高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式a23a高二23数学

第2课时 组合的综合应用

A级：基础巩固练

一、选择题

1．在平面直角坐标系xOy中，平行直线x＝m(m＝0,1,2,3,4)与平行直线y＝n(n＝0,1,2,3,4)组成的图形中，矩形共有 ( )

A．25个 B．100个 C．36个 D．200个

答案 B

解析 可以组成C25·C25＝10×10＝100个矩形．故选B.

2．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有( )

A．56种 B．68种 C．74种 D．92种

答案 D

解析 根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有C33C36种，有一个“多面手”的选派方法有C12C23C35种，有两个“多面手”的选派方法有C13C34种，即共有20＋60＋12＝92种不同的选派方法．

3．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )

A．10种 B．15种 C．20种 D．30种

答案 C

解析 按比赛局数分类：3局时有2种，4局时有2C23种，5局时有2C24种，故共有2＋2C23＋2C24＝20种．选C.

4．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )

A．4种 B．10种 C．18种 D．20种

答案 B

解析 分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C24＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C14＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．故选B.

5．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学来自同一年级的乘车方式共有 ( )

第2课时 组合的综合应用

学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．

知识点 组合的特点

(1)组合的特点是只取不排

组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．

(2)组合的特性

元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．

(3)相同的组合

根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．

类型一 有限制条件的组合问题

例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？

(1)至少有一名队长当选；

(2)至多有两名女生当选；

(3)既要有队长，又要有女生当选．

考点 组合的应用

题点 有限制条件的组合问题

解 (1)C513－C511＝825(种)

(2)至多有2名女生当选含有三类：

有2名女生；只有1名女生；没有女生，

所以共有C25C38＋C15C48＋C58＝966(种)选法．

(3)分两类：

第一类女队长当选，有C412＝495(种)选法，

第二类女队长没当选，有C14C37＋C24C27＋C34C17＋C44＝295(种)选法，

所以共有495＋295＝790(种)选法．

反思与感悟 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：

一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；

二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．

跟踪训练1 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )

1 第10课时 排列组合综合应用(2)

【教学目标】

1.强化综合运用两个计数原理解决计数问题的能力。

2.能运用排列组合知识分析实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。

【基础训练】

1.在1到500的自然数中含数字4的有________个.

2.三位数中，7的倍数或9的倍数的数有________个.

3.从1到20的自然数中取出不同的3个数,使三个数构成等差数列,则这样的等差数列共有________个.

4.从1到9这9个数中任取两个数分别做对数的底数和真数，可得到________个不同的对数值.

【展示点拨】

例1. 平面上有11个点，过其中任意两点的直线共48条.

(1)这11个点中，含3个或3个以上的点的直线有几条?

(2)这11个点能确定几个三角形?

例2. 由1,1,2,2,3,3,4,4,5,5这十个数字卡片能组成多少个不同的五位数?

2

例3. 方程12347xxxx+++=的正整数解有多少组?

变式1：方程12347xxxx+++=的非负整数解有多少组?

变式2：不等式12347xxxx+++?的正整数解有多少组?

例4.异面直线12ll和上分别有m个和n个（m≥3，n≥3）不同的点，若以这些点为顶点，则可以构成多少个三角形，多少个四面体?

变:在∠AOB的边OA上取m个点，在OB边上取n个点（除点O）,连同点O共m+n+1个点，现任取其中三个点为顶点作为三角形的顶点，这样的三角形的有多少个？

3

【学以致用】

1.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是_________种.

2.从高二年级的六个班中选10人参加数学竞赛，每班至少一人，名额分配方案有多少种?

3.把2008个相同的兵乓球放进10个不同的箱子里，使第i(i=1,2,…,10)个箱子里至少有i个兵乓球，共有多少种不同的放法?

4.一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球.

1 1.2.3 组合与组合数公式

【学习目标】

1.正确理解组合与组合数的概念；

2.弄清组合与排列之间的关系；

3.掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.

重点难点

重点：组合的概念和组合数公式

难点：组合的概念和组合数公式

【使用说明与学法指导】

预习教材P21~ P23，找出疑惑之处

复习1：什么叫排列？排列的定义包括两个方面，分别是 取元素 和 排顺序 .

复习2：排列数的定义：

从 个不同元素中，任取 个元素的 排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号 表示

复习3：排列数公式：mnA=

（,,mnNmn）

【问题导学】

组合的概念：一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m mn个元素 合成 一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

组合数的概念：从n个 不同 元素中取出mmn个元素的 所有不同 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．．．．用符号 mnC 表示．

组合数公式及性质：

公式 展开式 mmnnmmACA

(1)(2)(1)!nnnnmm

阶乘式 mnC !!()!nmnm

性性质1 mnC nmnC 2 质 性质2 1mnC 1mmnnCC

规 定 01nC

问题1：“abc”和“acb”是相同的排列还是相同的组合？

问题2：我们知道，“排列”与“排列数”是两个不同的概念，那么“组合”与“组合数”是同一个概念吗？为什么？

【合作探究】

问题1：判断下列问题是组合还是排列，并求出相应的组合数或排列数.

（1）若已知集合1,2,3,4,5,6,7，则集合的子集中有3个元素的有多少个？

（2）8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？