2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高二(上)期末数学试卷 (解析版)

2020~2021学年上海浦东新区高二上学期期末数学试卷(详解)一、填空题（本大题共12小题）1.【答案】【解析】【踩分点】与的等比中项为 ．与的等比中项 ．2.【答案】【解析】【踩分点】．根据题意，，故答案为：．3.【答案】【解析】【踩分点】若与平行，则实数 ．∵与平行，∴，解得实数．故答案为：．4.三阶行列式中，元素的代数余子式的值为 ．【答案】【解析】【踩分点】三阶行列式中，元素的代数余子式的值为．故答案为：．5.【答案】【解析】【踩分点】直线：的倾斜角是 ．设直线的倾斜角为，由直线化为，∴，∵，∴．故答案为：．6.【答案】【解析】【踩分点】向量在向量方向上的投影为 ．∵，，∴在方向上的投影为：．故答案为：．7.【答案】【解析】已知数列为等差数列且，则其前项和 ．等差数列满足，则其前项和．【踩分点】故答案为：．8.【答案】【解析】【踩分点】直线：与直线：夹角的大小为 ．直线：的斜率为，倾斜角为，直线：的斜率为，倾斜角为，故它们的夹角为，故答案为：．9.【答案】【解析】【踩分点】若方程表示的曲线是圆，则实数的取值范围是 ．根据题意，若方程表示的曲线是圆，则有，即，解得，即的取值范围为，故答案为：．10.【答案】【解析】若是无穷等比数列，且，则的取值范围为 ．是无穷等比数列，且，所以，所以，所以．故答案为：．【踩分点】11.【答案】【解析】【踩分点】已知动点在曲线上，则动点到直线的距离的最大值与最小值的和为 ．圆的圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离为，又动点在曲线上，∴动点到直线的距离的最大值为，最小值为，最大值与最小值的和为．故答案为：．12.【答案】方法一：方法二：【解析】在矩形中，边的长分别为，．若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是 ．设，则，，则，又，，，，即的取值范围是．以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，【踩分点】因为，，所以，，，．设，，因为,所以，所以,所以，所以，即．二、选择题（本大题共4小题）13.A.B.C.D.【答案】【解析】直线的一个方向向量可以是（ ）．A 直线可变形为，故直线的方向向量为，则与平行的向量即可作为直线的方向向量，因为，故直线的一个方向向量可以是．故选：．14.二元一次方程的系数行列式的值是（ ）．A.B. C. D.【答案】【解析】C二元一次方程的系数行列式为．故选．15.A.B.C.D.【答案】【解析】若等比数列的前项和，则的值为（ ）．C ∵，，，∴，又，由通项得：，公比为，∴，∴．故选：．16.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】【解析】已知点，曲线，曲线，则“点在曲线上”是“点在曲线上”的（ ）．B 已知点，曲线的方程为，即曲线为圆心在原点，半径为的圆，曲线的方程为，即曲线为圆心在原点，半径为的上半圆，①若点在曲线上，则点满足曲线的方程，即成立，但不一定有成立，所以点在曲线上，不能推出点在曲线上；②若点在曲线上，则点满足曲线的方程，有， 因为曲线为圆与轴交点的上方部分图形，，所以点在曲线上能推出点在曲线上，即能推出成立，根据充分条件和必要条件的定义可得，“点在曲线上”是“点在曲线上”的必要非充分条件．故选．三、解答题（本大题共5小题）17.【答案】【解析】【踩分点】已知直线与直线平行，并且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的一般式方程．或．根据题意设直线的方程为，令，得，令，得，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，所以，解得，所以直线的方程为或．18.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知，，．求与的夹角的余弦值．若，求实数的值和向量．．；．∵，，∴与的夹角的余弦值为：（2）【踩分点】．∵，，．∴．∵，∴，解得，∴．19.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知定点，和曲线上的动点．求线段的垂直平分线的方程．若点是的重心，求动点的轨迹方程．．．∵，，∴中点，又∵，∴线段的垂直平分线的方程为．设，，∵点是的重心，∴，即，又因点在曲线上，∴即，∴动点的轨迹方程．20.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知数列中，，点，在直线上．求数列的通项公式．设，为数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得恒成立，若存在，写出的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由．．存在，，证明见解析．数列中，，点在直线上，所以（常数），所以数列是以为首项，为公差的等差数列．所以．存在，由（）得，所以，即，故，，，，所有的式子相加得：，所以，所以．故存在关于的整式，使得恒成立．21.已知圆：（，）与轴、轴分别相切于、两点．（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】求圆的方程．若直线：与线段没有公共点，求实数的取值范围．试讨论直线：与圆：（，）的位置关系．．．当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．由圆：(，）与轴、轴分别相切于、两点，且，，可得，则圆的方程为：．由（）可得，，，直线：过定点，如图，yO x∵，∴若直线：与线段没有公共点，则实数的取值范围是．由到直线的距离，解得，由图可知，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．yO x【踩分点】。

2020-2021学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．9与1的等比中项为．2．＝．3．若＝（1，2）与＝（2，m）平行，则实数m＝．4．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为．5．直线l：x﹣y+1＝0的倾斜角是．6．向量＝（4，3）在向量＝（1，0）方向上的投影为．7．已知数列{a n}为等差数列且a5＝2，则其前9项和S9＝．8．直线l1：x+y﹣1＝0与直线l2：x﹣y+2＝0夹角的大小为．9．若方程x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是．10．若{a n}是无穷等比数列，且（a1+a2+…+a n）＝2，则a1的取值范围为．11．已知动点P在曲线（x﹣1）2+（y+1）2＝4上，则动点P到直线x﹣y＝0的距离的最大值与最小值的和为．12．在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是．二、选择题（共4小题）.13．直线l：＝的一个方向向量可以是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（3，2）D．（﹣3，2）14．二元一次方程的系数行列式的值是（）A．2B．5C．7D．1115．若等比数列{a n}的前项和S n＝3n+a，则a的值为（）A．3B．0C．﹣1D．﹣316．已知点P（a，b），曲线C1：x2+y2＝1，曲线C2：y＝，则“点P（a，b）在曲线C1上”是“点P（a，b）在曲线C2上”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件三、解答题17．已知直线l与直线2x+y﹣5＝0平行，并且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的一般式方程．18．已知＝（1，2），＝（2，﹣2），＝﹣λ．（1）求与的夹角θ的余弦值；（2）若⊥，求实数λ的值和向量．19．已知定点A（﹣2，0），B（2，0）和曲线y＝x2+3上的动点C．（1）求线段AB的垂直平分线的方程；（2）若点G是△ABC的重心，求动点G的轨迹方程．20．已知数列{a n}中，a1＝1，点P（a n，a n+1），n∈N*在直线x﹣y+1＝0上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，S n为数列{b n}的前n项和，试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S1+S2+……+S n﹣1＝（S n﹣1）•g（n）（n≥2，n∈N*）恒成立，若存在，写出g（n）的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由．21．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4（a＞0，b＞0）与x轴、y轴分别相切于A、B两点．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：y＝kx﹣2与线段AB没有公共点，求实数k的取值范围；（3）试讨论直线l：y＝kx﹣2与圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4（a＞0，b＞0）的位置关系．参考答案一、填空题（共12小题）.1．9与1的等比中项为±3．解：9与1的等比中项＝±＝±3．2．＝．解：根据题意，＝＝，故答案为：．3．若＝（1，2）与＝（2，m）平行，则实数m＝4．解：∵＝（1，2）与＝（2，m）平行，∴，解得实数m＝4．故答案为：4．4．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为﹣12．解：三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为．故答案为：﹣12．5．直线l：x﹣y+1＝0的倾斜角是60°．解：设直线x﹣y+1＝0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+1＝0化为y＝x+1，∴，∵θ∈[0°，180°）∴θ＝60°．故答案为：60°．6．向量＝（4，3）在向量＝（1，0）方向上的投影为4．解：∵，∴在方向上的投影为：．故答案为：4．7．已知数列{a n}为等差数列且a5＝2，则其前9项和S9＝18．解：等差数列{a n}满足a5＝2，则其前9项和S9＝＝9a5＝18．故答案为：18．8．直线l1：x+y﹣1＝0与直线l2：x﹣y+2＝0夹角的大小为．解：直线l1：x+y﹣1＝0的斜率为﹣1，倾斜角为，直线l2：x﹣y+2＝0的斜率为1，倾斜角为，故它们的夹角为，故答案为：．9．若方程x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是（﹣25，+∞）．解：根据题意，若方程x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0表示的曲线是圆，则有（﹣6）2+（﹣8）2﹣4×（﹣k）＞0，即100+4k＞0，解可得k＞﹣25，即k的取值范围为（﹣25，+∞），故答案为：（﹣25，+∞）．10．若{a n}是无穷等比数列，且（a1+a2+…+a n）＝2，则a1的取值范围为（0，2）∪（2，4）．解：{a n}是无穷等比数列，且（a1+a2+…+a n）＝2，所以|q|∈（0，1），所以（a1+a2+…+a n）＝＝＝2，所以a1＝2（1﹣q）∈（0，2）∪（2，4）．故答案为：（0，2）∪（2，4）．11．已知动点P在曲线（x﹣1）2+（y+1）2＝4上，则动点P到直线x﹣y＝0的距离的最大值与最小值的和为2+．解：圆（x﹣1）2+（y+1）2＝4的圆心坐标为（1，﹣1），半径r＝2，圆心（1，﹣1）到直线x﹣y＝0的距离为d＝，又动点P在曲线（x﹣1）2+（y+1）2＝4上，∴动点P到直线x﹣y＝0的距离的最大值为2+，最小值为0，最大值与最小值的和为2+．故答案为：2+．12．在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是[1，4]．解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立坐标系如图，∵AB＝2，AD＝1，∴A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），设M（2，b），N（x，1），∵，∴b＝∴，＝（2，），∴＝，∴1，即1≤≤4故答案为：[1，4]二、选择题13．直线l：＝的一个方向向量可以是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（3，2）D．（﹣3，2）解：直线l：＝可变形为，故直线的方向向量为，则与平行的向量即可作为直线的方向向量，因为，故直线l：＝的一个方向向量可以是（2，3）．故选：A．14．二元一次方程的系数行列式的值是（）A．2B．5C．7D．11解：二元一次方程的系数行列式为．故选：C．15．若等比数列{a n}的前项和S n＝3n+a，则a的值为（）A．3B．0C．﹣1D．﹣3解：∵S n＝3n+a，S n﹣1＝3n﹣1+a，（n≥2，n∈N+），∴a n＝S n﹣S n﹣1＝2•3n﹣1，又a1＝S1＝3+a，由通项得：a2＝6，公比为3，∴a1＝2，∴a＝﹣1．故选：C．16．已知点P（a，b），曲线C1：x2+y2＝1，曲线C2：y＝，则“点P（a，b）在曲线C1上”是“点P（a，b）在曲线C2上”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解：已知点P（a，b），曲线C1的方程x2+y2＝1，即曲线C1为圆心在原点，半径为1的圆，曲线C2的方程y＝，即曲线C2为圆心在原点，半径为1的上半圆，①若点P（a，b）在曲线C1上，则点P（a，b）满足曲线C1的方程x2+y2＝1，即a2+b2＝1成立，则不一定有b＝，b≥0成立，所以点P（a，b）在曲线C1上，不能推出点P（a，b）在曲线C2上，②若点P（a，b）在曲线C2上，则点P（a，b）满足曲线C2的方程y＝，有b＝，因为曲线C2为圆的曲线x轴交点即上方部分图形，b≥0，所以点P（a，b）在曲线C2上能推出点P（a，b）在曲线C1上，即能推出a2+b2＝1成立，根据充分条件和必要条件的定义可得，“点P（a，b）在曲线C1上”是“点P（a，b）在曲线C2上”的必要非充分条件，故选：B．三、解答题17．已知直线l与直线2x+y﹣5＝0平行，并且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的一般式方程．解：根据题意设直线l的方程为2x+y+m＝0，令x＝0，得y＝m，令y＝0，得x＝﹣，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为|m||﹣|＝4，所以m2＝16，解得m＝±4，所以直线l的方程为2x+y+4＝0或2x+y﹣4＝0．18．已知＝（1，2），＝（2，﹣2），＝﹣λ．（1）求与的夹角θ的余弦值；（2）若⊥，求实数λ的值和向量．解：（1）∵＝（1，2），＝（2，﹣2）．∴与的夹角θ的余弦值为：cosθ＝＝＝﹣．（2）∵＝（1，2），＝（2，﹣2），＝﹣λ．∴＝（2，﹣2）﹣（λ，2λ）＝（2﹣λ，﹣2﹣2λ），∵⊥，∴＝1×（2﹣λ）+2×（﹣2﹣2λ）＝0，解得，∴＝（，﹣）．19．已知定点A（﹣2，0），B（2，0）和曲线y＝x2+3上的动点C．（1）求线段AB的垂直平分线的方程；（2）若点G是△ABC的重心，求动点G的轨迹方程．解：（1）∵A（﹣2，0），B（2，0）∴AB中点M（0，0）又∵k AB＝0，∴线段AB的垂直平分线的方程为x＝0；（2）设G（x，y），C（x0，y0），∵点G是△ABC的重心，∴，即，又因点C在曲线y＝x2+3上，∴即3y＝（3x）2+3，∴动点G的轨迹方程y＝3x2+1．20．已知数列{a n}中，a1＝1，点P（a n，a n+1），n∈N*在直线x﹣y+1＝0上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，S n为数列{b n}的前n项和，试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S1+S2+……+S n﹣1＝（S n﹣1）•g（n）（n≥2，n∈N*）恒成立，若存在，写出g（n）的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由．解：（1）数列{a n}中，a1＝1，点P（a n，a n+1）在直线x﹣y+1＝0上，所以a n+1﹣a n＝1（常数），所以数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n＝n．（2）存在g（n）＝n，理由如下：由（1）得b n＝＝，所以，即nS n﹣nS n﹣1＝1，故nS n﹣（n﹣1）S n﹣1＝S n﹣1+1，（n﹣1）S n﹣1﹣（n﹣2）S n﹣2＝S n﹣2+1，…，2S2﹣S1＝S1+1，所有的式子相加得：nS n﹣S1＝S1+S2+…+S n﹣1+n﹣1，所以S1+S2+S3+…+S n﹣1＝nS n﹣n＝n（S n﹣1），所以g（n）＝n．故存在关于n的整式g（n）＝n，使得S1+S2+……+S n﹣1＝（S n﹣1）•g（n）（n≥2，n∈N*）恒成立．21．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4（a＞0，b＞0）与x轴、y轴分别相切于A、B两点．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：y＝kx﹣2与线段AB没有公共点，求实数k的取值范围；（3）试讨论直线l：y＝kx﹣2与圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4（a＞0，b＞0）的位置关系．解：（1）由圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4（a＞0，b＞0）与x轴、y轴分别相切于A、B两点，且a＞0，b＞0，可得a＝b＝2，则圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4；（2）由（1）可得，A（2，0），B（0，2），直线l：y＝kx﹣2过定点P（0，﹣2），如图，∵k PA＝1，∴若直线l：y＝kx﹣2与线段AB没有公共点，则实数k的取值范围是（﹣∞，1）；（3）由C（2，2）到直线kx﹣y﹣2＝0的距离d＝，解得k＝．由图可知，当k∈（﹣∞，）时，直线l与圆C相离；当k＝时，相切；当k∈（，+∞）时，相交．。

2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．双曲线的渐近线方程是．2．给定关于实数x、y的线性方程组，则该方程组的增广矩阵是．3．无穷等比数列{a n}满足，则数列{a n}的各项和为．4．在行列式中，第二行第一列的元素3的代数余子式的值为．5．若椭圆的一个焦点在抛物线y2＝8x的准线上，则m＝．6．直线2x﹣y﹣1＝0与直线x﹣3y+6＝0的夹角大小为．7．已知△ABC的顶点A（﹣3，0）、B（6，0），若顶点C在抛物线y＝x2+1上移动，则△ABC的重心的轨迹方程为．8．已知方程x2+px+4＝0（p∈R）有两个虚根α，β，则α2+β2的取值范围是．9．设数列{a n}的前n项和为S n＝2n2+1（n∈N*），则＝．10．设实数x、y满足约束条件，则目标函数的最大值为．11．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足＝λ+μ（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．12．设P是双曲线Γ：x2﹣＝1上任意一点，Q与P关于x轴对称，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若有≥1，则与夹角的取值范围是．二、选择题（共4小题）.13．“k＜1”是“方程+＝1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线y＝x对称的直线l'的倾斜角不可能为（）A．θB．C．π﹣θD．15．直线（t是参数）与圆（θ是参数）的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．与实数k的值有关16．已知复数z1、z2满足|z1﹣z2|＝r（r＞0），复数ωi（1≤i≤n，n∈N*）满足|ωi﹣z1|＝r或者|ωi﹣z2|＝r，且|ωi﹣ωj|≥r对任意1≤i＜j≤n成立，则正整数n的最大值为（）A．6B．8C．10D．12三、解答题17．已知z＝（i是虚数单位），求：（1）﹣（+1）的值；（2）满足不等式|az﹣i|≥1的实数a的取值范围．18．已知，，O为坐标原点．（1）若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围；（2）设，，求△OAB的面积．19．疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域，如图，l1、l2分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北45°方向，以点O为坐标原点，l1、l2为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点M（100，400））和平安检查点（即点N（400，700））是李叔叔负责区域中最远的两个检查点．（1）求出k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线l：x﹣y+1000＝0）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由．20．已知抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F．（1）求Γ上纵坐标为4的点P到焦点F的距离；（2）若斜率为2的直线l与Γ交于A、B两点，且达到最小值，求直线l的方程；（3）设AB是Γ的一条弦且|AB|＝t（t＞0），求线段AB中点横坐标的最小值．21．已知椭圆Γ：，斜率为k的直线l与椭圆Γ有两个不同的公共点A、B，Γ的左、右焦点分别为F1、F2．（1）若直线l经过点F1，求△ABF2的周长；（2）若k＝1，求△AOB面积的取值范围；（3）若k＝1，P（﹣4，0），直线PA与椭圆Γ的另一个交点为C，直线PB与椭圆Γ的另一个交点为D，求证：直线CD过定点，并求出定点的坐标．参考答案一、填空题（共12小题）.1．双曲线的渐近线方程是．解：令，解得y＝±x，所以双曲线的渐近线方程为．故答案为：．2．给定关于实数x、y的线性方程组，则该方程组的增广矩阵是．解：由增广矩阵的定义知：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列方程组等号右边的值，所以关于实数x、y的线性方程组的增广矩阵是．故答案为：．3．无穷等比数列{a n}满足，则数列{a n}的各项和为．解：无穷等比数列{a n}满足，则数列{a n}的各项和S＝＝，故答案为：．4．在行列式中，第二行第一列的元素3的代数余子式的值为52．解：在行列式中，第二行第一列的元素3的代数余子式的值为：＝﹣1×（1×2﹣6×9）＝52．故答案为：52．5．若椭圆的一个焦点在抛物线y2＝8x的准线上，则m＝7．解：抛物线y2＝8x的准线方程为：x＝﹣2，椭圆的一个焦点在抛物线y2＝8x的准线上，所以椭圆的焦点坐标（﹣2，0），所以c＝2，则，解得m＝7．故答案为：7．6．直线2x﹣y﹣1＝0与直线x﹣3y+6＝0的夹角大小为．解：直线2x﹣y﹣1＝0的斜率为k＝2，直线x﹣3y+6＝0的斜率为k'＝，设两条直线的夹角为θ，根据夹角公式可得，又，所以θ＝，故直线2x﹣y﹣1＝0与直线x﹣3y+6＝0的夹角大小为．故答案为：．7．已知△ABC的顶点A（﹣3，0）、B（6，0），若顶点C在抛物线y＝x2+1上移动，则△ABC的重心的轨迹方程为．解：设顶点C的坐标为（x0，y0），因为点C在抛物线y＝x2+1上，所以y0＝x02+1，①设△ABC的重心为（x，y），则有，解得x0＝3x﹣3，y0＝3y，代入①，所以3y＝（3x﹣3）2+1，化简可得，故△ABC的重心的轨迹方程为．故答案为：．8．已知方程x2+px+4＝0（p∈R）有两个虚根α，β，则α2+β2的取值范围是[0，8）．【分析】由题意可得：△＜0，解得p取值范围．利用根与系数的关系可得α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ范围．解：由题意可得：△＝p2﹣16＜0，解得﹣4＜p＜4．α+β＝﹣p，αβ＝4．∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝p2﹣8∈[0，8）．故答案为：[0，8）．9．设数列{a n}的前n项和为S n＝2n2+1（n∈N*），则＝．【分析】运用数列的递推式：n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，求得数列{a n}的通项公式，再由数列的极限运算性质可得所求值．解：数列{a n}的前n项和为S n＝2n2+1（n∈N*），可得n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n2+1﹣2（n﹣1）2﹣1＝4n﹣2，则＝＝＝＝，故答案为：．10．设实数x、y满足约束条件，则目标函数的最大值为．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点到直线x+2y+4＝0的距离求解．解：由约束条件作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点到直线x+2y+4＝0的距离，联立，解得A（1，3），由图可知，A到直线x+2y+4＝0的距离最大，为．故答案为：．11．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足＝λ+μ（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为3．【分析】如图所示，点P组成的图形是以BD、BF为邻边的平行四边形，利用两个向量的数量积的定义，求出cos∠FBD＝cos∠CAB的值，可得sin∠CAB的值，再根据所求面积为BD•BF•sin∠CAB，计算求得结果．解：如图：延长AB到D，使BD＝AB，作BF平行且等于AC，则点P组成的图形是以BD、BF为邻边的平行四边形，又BD＝AB＝，BF＝AC＝，cos∠FBD＝cos∠CAB＝，所以，故所以所求面积为：，故答案为：3．12．设P是双曲线Γ：x2﹣＝1上任意一点，Q与P关于x轴对称，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若有≥1，则与夹角的取值范围是（，π﹣arccos]．【分析】设P（m，n），由≥1，可得m2≥2，结合平面向量的数量积运算与分离常数法可推出cos＜，＞＝﹣﹣，从而得解．解：由题意知，F1（﹣2，0），F2（2，0），设P（m，n），则Q（m，﹣n），且m2﹣＝1，∴＝（﹣2﹣m，﹣n）•（2﹣m，﹣n）＝m2﹣4+n2＝m2﹣4+3（m2﹣1）＝4m2﹣7≥1，∴m2≥2，∴cos＜，＞＝＝＝＝＝＝＝﹣﹣∈[，），∴＜，＞∈（，π﹣arccos]．故答案为：（，π﹣arccos]．二、选择题13．“k＜1”是“方程+＝1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由方程+＝1表示双曲线求得k的范围，然后结合充分必要条件的判定得答案．解：若方程+＝1表示双曲线，则（3﹣k）（k﹣1）＜0，即k＜1或k＞3．∴k＜1⇒方程+＝1表示双曲线，反之不一定成立．∴“k＜1”是“方程+＝1表示双曲线”的充分不必要条件．故选：A．14．直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线y＝x对称的直线l'的倾斜角不可能为（）A．θB．C．π﹣θD．【分析】利用直线与直线对称，得到倾斜角之间的关系，然后对选项进行逐一分析判断即可．解：设直线l'的倾斜角为α，则α，θ∈[0，π），直线l和直线l'关于直线y＝x对称，则也关于y＝﹣x对称，故α+θ＝或，当，故选项A正确；当，故选项B正确；当，故选项D正确．故选：C．15．直线（t是参数）与圆（θ是参数）的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．与实数k的值有关【分析】直线（t是参数）经过定点P（4，3）．圆（θ是参数），化为普通方程．把点P代入圆的方程即可判断出位置关系．解：直线（t是参数）经过定点P（4，3）．圆（θ是参数），化为：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4．把点P代入圆的方程左边＝（4﹣3）2+（3﹣2）2＝2＜4＝右边，因此直线与圆相交．故选：A．16．已知复数z1、z2满足|z1﹣z2|＝r（r＞0），复数ωi（1≤i≤n，n∈N*）满足|ωi﹣z1|＝r或者|ωi﹣z2|＝r，且|ωi﹣ωj|≥r对任意1≤i＜j≤n成立，则正整数n的最大值为（）A．6B．8C．10D．12【分析】用向量表示，由复数的几何意义得到ωi终点的轨迹，数形结合即可得到答案．解：用向量表示，因为|z1﹣z2|＝r（r＞0），所以，又复数ωi（1≤i≤n，n∈N*）满足|ωi﹣z1|＝r或者|ωi﹣z2|＝r，则ωi可表示以O为起点，终点在以A为圆心，半径为r的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r的圆上的向量，则终点可能的个数即为n，因为|ωi﹣ωj|≥r对任意1≤i＜j≤n成立，所以同一个圆上的两个点形成的最小圆心角为60°，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n＝10．故选：C．三、解答题17．已知z＝（i是虚数单位），求：（1）﹣（+1）的值；（2）满足不等式|az﹣i|≥1的实数a的取值范围．【分析】（1）求出复数z，再代入计算即可；（2）利用复数的模长公式化不等式为关于a的不等式，求解集即可．解：（1）因为z＝＝1﹣2i，所以﹣（+1）＝﹣（1+2i+1）＝﹣（2+2i）＝（1+i）﹣2﹣2i＝﹣1﹣i；（2）不等式|az﹣i|≥1为|a（1﹣2i）﹣i|≥1，即|a﹣（2a+1）i|≥1，所以≥1，整理得5a2+4a≥0，解得a≤﹣或a≥0，所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）．18．已知，，O为坐标原点．（1）若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围；（2）设，，求△OAB的面积．【分析】（1）根据平面向量的坐标运算和数量积运算，列不等式求出m的取值范围，注意去掉夹角为平角的情况．（2）利用平面向量的数量积公式和三角形面积公式，计算即可．解：（1）由，，所以，；令，即﹣3m﹣2+8m﹣4＜0，解得，当时，，与方向相反，夹角为平角，不合题意；所以，所以若与的夹角为钝角，则m的取值范围是．（2）设∠AOB＝θ，△OAB面积为S，则；因为，所以；所以．19．疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域，如图，l1、l2分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北45°方向，以点O为坐标原点，l1、l2为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点M（100，400））和平安检查点（即点N（400，700））是李叔叔负责区域中最远的两个检查点．（1）求出k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线l：x﹣y+1000＝0）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由．【分析】（1）先求出李叔叔家所在位置，然后利用两点间的距离公式可求出k，最后利用圆心和半径可求出边角的曲线方程；（2）先求出圆心O关于l：x﹣y+1000＝0的对称点P，然后求出直线PC与直线l的交点，从而可求出所求．解：（1）王阿姨负值区域边界的曲线方程为x2+y2＝2002，李叔叔家在王阿姨家的东偏北45°方向，设李叔叔家所在的位置为（c，c），因为离M（100，400）和N（400，700）距离相等，所以，解得c＝400，所以k＝＝300，故李叔叔负值区域边界的曲线方程为（x﹣400）2+（y﹣400）2＝3002；（2）圆心O关于l：x﹣y+1000＝0的对称点P（a，b），则有，，解得a＝﹣1000，b＝1000，所以，直线PC的方程为：，联立，解得x＝﹣300，y＝700，所以王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，可选择在地点（﹣300，700）碰面，距离之和最近．20．已知抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F．（1）求Γ上纵坐标为4的点P到焦点F的距离；（2）若斜率为2的直线l与Γ交于A、B两点，且达到最小值，求直线l的方程；（3）设AB是Γ的一条弦且|AB|＝t（t＞0），求线段AB中点横坐标的最小值．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，可得P的坐标，由抛物线的定义可得所求距离；（2）设直线l的方程为y＝2x+b，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，结合二次函数的最值求得可得b，进而得到所求直线方程；（3）设直线AB的方程为x＝my+s，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，结合基本不等式和对勾函数的单调性可得所求最小值．解：（1）抛物线Γ：y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，可得P（4，4），点P到焦点F的距离为4＝1＝5；（2）设直线l的方程为y＝2x+b，与抛物线方程y2＝4x联立，可得4x2+（4b﹣4）x+b2＝0，由△＝（4b﹣4）2﹣16b2＞0，可得b＜，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝1﹣b，x1x2＝b2，y1y2＝（2x1+b）（2x2+b）＝4x1x2+2b（x1+x2）+b2＝b2+2b﹣2b2+b2＝2b，则＝x1x2+y1y2＝b2+2b＝（b+4）2﹣4，当b＝﹣4＜时，达到最小值，所以直线l的方程为y＝2x﹣4；（3）设直线AB的方程为x＝my+s，与抛物线方程y2＝4x联立，可得y2﹣4my﹣4s＝0，设A，B的纵坐标分别为y1，y2，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4s，且△＝16m2+16s＞0，即s＞﹣m2，由|AB|＝•|y1﹣y2|＝•＝4•＝t，可得s＝﹣m2，则x1+x2＝m（y1+y2）+2s＝4m2+2s，可得线段AB中点横坐标x＝s+2m2＝+m2＝+（m2+1）﹣1，当t≥4时，x≥﹣1，当且仅当t＝4（m2+1），取得等号；当0＜t＜4时，令m2+1＝s（s≥1），由x＝s+﹣1在s≥1递增，可得x的最小值为．综上可得，0＜t＜4时，所求最小值为；t≥4时，所求最小值为﹣1．21．已知椭圆Γ：，斜率为k的直线l与椭圆Γ有两个不同的公共点A、B，Γ的左、右焦点分别为F1、F2．（1）若直线l经过点F1，求△ABF2的周长；（2）若k＝1，求△AOB面积的取值范围；（3）若k＝1，P（﹣4，0），直线PA与椭圆Γ的另一个交点为C，直线PB与椭圆Γ的另一个交点为D，求证：直线CD过定点，并求出定点的坐标．【分析】（1）根据椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|＝2a，|BF1|+|BF2|＝2a，即可得△ABF2的周长：|AB|+|AF2|+|BF2|＝4a，即可得出答案．（2）设直线l的方程为y＝x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与椭圆的方程，得关于x的一元二次方程，由韦达定理得x1+x2，x1x2，由弦长公式可得|AB|，由点到直线的距离公式可得点O到直线AB的距离d，再计算S△AOB＝•|AB|•d，由基本不等式可得答案．（3）设C（x3，y3），D（x4，y4），直线PA的方程为y＝（x+4），联立椭圆的方程可得关于x的一元二次方程，即可得C点坐标，同理可得而D点坐标，再写直线CD 的方程，化简即可得答案．解：（1）若直线l经过点F1，根据椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|＝2a＝2×2＝4，|BF1|+|BF2|＝2a＝2×2＝4，所以△ABF2的周长：|AB|+|AF2|+|BF2|＝AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝8，所以△ABF2的周长为8．（2）设直线l的方程为y＝x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得5x2+8mx+4m2﹣4＝0，所以x1+x2＝﹣，x1x2＝，△＝（8m）2﹣4×5×（4m2﹣4）＝﹣16m2+80＞0，即﹣＜m＜，所以|AB|＝＝＝，点O到直线AB的距离d＝＝，所以S△AOB＝•|AB|•d＝••＝••≤•＝1，当且仅当5﹣m2＝m2，即m＝±时，取等号，所以△AOB面积的取值范围（0，1]．（3）设C（x3，y3），D（x4，y4），直线PA的方程为y＝（x+4），联立，得+（x+4）2＝1，又点A在椭圆上，所以4y12＝4﹣x12，所以（2x1+5）x2+2（4﹣x12）x﹣x1（5x1+8）＝0，所x1x3＝，即x3＝﹣，所以y3＝（x3+4）＝，即点C坐标为（﹣，），同理可得D坐标（﹣，），所以k CD＝＝＝，所以直线CD的方程为y＝（x+）+，＝（x+）+，＝x+＝x+＝x+＝x+×+＝（x+）+，所以直线CD过定点（﹣，）．。

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

2020-2021上海建平中学西校高二数学上期末第一次模拟试卷(及答案)一、选择题1．执行如图的程序框图，若输入1t =-，则输出t 的值等于( )A ．3B ．5C ．7D ．152．已知回归方程$21y x =+，而试验得到一组数据是(2,5.1)，(3,6.9)，(4,9.1)，则残差平方和是（ ） A ．0.01B ．0.02C ．0.03D ．0.043．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A ．14 B ．13 C ．12D ．234．日本数学家角谷静夫发现的“31x + 猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的6N =，则输出i 值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．95．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A ，B 两个贫困县各有15名村代表，最终A 县有5人表现突出，B 县有3人表现突出，现分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是（ ） A ．13B ．47C ．23D ．566．在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ） A ．4π B ．3πC ．2πD ．1π7．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ） A ．23B ．34C ．25D ．138．执行如图所示的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =A ．2B ．3C ．4D ．59．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是 （ ） A ．310B ．25C ．12D ．3510．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A ．13B ．512C ．12D ．71211．在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为（ ）A ．13 B ．2πC ．12D ．2312．甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是12,x x ，则下列叙述正确的是（ ）A ．12x x >，乙比甲成绩稳定B ．12x x >，甲比乙成绩稳定C ．12x x <，乙比甲成绩稳定D ．12x x <，甲比乙成绩稳定二、填空题13．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，则这组数据的标准差是______．14．小明通过做游戏的方式来确定接下来两小时的活动，他随机地往边长为1的正方形内扔一颗豆子，若豆子到各边的距离都大于14，则去看电影；若豆子到正方形中心的距离大于12，则去打篮球；否则，就在家写作业则小明接下来两小时不在家写作业的概率为______.(豆子大小可忽略不计)15．已知四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形， 2.PA AB ==现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P ABCD-的内部的概率为______． 16．阅读如图所示的程序框图，若，，，则输出的结果是________.17．一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球.若从中1次随机摸出2只球，则2只球颜色相同的概率为____. 18．根据如图所示算法流程图，则输出S 的值是__．19．已知集合{1,U =2，3，⋯，}n ，集合A 、B 是集合U 的子集，若A B ⊆，则称“集合A 紧跟集合B ”，那么任取集合U 的两个子集A 、B ，“集合A 紧跟集合B ”的概率为______．20．为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为__________．三、解答题21．某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．（1）求出x ，y 的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率． 22．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y ，（单位：千元）的数据资料，算出101010102111180,20184,720ii i i i i i i i xy x y x ========∑∑∑∑，，附：线性回归方程1221ˆˆˆˆˆˆ,,ni ii nii x y nxyybx a b ay bx xnx ==-=+==--∑∑，其中,x y 为样本平均值. （1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+ ； （2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.23．市政府为了节约用水，调查了100位居民某年的月均用水量（单位：t ），频数分布如下： 分组 [0,0.5) [0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5) [2.5,3) [3,3.5)[3.5,4) [4,4.5]频数4815222514642（1）根据所给数据将频率分布直方图补充完整（不必说明理由）； （2）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的中位数；（3）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的平均数（同一组数据由该组区间的中点值作为代表）.24．某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有12人．（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；（Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有3人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率． 25．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. （1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m <+的概率26．某学校为了解高二学生学习效果，从高二第一学期期中考试成绩中随机抽取了25名学生的数学成绩（单位：分），发现这25名学生成绩均在90～150分之间，于是按[)90,100，[)100,110，…，[]140,150分成6组，制成频率分布直方图，如图所示：（1）求m 的值；（2）估计这25名学生数学成绩的平均数；（3）为进一步了解数学优等生的情况，该学校准备从分数在[]130,150内的同学中随机选出2名同学作为代表进行座谈，求这两名同学分数在不同组的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】直接根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】模拟执行程序，可得1t =-，不满足条件0t >，0t =，满足条件()()250t t +-<， 不满足条件0t >，1t =，满足条件()()250t t +-<， 满足条件0t >，3t =，满足条件()()250t t +-<，满足条件0t >，7t =，不满足条件()()250t t +-<，退出循环，输出t 的值为7. 故选：C. 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.2．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 因为残差，所以残差的平方和为（5.1－5）2＋（6.9－7）2＋（9.1－9）2＝0.03.考点：残差的有关计算.3．C解析：C 【解析】 【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答． 【详解】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故选C ． 【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．4．D解析：D 【解析】分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n 的值并输出相应的i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结论. 详解：模拟程序的运行，可得6,1n i ==，不满足条件n 是奇数，3,2n i ==，不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，10,3n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，可得5,4n i ==， 不满足条件1n =，执行循环体，满足条件n 是奇数，16,5n i ==， 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，8,6n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，4,7n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，2,8n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，1,9n i ==， 满足条件1n =，退出循环，输出i 的值为9，故选D.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5．B解析：B 【解析】由古典概型及其概率计算公式得：有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=，得解． 【详解】由已知有分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则共有111115*********C C C C ⋅-⋅=种不同的选法，又已知有人表现突出，且B 县选取的人表现不突出，则共有1151260C C ⋅=种不同的选法，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=. 故选：B ． 【点睛】本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，求解时注意与古典概率模型的联系.6．D解析：D 【解析】 【分析】根据面积比的几何概型，即可求解飞针能从正方形孔中穿过的概率，得到答案. 【详解】由题意，边长为2的正方形的孔的面积为1224S =⨯=， 又由半径为2的圆形纸板的面积为224S ππ=⨯=，根据面积比的几何概型，可得飞针能从正方形孔中穿过的概率为1414S P S ππ===， 故选D. 【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算，以及正方形的面积和圆的面积公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式，设AC ＝x ，则BC ＝10﹣x ，由矩形的面积S ＝x （10﹣x ）＜16可求x 的范围，利用几何概率的求解公式求解． 【详解】设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -， 那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<， 所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105=.【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．8．B解析：B 【解析】 【详解】阅读流程图，初始化数值1,1,0a k S =-==. 循环结果执行如下：第一次：011,1,2S a k =-=-==； 第二次：121,1,3S a k =-+==-=； 第三次：132,1,4S a k =-=-==； 第四次：242,1,5S a k =-+==-=； 第五次：253,1,6S a k =-=-==； 第六次：363,1,7S a k =-+==-=， 结束循环，输出3S =.故选B.点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.9．D解析：D 【解析】 【分析】甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数2510n C ==，甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含基本事件有6个，由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率. 【详解】由题意，所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次， 甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为2510n C ==，甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(2.28,1.55)所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为63105p ==，故选D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，找出基本事件的总数和不低于3元的事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10．A解析：A 【解析】设2名男生记为A 1,A 2,2名女生记为B 1,B 2,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,共有(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(B 1,B 2),(A 2,A 1),(B 1,A 1),(B 2,A 1),(B 1,A 2),(B 2,A 2),(B 2,B 1)12种情况,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2)4种情况,则发生的概率为P=41123=, 故选：A .11．A解析：A 【解析】 因为[,]22x ππ∈-,若1cos [0,]2x ∈,则[,][,]2332x ππππ∈--⋃, ()21233()22P ππππ-⨯∴==--，故选A.12．C解析：C 【解析】 甲的平均成绩11(7378798793)825x =++++=，甲的成绩的方差22222211[(7382)(7882)(7982)(8782)(9382)]50.45s =-+-+-+-+-=；乙的平均成绩21(7989899291)885x =++++=，乙的成绩的方差22222221[(7988)(8988)(8988)(9288)(9188)]21.65s =-+-+-+-+-=.∴12x x <，乙比甲成绩稳定. 故选C .二、填空题13．1【解析】【分析】设这10个数为则这组数据的方差为：由此能求出这组数据的标准差【详解】现有10个数其平均数为3且这10个数的平方和是100设这10个数为则这组数据的方差为：这组数据的标准差故答案为1解析：1 【解析】 【分析】设这10个数为1x ，2x ，3x ，⋯，10x ，则12310310x x x x +++⋯+=，222212310100x x x x +++⋯+=，这组数据的方差为：()()22222222212310123101231011[()()())69101010S x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎤⎤⎡=-+-+-+⋯+-=+++⋯+-+++⋯++⨯ ⎥⎥⎢⎦⎣⎝⎦，由此能求出这组数据的标准差． 【详解】现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100， 设这10个数为1x ，2x ，3x ，⋯，10x ， 则12310310x x x x +++⋯+=，222212310100x x x x +++⋯+=，∴这组数据的方差为：()()22222222212310123101231011[()()())691011010S x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎤⎤⎡=-+-+-+⋯+-=+++⋯+-+++⋯++⨯= ⎥⎥⎢⎦⎣⎝⎦，∴这组数据的标准差1S =．故答案为1． 【点睛】本题考查一组数据的标准差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．【解析】【分析】根据题意画出图形求出写作业所对应的区域面积利用得到结果【详解】由题意可知当豆子落在下图中的空白部分时小明在家写作业大正方形面积；阴影正方形面积空白区域面积：根据几何概型可知小明不在家 解析：5π4- 【解析】 【分析】根据题意画出图形，求出写作业所对应的区域面积，利用()()1P A P A =-得到结果. 【详解】由题意可知，当豆子落在下图中的空白部分时，小明在家写作业∴大正方形面积111S =⨯=；阴影正方形面积1111224S =⨯= 空白区域面积：22111244S ππ-⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭根据几何概型可知，小明不在家写作业的概率为：2514S P S π-=-= 本题正确结果：54π- 【点睛】本题考查几何概型中的面积型，属于基础题.15．【解析】【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积结合几何概型的概率公式进行求解即可【详解】四棱锥扩展为正方体则正方体的对角线的长是外接球的直径即即则四棱锥的条件球的体积为则该点取自四棱锥的内部的概 解析：39π【解析】 【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【详解】四棱锥P ABCD -扩展为正方体， 则正方体的对角线的长是外接球的直径， 即32R =，即3R =则四棱锥的条件1822233V =⨯⨯⨯=，球的体积为34(3)433ππ⨯=， 则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率823343P π==， 23【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键．本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．16．a【解析】【分析】首先分析程序框图的作用是输出三个数中的最大值从而比较三个数的大小求得结果【详解】根据题中所给的程序框图可以判断出其作用是输出三者中的最大出那个数因为a=log1213=log23>解析：【解析】【分析】首先分析程序框图的作用是输出三个数中的最大值，从而比较三个数的大小，求得结果.【详解】根据题中所给的程序框图，可以判断出其作用是输出三者中的最大出那个数，因为，而，所以其最大值是，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关程序框图的输出结果的求解问题，属于简单题目.17．【解析】【分析】由题求得基本事件的总数15种再求得2只颜色相同包含的基本事件的个数根据古典概型及其概率的计算公式即可求解【详解】由题意一只口袋中装有形状大小都相同的6只小球其中有3只红球2只黄球和1解析：4 15【解析】【分析】由题，求得基本事件的总数15种，再求得2只颜色相同包含的基本事件的个数，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解。

2020-2021上海建平中学高二数学上期末一模试题(附答案)一、选择题1．执行如图的程序框图，若输入1t =-，则输出t 的值等于( )A ．3B ．5C ．7D ．152．下面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为（ ）A ．90?i ≤B ．100?i ≤C ．200?i ≤D ．300?i ≤3．日本数学家角谷静夫发现的“31x + 猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的6N =，则输出i 值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．94．执行如图的程序框图，那么输出的S 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．1 5．执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 依次为()sin sin αα，()cos sin αα，()sin cos αα，其中,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，则输出的x 为( )A ．()cos cos ααB ．()sin sin ααC ．()cos sin ααD ．()sin cos αα6．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ） A ．23B ．34C ．25D ．137．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( )A ．1636B ．1736C ．12D ．19368．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x 万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 支出y 万5.97.88.18.49.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中0.78b ∧=，a y b x ∧∧=-元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ） A ．12.68万元B ．13.88万元C ．12.78万元D ．14.28万元9．已知线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ，则点P 到点M ，N 的距离都大于2的概率为( )A．34B．23C．12D．1310．我国古代数学著作《九章算术》中，有这样一道题目：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升.问：米几何？”下图是源于其思想的一个程序框图，若输出的3S=（单位：升），则输入的k=（）A．9B．10C．11D．1211．已知统计某校1000名学生的某次数学水平测试成绩得到样本频率分布直方图如图所示，则直方图中实数a的值是()A．0.020B．0.018C．0.025D．0.0312．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．10 B．17 C．19 D．36二、填空题13．农历戊戌年即将结束，为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡，设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶.现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，则事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为___14．现有编号为1，2，3，…，100的100把锁，利用中国剩余定理的原理设置开锁密码，规则为：将锁的编号依次除以3，5，7所得的三个余数作为该锁的开锁密码，这样，每把锁都有一个三位数字的开锁密码.例如，编号为52的锁所对应的开锁密码是123，开锁密码为232所对应的锁的编号是23.若一把锁的开锁密码为203，则这把锁的编号是__________．15．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点M．则点M恰好取自阴影部分的概率是．16．如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是__________．17．取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪出的两段的长都不小于1米（记为事件A ）的概率为________ 18．执行如图所示的程序框图，若1ln 2a =，22b e =，ln 22c =（其中e 是自然对数的底），则输出的结果是__________．19．如图，曲线sin32xy π=+把边长为4的正方形OABC 分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是__________．20．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程ˆ35yx =-，若变量x 增加一个单位时，则y 平均增加5个单位； ③线性回归方程^^^y b x a =+所在直线必过(),x y ； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，则其两个变量之间有关系的可能性是0090.其中错误的是________．三、解答题21．A B 两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：(1)试估计B 班的学生人数；(2)从A 班和B 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量X .规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记1X =-；当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记X 0=；当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记1X =.求随机变量X 的分布列及数学期望.(3)再从A 、B 两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小.（结论不要求证明）22．某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每公斤10元处理完.根据以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x （同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）该经销商某天购进了250公斤这种蔬果，假设当天的需求量为x 公斤(0500)x ≤≤，利润为y 元.求y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率.23．“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[]70,80后得到如图所示的频率分布直方图.问： （1）估计在40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[)20,40的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[)30,40的人数X 的分布列及数学期望.24．今年4月的“西安奔驰女车主哭诉维权事件”引起了社会的广泛关注，某汽车4S 店为了调研公司的售后服务态度，对5月份到店维修保养的100位客户进行了回访调查，每位客户用10分制对该店的售后服务进行打分．现将打分的情况分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到频率分布直方图如图所示．已知第二组的频数为10．（1）求图中实数a ，b 的值；（2）求所打分值在[6，10]的客户人数；（3）总公司规定，若4S 店的客户回访平均得分低于7分，则将勒令其停业整顿．试用频率分布直方图的组中值对总体平均数进行估计，判断该4S 店是否需要停业整顿． 25．为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对名男生和名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果： 表1：男、女生上网时间与频数分布表 上网时间（分钟） [30,40） [40,50） [50,60） [60,70） [70,80] 男生人数 5 25 30 25 15 女生人数1020402010（Ⅰ）若该中学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数； （Ⅱ）完成下表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟 合计男生 女生 合计附：公式22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中20()P k k ≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.8326．某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表：组号分组频率160,1650.05第1组[)165,1700.35第2组[)170,175①第3组[)175,1800.20第4组[)180,1850.10第5组[]()1求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；()2根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数(结果都保留两位小数)．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】直接根据程序框图依次计算得到答案.【详解】模拟执行程序，可得1t =-，不满足条件0t >，0t =，满足条件()()250t t +-<， 不满足条件0t >，1t =，满足条件()()250t t +-<， 满足条件0t >，3t =，满足条件()()250t t +-<，满足条件0t >，7t =，不满足条件()()250t t +-<，退出循环，输出t 的值为7. 故选：C. 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.2．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意可知该程序运行过程中，95i =时，判断框成立，191i =时，判断框不成立，即可选出答案。

2020年上海市建平中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知离散型随机变量X服从二项分布，且，则的最小值为（）A. 2B.C.D. 4参考答案：C【分析】根据二项分布的性质可得，，化简即，结合基本不等式即可得到的最小值.【详解】离散型随机变量X服从二项分布，所以有，，所以，即，（，）所以，当且仅当时取得等号．故选C．【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．2. 下列说法错误的是( )．(A)如果命题“”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题(B)命题p：R，，则：R，x2+2x+2>0(C)命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是“若a，b都不是偶数，则a+b不是偶数”(D)特称命题“R，使”是假命题参考答案：C略3. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】将平移到,则异面直线与所成的角等于,连接在根据余弦定理易得。

【详解】设正方体边长为1，将平移到,则异面直线与所成的角等于，连接。

则，所以为等边三角形，所以。

故选：A【点睛】此题考查立体几何正方体异面直线问题，异面直线求夹角，将其中一条直线平移到与另外一条直线相交形成的夹角即为异面直线夹角，属于简单题目。

4. 下列命题中：①若p，q为两个命题，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件.②若p为：，则为：.③命题“”的否命题是“”.④命题“若则q”的逆否命题是“若p，则”.其中正确结论的个数是( )A．1 B.2 C.3 D.4参考答案：A5. 设等比数列{ a n }的公比q=2，前n项和为S n,则A.2B.4C.D.参考答案：C6. 若正数，满足+3=5，则3+4的最小值是（）A. B. C. 5 D.6参考答案：C7. 一袋子中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中45个红球，从中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为（）A．0.35 B．0.32 C．0.55 D．0.68参考答案：B【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】利用对立事件概率计算公式能求出摸出黑球的概率．【解答】解：∵一袋子中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中45个红球，从中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，∴摸出黑球的概率为p=1﹣0.23﹣=0.32．故选：B．8. 如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是( )A．①是循环变量初始化，循环就要开始B．②为循环体C．③是判断是否继续循环的终止条件D．输出的S值为2，4，6，8，10，12，14，16，18参考答案：D【考点】循环结构；程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量s的值，结合各部分的功能即可得出答案．【解答】解：这个程序框图中，①是循环变量初始化，循环将要开始，正确；②为不满足条件n＞10时执行的语句，是循环体，故B正确；③是判断是否继续循环的终止条件，正确；④满足执行程序框图，可得i=1s=2，输出2，i=2s=4，输出4，i=3s=6，输出6，i=4s=8，输出8，i=5s=10，输出10，i=6s=12，输出12，i=7s=14，输出14，i=8s=16，输出16，i=9s=18，输出18，i=10s=20，输出20，i=11满足条件i＞10，退出循环．故D错．故选：D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，循环结构，循环语句，程序功能的判断，是对算法知识点的综合考查，熟练掌握算法的基础知识是解答本题的关键．9. 下列说法中正确的有(1) 命题“若x2－3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x+2≠0”；(2) “x＞2”是“x2－3x+2＞0”的充分不必要条件；(3) 命题p：?x0∈R，，则￢p：?x∈R，x2＋x＋1≥0；(4) 若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：C⑴正确；⑵由x2－3x＋2＞0可以得出x＞2或x＜1，由x＞2一定可以得出x2－3x＋2＞0，故“”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件，正确；⑶正确；⑷若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个假命题，故⑷错误，故选C．10. 给出下列四个关系式：①②③④其中正确的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个参考答案：C【分析】①根据阶乘公式判断.②根据排列数公式判断③根据排列数公式判断.④根据排列数公式判断.【详解】①因为，故正确.②，故正确.③，正确.④因为，所以，故不正确.故选：C【点睛】本题主要考查阶乘公式和排列数公式，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则最大值为___▲_______．参考答案：212. 已知为奇函数，且当时，则▲．参考答案：-2略13. 在1和25之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间数是.参考答案：514. 甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为．参考答案：0.65【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】敌机被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中，由此利用对立事件概率计算公式能求出敌机被击中的概率．【解答】解：敌机被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中，设A表示“甲击中”，B表示“乙击中”，由已知得P（A）=0.3，P（B）=0.5，∴敌机被击中的概率为：p=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣0.3）（1﹣0.5）=0.65．故答案为：0.65．15. 若两个函数的图象只经过若干次平移后就能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出下列函数：①②，③，④，其中“同形”函数有 .（填序号）参考答案：①③16. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为-________.参考答案：略17. 如图,为的直径,弦、交于点,若,则=参考答案：-三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2021-2022学年上海建平中学西校高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 的计算结果精确到个位的近似值为（）A. 106B. 107C. 108D. 109参考答案：B【分析】由题得，再利用二项式定理求解即可.【详解】∵，∴.故选：B【点睛】本题主要考查利用二项式定理求近似值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2. 命题“存在，使得”的否定是( )A．存在，使得 B．不存在，使得C．对任意，都有 D．对任意，都有参考答案：C略3. 设函数，则函数各极小值点之和为A．B．C．D．参考答案：A4. 已知==2，且它们的夹角为，则=（）A．B．C．1 D．2参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件进行数量积的运算即可求出的值，从而求出的值．【解答】解：根据条件：==12；∴．故选A．5. 设点P在曲线上，点Q在曲线上，则最小值为（）A. B. C. D.参考答案：B由题意知函数y＝e x与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝e x上点的最小距离的2倍．设y＝e x上点(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行．则e x0＝1，∴x0＝ln 2，y0＝1，∴点(x0，y0)到y＝x的距离为＝(1－ln 2)，则|PQ|的最小值为(1－ln 2)×2＝(1－ln 2)．6. 设1！，2！，3！，……，n！的和为S n（且），则S n的个位数是 ( )A．1 B．3 C．5 D．7参考答案：B7. 已知等比数列的各项均为正数，公比，记，，则P与Q的大小关系是( )A . B. C. D. 无法确定参考答案：A略8. 复数所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B略9. 有四个关于三角函数的命题：p1：?x∈R，sin2+cos2=，p2：?x，y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny，p3：锐角△ABC中，sinA＜cosB，p4：△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB，其中的假命题是（）A．p1，p4 B．p2，p4 C．p1，p3 D．p3，p4参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】逐一分析给定四个命题的真假，可得结论．【解答】解：sin2+cos2=1恒成立，故命题p1：?x∈R，sin2+cos2=为假命题；当x=y=0时，sin（x﹣y）=sinx﹣siny=0，故命题p2：?x，y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny为真命题；锐角△ABC中，A+B＞，即A＞﹣B，即sinA＞sin（﹣B）=cosB，故命题p3：锐角△ABC中，sinA＜cosB为假命题；：△ABC中，若A＞B，则a＞b，则2RsinA＞2RsinB，则sinA＞sinB，故命题p4：△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB为真命题；故选：C10. 在一次试验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，1.5），B（2，3），C（3，4），D（4，5.5），则y与x之间的回归直线方程为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】线性回归方程．【专题】函数思想；分析法；概率与统计．【分析】求出数据中心（，），则（，）必在回归直线上．【解答】解： ==2.5， ==3.5．经验证只有=x+1经过（2，5，3，5），故选：A．【点评】本题考查了线性回归方程的特点，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知变量，满足约束条件。

2021-2022学年上海建平实验学校高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列各对方程中，表示相同曲线的一组是（）A. 与B. 与C. 与D. 与参考答案：C【分析】依次求取选项中与的范围,判断是否一致,再观察与的关系是否一致即可【详解】对于选项A,中,中,故A不正确；对于选项B,为,为或,故B不正确；对于选项D,中,中,故D不正确；对于选项C,二者一致,故选：C2. 过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[0，] D．[0，]参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【分析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围．【解答】解：由题意可得点P（﹣，﹣1）在圆x2+y2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为 y+1=k（x+），即 kx﹣y+k﹣1=0．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，即 3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值范围是[0，]，故选：D．【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．3. 已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为 ( )参考答案：D略4. 若函数，则的导数（）A.1－cos xB.1+cos xC. 1－sin xD. 1+sin x参考答案：C5. 已知m＞0，n＞0，+=1，则（m+1）（n+4）的最小值为（）参考答案：C6. 已知U=R，，则（C U A）∩B=（）A ．[3，+∞）B ．（3，+∞）C ．[1，3]D ．（1，3） 参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】首先整理集合A ，解关于x 的绝对值不等式，再根据指数函数的值域做出集合B 的范围，求出补集再写出交集．【解答】解：∵A={x||x﹣2|≤1}={x|1≤x≤3} ∴C U A={x ＜1或x ＞3}，∵={x|x ＞1}∴（C U A ）∩B={x|x＞3} 故选B ．7. 设则（ ）A ．都不大于B ．都不小于C ．至少有一个不大于D ．至少有一个不小于参考答案：C 略 8. 已知函数的导函数的图像如图所示，给出下列三个结论：的单调递减区间是；函数在处取得极小值；. 正确的结论是参考答案：A9. 若随机变量X 的分布列：已知随机变量且，，则a 与b 的值为( ) A.B.C. D.参考答案：C【分析】先根据随机变量X 的分布列可求m 的值，结合，，可求a 与b 的值.【详解】因为，所以，所以,；因为，，所以解得，故选C.【点睛】本题主要考查随机变量的期望和方差，注意两个变量之间的线性关系对期望方差的影响. 10. 复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：A 【分析】 先通过运算，化简为，再利用复数的几何意义判断. 【详解】因为，所以对应的点位于第一象限.故选： A【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，则等于参考答案：-2略12. 已知a＞0，b＞0，若不等式总能成立，则m 的最大值是．参考答案：9【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】由不等式恒成立，可得m=5+恒成立，只要求出的最小值即可求解【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴2a+b＞0∵不等式恒成立，∴m=5+恒成立∵∴m≤9故答案为：9【点评】本题主要考查了恒成立问题与最值的求解的相互转化，解题的关键是配凑基本不等式成立的条件13. 如图所示的流程图，若输入的x=﹣9.5，则输出的结果为．参考答案：1考点：程序框图．专题：计算题．分析：结合框图，写出前几次循环的结果，判断每一次结果是否满足判断框的条件，直到满足执行Y，输出c．解答：解：经过第一次循环得到x=﹣7.5经过第二次循环得到x=﹣5.5经过第三次循环得到x=﹣3.5经过第四次循环得到x=﹣1.5经过第五次循环得到x=0.5满足判断框的条件，执行Y，c=1，输出1故答案为：1点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．14. 下列命题中：（1）若满足，满足，则；（2）函数且的图象恒过定点Ａ，若Ａ在上，其中则的最小值是；（3）设是定义在Ｒ上，以１为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为； （4）已知曲线与直线仅有２个交点，则； （5）函数图象的对称中心为（2，1）。

2022-2023学年上海市建平中学高二上学期期末数学试题一、填空题1．半径为1的球的表面积为________.【答案】4π【分析】由球的表面积公式即可得到答案.2=4S R π表【详解】,2=4S R π 球表,1R =，2=41=4S ππ∴⨯⨯球表故答案为:4π【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题.2．抛物线的准线方程是_______24y x =【答案】=1x -【分析】根据抛物线的标准方程形式求出，再根据开口方向，写出其准线方程.p 【详解】对于抛物线，，，24y x =24p = 2p ∴=又抛物线开口向右，准线方程为.∴=1x -故答案为：.=1x -3．双曲线的渐近线方程为___________．2212y x -=y ±=【分析】根据双曲线的渐近线方程的定义求解.【详解】∵ 双曲线的方程为2212y x -=∴ ，0y ±=.0y ±=4．已知圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的母线长为___________.【分析】根据圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形求解.【详解】因为圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，所以母线长l ===5．在正三棱锥中，异面直线PA 与BC 所成角的大小为_____.-P ABC 【答案】π2【分析】利用线面垂直即可求得PA 与BC 垂直，进而得到异面直线PA 与BC 所成角的大小【详解】正三棱锥中，取BC 中点D 连接AD 、PD ，-P ABC 则，，PD BC ⊥AD BC ⊥又，平面，平面，=PD AD D ⋂PD ⊂PAD AD ⊂PAD 则平面，又平面，则BC ⊥PAD PA ⊂PAD PA BC⊥则异面直线PA 与BC 所成角的大小为π2故答案为：π26．已知，，则___________.()1,2,3a = ()3,2,1b = ()a ab ⋅+= 【答案】24【分析】利用向量的数量积直接求解.【详解】因为，，()1,2,3a = ()3,2,1b = 所以.()4,4,4a b += 所以.()14243424a a b ⋅+=⨯+⨯+⨯= 故答案为：247．以为焦点的椭圆上有一动点M ，则的最大值为___________.()11,0F -()222103x y a a +=>1MF 【答案】3【分析】利用焦点坐标即椭圆中的关系求出椭圆的标准方程，然后分析椭圆上的动点在何,,a b c M处时最大.1MF 【详解】因为为椭圆的焦点，()11,0F -()222103x y a a +=>所以，23a >1,c b ==所以由，2222222214a b c a c b -=⇒=+=+=所以椭圆的标准方程为：，22143x y +=如图所示：因为为椭圆的左焦点，为椭圆上的动点，()11,0F -M 故当处于右顶点时最大，M A 1MF 且最大值为，1213MF a c =+=+=故答案为：3.8．抛物线C 上任意一点，则抛物线C 的焦点到准线的(),P x y 距离为___________.【分析】根据抛物线上动点满足的方程及抛物线的定义确定焦点与准线即可得解.【详解】抛物线C 上任意一点知，(),P x y 动点到定点和直线的距离相等，(,)P x y (1,1)10x y ++=所以为抛物线的焦点，为抛物线的准线，(1,1)10x y ++=故焦点到准线的距离为，d ===9．在正四棱柱中，，A 到平面的距离为_____.1111ABCD A B CD -1AB =1AA =1A BD 【分析】三棱锥等体积法即可求得点A 到平面的距离.1A BD 【详解】设点A 到平面的距离为d ，1A BD 由 ，即11A A BD A ABD V V --=111133A BD ABD S d S AA ⋅=⋅△△可得11ABD ABD S AA d S⋅=== 10．用与圆柱底面所成的二面角大小为的平面截圆柱，截面图形为一个椭圆（或其一π02αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭部分），则当时，该椭圆的离心率为___________.π6α=【答案】##0.512【分析】根据题意画出图形，利用图形建立与椭圆相关的长半轴，短半轴，结合椭圆性质，利用椭圆离心率的求解公式求解即可.【详解】如图所示：设椭圆的长轴对应的顶点为，椭圆中心为，圆柱体底面中心为，A O 1O 圆柱底面半径为，且底面圆r 1OO ⊥则椭圆的长半轴为，AO a =由椭圆截面与圆柱底面所成的二面角大小为，π6α=所以，πcos 6r a ==又短半轴长为：b r=由，222a c b -=所以22223r c r c =-=⇒=所以椭圆的离心率为：，12c e a ===故答案为：.1211．已知正方体的棱长为1，点E 为棱的中点，正方体表面上一动点P 满足1111ABCD A B C D -11C D 且，则直线DP 与平面ABCD 所成角的大小为____.1DP AC ⊥DP CE ⊥【答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量确定点P 的位置，再利用线面角定义，即可求得直线DP 与平面ABCD 所成角的大小.【详解】以D 为原点，分别以DA 、DC 、所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图：1DD 则，，，，，(0,0,0)D (1,0,0)A (0,1,0)C 1(0,1,1)C 1(0,,1)2E则，，1(1,1,1)AC =- 1(0,,1)2CE =- 设，则，则，，()[],,,,,0,1P x y z x y z ∈(,,)DP x y z = 10AC DP ⋅= 0CE DP ⋅= 则，则，0102x y z y z -++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩2,3y z x z ==又动点P 正在方体表面上，则，可得211,,33x y z ===21(1,,33P 则点P 在侧面内.11ABB A 过点P 在侧面作于Q ，连接DP 、DQ ，11ABB A PQ AB ⊥则为直线DP 与平面ABCD 所成角，PDQ ∠则，sin PQ PDQ DP ∠===又，则.π0,2PDQ ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦PDQ ∠=故答案为：12．记双曲线的一支，曲线和直线所围成的封闭图形为，将绕着()221094x y x -=>0xy =6y =ττ直线旋转一周所形成的几何体记作，试利用祖暅原理､一个圆柱和一个圆锥，得出的体积0x =ΓΓ值为___________.【答案】216π【分析】根据图形，过点作与轴垂直的平面，截所得的截面为圆面，根据圆面(0,)(06)y y ≤≤y Γ面积，利用祖暅原理，转化为圆柱、圆锥的体积求解即可.【详解】过点作与轴垂直的平面，截所得的截面为圆面，(0,)(06)y y ≤≤y Γ截面圆半径，||r x =由得，()221094x y x -=>2229(2)4x y =+2229π(ππ2)4x y ∴=+⋅由祖暅原理，可将该几何体的体积转化为求一个底面半径为，高为的圆柱和一个底面半径为∴26，高为的圆锥的体积和的倍，66942219(π26π66)216π34V ∴=⋅⨯+⋅⨯⋅=故答案为：216π二、单选题13．已知三条直线，，满足且，则与（ ）1l 2l 3l 12l l ∥23l l ⊥1l 3l A ．平行B ．垂直C ．共面D ．异面【答案】B【分析】根据空间直线平行垂直的定义，结合等角定理进行判定.【详解】若且，根据空间直线垂直的定义，可得，不平行，有可能共面，也有可12l l ∥23l l ⊥13l l ⊥能异面.故选：B.14．设为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则“”是“”的（ ）d l n α0d n ⋅= l ⊂αA ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【答案】B 【分析】利用空间向量与立体几何的关系即可得到二者的逻辑关系，进而可得“”是“”0d n ⋅= l ⊂α的必要非充分条件.【详解】为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，d l n α则由 ，可得或，则“”不是“”的充分条件；0d n ⋅= l ⊂α//l α0d n ⋅= l ⊂α由，可得，则“”是“”的必要条件.l ⊂α0d n ⋅= 0d n ⋅= l ⊂α则“”是“”的必要非充分条件.0d n ⋅= l ⊂α故选：B15．用一个平面截正方体，截面图形可能是（ ）A ．钝角三角形B ．直角梯形C ．有两个内角相等的五边形D ．正七边形【答案】C【分析】根据正方体的截面分析得到答案.【详解】用一个平面截正方体，截面图形可能是三角形，四边形，五边形，六边形.对于A ：截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形.如图所示的截面三角形.ABC 设，所以，，.,,DA a DB b DC c ===222AC a c =+222AB a b =+222BC b c =+所以由余弦定理得：所以为锐角.222cos 0,2AB AC BC CAB AB AC +-∠==>⋅CAB ∠同理可求：为锐角，为锐角.ACB ∠CBA ∠所以为锐角三角形.故A 错误；ABC 对于B ：截面图形如果是四边形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形.故B 错误；对于C ：如图示的截面图为五边形，并且有两个角相等.故C 正确；对于D ：因为正方体有六个面，所以一个平面截正方体，边数最多为6.所以D 错误.故选：C16．已知平面上三点，，，若动点P 满足，有以下两个命(0,0)A (2,0)B (1,1)C PA PB PC ++=题：①三角形APB 面积的最大值为1；②，则（ ）2APB π∠≥A ．①为真命题，②为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①为假命题，②为假命题【答案】A【分析】根据给定条件，推理探求点P 在内，再分别判断命题①②的真假作答.ABC【详解】依题意，是等腰直角三角形，，如图，ABC |||||2,2AC BC AB ACB π===∠=显然，当点P 与C 重合时，成立，PA PB PC ++=当点P 在直线AC 上（除点C 外）或P ，B 在直线AC 两侧时，如图中位置，1P，P 不能在点位11||||||P A PC AC +≥=1||||PB BC >=111||||||P A PC PB ++>1P 置，由对称性知，点P 不能在直线BC （除点C 外）及右侧，当点P 在x 轴及下方时，如图中位置，点C 到x 轴距离，2P 1d =，，有P 不能在点位置，22||||||2P A P B AB +≥=2||1P C d ≥=222||||||3P A P B P C ++≥>2P综上知，满足的动点P 在内或与点C 重合，PA PB PC ++=ABC 点P 到x 轴距离最大值为点C 到x 轴距离，于是得，①正确；1d =max 1()||12APB S AB d =⋅= 当点P 与C 重合时，，当点P 在内时，延长交于D ，2APB π∠=ABC AP BC 则有，于是得，②正确，2APB ADB ACB π∠>∠>∠=2APB π∠≥所以①为真命题，②为真命题.故选：A【点睛】关键点睛：符合某个条件的动点位置问题，利用几何图形，探讨不满足给定条件的点所在区域是解题的关键.三、解答题17．已知圆和圆.221:2210C x y x y +---=222:8C x y +=(1)证明：圆和相交；1C 2C (2)求圆和公共弦所在的直线方程.1C 2C 【答案】(1)证明见解析；(2)2270x y +-=【分析】（1）利用两圆圆心距与两圆半径之间的关系即可证明圆和相交；1C 2C （2）利用两圆方程相减即可求得圆和公共弦所在的直线方程.1C 2C 【详解】（1）圆，圆心为（1，1）()()221:113C x y -+-=圆，圆心为（0，0），半径为222:8C x y +=圆心距，故圆和相交.(1C C +1C 2C （2）由（1）可得圆和相交，1C 2C 联立两圆方程，，2222221080x y x y x y ⎧+---=⎨+-=⎩并上下相减可得圆和公共弦所在的直线方程为.1C 2C 2270x y +-=18．如图,在正四棱锥中,.P ABCD -π3PAB ∠=(1)求侧棱与底面ABCD 所成角的大小;PA (2)求二面角的大小.P AB C --【答案】(1)π4(2)【分析】(1) 设底面正方形ABCD 的中心为O ,连接AO ,PO ,可得平面ABCD ,则为侧棱PO ⊥PAO ∠PA 与底面ABCD 所成角,设出正四棱锥侧棱,根据角度关系,找到各个长度,求出夹角余弦值,即可求出夹角;(2) 取AB 的中点为E ,连接PE ,OE ,即可证明为二面角的平面角,根据(1)中的数量PEO ∠P AB C --关系,求出长度及夹角余弦值,即可得出结果.【详解】（1）解:由题知正四棱锥,P ABCD -设底面正方形ABCD 的中心为O ,连接AO ,PO ,所以在正四棱锥中,平面ABCD ,P ABCD -PO ⊥即点P 在平面ABCD 上的投影为O ,故为侧棱PA 与底面ABCD 所成角,PAO ∠在中,,,PAB PA PB =π3PAB ∠=故为等边三角形,设其边长为,PAB ()0a a >因为平面ABCD ,平面ABCD ,PO ⊥AO ⊂故,PO AO ⊥在中,,,Rt PAO △PA a =12AO AC ==所以,cos AO PAO PA ∠==即,π4PAO ∠=故侧棱PA 与底面ABCD 所成角的大小;π4（2）取AB 的中点为E ,连接PE ,OE ,在正方形ABCD 中,,OE AB ⊥在等边中,,PAB PE AB ⊥故为二面角的平面角,PEO ∠P AB C --因为平面ABCD ,平面ABCD ,PO ⊥EO ⊂故,PO EO ⊥在中,,,Rt PEO △PE =1122OE BC a ==cos OE PEO PE ∠==即PEO ∠=故二面角的大小为.P AB C --19．对于精美的礼物，通常人们会用包装纸把礼物包好，还会用彩带捆扎包装好的礼物，有时还会扎出一个花结.这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观､结实，也要考虑尽量地节省包装彩带.以长方体的礼物为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示.“十字”捆扎“对角”捆扎假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2､高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上.(1)求“十字”捆扎中彩带的总长度；(2)根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议.【答案】(1)16(2)，在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带【分析】（1）直接利用题意即可求出采用“十字”捆扎中彩带的总长度；（2）求出“对角”捆扎中彩带的总长度，比较大小，即可得到答案.【详解】（1）采用“十字”捆扎中彩带的总长度为；122244116L =⨯+⨯+⨯=（2）2L ==由于，因此在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带.12L L >20．已知双曲线，设其左､右顶点分别为A ，B ，中心为O .22:13y x Γ-=(1)求双曲线的焦距和虚轴长；Γ(2)交双曲线于C ，D 两点，且，求弦长；l ΓOC OD ⊥CD (3)设双曲线右支上两点M ，N 满足直线AM 与BN 在y 轴上的截距之比为1∶3，判断直线MN 是Γ否过定点，并说明理由.【答案】(1)焦距为4，虚轴长为(2);4(3)过定点，理由见解析.(2,0)【分析】（1）根据双曲线的标准方程求解即可；（2）设直线，联立双曲线方程，由根与系数关系及求，再由弦长公):l y x m =-OC OD ⊥m 式求解即可；（3）设，故由截距之比可设，联立双曲线方程，分别求出()1:AM l y t x =+()1:3BM l y t x =--坐标，由对称性若过定点则定点为，利用斜率求解即可.,M N ()0,0P x 【详解】（1）22:13y x Γ-= ，221,3a b ∴==故，2224c a b =+=所以焦距为，虚轴长为24c =2b =（2）设直线，):l y x m =-1122(,),(,)C x y D xy 则，消元得，)2213y x y x m ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()224250x mx m +-+=成立，22416(5)0m m ∆=++>由韦达定理可得，由于，故，12212254m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩OC OD ⊥0OC OD ⋅= 即，化简可得，12120x x y y +=()21212833x x m x x m -++0=所以，解得，22232(5)302m m m -+++=2m =±.4=（3）设，故由截距之比可设，()1:AM l y t x =+()1:3BM l y t x =--由，消元得，()22113y t x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩()22223230t x t x t ----=所以，故，2233A M t x x t --⋅=-2233M t x t +=-由，消元得，()223113y t x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩()22223918930t x t x t -+--=所以，故229339B N t x x t --⋅=-229339N t x t --=-故，，22236,33t t M t t ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭2229318,3939t t N t t ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭若直线MN 过定点，根据对称性在x 轴设定点为，()0,0P x 则，化简可得，22220022618339393339PM PNt t t t k k t t x x t t --=⇒=+------()()2061210x t -+=故，解得，06120x -=02x =即直线MN 过定点.(2,0)21．已知椭圆的左､右焦点分别为和,经过点且斜率为k 的直线l 交椭圆于22:143x y ξ+=1F 2F 1F ξB ,C 两点,其中点C 在第二象限.如图所示,将的上半部分（半椭圆）沿着长轴翻折使得点C 翻折至ξ点A 且二面角为直二面角.设三角形和三角形的周长分别为和.12A F F B --2BCF 2ABF2BCF C △2ABF C (1)证明:;228ABF BCF C C <=△△(2)若求异面直线和所成角的大小;k =2AF 1BF (3)若,求k 的值.28211ABF C =△【答案】(1)证明见解析(2)13arccos 28(3)【分析】(1)根据椭圆的定义,写出周长,即可证明;(2)根据设直线方程,求两点坐标,进而求出各个长度,还原到立体图形中,分别取k =,B C 的中点为,连接,根据垂直关系,中位线及余弦定理,求出122,,AF F OF B ,,D E Q ,,,,,OB OD OE DE QE DQ 各个长度,进而求得直线夹角即为异面直线和所成角;,DO OE 2AF 1BF(3)根据,找到之间的关系,设直线方程,联立方程组,求出弦长,再根据二面角24BCF C a =△,BC AB BC BC 为直二面角,过做底面垂线,还原到平面图形中,根据两点间的距离公式,即可求长度,12A F F B --A AB 再根据之间的关系建立等式,求出直线即可.,BC AB 【详解】（1）解:由椭圆定义可得:,2228BCF C BC CF BF =++=△222ABF C AB AF BF =++ 1122AF BF AF BF <+++1212AF AF BF BF =+++,8=故得证;228ABF BCF C C <=△△（2）由题知椭圆,22:143x y ξ+=所以,()11,0F -因为k =所以直线l 的方程为:,)1y x =+联立,)221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得: ,2580x x +=解得: ,80,5B C x x ==-代入直线方程可得: ,, (0,B85C ⎛- ⎝因为,()()121,0,1,0F F -,145=65=,2=,所以,2OB OF ⊥分别取的中点为,122,,AF F OF B ,,D E Q 连接如图所示:,,,,,OB OD OE DE QEDQ 所以,,,2145AF =165AF =122F F =,,135F D =1123342F Q F F ==在及中分别由余弦定理可得:12AF F △1DF Q ,2222221122111211211cos 22AF F F AF DF F Q DQ AF F AF F F DF F Q+-+-∠==⋅⋅代入数值可得:,2222226143325552633222552DQ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为二面角为直二面角,,12A F F B --2OB OF ⊥所以平面,OB ⊥12AF F 因为分别是中点,,E Q 2,BF OF 所以,EQ OB ∥所以平面,EQ ⊥12AF F 故,EQ DQ ⊥所以,22222426001DE DQ EQ =+=+=在中,由余弦定理可得:DOE 222cos 2DO OE DE DOE DO OE+-∠=⋅27426151007215⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅⋅,1328=-因为分别是中点,,,E D O 1212,,AF F BF F 所以,21,A OE DO F F B ∥∥所以直线夹角即为异面直线和所成角,,DO OE 2AF 1BF 因为异面直线和所成角的大小范围为,2AF 1BF π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭所以异面直线和所成角大小为;2AF 1BF 13arccos 28（3）由椭圆定义可得:2211BCF ABF C C CF BF AB -=+-△△BC AB=-82811=-,611=由题知,直线斜率存在,BC 设,,():1BC l y k x =+()()1122,,,B x y C x y 因为C 在第二象限,所以,BC b k c >=0BCk <联立,()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩化简可得:,()22224384120k x k x k +++-=由韦达定理可得:,2122212284341243k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩==,22121243k k +=+过向做垂线,垂足为,A 12F F P 还原到平面直角坐标系上可知轴,PC x ⊥故,()2,0P x=========因为,611BC AB -=即,22121264311k k+=+化简可得,23638k +=两边平方可得,423284104920k k --=解得或（舍去）22k =234k =-故k =因为,BC k >0BC k <故.k =【点睛】思路点睛:本题考查圆锥曲线与空间几何综合应用题,属于难题,关于圆锥曲线的思路有:(1)根据题意考虑直线斜率是否存在;(2) 设直线方程,联立方程组;(3) 判别式大于零,韦达定理;(4)根据题意建立关于的等式,化简即可.1212,x x x x +⋅。

上海建平实验学校2020年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有( ▲ )块白色地面砖块.A. 4n-2B.3n+3C. 4n+2D. 2n+4参考答案：C略2. 若复数z满足，则（）A．B．C．13 D．15参考答案：C3. 在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（）A. B. C. D.参考答案：C略4. 下列命题中正确的是()A．a＞b?ac2＞bc2 B．a＞b?a2＞b2C．a＞b?a3＞b3 D．a2＞b2?a＞b参考答案：C5.（）A、 B、 C、D、参考答案：D略6. 设，则A. B. C. D.参考答案：B7. 已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c＝( ) A．(2,1) B．(1,0) C. D．(0，－1)参考答案：C8. 给出如下四个命题①若“且”为假命题，则、均为假命题②命题“若”的否命题为“若”③“任意”的否定是“存在”④在ABC中，“”是“”的充要条件其中正确的命题的个数是（）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1参考答案：C略9. 已知条件，条件。

若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：C略10. 已知x，y的取值如下表：22从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为，则实数a的值为（）A. -0.1 B. 0.61 C. -0.61 D. 0.1参考答案：C【分析】算出可得.【详解】，，故.故选C.【点睛】一般地，线性回归方程对应的直线过样本中心，此类问题属于基础题. 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 与双曲线有相同焦点，且离心率为0.8的椭圆方程为---参考答案：12. 若不等式x2﹣2x+3﹣a＜0成立的一个充分条件是0＜x＜5，则实数a的取值范围是_____．参考答案：[18,+∞)∵不等式成立的一个充分条件是，∴当时，不等式不等式成立，设则满足，即解得故答案为．13. 观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=．参考答案：n（n+1）【考点】归纳推理．【分析】由题意可以直接得到答案．【解答】解：观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=×n（n+1），故答案为：n（n+1）14. 已知抛物线：y=4x2，则抛物线的通径长为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】将抛物线方程转化成标准方程，求得焦点坐标，代入椭圆方程，即可求得抛物线的通径长．【解答】解：由抛物线：y=4x2，标准方程为：x2=y，焦点坐标为（0，），设A（x，y），当y=，则x=，抛物线的通径长丨AB丨=2x=，故答案为：．15. 关于直线和平面，有以下四个命题：①若，则；②若，则；③若，则且；④若，则或. 其中正确的命题序号是▲ .参考答案：②16. 若x，y满足，则z=x+2y的取值范围为．参考答案：[0，]【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解范围即可．【解答】解：x，y满足，不是的可行域如图：z=x+2y化为：y=﹣+，当y=﹣+经过可行域的O时目标函数取得最小值，经过A时，目标函数取得最大值，由，可得A（，），则z=x+2y的最小值为：0；最大值为： =．则z=x+2y的取值范围为：[0，]．故答案为：[0，]．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中利用角点法是解答线性规划类小题最常用的方法，一定要掌握．17. α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m?α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是（填序号）参考答案：②③④【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l?α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；③如果α∥β，m?α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2021年上海建平世纪中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等比数列{a n}中，a1＋a2＋a3＋…＋a n=2n－1，则a12＋a22＋a32＋…+a n2等于( ).A B C D参考答案：D略2. 设F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上满足∠F1PF2=90°，那么△F1PF2的面积是（）A． 1 B. C. 2 D.参考答案：A略3. 若函数的值域为R，则函数值域是（）A． B． C． D．参考答案：A略4. 下列命题中正确的是 ( )①“若，则x，y不全为零”的否命题②“正多边形都相似”的逆命题③“若，则有实根”的逆否命题④“矩形的对角线相等”的逆命题A.①②③B.②③④C.①③④D.①④参考答案：C略5. 在等差数列中，，，则的值是（）A．15 B．30 C．－31 D．64参考答案：A6. 已知数列{a n}是等差数列，若它的前n项和S n有最小值，且<－1，则使S n>0成立的最小自然数n的值为（）A．18 B．19 C．20 D．21参考答案：C略7. 不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．.参考答案：C8. 抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于( )A、 B、 C、 D、参考答案：C9. 圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（）A.2πB.3πC.4πD. π参考答案：C圆柱沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图是一个矩形，它的长是底面圆的周长，即2π，宽为母线长为2，所以它的面积为4π,故选C.10. 若直线的参数方程为为参数),则直线的斜率为( )A. B. C. D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC 体积的最大值为．参考答案：27【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】棱锥S﹣ABC的底面积为定值，欲使棱锥S﹣ABC体积体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，由此能求出棱锥S﹣ABC体积的最大值．【解答】解：∵表面积为60π的球，∴球的半径为，设△ABC的中心为D，则OD=，所以DA=，则AB=6棱锥S﹣ABC的底面积S=为定值，欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，又平面SAB⊥平面ABC，∴S在平面ABC上的射影落在直线AB上，而SO=，点D到直线AB的距离为，则S到平面ABC的距离的最大值为，∴V=．故答案为：27．【点评】本小题主要考查棱锥的体积的最大值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．12. 如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是_______________________.参考答案：由三视图还原可知该几何体是一个组合体，下面是一个圆柱，上面是一个三棱柱，故所求体积为。