三角形中重要线段

三角形的三种重要线段中线角平分线高线文字语言在三角形中，连接一个顶点与它对边在三角形中，一个内角的平从三角形的一个顶点向它的对中点的连线分线与它的对边相交，这个边所在直线作垂线，顶点和垂角的顶点与交点之间的线足之间的线段段图形语言作图语言取 BC边的中点 D，连接 AD 作∠ BAC的平分线 AD，交 BC 过点 A 做 AD⊥ BC于点 D于点 D符号语言（ 1）AD是△ ABC的中线；（ 1）AD是△ ABC的角平（1）AD是△ ABC的高；（ 2）AD是△ ABC的 BC边上的中分线；（2）AD是△ ABC中 BC边上线；（ 2）AD平分∠ BAC，交的高；（ 3）；BC于点 D；（3）AD⊥ BC于点 D；（ 4）点 D 是 BC边上的中点（ 3）∠ 1=∠ 2= ∠ BAC；（4）推理语言因为 AD是△ ABC的中线，所以因为 AD是△ ABC的角平分因为 AD是△ ABC的高，所以；线，所以∠ 1=∠ 2= ∠ BAC；AD⊥ BC（或）用途举例（ 1）线段相等；角度相等（1）线段垂直；（ 2）面积相等（2）角度相等重要特征一个三角形有三条中线，它们相交于一个三角形有三条角平分一个三角形有三条高，它们所三角形内一点，这点称为三角形的重线，它们相交于三角形内一在直线相交于三角形内一点，心点，这点称为三角形的内心这点称为三角形的垂心共同点每个三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线，它们所在的直线都相交于一点，它们都是线段精讲精练1．以下是四位同学在钝角三角形ABC中画 BC边上的高，其中画法正确的是（）A．B．C．D．2．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定3.给出以下判断：（ 1）线段的中点是线段的重心（2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心（3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点（4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点那么以上判断中正确的有（）A．一个B．两个C．三个D．四个4. 如图，在△ ABC 中， AD⊥ BC于点 D， BE=ED=DC，∠ 1=∠ 2，则：①AD是△ ABC的边上的高，也是的边BD上的高，还是△ ABE的边上的高；②AD既是的边上的中线，又是边上的高，还是的角平分线．5. 如图，在△ ABC中，BD是∠ ABC的角平分线，已知∠ ABC=80°，则∠ DBC=°．6．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是度．7．如图，点 D 是△ ABC的边 BC上任意一点，点 E、 F 分别是线段AD、 CE的中点，且△ ABC 的面积为18cm2，则△ BEF 的面积 =cm2．8．如图， D、E 分别是△ ABC边 AB、BC上的点， AD=2BD，BE=CE，设△ ADC的面积为S1，△ACE 的面积为S2，若 S△ABC=6，则 S1﹣ S2的值为．9．如图， A、 B、C 分别是线段A1B， B1C， C1A 的中点，若△ ABC 的面积是1，那么△A1B1C1的面积．10．如图， G是△ ABC的重心， AG⊥ GC， AC=4，则 BG的长为．11．如图，点 G是△ ABC的重心，且△ ABC的面积为9cm2，则△ABG的面积为cm2．12．如图，直线a∥b，点 B 在直线上 b 上，且 AB⊥ BC，∠ 1=55°，求∠ 2 的度数．13．如图，在△ ABC 中，已知点D，E， F 分别为 BC，AD， CE的中点，且，则阴影部分的面积是多少14．已知：点A、 B 在平面直角坐标系中的位置如图所示，求△AOB的面积．15．如图，已知： AD是△ ABC的角平分线， CE是△ ABC的高，∠ BAC=60°，∠ BCE=40°，求∠ADB的度数．16．已知：∠ MON=40°，OE平分∠ MON，点 A、B、 C分别是射线OM、 OE、 ON上的动点（ A、B、 C 不与点 O 重合），连接 AC交射线 OE于点 D．设∠ OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ ON，则①∠ ABO的度数是；②当∠BAD=∠ ABD时， x= ；当∠ BAD=∠ BDA时， x= ．（2）如图 2，若 AB⊥ OM，则是否存在这样的 x 的值，使得△ ADB 中有两个相等的角若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由．17．如图，在△ ABC 中， CF⊥AB于 F，BE⊥ AC于 E， M为 BC的中点．（1）若 EF=4， BC=10，求△ EFM的周长；（2）若∠ ABC=50°，∠ ACB=60°，求∠ FME的度数．18．如图，△ ACB 中，∠ ACB=90°，∠ 1=∠ B．（1）试说明 CD是△ ABC的高；（2）如果 AC=8， BC=6， AB=10，求 CD的长．。

《13.1.3三角形中几条重要线段》教学设计教学内容分析本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线。

本节内容是日后学习等腰三角形等特殊三角形的基础。

故学好本节内容是十分必要的。

因此，对三角的高、中线、角平分线定义的理解及画法的掌握是本节教学的重点，而三角形的高由于三角形的形状改变而使其位置呈现多样性，学生难以掌握，故在各类三角形中作出它们是本课的难点。

学习者分析学生对于三角形的高有一定的了解，但对于三角形的角平分线、中线还没有接触，因此及本课讲解时需要设计一些实际操作，让学生对这三条线的定义有清晰的印象.教学目标 1.了解并掌握三角形的高、中线和角平分线的概念,会用直尺、量角器等工具作出三角形的高、中线与角平分线；2.通过作图了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点的性质；3.明确重心的概念；4.经历作图的实践过程,认识三角形的高、中线与角平分线,帮助学生养成实事求是、具体问题具体分析的习惯；5.发展学生合情推理的能力,提高学生学习数学的兴趣,形成合作交流的意识。

教学重点理解三角形的高、中线与角平分线的概念及其画法.教学难点钝角三角形高线的画法.学习活动设计教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：如图，在△ABC中，一动点D在BC边上移动，从点B沿着BC边移动到点C,观察移动过程中形学生活动1：学生观察图片，动脑思考，并积极回答.成的无数条线段中，有没有特殊位置的线段?今天，我们一起来认识三角形中几条特殊的线段!活动意图说明：通过展示图片，引发学生思考，引出这节课要学的内容，调动学生学习的积极性. 环节二：三角形中的特殊线段教师活动2：角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，△ABC 中，∠1＝∠2，线段AD就是△ABC一条角平分线中线：三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．如图，△ABC中，点E是BC的中点，线段AE 就是△ABC的一条中线．高线：学生活动2：学生听教师讲解，理解三角形中的特殊线段。

三角形中的三条重要线段
角平分线
中线
高
探究新知：
一、三角形的角平分线：A B C D
三角形中，一个角的平分线与这个角
的对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线；
思考：1.用几何符号语言描述三角形的角平分线定义；2.三角形的角平分线与角平分线有何区别、联系？3.一个三角形有几条角平分线？它们有何特征？
E F
12
二、三角形的中线：A B
C D 三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线；
思考：1.用几何符号语言描述三角形的中线定义；
2.三角形的中线与线段的中点有何区别、联系？
3.一个三角形有几条中线？它们有何特征？F E 三角形的“重心”
三、三角形的高：A B C 从三角形的一个顶点到它对边所在
直线的垂线段叫做三角形的高；
D
E
F
A
B C D A B C
D E F 三角形的“垂心”
四、几何中的“定义”：
能明确界定某个对象含义的语句叫做定义
定义既可看作“性质”又可以看作“判定”
它可以作为推理的依据。

应用新知：
例.如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD、AE分别为△ABC的角平分线和高，求∠DAE的度数。

A
50°70°
B C
D E
如图是一块三角形空地，现欲将其绿化，拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的两个三角形，以便种上两种不同的花草，请你帮助设计符合要求的图案。

A
B C
D。

三角形中几条重要线段观课报告一、中线：中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。

对于任意三角形ABC，中线可以分为三条：从顶点A到对边BC的中点M的线段AM，从顶点B到对边AC的中点N的线段BN，以及从顶点C到对边AB的中点P的线段CP。

中线具有以下性质：1. 三条中线交于一个点，称为三角形的重心G。

重心G是三角形内部的一个点，它到三角形的三个顶点的距离相等，即GA=GB=GC。

2. 重心G将每条中线划分为两个部分，其中一部分的长度是另一部分的两倍。

例如，在三角形ABC中，若AG=2GM，则BG=2GN，CP=2PG。

3. 重心G将三角形划分为六个小三角形，这些小三角形的面积相等。

这意味着三角形ABC的面积等于三角形AGB、三角形BGC和三角形CGA的面积之和。

二、角平分线：角平分线是指从一个三角形的顶点出发，将对角划分成两个相等的角的线段。

对于任意三角形ABC，角平分线可以分为三条：从顶点A 出发，将角BAC平分成两个相等的角的线段AD，从顶点B出发，将角ABC平分成两个相等的角的线段BE，以及从顶点C出发，将角ACB平分成两个相等的角的线段CF。

角平分线具有以下性质：1. 三条角平分线交于一个点，称为三角形的内心I。

内心I是三角形内部的一个点，它到三角形的三个边的距离相等，即IA=IB=IC。

2. 内心I将每条角平分线划分为两个部分，其中一部分的长度是另一部分的两倍。

例如，在三角形ABC中，若AD=2DM，则BE=2EN，CF=2FN。

3. 内心I到三角形的三个顶点的连线与三角形的三条边相交于三个点，分别为D、E和F。

这些点将三角形划分为三个小三角形，这些小三角形的面积之和等于三角形ABC的面积。

三、高线：高线是从一个三角形的顶点，垂直地与对边相交的线段。

对于任意三角形ABC，高线可以分为三条：从顶点A出发，垂直于对边BC的线段AH，从顶点B出发，垂直于对边AC的线段BK，以及从顶点C 出发，垂直于对边AB的线段CL。

解三角形中的高、中线、角平分线问题
三角形是一种最基本的几何形状，它由三条线段组成，每条线段都有一个角度。

在三角形中，有三个重要的线：高线、中线和角平分线。

高线是三角形中最长的线段，它连接三角形的两个顶点，并且与三角形的底边
垂直。

高线可以用来测量三角形的高度，它可以帮助我们计算三角形的面积。

中线是三角形中的第二长的线段，它连接三角形的两个顶点，并且与三角形的
底边平行。

中线可以用来测量三角形的宽度，它可以帮助我们计算三角形的周长。

角平分线是三角形中的第三条线段，它从三角形的一个顶点出发，穿过三角形
的底边，到达另一个顶点。

角平分线可以用来测量三角形的角度，它可以帮助我们计算三角形的面积。

总之，三角形中的高线、中线和角平分线是三角形中最重要的线段，它们可以
帮助我们计算三角形的面积、周长和角度。

一、角平分线1、定义：从一个角的顶点引出一条射线（线在角内），把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

三角形三个角平分线的交点叫做三角形的内心。

2、性质：三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。

在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（逆定理）在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。

二、中线1、定义：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。

2、性质：任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点。

由定义可知，三角形的中线是一条线段。

由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。

且三条中线交于一点。

这点称为三角形的重心。

每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

三、垂线（也叫高线）1、定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足。

2、性质：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

在连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短。

简称垂线段最短。

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直四、垂直平分线1、定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

（逆定理）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上五、中位线1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2、性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

三角形的中位线所构成的小三角形（中点三角形）面积是原三角形面积的四分之一。