【管理资料】概率复习第4讲统计部分汇编

统计概率知识点归纳总结大全1•了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.2•了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率•3•了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.4.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.5.掌握离散型随机变量的分布列.6•掌握离散型随机变量的期望与方差.7.掌握抽样方法与总体分布的估计.&掌握正态分布与线性回归.考点1.求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识：(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A) = card(A)= 口;card (I) n等可能事件概率的计算步骤：(1)计算一次试验的基本事件总数n；(2)设所求事件A,并计算事件A包含的基本事件的个数m(3)依公式P (A) m求值；n(4)答，即给问题一个明确的答复(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A+ B) = P(A)+ P(B);特例：对立事件的概率：P(A) + P(A) = P(A + A) = 1.(3)相互独立事件同时发生的概率：P(A • B)= P(A) • P(B);特例：独立重复试验的概率：P n(k) = C：p k(1 p)nk.其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项.精品文档(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：①求概率的步骤是：等可能事件第一步，确定事件性质互斥事件独立事件n次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种•第二步，判断事件的运算和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件等可能事件：P(A) m第二步，运用公式n 求解互斥事件：P(A B) P(A) P (B)独立事件：P(A B) P(A) P(B) n次独立重复试验：P n(k) C：p k(1 p)n k第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复•考点2离散型随机变量的分布列1•随机变量及相关概念①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母E、n等表示.②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量•2•离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量可能取的值为x1, x2, ..... , X i , ............... ,取每一个值X i (i 1, 2,……)的概率P ( X i) =P i，则称下表•为随机变量的概率分布，简称的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：C1)P 0，i 1，2,...;(2) R P2 (1)②常见的离散型随机变量的分布列：(1 )二项分布n次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能的取值为0, 1 , 2,…n,并且P k P( k) C：p k q nk，其中0 k n , q 1 p，随机变量的分布列如下：~ B(n, p)pCn p k q n k b(k ; n , p).(2)几何分布在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.随机变量的概率分布为：考点3离散型随机变量的期望与方差随机变量的数学期望和方差(1)离散型随机变量的数学期望：E X!" X2P2…；期望反映随机变量取值的平均水平•⑵离散型随机变量的方差：D (X i E )2P1 (X2 E )2P2…(X n E )2P n…；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.⑶基本性质：E(a b) aE b ; D(a b) a2D .⑷若〜B(n , p)，贝V E np ； D =npq (这里q=1-p)；如果随机变量服从几何分布，P( k) g(k,p)，则E1 , D =电其中q=1-p.p p2考点4抽样方法与总体分布的估计抽样方法1 •简单随机抽样：设一个总体的个数为N,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样•常用抽签法和随机数表法•2.系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样(也称为机械抽样)•3.分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样•总体分布的估计由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地, 样本容量越大，这种估计就越精确•总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布•当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图•当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布•总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线•考点5正态分布与线性回归1•正态分布的概念及主要性质(1 )正态分布的概念如果连续型随机变量的概率密度函数为f(x) x R其中、常数，并且 > 0,则称服从正态分布，记为~N ( , 2)(2)期望E =「方差D(3 )正态分布的性质正态曲线具有下列性质：①曲线在x轴上方，并且关于直线x =口对称•②曲线在x= 口时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低•③曲线的对称轴位置由口确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”；反之越“高瘦”.(4)标准正态分布当=0 , =1时服从标准的正态分布，记作〜N （0 , 1）(5 )两个重要的公式①(x) 1 (x),② P(a b) (b) (a).(6) N( , 2)与N(0,1)二者联系•(1)若〜N( , 2)，贝V ------------- N(0,1);②若~N( , 2)，则P(a b) ( —) ( —)• 2•线性回归简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法•变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循•回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法•它可以提供变量之间相关关系的经验公式•具体说来，对n个样本数据（为,屮），（X2,y2），…，（x n,y n），其回归直线方程，或经验公式为：n? bx a.其中，i1Xy i冋，其中X,y分别为|讣|yj的平均b n ,a y b x,x n（x）2i 1数.。

概率与统计复习资料The document was prepared on January 2, 2021概率与统计的复习探讨株洲市攸县第一中学 陈卫旭概率与统计是教学大纲新增设的教学内容,这一章的内容,既与日常生活有着密切的联系,又与原大纲中的排列组合紧密联系的.所以,这一章的内容,是近几年高考的重点内容.如何搞好这一部分的复习,下面我谈谈我们的一些做法：一、高考对本章知识的要求. 二、近三年湖南省对于本章知识的考查三、近三年高考试题分析1高考对于概率与统计部分内容的考查,难度要求不高,以中档题或中档偏易题为主,故对于本章节的复习重点是：掌握基础知识,熟练技能,巩固概念.2三年的高考试题都体现了“突出应用能力考查”和“突出新增加内容的教学价值和应用功能”,以贴近学生生活的实际问题为背景,将课本知识与实际问题结合,体现数学的应用功能.3从我省三年的高考试题来看,文科试题分值基本上保持稳定,每年都是2道题,04年为17分,05年为18分,06年为16分.而理科则有较大的变化,04年有3道题,分值为21分,05年有2道题,分值为18分,而06年只有1个题,分值为12分.预计07年文科的试题还会较平稳,而理科可能还会增加对正态分布和线性回归的考查,其中线性回归方面的试题,由于计算量的限制,多会以选择题或填空题出现.四、本章知识分析一四种基本事件的概率求法1．本考点的考纲分析四种基本事件的概率包括等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率及独立重复事件的概率.其计算的方法一般综合性较强,灵活程度高,在高考中多以解答题的形式出现.考查的主要知识点：1等可能性事件的概念和概率的求法；2互斥事件有一个发生的概率的求法；3相互独立事件同时发生的概率的求法；4独立重复事件的概率的求法.2．本考点的常见题型1直接利用四种基本事件的概率基本原理,求事件发生的概率例1．2005年湖南卷某单位组织4个部门的职工旅游,规定每个部门只能的韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个.假设各个部门选择每个景区是等可能的.Ⅰ求3个景区都有部门选择的概率；Ⅱ求恰好有2个景区有2个部门选择的概率.点评：本题主要考查两个计数原理,排列组合及概率的基本概念,考查等可能性事件的概率的计算方法,还考查学生运用概率知识解决实际问题的能力.而等可能性事件的概率“古典概率”的求法关键是一些排列组合的问题.例2． 2006年湖南卷某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查简称安检.若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是, 整改后安检合格的概率是,计算结果精确到:Ⅰ恰好有两家煤矿必须整改的概率;Ⅱ平均有多少家煤矿必须整改;Ⅲ至少关闭一家煤矿的概率.点评：本题主要考查学生对独立重复事件和对立事件的概念的理解,考查学生运用独立重复事件的概率解决实际的问题.问题的背景与当今社会的热点问题煤矿安全问题联系起来,立意高,情景新,赋有时代的气息.2把方程思想融入概率问题,解决实际问题例3． 2006年浙江卷甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有2个红球,2个白球；乙袋装有2个红球,n 个白球.两甲,乙两袋中各任取2个球.Ⅰ若n=3,求取到的4个球全是红球的概率；Ⅱ若取到的4个球中至少有2个红球的概率为43,求n.例4．2004年湖南卷甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112,甲、丙两机床加工的零件都是一等品的概率为29. Ⅰ分别求出甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；Ⅱ从甲、乙、丙加工的零件中各自取一件检验,求至少有一个一等品的概率. 点评：这两个题都是以实际问题为背景,考查学生对四种基本事件的概念的理解,考查学生方程的数学思想,给出某个事件的概率,通过列出方程,解决问题.3把概率问题与数列结合起来,运用数列方法解决概率问题例5．2005年江苏省模拟测试题某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪动.已知开关第一次闭合后,出现红灯或绿灯的概率都是12,从开关第二次闭合起,若前次出现红灯,则下一次红灯的概率是13,出现绿灯的概率是23；若前次出现绿灯,则下一次出现红灯的概率是35,出现绿灯的概率是25,问： Ⅰ第二次闭合后出现红灯的概率是多少Ⅱ第n 次闭合后,出现红灯的概率是多少点评：本题考查学生综合运用概率问题和数列的问题,考查学生运用数列的有关知识由递推公式,求出通项公式,解决实际背景下的概率问题,有一定的深度,但不失为一个好题.二离散型随机变量的分布列1．本考点的考纲分析：本考点主要考查离散型随机变量的分布列的内容,多以选择题或填空题的形式考查,难度属于中等或中等偏易.考查的主要知识点是：1．随机变量及离散型随机变量的概念；2．离散型随机变量的分布列.1分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为x 1, x 2, …, xi , …,ξ取每一个值xii =1,2,……的概率P ξ=xi ＝Pi ,则称下表为随机变量ξ的概率分布,简称为ξ的分布列．2分布列的性质：由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：<1> P i ≥0,i ＝1,2,......；<2> P 1＋P 2＋ (1)3二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p ,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是()k k n k nP k C p q ξ-==,其中k =0,1,…,n ．q =1－p ,于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~Bn ,p 其中n ,p 为参数,记k k n k n C p q -=bk ；n ,p .2．本考点的常见题型求离散型随机变量的分布列首先要确定所有可能取的徝,然后求出相应的概率.若给出分布列要充分利用分布列的性质求解.分布列的性质是解题的核心和关键.1给出离散型随机变量的分布列,考查分布列的性质：例1ξ 0 1 2 3 4P2x 4x 9x 2x x 则E ξ 例2．下列各表中所列的是某随机变量ξ的分布列,其中正确的是 B, ξ 1 2 3p ξ 12 3 … n p … D,2给出条件,求离散型随机变量的分布列例3,2006年江西卷某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是：从装有9个白球,1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元,现有甲,乙两位顾客,规定：甲摸一次,乙摸两次,令x 表示甲,乙摸球后获得的奖金总额.求：1x 的分布列 2x 的的数学期望 ξ 1 2 3 4 p1,18A 32,9B 16,9C ,1D 1231221212n0 … …p n 2 1 ξ 121123⨯21123⨯1123n ⨯点评：本题考查独立事件同时发生的概率,及离散型随机变量的分布列,数学期望的求法,考查学生运用概率知识解决实际问题的能力.例4．2006年天津卷某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为35,且各次射击的结果互不影响.1求射手在3次射击中,至少有两次连续击中目标的概率用数字作答；2求射手第3次击中目标时,恰好射击了4次的概率用数字作答；3设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数,求ξ的分布列点评：本题考查独立重复试验的概率、离散型随机变量的分布列、二项分布等基础知识.考查学生运用概率知识解决实际问题的能力.三离散型随机变量的期望和方差1．本考点的考纲分析本考点主要考查离散型随机变量的期望和方差,难度属于中等或中等偏易.考查的主要知识点是：1．离散型随机变量ξ的期望：E ξ=x1p1+x2p2+……+xipi+…2．离散型随机变量ξ的方差：2221122()()()i i D x E p x E p x E p ξξξξ=-+-++-+23,(,0),a b a b a E aE b D a D ξηξηξηξ=+≠=+=，若为随机变量则为常数，也为随机变量，且。

概率统计每章知识点总结第一章：基本概念1.1 概率的概念1.2 随机变量及其分布1.3 大数定律和中心极限定理第一章主要介绍了概率统计的基本概念，包括概率的定义、随机变量的概念以及大数定律和中心极限定律。

概率是描述事物发生可能性的数学工具，是对随机事件发生规律的度量和描述。

随机变量是描述随机现象的数学模型，可以用来描述随机现象的特征和规律。

大数定律和中心极限定律则是概率统计中重要的两个定律，它们描述了大量独立随机变量的和的分布规律。

第二章：随机事件的概率计算2.1 古典概型2.2 几何概型2.3 等可能概型2.4 条件概率2.5 独立性第二章主要介绍了随机事件的概率计算方法，包括古典概型、几何概型、等可能概型、条件概率和独立性。

古典概型是指实验的样本空间是有限的且每个样本点的概率相等的情形，可以直接计算出随机事件的概率。

几何概型是指随机事件的概率与其所在的几何形状有关，需要通过几何方法来计算。

等可能概型是指实验的样本空间是有限的，但不同样本点的概率不一定相等，需要通过计算总体概率来计算随机事件的概率。

第三章：随机变量及其分布3.1 随机变量及其分布3.2 数学期望3.3 方差3.4 常用离散型随机变量的分布3.5 常用连续型随机变量的分布第三章主要介绍了随机变量及其分布的知识，包括随机变量的概念、数学期望、方差以及常用的离散型和连续型随机变量的分布。

随机变量是描述随机现象的数学模型，可以是离散型的也可以是连续性的。

数学期望和方差是描述随机变量分布特征的重要指标，它们能够描述随机变量的集中程度和离散程度。

离散型随机变量常用的分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布；连续型随机变量常用的分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。

第四章：多维随机变量及其分布4.1 二维随机变量4.2 多维随机变量4.3 边际分布4.4 条件分布4.5 独立性第四章主要介绍了多维随机变量及其分布的知识，包括二维随机变量、多维随机变量、边际分布、条件分布和独立性。