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《概率论与数理统计》期末测试卷(四)(答案解析版)

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《概率论与数理统计》期末测试件（四）（答案解析版）一、（12分）甲、乙、丙三人组成一个团队参加比赛，由考官随机地挑选出一人来回答问题。

已知甲、乙、丙能正确回答问题的概率分别为0.8，0.4和0.3。

试问：（1）该团队能正确回答问题的概率是多少？（2）已知该团队答对了问题，则该问题是由甲正确回答出来的概率是多少？ 解：设A ，B ，C 分别为甲、乙、丙三人回答问题； D 为正确回答问题。

由已知P （A ）=P （B ）=P （C ）=1/3, P(D|A)=0.8, P(D|B)=0.4, P(D|C)=0.3P(D)=P （A ）P （D|A ）+P （B ）P （D|B ）+ P （C ）P （D|C ）= (0.8+0.4+0.3)/3=0.5二、（14分）设随机变量()2~0,X N τ，求 Y X =的密度函数.解： 当 0y < 时，()0Y F y =；当0y ≥ 时，(){}Y F y P Y y =≤{}P X y =≤{}P y X y =-≤≤y y ΦΦττ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21y Φτ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故 Y X = 的密度函数2,0()0,0Y y y f y y ϕττ⎧⎛⎫≥⎪⎪=⎝⎭⎨⎪<⎩2221,00,0ye yyττ-⎧⎪≥=⎨⎪<⎩三、（16分）设二维随机变量（X, Y）的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0,20,1,1),(其他yxyyxf（1）分别求出X与Y的概率密度f X(x)，f Y (y)，并判断X与Y是否相互独立，说明理由；（2）求P (X < 1)；（3）求Z = X+Y的概率密度f Z(z).解：（1）121 d1, 02,2()(,)0,.xXxy xf x f x y dy∞-∞⎧=-<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他21 d2 01()(,)d0.yYx y yf y f x y x∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰，，，其他因为，yxyyfxfyxfYX20,1),()(),(<<<<≠所以X与Y不相互独立.（2）.43d21)1(1=⎪⎭⎫⎝⎛-=<⎰xxXP（3）.d),()(yyyzfzfZ⎰∞∞--=被积函数的非零域⎩⎨⎧<-<<<.21yyzy，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<-=<<==⎰⎰.,0,31,31d1,1,32d1)(133其他zzyzzyzf zzzZ四、（16分）随机变量X , Y 相互独立，它们的密度函数分别为121020000x y X Y e ,y e ,x f (x ),f (y ).,y ,x --⎧⎧>>⎪==⎨⎨≤⎩⎪≤⎩令),max(Y X Z =.求(1) Z 的密度函数)(z f Z 。

(2) Z 的数学期望E (Z )和方差Var (Z ). 解：(1) 由X,Y 的密度函数易知⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=≤=-.0,1;0,0)()(21x e x x X P x F xX 0,0;()()1,0.Y yy F y P Y y e y -≤⎧=≤=⎨->⎩从而⎪⎩⎪⎨⎧>--≤=≤⋅≤=≤≤=≤=≤=--.0),1)(1(;0,0)()(),()),(max()()(21z e e z z Y P z X P z Y z X P z Y X P z Z P z F z z Z故⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤==---.0,2321;0,0)()(2321z e e e z z F dz d z f z z z Z Z (2) 由指数分布的期望与方差易知.2,1220λλλλλλ=⋅=⋅⎰⎰∞-∞-dx e x dx e x x x 因此.3732122321)2321()()(023002102321=-+=⋅-⋅+⋅=-+==⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-∞---∞∞-dze z dz e z dz e z dze e e z dz zf z Z E z zz zz z Z 又.982)32(212222321)2321()()(222023202021202321222=-⋅+⋅=⋅-⋅+⋅=-+==⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-∞---∞∞-dze z dz e z dz e z dze e e z dz zf z Z E z z z zz z Z 最终 .311)37(982)()()(222=-=-=Z E Z E Z Var五、 (12分) 某电站供应1万户用电，假设用电高峰时，每户用电的概率为0.9，若每户用电200W ，电站至少应具有多大的发电量，才能以95%的概率保证供电？ 解：设S 为用电高峰时，同时用电的户数，电站至少应具有xW 发电量，才能以95%的概率保证供电,x 需满足(200)0.95.P S x ≤≥由题意,S~B(10000,0.9), ()9000,()900,E S D S ==由中心极限定理六、（18分）（1）设总体 X 的密度函数为()()1,010,x x f x ββ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他其中未知参数 1β>-，12,,...,n X X X 是取自X 的样本， 试求β的最大似然估计.1800000(200)(/200)(),600018000001800000()0.95. 1.65,1809900.60006000x P S x P S x x x x -≤=≤≈Φ=Φ--Φ≥≥≥由得到9000S N -近似服从（0，1）,（2）设12,,...,n X X X 是取自正态总体()2~,X μσ的样本，对2σ考虑如下三个估计()221111n i i X X n σ==--∑，()22211ni i X Xn σ==-∑，()223111ni i X X n σ==-+∑试说明哪一个是 2σ 的无偏估计？并说明理由.解：（1）似然函数()()111()()11n nnni i ii i i L f x x x βββββ=====+=+∏∏∏对数似然函数()()1ln ()ln 1ln ni i l L n x ββββ===++∑对β 求导并令其为零1(ln ())ln 01ni i d L nx d βββ==+=+∑得β 的最大似然估计11ln nii nxβ=-=-∑（2）由于()()22211~1ni i X Xn χσ=--∑所以 ()22111nii EXXn σ=⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ 故 ()()2211ni i E X Xn σ=⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ 从而()()()22222212211,,1n n EE E n n σσσσσσ--===+故，只有21σ是2σ的无偏故计，2223,σσ是2σ的有偏故计七、（12分）设某地区成年人的每日睡眠时间服从正态分布。

随机抽取25个成年人，随机样本显示平均每日睡眠时间为8 h ，样本标准差为1.8 h 。

试问：在显著性水平0.05下，是否可以认为成年人的每日睡眠时间的方差超过2 h 2 ？解：设 222120>≤σσ:;:H H 选取检验统计量 2221σχS n )(-=构造拒绝域： )(122-≥n αχχ n=25，α=0.05，查表得,.)()(.4153624120502==-χχαn818.,==s x ，计算得：4153688382812422....>=⨯=χ故拒绝0H ，可以认为成年人的每日睡眠时间的方差超过2 h 2 .。

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概率论与数理统计》期末考试试题及解答

概率论与数理统计》期末考试试题及解答

概率论与数理统计》期末考试试题及解答1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.3.解：由题意可得：P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1/e6.解答：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)=5λe^(-λ/2)得e^(-λ/2)=0.4，即λ=ln2，所以P(X=2)=e^(-λ)λ^2/2!=1/6，又因为P(X≤1)=4P(X=2)，所以P(X=0)+P(X=1)=4P(X=2)，即e^(-λ)+λe^(-λ)=4λe^(-λ)，解得λ=ln2，故P(X=3)=e^(-λ)λ^3/3!=1/e6.3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<4；其它为0.解答：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=F_X(y)-F_X(0)。

因为X~U(0,2)，所以F_X(0)=0，F_X(y)=y/2，故F_Y(y)=y/2，所以f_Y(y)=F_Y'(y)=1/2，0<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-λ)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-λ)。

解答：因为P(X>1)=1-P(X≤1)=e^(-λ)，所以λ=ln2.因为X,Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布，所以P{min(X,Y)≤1}=1-P{min(X,Y)>1}=1-P(X>1)P(Y>1)=1-e^(-λ)。

2020-2021大学《概率论与数理统计》期末课程考试试卷A4(含答案)

2020-2021大学《概率论与数理统计》期末课程考试试卷A4(含答案)

2020-2021《概率论与数理统计》期末课程考试试卷A4适应专业：软件 考试时间： 考试类型：闭卷考试所需时间：120分钟 考试成绩：一. 单项选择题（每小题2分，共12分）1. 设离散型随机变量X 的可能取值为3,2,1，相应的概率依次为a a a a +22,7,， 则a =( ) .(A) 1/4 (B) -1/2 (C) 1/2 (D) -1/42. 设随机变量X ～)1,2(N ，)1,1(~N Y ，令Y X Z +=2,则)(Z E =（ ）. (A) 4 (B) 2 (C) 1 (D) 53. 已知6/1)(,3/1)(,2/1)(===AB P B P A P ，则事件A 与B （ ）.(A) 相互独立 (B) 互斥 (C) 相等 (D) 互为对立事件4. 设随机变量),(~2σμN X ，则概率}1{μ+≤X P （ ）.(A) 随μ增加而变大 (B) 随μ增加而减小 (C) 随σ增加而不变 (D) 随σ增加而减小5. 设A 与B 相互独立，2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)|(B A P （ ）. (A) 0.2 (B) 0.4 (C) 0.6 (D) 0.86. 设样本n X X X ,,21来自正态总体),(2σμN ，在进行假设检验时，当（ ）时，一般采用统计量nX Z /0σμ-=(其中σ为标准差)(A) μ未知，检验202σσ= (B) μ已知，检验202σσ= (C) 2σ已知，检验0μμ= (D) 2σ未知，检验0μμ=二. 填空题（每空2分，共18分）1. 设A 、B 、C 是三个事件，用A 、B 、C 的运算表示A 、B 、C 三个事件中至 少有一个发生 .2. 已知3/1)(,2/1)(==B P A P ，如果事件A 与B 互斥，则=)(B A P ，如果事件A 与B 独立，则=)(B A P .3. 设由来自正态总体X~)9.0,(2μN 的容量为9的简单随机样本，得样本均值5=x ， 则未知参数μ的置信水平为0.95的置信区间是 。

(完整word版)《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

(完整word版)《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题(每小题3分，共15分）1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________。

答案：0.3解：3.0)(=+B A B A P即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=所以1.0)(=AB P9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P 。

2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.答案:161-e解答：λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故161)3(-==e X P3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________。

答案：04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=-因为~(0,2)X U，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y Xyf y F y f<<'===⎩其它另解在(0,2)上函数2y x=严格单调，反函数为()h y=所以04,()0,.Y Xyf y f<<==⎩其它4．设随机变量YX,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>eXP，则=λ_________，}1),{min(≤YXP=_________。

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。

参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。

参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。

参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。

参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。

参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。