03-三角形中的线段

三角形中的三条重 要线段ppt优秀课件
目 录
• 三角形基本概念与性质 • 中线性质与应用 • 高线性质与应用 • 角平分线性质与应用 • 垂直平分线性质与应用 • 综合运用与拓展延伸
01
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次连接所组成的封闭图形。
三角形分类
线。
性质
垂直平分线上的点到三角形三个顶 点的距离相等。
性质证明
可以通过全等三角形或轴对称性质 进行证明。
垂直平分线在解题中应用
应用一
利用垂直平分线的性质， 可以求解与三角形有关的 距离问题。
应用二
在证明三角形全等或相似 时，可以利用垂直平分线 的性质进行推导。
应用三
在解决与三角形面积有关 的问题时，可以利用垂直 平分线的性质进行转化。
证明三角形全等
在一些特定的三角形中，可以通过证明两条高相等来证明两个三角 形全等。
解决与三角形高相关的问题
在解决与三角形高相关的问题时，可以通过作高、利用高的性质等 方法来简化问题。
典型例题解析
解析
由于AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。作高AH⊥BC于 点H，则AH平分BC。由于DE⊥AB和DF⊥AC，因此四边 形AEDF是矩形。根据矩形的性质，有DE=AF和DF=AE。 又因为AH⊥BC和DE⊥AB，所以∠DEH=∠AHB=90°， 从而∠B=∠HAC。在△DEH和△AHC中， ∠DEH=∠AHC=90°，∠B=∠HAC，因此△DEH∽△AHC。 根据相似三角形的性质，有DE/AH=EH/HC。同理可证 DF/AH=HF/HC。将两式相加得到 (DE+DF)/AH=(EH+HF)/HC=EF/HC。又因为EF=AH （矩形的对边相等），所以(DE+DF)/AH=AH/HC。从 而得到DE+DF=AH^2/HC。又因为 S△ABC=1/2×BC×AH=1/2×AB×DE+1/2×AC×DF=1/ 2×AB×(DE+DF)，所以DE+DF=2S△ABC/AB。最后根 据等腰三角形的性质，有BC=2HC，所以

专题03 三角形的证明——两线（中垂线和角平分线）考点一线段垂直平分线的性质【方法点拨】线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．【典例剖析】1．（2019秋•宁德期末）若有三点A、B、C不在同一条直线上，点P满足P A＝PB＝PC，则平面内这样的点P有（）A．1个B．2个C．1个或2个D．无法确定【点拨】平面内不在同一条直线的三个点就组成一个三角形．到AB距离相等的点在AB的垂直平分线上，到BC距离相等的点在BC的垂直平分线上，到AC距离相等的点在AC的垂直平分线上，而三角形三边的垂直平分线交于一点．【解析】解：到AB距离相等的点在AB的垂直平分线上，到BC距离相等的点在BC的垂直平分线上，到AC距离相等的点在AC的垂直平分线上，而三角形三边的垂直平分线交于一点．故选：A．2．（2019秋•大冶市期末）如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长为（）A．16 cm B．18cm C．26cm D．28cm【点拨】由DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，可得AE＝CE，继而可得△EBC的周长＝BC+AB．【解析】解：∵DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，∴AE＝CE，∵BC＝8cm，AB＝10cm，∴△EBC的周长为：BC+BE+CE＝BC+CE+AE＝BC+AB＝8+10＝18（cm）．故选：B．3．（2019秋•满城区期末）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（）A．14B．18C．20D．26【点拨】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，BC＝2BE＝8，根据三角形的周长公式计算即可．【解析】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，∵△ABC的周长为22，∴AB+BC+AC＝22，∴AB+AC＝14，∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14，故选：A．4．（2018秋•鞍山期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是19cm．【点拨】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD＝CD，AC＝2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，∴AB+BD+CD＝13cm，即AB+BC＝13cm，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．故答案为19．5．（2019秋•吉林期末）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长＝19cm．【点拨】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD＝CD，AC＝2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，∴AB+BD+CD＝13cm，即AB+BC＝13cm，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19（cm）．故答案为：19．6．（2018秋•临河区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD＝BD＝BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC 中点．其中正确的命题序号是（1）（2）（3）．【点拨】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形ABC的顶角为36°，求出各角的度数，然后对各选项分析判断后利用排除法求解．【解析】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∠ABD＝∠A＝36°，∴∠DBC＝72°﹣36°＝36°，∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴BD＝BC；（1）BD平分∠ABC正确；（2）AD＝BD＝CD正确；（3）△BDC的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝AB+BC，正确；（4）AD＝BD≠CD，所以D不是AC的中点，故本选项错误．故正确的命题是（1）（2）（3）．7．（2019•雨花区校级模拟）a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置，不写作法，保留痕迹．【点拨】连接MN，先画出a、b两线所组成的角的平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求．【解析】解：①以A为圆心，以任意长为半径画圆，分别交铁路a和公路b于点B、C；②分别以B、C为圆心，以大于BC为半径画圆，两圆相交于点D，连接AD，则直线AD即为∠BAC的平分线③连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于E、F，连接EF，则直线EF即为线段MN的垂直平分线；④直线EF与直线AD相交于点O，则点O即为所求点．同法点O′也满足条件．故答案为O或O′处．8．（2019春•滕州市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．【点拨】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案；（2）根据已知能推出2DE+2EC＝7cm，即可得出答案．【解析】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，∴∠C＝∠CAE，∵∠BAE＝40°，∴∠AED＝70°，∴∠C＝∠AED＝35°；（2）∵△ABC周长13cm，AC＝6cm，∴AB+BE+EC＝7cm，即2DE+2EC＝7cm，∴DE+EC＝DC＝3.5cm．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与P A相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，P A＝2，求线段DE的长．【点拨】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB ＝ED，于是得到结论；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根据勾股定理即可得到结论．【解析】解：（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝P A，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，则DE＝4.75．10．（2019秋•阜宁县期中）如图，已知△ABE，AB、AE边上的垂直平分线m1、m2交BE分别为点C、D，且BC＝CD＝DE，求∠BAE的度数．【点拨】由AB、AE边上的垂直平分线m1、m2交BE分别为点C、D，根据线段垂直平分线的性质，可得AC＝BC，AD＝DE，又由BC＝CD＝DE，易得△ACD是等边三角形，继而求得∠BAE的度数．【解析】解：∵AB、AE边上的垂直平分线m1、m2交BE分别为点C、D，∴AC＝BC，AD＝DE，∴∠B＝∠BAC，∠E＝∠EAD，∵BC＝CD＝DE，∴AC＝CD＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝∠ACD＝∠ADC＝60°，∴∠BAC＝∠EAD＝30°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAD+∠EAD＝120°．考点二角平分线的性质【方法点拨】角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE【典例剖析】1．（2019秋•宁德期末）如图，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若P A ＝2，则PQ的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【点拨】由垂线段最短可知当PQ⊥OM时PQ最小，当PQ⊥OM时，则由角平分线的性质可知P A＝PQ，可求得PQ＝2．【解析】解：∵垂线段最短，∴当PQ⊥OM时，PQ有最小值，又∵OP平分∠MON，P A⊥ON，∴PQ＝P A＝2，故选：B．2．（2019秋•博兴县期中）如图所示，在△ABC中，AC⊥BC，AE为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7cm，AC＝3cm，则BD等于（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【点拨】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE＝DE，再利用“HL”证明Rt△ACE和Rt △ADE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝AC，然后利用BD＝AB﹣AD代入数据进行计算即可得解．【解析】解：∵AC⊥BC，AE为∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴CE＝DE，在Rt△ACE和Rt△ADE中，，∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），∴AD＝AC，∵AB＝7cm，AC＝3cm，∴BD＝AB﹣AD＝AB﹣AC＝7﹣3＝4cm．故选：D．3．（2019秋•樊城区期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP 就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【点拨】过两把直尺的交点C作CE⊥AO，CF⊥BO，根据题意可得CE＝CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；【解析】解：（1）如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．4．（2019秋•包河区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的距离为4cm．【点拨】先由BC＝10cm，BD：DC＝3：2计算出DC＝4cm，由于∠ACB＝90°，则点D到AC的距离为4cm，然后根据角平分线的性质即可得到点D到AB的距离等于4cm．【解析】解：∵BC＝10cm，BD：DC＝3：2，∴DC＝4cm，∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．故答案为4cm．5．（2019秋•宁德期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10cm，BD＝7cm，则点D 到AB的距离为3cm．【点拨】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离＝CD＝3．【解析】解：∵BC＝10，BD＝7，∴CD＝3．由角平分线的性质，得点D到AB的距离等于CD＝3．故答案为：3．6．（2019秋•长春期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝4，则点D 到AB的距离为4．【点拨】直接根据角平分线的性质可得出结论．【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝4，∴点D到AB的距离为4．故答案为：4．7．（2019春•密山市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC 上，BE＝FC．求证：BD＝DF．【点拨】因为∠C＝90°，DE⊥AB，所以∠C＝∠DEB，又因为AD平分∠BAC，所以CD＝DE，已知BD＝DF，则可根据HL判定△CDF≌△EDB，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在△DCF和△DEB中，，∴△DCF≌△DEB，（SAS），∴BD＝DF．8．（2018秋•淮上区期末）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．求证：OC是∠AOB的平分线．【点拨】利用“HL”证明Rt△PFD和Rt△PGE全等，根据全等三角形对应边相等可得PD＝PE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【解析】证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD＝PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．9．（2019秋•蒙阴县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC 上，BD＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．【点拨】（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离即DE＝CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF＝EB；（2）设CF＝x，则AE＝12﹣x，再根据题意得出△ACD≌△AED，进而可得出结论．【解析】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．在△CDF与△EDB中，∵，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．在△ACD与△AED中，∵，∴△ACD≌△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．10．（2018秋•崇左期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．【点拨】（1）连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即可得DE＝DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BD＝CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE＝CF；（2）首先证得△AED≌△AFD，即可得AE＝AF，然后设BE＝x，由AB﹣BE＝AC+CF，即可得方程5﹣x＝3+x，解方程即可求得答案．【解析】（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，设BE＝x，则CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．考点三尺规组图【方法点拨】作图—尺规作图的定义（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．8．作图—基本作图基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．【典例剖析】1．（2019秋•苍南县期中）用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明△COE≌△DOE 的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【点拨】根据尺规作角的平分线的过程即可得结论．【解析】解：根据作图的过程可知：OC ＝OD ，CE ＝DE ，OE ＝OE∴△OCE ≌△ODE （SSS ）∴∠COE ＝∠DOE故选：A ．2．（2019秋•襄州区期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ； ②作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．若∠B ＝15°，则∠EAC 等于（ ）A ．22.5°B ．30°C ．45°D ．60°【点拨】由作图知DE 为AB 的垂直平分线，即可得∠BAE ＝∠B ＝15°，根据三角形外角的性质得∠AEC ＝30°，由∠C ＝90°可解答．【解析】解：由作图可知DE 为AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ，∴∠BAE ＝∠B ＝15°，∴∠AEC ＝∠B +∠BAE ＝15°+15°＝30°，∵∠C ＝90°，∴∠EAC ＝90°﹣30°＝60°，故选：D ．3．（2019秋•黄石期末）角平分线的作法（尺规作图）①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点；②分别以C 、D 为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ；③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求．角平分线的作法依据的是（ ）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA【点拨】连接CP 、DP ，由作图可证△OCP ≌△ODP ，则∠COP ＝∠DOP ，而证明△OCP ≌△ODP 的条件就是作图的依据．【解析】解：如下图④所示：连接CP 、DP在△OCP 与△ODP 中，由作图可知：{OC =ODCP =DP OP =OP∴△OCP ≌△ODP （SSS ）故选：A ．4．（2018秋•单县期末）如图，已知∠AOB ．小明按如下步骤作图：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于点E ．（2）分别以D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ． （3）画射线OC ．根据上述作图步骤，下列结论正确的有（ ）个①射线OC 是∠AOB 的平分线②点O 和点C 关于直线DE 对称③射线OC 垂直平分线段DE④OD ＝DCA ．1B ．2C ．3D ．4【点拨】利用基本作图得到OD ＝OE ，DC ＝EC ，则可判断△DOC ≌△EOC ，所以∠DOC ＝∠EOC ，于是可对①进行判断；同时根据线段的垂直平分线的判定方法对③进行判断；利用OD 与DC 不一定相等可对②④进行判断．【解析】解：由作法得OD ＝OE ，DC ＝EC ，而OC 为公共边，∴△DOC ≌△EOC （SSS ），∴∠DOC ＝∠EOC ，即OC 平分∠AOB ，所以①正确；∵OD 与DC 不一定相等，∴DE 不一定垂直平分OC ，所以②④错误；∵OD ＝OE ，DC ＝EC ，∴OC 垂直平分DE ，所以③正确．故选：B ．5．（2018秋•兴城市期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点，作直线MN 分别交AB 、AC 于点F 、D ，作DE ⊥BC 于E ．有下面三个结论：①BD 平分∠ABC②DE ＝DF③BC +CD ＝2AF其中，正确的结论的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【点拨】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ABC ＝∠C ＝72°，再利用基本作图得到MN 垂直平分AB ，则DA ＝DB ，所以∠DBA ＝∠A ＝36°，于是可对①进行判断；接着根据角平分线的性质可对②进行判断；通过计算出∠BDC ＝72°得到∠BDC ＝∠C ，则BC ＝BD ＝AD ，所以BC +CD ＝AC ＝AB ，然后利用AB ＝2AF 可对③进行判断．【解析】解：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°，由作法得MN 垂直平分AB ，∴DA ＝DB ，∴∠DBA ＝∠A ＝36°，∴BD 平分∠ABC ，所以①正确；∵DF ⊥BF ，DE ⊥BE ，∴DE ＝DF ，所以②正确；∵∠BDC ＝∠A +∠ABD ＝36°+36°＝72°，∴∠BDC ＝∠C ，∴BC ＝BD ＝AD ，∴BC +CD ＝AC ＝AB ，∵MN 垂直平分AB∴AB ＝2AF ，∴BC +CD ＝2AF ，所以③正确．故选：A ．6．（2019秋•硚口区期中）如图，在△ABC 中，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 、N ，直线MN 与AC 、BC 分别相交于E 和D ，连接AD ，若AE ＝3cm ，△ABC 的周长为13cm ，则△ABD 的周长是（ ）A ．7cmB ．10cmC ．16cmD ．19cm【点拨】利用基本作图得到MN 垂直平分AC ，根据线段垂直平分线的性质得到AE ＝CE ＝3，DA ＝DC ，再利用三角形周长的定义和等线段代换得到AB +BD +DA 的值即可．【解析】解：由作法得MN 垂直平分AC ，∴AE ＝CE ＝3，DA ＝DC ，∵△ABC 的周长为13cm ，即AB +BC +AC ＝13，∴AB +BD +DA +6＝13，即AB +BD +DA ＝7，∴△ABD 的周长为7cm ．故选：A ．7．（2019秋•临颍县期中）如图是尺规作图法作∠AOB 的平分线OC 时的痕迹图，能判定△OMC ≌△ONC 的理由是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．HL【点拨】根据角平分线的作图方法解答．【解析】解：根据角平分线的作法可知，OM ＝ON ，CM ＝CN ，又∵OC 是公共边，∴△OMC ≌△ONC 的根据是“SSS ”．故选：A ．8．（2019秋•潍城区期中）如图，已知∠AOB ．按照以下步骤作图：①以点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB 的两边于C ，D 两点，连接CD ．②分别以点C ，D 为圆心，以大于12CD 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点E ，连接CE ，DE ③连接OE 交CD 于点M ．下列结论中不一定正确的是A ．∠CEO ＝∠DEOB ．CM ＝MDC ．∠OCD ＝∠ECD D ．S 四边形OCED =12CD •OE【点拨】利用基本作图得出角平分线的作图，进而解答即可．【解析】解：由作图步骤可得：OE 是∠AOB 的角平分线，∴∠CEO ＝∠DEO ，CM ＝MD ，S 四边形OCED =12CD •OE ，但不能得出∠OCD ＝∠ECD ，故选：C ．9．（2019秋•惠州期末）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．（1）根据作图判断：△ABD 的形状是 等腰三角形 ；（2）若BD ＝10，求CD 的长．【点拨】（1）利用垂直平分线的性质即可解决问题．（2）利用直角三角形30度的性质解决问题即可．【解析】解：（1）由作图可知，MN 垂直平分线段AB ，∴DA ＝DB ，∴△ADB 是等腰三角形．故答案为等腰三角形．（2）∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠CAB ＝90°﹣30°＝60°，∵DA ＝DB ＝10，∴∠DAB ＝∠B ＝30°，∴∠CAD ＝30°，∴CD =12AD ＝5．10．（2019秋•长春期末）如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于12EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，连接AP ，交CD 于点M ，若∠ACD ＝110°，求∠CMA 的度数．【点拨】根据AB ∥CD ，∠ACD ＝110°，得出∠CAB ＝70°，再根据AM 是∠CAB 的平分线，即可得出∠MAB 的度数．【解析】解：∵AB ∥CD ，∴∠ACD +∠CAB ＝180°，又∵∠ACD ＝110°，∴∠CAB ＝70°，由作法知，AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB =12∠CAB ＝35°，又∵AB ∥CD ，∴∠CMA ＝∠BAM ＝35°．。

知1－讲
例2 如图，△ABC中，AD是△ABC的角平分线， DE∥AC，DF∥AB，EF交AD于点O，请问DO是 △DEF的角平分线吗？说明理由．
导引：要知道DO是不是△DEF的角平分线，只需要知 道∠EDO与∠FDO是否相等．若相等，根据三角 形的角平分线的定义即可判定．
解： DO是△DEF的角平分线．理由如下： 因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠DAB＝∠DAC(角平分线定义)． 因为DE∥AC，DF∥AB， 所以∠DAC＝∠ADE，∠DAB＝∠ADF (两直线平行，内错角相等)， 所以∠ADE＝∠ADF(等量代换)， 所以DO是△DEF的角平分线．
（来自教材）
知1－讲
1. 定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交， 顶点和交点之间的线段叫这个三角形的角平分线． 2. 位置图例：任何三角形的三条角平分线交于一点， 且该点在三角形的内部，这点叫这个三角形的内 心．如图.
知1－讲
3. 表达方式： (1)AD是△ABC的角平分线； (2)AD平分∠BAC交BC于点D； (3)∠BAD＝∠CAD＝∠1 BAC. 注：上述三种情况都表2示同一意义，即AD是△ABC 的角平分线，选用哪种表示法，应根据解题需要.
知2－练
1 如图，BD是△ABC的中线，AC的长为5cm， △ABD与△BDC的周长之差为3cm，AB的长为 13cm，求BC的长．
知2－练
2 已知三角形的三条中线交于一点，则下列结论：① 这一点在三角形的内部；②这一点有可能在三角形 的外部；③这一点是三角形的重心．其中正确的结 论有________．(填序号)
9.1三角形
第9章多边形
第2课时三角形中三种 主要线段
1 课堂讲解 2 课时流程
三角形的角平分线 三角形的中线 三角形的高

⑵
AD、AE分别是△ABC的 BC边上的中线，△ABD的 周长比△ADC的周长多3cm， AB=5，求AC的长以及 △ABD与△ADC的面积关系.
⑶在△ABC中,AB=AC,AC边上
的中线BD把三角形的周长分 为12cm和15cm的两部分，求 三角形的各边.
/ 酷纹身
A
B
H
C
三角形几何语言的使 如图,根据具体情况使用以下任何一种方法表示: 用 1. 三角形的角平分线的表示法:
A
(1)AD是△ABC的角平分线; (2)AD平分∠BAC,交BC于D; (3)如果AD是△ABC的角平分线,那么 1 B ∠BAD=∠DAC= 2 ∠BAC; DA 2.三角形的中线的表示法: (1)AE是△ABC的中线; (2)AE是△ABC中BC边上的中线; (3)如果AE是△ABC的中线,那么 B 1 E BE=EC= 2 BC; A 3.三角形的高的表示法: (1)AF是△ABC的高; (2)AF是△ABC中BC边上的高; (3)若AF是△ABC的高,则AF⊥BC于F; B F (4)如果AF是△ABC的高,那么∠AFB=∠AFC=90°.
A
三角形的重要线段
1．三角形一个角的平分线与 这个角的对边相交，这个角 的顶点和交点之间的线段叫 做三角形的 角平分线 ． B 2．在三角形中，连结一个顶 点和它的 对边中点 的线段叫 做三角形的中线．
三角形有三条角中线,都在三 角形的内部,且它们相交于一 B 点,这个交点叫做三角形的重心.
A
三角形有三条角平分线,都在三角形的内部,且它 们相交于一点,这个交点叫做三角形的内心.
三角形中三条重要的线段
复习
三角形的概念
1.三角形: 由不在同一条直线上 的三条线段首尾顺次相接 所组成的图形叫做三角形. B C 组成三角形的线段叫做三角形的 边 相邻两边的公共端点叫做三角形的 顶点 相邻两边所组成的角叫字母表示,例如: 三角形ABC表示为“△ABC”,读做“三角形 ABC”.