数值分析第四章小结

第四章 非线性方程与非线性方程组的迭代解法
--------学习小结
姓名 马赫 班级 环境科学与工程 学号 S2*******
一、 本章学习体会
通过本章知识的学习，了解了怎么样求出非线性方程和非线性方程组的根，但是只有很少类型的非线性方程能解出根的解析表达式，而对于绝大数的非线性方程，我们只能用数值方法求出其根的近似值。

在本章的学习中，学会了一些常用的有效数值迭代方法去求方程的根。

同时在本章中主要是掌握了求解非线性方程的各种迭代方法，而对于求解非线性方程组的迭代方法只需要了解即可。

求解非线性方程解的迭代法有如下几种方法：对分法；简单迭代法；Steffensen 迭代法；Newton 法；求m 重根的Newton 法；割线法以及单点割线法等。

我们在运用这些方法求根是应到注意到其迭代公式必须收敛才有可能解出根，同时针对不同类型的非线性方程求解，还须注意用哪种迭代方法更适合求解，不能盲目地随意使用其中一种迭代方法，而是要通过比较选出恰当的方法求解。

比如求方程m 重根的Newton 法不知道重根数会导致计算量较大，但是其收敛速度较快。

此外，本章知识应当以掌握求解非线性方程的迭代方法为主，并配合适当的实验以及习题加深对知识的理解。

二、 本章知识梳理
第四章 非线性方程与非线性方程组的迭代解法……理解并掌握
4.1非线性方程的迭代解法……重点掌握
4.1.1对分法……定义：将含根区间逐次分半缩小，得到一个区间长 度以1/2的比例减小的含根区间序列，在给定根的误差界时，利用长 度趋于零的特点，可得到在某个区间中满足要求的近似根。

优点：程 序简单，总能求得近似根，对f(x)的要求不高；缺点：收敛速度慢， 不能求偶重根，复根。

对分法一般用于求根的近似值。

4.1.2简单迭代法及其收敛性……定义：是一种逐次逼近法,用某个 固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度
要求的解。

一般形式： 其中 为迭代函数。

收敛性：若由迭代公式 产生的序列{x k }收敛于 x *，则x *为原方程的根。

4.1.3简单迭代法的收敛速度……r 阶收敛速度的定义：设序列{x k } 收敛于s ，并且e k =s-x k ≠0（k=0,1,2，…），如果存在常数r ≥1和常
数c ＞0，使得极限c e e r k k k =+∞→1
lim 成立，或者使得当k ≥K （某个正整
Λ,2,1,0),(1==+k x x k k ϕ)(x ϕ
Λ,2,1,0),(1==+k x x k k ϕ
数）时， c e e r k k ≤+1
成立，则称序列{x k }收敛于s 具有r 阶收敛速度。

其中r=1称序列是线性收敛的（0＜c ＜1）；r=2称序列是平方收敛的； r ＞1时，称序列是超线性收敛的。

4.1.4 Steffensen 迭代法……步骤：①取初始点x 0、最大迭代次数N
和精度要求ε，置k=0；②计算
k
k k k k k k k k k k x y z x y x x y z x y +---===+2)(),(),(21ϕϕ③若ε<-+k k x x 1，则停 止计算；④若k=N ，则停止计算；否则置k=k+1，转②。

4.1.5 Newton 法……步骤：①取初始点x 0、最大迭代次数N 和精度
要求ε，置k=0；②如果0)(='k x f ，则停止计算。

否则计算：
)
()(1k k k k x f x f x x '-=+；③若ε<-+k k x x 1，则停止计算；④若k=N ，则停止 计算；否则置k=k+1，转②。

4.1.6求方程m 重根的Newton 法……定义：设S 是方程f （x ）=0的 m 重根（m ≥2），f(x)在s 的某邻域内有m 阶连续导数，则①
0)(,0)()()()()1(≠=='=-s f s f s f s f m m Λ；②)
(')()(x f x f x x -=ϕ，结论是 m
s s s 11)(,)(-='=ϕϕ线性收敛；③变形的Newton 法，令)(')()(~x f x mf x x -=ϕ， 则0)(~,)(~='=s s s ϕϕ
至少平方收敛；④若S 是方程f （x ）=0的m 重根，则s 为)
(')()(x f x f x u =的单根，其迭代函数为： )()()]([)()()(')()(2x f x f x f x f x f x x u x u x x g ''-''-=-
=。

缺点:不知道重根的重数m ；计 算)(x f 工作量大。

优点：至少二阶收敛。

4.1.7割线法……定义：用割线斜率去替代导数f 、（x k ）；其迭代公式 为：Λ
,2,1,0,)()())((111k x f x f x x x f x x k k k k k k k 。

4.1.8单点割线法……定义：在割线法中用固定点（x 0,，f （x 0））代
替（x k-1，f （x k-1））；其迭代公式为：Λ,2,1,0,)
()())((111=---=--+k x f x f x x x f x x k k k k k k k 4.2非线性方程组的迭代解法……只需理解
4.2.1一般概念……非线性方程组的一般形式；解非线性方程组的方 法；向量值函数的极限、连续、可导、可微。

4.2.2简单迭代法……定义：设R R n
n x F →:)(，方程组：
)(0)(x G x x F =⇔=，其迭代公式：Λ,2,1,0),()()1(==+k x G x k k 4.2.3 Newton 法……定义：将非线性方程线性化（利用Taylor 展开），
构造迭代格式，设⎪⎩⎪⎨⎧==0),(0),(2
1y x y x f f ，),(00y x 为方程组的一组初始近似值； 其迭代公式：Λ,2,1,0),()()(1)()()1(='-=-+k x F x F x x k k k k 。

4.2.4 离散Newton 法……定义：用差商代替导数，即：
)
(
)()()()()()()(k j k i j k j k i j k i h x f e h x f x x f -+≈∂∂，进一步化解为： ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-+-+-+-+=≈')()()()()(1)(1)(1)()()(1)()(1)(1)(11)(1)(1)()()()()()()()()()()(),()(k n k n n k n k n k k n k k n k n k n k n k k k k k k k k h x f e h x f h x f e h x f h x f e h x f h x f e h x f h x J x F ΛΛ
Λ 其迭代公式为：Λ,2,1,0),()],([)(1)()()()1(=-=-+k x F h x J x x k k k k k 。

三、本章思考题
试简要叙述求非线性方程解的各种迭代法的迭代公式？
【分析】： ①简单迭代法：Λ,2,1,0),(1==+k x x k k ϕ；②加权迭代法：k k k x L
L x L x ---=++11111；③埃特金(Aitken)加速法迭代：s x s x s x s x k k k k --≈--+++121
④斯蒂芬森（Steffensen ）迭代法：⎪⎩
⎪⎨⎧=+---===+Λ,2,1,0,2)()(),(2
1k x y z x y x x y z x y k k k k k k k k k k k ϕϕ；⑤Newton 法切线法：Λ,2,1,0,)(')(1=-=+k x f x f x x k k k k ；⑥牛顿下山法：)
(')(1k k k k x f x f x x λ-=+；⑦求
m 重根的Newton 法 Λ,2,1,0,)
()()]([)()(21=''-''-=+k x f x f x f x f x f x x k k k k k k k ；⑧割线法：Λ,2,1,0,)
()())((111=---=--+k x f x f x x x f x x k k k k k k k ；⑨单点割线法：Λ,2,1,0,)()())((001=---
=+k x f x f x x x f x x k k k k k 【注】：所有方法能求解方程的必要条件是产生的迭代序列收敛。

四、本章测验题
7、用对分法求方程0133=+-x x 的正根。

计算过程保留4位小数。

【分析】： ∵f （2）﹥0，f （1）﹤0，∴所求正根在区间（1,2）内。

本题中a 0=1，b 0=2。

因此，可按照如下步骤去求方程的正根。

①计算2b a x k k k +=；②ε≤-a b k k 或η≤）（x k f ，则停止计算，取s ≈x k ， 否则转③；③若f （x k ）f （a k ）﹤0，则令a k+1=a k ，b k+1=x k ；若f （x k ）f （a k ） ﹥0，则令a k+1=x k ，b k+1=b k ；④若k=M ，则输出M 次迭代不成功的信息， 否则继续。

进过运算可得到结果为s ≈x 9=1.5322。

【注】：用迭代法求方程的根有多种方法，如：对分法、Steffensen 迭代法、Newton 迭代法，割线法等。

关键是考虑用哪种方法更适合得到精 确解，这就要求我们了解每种方法的优缺点，从而去合理地应用恰当的方法 求方程或方程组的解。