数值分析第四章学习小结

第4章 非线性方程与非线性方程组的迭代解法--------学习小结一、本章学习体会本章我们主要学习了非线性方程的几种解法，主要有对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。

这几种方法都有其思想，并且它们的思想彼此之间有一定的联系。

本章的思路大致可以理解为：1.如何选取迭代公式；2.如何判断迭代公式的收敛速度；3.如何进行迭代公式的修正，以加速收敛；4.如何选取最适合的迭代方法 。

二、本章知识梳理具体求根通常分为两步走，第一步判断根是否存在，若存在，确定根的某个初始近似值；第二步，将初始近似值逐步加工成满足精度要求的结果。

求初始近似值，即确定根的大致区间（a, b ），使（a, b ）内恰有方程的一个根。

本章的学习思路：针对一种迭代方法，找出迭代公式，并判断其收敛性，一般选取收敛速度最快的迭代公式，所以自然的提出了如何使收敛加速的问题。

4.1非线性方程的迭代解法非线性方程的迭代解法有：对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。

4.1.1对分法设()[]()()0,<∈b f a f b a C x f 且，根据连续函数的介值定理，在区间()b a ,内至少存在有一个实数s ，使()0=s f 。

现假设在()b a ,内只有一个实数s ，使()0=s f 并要把s 求出来，用对分法的过程： 令b b a a ==00, 对于M k ,....,2,1,0=执行计算2kk k b a x +=若()ηε≤≤-k f a b k k 或，则停止计算取k x s ≈否则转（3）()()k k k k k k b b a a a f x f ==<++11,,0则令()()k k k k k k b b x a a f x f ==>++11,,0则令 若M k =则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。

对分法的局限：对分法只能求实根，而且只能求单根和奇数重根，不能求偶数根和复数根4.1.2简单迭代法及其收敛性迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的解。

摘 要在科学工作中经常出现这类问题，我们关注求解非线性方程或非线性方程组——求x 使得f （x ）=0或求得X= 使得F （X ）=0。

这些方程中，至少一个变量以任意的非线性方程形式出现。

在实变量变量的实值函数这种最简单的情况下，提出的一般问题是：已知函数f ：R →R ，求x 的解使得f （X ）=0这里主要讨论解决这类问题的一般方法和过程。

在许多应用中可以发现非线性方程的例子。

例如在光的衍射理论中，我们需要用到方程：X-tanX=0在行星轨道的计算中我们需要开普勒方程：X-asinX=b其中a 和b 任意取值。

在科学研究和科学计算中常常碰到以上的非线性方程求解问题。

非线性方程的解一般不能解析求出。

所以数值解法显得非常重要,而数值解法在实际中的实现则更为重要。

本文将介绍几种数值解法以及Matlab 中的实现程序。

为研究非线性方程数值解，给出了二分法、简单迭代法和牛顿迭代法的Matlab 程序，并进行了近似计算。

结果表明，牛顿迭代法收敛最快。

关键词:非线性方程;Matlab 程序;二分法;迭代法;简单迭代法;弦截法。

()T1n x x x ⋅⋅⋅2，，非线性方程数值解法1 二分法设f (x)在[a,b]连续,假定f (a)<0,f (b)>0,取中点 ,检查f (x0)符号。

若f (x0)=0,则x0就是一个根;若f (x0)>0,记a为a1,x0为b1,则得有根区间[a1,b1];若f(x0)<0,记x0为a1,b为b1,则得有根区间[a1,b1]。

后两种情况都得到有根区间[a1,b1],它的长度为原区间的一半。

对[a1,b1],令 ,再用同样的方法,可得新的有根区间[a2,b2],它的长度为[a1,b1]的一半,如此反复进行下去，其中每一个区间是前一区间的一半。

有这就是方程的根。

而即为方程的近似根,且有估计误差下面用二分法求在区间[1,2]上的根.因为二分法只能求单根,首先可以搜索函数(2.2)在区间[1,2]的根的情况。

第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。

例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。

科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。

由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。

第1篇在数值分析这门课程的学习过程中，我深刻体会到了理论知识与实践操作相结合的重要性。

通过一系列的实验，我对数值分析的基本概念、方法和应用有了更加深入的理解。

以下是我对数值分析实验的心得体会。

一、实验目的与意义1. 巩固数值分析理论知识：通过实验，将课堂上学到的理论知识应用到实际问题中，加深对数值分析概念和方法的理解。

2. 培养实际操作能力：实验过程中，我学会了使用Matlab等软件进行数值计算，提高了编程能力。

3. 增强解决实际问题的能力：实验项目涉及多个领域，通过解决实际问题，提高了我的问题分析和解决能力。

4. 培养团队协作精神：实验过程中，我与同学们分工合作，共同完成任务，培养了团队协作精神。

二、实验内容及方法1. 实验一：拉格朗日插值法与牛顿插值法（1）实验目的：掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理，能够运用这两种方法进行函数逼近。

（2）实验方法：首先，我们选择一组数据点，然后利用拉格朗日插值法和牛顿插值法构造插值多项式。

最后，我们将插值多项式与原始函数进行比较，分析误差。

2. 实验二：方程求根（1）实验目的：掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方程求根方法，能够运用这些方法求解非线性方程的根。

（2）实验方法：首先，我们选择一个非线性方程，然后运用二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方法求解方程的根。

最后，比较不同方法的收敛速度和精度。

3. 实验三：线性方程组求解（1）实验目的：掌握高斯消元法、矩阵分解法等线性方程组求解方法，能够运用这些方法求解线性方程组。

（2）实验方法：首先，我们构造一个线性方程组，然后运用高斯消元法、矩阵分解法等方法求解方程组。

最后，比较不同方法的计算量和精度。

4. 实验四：多元统计分析（1）实验目的：掌握多元统计分析的基本方法，能够运用这些方法对数据进行分析。

（2）实验方法：首先，我们收集一组多元数据，然后运用主成分分析、因子分析等方法对数据进行降维。

数值分析学习总结感想在数值分析学习的过程中，我深刻体会到了这门学科的重要性和广泛应用的范围。

通过学习数值分析，我不仅加深了对数学理论的理解，还掌握了一些重要的数值计算方法和算法。

在此过程中，我收获了很多，也产生了许多感想。

首先，数值分析教给我了科学问题解决的方法。

在数值计算中，我们通常无法通过简单的代数运算来求解问题，而是需要借助计算机和数值算法来逼近解。

这种方法可以应用于很多实际问题，例如求解线性方程组、积分、微分方程等。

通过数值分析课程的学习，我掌握了很多常见的数值计算方法，例如高斯消元法、插值方法、数值积分等。

这些方法在实际问题中的应用非常广泛，能够帮助我们解决许多实际问题，提高计算效率和精度。

其次，数值分析也教会了我如何分析和估计误差。

在数值计算中，误差是无法避免的，而且可能会在计算过程中不断累积。

因此，我们需要了解误差的来源，能够进行误差估计和控制。

通过学习数值分析，我学会了如何使用泰勒展开式、理解截断误差和舍入误差等概念，同时也学会了如何使用残差计算和误差估计方法。

这对于判断数值结果的可靠性和计算效果的好坏非常重要，能够帮助我们找到优化方法和改进方案。

另外，数值分析还教会了我如何进行数值模拟和数据处理。

在实际工程和科学研究中，常常需要通过数值模拟来研究分析问题。

通过数值分析的学习，我学会了如何建立数学模型、选择合适的数值方法和算法来模拟求解问题，并能够对模拟结果进行合理的处理和分析。

这对于科学研究和工程设计都非常有价值，能够提高研究效率和解决复杂问题的能力。

最后，数值分析还培养了我一种严谨的科学态度和问题解决的能力。

在数值计算中，一个细微的误差可能会导致完全不同的结果，因此需要我们对问题进行仔细的分析，并保持谨慎的态度。

通过编程实现数值算法，我学会了如何调试代码和检查问题，发现解决bug的方法。

这培养了我的逻辑思维和问题解决能力，也增强了我对科学研究和工程实践的兴趣和热情。

综上所述，通过数值分析的学习，我不仅掌握了一些重要的数值计算方法和算法，还学会了科学问题解决的方法和误差估计的技巧。

数值分析-第四章学习小结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第4章非线性方程与非线性方程组的迭代解法--------学习小结一、本章学习体会通过本章的学习，我了解了怎么求出非线性方程和非线性方程组的根，只是有很少类型的非线性方程能解出根的解析表达式，对于大多数非线性方程，只能用数值方法求出它的根的近似值。

我学习了非线性方程与非线性方程组的迭代解法。

我感到要想求非线性方程组的精确解是不容易的，困难程度远远超过线性方程组的求解。

首先要了解迭代公式的基本思想，迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的解，实质上是一个逐步显示化的过程。

最基本的就是在高中学过的二分法，需要在给定的区域选择根，然后在二分，在从中舍弃一个，再选，直到所选的根符合题目所给的条件，但是二分法只能求实根，并且只能求单根和奇数重根，不能求偶数重根和复数根，所以又有它的缺陷，后面又学了斯蒂芬森加速法和牛顿法。

算法都是离不开模型的，我们在学习某种算法时，一定要结合数学模型才能把知识理解到位，比如本章结合几何思想能够很好的理解算法公式的推导说明。

运用这么多的算法去求解非线性方程组，只是能最大程度的求解线性方程组的精确解，但不是精确解。

我们在今后的学习工作中，也可以自己去创造一种算法，使求解更加精确容易。

在求解非线性方程的解的时候，我们要有如下思路：1.如何选取迭代公式；2.如何判断迭代公式的收敛速度；3.如何进行迭代公式的修正，以加速收敛；4.如何选取最适合的迭代方法二、 本章知识梳理1、非线性方程的迭代解法简单迭代法及其收敛性简单迭代法的基本思想)(0)(x x x f ϕ=⇔=迭代法的基本思想是将隐式方程)(x x ϕ=的求根问题归结为计算一组显式公式)(1k k x x ϕ=+一般形式： ,2,1,0),(1==+k x x k k ϕ收敛条件：a 、非局部收敛定理b 、局部收敛定理简单迭代法的收敛速度线性收敛的条件m 阶收敛的条件迭代过程的加速加权法 迭代：)(1k k x x ϕ=+ 改进：k k k x LL x L x ---=++11111 埃特金(Aitken)加速法设序列}{k x 线性收敛到s112212)(++++=+---≈k kk k k k k x x x x x x x s Newton 法（切线法）基本思想:(1)构造法:0)(='s ϕ(2)几何上:逐步线性化方法(3)Taylor 展开 ))((')()(k k k x x x f x f x f -+≈迭代函数：)(')()(x f x f x x -=ϕ 迭代公式： ,2,1,0,)(')(1=-=+k x f x f x x k k k k 几何意义收敛性（1）局部收敛定理（2）非局部收敛定理牛顿下山法)(')(1k k k k x f x f x x -=+)(')(1k k k k x f x f x x λ-=+ k k k x x x )1(11λλ-+=++ 其中10≤<λ称为下山因子通过适当选取下山因子保证函数值)(k x f 能单调下降。

第一章绪论1.数值运算的误差估计2.绝对误差、相对误差与有效数字3.避免误差的相关问题病态问题与条件数算法的数值稳定性数值运算中的若干原则第二章非线性方程求根1.不动点迭代格式不动点迭代格式的构造、计算全局收敛性判断局部收敛性与收敛阶判断（两个方法）2.Newton迭代格式、计算及几何意义局部收敛性及收敛阶（单、重根）非局部收敛性判断（两个方法）3.Steffensen迭代格式及计算（具有）二阶的局部收敛性4.Newton迭代的变形求重根的迭代法（三种方法）避免导数计算的弦割法（两种方法）Newton下山法*5.二分法计算预先估计对分次数第三章解线性方程组的直接法1.矩阵三角分解法及其方程组求解 直接三角分解法及其分解的条件平方根法（Cholesky 分解）追赶法列主元三角分解法* 2.Gauss 消去法Gauss 主元素消去法（列主元素消去法、全主元素消去法） Gauss 顺序消去法3.方程组的性态与误差分析 向量和矩阵的范数（基础知识） 方程组解的相对误差估计 矩阵的条件数 病态方程组的求解*第四章解线性代数方程组的迭代法1.迭代法的基本理论简单迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解Gauss—Seidel迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解2.三种迭代法的构造、收敛性判断以及方程组的求解Jacobi迭代法基于Jacobi迭代法的Gauss—Seidel迭代法逐次超松弛迭代法①掌握简单迭代收敛性判断的方法。

设B为迭代矩阵，如果||B||<1，则用||B||判断迭代的收敛性比用ρ(B)<1更为方便，但此结论仅为充分条件。

如果||B||≥1，判断迭代的收敛性需考察ρ(B)<1是否成立。

如果需证明迭代发散，则需证明ρ(B)≥1。

②简单迭代法的收敛快慢，依赖于迭代矩阵谱半径的大小。

当ρ(B)<1，迭代次数k≥(mln10)/(-lnρ(B))，则迭代矩阵谱半径越小，收敛越快。

数值分析总结数值分析是一门应用数学的学科，它的目标是使用数值方法来解决数学问题，尤其是那些难以使用解析方法求解的问题。

通过使用计算机来计算近似解，数值分析提供了一种实用而有效的解决方案。

在本文中，我将对我在学习数值分析过程中的一些主要收获进行总结。

一、数值方法的重要性数值方法不仅在科学计算中起着重要作用，而且在工程和实际应用领域也有广泛的应用。

无论是模拟天气预报、设计飞机的机翼，还是分析金融市场的波动，数值分析都可以提供快速、准确的结果。

因此，掌握数值方法成为了现代科学与工程领域必备的技能之一。

二、数值计算的误差与稳定性在数值计算中，我们经常会面对误差的问题。

舍入误差、截断误差和舍入误差都是我们需要关注的。

舍入误差是由于计算机在进行浮点数计算时的有限精度而引入的，而截断误差则是由于将无限精度的数学问题转化为有限精度计算引起的。

为了减小误差，我们可以使用舍入规则，并尽可能减小截断误差。

稳定性是另一个需要考虑的重要因素。

在一些计算中，输入数据的微小变化可能会导致输出结果的巨大变化。

这种情况下，我们说该算法是不稳定的。

为了确保计算的稳定性，我们需要选择合适的算法和数据结构，并且要进行合理的数值分析。

三、插值和拟合插值和拟合是数值分析的重要应用之一。

在实际问题中，我们往往只能够获得有限个数据点，但是我们需要获得一条曲线或函数来描述这些数据。

插值方法可以通过连接这些数据点来获得平滑的曲线，而拟合方法则通过选择一个合适的函数来逼近数据点。

在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的插值和拟合方法，并进行适当的调整和优化。

四、求解非线性方程求解非线性方程是数值分析中的一个重要问题。

在实际应用中，很多问题都可以归纳为求解非线性方程。

例如，求解光学系统中的折射问题、解微分方程等。

数值分析提供了多种求解非线性方程的方法，如牛顿法、二分法、割线法等。

这些方法有着各自的特点和适用范围，我们需要根据问题的性质选择合适的方法。

数值分析知识点总结说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。

一、第1章 数值分析与科学计算引论1. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？相对误差限：**r re ε=的一个上界。

有效数字：如果近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说x *共有n 位有效数字。

即x *=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1))，其中a 1≠0，并且*11102m n x x -+-≤⨯。

其中m 位该数字在科学计数法时的次方数。

例如9.80的m 值为0，n 值为3，绝对误差限*211102ε-=⨯。

2. 一个比较好用的公式：f(x)的误差限：()***()'()()f x f x x εε≈ 例题：二、第2章插值法例题：5. 给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？7. 确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？8. 三弯矩法：为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数：对于第一种边界条件，可导出两个方程：，那么写成矩阵形式：公式 1对于第二种边界条件，直接得端点方程：，则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。

对于第三种边界条件，可得：也可以写成如下矩阵形式：公式 2求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。

（追赶法详见第五章）例题：数值分析第5版清华大学出版社第44页例7三、第3章函数逼近与快速傅里叶变换的正交多项式？什么是[-1,1]上的勒让德多项式？它有3.什么是[a,b]上带权()x什么重要性质？4.什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？5.用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同?6.什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时，为什么不直接求解法方程？例题请参考第3章书上的作业题和课件上的例题。

数值分析学习心得体会前言在学习数值分析课程的过程中，我深深地感受到了数值分析方法的魅力。

在这门课程中，我不仅学习了许多数值计算的方法，还深入了解了计算机科学的相关知识，同时，也收获了很多关于科学与工程计算的经验和技巧。

在我的学习过程中，我积累了许多心得和体会，现在，我想与大家分享一些自己的感受和思考。

重视实践，加强编程能力数值分析是一门理论与实践相结合的学科。

虽然我们可以通过理论知识来深入了解数值分析的方法和原理，但是，实践才是我们真正学习的方式。

在实践过程中，我们通过代码实现数值计算方法，进而对其进行深度理解。

因此，在学习数值分析过程中，我们不能只停留在理论层面，而应该加强实践环节，提高自己的计算机编程能力。

通过编写代码，我们可以更好地掌握数值计算方法，从而更加深入地理解数值分析的本质。

借鉴他人经验，及时沟通交流数值分析并不是一个孤立的学科，在实际应用中，它与其他科学和技术领域相互交织。

在学习数值分析的过程中，我们应该借鉴他人的经验，及时与同学和老师沟通交流。

借鉴他人的经验不仅可以帮助我们更快地掌握新的知识，还能够提高自己的思考和创造能力。

与同学和老师的交流则可以帮助我们更好地理解课程内容，同时，还可以促进团队合作和学术交流。

注重实际问题，深入开展应用研究数值分析不仅仅是一门学科，它更是一种解决实际问题的技术和方法。

因此，在学习数值分析的过程中，我们应该注重实际问题，根据实际需求深入开展应用研究。

通过深入研究实际问题，我们可以更好地发现问题的本质和规律，从而提出更优秀的数值计算方法和算法。

同时，我们还可以通过实际问题的研究，进一步提高自己的解决问题的能力和综合素质。

结语综上所述，学习数值分析需要我们不断积累经验，不断加强自己的理论基础和实践能力。

在学习过程中，我们应该注重理论与实践相结合，借鉴他人经验，加强交流与合作，注重实际问题，深入开展应用研究。

只有这样，我们才能真正掌握数值分析的精髓，提高自己的技术能力和综合素质。