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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（三）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则A B = （ ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|12x x -<< C ．{}|02x x <<D ．{}|01x x <<2．设复数12i z =+（是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4- B ．()5,4C ．()3,2-D ．()3,43．()()6221x x -+的展开式中4x 的系数为（ ） A ．-160B ．320C ．480D ．6404．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．52π+B ．42π+C ．44π+D ．54π+5．过双曲线221916x y -=的右支上一点P ，分别向圆1C ：()2254x y ++=和圆2C ：()2225x y r -+=（0r >）作切线，切点分别为M ，N ，若22PM PN -的最小值为58，则r =（ ）A ．B C D ．班级 姓名 准考证号 考场号 座位号6()f x 的最小正周期大于，则ω的取值范围为（ ）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()0,2 C ．()1,2 D ．[)1,27．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为，，，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（ ）A B C D 8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据：sin150.2588≈ ，sin7.50.1305≈ ）A ．12B ．20C ．24D ．489．设π02x <<，则“2cos x x <”是“cos x x ＜”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（ ）ABC ．19D11．已知()cos23,cos67AB =︒︒ ，()2cos68,2cos22BC =︒︒，则ABC △的面积为（ ） A ．2BC ．1D12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，对任意实数均有()()()10x f x xf x '-+>成立，且()1e y f x =+-是奇函数，则不等式()e 0x xf x ->的解集是（ ） A ．(),e -∞B ．()e,+∞C ．(),1-∞D ．()1,+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
建平中学高三三模数学试卷2019.05一. 填空题1. 已知集合2{|log 1}A x x =<，1{|0}2x B x x -=<+，则A B = 2. 已知复数z 满足(1i)1i z +=-，则Re()z =3. 已知点(2,1)A 、(3,5)B 、(5,2)C ，则△ABC 的面积是4. 若1()21xf x a =+-是奇函数，则实数a = 5. 已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k = 6. 关于x 的不等式|2|6ax +<的解集为(1,2)-，则实数a 等于 7. 设函数2()1log f x x =-的反函数为1()f x -，则1()f x -的值域为8. 某几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，其三视图如图所示（单位：厘米），则该几何体的体积（单位：立方厘米）是9. 已知方程22221x y a b+=表示的曲线为C ，任取,{1,2,3,4,5}a b ∈，则曲线C 表示焦距等于2的椭圆的概率等于 10. 已知()2sin()6f x x πω=-(0)ω>和()2cos(2)1g x x ϕ=++的图像的对称轴完全相同，则[0,]2x π∈时，()f x 的取值范围是11. 已知双曲线22221x y a b -= (0,0)a b >>，过双曲线上任意一点P 分别作斜率为b a -和ba的两条直线1l 和2l ，设直线1l 与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为S ，直线2l 与x 轴、y 轴 所围成的三角形的面积为T ，则S T ⋅的值为12. 已知平面向量PA 、PB 满足22||||4PA PB +=，2||2AB =，设2PC PA PB =+，则||PC ∈二. 选择题13. 若实数x 、y 满足1002x y x x -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，则y x 的取值范围是（ ）A. (0,3]B. (0,3)C. (3,)+∞D. [3,)+∞ 14. 设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则20191222019222a a a ++⋅⋅⋅+的值为（ ） A. 2 B. 0 C. 1- D. 1 15. 若()|1||2|f x x x a =+++的最小值是3，则实数a 的值为（ ）A. 5或 8B. 1-或 5C. 1-或4D. 4-或8 16. 已知异面直线a 、b 成60°角，其公垂线段为EF ，||2EF =，长为4的线段AB 的两端点分别在直线a 、b 上运动，则AB 中点的轨迹为（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 圆D. 以上都不是三. 解答题17. 如图：四面体ABCD 的底面ABC 是直角三角形，AC BC ⊥，3AC =，4BC =，DA ⊥平面ABC ，5DA =，E 是BD 上的动点（不包括端点）. （1）求证：AE 与BC 不垂直； （2）当AE DC ⊥时，求DEEB的值.18. 已知复数12sin 3i z θ=-，21(2cos )i z θ=+，i 为虚数单位，[,]32ππθ∈.（1）若12z z ⋅为实数，求θ的值；（2）若复数1z 、2z 对应的向量分别是a 、b ，存在θ使等式()()0a b a b λλ-⋅-=成立，求实数λ的取值范围.19. 某海域有A 、B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C ，曾有渔船在距A 岛、B 岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A 、B 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系. （1）求曲线C 的标准方程；（2）某日，研究人员在A 、B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A 、B 两岛收到鱼群在P 处反射信号的时间比为5:3，问你能否确定P 处的位置（即点P 的坐标）？20. 已知函数()y f x =()x ∈R .（1）若()f x 满足(1)y f x =+为R 上奇函数且(1)y f x =-为R 上偶函数，求(3)(5)f f -+的值；（2）若函数()y g x =()x ∈R 满足21(3)()[()]2g x g x g x +=+-对x ∈R 恒成立，函数 ()()()h x f x g x =+，求证：函数()h x 是周期函数，并写出()h x 的一个正周期；（3）对于函数()y f x =，()y k x =()x ∈R ，若(())()f k x f x =对x ∈R 恒成立，则称函数()y f x =是“广义周期函数”， ()k x 是其一个广义周期，若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的广义周期为()k x （()k x x =不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的12,x x ∈R ，12x x ≠，12()()f x f x =成立的充要条件是12b x x a+=-.21. 已知{}n a 、{}n b 为两非零有理数列（即对任意的i *∈N ，i a 、i b 均为有理数），{}n d 为一无理数列（即对任意的i *∈N ，i d 均为无理数）.（1）已知2n n b a =-，并且22()(1)0n n n n n n a b d a d d +-+=对任意n *∈N 的恒成立，试求{}n d 的通项公式；（2）若2{}n d 为有理数列，试证明：对任意的n *∈N ，22()(1)1n n n n n n n a b d a d d d +-+=+恒成立的充要条件为421111n nn n a d b d ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪+⎩；（3）已知24sin 225θ=(0)2πθ<<，n d =，对任意的n *∈N ，22()(1)1n n n n n n a b d a d d +-+=恒成立，试计算n b .参考答案一. 填空题1. (0,1)2. 03.112 4. 125. 56. 4-7. (0,2]8. 12π+9. 825 10. [1,2]- 11. 2214a b 12.二. 选择题13. D 14. C 15.D 16. A三. 解答题17.（1）证明略；（2）259.18.（1）3πθ=；（2）[0,2[23,)λ∈-++∞.19.（1）2211612x y +=；（2）(2,3)或(2,3)-. 20.（1）0；（2）证明略，正周期为24；（3）证明略.21.（1）1-；（2）证明略；（3）1225n b =.。
上海市达标名校2018年高考三月适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆2222:1x yCa b+=的短轴长为2，焦距为1223F F，、分别是椭圆的左、右焦点，若点P为C上的任意一点，则1211PF PF+的取值范围为（）A．[]1,2B．2,3⎡⎤⎣⎦C．2,4⎡⎤⎣⎦D．[]1,42．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（）A．()lg1y x=+B．12y x=C．2xy=D．lny x=3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．23B．43C．2D．44．设{}n a是等差数列，且公差不为零，其前n项和为n S．则“*n N∀∈，1n nS S+>”是“{}n a为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知()3,0A-，)3,0B，P为圆221x y+=上的动点，AP PQ=，过点P作与AP垂直的直线l交直线QB于点M，若点M的横坐标为x，则x的取值范围是（）A．1x≥B．1x>C．2x≥D．2x≥6．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=A．（–1，1）B．（1，2）C．（–1，+∞）D．（1，+∞）7．函数52sin()([,0)(0,])33x xx xf x x-+=∈-ππ-的大致图象为A ．B ．C ．D ．8．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ） ①与点D 3P 形成一条曲线，则该曲线的长度是2π； ②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是62⎣； ③若3DP =DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为62A ．0B ．1C ．2D ．39．已知函数2,0()4,0xx f x x x -⎧⎪=+>，若()02f x <，则0x 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0]-C ．(1,)-+∞D ．(,0)-∞10．设12,x x 为()()3sin cos 0f x x x ωωω=->的两个零点，且12x x -的最小值为1，则ω=（ ） A ．πB ．2πC ．3π D ．4π 11．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ） A ．45B ．45-C ．45±D ．3512．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x= D ．14y x =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
绝密★启用前上海市浦东新区建平中学2018届高三上学期10月月考数学试题一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共20分）.1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|x≥0}，则A∩B= ．2．（5分）函数f（x）=log2（x﹣1）的定义域为．3．（5分）当x＞0时，函数f（x）=x+x﹣1的值域为．4．（5分）“x＞1”是“x＞a”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．5．（5分）若函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=x﹣2，则f﹣1（3）= ．6．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0，x∈Z}，B={t|at﹣1=0}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为．7．（5分）已知函数f（x）=lg（ax2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，则实数a的取值集合为．8．（5分）已知不等式≤1的解集为A，若1∉A，则实数a的取值范围是．9．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，若f（a）＞f（2a﹣1），则实数a的取值范围是．10．（5分）若集合A={x|x2+4x+a=0}，集合B={t|函数f（x）=4x2﹣8x+t（4﹣t）至多有一个零点}，则A∪B的元素之和的函数关系式f（a）= ．11．（5分）当m＞0时，方程（mx﹣1）2﹣=m在x∈[0，1]上有且只有一个实根，则实数m的取值范围是．12．（5分）已知函数f（x）=，记函数g（x）=f（x）﹣t，若存在实数t，使得函数g（x）有四个零点，则实数a的取值范围是．二、选择题13．（5分）下列函数中，与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣115．（5分）若函数f（x）=ax2+bx+c在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关16．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），给出下列命题：①若f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0；②若f（x）是奇函数，且f（﹣1）=f（1），则f（x）至少有三个零点；③若f（x）在R上不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若f（x）的最大值和最小值分别为M、m（m＜M），则f（x）的值域为[m，M]．则其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题17．已知U=R，P={x|＞a}，Q={x|x2﹣3x≤10}．（1）若a=1，求（∁U P）∩Q；（2）若P∩Q=P，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=+（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）解不等式f（x）≥．19．某城市要建造一个边长为2km的正方形市民休闲OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，过对边OA上一点M的区域OABD内作一次函数y=kx+m（k＞0）的图象，与线段DB 交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区．（1）写出函数关系式m=f（k）；（2）设点P的横坐标为t，将四边形MABN的面积S表示关于t的函数S=g（t），并求S的最大值．。
上海市浦东新区达标名校2018年高考三月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是（ ）A ．③④B ．①②C ．②④D ．①③④2．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ；②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α；③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；④若αβ⊥，l αβ=，//m α，m l ⊥，则m β⊥.其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④3．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．由曲线y ＝x 2与曲线y 2＝x 所围成的平面图形的面积为( )A ．1B ．13C ．23 D ．435．已知i 是虚数单位，若1zi i =-，则||z =（ ）A 2B ．2C 3D ．36．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（） A ．27 B ．33 C ．39 D ．447．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线交两渐近线于,M N 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，若(,)OP OM ON R λμλμ=+∈，且625λμ=，则该双曲线的离心率为( )A ．324B ．5212C ．5312D ．56128．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．32 B ．33 C ．12 D ．229．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=，则()2AE AC +的最小值为（ ） A ．232 B ．12 C ．252 D ．1311．已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=A ．12B ．32C ．12-D ．3- 12．如图，ABC 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，B D '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浦东三模一 积累应用10分1.按要求填空。
（8分）分）（1）一箪食，得之则生，弗得则死。
（《孟子·鱼我所欲也》）。
）一箪食，得之则生，弗得则死。
（《孟子·鱼我所欲也》）。
（2）三山半落青天外，）三山半落青天外， 。
（。
（ 《登金陵凤凰台》）。
《登金陵凤凰台》）。
（3）黄庭坚《登快阁》中伯牙子期“高山流水”的故事相关的一联是“ ， ”。
”。
答案：1. （1）一豆羹（2）一水中分白鹭洲（以课本为准） 李白（3）朱弦已为佳人绝 青眼聊因美酒横2.按要求选择。
（5分）分）（1）下列句子加点词使用准确的一项是（）下列句子加点词使用准确的一项是（ ）。
（3分）分）A.他的研究成果解决了十多亿人的吃饭问题，令世界为之侧目．．。
B.中国军团在2010年广州亚运会囊括．．金牌199枚，位居金牌榜首位。
枚，位居金牌榜首位。
C.根据最新的福布斯富豪榜，马化腾以453亿美元身家．．成为中国首富。
成为中国首富。
D.很多人有午睡习惯，宿会门上常贴有“午睡时间，谢绝拜访．．”字句。
”字句。
（2）毕业在即，最适合赠送给老师的诗句是（）毕业在即，最适合赠送给老师的诗句是（ ）（2分）分）A.谁言寸草心，报得三春晖。
谁言寸草心，报得三春晖。
B.桃李满天下，春晖遍四方。
桃李满天下，春晖遍四方。
C.桃李不言，下自成蹊。
桃李不言，下自成蹊。
D.杏林好春无数，橘泉甘乐有余。
杏林好春无数，橘泉甘乐有余。
答案：2.（1）C （2）B二 阅读70分（一）阅读下文，完成第3-7题。
（16分）分）文学的乡土与远方①每一位作家都属于他自己的乡土。
这一片乡土，是作家生于斯长于斯的地方。
严格地说，作家的乡土并不属于文学的范畴，它只是一种天然的存在，是作家的“文学之脐．．．．”。
②文学的乡土，②文学的乡土，是作家文学作品中所呈现的地域。
是作家文学作品中所呈现的地域。
是作家文学作品中所呈现的地域。
这种地域，这种地域，这种地域，当然离不开作当然离不开作家的乡土，家的乡土，但已不是作家生长的那片乡土本身，但已不是作家生长的那片乡土本身，但已不是作家生长的那片乡土本身，而是被作家文学化的乡土。
浦东新区高三三模数学试卷2018.05一. 填空题1. 直线310x y ++=的倾斜角的大小是2. 已知集合2{|0}5x A x x -=<+，2{|230,}B x x x x =--≥∈R ，则A B =I 3. 函数cos(2)4y x π=+的单调递减区间是4. 方程114162x x +-=⋅的解为5. 设复数z 满足(1)32i z i +=-+，则z =6. 某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取 名学生7. 函数sin cos cos()()2sin cos sin x x x f x xx xπ+-=-的最小正周期T =8. 已知甲、乙两位射手，甲击中目标的概率为0.7，乙击中目标的概率为0.6，如果甲乙两位射手的射击相互独立，那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的概率为 9. 已知△ABC 的三边a 、b 、c 成等比数列，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ， 则sin cos B B +的取值范围是10. 若不等式||2x a +≤在[1,2]x ∈时恒成立，则实数a 的取值范围是11. 12x y -+=的值域是 12. 已知数列{}n a 满足1223n n na a a +=+-，其首项1a a =，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数a 的取值范围是二. 选择题13. 已知非空集合A 、B 满足A B ，给出以下四个命题：① 若任取x A ∈，则x B ∈是必然事件 ② 若x A ∉，则x B ∈是不可能事件 ③ 若任取x B ∈，则x A ∈是随机事件 ④ 若x B ∉，则x A ∉是必然事件 其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 414. 正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点（如图）， 用过点B 、E 、1D 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几 何体的左视图为（ ）A. B. C. D.15. 设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期是2πB. 图象C 关于点(,0)6π对称C. 图象C 可由函数()sin 2g x x =的图像向右平移3π个单位得到 D. 函数()f x 在区间(,)122ππ-上是增函数 16. 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1(0)y x x=<图象上一动点，若 点P 、A 之间的最短距离为22a 的所有值为（ ） A. 10- B. 1 C. 10 1 D. 不存在三. 解答题17. 若23()3()sin()cos()0)f x x x x ωωωω=-->的图像的最高点都在直线y m = (0)m >上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为π.（1）求ω和m 的值；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若点(,0)2A 是函数()f x 图像的一个对称中心，且1a =，求△ABC 外接圆的面积.18. 在四棱锥P –ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PD ⊥ 平面ABCD ，6PD =. （1）求四棱锥P –ABCD 的体积； （2）求异面直线PB 与DC 所成角的大小.19. 已知各项都不为零的无穷数列{}n a 满足：110n n n n a a a a +++-=. （1）证明1{}na 为等差数列，并求11a =时数列{}n a 中的最大项； （2）若2018a 为数列{}n a 中的最小项，求1a 的取值范围.PBCD20. 设抛物线24(0)y px p =>的准线与x 轴的交点为M ，过M 作直线l 交抛物线于B A 、两点.（1）求线段AB 中点的轨迹；（2）若线段AB 的垂直平分线交对称轴于0(,0)N x ，求0x 的取值范围；（3）若直线l 的斜率依次取23,,,,,n p p p p L L 时，线段AB 的垂直平分线与对称轴的交 点依次为123,,,,,n N N N N L L ， 当01p <<时，求：12233411111n n S N N N N N N N N +=+++++L L 的值.21. 已知函数20182018,0()log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，（1）分别求((1))f f -、((2018))f f 的值； （2）讨论(())()f f x m m =∈R 的解的个数；（3）若对任意给定的[1,)t ∈+∞，都存在唯一的x ∈R ，满足22(())2f f x a t at =-，求实数a 的取值范围.参考答案一. 填空题 1.56π 2.(5,1]-- 3. 3[,]88k k k ππππ-+∈Z 4. 1x = 5. 13i - 6. 40 7. π 8. 0.889. 10. [3,0]- 11. (,0)[2,)-∞+∞U 12. 1(0,)(2,)2+∞U 11. 令1,0,1≠≥=-t t t x , 则3,2,4)3(1)2(11222≠≥++-=--=-+=u u uu u u t t y 04)3(,214)3(43,2733,2≠++-≤++-⇒≠+≥+⇒≠≥uu u u u u u u u u24)3(104)3(1≥++-<++-⇒uu u u 或，所以值域为),2[)0,(+∞-∞Y二. 选择题13. C 14. D 15. B 16. C16. 设1(,)P x x，2222211()()[()]2AP x a a x a a x x =-+-=+-+-；由0x <，则12x x+≤-，分两种情况：（1）当2a ≤-时，min AP =，则a = （2）当2a >-时，min AP ==1a =； ∴满足条件的实数a的所有值为：1三. 解答题17.（1）2()()sin()cos()sin(2)3f x x x x x π=ω-ωω=-ω-……(3分) 由题意知，函数()f x 的周期为π，且最大值为m ，所以1,1m ω==. ……(3分)（2）(,0)2A 是函数()f x 图像的一个对称中心，所以sin()03A π-=，又因A 为ABC ∆的内角，所以3A π=，……(3分)在ABC ∆中，设外接圆半径为R，由12sin sin 3a R A ===π得R = ……(3分)所以ABC ∆的外接圆的面积23S R π=π= ……(2分)18.（1）211463233V sh ==⋅⋅= ……………6分 （2）因为AB ∥DC ，所以∠PBA 就是异面直线PB 与DC 所成的角，……………8分 因为PD ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥PD ，又AB ⊥AD ，所以AB ⊥P A ，……………10分 在Rt △P AB 中，PA=，AB=4，tan ∠PBA∠PBA=，………13分 异面直线PB 与DC 所成角的大小为arctan2．…………………………………14分 19.（1）由111111101n n n n n n n n n na a a a a a a a a a ++++++-=⇒-=⇒-=…………2分 ∴1{}na 是等差数列，且公差1d =； …………………2分当11a =时，1111(1)n n n n a a a n=+-=⇒=…………………1分 数列{}n a 递减数列，最大项为11a = …………………1分（2）由（1）知1111n n a a =+-； …………………1分 当110a >时，数列1{}n a 是正项递增数列，此数列没有最大项，从而数列{}n a 中就没有最小项，故110a <；…………………1分由数列1{}na 是递增数列，且2018a 是{}n a 的最小项，∴20181a 是数列1{}n a 中的最大负项， …………………2分从而有201810a <1111201702017a a ⇒+<⇒>-…………2分 又201910a >1111201802018a a ⇒+>⇒<- ∴1a 取值范围是11(,)20172018--…2分 20.（1）设直线)(:p x k y AB +=，联立px y 42=，0)42(22222=+-+p k x p pk x k ，…（1分） 由0≠k 且0>∆得到：102<<k ……(1分) 设AB的中点为),(y x P ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+=)(22221p x k y p k p x x x ，……(1分) 消去k 得，)()(22p x p x p y >+=……(1分)实际轨迹为该抛物线位于直线p x =右方的两段抛物线弧……(1分) （2）设AB 的中点为),('y x P ''，……(1分)则线段AB 的垂直平分线的方程为：)'(1'x x ky y --=-……(1分) 令0=y ，得'2')'(2'''''20x p px p x p x p x y x ky x +=++=++=+=，……(2分) p x >'由，得px 30>……(1分)（3）∵x p x '+=20，由（1）知AB 中点的横坐标p kp x -=22'，∴pk p x +=202……(1分)则当n p k =时，点n N 的横坐标p p p p p x n nn +=+=-12222，……(1分) 同理1+n N 的横坐标p p x n n +=++1212，∴1221)1(2||++-=n n n p p N N ，……(1分))1(2||12121p p N N n n n -=++……(1分)∴数列}||1{1+n n N N 为一无穷递缩等比数列，所有项的和为223)1(2p p S -=……(2分)21.（1）((1))1;f f -=-……(2分)((2018))0f f =……(2分)（2）20182018,1(())log (log ),1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩……(2分)画图(())y f f x =，……(1分)0m <，0解；0m =，2解；01m <≤，4解；1m >，3解. ……(3分)（3）画函数(())y f f x =的图……(1分) 可知，222a t at -的取值必须大于1；……(2分)即当[1,)t ∈+∞时，222a t at -的值域包含于(1,)+∞；……(1分) 当0a =时，2220a t at -=，舍去；……(1分)当114a≤时，21211,2a a a a ->⇒><-；……(1分)当114a>时，22112()144a a a a ⋅-⋅>，舍去；……(1分) 综上所述，1(,)(1,)2a ∈-∞-+∞U .……(1分)。
1 / 16浦东新区高三下三模数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 已知集合2{430}A x x x =++≥，{21}x B x =<，则A B =____________.2. 设复数21i zi，其中i 为虚数单位，则Im z =____________. 3. 抛物线22y x =的准线方程为_____________.4. 高为π，体积为2π的圆柱的侧面展开图的周长为 ．5. 三阶行列式20181201924202036x中，第2行第1列元素2019的代数余子式的值是9，则x =__.6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是____________． 7. 在1020191(2)x+展开式中，4x 项的系数为____________．(结果用数值表示)8. 设无穷等比数列n a 的公比为q ，首项10a ，231lim 2n na a a a ，则公比q的取值范围是_______________. 9. 已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上的一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记为d (P ,l )．设A (-3,1)，B (0,1)，C (-3,-1)，D (2,-1)，AB l =1,CD l =2，若),(y x P 满足),(),(21l P d l P d =，则y 关于x 的函数解析式为____________．10. 圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为____________．2 / 1611. 已知数列n a 满足11+1033n n n na a ,a a a a nN ，，数列n a 有最大值M和最小值m ，则Mm的取值范围为_________________. 12. 凸四边形就是没有角度数大于180° 的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形. 如图，在凸四边形ABCD 中，1AB =，BC =，AC CD ⊥，AC CD =．当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为_________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设0x >，则“1a =”是“2ax x+≥恒成立”的（ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 14. 已知函数()2sin(2)6f x x π=+，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象.关于函数，下列说法正确的是( D ) A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称 C. 函数是奇函数 D. 当[0,]3x π∈时，函数的值域是[1,2]-15. 已知函数()y f x =是定义域为的偶函数． 当0x ≥时，5sin , 0x 2 44()1() 1 , x 22x x f x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩， 若关于的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ C ）A ．5(,1)2--B ．59(,)24--C.599(,)(,1)244---- D ．9(-1)4-，16. 定义：在平面直角坐标系xoy 中，设点1122P x ,y Q x ,y ，，则1212d P,Qx x y y 叫做P,Q 两点的“垂直距离”. 已知点00M x ,y 是直线0ax by c 外一定点，点N 是直线0ax by c 上一动点，则M ,N 两点的“垂直距离”的最小值为（ ）)(x f x 6π)(x g )(x g ]2,4[ππ4π-=x )(x g )(x g ABCD3 / 16（A ）00max ,ax by c a b（B 00by c （C ）00+ax by ca b（D ）00ax by c三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥侧面PAB ⊥底面ABCD ，2PA AD AB ===，4BC =． （1）若PB 中点为E ．求证：//AE PCD 平面；（2）若060PAB ∠=，求直线BD 与平面PCD 所成角的正弦值．18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)上海途安型号出租车价格规定：起步费16元，可行3千米； 3千米以后按每千米按2.5元计价，可再行12千米；以后每千米都按3.8元计价. 假如忽略因交通拥挤而等待的时间.（1） 请建立车费y （元）和行车里程x （千米）之间的函数关系式；（2） 注意到上海出租车的计价系统是以元为单位计价的，如：小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到浦东实验学校走路线一（路线一总长8.91千米）须付车费31元，走路线二（路线二总长8.71千米）也须付车费31元. 将上述函数解析式进行修正（符号[]x 表示不大于x 的最大整数，符号x ⎡⎤⎢⎥表示不小于x 的最小整数）；并求小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到闵行分校须付车费多少元？（注：两校区路线长31.62千米）AB C4 / 1619．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)函数()1f x mx x a x =--+，（1）若1,0m a ==，试讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，试讨论()f x 的零点的个数。
2018年上海市六校联考高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、填空题（本大题满分42分）1．复数z=3﹣2i的模为______．2．函数y=cos（3x﹣）的最小正周期为______．3．抛物线y2=2x的准线方程是______．4．在（x2﹣）7的二项展开式中，x5项的系数为______．5．已知地球的半径为6371千米，上海位于约东经121°，北纬31°，台北的位置约为东经121°，北纬25°，则两个城市之间的球面距离约为______千米（结果精确到1千米）6．直线l的方程为=0，则直线l的倾斜角为______．7．已知α﹣β=，cosα+cosβ=，则cos=______．8．已知递增的等差数列{a n}的公差为d，又a2，a3，a4，a5，a6这5个数列的方差为3，则d=______．9．已知直线经过点P（2，0），且被圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4截得的弦长为2，则这条直线的方程为______．10．设函数y=f（x）是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB，则方程[f（x）]2=x的最大实数根的值为______．11．等比数列{a n}的公比为q，前n项积为T n，且满足a1＞1，a2018•a2018＞1，（a2018﹣1）（a2018﹣1）＜0，给出以下四个命题：①q＞1；②a2018•a2018＜1；③T2018为T n的最大值；④使T n＞1成立的最大的正整数4181，则其中正确的命题序号为______．12．已知，，为空间三个向量，又，是两个相互垂直的单位向量，向量满足||=3，=2，•=1，则对于任意实数x，y，|﹣x﹣y|的最小值为______．13．在极坐标下，定义两个点（ρ1，θ1）和（ρ2，θ2）（ρ1，ρ2＞0，0≤θ1，θ2≤2π）的“极坐标中点“为（，），设点A、B的极坐标为（4，）与（8，），设M为线段AB的中点，N为点A、B的“极坐标中点”，则线段MN的长度的平方为______．14．先阅读参考材料，再解决此问题：参考材料：求抛物线弧y=x2（0≤x≤2）与x轴及直线x=2围成的封闭图形的面积解：把区间[0，2]进行n等分，得n﹣1个分点A（，0）（i=1，2，3，…，n﹣1），过分点A i，作x轴的垂线，交抛物线于B i，并如图构造n﹣1个矩形，先求出n﹣1个矩形的面积和S n ﹣1，再求S n ﹣1，即是封闭图形的面积，又每个矩形的宽为，第i 个矩形的高为（）2，所以第i 个矩形的面积为•（）2；S n ﹣1= [+++…+]=[12+22+32+…+（n ﹣1）2]=•所以封闭图形的面积为•=阅读以上材料，并解决此问题：已知对任意大于4的正整数n ，不等式+++…+＜an 恒成立，则实数a 的取值范围为______．二、选择题15．函数y=f （x ）是实数集R 上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是单调递增函数，若f （a ）≤f （2），则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≥﹣2 B ．a ≥2或a ≤﹣2 C ．﹣2≤a ≤2 D ．a ≤2 16．复数z 满足z •+z +=17，则|z +2﹣i |的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．517．给定正三棱锥P ﹣ABC ，M 点为底面正三角形ABC 内（含边界）一点，且M 到三个侧面PAB 、PBC 、PAC 的距离依次成等差数列，则点M 的轨迹为（ ） A ．椭圆的一部分 B ．一条线段C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分18．某年数学竞赛请来一位来自X 星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题；然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照9，8，7，4，3，2，1，5，6，10的次序答题），这样所有的题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n 种，则n 的值为（ ） A ．512 B ．511 C ．1184 D ．1183三、解答题：本大题共5小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sinCcosB +sinBcosC=3sinAcosB ．（1）求cosB的值；（2）若，且，求a和c的值．20．（理）在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=2，AD=1，AA'=1．求：（1）顶点D'到平面B'AC的距离；（2）二面角B﹣AC﹣B'的大小．（结果用反三角函数值表示）21．已知f1（x）=|3x﹣1|，f2（x）=|a•3x﹣9|，x∈R，且f（x）=（1）当a=1时，请写出f（x）的单调递减区间；（2）当2≤a＜9时，设f（x）=f2（x）对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n﹣m）求l关于a的表达式，并求出l的取值范围．22．已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点T（﹣2，）在椭圆Γ上，且|TF1|+|TF2|=8．（1）求椭圆的方程；（2）点P，Q在椭圆Γ上，O为坐标原点，且直线OP，OQ的斜率之积为，求证：|OP|2+|OQ|2为定值；（3）直线l过点（﹣1，0）且与椭圆Γ交于A，B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由．23．已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为b n的线段，其中常数b＞0且b≠1，数列{x n}由f（x n）=n（n=0，1，2…）定义．（1）若b=3，求x1，x2；（2）求x n的表达式及f（x）的解析式（不必求f（x）的定义域）；（3）当b＞1时，求f（x）的定义域，并证明y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的公共点．2018年上海市六校联考高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分42分）1．复数z=3﹣2i的模为．【考点】复数求模．【分析】直接利用复数模的求法，求解即可．【解答】解：复数z=3﹣2i的模为：|3﹣2i|==．故答案为：．2．函数y=cos（3x﹣）的最小正周期为．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，得出结论．【解答】解：函数y=cos（3x﹣）的最小正周期为，故答案为：．3．抛物线y2=2x的准线方程是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得答案．【解答】解：抛物线y2=2x，∴p=1，∴准线方程是x=﹣故答案为：﹣4．在（x2﹣）7的二项展开式中，x5项的系数为﹣280．【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于5，求出r的值，即可求得x5项的系数．【解答】解：在（x2﹣）7的二项展开式T r+1=•（﹣2）r•x14﹣3r中，令14﹣3r=5，求得r=3，可得x5项的系数为﹣8•=﹣280，故答案为：﹣280．5．已知地球的半径为6371千米，上海位于约东经121°，北纬31°，台北的位置约为东经121°，北纬25°，则两个城市之间的球面距离约为667千米（结果精确到1千米）【考点】球面距离及相关计算．【分析】由于上海A、台北B两点都在东经121°，计算它们的纬度差，然后求两地的大圆劣弧的长即为上海A、台北B两点的球面距离．【解答】解：上海A、台北B两点都在东经121°，纬度差是6°，所以A、B两地的球面距离是过A、B 的大圆的劣弧的长，故劣弧的长为≈667．故答案为：667．6．直线l的方程为=0，则直线l的倾斜角为π﹣arctan．【考点】直线的倾斜角．【分析】求出直线方程，得到直线的斜率，从而求出直线的倾斜角．【解答】解：∵直线l的方程为=0，∴直线方程是：2x+4y﹣1=0，直线的斜率是：﹣，则直线l的倾斜角为：π﹣arctan，故答案为：π﹣arctan．7．已知α﹣β=，cosα+cosβ=，则cos=．【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．【分析】由条件利用和差化积公式求得cos的值．【解答】解：∵α﹣β=，cosα+cosβ=2cos cos=2cos•cos=，∴cos=，故答案为：．8．已知递增的等差数列{a n}的公差为d，又a2，a3，a4，a5，a6这5个数列的方差为3，则d=．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据等差数列的定义与性质，利用平均数与方差的公式，即可求出d的值．【解答】解：等差数列{a n}中，公差d＞0，又a2，a3，a4，a5，a6的平均数为：=（a2+a3+a4+a5+a6）=a4，方差为s2= [++++]=2d2=3，解得d=±，应取d=．故答案为：．9．已知直线经过点P（2，0），且被圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4截得的弦长为2，则这条直线的方程为x=2和3x﹣4y﹣6=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦心距，通过直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离求解，求出直线的方程即可．【解答】解：圆心（3，2），半径r=2，弦长m=2，设弦心距是d，则由勾股定理r2=d2+（）2得d=1．若l斜率不存在，是x=2．圆心和x=2距离是1，满足题意．y=k（x﹣4），kx﹣y﹣4k=0，则d==1，k2+4k+4=k2+1，k=，所以x=2和3x﹣4y﹣6=0，故答案为：x=2和3x﹣4y﹣6=0．10．设函数y=f（x）是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB，则方程[f（x）]2=x的最大实数根的值为．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据条件求出函数f（x）的解析式，利用函数与方程的关系进行转化求解即可．【解答】解：由图象知，直线方程设y=kx+b，则，即，则AB的方程为y=x+1，0≤x≤1，∵函数f（x）是偶函数，∴当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，则f（x）=f（﹣x）=﹣x+1，﹣1≤x≤0，当x≥0时，由[f（x）]2=x得f（x）=，∵函数y=f（x）是最小正周期为2的偶函数，∴作出函数f（x）和g（x）=的图象如图，由图象知f（5）=f（3）=f（1）=2，g（3）=＜2，g（5）=＞2，则当3≤x≤4时，方程f（x）=取得最大根，当3≤x≤4时，﹣1≤x﹣4≤0，则f（x）=f（x﹣4）=﹣（x﹣4）+1=﹣x+5，由f（x）=得﹣x+5=，平方得x2﹣10x+25=x，即x2﹣11x+25=0，得x==（舍）或x==故答案为：11．等比数列{a n}的公比为q，前n项积为T n，且满足a1＞1，a2018•a2018＞1，（a2018﹣1）（a2018﹣1）＜0，给出以下四个命题：①q＞1；②a2018•a2018＜1；③T2018为T n的最大值；④使T n＞1成立的最大的正整数4181，则其中正确的命题序号为②③．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用等比数列的性质可知a2018＞1，a2018＜1，得出q＜1，进而判断②③④即可．【解答】解：①等比数列{a n}的公比为q，且满足a1＞1，a2018•a2018＞1，（a2018﹣1）（a2018﹣1）＜0，∴a2018＞1，a2018＜1，∴q＜1，故错误；②a2018•a2018=a2018×a2018＜1，故正确；③a2018＞1，a2018＜1，a1＞1，q＜1，∴前n项积为T n的最大值为T2018故正确；④T4180=a1•a2…a4180=（a1•a4180）（a2•a4189）…（a2018•a2018）=（a2018•a2018）2018＞1，T4181=a1•a2…a4181=（a1•a4181）（a2•a4180）…（a2018•a2018）a2018＜1，故成立的最大的正整数4180，故错误．故答案为：②③．12．已知，，为空间三个向量，又，是两个相互垂直的单位向量，向量满足||=3，=2，•=1，则对于任意实数x，y，|﹣x﹣y|的最小值为2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知可得，，展开，利用配方法求其最小值，则|﹣x﹣y|的最小值可求．【解答】解：由题意可知：，，又||=3，=2，•=1，∴==9+x2+y2﹣4x﹣2y=（x﹣2）2+（y﹣1）2+4，当且仅当x=2，y=1时，，∴|﹣x﹣y|的最小值为2．故答案为：2．13．在极坐标下，定义两个点（ρ1，θ1）和（ρ2，θ2）（ρ1，ρ2＞0，0≤θ1，θ2≤2π）的“极坐标中点“为（，），设点A、B的极坐标为（4，）与（8，），设M为线段AB的中点，N为点A、B的“极坐标中点”，则线段MN的长度的平方为56﹣36．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】取出M，N的直角坐标，代入两点间的距离公式计算．【解答】解：A的直角坐标为A（4cos，4sin），B的直角坐标为B（8cos，8sin），即B（﹣8sin，8cos）．∴AB的中点坐标为M（2cos﹣4sin，2sin+4cos），AB的极坐标中点为N（6，）．N的直角坐标为N（6cos，6sin）．∴|MN |2=（2cos ﹣4sin ﹣6cos ）2+（2sin+4cos ﹣6sin ）2=4+16+36﹣16cos sin ﹣24coscos +48sincos+16cossin﹣24sin sin﹣48cossin=56﹣24cos+48sin （﹣）=56﹣36．故答案为56﹣36．14．先阅读参考材料，再解决此问题：参考材料：求抛物线弧y=x 2（0≤x ≤2）与x 轴及直线x=2围成的封闭图形的面积解：把区间[0，2]进行n 等分，得n ﹣1个分点A （，0）（i=1，2，3，…，n ﹣1），过分点A i ，作x 轴的垂线，交抛物线于B i ，并如图构造n ﹣1个矩形，先求出n ﹣1个矩形的面积和S n ﹣1，再求S n ﹣1，即是封闭图形的面积，又每个矩形的宽为，第i 个矩形的高为（）2，所以第i 个矩形的面积为•（）2；S n ﹣1= [+++…+]=[12+22+32+…+（n ﹣1）2]=•所以封闭图形的面积为•=阅读以上材料，并解决此问题：已知对任意大于4的正整数n ，不等式+++…+＜an 恒成立，则实数a 的取值范围为 [，） ．【考点】数列与函数的综合．【分析】作出f （x ）=（0≤x ≤1）的图象，可得为以O 为原点，1为半径的圆．把区间[0，1]进行n 等分，得n ﹣1个分点A i （，0）（i=1，2，3，…，n ﹣1），过分点A i ，作x 轴的垂线，交图象于B i ，并如图构造n ﹣1个矩形，先求出n ﹣1个矩形的面积和S n ﹣1，再求S n ﹣1，即是封闭图形的面积，运用圆的面积公式结合恒成立问题的解法，即可得到a 的范围．【解答】解：作出f （x ）=（0≤x ≤1）的图象，可得为以O 为原点，1为半径的圆．把区间[0，1]进行n 等分，得n ﹣1个分点A i （，0）（i=1，2，3，…，n ﹣1）， 过分点A i ，作x 轴的垂线，交图象于B i ，并如图构造n ﹣1个矩形，先求出n ﹣1个矩形的面积和S n ﹣1，再求S n ﹣1，即是封闭图形的面积，又每个矩形的宽为，第i 个矩形的高为，所以第i 个矩形的面积为•；S n ﹣1= [+++…+]，则封闭图形的面积为=S n ﹣1=•12=．由a ＞ [+++…+]恒成立，可得a 的范围是a ≥．故答案为：[，+∞）．二、选择题15．函数y=f （x ）是实数集R 上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是单调递增函数，若f （a ）≤f （2），则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≥﹣2 B ．a ≥2或a ≤﹣2 C ．﹣2≤a ≤2 D ．a ≤2 【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据条件可知f （x ）在[0，+∞）上单调递减，而根据f （x ）为偶函数可得到f （|a |）≤f （2），从而便有|a |≥2，解该不等式即可得出实数a 的取值范围． 【解答】解：由题意得，f （x ）在[0，+∞）上单调递减；f（x）为R上的偶函数；∴由f（a）≤f（2）得，f（|a|）≤f（2）；∴|a|≥2；∴a≥2，或a≤﹣2．故选：B．16．复数z满足z•+z+=17，则|z+2﹣i|的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【考点】复数求模．【分析】利用复数模的几何意义，求得满足z•+z+=17，的复数z在复平面上的对应点z 的轨迹，|z+2﹣i|表示z与（﹣2，1）的距离，显然点到直线的距离最小，即可得出结论．【解答】解：设复数z在复平面上的对应点为Z（x，y），则z•+z+=17，可得x2+y2+2x=17，即：（x+1）2+y2=18，∴点Z的轨迹是以（﹣1，0）为圆心，3为半径的圆．|z+2﹣i|的最小值为半径减去圆心与（﹣2，1）的距离，最小值为：=2．故选：A．17．给定正三棱锥P﹣ABC，M点为底面正三角形ABC内（含边界）一点，且M到三个侧面PAB、PBC、PAC的距离依次成等差数列，则点M的轨迹为（）A．椭圆的一部分 B．一条线段C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【考点】轨迹方程．【分析】先设点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离为d﹣a，d，d+a，正三棱锥P﹣ABC 中各个侧面的面积为S，体积为V，用等体积法可得d为常数，作平面α∥面PBC且它们的面面距离为d，则α与面ABC的交线即为点M的轨迹．【解答】解：设点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离为d﹣a，d，d+a正三棱锥P﹣ABC中各侧面的面积为S，体积为V，则S（d﹣a）+d+（d+a ）=V，即Sd=V，所以d为常数．作平面α使α∥面PBC且它们的距离为d，则α与面ABC的交线即为点M的轨迹．易知M的轨迹为一条线段．故选：B．18．某年数学竞赛请来一位来自X星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题；然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照9，8，7，4，3，2，1，5，6，10的次序答题），这样所有的题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n种，则n的值为（）A．512 B．511 C．1184 D．1183【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由于每道题的都有两种情况，答或者不答，故根据分步计数原理可得．【解答】解：每道题的都有两种情况，答或者不答，从10﹣9，有两种选择，从9﹣8也有两种选择，以此类推8﹣7，7﹣6，6﹣5，5﹣4，4﹣3，3﹣2，2﹣1，而从1题到第10道题只有一种选择，故有1×29=512种，故选：A．三、解答题：本大题共5小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB．（1）求cosB的值；（2）若，且，求a和c的值．【考点】余弦定理的应用；三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】（1）由条件得sin（B+C）=3sinAcosB，再由sin（B+C）=sinA≠0，可得．（2）由两个向量的数量积的定义得到ac=6，再由余弦定理可得a2+c2=12，解方程组可求得a和c的值．【解答】解：（1）由sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB，得sin（B+C）=3sinAcosB，因为A、B、C是△ABC的三内角，所以sin（B+C）=sinA≠0，因此．（2），即ac=6，由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，所以a2+c2=12，解方程组，得．20．（理）在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=2，AD=1，AA'=1．求：（1）顶点D'到平面B'AC的距离；（2）二面角B﹣AC﹣B'的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）利用空间向量来求点到平面的距离，必须先建立空间直角坐标系，找到已知点坐标，求出平面的法向量，再借助点到平面的距离公式来计算，其中为平面的法向量，为点D′与平面上任意一点的向量．（2）欲求二面角的大小，只需求出两个平面的法向量的夹角，再借助图形判断，法向量的夹角是二面角的夹角，还是其补角．【解答】解：（1）如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A（1，0，0）、D（0，0，0）、C（0，2，0）、A'（1，0，1）、B'（1，2，1）、D'（0，0，1）．设平面B'AC的法向量为，则，．因为，，，，所以解得u=2v，w=﹣2v，取v=1，得平面B'AC一个法向量，且．在平面B'AC取一点A，可得，于是顶点D'到平面B'AC的距离，所以顶点D'到平面B'AC的距离为，（2）因为平面ABC的一个法向量为，设与的夹角为α，则，结合图形可判断得二面角B﹣AC﹣B'是一个锐角，它的大小为．21．已知f1（x）=|3x﹣1|，f2（x）=|a•3x﹣9|，x∈R，且f（x）=（1）当a=1时，请写出f（x）的单调递减区间；（2）当2≤a＜9时，设f（x）=f2（x）对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n﹣m）求l关于a的表达式，并求出l的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）运用指数不等式的解法和绝对值的含义，可得f（x）的解析式，再由指数函数的单调性，即可得到所求单调区间；（2）由题意可得f2（x）≤f1（x），即为|a•3x﹣9|≤|3x﹣1|，结合条件，化简整理可得log3≤x≤log3，可得l=log3﹣log3，运用对数的运算性质，化简整理，再由对数函数的单调性，可得l为关于a的减函数，进而得到l的范围．【解答】解：（1）当a=1时，f2（x）=|a•3x﹣9|=|3x﹣9|，当|3x﹣9|≥|3x﹣1|，可得（2•3x﹣10）（﹣8）≥0，即为3x≤5，即x≤log35，可得f（x）=|3x﹣1|，x≤log35，当0≤x≤log35时，f（x）=3x﹣1；当x＜0时，f（x）=1﹣3x；当x＞log35，f（x）=|3x﹣9|，当x≥2时，f（x）=3x﹣9，当log35＜x＜2时，f（x）=9﹣3x．则x＜0时，f（x）=1﹣3x递减；log35＜x＜2时，f（x）=9﹣3x递减．综上可得，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），（log35，2）；（2）由题意可得f2（x）≤f1（x），即为|a•3x﹣9|≤|3x﹣1|，平方可得（a•3x﹣9）2≤（3x﹣1）2，即有[（a﹣1）•3x﹣8][（a+1）•3x﹣10]≤0，由2≤a＜9，可得（3x﹣）（3x﹣）≤0，又﹣=＞0，则≤3x≤，即有log3≤x≤log3，可得l=log3﹣log3=log3=log3+log3=log3+log3（1+），由2≤a＜9，可得l是关于a的递减函数，即有0＜l≤log3．则l的取值范围的范围是（0，log3]．22．已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点T（﹣2，）在椭圆Γ上，且|TF1|+|TF2|=8．（1）求椭圆的方程；（2）点P，Q在椭圆Γ上，O为坐标原点，且直线OP，OQ的斜率之积为，求证：|OP|2+|OQ|2为定值；（3）直线l过点（﹣1，0）且与椭圆Γ交于A，B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由点T（﹣2，）在椭圆Γ上，且|TF1|+|TF2|=8，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆的方程．（2）设直线OP：y=kx，联立，求出|OP|2，同理求出|OQ|2，由此能证明|OP|2+|OQ|2为定值．（3）当直线l与x轴不垂直时，设l：y=k（x+1），由，得（1+4k2）x2+8k2x+（4k2﹣16）=0，推导出•=，当l与x轴垂直时，l：x=﹣1，A（﹣1，），B（﹣1，﹣），从而•=，由此能求出结果．【解答】解：（1）∵椭圆Γ： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点T（﹣2，）在椭圆Γ上，且|TF1|+|TF2|=8，∴，解得a=4，b=2，∴椭圆的方程为=1．证明：（2）设直线OP：y=kx，联立方程组，得x=，∴|OP|2=，又直线OQ：，同理，得|OQ|2==，∴|OP |2+|OQ |2===20，为定值．解：（3）当直线l 与x 轴不垂直时，设l ：y=k （x +1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （t ，0），由，得（1+4k 2）x 2+8k 2x +（4k 2﹣16）=0，又=（x 1﹣t ，y 1），=（x 2﹣t ，y 2），∴=（x 1﹣t ）（x 2﹣t ）+y 1y 2=（x 1﹣t ）（x 2﹣t ）+k （x 1+1）•k （x 2+1）=（1+k 2）x 1x 2+（k 2﹣t ）（x 1+x 2）+（k 2+t 2）=，令，得t=﹣，此时•=，当l 与x 轴垂直时，l ：x=﹣1，A （﹣1，），B （﹣1，﹣），又M （﹣，0），∴•=， 综上，M （﹣，0），•=．23．已知函数y=f （x ）的图象是自原点出发的一条折线，当n ≤y ≤n +1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为b n 的线段，其中常数b ＞0且b ≠1，数列{x n }由f （x n ）=n （n=0，1，2…）定义．（1）若b=3，求x 1，x 2；（2）求x n 的表达式及f （x ）的解析式（不必求f （x ）的定义域）；（3）当b ＞1时，求f （x ）的定义域，并证明y=f （x ）的图象与y=x 的图象没有横坐标大于1的公共点．【考点】数列与函数的综合． 【分析】（1）由f （0）=0，运用直线的斜率公式，f （x n ）=n ，可得x 1，x 2；（2）由x 1=1，x 2=1+，…，x n =x 1+（x 2﹣x 1）+（x 3﹣x 2）+…+（x n ﹣x n ﹣1），运用等比数列的求和公式，即可得到所求；再由直线的斜率公式可得f （x ）的解析式；（3）当b ＞1时，x n =，f （x ）的定义域为[0，），证明b ＞1，1＜x ＜时，恒有f （x ）＞x 成立．运用f （x ）的解析式，结合不等式的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）依题意f （0）=0，又由f （x 1）=1，当0≤y ≤1时， 函数y=f （x ）的图象是斜率为b 0=1的线段， 故由=1，得x 1=1．又由f（x2）=2，当1≤y≤2时，函数y=f（x）的图象是斜率为b的线段，故由=b，即x2﹣x1==，解得x2=；（2）由（1）可得x1=1，x2=1+，由函数y=f（x）图象中第n段线段的斜率为b n﹣1，故得=b n﹣1，又f（x n）=n，f（x n）=n﹣1，﹣1=（）n﹣1，∴x n﹣x n﹣1}为等比数列，其首项为1，公比为，由此知数列{x n﹣x n﹣1）因b≠1，得x n=x1+（x2﹣x1）+（x3﹣x2）+…+（x n﹣x n﹣1=1++（）2+…+=（）n﹣1==，对n=1也成立，故x n=；当n≤y≤n+1时，=b n，f（x）=f（x n）+（x﹣x n）b n=n+（x﹣x n）b n（n=0，1，2，…）：（3）当b＞1时，x n=，f（x）的定义域为[0，），下面证明b＞1，1＜x＜时，恒有f（x）＞x成立．事实上，对1＜x＜时，存在x n，使x n≤x≤x n+1，于是由b＞1时，f（x）=f（x n）=b n（x﹣x n）＞x﹣x n，进而f（x）﹣x＞f（x n）﹣x n=n﹣x n，当b＞1时，x n=1+++…+＜n，即n﹣x n＞0，可得f（x）＞x．综上知，y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的公共点2018年9月20日。
2018年上海市高考数学模拟试卷（三）(J)副标题一、选择题（本大题共4小题，共4.0分）1.函数的反函数是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：由得，，所以原函数的反函数为．故选：D．求函数的反函数，根据原函数解出x，然后把x和y互换即可，注意函数定义域．本题考查了函数反函数的求解方法，解答的关键是正确解出x，特别要注意的是反函数的定义域应为原函数的值域，是易错题．2.直线l的法向量是若，则直线l的倾斜角为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设直线l的倾斜角为，直线l的法向量是，直线l的斜率．．，，即为锐角．故选：B．设直线l的倾斜角为，由于直线l的法向量是，可得直线l的斜率即由，判定为锐角利用反三角函数即可得出．本题考查了直线的法向量与直线的斜率之间的关系、反三角函数，属于基础题．3.已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点若，则的最小值是A. 0B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为，点，点，则点，．，，．，当时，取得最小值为，故选：C．由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为，点，点，则点，，且根据，再利用二次函数的性质求得它的最小值．本题主要考查两个向量的数量积公式，二次函数的性质，属于中档题．4.等差数列的公差，，前n项和为，则对正整数m，下列四个结论中：，，成等差数列，也可能成等比数列；，，成等差数列，但不可能成等比数列；，，可能成等比数列，但不可能成等差数列；，，不可能成等比数列，也不可能成等差数列；正确的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由等差数列的性质可得，，成等差数列，若也成等比数列，则必须有数列为常数列，与矛盾，故中正确；只有当时，才有，，成等比数列，故正确故选：D．由等差数列的性质可得，，成等差数列，可知正确；只有当时，才有，，成等比数列，故正确，可得答案．本题考查等差数列的性质，属基础题．二、填空题（本大题共12小题，共12.0分）5.向量在向量方向上的投影为______．【答案】【解析】解：向量，；向量在向量方向上的投影为；故答案为：．由向量在向量方向上的投影定义，结合平面向量的数量积公式，知向量在向量方向上的投影为，代入计算即可．本题考查了平面向量在另一向量上的投影问题，是基础题．6.已知正数a，b满足，则行列式的最小值为______．【答案】3【解析】解：行列式，，，，，，行列式的最小值为3．故答案为：3．计算行列式，再利用基本不等式，即可得出结论．本题考查行列式，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，比较基础．7.阅读程序框图，如果输出的函数值y在区间内，则输入的实数x的取值范围是______．【答案】【解析】解：由程序框图可得分段函数：，令，则，满足题意；输入的实数x的取值范围是．故答案为：．由程序框图得出分段函数，根据函数的值域，求出实数x的取值范围．本题考查了程序框图的运行过程的问题，解题时应读懂框图，得出分段函数，从而做出正确解答，是基础题．8.设、是一元二次方程的两个虚根若，则实数______．【答案】4【解析】解：由题意可得，解得，由韦达定理可得，，又，即，实数，或，结合可得故答案为：4由题意可得，可得m的范围，由韦达定理可得，，综合可解m的值．本题考查实系数的一元二次方程的根的问题，属基础题．9.集合，，若“”是“”的充分条件，则b的取值范围是______．【答案】【解析】解：，当时，，此时有，，解得故答案为：先化简A及当时集合B，再结合数轴解决．本题主要考查集合的运算与基本关系，考查数形结合、计算、不等式的解法等思想与能力．10.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为，其右焦点到直线的距离为3，则椭圆的方程为______．【答案】【解析】解：椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为，设椭圆方程为，椭圆的右焦点，右焦点到直线的距离为3，，解得，椭圆方程为．故答案为：．由已知条件设椭圆方程为，，由右焦点到直线的距离为3，利用点到直线的距离公式求出，由此能求出椭圆方程．本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．11.在中，A、B、C所对边分别为a、b、若，则______．【答案】【解析】解：已知等式变形得：，，则．故答案为：已知等式移项后，左边通分并利用同分母分式的加法法则变形，再利用同角三角函数间的基本关系切化弦，整理后利用诱导公式化简，右边利用正弦定理化简，求出的值，即可确定出A的度数．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．12.已知数列的首项，其前n项和为若，则______．【答案】【解析】解：，，，．数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，，，时，不满足上式，．故答案为：．把已知递推式两边加1，得到等比数列，求出其通项公式后，由求解数列的通项公式．本题考查了数列递推式，关键是把已知递推式变形，得到新的等比数列，是中档题．13.某地球仪上北纬纬线长度为，该地球仪的表面上北纬东经对应点A与北纬东经对应点B之间的球面距离为______精确到．【答案】【解析】解：地球仪上北纬纬线的长度为，则纬圆半径r，，地球仪的半径．北纬东经对应点A与北纬东经对应点B，北纬的纬圆半径是，经度差是，，设球心角为，则，，球面距离为．故答案为：．先求纬圆半径，再求地球仪的半径，A、B两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出AB 弦长，以及球心角，然后求出球面距离．本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．14.已知直线与抛物线C：相交于A、B两点，F为抛物线C的焦点若，则实数______．【答案】【解析】解：设抛物线C：的准线为l：，直线恒过定点如图过A、B分别作于M，于N，由，则，点B为AP的中点、连接OB，则，，点B的横坐标为1，点B的坐标为，．故答案为：．根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作于M，于N，根据，推断出，点B为AP的中点、连接OB，可知，推断出，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．本题主要考查了抛物线的简单性质，是中档题，解题要注意抛物线的基础知识的灵活运用．15.将的图象向右平移2个单位后得曲线，将函数的图象向下平移2个单位后得曲线，与关于x轴对称，若的最小值为m且，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】解：将的图象向右平移2个单位后得曲线，曲线：，曲线，与关于x轴对称，曲线：，将函数的图象向下平移2个单位后得曲线，，，设，，，函数定义域的端点值取不到，如果函数有最值，那么该最值就一定在非端点处取到，也就是说该函数一定不是单调函数，而对于形如的函数只有当时才是上的非单调函数，，解得或，当时，变量t的两个系数都为负数，此时只有最大值，不合题意．当时，t的两个系数都为正数，并且t也为正数，可以用基本不等式：，的最小值为m且，，联立，解得：．综上所述：实数a的取值范围为．故答案为：．根据推出，由推出，再算出，设，利用非单调函数取最值的性质和均值定理能求出实数a的取值范围．本题考查函数中参数的取值范围的求法，涉及到函数图象的对称性、函数的单调性、函数的最值、均值定理等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意等价转化思想的合理运用．16.已知“a，b，c，d，e，f”为“1，2，3，4，5，6”的一个全排列设x是实数，若“”可推出“或”，则满足条件的排列“a，b，c，d，e，f”共有______个【答案】208【解析】解：分析题意，得出结论为包含于．首先对于类似可能是这种，有种情况包括由于是，我们考虑一下这两个区间的关系：无外乎分离、交叉、包含3种分离：此时ab只能在cd内部，或者在ef内部；再考虑到cd、ef谁左谁右，总共种情况；交叉：比如此时由小到大的顺序为cedf，那么实际上就是，所以cf 之间应该有abde4个数字，选择4个位置中的两个给ab有；再考虑到cd、ef 谁左谁右，总共种情况包含：跟交叉无甚区别，也是12种情况故总情况数：个．故答案为：208个．分析题意，得出结论为包含于，由于是，我们考虑一下这两个区间的关系：无外乎分离、交叉、包含3种，分类讨论，可得结论．本题考查合情推理，考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共5.0分）17.在直三棱柱中，，，，求：异面直线与所成角的大小；直线到平面的距离．【答案】解：由题意可得，或其补角即为异面直线与所成的角，由题意可知平面，，为直角三角形，，异面直线与所成的角为；，平面，平面，平面，直线上任意一点到平面的距离均为直线到平面的距离，不妨取，且设到平面的距离为h，由等体积法可得，即代入数据可得，解得直线到平面的距离为【解析】由题意可得或其补角即为异面直线与所成的角，解三角形可得；可证平面，则到平面的距离h即为所求，由等体积法可得，代入数据计算可得．本题考查异面直线所成的角，涉及直线到平面的距离，等体积是解决问题的关键，属中档题．18.已知，其中b是常数．若是奇函数，求b的值；求证：的图象上不存在两点A、B，使得直线AB平行于x轴．【答案】解：是奇函数，所以对定义域内任意x，都有，即，即，可得．此时，，为奇函数设定义域内任意，设，，当时，由于，，可得，故总有在定义域上单调递增，故函数在定义域上单调递增．当时，，在定义域上单调递增，故函数在定义域上单调递增．当时，，可得，总有在定义域上单调递增，故函数在定义域上单调递增．综上可得，不论b取何值，函数在其定义域上单调递增，故的图象上不存在两点，使得所连的直线与x轴平行．【解析】根据，化简求得b的值．设定义域内任意，设，用函数的单调性的定义证明在函数的定义域内是增函数，可得在定义域内是增函数，从而得出结论．本题主要考查函数的奇偶性的应用，函数的单调性的判断和证明，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．19.如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设．试用表示的面积；求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小．【答案】解：设为x，，，分，，分令分只需考虑取到最大值的情况，即为，分当，即时，达到最大分此时八角形所覆盖面积的最大值为分【解析】先求出，再用表示的面积；令，只需考虑取到最大值的情况．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.已知点、为双曲线C：的左、右焦点，过作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且圆O的方程是．求双曲线C的方程；过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；过圆O上任意一点作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：．【答案】解：设，M的坐标分别为因为点M在双曲线C上，所以，即，所以在中，，，所以分由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：分解：由条件可知：两条渐近线分别为：；：分设双曲线C上的点，设两渐近线的夹角为，则则点Q到两条渐近线的距离分别为分因为在双曲线C：上，所以又，所以分证明：由题意，即证：．设，，切线l的方程为：分当时，切线l的方程代入双曲线C中，化简得：所以：又分所以分当时，易知上述结论也成立所以分综上，，所以．【解析】确定，，由双曲线的定义可知：，从而可得双曲线C的方程；确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点，求出点P到两条渐近线的距离，利用在双曲线C上，及向量的数量积公式，即可求得结论；分类讨论：当切线l的斜率存在，设切线l的方程代入双曲线C中，利用韦达定理，结合直线l与圆O相切，可得成立；当切线l的斜率不存在时，求出A，B的坐标，即可得到结论．本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．21.在等差数列和等比数列中，，，是前n项和．若，求实数b的值；是否存在正整数b，使得数列的所有项都在数列中？若存在，求出所有的b，若不存在，说明理由；是否存在正实数b，使得数列中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中？若存在，求出一个可能的b的值，若不存在，请说明理由．【答案】解：对等比数列，公比．有意义，，．又，．解方程，得或．因为，所以当b取偶数时，中所有项都是中的项．证：由题意：，均在数列中，当时，的第n项是中的第项当b取奇数时，不是整数，数列的所有项都不在数列中．综上，所有的符合题意的假设存在b满足题意，，在中，中至少存在一项在中，另一项不在中由得，不妨取得，即．不妨也取，得舍负值此时当时，，，对任意n，综上，可以满足题意．【解析】根据条件先求出表示q，因为有意义有意义所以，由等比数列前n项和公式可表示出，然后解方程，可得b的值；分情况可证明当b取偶数时，中所有项都是中的项，当b 取奇数时，不是整数，数列的所有项都不在数列中；假设存在b满足题意，由，在中可推出：中至少存在一项在中，另一项不在中建立关系得，尝试取m和k的值即可．本题主要考查等比数列等差数列的通项公式和前n项和公式，极限的意义，存在性问题的解决技巧，分析问题和处理数据的能力，属于难题．。
