为36.5米．【解析】【分析】在Rt△MED中，由∠MDE＝45°知ME＝DE，据此设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，在Rt△MEC中，由ME＝EC•tan ∠MCE知x≈0.7（x+15），解之求得x的值，根据MN＝ME+EN可得答案．【详解】由题意得四边形ABDC、ACEN是矩形，∴EN＝AC＝1.5，AB＝CD＝15，在Rt△MED中，∠MED＝90°，∠MDE＝45°，∴ME＝DE，设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，在Rt△MEC中，∠MEC＝90°，∠MCE＝35°，∵ME＝EC•tan∠MCE，∴x≈0.7（x+15），解得：x≈35，∴ME≈35，∴MN＝ME+EN≈36.5，答：人民英雄纪念碑MN的高度约为36.5米．【点睛】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识解题．22．（1）1625，925；（2）不公平，理由见解析；（3）两次都转蓝色，甲赢；两次都转红色，乙赢．【解析】【分析】（1）根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，再根据概率公式计算可得；（2）由（1）的结果，判断两人获胜的概率是否相等，得到结论不公平．（3）只要使甲、乙获胜的概率相等即可．【详解】解：（1）列表如下：由表知，共有25种等可能结果，其中转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色有16种结果，∴甲获胜的概率为16 25，则乙获胜的概率为925；（2）不公平，因为1625≠925；（3）两次都转蓝色，甲赢；两次都转红色，乙赢．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．23．（1）60,12,108°；（2）详见解析；（3）1 6【解析】【分析】（1）用参与了解的音乐的学生数除以所占的百分比即可求得调查的总人数；用总人数减去书法的人数减去体育和音乐的人数就可得到美术的人数；用选修体育的人数除以总人数再乘以360°即可求出对应扇形的圆心角；.（2）根据选修课程的人数补全条形统计图即可；.（3）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．【详解】(1) 由条形统计图可知音乐有24人，由扇形统计图可知音乐占40%，2440%=60∴÷（人）；。

《概率》讲义一、什么是概率在我们的日常生活中，充满了各种不确定性和随机事件。

比如抛硬币时正面朝上还是反面朝上，明天会不会下雨，抽奖能不能中奖等等。

而概率，就是用来衡量这些随机事件发生可能性大小的一个数学概念。

简单来说，如果我们把一个随机事件所有可能的结果都列举出来，那么某个特定结果出现的次数与总结果数的比值，就是这个结果的概率。

概率的取值范围在 0 到 1 之间。

如果一个事件的概率是 0，那就意味着它绝对不会发生；如果概率是 1，那就肯定会发生；而介于 0 和 1 之间的概率值，则表示这个事件发生的可能性有大有小。

举个例子，抛一枚均匀的硬币，结果只有正面和反面两种可能。

所以抛到正面的概率是 1/2，抛到反面的概率也是 1/2。

二、概率的计算方法1、古典概型古典概型是最简单的概率计算模型。

它要求试验中所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。

比如，从一个装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出一个球，问取出红球的概率是多少。

总共有 8 个球，取出红球有 5 种可能，所以取出红球的概率就是 5/8。

古典概型的概率计算公式是：P(A) ＝ n(A) ／n(Ω)，其中 P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 表示事件 A 包含的基本结果数，n(Ω) 表示试验的基本结果总数。

2、几何概型当试验的结果是无限的，比如在一个线段上随机取一个点，或者在一个区域内随机投一个点，这时就用到几何概型。

例如，在一个长度为 10 厘米的线段上，随机取一个点，求这个点落在 3 厘米到 7 厘米之间的概率。

这段区间的长度是 4 厘米，总线段长度是 10 厘米，所以概率就是 4/10 ＝ 2/5。

几何概型的概率计算公式是：P(A) ＝ m(A) ／ m(Ω)，其中 m(A) 表示事件 A 对应的区域的度量（长度、面积、体积等），m(Ω) 表示试验对应的总区域的度量。

3、条件概率条件概率是在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。