2018学年上海市建平中学高三(上)9月月考数学试卷 解析版

2024届建平中学高三（下）3月月考数学试卷一,填空题（第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分）1.已知集合{}12A x x =-≤≤,{}0B x x =>,则AB =_____________. 2.若2sin 3x =-,则cos2x =____________ 3.设i 为虚数单位,若复数()()1i 1i a ++是纯虚数,则实数a =_____________.4.设随机变量()~,B n p ξ,且[] 1.6E ξ=,[] 1.28D ξ=,则p =____________.5.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为3π,底面圆的半径为1,则圆锥的侧面积为____________. 6.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是_____________（结果用最简分数表示）7.在ABC △中,内角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,且1a =,4cos 5A =,5cos 13B =,则b =____________. 8.甲乙两人射击,每人射击一次.已知甲命中的概率是0.8,乙命中的概率是0.7,两人每次射击是否命中互不影响.已知甲,乙两人至少命中一,则甲命中的概率为____________.9.已知1F ,2F 为椭圆C ：221164x y +=的两个焦点,P ,Q 为C 上关于坐标原点对称的两点,且12PQ F F =,则四边形12PF QF 的面积为___________.10.设12a =,121n n a a +=+,21n n n a b a +=-,*n ∈N ,则数列{}n b 的通项公式n b =__________. 11.已知A ,B 是平面内两个定点,且2AB =,点集{}6,5P AP AB AP Ω=⋅=≤.若,M N ∈Ω,则向量AM ,AN 夹角的余弦值的取值范围是__________.12.若函数()y f x =的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称函数()y f x =具有T 性质,若函数()2sin cos cos 2c g x ax b x x c x =-++具有T 性质,其中a ,b ,c 为实数,且满足221b c +=,则实数a b c ++的取值范围是___________.二,单选题（本大题共4题,满分20分）13.已知a ∈R ,则“1a >”是“12a a +>”的（,,,,） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.从某中学甲,乙两班各随机抽取10名同学,测量他们的身高（单位：cm ）,所得数据用茎叶图表示如图,由此可估计甲,乙两班同学的身高情况,则下列结论正确的是（,,,,）A.甲乙两班同学身高的极差相等B.甲乙两班同学身高的平均值相等C.甲乙两班同学身高的中位数相等D.乙班同学身高在175cm 以上的人数较多15.如图,设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点,由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ,如果集合M 中有且只有2个元素,那么符合条件的点P 有（,,,,）.A.4个B.6个C.10个D.14个16.已知函数()f x ,()g x 定义域为R ,且()()()()()f x g y f y g x f x y -=-,()()()()()g x g y f x f y g x y -=-,()00g ≠,则下列结论正确的是（,,,,）①若()()111f g +=,则()()202420241f g -=,②若()()111f g -=,则()()202420241f g +=三,解答题（本大题共有5题,满分76分）17.如图,在三棱锥P ABC -中,AB BC ==4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC .（2）若点M 在棱BC 上,且2MC MB =,求点C 到平面POM 的距离.18.设函数()sin sin 62f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其中03ω<<.已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求ω.（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,再将得到的图象向左平移4π个单位,得到函数()y x g =的图象,求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 19.地区期末进行了统一考试,为做好本次考试的评价工作,将本次成绩转化为百分制,现从中随机抽取了50名学生的成绩,经统计,这批学生的成绩全部介于40至100之间,将数据按照[)40,50,[)50,60,[)60,70,[)70,80,[)80,90,[]90,100分成6组,制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中m 的值.（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[)70,80,[)80,90,[]90,100的三组中抽取了11人,再从这11人中随机抽取3人,记ξ为3人中成绩在[)80,90的人数,求ξ的分布列和数学期望.（3）转化为百分制后,规定成绩在[]90,100的为A 等级,成绩在[)70,90的为B 等级,其它为C 等级.以样本估计总体,用频率代替概率。

【精品资料、学习必备】上海市名校数学真题系列各大名校数学真题Word精排版，可以自由编排打印使用建平中学高三数学模拟试卷2018.05一. 填空题1. 设集合{1,2,3}A =，{|1}B x x =>，则AB =2. 已知复数z 满足(2)5z i -=（i 为虚数单位），则z 的模为3. 函数2()sin 2sin cos f x x x x =-的周期为4.已知函数()f x =1(1)f -=5. 双曲线2214x y -=一个焦点到一条渐近线的距离为 6. 已知不等式组22020x y x y y +≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩表示的平面区域为Ω，点M 坐标为(,)x y ，对任意点M ∈Ω，x y -的最小值为7. 已知甲、乙、丙三人分别在连续三天中值班， 每人值班一天，那么甲与乙在相邻两天值班的 概率为8. 某几何体是由圆柱的某一部分和球的某一部 分组成，三视图如图所示，则该几何体的体积 是9. 若n a 是二项式(1)n x +展开式中2x 项的系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+= 10. 已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A 、B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=u u r u u u r（其中O 为坐标原点），则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是 11. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对于任意正整数m 、n 及正常数q ， 当n m >时，m n m n m S S q S --=恒成立，若存在常数0c >，使得{lg()}n c S -为等差数列， 则常数c 的值为12. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果对任意的实数λ，||||BA BC BC λ-≥u u r u u u r u u u r 恒成立，则c bb c+的取值范围是二. 选择题13. 已知,a b ∈R ，则 “0ab =”是“220a b +=”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要14. 将函数sin()6y x π=-的图象上所有的点向右平移4π个单位长度，再把图象上各点的横 坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（ ）A. 5sin()212x y π=-B. sin()212x y π=+ C. 5sin(12)2y x π=- D. 5sin()224x y π=-15. 如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发， 在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动 过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图象大致是（ ）A. B. C. D.16. 定义(,)a a bF a b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知函数()f x 、()g x 定义域都是R ，给出下列命题：（1）若()f x 、()g x 都是奇函数，则函数((),())F f x g x 为奇函数； （2）若()f x 、()g x 都是减函数，则函数((),())F f x g x 为减函数； （3）若min ()f x m =，min ()g x n =，则min ((),())(,)F f x g x F m n =； （4）若()f x 、()g x 都是周期函数，则函数((),())F f x g x 是周期函数. 其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三. 解答题17. 在四棱锥P -ABCD 中，底面为梯形，AB ∥CD ，90BAP CDP ∠=∠=o ，2PA PD AB ===，PA PD ⊥，四棱锥P -ABCD 的体积为4.（1）求证：AB ⊥平面P AD ；（2）求PC 与平面ABCD 所成角.18. 已知函数()x x f x a k b =+⋅，其中k ∈R ，0>a 且1≠a ，0>b 且1≠b . （1）若1=ab ，试判断()f x 的奇偶性； （2）若2a =，12b =，16k =，证明()f x 的图像是轴对称图形，并求出对称轴.19. 某城市为了丰富市民的休闲生活，现决定修建一块正方形区域的休闲广场ABCD （如图），其中正方形区域边长为1千米，AE 、EF 、AF 为休闲区域内的直步道，且45EAF ∠=o ，其 余区域栽种花草树木，设EAB θ∠=.（1）当6πθ=时，求EF 的长；（2）当步道围成的△AEF 面积S 最小时，这样的 设计既美观同时成本最少，求S 的最小值？20. 已知椭圆22142x y +=的左右焦点为1F 、2F ，过(,0)M m （M 不过椭圆的顶点和中心） 且斜率为k 直线l 交椭圆于P 、Q 两点，与y 轴交于点N ，且NP MP λ=u u u r u u u r，NQ MQ μ=.（1）若直线l 过点2F ，求△1F PQ 的周长；（2）若直线l 过点2F ，求线段PQ 的中点R 的轨迹方程； （3）求证：λμ+为定值，并求出此定值.21. 已知无穷数列{}n a ()n a ∈Z 的前n 项和为n S ，记1S 、2S 、…、n S 中奇数的个数为n b . （1）若n a n =，请写出数列{}n b 的前5项； （2）求证：“1a 为奇数，(2,3,4,)i a i =为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列”的充分不必要条件；（3）若i i a b =，1,2,3,i =，求数列{}n a 的通项公式.参考答案一. 填空题1. {2,3}2.3. π4. 1-5. 16. 6-7.23 8. 53π 9. 2 10. 3 11. 11c q=-(01)q <<12.二. 选择题13. B 14. A 15. C 16. B三. 解答题17．（1）证明：∵ 90BAP CDP ∠=∠=，∴AB AP ⊥，CD DP ⊥.又//AB CD ，∴AB DP ⊥. ∵AP DP P =I ，AP ，DP Ü面PAD ，∴AB ⊥平面PAD . （2）解： 作AD 的中点E ，连结PE ，CE∵ PA PD =，PA PD ⊥，∴ PE AD ⊥，AD =12PE AD ==. 由（1）AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，又,,ABAD A AB AD =Ü面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，即PE 为四棱锥P ABCD -的高，PCE ∠为PC 与平面ABCD 所成角. 四棱锥P ABCD -的体积为1112433232ABCD AB CD CD S PE AD PE ++=⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅梯形，得4CD =.在Rt PDC △中，PC =在Rt PEC △中，sin10PE PCE PC ∠===，PCE ∠=.所以PC 与平面ABCD 所成角为arcsin 10.18．（1）由已知，ab 1=，于是()x x f x a k a -=+⋅，则()x xf x a k a --=+⋅，若()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，即xx x x a k a a k a ⋅+=⋅+--，所以0))(1(=---xxaa k 对任意实数x 恒成立，所以1=k ．若)(x f 是奇函数，则)()(x f x f -=-，即)(x x x xa k a a k a --⋅+-=⋅+，所以0))(1(=++-xxaa k 对任意实数x 恒成立，所以1-=k ．综上，当1=k 时，)(x f 是偶函数；当1-=k 时，)(x f 奇函数，当1±≠k ，)(x f 既不是奇函数也不是偶函数．（2）()2162xxf x -=+⋅，若函数)(x f 的图像是轴对称图形，且对称轴是直线m x =，即对任意实数x ，)()(x m f x m f +=-恒成立，()()21622162m x m x m x m x ---+-++⋅=+⋅，化简得(22)(2162)0x x m m ----⋅=，因为上式对任意R x ∈成立，所以21620m m --⋅=，24m=，2m = ． 所以，函数)(x f 的图像是轴对称图形，其对称轴是直线2x =． 19．（1）在Rt ABE △中，BE =. 在Rt ADF △中，1tan6tan 2461tan 6DF ππππ-⎛⎫=-==-⎪⎝⎭+∴23EF ==-. （2）由题意在Rt ABE △中，tan BE θ=，AE 在Rt ADF △中，tan 4DF πθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，AF ===∴()211tan sin 02421tan 4S AE AF πθπθθ+⎛⎫=⋅==<< ⎪+⎝⎭. 设1tan t θ=+，则()tan 112t t θ=-<<，()211121221222t S t t t ⎛⎫+-⎛⎫==+-≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当且仅当2t t=时取等号，此时tan 1,8t πθθ===.∴ 当8πθ=时，S 1.20．（1）解：由题意椭圆22142x y +=的长轴长24a =. ∴ 1F PQ △的周长为111221448F P PQ FQ F P F P F Q FQ ++=+++=+=. （2）由题意直线(:l y k x =.由(2224y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得()222212440k x x k +-+-=，由题意0∆>恒成立.设()()()1122,,,,,P x y Q x y R x y，则12x x +=∴2212222,2121212x x x y k k k k ⎛+====- +++⎝.即()22,12x k k y ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩为参数. 消去k 得点R的轨迹方程为2220x y +=（x ≠. （3）由NP MP λ=得()()1111,,N x y y x m y λ-=-，所以11x x mλ=-. 同理22x x mμ=-. 由题意直线l 的方程为()y k x m =+，代入22142x y +=得 ()22222214240kx k mx k m +-+-=，由题意()()()()222222224421248420k mk k m k k m ∆=-+-=+->.由韦达定理得222121222424,2121k m k m x x x x k k -+==++. ()()1212212121212222m x x m x x m mx m x m x m x m x x m x x mλμ+-+=+=++=+-----++ ()()222222222222224222122244244212121k m m m m m k k m k m k m k m m k m mk k ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=+=+---++-⋅+++ ()2228244m m m m -=+=-+-. 综上可知λμ+为定值284m -. 21．（1）解：1=1b ，2=2b ，3=2b ，4=2b ，5=3b ． （2）证明：（充分性）因为1a 为奇数，(2,3,4,)i a i =为偶数，所以，对于任意*i ∈N ，i S 都为奇数．所以n b n =．所以数列{}n b 是单调递增数列． （不必要性）当数列{}n a 中只有2a 是奇数，其余项都是偶数时，1S 为偶数，(2,3,4,)i S i =均为奇数，所以1n b n =-，数列{}n b 是单调递增数列．所以“1a 为奇数，(2,3,4,)i a i =为偶数”不是“数列{}n b 是单调递增数列”的必要条件；∴“1a 为奇数，(2,3,4,)i a i =为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列” 的充分不必要条件．（3）解：（ⅰ）当k a 为奇数时，如果k S 为偶数，若1k a +为奇数，则1k S +为奇数，所以111k k k b b a +=+=+为偶数，与11k k a b ++=矛盾； 若1k a +为偶数，则1k S +为偶数，所以1k k k b b a +==为奇数，与11k k a b ++=矛盾． 所以当k a 为奇数时，k S 不能为偶数． （ⅱ）当k a 为偶数时，如果k S 为奇数，若1k a +为奇数，则1k S +为偶数，所以1k k k b b a +==为偶数，与11k k a b ++=矛盾； 若1k a +为偶数，则1k S +为奇数，所以111k k k b b a +=+=+为奇数，与11k k a b ++=矛盾． 所以当k a 为偶数时，k S 不能为奇数．综上可得k a 与k S 同奇偶． 所以n n S a -为偶数．因为11n n n S S a ++=-为偶数，所以n a 为偶数． 因为111a b S ==为偶数，且101b ≤≤，所以110b a ==．因为22111a b b =≤+=，且20b ≥，所以220b a ==．以此类推，可得0n a =．。

上海市市西中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣2x 2，则f （2）+g （2）=（ ） A ．16 B ．﹣16 C ．8D ．﹣82．某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（ ） A ．80＋20π B ．40＋20π C ．60＋10π D ．80＋10π3． 设,,a b c 分别是ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ++=与sin sin 0bx B y C -+=的位置关系是（ ）A ．平行B ． 重合C ． 垂直D ．相交但不垂直 4． 已知()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->，若存在0(1,)x ∈+∞，使得00()'()0g x g x +=，则b a的 取值范围是（ ）A ．(1,)-+∞B ．(1,0)- C. (2,)-+∞ D ．(2,0)- 5． 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽 车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘 坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种. A ．24 B ．18C ．48D ．36【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力．6． 双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则m 的值等于（ ）A ．12B ．20C ．D ．7． 已知集合A={x|x ＜2}，B={y|y=5x }，则A ∩B=（ ） A ．{x|x ＜2} B ．{x|x ＞2} C ．{x|o ≤x ＜2} D ．{x|0＜x ＜2}8． 过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线与双曲线2218-=y x 的一条渐近线平行，并交其抛物线于A 、 B 两点，若>AF BF ，且||3AF =，则抛物线方程为（ ）A ．2y x = B ．22y x = C ．24y x = D ．23y x =【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．9． 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（ ）A ．24B ．80C ．64D ．24010．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．15B ．C ．15D ．15【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．11．设1m >，在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C. (1,3) D ．(3,)+∞ 12．在ABC ∆中，b =3c =，30B =，则等于（ ）AB． CD ．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．定义在R 上的可导函数()f x ，已知()f x y e =′的图象如图所示，则()y f x =的增区间是 ▲ ．的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最223y +=，那么y x的最大值是 ．16．已知函数5()sin (0)2f x x a x π=-≤≤的三个零点成等比数列，则2log a = . 三、解答题（本大共6小题，共70分。

上海市建平中学西校2018-2019学年九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.如果两个相似三角形对应中线之比是1：4，那么它们的周长之比是（）A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：162.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（）A. ADDB =AEECB. ADAB=AEACC. DBEC=ABACD. ADDB=DEBC3.在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=1，AB=2，那么下列结论正确的是（）A. sinA=√32B. tanA=12C. cosB=√32D. cotB=√334.下列命题正确的是（）A. 三点确定一个圆B. 直角三角形外接圆的圆心在斜边上C. 相等的圆心角所对的弧相等D. 长度相等的弧是等弧5.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A. ac>0B. 当x>−1时，y<0C. b=2aD. 当x>1时，函数值y随着x的增大而增大6.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，如果AE：EC=1：4，那么S△ADE：S△EBC=（）A. 1：24B. 1：20C. 1：18D. 1：16二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）7.如果a5=b3，那么a−ba+b的值等于______．8.已知线段MN的长为2厘米，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长的线段MP的长是______厘米．9.如图，直线AD∥BE∥CF，BC=23AB，DE=6，那么EF的值是______．10.抛物线y=2（x-1）2-1的顶点坐标是______．11. 如果将抛物线y =x 2+2x -1向上平移，使它经过原点，那么所得抛物线的表达式是______．12. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴为直线x =2，若此抛物线与x 轴的一个交点为（6，0），则抛物线与x 轴的另一个交点坐标是______．13. 已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i =1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为______米．14. 如图，正方形DEFG 内接于Rt △ABC ，∠C =90°，AC =2，BC =4，则正方形DEFG 的边长为______．15. 如图，已知DE ∥BC ，且DE 经过△ABC 的重心G ，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗ ，那么DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 16. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，tan ∠ACD =34，AB =5，那么CD 的长是______．17. 在△ABC 中，AB =AC =5，cosB =35（如图）．如果圆O 的半径为√10，且经过点B ，C ，那么线段AO 的长等于______．18. 如图，等边△ABC 中，D 是边BC 上的一点，且BD ：DC =1：3，把△ABC 折叠，使点A 落在边BC 上的点D 处，那么AMAN 的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共56.0分） 19. 计算：|1-sin30°|+12cot30°•tan60°+21−2cos45∘．20. 已知二次函数y =-2x 2+bx +c 的图象经过点A （0，4）和B （1，-2）．（1）求此函数的解析式；并运用配方法，将此抛物线解析式化为y =a （x +m ）2+k 的形式；（2）写出该抛物线顶点C 的坐标，并求出△CAO 的面积．21. 已知：如图，⊙O 的半径为5，P 为O 外一点，PB 、PD 与⊙O 分别交于点A 、B 和点C 、D ，且PO 平分∠BPD ． （1）求证：CB =AD ； （2）当PA =1，∠BPO =45°时，求PO 的长．22. 如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是26.6°，向前走30米到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是45°和33.7°，求该电线杆PQ 的高度（结果精确到1米）（备用数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50，cot26.6°=2.00；sin33.7°=0.55，cos33.7°=0.83，tan33.7°=0.67，cot33.7°=1.50）ABCAC =BCBCA =90°E AB24. 如图，抛物线y =14x 2+14x +c 与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连结AB ，点C （6，152）在抛物线上，直线AC 与y 轴交于点D ．（1）求c 的值及直线AC 的函数表达式；（2）点P 在x 轴正半轴上，点Q 在y 轴正半轴上，连结PQ 与直线AC 交于点M ，连结MO 并延长交AB 于点N ，若M 为PQ 的中点． ①求证：△APM ∽△AON ；②设点M 的横坐标为m ，求AN 的长（用含m 的代数式表示）．25. 如图，△ABC 中，BA =BC =10，BF ⊥AC ，垂足为F ，tan ∠ABF =12，点D 为射线BC 上的点（不与点B 重合），联结AD 交射线BF 于点E ，联结CE ． （1）求∠ABC 的余弦值；（2）当点D 在线段BC 上时，设BD =x ，△DEC 面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）若△DEC 为直角三角形，求线段BD 长度（直接写出答案）答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵两个相似三角形对应中线之比是1：4，∴它们的相似比为1：4，∴它们的周长之比是1：4．故选：B．由两个相似三角形对应中线之比是1：4，根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，可求得其相似比，又由相似三角形的周长比等于相似比，求得答案．此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比．2.【答案】D【解析】解：∵=，∴DE∥BC，选项A不符合题意；∵=，∴DE∥BC，选项B不符合题意；∵=，∴DE∥BC，选项C不符合题意；=，DE∥BC不一定成立，选项D符合题意．故选：D．根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边3.【答案】D【解析】解：如图所示：∵∠ACB=90°，BC=1，AB=2，∴AC=，∴sinA=，故选项A错误；tanA==，故选项B错误；cosB=，故选项C错误；cotB=，正确．故选：D．直接利用锐角三角函数关系分别求出即可．此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆相关比例关系是解题关键．4.【答案】B【解析】解：A不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；B、直角三角形外接圆的圆心在斜边上，正确；C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；D、长度相等的弧不一定是等弧，故错误，故选：B．利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理及直角三角形外接圆的知识分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理及直角三角形外接圆的知识，难度不大．5.【答案】D【解析】解：（A）由图象可知a＞0，c＜0，∴ac＜0，故A错误；（B）x＞-1时，y不一定小于0，故B错误；（C）由对称轴可知：，∴b=-2a，故（C）错误；（D）当x＞1时，由图象可知：y随着x的增大而增大，故D正确；故选：D．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．6.【答案】B【解析】解：∵=，∴=，∴S△ABE=S△EBC，∵DE∥BC，∴==，∴=，∴S△BDE=4S△ADE，又∵S△BDE=S△ABE-S△ADE，∴4S△ADE=S△EBC-S△ADE，∴=，故选：B．由已知条件可求得，又由平行线分线段成比例可求得，结合S△BDE=S△ABE-S△ADE可求得答案．本题主要考查平行线分线段成比例的性质及三角形的面积，掌握同高三角形的面积比即为底的比是解题的关键．7.【答案】14【解析】解：由=，得a=．当a=时，===，故答案为：．根据比例的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．本题考查了比例的性质，利用了比例的性质，分式的性质．8.【答案】（√5-1）【解析】解：∵点P是线段MN的黄金分割点，∴较长的线段MP的长=MN=×2=（-1）cm．故答案为（-1）．直接根据黄金分割的定义求解．本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．9.【答案】4【解析】解：∵AD∥BE∥CF，，∴=，即，解得：EF=4故答案为：4．根据平行线分线段成比例定理得到，即可得出结果．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．10.【答案】（1，-1）【解析】解：∵y=2（x-1）2+1，∴抛物线顶点坐标为（1，-1），故答案为：（1，-1）．由抛物线解析式可求得其顶点坐标．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k）．11.【答案】y=x2+2x【解析】解：y=x2+2x-1向上平移，使它经过原点y=x2+2x，故答案为：y=x2+2x．根据图象向上平移加，可得答案．本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．12.【答案】（-2，0）【解析】解：（6，0）关于x=2的对称点是（-2，0）．故答案是（-2，0）．求出点（6，0）关于x=2的对称点即可．本题考查了二次函数的性质，理解二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称是关键．13.【答案】26【解析】解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，∵i==，∴BE=24米，∴在Rt△ABE中，AB==26（米）．故答案为：26．首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．14.【答案】4√57【解析】解：过C作CM⊥AB于M交DG于N，∵∠C=90°，AC=2，BC=4，∴AB=2，∴CM===，∵四边形DEFG是正方形，∴DG∥AB，∴△CDG∽△CAB，∴=，∴=，∴DG=，故答案为：．过C作CM⊥AB于M交DG于N，根据勾股定理得到AB=2，根据三角形的面积公式得到CM===，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．a⃗15.【答案】23【解析】解：如图，连接AG，延长AG交BC于H．∵G是△ABC的重心，∴AG=2GH，∴AG：AH=2：3，∵DE∥BC，∴===，∴DE=BC，∴=，∴DE=，故答案为．如图，连接AG，延长AG交BC于H．利用重心的性质，由DE∥BC，可得===，由此即可解决问题．本题考查三角形的重心，平面向量，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】125【解析】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵tan∠ACD=，∴tan∠B==，设AC=3x，BC=4x，∵AC2+BC2=AB2，∴（3x）2+（4x）2=52，解得：x=1，∴AC=3，BC=4，∵S△ABC=，∴CD==，故答案为：．根据余角的性质得到∠B=∠ACD，由tan∠ACD=，得到tan∠B==，设AC=3x，BC=4x，根据勾股定理得到AC=3，BC=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．．本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积公式，熟记三角形的面积公式是解题的关键．17.【答案】3或5【解析】解：分两种情况考虑：（i）如图1所示，∵AB=AC，OB=OC，∴AO垂直平分BC，∴OA⊥BC，D为BC的中点，在Rt△ABD中，AB=5，cos∠ABC=，∴BD=3，根据勾股定理得：AD==4，在Rt△BDO中，OB=，BD=3，根据勾股定理得：OD==1，则AO=AD+OD=4+1=5；（ii）如图2所示，∵AB=AC，OB=OC，∴AO垂直平分BC，∴OD⊥BC，D为BC的中点，在Rt△ABD中，AB=5，cos∠ABC=，∴BD=3，根据勾股定理得：AD==4，在Rt△BDO中，OB=，BD=3，根据勾股定理得：OD==1，则OA=AD-OD=4-1=3，综上，OA的长为3或5．故答案为：3或5分两种情况考虑：（i）如图1所示，由AB=AC，OB=OC，利用线段垂直平分线逆定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，由AB及cos∠ABC的值，利用锐角三角函数定义求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长，在直角三角形OBD中，由OB与BD的长，利用勾股定理求出OD的长，由AD+DO即可求出AO的长；（ii）同理由AD-OD即可求出AO的长，综上，得到所有满足题意的AO的长．此题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．18.【答案】57【解析】解：∵BD：DC=1：3，∴设BD=a，则CD=3a，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=4a，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，由折叠的性质可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AM=DM，AN=DN，∴BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，∵∠MDN=∠BAC=∠ABC=60°，∴∠NDC+∠MDB=∠BMD+∠MBD=120°，∴∠NDC=∠BMD，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴△BMD∽△CDN，∴（BM+MD+BD）：（DN+NC+CD）=AM：AN，即AM：AN=5：7，故答案为．由BD：DC=1：3，可设BD=a，则CD=3a，根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：BM+MD+BD=5a ，DN+NC+DC=7a ，再通过证明△BMD ∽△CDN 即可证明AM ：AN 的值．本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．19.【答案】解：|1-sin30°|+12cot30°•tan60°+21−2cos45∘． =|1-12|+12×√3×√3+1−2×√22， =12+32+1−2， =-2√2．【解析】利用特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算的顺序求解即可．本题主要考查了二次根式的混合运算及特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算的顺序．20.【答案】解：（1）将A （0，4）和B （1，-2）代入y =-2x 2+bx +c ，得{−2+b +c =−2c=4，解得{c =4b=−4，所以此函数的解析式为y =-2x 2-4x +4；y =-2x 2-4x +4=-2（x 2+2x +1）+2+4=-2（x +1）2+6；（2）∵y =-2（x +1）2+6，∴C （-1，6），∴△CAO 的面积=12×4×1=2． 【解析】（1）将A （0，4）和B （1，-2）代入y=-2x 2+bx+c 求得b ，c 的值，得到此函数的解析式；再利用配方法先提出二次项系数，然后加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；（2）由顶点式可得顶点C 的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CAO的面积．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键．21.【答案】解：（1）如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC．∵OP平分∠BPD，OM⊥PB．ON⊥PD，∵OM=ON，∵∠OMA=∠ONC=90°，OA=OC，OM=ON，∴Rt△ONA≌Rt△ONC（HL），∵AM=CN，∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=DN，∴AB=CD．（2）在Rt△OPM中，∵∠OMP=90°，∠OPB=45°，∴∠MPO=∠OPOM=45°，∴OM=PM，设OM=PM=x，在Rt△OAM中，∵OA2=AM2+OM2，∴52=（x-1）2+x2，∴x=4或-3（舍弃），∴OM=PM=4，OP=4√2．【解析】（1）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC．由Rt△ONA≌Rt△ONC （HL），推出AM=CN，再利用垂径定理即可证明．（2）设OM=PM=x，在Rt△OAM中，根据OA2=AM2+OM2，构建方程即可解决问题．本题考查圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．22.【答案】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米．在直角△ABE中，∠PBE=45°，则BE=PE=x米；∵∠PAE=26.6°在直角△APE中，AE=PE•cot∠PAE≈2x，∵AB=AE-BE=30米，则2x-x=30，解得：x=30．则BE=PE=30米．在直角△BEQ中，QE=BE•tan∠QBE=30×tan33.7°=30×0.67≈20.1米．∴PQ=PE-QE=30-20=10（米）．答：电线杆PQ的高度是10米．【解析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．本题考查解直角三角形的应用，注意掌握当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路．23.【答案】解：（1）∵在△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，∵EF⊥AB，∴∠BEF=90°，∵∠B=∠B，∴△BEF∽△ABC，∴BE BC =BFAB，∴△△BEC∽△BFA；（2）∵BE=EF，BE：EA=1：2，∴EF AE =12，∴tan∠EAF=12，设EF=k，AE=2k，∴AF=√5，∵△BEC∽△BFA，∴∠BAF=∠BCE，∴cos∠ECF=cos∠EAF=AEAF =2√55．【解析】（1）根据已知条件得到△BEF ∽△ABC ，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形判定定理即可得到结论；（2）由已知条件的，根据三角函数的定义得到tan ∠EAF=，根据相似三角形的性质得到∠BAF=∠BCE ，即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24.【答案】解：（1）把C 点坐标代入抛物线解析式可得152=9+32+c ，解得c =-3，∴抛物线解析式为y =14x 2+14x -3，令y =0可得14x 2+14x -3=0，解得x =-4或x =3，∴A （-4，0），设直线AC 的函数表达式为y =kx +b （k ≠0），把A 、C 坐标代入可得{0=−4k +b 152=6k +b ，解得{k =34b =3， ∴直线AC 的函数表达式为y =34x +3；（2）①∵在Rt △AOB 中，tan ∠OAB =OB OA =34，在RtAOD 中，tan ∠OAD =OD OA =34， ∴∠OAB =∠OAD ，∵在Rt △POQ 中，M 为PQ 的中点，∴OM =MP ，∴∠MOP =∠MPO ，且∠MOP =∠AON ，∴∠APM =∠AON ，∴△APM ∽△AON ；②如图，过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，则OE =EP ，∵点M 的横坐标为m ，∴AE =m +4，AP =2m +4，∵tan ∠OAD =34， ∴cos ∠EAM =cos ∠OAD =45， ∴AE AM =45，∴AM =54AE =5(m+4)4， ∵△APM ∽△AON ， ∴AM AN =AP AO ，即5(m+4)4AN =2m+44， ∴AN =5m+202m+4．【解析】（1）把C 点坐标代入抛物线解析式可求得c 的值，令y=0可求得A 点坐标，利用待定系数法可求得直线AC 的函数表达式；（2）①在Rt △AOB 和Rt △AOD 中可求得∠OAB=∠OAD ，在Rt △OPQ 中可求得MP=MO ，可求得∠MPO=∠MOP=∠AON ，则可证得△APM ∽△AON ；②过M 作ME ⊥x 轴于点E ，用m 可表示出AE 和AP ，进一步可表示出AM ，利用△APM ∽△AON 可表示出AN ．本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中注意函数图象上的点的坐标满足函数解析式，以及待定系数法的应用，在（2）①中确定出两对对应角相等是解题的关键，在（2）②中用m 表示出AP 的长是解题的关键，注意利用相似三角形的性质．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．25.【答案】解：（1）作AN ⊥BC 于N ，如图1所示：∵tan ∠ABF =AF BF =12，∴BF =2AF ，设AF =x ，则BF =2x ，∵BF ⊥AC ，BA =BC =10，∴AF =CF ，由勾股定理得：x 2+（2x ）2=102，解得：x =2√5，∴AF =2√5，BF =4√5，AC =4√5，∵△ABC 的面积=12BC ×AN =12AC ×BF ，∴10AN =4√5×4√5， ∴AN =8， 在Rt △ABN 中，由勾股定理得：BN =√AB 2−AN 2=√102−82=6， ∴∠ABC 的余弦值为cos ∠ABC =BN AB =610=35； （2）延长BF 至G ，使GF =BF =4√5，连接AG 、CG ，过点A 作AN ⊥BC 于N ，过点E 作EM ⊥BC 于M ，如图2所示：则EM ∥AN ，∴EM AN =DE DA ，∴EM AN−EM =DE DA−DE ，即EM AN−EM =DE AE ①， ∵AF =CF ，BF =GF ，∴四边形ABCG 是平行四边形， ∵BF ⊥AC ，∴四边形ABCG 是菱形，∴AG =BC =10，AG ∥BC ，∴BD AG =DE AE ②，由①②得：EM AN−EM =BD AG ，即EM 8−EM =x 10，解得：EM =8x 10+x ，∴△DEC 面积为y =12CD ×EM =12（10-x ）×8x 10+x=40x−40x 210+x ， 即△DEC 面积y 关于x 的函数解析式为y =40x−40x 210+x （0＜x ＜10）；（3）分两种情况：①点D 在线段BC 上， 当∠CDE =90°时，由（1）得：BD =6；当∠CED =90°时，延长BF 至G ，使GF =BF =4√5，连接AG 、CG ，如图2所示： 则∠AEC =90°，同（2）得：四边形ABCG 是菱形， ∴AG =BC =10，AG ∥BC ，AE =CE ，GF =BF =4√5， ∴EG =EF +GF =6√5，∴BD AG =BE EG ，△AEF 是等腰直角三角形， ∴EF =AF =2√5，∴BE =BF -EF =2√5，∴BD 10=√56√5=13， 解得：BD =103；②当点P 在线段BC 的延长线上，当∠ECD =90°时，延长BF 至G ，使GF =BF =4√5，连接CG ，如图3所示： 则四边形ABCG 是菱形，∠BCE =90°，∴AG =BC =10，∵菱形是轴对称图形，∴△ABE ≌△CBE ，∴∠BAE =∠BCE =90°，由（1）得：cos ∠ABC =AB BD =35，即10BD =35，∴BD =503；当∠CED =90°时，如图4所示：同①得：AG =10，BE =6√5，GE =2√5，BD AG =BE EG ， 即BD 10=6√52√5， 解得：BD =30；综上所述，当△DEC 是直角三角形时，线段BD 的长为6或103或503或30．【解析】（1）作AN ⊥BC 于N ，由三角函数得出BF=2AF ，设AF=x ，则BF=2x ，关键勾股定理去AF=2，BF=4，AC=4，由三角形面积求出AN=8，由勾股定理求出BN=6，即可得出结果；（2）延长BF 至G ，使GF=BF=4，连接AG 、CG ，过点A 作AN ⊥BC 于N ，过点E 作EM ⊥BC 于M ，则EM ∥AN ，由平行线分线段成比例定理得出=①，证出四边形ABCG 是菱形，得出AG=BC=10，AG ∥BC ，得出=②，由①②得出=，求出EM=，即可得出结果；（3）分两种情况：①点D 在线段BC 上，当∠CDE=90°时，由（1）得出BD=6；当∠CED=90°时，延长BF 至G ，使GF=BF=4，连接CG ，则∠AEC=90°，同（2），由平行线得出=，在△AEF 是等腰直角三角形，得出EF=AF=2，BE=BF-EF=2，即可求出BD 的长；②当点P 在线段BC 的延长线上，当∠ECD=90°时，延长BF 至G ，使GF=BF=4，连接CG，则四边形ABCG是菱形，结合三角函数求出BD的长；当∠CED=90°时，同①得：AG=10，BE=6，GE=2，=，代入比例式计算即可．本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、三角函数、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形面积公式等知识；本题综合性强，注意分类讨论．。

复旦附中高三月考数学卷2018.9.29一. 填空题 1. 不等式113x <的解为 2. 已知集合2{|1,}A y y x x R ==-∈，{|lg(1)}B x y x ==-，则AB =3. 已知奇函数()g x ，当0x <时，2()g x x x =+，则0x >时，()g x =4. 函数34y x x=-，[1,4]x ∈的值域为 5. 若lg lg 2x y +=，则11x y+的最小值为6. 若z 是关于x 的一元二次方程220x x m -+=()m R ∈的一个虚根，且||2z =，则实数m 的值为7. 设集合4{|10,}A x x x C =-=∈，23z i =-，若x A ∈，则||x z -最大值是 8. 若二项式2(3n x -*()n N ∈展开式中含有常数项，则n 的最小取值是 9. 已知方程240x px ++=()p R ∈有两个虚根,αβ，则22αβ+的取值范围是10. 从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取两个数，要使取到的一个数大于k ，另一个数小于k （其中{5,6,7,8,9}k ∈）的概率是25，则k = 11. 已知命题:1p x <-或3x >，命题:31q x m <+或2x m >+，若p 是q 的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是12. 已知关于x 的不等式组2122kx x k ≤++≤有唯一实数解，则实数k 的取值是 13. 不等式2(1)(43)0x x x +-+>有多种解法，其中有一种方法如下：在同一直角坐标系 中作出11y x =+和2243y x x =-+的图像，然后进行求解，请类比求解以下问题：设,a b Z ∈，若对任意0x ≤，都有2(2)(2)0ax x b ++≤，则a b +=14. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意的x R ∈，(1)(1)f x f x +=-恒成立，当[0,1]x ∈时，()2f x x =，若关于x 的方程()f x ax =有5个不同的解，则实数a 的取值范围是二. 选择题15. 若,,a b c R ∈，a b >，则下列不等式成立的是（ ） A.11a b < B. 22a b > C. 2211a b c c >++ D. ||||a c b c >16. 集合2{|,}A y y x x R ==∈，{2,1,1,2}B =--，则下列结论正确的是（ ） A. (0,)AB =+∞ B. ()(,0]RC A B =-∞C. [0,)R A C B =+∞D. (){2,1}R C A B =--17. 对任意复数z x yi =+(,)x y R ∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. ||2z z y -= B. 222z x y =+ C. ||2z z x -≥ D. ||||||z x y ≤+18. 已知函数()f x a 为常数，且*a N ∈），对于定义域内的任意两个实数1x 、2x ，恒有12|()()|1f x f x -<成立，则正整数a 可以取的值有（ ）个A. 4B. 5C. 6D. 7三. 解答题19. 设复数z a bi =+(,)a b R ∈，若1zz +是纯虚数，求|2|z -的取值范围；20. 已知函数2()1xf x x -=+； （1）若关于x 的方程()30x f x m --=在[1,)x ∈+∞上有解，求实数m 的最大值； （2）是否存在00x <，使得00()3xf x =成立？若存在，求出0x ，若不存在，说明理由；21. 某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折 后价格每满500元再减100元，如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为15000.82001000⨯-=（元），购买某商品得到的实际折扣率＝实际付款额商品的标价，设某商品标价为x 元，购买该商品得到的实际折扣率为y ；（1）写出当(0,1000]x ∈时，y 关于x 的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到 的实际折扣率；（2）对于标价在[2500,3500]的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣 率低于23？22. 已知函数2()log ()f x x a =+；（1）当1a =时，若10(12)()2f x f x <--<，求x 的取值范围； （2）若定义在R 上奇函数()g x 满足(2)()g x g x +=-，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 在[3,1]--上的反函数()h x ；（3）对于（2）中的()g x ，若关于x 的不等式232()1log 382xx t g +-≥-+在R 上恒成立，求实数t 的取值范围；23. 设A 是由n 个有序实数构成的一个数组，记作12(,,,,,)i n A a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅，其中i a (1,i =2,,)n ⋅⋅⋅称为数组A 的“元”，i 称为i a 的下标，如果数组S 中的每个“元”都是来自数组 A 中不同下标的“元”，则称S 为A 的子数组，定义两个数组12(,,,)n A a a a =⋅⋅⋅和1(,B b =2,,)n b b ⋅⋅⋅的关系数为1122(,)n n C A B a b a b a b =++⋅⋅⋅+；（1）若11(,)22A =-，(1,1,2,3)B =-，设S 是B 的含有两个“元”的子数组，求(,)C A S的最大值；（2）若A =，(0,,,)B a b c =，且2221a b c++=，S 为B 的含有三个“元” 的子数组，求(,)C A S 的最大值；（3）若数组123(,,)A a a a =中的“元”满足2221231a a a ++=，设数组m B *()m N ∈含有 四个“元”1234,,,m m m m b b b b ，且12342222m m m m b b b b m +++=，求A 与m B 的所有含有三个“元”的子数组的关系数的最大值；参考答案一. 填空题 1. (,0)(3,)-∞+∞ 2. [1,1)- 3. 2x x -+ 4. [3,63]-5.15 6. 47. 8. 7 9. [0,8) 10. 7 11. 2[,)3-+∞12. 1{2- 13. 1- 14. 222(,){}375--二. 选择题15. C 16. D 17. D 18. B三. 解答题 19. [2,3]； 20.（1）52-；（2）不存在； 21.（1）0.8,06251000.8,6251000x y x x <<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，1000x =时，0.7y =； （2）[2500,3000)[3125,3500]；22.（1）133x -<<；（2）21,[0,1]()23,[1,0]xx x h x x -⎧--∈⎪=⎨-∈-⎪⎩；（3）[4,20]-；23.（1）2；（2）1；（3；。

建平中学2019学年第一学期高三数学9月月考一､填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 函数tan 2y x =的最小正周期为_______________. 【答案】π2【解析】 【分析】利用正切函数的周期公式T πω=即可解决问题． 【详解】解：由正切函数的周期公式得：2T π=．故答案为：2π． 【点睛】本题考查正切函数的周期性，易错点在于T πω=而不是2T πω=，属于基础题．2. 设复数41iz =+，i 为虚数单位，则z =________.【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的运算性质直接计算即可. 【详解】41iz =+,∴4|1|z i ===+故答案为：【点睛】本题主要考查了复数模的运算性质，属于容易题. 3. 已知全集U =R ，集合{}11A x x =->，301x B x x -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则()U A B =___．【答案】(]1,2 【解析】【分析】化简集合,A B ，求出UA ，即可求解()U AB ⋂．【详解】11x ->即：11x ->或11x -<- 解得：2x >或0x <∴{}()()11=,02,A x x =->-∞⋃+∞故：[]0,2UA =31x x -<-，即()()()21301x x x --<- 可得：()()13010x x x ⎧--<⎨-≠⎩，解得：13x <<故：()30=1,31x B xx -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭∴()[]()(]0,21,31,2U A B ⋂=⋂=故答案为：(]1,2【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算，掌握集合运算基本知识是解题关键，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4. 正实数x ､y 满足21x y +=，则xy 的最大值为________. 【答案】18【解析】 【分析】直接根据基本不等式求解即可.【详解】2112122228x y xy x y +⎛⎫=⋅≤⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当12x =，14y =时取等号， 即xy 的最大值为18， 故答案为：18. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题.5. 已知函数()1log a x x f =+，1()y f x -=是函数()y f x =的反函数，若1()y f x -=的图象过点(2,4)，则a 的值为 . 【答案】4 【解析】试题分析：根据原函数与反函数的关系进行分析，原函数过点（4,2），代入即可得到a 值； 由题f （x ）过点（4,2）,所以1log 42,4a a +=∴= 考点：反函数6. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若24S =，42S =，则6S =________. 【答案】6- 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式直接计算即可. 【详解】24,S =42S =,1124462a d a d +=⎧∴⎨+=⎩, 1113,42a d ∴==-， 61653345=66222S a d ⨯∴+=-=-，故答案为：6-【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题.7. 若行列式124cos()20116x π+-中的元素4的代数余子式的值等于32，则实数x 的取值集合为____________. 【答案】2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】根据余子式的定义求出元素4的代数余子式的表达式，列出关于x 的方程化简，利用余弦函数的性质求出实数x 的取值集合．【详解】由题意得cos()211()||x f x π+-=3cos()12(1)cos 22x x π=+⨯-⨯-=-+=， 解得1cos 2x =，则2,3x k k Z ππ=±+∈，所以实数x 的取值集合是{|2,}3x x k k Z ππ=±+∈，故答案为：{|2,}3x x k k Z ππ=±∈．【点睛】本题考查了三阶矩阵的代数余子式的定义，余弦函数的性质，属于基础题．8. 不等式组3020x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩，，表示的平面区域的面积等于____________.【答案】16 【解析】 【分析】画出可行域并计算出三条直线的交点坐标，根据三角形面积公式计算出平面区域的面积.【详解】画出可行域如下图所示，经计算得()()()1,1,3,3,3,5A B C --,围成的区域为三角形ABC ，故面积为()()15331162⨯+⨯+=. 故填：16.【点睛】本小题主要考查线性约束条件表示区域面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 9. 将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移()0a a >个单位得到函数()g x 的图象，若存在0x R ∈使得()()004f x g x -=-，则a 的最小值为________. 【答案】2π 【解析】 【分析】根据平移原则得到()2sin 226g x x a π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据三角函数的有界性可得()02f x =-，可得0x 的值，代入()02g x =即可得结果. 【详解】由函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移()0a a >个单位， 得()2sin 226g x x a π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∵存在0x R ∈使得()()004f x g x -=-，∴()02f x =-，()02g x =， 即022,62x k k Z πππ+=-+∈，即0,3x k k Z ππ=-+∈，故222,362k a k k Z πππππ⎛⎫''⨯-++-=+∈ ⎪⎝⎭，解得()(),2a k k k k Z ππ''=-+-∈、，结合0a >，得a 的最小值为2π， 故答案为：2π. 【点睛】本题主要考查了三角函数的平移以及三角函数的有界性，得出()02f x =-，()02g x =是解题的关键，属于中档题. 10. 在()91x +的展开式中任取两项，其系数的乘积是偶数的概率为________.【答案】1315【解析】 【分析】二项式()91x +的展开式共10项，分别计算奇数和偶数的个数，从中任取2项，共有210C 种取法，再研究其系数乘积为偶数的情形即可得结果..【详解】二项式()91x +的展开式共10项，从中任取2项，共有21045C =种取法，展开式系数为奇数的有09C ，19C ，89C ，99C 共四个，故偶数项共有6个； 取出的2项中系数乘积是偶数取法有11246639C C C +=种取法， ∴取出的2项中系数的乘积是偶数的概率为39134515=， 故答案为：1315. 【点睛】本题考查二项式定理及等可能事件的概率，本题中两知识点的结合方式比较新颖，正确求解本题的关键是找出数乘积为偶数，属于中档题.11. 设A ､B 分别是抛物线24y x =和圆()22:41C x y -+=上的点.若存在实数λ使得AB BC λ→→=，则λ的最小值为________.【答案】1【解析】 【分析】由AB BC λ→→=可知||||||||AB BC λλ→→==，转化为求AB 的最小值即可求解. 【详解】设21(,)4A m m ，()22:41C x y -+=圆心坐标(4,0)C ，()22222211||481212416AC m m m ⎛⎫∴=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，||AC ∴≥，B 是圆()2241x y -+=上任意一点，||AB ∴的最小值为1，由AB BC λ=可得||||||||AB BC λλ→→==，∴λ的最小值即为||AB 最小值为1，故答案为：1【点睛】本题主要考查了抛物线的方程，圆的方程，两点间的距离，向量的性质，属于中档题. 12. 已知,a b ∈R ，函数()af x x b x=++在区间()0,1上有两个不同零点，则()21a b a ++的取值范围是________. 【答案】10,16⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】设函数()f x 的两个不同的零点分别为12,x x ，且12x x <，用12,x x 表示()21a b a ++后利用基本不等式可求()21a b a ++的取值范围.【详解】设函数()f x 在()0,1上的两个不同的零点分别为12,x x ， 则12,x x 为20x bx a ++=的两个不同的解， 所以12x x b +=-，12x x a =，故()()()222121212*********a b a x x x x x x x x x x x x ++=+--+=--+()()()()121212121111x x x x x x x x =--=--，由基本不等式可得()111014x x <-≤，()221014x x <-≤， 故()()1212101116x x x x <--≤，因12x x ≠，故等号不可取， 所以()21a b a ++的取值范围为10,16⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：10,16⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数的零点、二次函数的图象和性质和基本不等式，注意用二次方程的根表示目标代数式，本题属于难题.二､选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 直线230x y -+=的一个法向量为（ ） A. ()1,2 B. ()1,2-C. ()2,1D. ()2,1-【答案】B 【解析】 【分析】设直线230x y -+=的一个法向量(),n a b =，则20a b +=，即可得出结果. 【详解】设直线230x y -+=的一个法向量(),n a b =，则20a b +=， 取1a =，则2b =-，∴可取直线230x y -+=的一个法向量为()1,2n =-， 故选：B.【点睛】本题考查了法向量、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.14. 已知αβ、是空间两个不同的平面，则“平面α上存在不共线的三点到平面β的距离相等”是“//αβ”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】B 【解析】【分析】直接根据充分条件和必要条件的概念即可得结果.【详解】已知αβ、是空间两个不同的平面，若平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等， 可得//αβ或相交，反之，若//αβ，则平面α上存在不共线的三点到平面β的距离相等；所以“平面α上存在不共线的三点到平面β的距离相等”是“//αβ”的必要不充分条件． 故选：B.【点睛】本题考查了空间两个平面位置关系，简单逻辑用语中充分必要条件的判断，属于基础题. 15. 关于函数()cos f x x x =+的说法中正确的是（ ） A. ()f x 是周期函数 B. ()f x 在R 上有最小值 C. ()f x 在[]0,π上有零点 D. ()f x 的图象是中心对称图形【答案】D 【解析】 【分析】对函数进行求导判断单调性结合零点存在定理可判断A,B,C ，由()()f x fx ππ+-=可判断D.【详解】∵()1sin f x x '=-，()0f x '≥在R 上恒成立，函数()f x 在R 上单调递增， ∴()f x 不可能是周期函数，且()f x 在R 上无最值，故A ，B 错误； 又∵()010f =>，()10f ππ=->，∴()f x 在[]0,π上无零点，故C 错误；∵()()()cos cos fx x x x x ππππ-=-+-=--，∴()()cos cos f x fx x x x x πππ+-=++--=，∴()f x 的图象关于点22ππ⎛⎫⎪⎝⎭，对称，故D 正确，故选：D.【点睛】本题主要考查了函数的综合性质之周期性、最值、对称性以及零点存在定理，属于中档题. 16. 能使命题“给定m 个非零向量(可以相同)，若其中任意()1n n m ≤<个向量之和的模等于另外m n -个向量之和的模，则这m 个向量之和为零向量”成为真命题的一组m ､n 的值为（ ）①4m =，2n =②5m =，2n =③6m =，3n =④7m =，3n = A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】 记123m a a a a s ++++=，依题意可得()1212i i i n i i i n a a a s a a a ++++++++=-++，将两边平方再累加即可得到222m s n s =，从而得解； 【详解】解：记123m a a a a s ++++=，则()1212i i i n i i i n a a a s a a a ++++++++=-++，其中0,1,2,,1i m =⋅⋅⋅-，规定m i i a a +=， 对上式两边平方得()2122i i i n s s a a a +++=⋅+++，0,1,2,,1i m =⋅⋅⋅-，累加得()1122212022m m i i i n i i s s a a a m s n s --+++===⋅+++⇒=∑∑，所以2m n ≠时，必有0s =， 故选：D.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，属于中档题.三､解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11AA AB AC ===，4ABC π∠=，D ､M ､N 分别是1CC ､11A B ､BC 的中点．（1）求异面直线MN 与AC所成角的大小；（2）求点M 到平面ADN 之间的距离． 【答案】（1）arctan 2；（2）56. 【解析】 【分析】（1）设AB 的中点为E ．连接EN ．证明MNE ∠或其补角即为异面直线MN 与AC 所成的角．连接ME ．在Rt MEN 中．可求异面直线MN 与AC 所成角的大小；（2）建立空间直角坐标系A xyz -，求出平面ADN 的一个法向量．即可求点M 到平面ADN 之间的距离． 【详解】（1）设AB 的中点为E ．连接EN ．则//EN AC 且12EN AC =，∴MNE ∠或其补角即为异面直线MN 与AC 所成的角．连接ME ，在Rt MEN 中，tan 2MEMNE NE∠==． ∴异面直线MN 与AC 所成角的大小为：arctan 2．（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥．故以点A 为坐标原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系A xyz -．则1,0,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，11,,022N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,1,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭．11,,022AN ⎛⎫= ⎪⎝⎭，10,1,2AD ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设平面AND 的一个法向量为(),,n x y z =，则00200x y n AN y z n AD ⎧+=⎧⋅=⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎩．令1x =，则1y =-，2z =∴平面AND的一个法向量为()1,1,2n =-．又1,0,12AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故点M 到平面ADN 之间的距离125626AM n d n+⋅===． 【点睛】本题主要考查了异面直线的夹角以及利用空间向量求解点到面的距离问题，解题关键是掌握向量法求点到面距离的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 18. 已知()223sin cos 2cos 1f x x x x =+-．（1）求()f x 的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角 ,,A B C 所对的边，若7,3a b ==，且32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭c 的值．【答案】(1)6x k ππ=+ ，2；（2）2.【解析】试题分析：（1）跟据二倍角的正弦、余弦公式以及两角和的正弦公式可得()226f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据正弦函数的图象与性质可得结果；（2）由32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得236sin A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合三角形内角的范围可得6A π=或2π，讨论两种情况分别利用余弦定理可求出边的值. 试题解析：f （x ）=2sinxcosx+2cos 2x ﹣1=sin2x+cos2x=2sin （2x+）（1）当2x+=时，即x=（k ∈Z ），f （x ）取得最大值为2； （2）由f （）=，即2sin （A+）=可得sin （A+）=∵0＜A ＜π ∴＜A ＜ ∴A =或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4 当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．19. 某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完.据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t *()t ∈N 天关系满足：10,110()=10200,1020t t f t t t ≤≤⎧⎨-+<≤⎩，，2()20g t t t =-+(120)t ≤≤，产品A 每件的销售利润为40,115()20,1520t h t t ，≤≤⎧=⎨<≤⎩(单位：元)（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式； （2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？【答案】(1)22240(30)110()40(10+200)101520(10+200)1520t t t F t t t t t t t ⎧⋅-+≤≤⎪=⋅-+<≤⎨⎪⋅-+<≤⎩，，，，，(2)第5天至第15天该公司日销售利润不低于5000元. 【解析】 试题分析：（1）由题意分类讨论，分别求得销售量，然后与相应的利润相乘可得利润函数的解析式为()()()()22240301104010+20010152010+2001520t t t F t t t t t t t ，，，，，⎧⋅-+≤≤⎪⎪=⋅-+<≤⎨⎪⋅-+<≤⎪⎩（2）结合(1)中的利润函数分类讨论求解二次不等式可得第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于5000元. 试题解析： （1）由题意可得：当110t ≤≤时，销售量为()22102030t t t t t +-+=-+，销售利润为：()21030t t -+； 当1015t <≤时，销售量为()22102002010200t t t t t -++-+=-++，销售利润为：()21010200t t -++；当1520t <≤时，销售量为()22102002010200t t t t t -++-+=-++，销售利润为：()22030t t -+；综上可得：()()()()22240301104010+20010152010+2001520t t t F t t t t t t t ，，，，，⎧⋅-+≤≤⎪⎪=⋅-+<≤⎨⎪⋅-+<≤⎪⎩（2）当110t ≤≤时，由()240305000t t -+≥，解得510t ≤≤； 当1015t <≤时，由()240102005000t t -++≥，解得1015t <≤； 当1520t <≤时，由()220102005000t t -++≥，无解. 故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于5000元.点睛：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．20.给定椭圆22:142x y C +=.过坐标原点的直线与C 交于P ､Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G . （1）求直线GP 与直线GQ 斜率的乘积； （2）求证：PQG 是直角三角形； （3）求PQG 面积的最大值. 【答案】（1）12-（2）证明见解析（3）169【解析】 【分析】（1）设0(P x ，0)y ，则0(Q x -，0)y -，0(E x ，0)，设直线PQ 的方程，联立与椭圆的方程，得两根之和，两根之积，求出两个斜率之积恒为定值；（2）利用直线QE 的方程与椭圆方程联立求得G 点坐标，去证PQ ，PG 斜率之积为1-即可； （3）利用01()2G S PE x x =⨯+，代入已得数据，并对0000x y y x +换元，利用“对号”函数可得最值．【详解】如图，（1）设0(P x ，0)y ，则0(Q x -，0)y -，0(E x ，0)，(G G x ，)G y ，∴直线QE 的方程为：000()2y y x x x =-， 与22142x y +=联立消去y ，得22222220000000(2)280x y x x y x x y x +-+-=， ∴2220000220082G x y x x x x y --=+，∴2002200(8)2G y x x x y -=+，∴220000022000(4)()22G G y y x y y x x x x y --=-=+， ∴0G PG G y y k x x -=-220000220020002200(4)2(8)2y x y y x y x y x x y ---+=--+232300000002320000004282y y x y y x y x x y x x y ----=---2200022000(432)2(4)y x y x y x --=--， 把220024x y +=代入上式，得2200022000(434)2(442)PGy x x k x y y --+=--+ 20020022y x x y -⨯=x y =-， 200000000(4)(82)2G GQG y y y x y k x x x x x ++===++ 0000122GQ PG x y k k y x ∴⋅=-⨯=-， 即直线GP 与直线GQ 斜率的乘积为12-. （2）由（1）知000000()()PQ y y y k x x x --==--，00PG xk y =-0000()1PQ PG y xk k x y ∴⨯=⨯-=-，PQ PG ∴⊥，故PQG 为直角三角形. （3）1||()2PQG G Q S PE x x =⨯-△ 001()2G y x x =+ 200002200(8)1[]22y x y x x y -=++ 22200000220082122y x y y x x y -++=⨯+ 20002200(4)2y x x x y +=+ 222000002200(2)2y x x y x x y ++=+22000022002()2y x x y x y +=+220000222200008()(2)(2)y x x y x y x y +=++ 330000442200008()225y x x y x y x y +=++ 0000200008()2()1x y y x x y y x +=++令0000x y t y x =+，则2t ， 2881212PQGt St t t==++利用“对号”函数1()2f t t t=+在[2，)+∞的单调性可知，19()4(222f t t +==时取等号）， ∴816992PQGS=（此时00x y =，故PQG 面积的最大值为169． 【点睛】本题主要考查了直线的斜率，直线与椭圆的位置关系，换元法，对运算能力考查尤为突出，难度大，属于难题．21. 设{}n a 是无穷正项等比数列，公比为q .对于正整数集*N 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =，定义12k T t t t S a a a =+++.（1）若11a =，3q =，{}2,4,5T =，求T S ； （2）设102q <≤.若A ､B 是*N 的非空有限子集且A B =∅，求证：A B S S ≠； （3）若对*N 的任意非空有限子集C ､D ，只要≥C D S S ，就有2+≥C C DD S S S ，求公比q 的取值范围.【答案】（1）111；（2）见解析；（3）103q <≤或3q ≥. 【解析】 【分析】（1）根据定义可直接得到111T S =.（2）不妨设A 的最小元素小于B 的最小元素，通过放缩求和后可证A B S S >，从而得到A B S S ≠.（3）先证明1q =不满足题设要求，再就01q <<和1q >分类讨论，讨论时可先取特殊的,C D 得到q 满足的必要条件，再证明在该条件下2+≥C CDD S S S .【详解】（1）根据定义可得34245131313111T S a a a =++=⨯+⨯+⨯=；（2）设{}123123,,,,,s s A t t t t t t t t =<<<<，{}123123,,,,,m m B l l l l l l l l =<<<<，因为A B =∅，故不妨设11t l <，则111t l ≤-，所以1111l t l a a a q-≥=，因为102q <≤，故112t l a a ≥. 又121s t t t A t S a a a a =++≥+，()1111211111111m m m m l l l l B l l l l l l l a a S a a a a a q qa qa -++--≤+=<=++++-+-+，因为102q <≤，故11121l l t A a a a S q ≤≤≤-，所以A B S S >即A B S S ≠. （3）若1q =，取{}1C =，{}2D =，则12C D S a a S =≥=，此时C D ⋂=∅，故1222C C D C D S S S a a S ⋂+==<=，这与题设矛盾，故1q =舍去. 若01q <<，取{}1C =，{}2D =，因为12C D S a a S =≥=， 此时C D ⋂=∅，1C C D C S S S a ⋂+==，而2D S a =， 由2+≥C CDD S S S 可得122a a ≥，故102q <≤. 对任意的2n ≥，再取{}1C =，{}2,3,4,,D n =，则C D ⋂=∅，因为12<，由（2）的证明得C D S S >，故2C C D C D S S S S ⋂+=≥对任意2n ≥总成立， 即()121121n a q a q--≥⨯-任意的2n ≥总成立，故2121a a q≥⨯-， 从而121102q q q ⎧≥⨯⎪-⎪⎨⎪<≤⎪⎩，解得103q <≤.下证：当103q <≤时，只要≥C D S S ，就有2+≥C C DD S S S .设{}123123,,,,,s s C k k k k k k k k =<<<<， {}123123,,,,,m m D n n n n n n n n =<<<<，若D C ⊆，则2C C D C D D D D S S S S S S S ⋂+=+≥+=，故2+≥C C DD S S S 成立.若D C ⊄，则存在0m n D ∈满足0m n C ∉，由≥C D S S 可得存在0s k C ∈满足0n k D ∉，否则C 为D 的真子集，与≥C D S S 矛盾. 令{}|,C x x C x C D '=∈∉⋂，{}|,D x x D x C D '=∈∉⋂， 则,,C D C D ''''≠∅≠∅⋂=∅. 又,C C CDD D CD S S S S S S ''=+=+，且2C CDC CDS S S S '+=+，222D D CDS S S '=+.所以要证明当≥C D S S ，就有2+≥C CDD S S S 也就是证明当C D S S ''≥，就有2C D S S ''≥.设C '中的最小元素为1s k ，D 的最小元素为1m n ，若11s m k n >，由（2）的证明可知D C S S ''>，这与C D S S ''≥矛盾，故11s m k n <， 仍由（2）的证明可得1s C k S a '≥，11111311112222mm m s n D n n k C a S a a a S q ''-≤≤≤≤≤-， 故2C D S S ''≥成立.若1q >，取{}2C =，{}1D =，因为21C D S a a S =≥=，C D ⋂=∅， 故2C C D C S S S a ⋂+==，而1D S a =，由2+≥C C DD S S S 可得212a a ≥，故2q ≥.对任意的2n ≥，再取{}C n =，{}1,2,3,4,,1D n =-，此时C n S a =，()111111211111n n n D n C a q a q S a a a a q S q q -----=+++=<≤=--， 故对任意的2n ≥，总有()1111121n n a q a q q ---≥-即112111n q q -⎛⎫- ⎪⎝⎭≤-， 所以2112q q ⎧≤⎪-⎨⎪≥⎩，解得3q ≥.下证：当3q ≥时，只要≥C D S S ，就有2+≥C C DD S S S .设{}123123,,,,,s s C k k k k k k k k =<<<<， {}123123,,,,,m m D n n n n n n n n =<<<<，若D C ⊆，则2C C D C D D D D S S S S S S S ⋂+=+≥+=，故2+≥C C DD S S S 成立.若D C ⊄，则存在0m n D ∈满足0m n C ∉，由≥C D S S 可得存在0s k C ∈满足0n k D ∉，否则C 为D 的真子集，与≥C D S S 矛盾. 令{}|,C x x C x C D '=∈∉⋂，{}|,D x x D x C D '=∈∉⋂， 则,,C D C D ''''≠∅≠∅⋂=∅. 又,C C CDD D CD S S S S S S ''=+=+，且2C CDC CDS S S S '+=+，222D D CDS S S '=+所以要证明当≥C D S S ，就有2+≥C CDD S S S 也就是证明当C D S S ''≥，就有2C D S S ''≥.设C '中的最大元素为1s k ，D 的最大元素为1m n ，若11s m k n <，则11111111111s s s m m k k k n C n D qa a qa a a S a S q q q q +''-≤<=≤<≤----，矛盾. 故11s m k n >.而1s C k S a '≥，1111111111122m m m s n n n D k C qa a qa a S a S q q q +''-≤<≤≤≤---，故2C D S S ''≥成立. 综上，103q <≤或3q ≥. 【点睛】本题考查新定义背景下与等比数列和有关的问题，注意在等比数列中，等比数列的和与等比数列的项之间有一定的关联关系，另外在本题的解决过程中，我们先从特殊情况得到公比的范围，再证明该范围能使得命题成立，遵循了从特殊到一般的数学思想，本题属于难题.。

2016年建平中学自招数学试卷一. 填空题1. 已知同一直线的两个力平衡，现在把方向向东大小为6N 的力的方向改为向南，那么这两个力的合力方向为： 大小为：2. 如图所示，则这3个力的合力大小为：3. 的算术平方根式是4. 已知方程20x ax b ++=的根为m 、n （m n <），方程22x ax b ++=的根为p 、q （p q <），则m 、n 、p 、q 的大小关系是5. 如图，点O 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，以OA 为半径的⊙O 与BC 相切，已知OC =O 面积是6. 函数y =的定义域是7. 已知四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，AB CD =，34DBC ∠=︒，30BCO ∠=︒，则A ∠=8. 如图，已知等边△ABC 边长为8，点D 为AC 上的一点，2AD =，DE 始终平行于BC ，MN 为△ADE 的中位线，现将点D 向右移动，移动到点C 处停止，则在上述过程中，MN 扫过的面积是二. 解答题9. 已知(0,6)A ，(8,0)B ，点O 为AB 上的一点，以点O 为圆心，AO 为半径作圆，交AB 于点P ，AP a ，过点P 作x 轴的垂线段，垂足为点M .（1）求AB 的长；（2）如果⊙O 与x 轴相切，求a 的值；（3）点D 为x 轴上的一点，如果△AOD 与△DMP 相似，请直接写出点D 的个数及在该个数的情况下a 的取值范围.10. 一名老师带领7名学生去参加数学竞赛，他们决定租车前往，每辆车可以乘坐4个人，于是他们决定分成A 、B 两组前往，当两辆车行驶到离考场15km 处时，A 组乘坐的车出现故障无法行驶，唯一能使用的交通工具只有B 组乘坐的车，已知人行走的速度为5/km h ，车速为60/km h ，从故障发生起42分钟后不得进入考场.（1）师生们决定让车先送B 组考场，A 组在原在等候，等车辆返回后再送A 组去考场，请通过计算说明：A 组能否进入考场？（2）为了节省时间，队伍中的小红同学建议先让车送B 组去考场，A 组向前行走，等车辆返回时沿路遇上A 组后再送他们去考场，绘制出的函数图像如图所示（时间和路程均从出故障后算起）：①求直线OA 的函数解析式；②求a 的值；（3）老师进一步改进了方案：先让车送B 组去考场，A 组向前行走，车辆行驶到离考场还有一段距离时方B 组同学下车，然后返回，沿路遇上A 后送他们去考场，已知在这个方案下A 、B 两组同学同时到达考场，绘制函数图像如图所示，请直接写出点P 坐标.11. 如图，已知抛物线22y x bx c =++经过点(3,0)A 和(1,0)B ，交y 轴与点C ，点P 从点C 出发沿抛物线运动，到点A 时停止运动，过点P 作PD ∥y 轴交AC 于点D .（1）求抛物线解析式；（2）求PD 的最大值；（3）如果△APD 为直角三角形，求点P 坐标.12.（英语题，翻译出来大致如下）高斯用下述方法求出了12399100S =+++⋅⋅⋅++的值： 12399100S =+++⋅⋅⋅++100999821S =+++⋅⋅⋅++2(1100)(299)(398)(1001)101101101S =++++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+10110050502S ⨯== 现有：(+)(2)()n n n S a a d a d t d t =++++⋅⋅⋅+-+，请用同样的方法用含a 、d 的代数式表示n t 和n S .参考答案一. 填空题1. 西南方向，2.3. 4. p m n q <<< 5. 12π6. 3x ≤且2x ≠-7. 94BAD ∠=︒8.4二. 解答题9.（1）10AB =；（2）152a =；（3）6011a =，有一个D 点；05a <<且6011a ≠时， D 不存在.10.（1）151515342min 604h ++=>，所以不能进入考场；（2）112y x =，3552a =；（3）37(,15)60. 11.（1）2286y x x =-+；（2）92；（3）(1,0). 12.（1）(1)n t a n d =+-；（2）(1)2n n n S na d -=+.。

—、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题4分，共16分）13． 148 14. i 15.41 16. 2)2x (y -= (只要抛物线开口向上，对称轴为2x =就可以)三、解答题（共74分） 17. （本题满分12分）解： }3,2{}285|{2==+-=x x x B ； }2,4{}08x 2x |x {C 2-==-+=；∵Φ=⋂Φ≠⋂C A B A ，，∴A 3∈ 即019392=-+-a a ，解得 2a =-或5a = 当2a =-时， {}{}5,3015x 2x |x A 2-==-+= 符合题意当 5a = 时，{}{}2 ,306x 5x |x A 2==+-= 不符合题意 故 2a =- 18．（本题满分12分）解：由于2x y =是增函数，()22f x ≥等价于3|1||1|2x x +--≥ ① （1） 当1x ≥时，|1||1|2x x +--=，∴①式恒成立。

（2） 当11x -<<时，|1||1|2x x x +--=，①式化为322x ≥，即314x ≤< （3） 当1x ≤-时，|1||1|2x x +--=-，①式无解 综上x 的取值范围是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭19.（本题满分12分）解：(1)设M(x,y)是f(x)图象上任一点，则M 关于P(21,21)的对称点为Ｍ′（1－ｘ，1－ｙ），及题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D DDABBDDBCBDxxx1x 1a a a aa a a aaa +=⋅+=+--aa aa a a 1y 1x xx +=+-=-∴Ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的图象上，故函数f(x)的图象关于点P(21,21)对称. 。

6分 (2) 将f(n)、f(1-n)的表达式代入a n 的表达式，化简可得a n ＝ａｎ，猜a = 3, 即3ｎ＞ｎ２错误！未找到引用源。

建平中学2019届高三周四数学练习2018.11.01一、填空题（本大题共有12题，本大题满分54分）只要求直接填写结果，第1-6题每题填对得4分，第7-12题每题填对得5分，否则一律得零分．1.已知复数()()()22326z m m m m i m =-+++-∈R ，当m = 时，z 是纯虚数．2.已知函数()tan 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>，若函数()f x 图象上相邻两个对称中心的距离为π，则ω的值为 ．3.行列式42354112k---中第2行第1列元素的代数余子式的值为6-，则实数k = ． 4.用数学归纳法证明“当*n N ∈时，235112222n -+++++是31的倍数”时，第二步中从n k =到1n k =+时需增添项的个数为 个.5.已知ABC △的三个内角,,A B C 成等差数列，且1,4AB BC ==，则ABC △的面积 为 ．6.设当x θ=时，函数()2cos sin f x x x =-取得最大值，则sin θ= ．7.已知无穷等比数列{}111cos 2n n θ--的各项和等于43，其中22ππθ-<<，则θ= ． 8.求函数()1ln sin 2f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在[]0,π上的单调递增区间 ． 9.设()1f x =，对任意的*n N ∈，()()()11n n f x f f x +=，则()2018f x 的解析式为 ．10.已知两个等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，且321n n S n T n +=-，则56a b = ． 11.已知()2f x x bx c =++，若对于任意的x R ∈，都有()()11f x f x --=-+..设()1n f n b n =-，若对于任意的*n N ∈，且2n ≥时，都有4n b b ≥成立，则实数c 的取值范围 ． 12.设数列{}()1,2,n a n =是等差数列，且公差为d ，若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.请写出使得数列{}n a 为“封闭数列”的充要条件 ．二、选择题：（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分.13.设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则“10a >且1q >”是“对于任意*n N ∈都有1n n a a +>”的 ( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2nnS S 为常数，则称数列{}n a 为“吉祥数列”.已知等差数列{}n b 的首项为1，公差不为0，若数列{}n b 为“吉祥数列”，则数列{}n b 的通项公式为...............（......）A.1n b n =-B. 21n b n =-C.n b n =D.32n b n =-15.设函数()21x f x b a =+-（0a >且1a ≠），则函数()f x 的奇偶性.............（.....） A.与a 无关，且与b 无关 B.与a 有关，且与b 有关 C.与a 有关，且与b 无关 D.与a 无关，且与b 有关16.已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对于任意的实数,x y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+成立.若数列{}n a 满足()10a f =，且()()()*112n n f a n N f a +=∈--，则2009a 的值为 （ ） A.4016 B.4017 C.4018 D.4019三、解答题：（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤. 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在ABC ∆中，a b c 、、分别是角A B C、、的对边，且()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-．（1）求角A 的大小； （2）若sin B 是方程29920100x x -+=的一个根，求cos C 的值．18．（本小题共14分，第1小题7分，第2小题7分）如图，三棱锥P ABC -中，30CAB ∠=，60CAP ∠=，2BC =，4AP =.点P 在平面ABC 上的射影H 恰好落在线段AC 的中点上，点,E F 分别为线段,PA AB 的中点． （1）求直线PB 与平面ABC 所成的角；（2）求E 到平面PBC 的距离.19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=，()m R ∈.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 已知无穷数列{}n a 满足()*1n n nqa p a n N a +=⋅+∈.其中,p q 均为非负实数且不同时为0. （1） 若12p =，2q =，且34120a =，求1a 的值； （2） 若15a =，0p q ⋅=，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3） 若12a =，1q =，求证：当13,24p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，数列{}n a 是单调递减数列.A C21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知集合M 是满足下列性质的函数)(x f 的全体：存在实数a 、k （0≠k ），对于定义域内的任意x ，均有)()(x a kf x a f -=+成立..称数对),(k a 为函数)(x f 的“伴随数对”. （1） 判断函数2)(x x f =是否属于集合M ，并说明理由；（2） 若函数M x x f ∈=sin )(，求满足条件的函数)(x f 的所有“伴随数对”； （3） 若()1,1，()2,1-都是函数()f x 的“伴随数对”，当12x ≤<时，()cos 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭；当2x =时，()0f x =，求当20142016x ≤≤时，函数()f x 的解析式和零点.。