专题02 三角形中线段的问题知识对接考点一、三角形中的线段三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.1．内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.2．外心：三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等.3．重心：三角形三条中线的交点，它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.4．垂心：三角形三条高线的交点.5．三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.要点补充：(1)三角形的内心、重心都在三角形的内部.(2)钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.(3)直角三角形的垂心为直角顶点，外心为直角三角形斜边的中点.(4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部.专项训练一、单选题1．（2021·湖南长沙·）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A ．两点确定一条直线B ．两点之间线段最短C ．三角形的稳定性D ．垂线段最短【答案】C【分析】 A ，O ，B 三点构成了三角形，窗钩AB 可将其固定，则是利用了三角形的稳定性．【详解】解：∵A ，O ，B 三点构成了三角形，且窗钩AB 可将其固定∵其原理是利用了三角形的稳定性． 本号资料皆来源于微信公众号：数学*第六感故选项为：C ．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形稳定性的意义是解本题的关键．2．（2021·浙江）如图，在矩形ABCD 中，点F 为边AD 上一点，过F 作//EF AB 交边BC 于点E ，P 为边AB 上一点，PH DE ⊥交线段DE 于H ，交线段EF 于Q ，连接DQ ．当AF AB =时，要求阴影部分的面积，只需要知道下列某条线段的长，该线段是（ ）A ．EFB ．DEC ．PHD ．PE【答案】B【分析】过Q 作QG ∵AB 于G ，由//EF AB ，可得QG ∵FE ，∵AGQ =∵FQG =90°，由四边形ABCD 为矩形，可得∵A =90°，可证四边形AGQF 为矩形，可得GQ =EF ，∵DFE =∵PGQ =90°，可证∵PGQ ∵∵DFE （ASA ），可得PQ =DE ，S 阴影=S ∵PED -S ∵QED =212DE 即可． 【详解】解：过Q 作QG ∵AB 于G ，∵//EF AB ，∵QG ∵FE ，∵∵AGQ =∵FQG =90°，∵四边形ABCD 为矩形，∵∵A =90°，∵∵AGQ =∵FQG =∵A =90°∵四边形AGQF 为矩形，∵GQ =AF =AB =EF ，∵DFE =∵PGQ =90°，∵∵PQG +∵EQH =90°，PH DE ⊥∵∵HEQ +∵EQH =90°，∵∵PQG =∵HEQ =∵DEF ，在∵PGQ 和∵DFE 中PGQ DFE GQ FEPQG DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵∵PGQ ∵∵DFE （ASA ），∵PQ =DE ，∵S 阴影=S ∵PED -S ∵QED =()211111=22222PH DE QH DE PH QH DE PQ DE DE ⋅-⋅-⋅=⋅=． 故选择：B ．【点睛】本题考查矩形性质与判定，三角形全等判定与性质，三角形面积，掌握矩形性质与判定，三角形全等判定与性质，阴影面积的求法是解题关键．3．（2021·上海金山·九年级二模）已知三条线段长分别为2cm 、4cm 、acm，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么a的取值可以是（）A．1cm B．2cm C．4cm D．7cm【答案】C【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再一一比较即可．【详解】解：依题意有4﹣2＜a＜4+2，解得：2＜a＜6．只有选项C在范围内．故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟悉掌握三角形的定义是解题的关键．4．（2021·青海西宁·九年级一模）下列事件中，属于必然事件的是（）A．某个数的绝对值大于0B．a-一定是负数C．五边形的外角和等于540︒D．长分别为3,4,6的三条线段能围成一个三角形【答案】D【分析】直接利用随机事件以及确定事件的定义分析得出答案．【详解】A、某个数的绝对值大于0，是随机事件，故A错误；a-=，即a-一定是负数是随机事件，故B错误；B、当0a=时，0C、任意一个五边形的外角和等于540°，是不可能事件，任意一个五边形的外角和等于360°，故C错误；D、根据三角形两边之和大于第三边，可知长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形，是必然事件，故D正确，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是随机事件以及确定事件，解题的关键是熟练的掌握随机事件以及确定事件.5．（2021·江苏九年级专题练习）下列说法正确的是（）．A．方差越大，数据波动越小B．两直线平行，同旁内角相等C．长为3cm，3cm，5cm的三条线段可以构成一个三角形D．学校在初三3100名同学中随机抽取300名同学进行体考成绩调查，300名同学为样本【答案】C【分析】根据方差的意义、平行线的性质、三角形三边关系及样本的概念逐一判断，即可得到答案．【详解】方差越小，数据波动越小，A选项错误；两直线平行，同旁内角互补，B选项错误；长为3cm，3cm，5cm的三条线段可以构成一个三角形，C选项正确；学校在初三3100名同学中随机抽取300名同学进行体考成绩调查，300名同学的体考成绩为样本，D选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了方差、平行线、三角形、统计调查的知识；解题的关键是熟练掌握方差、平行线、三角形三边关系、样本的性质，从而完成求解．6．（2021·江苏九年级一模）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（）A．3，7，5B．4，8，5C．5，12，7D．7，13，8【答案】C【分析】根据两边之和等于第三边的原则去判断即可【详解】∵3+5＞7，∵能构成三角形，不符合题意；∵4+5＞8，∵能构成三角形，不符合题意；∵7+5=12，∵不能构成三角形，符合题意；∵8+7＞13，∵能构成三角形，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了三角形的存在性，熟练掌握两边之和大于第三边是判断的根本标准．7．（2021·全国）如图，已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点G 是ABC 的重心，GE AC ⊥，垂足为E ，如果8CB =，则线段GE 的长为（ ）A ．53B ．73C ．83D ．103【答案】C【分析】因为点G 是ABC 的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1，可知点D 为BC 的中点，21AG GD =，根据GE AC ⊥，可得90AEG ∠=︒，进而证得AEG △∵ACD △，从而得到EG AG CD AD=，代入数值即可求解． 【详解】如图，连接AG 并延长交BC 于点D ．点G 是ABC 的重心，∴点D 为BC 的中点，21AG GD =， 8CB =，∴142CD BD BC ===， GE AC ⊥，∴90AEG ∠=︒，90C ∠=︒，∴90AEG C ∠=∠=︒，EAG CAD ∠=∠（公共角），∴AEG △∵ACD △， ∴EG AG CD AD=， 21AG GD =， ∴23AG AD =， ∴243EG AG AD ==， ∴83EG =． 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．8．（2021·山东）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ）A ．14B ．12 C ．35 D ．34【答案】B【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7；2、6、7；4、6、7； 其中能构成三角形的有2、6、7；4、6、7这两种情况， 所以能构成三角形的概率是2142=， 故选：B ．【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n．构成三角形的基本要求为两小边之和大于最大边． 9．（2021·全国）若平行四边形的两条对角线长为6 cm 和16 cm ，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是( )A ．5cmB ．8cmC ．12cmD ．16cm【答案】B【分析】平行四边形的两条对角线互相平分，根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行判断．【详解】由题意可知，平行四边形边长的取值范围是：8-3＜边长＜8+3，即5＜边长＜11．只有选项B 在此范围内，故选B ．【点睛】本题主要考查了平行四边形对角线互相平分这一性质，此类求三角形第三边的范围的题目，解题的关键是根据三角形三边关系定理列出不等式，再求解．10．（2021·福建）如图，AD 经过ABC 的重心，点E 是AC 的中点，过点E 作//EG BC 交AD 于点G ，若12BC ，则线段GE 的长为（ ）A ．6B ．4C ．5D ．3【答案】D【分析】根据重心的概念得到点D为BC中点，即CD的长，再根据平行证明∵AGE∵∵ADC，结合点E是AC中点，得到12AE GEAC CD==，从而求出GE.【详解】解：∵AD经过ABC的重心，∵点D是BC中点，∵BC=12，∵CD=BD=6，∵GE∵BC，∵∵AGE∵∵ADC，∵点E是AC中点，∵12AE GEAC CD==，即162GE=，解得：GE=3，故选D.【点睛】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键.二、填空题11．（2021·靖江市靖城中学九年级一模）过∵ABC的重心G作GE∵BC交AC于点E，线段BC＝12，线段GE长为________．【答案】4【分析】根据三角形的重心的性质得到AD是∵ABC的中线，2 , 3AGAD=根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【详解】解：如图，∵点G是∵ABC的重心，∵AD是∵ABC的中线，2,3 AGAD=12,BC=∵CD=12BC=6，∵GE∵BC，∵∵AGE∵∵ADC，∵2,3 GE AGCD AD==即2,63GE=解得，GE=4．故答案为：4.【点睛】本题考查的是三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，掌握三角形的重心的性质是解题的关键. 12．（2021·沙坪坝·重庆一中九年级三模）从长度分别为1，3，5，6的四条线段中，随机抽取两条线段，与长度为8的线段恰好能围成三角形的概率是______．【答案】1 3【分析】利用列举法求出所有等可能的结果数，然后根据三角形三边关系求得三条线段能围成三角形的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：从长度分别为1，3，5，6的四条线段中，随机抽取两条线段，它们为1、3；1、5；1、6；3、5；3、6；5、6共6种等可能的结果数，其中与长度为8的线段恰好能围成三角形的结果数有2种，∵与长度为8的线段恰好能围成三角形的概率为21 63 =，故答案为：13．【点睛】本题考查列举法求概率、三角形的三边关系，熟记求概率公式，掌握三角形的三边关系是解答的关键．13．（2021·扬州中学教育集团树人学校）如图，在Rt∵ABC中，AC＝BC＝2，∵ACB＝90°，正方形BDEF，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是___．1．【分析】延长EF到G，使FG=EF，连接AG，根据三角形的三边关系确定AG的取值范围，再根据FM是∵AEG的中位线得出FM=12AG，得出FM的取值范围即可．【详解】解：延长EF到G，使FG=EF，连接AG，BG，∵在Rt∵ABC中，AC=BC=2，∵AB，∵正方形BDEF∵∵BFG为等腰直角三角形，∵BG=2，∵AB-BG≤AG≤AB+BG（共线时相等），即2≤AG，∵F为EG的中点，M为AE的中点，故FM是∵AEG的中位线，∵FM=12 AG，1≤FM1，1．【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，三角形中位线定理等知识点，根据三角形三边关系得出AG的取值范围是解题的关键．14．（2021·浙江杭州市·九年级模拟预测）如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，那么抽取的三条线段能构成三角形的概率是_______．【答案】12【分析】根据构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可．【详解】∵从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段∵可能有：2、4、6；2、6、7；4、6、7；2、4、7四种可能性又∵构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边∵符合条件的有：2、6、7；4、6、7两种故概率为：21 = 42故答案为：12【点睛】本题考查构成三角形的条件以及概率的计算，掌握构成三角形的三边之间的关系是解题关键．15．（2021·湖北襄阳市·）从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为_______________．【答案】1 4【详解】解：画树状图为：共有24种等可能的结果数，其中能构成三角形的结果数为6，所以能构成三角形的概率=624=14．故答案为14． 三、解答题16．（2021·江苏泰州中学附属初中九年级三模）如图，已知抛物线2y x mx n =-++和直线y x =，抛物线顶点为A ，与y 轴交点为B ，直线y x =与抛物线对称轴交于点C ．（1）抛物线顶点坐标为 （用m ，n 表示），（2）当抛物线的顶点落在直线21y x =+上时，求n 的最大值．（3）若四边形ABOC 为平行四边形∵求m 的值．∵若直线y x =与抛物线在对称轴右侧部分的交点为D ，当BOD 为直角三角形时，求n 的值．∵过C 点作线段CE AC ⊥，设CE=a ，是否存在实数a 值使ACE 的重心恰好落在抛物线上，若存在直接写出a 和n 的关系式，若不存在，请说明理由．【答案】（1）A 2(,)24m m n +；（2）2；（3）∵2；∵2或6；∵存在，26a n = 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标公式求解即可；（2）将（1）的结果代入直线21y x =+得到n 关于m 的函数，根据求二次函数的最值方法求解即可； （3）∵根据题意若四边形ABOC 为平行四边形，根据已知条件写出,,A B C 的坐标，由BO AC =即可求得m 的值；∵当BOD 为直角三角形时，分为90DBO ∠=︒,90BDO ∠=︒两种情况，由题意可知BOD 是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质即可求得n 的值；∵过C 点作线段CE AC ⊥，设点E 在抛物线的左侧，根据抛物线的对称性可知，E 点在抛物线的右侧情况和左侧一致，设AE 的中点为P ，CE 的中点为Q ，,AQ CP 的交点G 即为AEC 的重心，分别求得,AQ CP 的解析式，再求直线交点坐标，将交点G 的坐标代入抛物线解析式即可求得a 和n 的关系式．【详解】（1）抛物线2y x mx n =-++，1,,a b m c n =-==，22A b m x a =-=，22244444A ac b n m m y n a ---===+-， 2(,)24m m A n ∴+， 故答案为：A 2(,)24m m n +； （2）当抛物线的顶点落在直线21y x =+上时，22142m m n +=⨯+， 2221111(44)2(2)2444n m m m m m ∴=-++=--++=--+， 当2m =时，n 取得最大值，最大值为2，（3）∵A 2(,)24m m n +，点C 在y x =上， (,)22m m C ∴， 2y x mx n =-++与y 轴交点为B ，令0x =，则(0,)B n ，若四边形ABOC 为平行四边形，则BO AC =， 即242m m n n =+-， 解得120,2m m ==，0m =时，对称轴0x =，此时,A B 重合，故舍去，2m ∴=，∴22y x x n =-++，∵当BOD 为直角三角形时，分为90DBO ∠=︒,90BDO ∠=︒两种情况，设AC 于x 轴交于点F ， (,)22m mC ，,22mmCF OF ∴==，45COF OCF ∴∠=∠=︒，45BOD ∴∠=︒，当90DBO ∠=︒时，则BD y ⊥轴，BD OB ∴=，OB n =，BD n ∴=，(,)D n n ∴，代入22y x x n =-++，解得120,2n n ==，D 在对称轴右侧部分，2n ∴=，当90BDO ∠=︒时，如图，过点D 作DM y ⊥轴，垂足为M ，45BOD ∠=︒，45OBD ∴∠=°，BD OD ∴=，122n DM OB ∴==， 122n OM OB ∴==， (,)22n n D ∴， 代入22y x x n =-++，解得120,6n n ==，D 在对称轴右侧部分，6n ∴=，综上所述，2n =或者6n =；∵存在，理由如下：过C 点作线段CE AC ⊥，设点E 在抛物线的左侧，根据抛物线的对称性可知，E 点在抛物线的右侧情况和左侧一致，设AE 的中点为P ，CE 的中点为Q ，,AQ CP 的交点G 即为AEC 的重心，CE a=，(1,1)C，∴(1,1)E a-，22y x x n=-++，(1,1)A n∴+，1111(,)22a nP+-++∴，即(1,1)22a nP-+，(1,1)2aQ-，设直线AQ的解析式为y cx d=+，则11(1)2n c dac d+=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得221ncand na⎧=⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，∴直线AQ的解析式为221n nnayax++-=，设直线CP的解析式为1y kx b=+，则1(1)221n ak bk b⎧+=-+⎪⎨⎪=+⎩，解得1nkanba⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴直线CP的解析式为11n ny xa a=-++，12211n ny x na an ny xa a⎧=++-⎪⎪∴⎨⎪=-++⎪⎩，解得1313axny⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即(1,1)33a nG-+，ACE的重心恰好落在抛物线22y x x n=-++上，∴21(1)2(1)333n a an+=----+，解得26a n =．∴a 和n 的关系式为26a n =．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，直角三角形的性质，三角形的重心，二次函数的性质，待定系数法一次函数求解析式，求两直线交点坐标，综合运用以上知识是解题的关键．17．（2021·广西南宁十四中九年级）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点坐标分别是()2,2A 、()4,0B 、()4,4C -．（1）请画出ABC 绕点A 顺时针旋转90︒得到的11AB C △；（2）若点D 在线段11B C 上，且直线AD 将11AB C △分成面积相等的两部分，请画出线段AD ，并写出D 的坐标．【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，(2,0)D -【分析】（1）根据题意将ABC 绕点A 顺时针旋转90︒，即将,AB AC 绕点A 顺时针旋转90︒，得到11,AB AC ，连接11B C 即可，则11AB C △即为所求；（2）根据三角形中线的性质，找到11AB C △，11B C 的中点，连接AD 即可，根据坐标系写出D 点的坐标即可．【详解】（1）如图，将ABC 绕点A 顺时针旋转90︒，即将,AB AC 绕点A 顺时针旋转90︒，得到11,AB AC ，连接11B C即可，则11AB C △即为所求；（2）如图，根据三角形中线的性质，找到11AB C △，11B C 的中点，连接AD ，则(2,0)D【点睛】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 18．（2021·陕西西安·）问题提出（1）如图∵，在Rt ∵ABC 中，∵A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，在BC 上找一点D ，使得AD 将∵ABC 分成面积相等的两部分，作出线段AD ，并求出AD 的长度；问题探究（2）如图∵，点A 、B 在直线a 上，点M 、N 在直线b 上，且a ∵b ，连接AN 、BM 交于点O ，连接AM 、BN ，试判断∵AOM 与∵BON 的面积关系，并说明你的理由；解决问题（3）如图∵，刘老伯有一个形状为筝形OACB 的养鸡场，在平面直角坐标系中，O （0，0）、A （4，0）、B （0，4）、C （6，6），是否在边AC 上存在一点P ，使得过B 、P 两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP 的表达式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）图见解析，52；（2）S∵AOM＝S∵BON，理由见解析；（3）存在，549y x=-+【分析】（1）当点D是BC的中点时，AD将∵ABC分成面积相等的两部分，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一般，可求出AD的长度；（2）根据同底等高的三角形面积相等，再减去相等的部分，就可以得出∵AOM与∵BON的面积相等；（3）连接AB，过点O作AB的平行线，交CA的延长线于点F，连接BF，交OA于点G，则∵OBG的面积等于∵AFG的面积，则四边形OACB的面积转化为∵BCF的面积，取CF的中点P，求出点P的坐标，即可求出直线BP的表达式．【详解】（1）如图∵，取BC边的中点D，连接AD，则线段AD即为所求．在Rt∵ABC中，∵BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∵BC25AC+=，∵点D为BC的中点，∵AD＝12BC＝52．（2）S∵AOM＝S∵BON，理由如下：由图可知，S∵AOM＝S∵ABM﹣S∵AOB，S∵BON＝S∵ABN﹣S∵AOB，如图∵，过点M作MD∵AB于点D，过点N作NE∵AB于点E，∵MD∵NE，∵MDE＝90°，又∵MN∵DE，∵四边形MDEN 是矩形， ∵MD ＝NE ，∵S ∵ABM ＝12AB MD ⋅⋅，S ∵ABN ＝12AB NE ⋅⋅，∵S ∵ABM ＝S ∵ABN ， ∵S ∵AOM ＝S ∵BON ．（3）存在，直线BP 的表达式为：y ＝59-x +4．如图∵，连接AB ，过点O 作OF ∵AB ，交CA 的延长线于点F ，连接BF ，交OA 于点G ，由（2）的结论可知，S ∵OBG ＝S ∵AFG ， ∵S 四边形OACB ＝S ∵BCF ，取CF 的中点P ，作直线BP ，直线BP 即为所求． ∵A (4,0)，B (0,4)，C (6,6)，∵线段AB 所在直线表达式为：y ＝﹣x +4， 线段AC 所在直线的表达式为：y ＝3x ﹣12， ∵OF ∵AB ，且直线OF 过原点， ∵直线OF 的表达式为：y ＝﹣x ，联立312y x y x =-⎧⎨=-⎩，解得33x y =⎧⎨=-⎩，∵F （3，﹣3）， ∵点P 是CF 的中点， ∵P 93(,)22，∵直线BP 的表达式为：y ＝59-x +4．【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形一边上的中线的性质以及待定系数法求一次函数解析式等内容，作出辅助线并进行面积转化是解决本题第三问的关键．19．（2021·陕西九年级一模）问题提出：（1）如图1，在∵ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝4，在BC上找一点D，使得线段AD将∵ABC分成面积相等的两部分，画出线段AD，并写出AD的长为．问题探究：（2）如图2，点D是∵ABC边AC上一定点，在BC上找一点E，使得线段DE将∵ABC分成面积相等的两部分，并说明理由．问题解决：（3）如图3，四边形ABCD是西安市高新区新近改造过程中的一块不规则空地，为了美化环境，市规划办决定在这块地里种植两种花卉，打算过点C修一条笔直的通道，以便市民出行观赏花卉，要求通道两侧种植花卉的面积相等，经测量AB＝20米，AD＝100米，∵A＝60°，∵ABC＝150°，∵BCD＝120°，若将通道记为CF，请你画出通道CF，并求出通道CF的长．【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；理由见解析（3）画图见解析；CF=35【分析】（1）如图1中，取BC的中点D，连接AD，线段AD即为所求．再根据等腰三角形的“三线合一”及利用勾股定理求解即可．（2）如图2中，取BC的中点F，连接AF，DF，过点A作AE∵DF交BC于E，则直线DE平分∵ABC的面积．（3）如图3中，延长AB交DC的延长线于T，过点C作CE∵AD于E．求出四边形ABCD的面积，利用三角形的面积公式求出DF，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，取BC的中点D，连接AD，线段AD即为所求．∵AB＝AC，BD＝DC，∵AD∵BC，在Rt∵ABD中，∵∵ADB＝90°，AB＝5，BD＝2，∵AD（2）如图2中，取BC的中点F，连接AF，DF，过点A作AE∵DF交BC于E，则直线DE平分∵ABC 的面积．理由如下：∵BF＝FC，∵S∵ABF＝S∵ACF，∵DF∵AE，∵S∵AEF＝S∵AED，S∵ABC，∵S四边形ABED＝S∵ABE+S∵ADE＝S∵ABE+S∵AEF＝S∵ABF＝12∵直线DE平分∵ABC的面积．（3）如图3中，延长AB交DC的延长线于T，过点C作CE∵AD于E．∵∵A＝60︒，∵ABC＝150︒，∵BCD＝120︒，∵∵D ＝3606015012030︒︒︒︒︒﹣﹣﹣＝ ，18015030TBC ∠︒︒︒＝﹣＝ ， ∵180603090T ∠︒︒︒︒＝﹣﹣＝ ， ∵AD ＝100m ，AB ＝20m ，∵AT ＝12 AD ＝50（m ），DT AT ＝（m ），BT ＝AT ﹣AB ＝30（m ），∵CT ＝＝，CD ＝DT ﹣CT ＝， ∵CE∵AD ， ∵∵CED ＝90°，∵CE ＝12 CD ＝（m ），DE EC ＝60（m ），∵S 四边形ABCD ＝S ∵ADT ﹣S ∵BCT ＝12×50×－12×30×m 2）， ∵直线CF 平分四边形ABCD 的面积，∵S ∵CDF ＝（m 2），∵12 •DF•EC ，∵DF ＝55（m ）， ∵EF ＝DE ﹣DF ＝5（m ），∵CF ＝35．【点睛】本题主要以三角形中线把三角形的面积平均分成相等的两部分为出发点来考查学生对几何综合的运用，同时也考查了等腰三角形、平行、勾股定理等知识的运用，本题的关键是通过找到面积平分来解决问题． 20．（2021·泗水县教育和体育局教学研究中心）（数学经验）三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．（经验发展）面积比和线段比的联系：（1）如图1，M 为∵ABC 的AB 上一点，且BM =2AM ．若∵ABC 的面积为a ，若∵CBM 的面积为S ，则S =_______(用含a 的代数式表示)．（结论应用）（2）如图2，已知∵CDE 的面积为1，14CD AC =，13CE CB =，求∵ABC 的面积． （迁移应用）（3）如图3．在∵ABC 中，M 是AB 的三等分点(13AM AB =)，N 是BC 的中点，若∵ABC 的面积是1，请直接写出四边形BMDN 的面积为________．【答案】（1）23a（2）12（3）512【分析】（1）根据三角形的面积公式及比例特点即可求解；（2）连接AE，先求出∵ACE的面积，再得到∵ABC的面积即可；（3）连接BD，设∵ADM的面积为a，则∵BDM的面积为2a,设∵CDN的面积为b，则∵BDN的面积为b，根据图形的特点列出方程组求出a,b,故可求解．【详解】（1）设∵ABC中BC边长的高为h，∵BM=2AM．∵BM=23 AB∵S=12BM×h=12×23AB×h=23S∵ABC=23a故答案为：23 a；（2）如图2，连接AE，∵14 CD AC=∵CD=14 AC∵S∵DCE=14S∵ACE =1∵S∵ACE =4，∵13 CE CB=∵CE=13 CB∵S∵ACE=13S∵ABC =4∵S∵ABC=12；（3）如图3，连接BD ，设∵ADM 的面积为a ， ∵13AM AB =∵BM=2AM,BM=23AB ，∵S ∵BDM =2S ∵ABM =2a, S ∵BCM =23S ∵ABC =23设∵CDN 的面积为b ， ∵N 是BC 的中点， ∵S ∵CDN =S ∵BDN =b ，S ∵ABN =12S ∵ABC =12∵122223a a b b b a ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得11214a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∵四边形BMDN 的面积为2a+b=512故答案为512．【点睛】此题主要考查三角形面积公式的应用，解题的关键是根据题意找到面积的之间的关系．21．（2021·江苏南京·）已知线段AB 与点O ，利用直尺和圆规按下列要求作∵ABC （不写作法，保留作图痕迹）．（1）在图∵中，点O 是∵ABC 的内心； （2）在图∵中，点O 是∵ABC 的重心．【答案】（1）见解析，（2）见解析 【分析】（1）分别作∵OAC=∵OAB，∵OBA=∵OBC，两边交点为C，∵ABC即为所求；（2）作AB的垂直平分线，根据重心的性质可确定出C点，则∵ABC即为所求.【详解】解：（1）如图∵，∵ABC即为所求；（2）如图∵，∵ABC即为所求．【点睛】本题考查了尺规作图以及三角形内心和重心的性质，熟练掌握三角形内心是三角形内角角平分线交点，三角形重心是三边中线交点是解题关键.22．（2021·陕西九年级二模）（1）如图1，AB是∵○的弦，点P在∵○上，当∵P AB是直角三角形时，请在图1中画出点P的位置；（2）如图2，∵○的半径为4，A、B为∵○外固定两点（O、A、B三点不在同一直线上），且8OA=，P为∵○上的一个动点（点P不在直线AB上），以PA和AB为邻边作平行四边形P ABC，求BC最小值；（3）如图3，A、B是∵○上的两个点，过A点作射线AM AB⊥，AM交∵○于点C，若3AB=，4AC=，点D是平面内的一个动点，且2CD=，E为BD的中点，在点D的运动过程中，求线段AE长度的最大值与最小值．【答案】（1）见解析；（2）4；（3）最大值为72；最小值为32【分析】（1）根据圆周角定理作图；（2）根据平行四边形的性质得到BC AP =，根据线段的性质计算；（3）连接BC ，根据勾股定理求出BC ，根据直角三角形的性质求出OA ，根据三角形中位线定理求出OE ，根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：（1）如图1，APB ∆、∵AP B '是直角三角形；（2）四边形PABC 是平行四边形，BC AP ∴=，BC ∴的最小值即AP 的最小值， 当P 为OA 与O 的交点时，AP 最小，AP ∴的最小值为8－4＝4，即BC 的最小值为4；（3）连接BC ，∵AM AB ⊥， ∵90CAB ∠=︒， ∵BC 是∵○的直径．∵点D 是平面内的一个动点，且2CD =，∵点D 的运动路径为以C 为圆心，以2为半径的圆， ∵BC 是∵○的直径，∵O是BC的中点．在Rt ABC中，5BC==．∵O是Rt ABC斜边BC上的中点，∵1522 AO BC==．∵E是BD的中点，O是BC的中点，∵112OE CD==．∵AE的最小值是32 AO-OE=，最大值是72 AO+OE=．【点睛】本题考查的是圆的知识，掌握平行四边形的性质、圆周角定理、三角形的三边关系是解题的关键．23．（2021·黑龙江九年级一模）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中确定点C，点C在小正方形的顶点上，请你连接CA，CB，BC＝；（2）在（1）确定点C后，在网格内确定点D，点D在小正方形的顶点上，请你连接CD，BD，CD∵AB，∵CDB的面积为6，直接写出∵CBD的正切值．【答案】（1）见解析；（2）35．【分析】（1）BC＝=BC应是44⨯方格的对角线；（2）由三角形面积公式可求CD的长度，结合//CD AB，可确定D点的位置，作DH∵BC于点H，再由三角形面积公式可求DH，由勾股定理可求BH，从而可求∵CBD的正切值．【详解】解：（1）BC ＝ BC 应是44⨯方格的对角线，作图如下；（2）∵1462CDB S CD ∆=•⨯=， ∵CD =3， ∵//CD AB ，∵可确定D 点位置如图所示，∵BD ∵作DH ∵BC 于点H ，又∵162CDB S BC DH ∆=••=，BC ＝∵DH =∵BH == ∵3tan 5DH CBD BH ∠== 【点睛】本题主要考查作图、三角形的面积、勾股定理、锐角三角函数及数形结合思想的运用，解题的关键是熟练掌握各。
