2016-2017年上海市浦东新区建平中学高一上学期数学期末试卷带答案

些有关高中数学学习的心得和经验，但是，这些心得和经验的正确性无法保证，下面是李明
搜集到的有关函数的一些结论： 1 若函数 y f x 有反函数，则其反函数可表示为
y f 1 x ； 2 函数 y f x 在其定义域内的最大值为 M ，最小值为 m ，则其值域
为 m, M ； 3 定 义 在 R 上 的 函 数 y f x ， 若 对 任 意 的 实 数 x, y 等 式
4.函数 g x 1 2x ,
f
g x
x
1 2
x
，则
f 1 =____________． 2
5. 不等式 x1 x4 的解集是_______________．
6.命题“若一个函数定义域不对称，则该函数不是偶函数.”的逆否命题是_______________ ______________________________________________________．
．
1
二、选择题:（每小题 3 分，共 12 分）
13．如果 x 0 y ，则下列各式中成立的是（ ）
A. | x || y | . B. | x || y |
C. | x || y |
D.以上都有可能
14. 设 p，q 是两个命题： p : log1 (| x | 1) 0，q : 22x 22x 15 ，则 p 是 q的（ ）
C．两对两错；
D．只有一个是错误的.
三、解答题:（10 10 10 10 12 共 52 分）
17.解下列不等式或方程
2
(1)
x
1
1
1
log1 x2 3x6
(2) 2 4
1
2
18.
已知

2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷一、填空题：（每小题3分，共36分）1．（3分）集合A={﹣1，a}，B={4，a2}，若 A U B={0，﹣1，4}，则 a 的值为．2．（3分）函数f （x ）=，g （x ）=，则f （x）⋅g （x ）=．3．（3分）全集U=R，且A={x|﹣x2+x+6≥0}，B={x||x﹣3|﹣4＞0}，则∁U（A∩B）=．4．（3分）函数g （x）=1﹣2x，f[g（x）]=则，f （）=．5．（3分）不等式x﹣1＞x4的解集是．6．（3分）命题“若一个函数定义域不对称，则该函数不是偶函数．”的逆否命题是．7．（3分）函数y=x2+3（x≤0）的反函数是．8．（3分）若f （x）=（m﹣1）x2﹣mx+3（x∈R）是偶函数，则函数g （x ）=的零点是．9．（3分）函数y=的值域是．10．（3分）函数y=|（log2|x﹣1|）|（x＜1）的单调递增区间是．11．（3分）已知关于x 的不等式在[2，5]有实数解，则实数a的取值范围为．12．（3分）把指数函数y=2x图像向下平移1个单位得到函数y=h （x）的图像，函数+a（m＞0，m≠1）满足g （7）﹣g （1）=若函数f （x ）=在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围是．二、选择题：（每小题3分，共12分）13．（3分）如果x＜0＜y，则下列各式中成立的是（）14．（3分）设p，q 是两个命题：p：log（|x|﹣1）＞0，q：22+x﹣22﹣x≤15，则p 是q 的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．（3分）设函数f （x ）=，g （x）=ax2+bx （a，b∈R，a≠0），若y=f （x）的图象与y=g （x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B （x2，y2），则下列判断正确的是（）A．当a＜0 时，x1+x2＜0，y1+y2＞0B．当a＜0 时，x1+x2＜0，y1+y2＜0C．当a＞0 时，x1+x2＜0，y1+y2＞0D．当a＞0 时，x1+x2＞0，y11+y2＞016．（3分）学生李明用手机加了一个有关高中数学学习的微信群，群里面许多数学爱好者经常发一些有关高中数学学习的心得和经验，但是，这些心得和经验的正确性无法保证，下面是李明搜集到的有关函数的一些结论：（1）若函数y=f （﹣x）有反函数，则其反函数可表示为y=f﹣1（﹣x）；（2）函数y=f （x ）在其定义域内的最大值为M，最小值为m，则其值域为[m，M]；（3）定义在R 上的函数y=f （x），若对任意的实数x，y 等式 f （x）﹣f （y）=均成立，则函数y=f （x）一定是奇函数；（4）定义在R 上的函数y=f （x），若对任意的实数x 都有 f （x）﹣f （|x|）=0，则函数y=f （x）一定没有反函数．李明的同学们对以上四个结论有以下不同判断，其中判断正确的是（）A．都是错误的B．只有一个是正确的C．两对两错D．只有一个是错误的三、解答题（10+10+10+12，共52分）17．（10分）解下列不等式或方程（1）18．（10分）已知m 为实常数，求函数y=log22x﹣2m log2x﹣3的最小值．19．（10分）已知函数y=．（1）判断该函数奇偶性并证明；（2）利用函数单调性定义证明该函数在（﹣∞，+∞）上为增函数．20．（10分）已知某市最低工资标准为每月1800 元，为了解决该市房价过高的问题，政府计划对低收入的本市户籍居民购买第一套住房的，每月提供一定金额的贷款补贴，补贴规则：个人每月收入不高于6000 元的，对贷款进行补贴，补贴标准为：贷款月还款额×，其中k 是一个与月工资收入有关的常数，且贷款月还款额不得高于5000 元，贷款月还款额高于5000 元的，只对5000 元部分进行补贴．高于5000 元部分不予补贴，已知月工资收入不高于3000 元时k=1000．（1）若某人工资为2000 元，贷款月还款额为5000 元，则他每月获得的贷款补贴是多少元？（2）对于月工资收入不高于3000 元的贷款买房的居民中．若贷款月还款额均为5000 元，则实际月收入最高为多少元？（结果均保留整数位，均不考虑扣税问题）21．（12分）对于函数y=f （x）和y=g （x ），若存在区间A，使|f（x）﹣g（x）|≤1 在区间 A 上恒成立，则称区间 A 是函数y=f （x）和y=g （x ）的“公共邻域”．设函数f （x）=a x+3a （a＞0，a≠1）的反函数为y=f﹣1（x），函数y=g （x ）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象关于点（a，0）对称．（1）求函数y=f﹣1（x）和y=g （x ）的解析式；（2）若a=2，求函数y=g （﹣x）+f﹣1（x）的定义域；（3）是否存在实数a，使得区间[a+2，a+3]是y=f﹣1（x）和y=g （﹣x）的“公共邻域”，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题3分，共36分）1．（3分）集合A={﹣1，a}，B={4，a2}，若A U B={0，﹣1，4}，则a 的值为0．【解答】解：集合A={﹣1，a}，B={4，a2}，若AUB={0，﹣1，4}，则a=a2=0，∴a的值为0．故答案为：0．2．（3分）函数f （x ）=，g （x ）=，则f （x）⋅g （x ）= 2（x﹣1）（x≠﹣3，x≠0）．【解答】解：f （x ）=，g （x ）=，∴f （x）⋅g （x ）=•=2（x﹣1），故答案为：2（x﹣1）．，（x≠﹣3，x≠0）．3．（3分）全集U=R，且A={x|﹣x2+x+6≥0}，B={x||x﹣3|﹣4＞0}，则∁U（A∩B）={x|x＜﹣2或x≥﹣1} ．【解答】解：全集U=R，A={x|﹣x2+x+6≥0}={x|x2﹣x﹣6≤0}={x|﹣2≤x≤3}，B={x||x﹣3|﹣4＞0}={x||x﹣3|＞4}={x|x＞7或x＜﹣1}，A∩B={x|﹣2≤x＜﹣1}，∴∁U（A∩B）={x|x＜﹣2或x≥﹣1}．故答案为：{x|x＜﹣2或x≥﹣1}．【解答】解：∵函数g （x）=1﹣2x，f[g（x）]=，∴f （）=f[g（）]==﹣1．故答案为：﹣1．5．（3分）不等式x﹣1＞x4的解集是∅．【解答】解：根据题意，令g（x）=x4﹣x+1，x﹣1＞x4⇒x4﹣x+1＜0⇒g（x）＜0，则g（x）的导数为g′（x）=4x3﹣1，令g′（x）=4x3﹣1=0，解可得x=，分析可得：当x＜，有g′（x）=4x3﹣1＜0，即函数g（x）在（﹣∞，）为减函数，当x＞，有g′（x）=4x3﹣1＞0，即函数g（x）在（，+∞）为增函数，则函数g（x）在最小值为g（）=﹣+1＞1，则有g（x）＞0恒成立，不等式x﹣1＞x4的解集为∅；故答案为：∅6．（3分）命题“若一个函数定义域不对称，则该函数不是偶函数．”的逆否命题是若一个函数是偶函数，则该函数的定义域对称．．【解答】解：命题的逆否命题为：若一个函数是偶函数，则该函数的定义域对称．故答案为：若一个函数是偶函数，则该函数的定义域对称．7．（3分）函数y=x2+3（x≤0）的反函数是y=﹣（x≥3）．【解答】解：∵y=x2+3（x≤0），∴x=﹣，y≥3，故反函数为y=﹣（x≥3），8．（3分）若f （x）=（m﹣1）x2﹣mx+3（x∈R）是偶函数，则函数g （x ）=的零点是﹣1．【解答】解：若函数f（x）是偶函数，则f（﹣x）=f（x），即（m﹣1）x2+mx+3=（m﹣1）x2﹣mx+3，则mx=﹣mx，即m=﹣m，得m=0，则g（x）==x+1，（x≠1），由g（x）=0得x=﹣1，则为函数g（x）的零点是﹣1，故答案为：﹣19．（3分）函数y=的值域是（0，1] ．【解答】解：由f（x）=x2+2x+2=（x+1）2+1，可得f（x）的最小值为1，∴y=的值域为（0，1]．故答案为：（0，1]．10．（3分）函数y=|（log2|x﹣1|）|（x＜1）的单调递增区间是（0，1）．【解答】解：函数y=|（log2|x﹣1|）|（x＜1）=|log2（1﹣x）|，令t=log2（1﹣x），则y=|t|，t＜0，解得0＜x＜1，由t在（0，1）递减，y在（﹣∞，0）递减，由复合函数的单调性：同增异减，可得所求增区间为（0，1）．故答案为：（0，1）．11．（3分）已知关于x 的不等式在[2，5]有实数解，则实数a的取值【解答】解：根据题意，⇒＞0⇒[（a﹣1）x﹣（a+1）]（x+1）＞0，分5种情况讨论：①，当a=1时，不等式可以变形为x+1＜0，即x＜﹣1，在[2，5]无解，不合题意，②，当a＞1或时，不等式变形为（x﹣）（x+1）＞0，其解集为{x|x＜﹣1或x＞}，若不等式即（x﹣）（x+1）＞0在[2，5]有实数解，则有＜5，解可得：a＞，③，当0＜a＜1时，有不等式变形为（x﹣）（x+1）＜0，其解集为{x|x＜或x＞﹣1}，不等式即（x﹣）（x+1）＞0在[2，5]有实数解，④，当a=0时，不等式可以变形为0＞1，无解，不符合题意；⑤，当a＜0时，不等式变形为（x﹣）（x+1）＜0，其解集为{x|x＜﹣1或x ＞}，若不等式即（x﹣）（x+1）＞0在[2，5]有实数解，则有＜5，解可得：a＞，又由a＜0，则a存在，综合可得：a的取值范围是{a|a＞或0＜a＜1}．12．（3分）把指数函数y=2x图像向下平移1个单位得到函数y=h （x）的图像，函数+a（m＞0，m≠1）满足g （7）﹣g （1）=若函数f （x ）=在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数a由+a，且g （7）﹣g （1）=，得=，∴m=．则g（x）=．由f （x ）=在（﹣∞，+∞）上是减函数，得f （x ）=在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴，解得a≤0．∴实数 a 的取值范围是（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．二、选择题：（每小题3分，共12分）13．（3分）如果x＜0＜y，则下列各式中成立的是（）A．|x|＜|y|B．|x\＞|y|C．|x|=|y| D．以上都有可能【解答】解：由x＜0＜y，可得：|x|＜|y|，|x|＞|y|，|x|=|y|，因此以上都有可能．故选：D．14．（3分）设p，q 是两个命题：p：log（|x|﹣1）＞0，q：22+x﹣22﹣x≤15，则p 是q 的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由log（|x|﹣1）＞0得0＜|x|﹣1＜1，即1＜|x|＜2，得1＜x ＜2或﹣2＜x＜﹣1，由22+x﹣22﹣x≤15得4•2x﹣≤15，即4（2x）2﹣15•2x﹣4≤0，即（2x﹣4）（4•2x+1）≤0，得2x≤4，则x≤2，则p 是q 的充分不必要条件，15．（3分）设函数f （x ）=，g （x）=ax2+bx （a，b∈R，a≠0），若y=f （x）的图象与y=g （x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B （x2，y2），则下列判断正确的是（）A．当a＜0 时，x1+x2＜0，y1+y2＞0B．当a＜0 时，x1+x2＜0，y1+y2＜0C．当a＞0 时，x1+x2＜0，y1+y2＞0D．当a＞0 时，x1+x2＞0，y11+y2＞0【解答】解：当a＜0时，作出两个函数的图象，若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点，必然是如图的情况，因为函数f（x）=是奇函数，所以A与A′关于原点对称，显然x2＞﹣x1＞0，即x1+x2＞0，﹣y1＞y2，即y1+y2＜0，同理，当a＞0时，有x1+x2＜0，y1+y2＞0故选：C．16．（3分）学生李明用手机加了一个有关高中数学学习的微信群，群里面许多数学爱好者经常发一些有关高中数学学习的心得和经验，但是，这些心得和经验的正确性无法保证，下面是李明搜集到的有关函数的一些结论：（1）若函数y=f （﹣x）有反函数，则其反函数可表示为y=f﹣1（﹣x）；（2）函数y=f （x ）在其定义域内的最大值为M，最小值为m，则其值域（3）定义在R 上的函数y=f （x），若对任意的实数x，y 等式 f （x）﹣f （y）=均成立，则函数y=f （x）一定是奇函数；（4）定义在R 上的函数y=f （x），若对任意的实数x 都有 f （x）﹣f （|x|）=0，则函数y=f （x）一定没有反函数．李明的同学们对以上四个结论有以下不同判断，其中判断正确的是（）A．都是错误的B．只有一个是正确的C．两对两错D．只有一个是错误的【解答】解：对于（1），设（x，y）是f（﹣x）的任意一点，则y=f（﹣x），∴﹣x=f﹣1（y），即x=﹣f﹣1（y），∴y=f（﹣x）的反函数为y=﹣f﹣1（x）．故（1）错误．对于（2），若f（x）在定义域上不连续，则结论不成立，故（2）错误．对于（3），令y=x，可得f （x）﹣f （x）==0，∴f（0）=0，再令x=0可得：0﹣f（y）=，即f（﹣y）=﹣f（y）恒成立，∴f（x）是奇函数，故（3）正确．对于（4），若f （x）﹣f （|x|）=0，即f（|x|）=f（x），∴f（x）是偶函数，∴f（x）没有反函数，故（4）正确．故选：C．三、解答题（10+10+10+12，共52分）17．（10分）解下列不等式或方程（1）（2）．【解答】解：（1）可化为，整理可得，即（x﹣1）（x﹣2）＜0，解得1＜x＜2，不等式解集为{x|1＜x＜2}；∴x2﹣3x﹣6=4，解得x=5或x=﹣2．18．（10分）已知m 为实常数，求函数y=log22x﹣2m log2x﹣3的最小值．【解答】解：令t=log2x，由，知t≥﹣1．∴y=log22x﹣2m log2x﹣3化为y=t2﹣2m t﹣3，其对称轴方程为t=＞0．∴当t=2m﹣1时，y有最小值为（2m﹣1）2﹣2m•2m﹣1﹣3=﹣22m﹣2﹣3．19．（10分）已知函数y=．（1）判断该函数奇偶性并证明；（2）利用函数单调性定义证明该函数在（﹣∞，+∞）上为增函数．【解答】解：函数的定义域是R，令y=f（x），（1）f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故函数y=f（x）是奇函数；（2）设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x2﹣x1＞0，∴＜a0=1，＞a0=1，故﹣＜0，故f（x1）﹣f（x2）＜0，故f（x）在R递增．20．（10分）已知某市最低工资标准为每月1800 元，为了解决该市房价过高的问题，政府计划对低收入的本市户籍居民购买第一套住房的，每月提供一定金额的贷款补贴，补贴规则：个人每月收入不高于6000 元的，对贷款进行补贴，补贴标准为：贷款月还款额×，其中k 是一个与月工资收入有关的常数，且贷款月还款额不得高于5000 元，贷款月还款额高于5000 元的，只对5000 元部分进行补贴．高于5000 元部分不予补贴，已知月工资收入不高于3000 元时k=1000．（1）若某人工资为2000 元，贷款月还款额为5000 元，则他每月获得的贷款补贴是多少元？（2）对于月工资收入不高于3000 元的贷款买房的居民中．若贷款月还款额均为5000 元，则实际月收入最高为多少元？（结果均保留整数位，均不考虑扣税问题）【解答】解：（1）∵个人每月收入不高于6000 元的，对贷款进行补贴，补贴标准为：贷款月还款额×，其中k 是一个与月工资收入有关的常数，且贷款月还款额不得高于5000 元，贷款月还款额高于5000 元的，只对5000 元部分进行补贴．高于5000 元部分不予补贴，月工资收入不高于3000 元时k=1000．某人工资为2000 元，贷款月还款额为5000 元，∴他每月获得的贷款补贴是：5000×=2500．（2）设月工资收入为x元，（1800≤x≤3000），则实际月收入：y=x+5000×≥2=4472元，当且仅当x=2236元时等号成立，∴当x=3000时，实际月收入最高为4667元．21．（12分）对于函数y=f （x）和y=g （x ），若存在区间A，使|f（x）﹣g（x）|≤1 在区间 A 上恒成立，则称区间 A 是函数y=f （x）和y=g （x ）的“公共邻域”．设函数f （x）=a x+3a （a＞0，a≠1）的反函数为y=f﹣1（x），函数y=g （x ）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象关于点（a，0）对称．（1）求函数y=f﹣1（x）和y=g （x ）的解析式；（2）若a=2，求函数y=g （﹣x）+f﹣1（x）的定义域；（3）是否存在实数a，使得区间[a+2，a+3]是y=f﹣1（x）和y=g （﹣x）的“公共邻域”，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设y=a x+3a，则a x=y﹣3a，两边取对数得：x=log a（y﹣3a），所以f﹣1（x）=log a（x﹣3a）；由函数y=g （x ）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象关于点（a，0）对称，可得g（x）=﹣log a（2a﹣x﹣3a），即为g（x）=﹣log a（﹣x﹣a）；（2）a=2，函数y=g （﹣x）+f﹣1（x）=﹣log2（x﹣2）+log2（x﹣6），由x﹣2＞0，且x﹣6＞0，可得x＞6，则函数的定义域为（6，+∞）；（3）假设存在实数a，使得区间[a+2，a+3]是y=f﹣1（x）和y=g （﹣x）的“公共邻域”，因为x∈[a+2，a+3]时，函数有意义，所以（a+2）﹣3a=2﹣2a＞0，所以0＜a＜1，由区间[a+2，a+3]是y=f﹣1（x）和y=g （﹣x）的“公共邻域”，可得|log a（x﹣3a）+log a（x﹣a）|≤1，设h（x）=log a（x﹣3a）+log a（x﹣a）=log a（x2﹣4ax+3a2），二次函数u=x2﹣4ax+3a2的对称轴为x=2a＜2，所以u=x2﹣4ax+3a2在x∈[a+2，a+3]上为增函数，当x=a+2时，取得最小值4（1﹣a），当x=a+3时取得最大值3（3﹣2a），从而可得y=h（x）在闭区间[a+2，a+3]上的最小值与最大值分别为：log a3（3﹣2a），log a4（1﹣a），当x∈[a+2，a+3]时，恒有|log a（x﹣3a）+log a（x﹣a）|≤1成立的充要条件为：，即为，解得0＜a≤．则存在实数a，且0＜a≤，使得区间[a+2，a+3]是y=f﹣1（x）和y=g （﹣x）的“公共邻域”．。

2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知集合A={1.2.3}.B={y|y=2x.x∈A}.则B=___ ．2.（填空题.3分）写出命题“若am2＜bm2.则a＜b”的否命题___ ．3.（填空题.3分）已知关于x的不等式x2+bx+c＞0的解集是（-∞.-2）∪（- 1.+∞）.则b+c2的值为___ ．4.（填空题.3分）设函数f（x）的图象关于原点对称.且存在反函数f-1（x）．若已知f（4）=2.则f-1（-2）=___ ．5.（填空题.3分）已知幂函数f（x）的部分对应值如表：x 1 12f（x） 1 √22则不等式f（|x|）≤2的解集是___ ．6.（填空题.3分）函数f(x)=ln√3−2x−x2的值域是___ ．7.（填空题.3分）已知当x＞0时.函数f（x）=（2a-1）x（{a＞0.且a≠ 1）的值总大于1.则函2数y= a2x−x2的单调增区间是___ ．8.（填空题.3分）乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果.他俩商定：乔经理的采购价y （元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A.但包含端点C）．已知老陈种植水果的成本是2800元/吨.那么乔经理的采购量为___ 时.老陈在这次买卖中所获的利润W最大．9.（填空题.3分）已知a∈R且1＞1 .则关于x的不等式log a(x2−5x+7)＞0的解集为___ ．a10.（填空题.3分）已知函数f（x）的定义域为A={1.2.3.4.5.6}.值域为B={7.8.9}.且对任意的x ＜y.恒有f（x）≤f（y）.则满足条件的不同函数共有___ 个．11.（填空题.3分）若不等式x2＜5-|6-xt|对于x∈[1，2]恒成立.则实数t的取值范围是___ ．212.（填空题.3分）设a、b、c是三个正实数.且a+b+2c=bca .则39a3b+c的最大值为___ ．13.（单选题.3分）设M={x|x=a2+1.a∈N*}.P={y|y=b2-4b+5.b∈N*}.则下列关系正确的是（）A.M=PB.M⫋PC.P⫋MD.M与P没有公共元素14.（单选题.3分）函数y= √x23 -1（x≤0）的反函数是（）A.y= √(x+1)3（x≥-1）B.y=- √(x+1)3（x≥-1）C.y= √(x+1)3（x≥0）D.y=- √(x+1)3（x≥0）15.（单选题.3分）设函数f（x）的定义域为R.有下列四个命题：（1）若存在常数M.使得对任意x∈R.有f（x）≤M.则M是函数f（x）的最大值；（2）若对任意x∈R.有f（x）+f（2-x）+2=0.则f（x）图象是中心对称图形.且对称中心为（-1.1）；（3）若对任意x∈R.有f（x-1）-f（3-x）=0.则f（x）图象是轴对称图形.且对称轴为x=1；（4）已知y=f（x-2）是R上的奇函数.则f（x）+f（4-x）=0；这些命题中.真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个16.（单选题.3分）已知f（x）为奇函数.当x∈[0.1]时.f（x）=1-2|x- 12|.当x∈（-∞.-1].f（x）=1-e-1-x.若关于x的不等式f（x+m）＞f（x）有解.则实数m的取值范围为（）A.（-1.0）∪（0.+∞）B.（-2.0）∪（0.+∞）C.（- 12-ln2.-1）∪（0.+∞）D.（- 12-ln2.0）∪（0.+∞）17.（问答题.0分）解下列方程：（1）22x=2x-1；（2）(log3x)2+log9(3x)=2．18.（问答题.0分）设函数f（x）=lg（2x-3）的定义域为集合M.函数g(x)=√1−2x−1的定义域为集合N．求：（1）集合M.∁R N；（2）集合M∩N.∁R（M∪N）．19.（问答题.0分）已知函数f(x)=log m(x2+12)+1（m＞0.m≠1）的图象恒经过与m无关的定点A．（1）求点A的坐标；（2）若偶函数g（x）=ax2+bx-c.x∈[1-2c.c]的图象过点A.求a、b、c的值．20.（问答题.0分）已知f(x)=me x−e x（m∈R）是定义在[-1.1]上的奇函数．（1）求实数m的值；（2）求证：f（x）在[-1.1]上是单调递减函数；（3）若f（a-1）+f（2a2）≤0.求实数a的取值范围．21.（问答题.0分）设f（x）是定义在[0.1]上的函数.若存在x*∈（0.1）使得f（x）在[0.x*]上单调递增.在[x*.1]上单调递减.则称f（x）为[0.1]上的单峰函数.x*为峰点.包含峰点的区间为f（x）的含峰区间．（1）判断下列函数是否为[0.1]上的单峰函数：① f(x)=x4x2+1.x∈[0.1]；② f(x)=2x2−x+1 .x∈[0.1]；③ f(x)=log12(|x−13|+1) .x∈[0.1]；④ f(x)=(14−x)4.x∈[0.1]；对任意的[0.1]上的单峰函数f（x）.下面研究缩短其含峰区间长度l（区间长度l等于区间的右端点与左端点之差）；（2）证明：对任意的x1.x2∈（0.1）.x1＜x2.若f（x1）≥f（x2）.则（0.x2）为含峰区间.若f（x1）≤f（x2）.则（x1.1）为含峰区间；（3）对给定的r（0＜r＜0.5）.证明：存在x1.x2∈（0.1）.满足x2-x1≥2r.使得由（2）所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r．2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知集合A={1.2.3}.B={y|y=2x.x∈A}.则B=___ ．【正确答案】：[1]{2.4.6}【解析】：根据A={1.2.3}.B={y|y=2x.x∈A}.从而得出x=1时.y=2；x=2时.y=4；x=3时.y=6.从而得出集合B．【解答】：解：∵A={1.2.3}.B={y|y=2x.x∈A}.∴B={2.4.6}．故答案为：{2.4.6}．【点评】：考查列举法、描述法的定义.以及元素与集合的关系．2.（填空题.3分）写出命题“若am2＜bm2.则a＜b”的否命题___ ．【正确答案】：[1]若am2≥bm2.则a≥b【解析】：根据否命题的定义即可求出．【解答】：解：命题“若am2＜bm2.则a＜b”的否命题为若am2≥bm2.则a≥b.故答案为：若am2≥bm2.则a≥b【点评】：本题考查了四种命题之间的关系.属于基础题3.（填空题.3分）已知关于x的不等式x2+bx+c＞0的解集是（-∞.-2）∪（- 1.+∞）.则b+c2的值为___ ．【正确答案】：[1] 72是方程x2+bx+c=0的两实根.然后由韦达定理可得c.b的值.再求【解析】：由条件知-2和−12出c+b．.+∞）.【解答】：解：∵不等式x2+bx+c＞0的解集是（-∞．-2）∪（- 12是方程x2+bx+c=0的两实根.∴-2和−12∴由韦达定理.有 {−2−12=−b −2×(−12)=c .∴ {b =52c =1. ∴ b +c =72 ． 故答案为： 72 ．【点评】：本题考查了一元二次不等式根与系数的关系.考查了运算能力.属基础题． 4.（填空题.3分）设函数f （x ）的图象关于原点对称.且存在反函数f -1（x ）．若已知f （4）=2.则f -1（-2）=___ ． 【正确答案】：[1]-4【解析】：由图象关于原点对称得此函数是奇函数.结合题意和奇函数的定义得到f （-4）=-2.因原函数与反函数的定义域和值域恰相反.故得f -1（-2）=-2．【解答】：解：∵函数f （x ）的图象关于原点对称.∴此此函数在定义域上是奇函数. ∵f （4）=2.∴f （-4）=-2.由于存在反函数f -1（x ）.则f -1（-2）=-4． 故答案为：-4．【点评】：本题考查了奇（偶）函数的对称性以及反函数的性质的应用.即由图象的对称性判断函数的奇偶性.利用原函数与反函数的定义域和值域恰相反.求出反函数的函数值． 5.（填空题.3分）已知幂函数f （x ）的部分对应值如表：【正确答案】：[1][-4.4]【解析】：先确定幂函数的解析式.再解不等式.可得结论．【解答】：解：设幂函数为f （x ）=x α.则 (12)α=√22 .∴α= 12.∴ f (x )=x 12不等式f （|x|）≤2等价于 |x|12≤2 .∴|x|≤4 ∴-4≤x≤4∴不等式f （|x|）≤2的解集是[-4.4]故答案为[-4.4]．【点评】：本题考查幂函数解析式的求法.考查解不等式.考查学生的计算能力.属于基础题．6.（填空题.3分）函数f(x)=ln√3−2x−x2的值域是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.ln2]【解析】：运用配方.可得二次函数的值域.根据复合函数的性质可得f（x）的值域；【解答】：解：设函数t= √3−2x−x2 = √−(x+1)2+4 .（t＞0）可得t∈（0.2].那么函数f（x）转化为f（t）=lnt.（0＜t≤2）.根据对数函数的图象及性质.可得lnt≤ln2；故得值域为：（-∞.ln2]．【点评】：本题考查对数函数的单调性.复合函数的值域问题.较容易．）的值总大于1.则函7.（填空题.3分）已知当x＞0时.函数f（x）=（2a-1）x（{a＞0.且a≠ 12数y= a2x−x2的单调增区间是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.1）（或（-∞.1]）【解析】：根据指数函数的性质结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．）的值总大于1.【解答】：解：当x＞0时.函数f（x）=（2a-1）x（{a＞0.且a≠ 12即2a-1＞1.解得a＞1.设t=2x-x2.则函数y=a t为增函数.则要求函数y= a2x−x2的单调增区间.即求t=2x-x2.的增区间.∵函数t=2x-x2的增区间为（-∞.1）.∴函数y= a2x−x2的单调增区间是（-∞.1）.故答案为：（-∞.1）（或（-∞.1]）【点评】：本题主要考查单调区间的求解.根据指数函数单调性以及复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．8.（填空题.3分）乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果.他俩商定：乔经理的采购价y （元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A.但包含端点C ）．已知老陈种植水果的成本是2800元/吨.那么乔经理的采购量为___ 时.老陈在这次买卖中所获的利润W 最大．【正确答案】：[1]23【解析】：根据所给的函数的图象.可以判断该函数关系为分段函数.分两段分别求解函数的解析式.即可得到答案；利用函数解析式表示出w.进而利用函数性质分段求解最值.最后比较两个最值.即可得到答案．【解答】：解：根据图象可知. 当0＜x≤20时.y=8000. 当20＜x≤40时.设y=kx+b.∵B （20.8000）.C （40.4000）在图象上. 则有 {8000=20k +b 4000=40k +b .解得 {k =−200b =12000 .∴y=-200x+12000. 综上可得.y= {8000，0＜x ≤20−200+12000，20＜x ≤40；① 当0＜x≤20时.w=（8000-2800）x=5 200x. ∵w=5200x 在（0.20]上是单调递增函数. ∴当x=20时.w 取得最大值为104000；② 当20＜x≤40时.w=（-200x+12 000-2800）x=-200（x 2-46x ）=-200（x-23）2+105800. 对称轴为x=23∈（20.40].∴当x=23时.w 取得最大值为105800元． 综合 ① ② .由于105800＞104000. ∴当x=23时.w 取得最大值为105800.故乔经理的采购量为23时.老陈在这次买卖中所获的利润W 最大． 故答案为：23．【点评】：本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解.认真审题；（2）引进数学符号.建立数学模型；（3）利用数学的方法.得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答.其中关键是建立数学模型．本题建立的数学模型为分段函数.对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．属于中档题．9.（填空题.3分）已知a∈R且1＞1 .则关于x的不等式log a(x2−5x+7)＞0的解集为___ ．a【正确答案】：[1]（2.3）【解析】：先由题意求得0＜a＜1.原不等式即0＜x2-5x+7＜1.由此求得x的范围．＞1 .∴0＜a＜1.则关于x的不等式log a(x2−5x+7)＞0 .【解答】：解：∵a∈R且1a即 0＜x2-5x+7＜1．∵x2-5x+7的判别式小于零.故 0＜x2-5x+7恒成立．解x2-5x+7＜1.求得2＜x＜3.故原不等式的解集为（2.3）.故答案为：（2.3）．【点评】：本题主要考查对数函数的性质.对数不等式的解法.属于中档题．10.（填空题.3分）已知函数f（x）的定义域为A={1.2.3.4.5.6}.值域为B={7.8.9}.且对任意的x ＜y.恒有f（x）≤f（y）.则满足条件的不同函数共有___ 个．【正确答案】：[1]10【解析】：根据题目的条件一一列举出符合条件的函数即可．【解答】：解：如下图.可知满足条件的函数共10个.故答案为：10．【点评】：本题考查了对函数定义的理解.属基础题．11.（填空题.3分）若不等式x2＜5-|6-xt|对于x∈[12，2]恒成立.则实数t的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（52，72）【解析】：将原不等式化为5-x2＞|6-tx|.问题即转化为当x∈[12，2]时.y=5-x2的图象恒在y=|6-tx|的上方.结合两函数的单调性.容易求解．【解答】：解：由已知得：不等式可化为：5-x2＞|6-tx|. x∈[12，2] .令f（x）=5-x2. x∈[12，2] .显然该函数在[ 12，2 ]上单调递减；令g（x）=|6-tx|. x∈[12，2] .该函数在[12，2]上的单调性.只能是“单调递增”.“单调递减”.“先减后增”中的一种情况．同一坐标系中做出符合题意的两函数图象如下：可见.要使原式恒成立.只需 {f (12)＞g (12)f (2)＞g (2) .即 {5−(12)2＞|6−12t|5−22＞|6−2t| . 解得： 52＜t ＜72 ．故答案为：（ 52，72 ）．【点评】：本题考查不等式恒成立问题的基本思路.以及数形结合思想的应用．属于中档题．12.（填空题.3分）设a 、b 、c 是三个正实数.且 a +b +2c =bc a .则 39a 3b+c 的最大值为___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：由题意可求出c 的表达式.根据c ＞0.把原式转化为关于 b a 的解析式.设 b a =x.构造函数.利用基本不等式求出函数的最小值.从而求出答案．【解答】：解：∵a+b+2c= bc a .∴a 2+ab+2ac=bc.∴c= a 2+ab b−2a .∵c ＞0.∴b -2a ＞0.解法一：设b-2a=t.则t ＞0.b=t+2a ；∴ 39a 3b+c = 39a3(t+2a )+a 2+a (t+2a )t = 393t a +3a t +7 ≤ 2√3t a •3a t +7 = 392×3+7 =3. 当且仅当t=a 时成立；∴ 39a3b+c 的最大值为3．解法二：由b-2a ＞0.得 b a ＞2.∴ 39a 3b+c = 393•b a +c a = 393•b a +a+b b−2a = 393•b a +1+b ab a −2；设 b a =x.则x ＞2.所以f （x ）=3x+ 1+x x−2 =3x+ 3x−2 +1=3（x-2）+ 3x−2 +7≥2 √3(x −2)•3x−2 +7=6+7=13.当且仅当x=3时取等号.∴ 39a 3b+c ≤ 3913 =3.即 39a 3b+c 的最大值为3．故答案为：3．【点评】：本题考查了基本不等式的应用问题.也考查了转化与化归思想.是难题．13.（单选题.3分）设M={x|x=a 2+1.a∈N *}.P={y|y=b 2-4b+5.b∈N *}.则下列关系正确的是（） A.M=PB.M ⫋PC.P ⫋MD.M 与P 没有公共元素【正确答案】：B【解析】：判断两个集合的元素的特征.即可推出结果．【解答】：解：M={x|x=a 2+1.a∈N *}={2.5.10…}.P={y|y=b 2-4b+5=（b-2）2+1.b∈N *}={1.2.5.10…}.所以M ⫋P ．故选：B ．【点评】：本题考查集合的相等的条件的应用.集合的运算的关系.考查计算能力．14.（单选题.3分）函数y= √x 23 -1（x≤0）的反函数是（ ）A.y= √(x +1)3 （x≥-1）B.y=- √(x +1)3 （x≥-1）C.y= √(x +1)3 （x≥0）D.y=- √(x +1)3 （x≥0）【正确答案】：B【解析】：从函数y= √x 23-1（x≤0）中解出x= √(y +1)3 .并求出函数值域y≥-1.将x 与y 互换位置后即为反函数同时标明定义域．【解答】：解：由y= √x 23 -1（x≤0）得y+1= √x 23 .所以y+1≥0.且（y+1）3=x 2.因为x≤0.所以x=- √(y +1)3 且y≥-1.所以反函数为y=- √(x +1)3 （x≥-1）故选：B ．【点评】：本题主要考查求反函数这一知识点.在求解过程中兼顾了对根式与指数幂的简单计算问题的考查.在x 开方时容易忽略x≤0这个条件.虽属于基础题.但也极易马虎．15.（单选题.3分）设函数f （x ）的定义域为R.有下列四个命题：（1）若存在常数M.使得对任意x∈R .有f （x ）≤M .则M 是函数f （x ）的最大值；（2）若对任意x∈R .有f （x ）+f （2-x ）+2=0.则f （x ）图象是中心对称图形.且对称中心为（-1.1）；（3）若对任意x∈R .有f （x-1）-f （3-x ）=0.则f （x ）图象是轴对称图形.且对称轴为x=1；（4）已知y=f （x-2）是R 上的奇函数.则f （x ）+f （4-x ）=0；这些命题中.真命题的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【正确答案】：A【解析】：（1）直接利用函数的最值的应用求出结果．（2）利用函数的对称性的应用求出结果．（3）根据函数的对称轴方程的应用求出结果．（4）根据函数的奇偶性的应用求出结果．【解答】：解：（1）若存在常数M.使得对任意x∈R .有f （x ）≤M .必须满足f （x 0）=M.则M 是函数f （x ）的最大值；（1）错误．（2）若对任意x∈R .有f （x ）+f （2-x ）+2=0.则f （x ）图象是中心对称图形.整理得f （x ）=-f （2-x ）-2.则函数关于（1.-1）对称.故错误．（3）若对任意x∈R.有f（x-1）-f（3-x）=0.则f（x）图象是轴对称图形.且对称轴为x=x−1+3−x2=1；故正确（4）已知y=f（x-2）是R上的奇函数.则f（-x-2）=-f（x-2）.整理得f（-x-2）+f（x-2）=0.整理得不到f（x）+f（4-x）=0；故错误．故选：A．【点评】：本题考查的知识要点：函数的性质.对称性函数的最值.奇偶性和相关的运算.主要考查学生的转换能力.属于基础题．16.（单选题.3分）已知f（x）为奇函数.当x∈[0.1]时.f（x）=1-2|x- 12|.当x∈（-∞.-1].f（x）=1-e-1-x.若关于x的不等式f（x+m）＞f（x）有解.则实数m的取值范围为（）A.（-1.0）∪（0.+∞）B.（-2.0）∪（0.+∞）C.（- 12-ln2.-1）∪（0.+∞）D.（- 12-ln2.0）∪（0.+∞）【正确答案】：D【解析】：根据函数的奇偶性求出函数f（x）的解析式.然后作出函数的图象.对m进行分类讨论进行求解即可．【解答】：解：若x∈[-1.0].则-x∈[0.1].则f（-x）=1-2|-x- 12 |=1-2|x+ 12|.∵f（x）是奇函数.∴f（-x）=1-2|x+ 12|=-f（x）.则f（x）=2|x+ 12|-1.x∈[-1.0].若x∈[1.+∞）.则-x∈（-∞.-1].则f（-x）=1-e-1+x=-f（x）.则f（x）=e-1+x-1.x∈[1.+∞）.作出函数f（x）的图象如图：当m＞0时.f（x+m）的图象向左平移.此时f（x+m）＞f（x）有解.满足条件．当m＜0时.f（x+m）的图象向右平移.当f（x+m）的图象与f（x）在x＞1相切时.f′（x）=e x-1.此时对应直线斜率k=2. 由e x-1=2.即x-1=ln2.得x=ln2+1．此时y=e x-1-1=e ln2+1-1-1=2-1=1.即切点坐标为（1+ln2.1）.设直线方程为y=2（x-a）此时1=2（1+ln2-a）.=1+ln2-a.即12+ln2.得a= 12+ln2.0＜-m＜12-ln2＜m＜0.得- 12-ln2＜m＜0或m＞0综上- 12-ln2.0）∪（0.+∞）. 综上m的取值范围是（- 12故选：D．【点评】：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用.求出函数的解析式以及利用数形结合是解决本题的关键．17.（问答题.0分）解下列方程：（1）22x=2x-1；（2）(log3x)2+log9(3x)=2．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意.原方程变形可得（2x）2= 12×2x.求出2x的值.进而计算可得答案；（2）根据题意.原方程变形可得（log3x）2+ 12（log9x）- 32=0.求出log3x的值.由对数的运算性质分析可得答案．【解答】：解：（1）根据题意.22x=2x-1.变形可得（2x）2= 12×2x.又由2x＞0.则2x= 12.解可得：x=-1；（2）(log3x)2+log9(3x)=2 .即（log3x）2+ 12（l+log9x）-2=0.变形可得：（log3x）2+ 12（log9x）- 32=0.解可得log3x=1或log3x=- 32.则有x=3或x=3−3 2．【点评】：本题考查指数对数的计算.注意指数、对数的运算性质.属于基础题．18.（问答题.0分）设函数f（x）=lg（2x-3）的定义域为集合M.函数g(x)=√1−2x−1的定义域为集合N．求：（1）集合M.∁R N；（2）集合M∩N.∁R（M∪N）．【正确答案】：【解析】：（1）利用函数的定义域能求出集合M.利用函数的定义域先求出集合N．由此能求出C R N．（2）先求出M∩N.由此能求出∁R（M∪N）．【解答】：解：（1）∵函数f（x）=lg（2x-3）的定义域为集合M.∴ M={x|x＞32} .∵函数g(x)=√1−2x−1的定义域为集合N．∴N={x|x＜1或x≥3}.∴C R N={x|1≤x＜3}．（2）∵ M={x|x＞32} .N={x|x＜1或x≥3}.∴M∩N={x|x≥3}.M∪N={x|x＜1或x＞32}.∴ C R(M∪N)={x|1≤x≤32}．【点评】：本题考查交集、补集、并集的求法.考查交集、补集、并集等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．19.（问答题.0分）已知函数f(x)=log m(x2+12)+1（m＞0.m≠1）的图象恒经过与m无关的定点A．（1）求点A的坐标；（2）若偶函数g（x）=ax2+bx-c.x∈[1-2c.c]的图象过点A.求a、b、c的值．【正确答案】：【解析】：（1）令对数的真数等于1.求得x、y的值.可得函数的图象恒经过定点的坐标．（2）由题意利用偶函数的性质求得b、c的值.再根据函数图象经过定点A（1.1）.可得a的值．【解答】：解：（1）令x2 + 12=1.可得x=1.y=1.可得函数f(x)=log m(x2+12)+1（m＞0.m≠1）的图象恒经过A（1.1）．（2）∵g（x）=ax2+bx-c.x∈[1-2c.c].是偶函数.∴g（-x）=g（x）.∴b=0．且有1-2c=-c.求得c=1.故g（x）=ax2-1．再根据它的图象经过定点A（1.1）.可得1=a-1.∴a=2．综上可得.a=2.b=0.c=1．【点评】：本题主要考查对数函数的图象经过定点问题.函数的奇偶性的应用.属于中档题．20.（问答题.0分）已知f(x)=me x−e x（m∈R）是定义在[-1.1]上的奇函数．（1）求实数m的值；（2）求证：f（x）在[-1.1]上是单调递减函数；（3）若f（a-1）+f（2a2）≤0.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用奇函数的定义建立方程解出即可；（2）先设-1≤x1＜x2≤1.然后利用作差法比较f（x1）-与（x2）的大小即可判断.（3）先求出函数f（x）在[-1.1]上的单调性.进而转化为解不等式-1≤1-a≤2a2≤1.【解答】：解：（1）∵f（x）为定义在[-1.1]上奇函数.∴f（0）=m-1=0.即m=1.证明：（2）由（1）可得.f（x）= 1e x−e x .设-1≤x1＜x2≤1.则f（x1）-f（x2）= 1e x1−e x1−1e x2+e x2 .= e x2−e x1+e x2−e x1e x1e x2 =（e x2−e x1）（1+ 1e x1e x2）＞0.∴f（x1）＞f（x2）.即f（x）在[-1.1]上为单调递减函数.（3）∵f（x）为奇函数.∴f（a-1）+f（2a2）≤0等价于f（2a2）≤-f（a-1）=f（1-a）. ∵f（x）在[-1.1]上为单调递减函数.∴-1≤1-a≤2a2≤1.解可得. 12≤a≤√22．故不等式的解集{a| 12≤a≤√22}【点评】：本题考查函数奇偶性及单调性的综合运用.考查换元思想及转化思想.考查推理论证及运算求解能力.难度中等．21.（问答题.0分）设f（x）是定义在[0.1]上的函数.若存在x*∈（0.1）使得f（x）在[0.x*]上单调递增.在[x*.1]上单调递减.则称f（x）为[0.1]上的单峰函数.x*为峰点.包含峰点的区间为f（x）的含峰区间．（1）判断下列函数是否为[0.1]上的单峰函数：① f(x)=x4x2+1.x∈[0.1]；② f(x)=2x2−x+1 .x∈[0.1]；③ f(x)=log12(|x−13|+1) .x∈[0.1]；④ f(x)=(14−x)4.x∈[0.1]；对任意的[0.1]上的单峰函数f（x）.下面研究缩短其含峰区间长度l（区间长度l等于区间的右端点与左端点之差）；（2）证明：对任意的x1.x2∈（0.1）.x1＜x2.若f（x1）≥f（x2）.则（0.x2）为含峰区间.若f（x1）≤f（x2）.则（x1.1）为含峰区间；（3）对给定的r（0＜r＜0.5）.证明：存在x1.x2∈（0.1）.满足x2-x1≥2r.使得由（2）所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r．【正确答案】：【解析】：（1）利用单峰函数的定义.判断① ② ③ ④ 四个函数是否存在x*∈（0.1）使得f （x）在[0.x*]上单调递增.在[x*.1]上单调递减.即可解答；（2）利用单峰函数的定义.可以直接证明；（3）利用含峰区间长度的定义.可以直接证明．【解答】：解：（1）根据单峰函数的定义可以判断.① 在（0.0.5）上单调递增.在（0.5.1）上单调递减；② 在（0.0.5）上单调递增.在（0.5.1）上单调递减；③ 在（0. 13）上单调递增.在（13.1）上单调递减；④ 在（0.0.25）上单调递减.在（0.25.1）上单调递增；故① ③ 是单峰函数；（2）证明：设x*为f（x）的峰点.则由单峰函数定义可知.f（x）在[0.x*]上单调递增.在[x*.1]上单调递减．当f（x1）≥f（x2）时.假设x*∉（0.x 2）.则x1＜x2≤x*.从而f（x*）≥f（x2）＞f（x1）.这与f（x1）≥f（x2）矛盾.所以x*∈（0.x2）.即（0.x2）是含峰区间．当f（x1）≤f（x2）时.假设x*∉（x1.1）.则x*≤x1＜x2.从而f（x*）≥f（x1）＞f（x2）.这与f（x1）≤f（x2）矛盾.所以x*∈（x1.1）.即（x1.1）是含峰区间．（3）证明：由（2）的结论可知：当f（x1）≥f（x2）时.含峰区间的长度为l1=x2；当f（x1）≤f（x2）时.含峰区间的长度为l2=1-x1；对于上述两种情况.由题意得x2≤0.5+r 1-x1≤0.5+r ①由① 得1+x2-x1≤1+2r.即x2-x1≤2r又因为x2-x1≥2r.所以x2-x1=2r. ②将② 代入① 得x1≤0.5-r.x2≥0.5-r. ③由① 和③ 解得x1=0.5-r.x2=0.5+r．所以这时含峰区间的长度l1=0.5+r.即存在x1.x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r．【点评】：本题考查学生对新定义的理解.逻辑推理能力.数学运算能力．。

2016-2017学年上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．函数y=a x （a ＞0且a ≠1）的图象均过定点 ．2．请写出“好货不便宜”的等价命题： ．3．若集合A={x |x ≤1}，B={x |x ≥a }满足A ∩B={1}，则实数a= ．4．不等式2|x ﹣1|﹣1＜0的解集是 ．5．若f （x +1）=2x ﹣1，则f （1）= ．6．不等式的解集为 ．7．设函数f （x ）=（x +1）（x +a ）为偶函数，则a= ．8．已知函数f （x ）=，g （x ）=，则f （x ）•g （x ）= ．9．设α：x ≤﹣5或x ≥1，β：2m ﹣3≤x ≤2m +1，若α是β的必要条件，求实数m 的取值范围 ．10．函数的值域是 ．11．已知ab ＞0，且a +4b=1，则的最小值为 ． 12．已知函数f （x ）=是R 上的增函数，则a 的取值范围是 ．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13．函数y=x 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．14．已知f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x ﹣1，则x ＜0时f （x ）=（ ）A ．﹣x ﹣1B ．x +1C ．﹣x +1D ．x ﹣115．证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎．小强买的股票A 连续4个跌停（一个跌停：比前一天收市价下跌10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个涨停：比前一天收市价上涨10%）．（ ）A ．3B ．4C ．5D ．616．给定实数x ，定义[x ]为不大于x 的最大整数，则下列结论中不正确的是（ ）A ．x ﹣[x ]≥0B ．x ﹣[x ]＜1C ．令f （x ）=x ﹣[x ]，对任意实数x ，f （x +1）=f （x ）恒成立D ．令f （x ）=x ﹣[x ]，对任意实数x ，f （﹣x ）=f （x ）恒成立三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．已知，求实数m 的取值范围．18．如图，矩形草坪AMPN 中，点C 在对角线MN 上．CD 垂直于AN 于点D，CB 垂直于AM 于点B ，|CD |=|AB |=3米，|AD |=|BC |=2米，设|DN |=x 米，|BM |=y 米．求这块矩形草坪AMPN 面积的最小值．19．设a 是实数，函数f （x ）=a ﹣（x ∈R ），（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．（2）证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．20．已知函数f（x）=x2﹣2ax+1．（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数a的值；（2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最大值．21．在区间D上，如果函数f（x）为减函数，而xf（x）为增函数，则称f（x）为D 上的弱减函数．若f （x ）=（1）判断f （x ）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当x ∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数g （x ）=f （x ）+k |x |﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．2016-2017学年上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象均过定点（0，1）．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据指数函数的性质判断即可．【解答】解：∵a0=1，a＞0且a≠1，∴函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象均过定点（0，1），故答案为：（0，1）．2．请写出“好货不便宜”的等价命题：便宜没好货．【考点】四种命题．【分析】写出原命题的逆否命题，可得答案．【解答】解：“好货不便宜”即“如果货物为好货，则价格不便宜”，其逆否命题为：“如果价格便宜，则货物不是好货”，即“便宜没好货”，故答案为：便宜没好货3．若集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}满足A∩B={1}，则实数a=1．【考点】交集及其运算．【分析】由A，B，以及两集合的交集，确定出a的值即可．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∩B={1}，∴a=1，故答案为：14．不等式2|x ﹣1|﹣1＜0的解集是．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．【解答】解：①若x ≥1，∴2（x ﹣1）﹣1＜0，∴x ＜；②若x ＜1，∴2（1﹣x ）﹣1＜0，∴x ＞；综上＜x ＜．故答案为：＜x ＜．5．若f （x +1）=2x ﹣1，则f （1）= ﹣1 ．【考点】函数的值．【分析】f （1）=f （0+1），由此利用f （x +1）=2x ﹣1，能求出结果．【解答】解：∵f （x +1）=2x ﹣1，∴f （1）=f （0+1）=2×0﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．6．不等式的解集为 （﹣∞，2）∪[3，+∞） ．【考点】其他不等式的解法．【分析】首先将不等式化为整式不等式，然后求解集．【解答】解：原不等式等价于（x ﹣3）（x ﹣2）≥0且x ﹣2≠0，所以不等式的解集为（﹣∞，2）∪[3，+∞）；故答案为：（﹣∞，2）∪[3，+∞）7．设函数f （x ）=（x +1）（x +a ）为偶函数，则a= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】因为函数为偶函数，则根据偶函数定义f （﹣x ）=f （x ）得到等式解出a 即可．【解答】解：∵函数为偶函数得f （1）=f （﹣1）得：2（1+a ）=0∴a=﹣1．故答案为：﹣1．8．已知函数f （x ）=，g （x ）=，则f （x ）•g （x ）= x ，x ∈（﹣1，0）∪（0，+∞） ．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】直接将f （x ），g （x ）代入约分即可．【解答】解：∵函数f （x ）=，g （x ）=， ∴f （x ）•g （x ）=x ，x ∈（﹣1，0）∪（0，+∞），故答案为：x ，x ∈（﹣1，0）∪（0，+∞）．9．设α：x ≤﹣5或x ≥1，β：2m ﹣3≤x ≤2m +1，若α是β的必要条件，求实数m 的取值范围 m ≤﹣3或m ≥2 ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出m 的范围即可．【解答】解：α：x ≤﹣5或x ≥1，β：2m ﹣3≤x ≤2m +1，若α是β的必要条件，则2m ﹣3≥1或2m +1≤﹣5，故m ≥2或m ≤﹣3，故答案为：m ≥2或m ≤﹣3．10．函数的值域是 （0，4] ．【考点】函数的值域．【分析】换元得出设t=x 2﹣2≥﹣2，y=（）t ，求解即可得出答案．【解答】解：设t=x 2﹣2≥﹣2，∵y=（）t 为减函数，∴0＜（）t ≤（）﹣2=4，故函数的值域是（0，4]，故答案为：（0，4]．11．已知ab ＞0，且a +4b=1，则的最小值为 9 ． 【考点】基本不等式．【分析】把“1”换成4a +b ，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值【解答】解：∵ab ＞0，且a +4b=1，∴=（）（a +4b ）=1+4++≥5+2=9，当且仅当a=，b=时取等号，∴的最小值为9，故答案为：9．12．已知函数f （x ）=是R 上的增函数，则a 的取值范围是（﹣∞，0） ．【考点】函数单调性的性质． 【分析】由条件利用函数的单调性的性质，可得1﹣2a ＞1，且 a ＜0，由此求得a 的取值范围．【解答】解：由于函数f （x ）=是R 上的增函数，∴1﹣2a ＞1，且a ＜0，求得a ＜0，故答案为：（﹣∞，0）．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13．函数y=x 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性和函数值得变化趋势即可判断．【解答】解：y=f （﹣x ）===f （x ），∴函数y=x 为偶函数， ∴图象关于y 轴对称，故排除C ，D ，∵＞1，∴当x ＞0时，y=x的变化是越来越快，故排除B 故选：A14．已知f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x ﹣1，则x ＜0时f （x ）=（ ）A ．﹣x ﹣1B ．x +1C ．﹣x +1D ．x ﹣1【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据x＞0时函数的表达式，可得x＜0时f（﹣x）=﹣x﹣1，再利用奇函数的定义，即可算出当x＜0时函数f（x）的表达式．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=x﹣1，∴当x＜0时，f（﹣x）=﹣x﹣1，又∵f（x）是R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x），∴当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=x+1，故选B．15．证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎．小强买的股票A连续4个跌停（一个跌停：比前一天收市价下跌10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个涨停：比前一天收市价上涨10%）．（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数的值．【分析】设小强买的股票A时买入价格为a，连续4个跌停后价格为a（1﹣10%）4=0.6561a，设至少需要x个涨停，才能不亏损，则0.6564a（1+10%）x≥a，由此能求出结果．【解答】解：设小强买的股票A时买入价格为a，连续4个跌停后价格为a（1﹣10%）4=0.6561a，设至少需要x个涨停，才能不亏损，则0.6564a（1+10%）x≥a，整理得：1.1x≥1.5235，∵1.15=1.6105，1.14=1.4641．∴至少需要5个涨停，才能不亏损．故选：C．16．给定实数x，定义[x]为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的是（）A．x﹣[x]≥0B．x﹣[x]＜1C ．令f （x ）=x ﹣[x ]，对任意实数x ，f （x +1）=f （x ）恒成立D ．令f （x ）=x ﹣[x ]，对任意实数x ，f （﹣x ）=f （x ）恒成立【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用[x ]为不大于x 的最大整数，结合函数性质求解．【解答】解：在A 中，∵[x ]为不大于x 的最大整数，∴x ﹣[x ]≥0，故A 正确；在B 中，∵[x ]为不大于x 的最大整数，∴x ﹣[x ]＜1，故B 正确；在C 中，∵[x ]为不大于x 的最大整数，f （x ）=x ﹣[x ]，∴对任意实数x ，f （x +1）=f （x ）恒成立，故C 正确；在D 中，∵[x ]为不大于x 的最大整数，f （x ）=x ﹣[x ]，∴f （﹣3.2）=﹣3.2﹣[﹣3.2]=﹣3.2+4=0.8，f （3.2）=3.2﹣[3.2]=3.2﹣3=0.2， ∴对任意实数x ，f （x +1）=f （x ）不成立，故D 错误．故选：D ．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．已知，求实数m 的取值范围．【考点】幂函数的性质．【分析】根据函数的单调性得到关于m 的不等式，解出即可．【解答】解：（1）设函数， 函数为R 上的单调递增函数 …得，m 2+m ≤﹣m +3…即，m 2+2m ﹣3≤0…得，（m ﹣1）（m +3）≤0所以，m 的取值范围为：m ∈[﹣3，1]…18．如图，矩形草坪AMPN 中，点C 在对角线MN 上．CD 垂直于AN 于点D ，CB 垂直于AM 于点B ，|CD |=|AB |=3米，|AD |=|BC |=2米，设|DN |=x 米，|BM |=y 米．求这块矩形草坪AMPN 面积的最小值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意，表示出矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．【解答】解：由题意…． S AMPN =（x +2）（y +3）=xy +3x +2y +6=12+3x +2y…．…．当且仅当3x=2y ，即x=2，y=3时取得等号．…．面积的最小值为24平方米． …．19．设a 是实数，函数f （x ）=a ﹣（x ∈R ）， （1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a 的值．（2）证明：对于任意a ，f （x ）在R 上为增函数．【考点】函数的图象．【分析】（1）代值计算即可求出a（2）运用函数的定义判断证明函数的单调性，先在取两个值x 1，x 2后进行作差变形，确定符号，最后下结论即可．【解答】解：（1）．（2）证明：设任意x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）===，由于指数函数y=2x 在R 上是增函数，且x 1＜x 2，所以即，又由2x ＞0，得，， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0即f （x 1）＜f （x 2），所以，对于任意a ，f （x ）在R 上为增函数．20．已知函数f （x ）=x 2﹣2ax +1．（1）若对任意的实数x 都有f （1+x ）=f （1﹣x ）成立，求实数 a 的值； （2）若f （x ）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数a 的取值范围； （3）当x ∈[﹣1，1]时，求函数f （x ）的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．【分析】（1）由题意可得x=1为对称轴，求得f （x ）的对称轴方程，即可得到a ；（2）求得f （x ）的递增区间，[1，+∞）为它的子区间，可得a 的范围；（3）由函数图象开口向上，对称轴x=a ，可得最大值只能在端点处取得，讨论a=0，a ＞0，a ＜0，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由对任意的实数x 都有f （1+x ）=f （1﹣x ）成立，知函数f （x ）=x 2﹣2ax +1的对称轴为x=a ，即a=1；（2）函数f （x ）=x 2﹣2ax +1的图象的对称轴为直线x=a ，由f （x ）在[a ，+∞）上为单调递增函数，y=f （x ）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得，a ≤1； （3）函数图象开口向上，对称轴x=a ，可得最大值只能在端点处取得． 当a ＜0时，x=1时，函数取得最大值为：2﹣2a ；当a ＞0时，x=﹣1时，函数取得最大值为：2+2a ；当a=0时，x=1或﹣1时，函数取得最大值为：2．21．在区间D 上，如果函数f （x ）为减函数，而xf （x ）为增函数，则称f （x ）为D 上的弱减函数．若f （x ）=（1）判断f （x ）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当x ∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数g （x ）=f （x ）+k |x |﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．【考点】函数单调性的性质．【分析】（1）利用初等函数的性质、弱减函数的定义，判断是[0，+∞）上的弱减函数． （2）根据题意可得，再利用函数的单调性求得函数的最值，可得a 的范围．（3）根据题意，当x ∈（0，3]时，方程只有一解，分离参数k ，换元利用二次函数的性质，求得k 的范围．【解答】解：（1）由初等函数性质知，在[0，+∞）上单调递减， 而在[0，+∞）上单调递增， 所以是[0，+∞）上的弱减函数． （2）不等式化为在x ∈[1，3]上恒成立，则， 而在[1，3]单调递增，∴的最小值为，的最大值为， ∴，∴a ∈[﹣1，]．（3）由题意知方程在[0，3]上有两个不同根，①当x=0时，上式恒成立； ②当x ∈（0，3]时，则由题意可得方程只有一解， 根据，令，则t∈（1，2]，方程化为在t∈（1，2]上只有一解，所以．。