高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式课件新人教A版选修23

第2课时 组合的综合应用

学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．

知识点 组合的特点

(1)组合的特点是只取不排

组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．

(2)组合的特性

元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．

(3)相同的组合

根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．

类型一 有限制条件的组合问题

例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？

(1)至少有一名队长当选；

(2)至多有两名女生当选；

(3)既要有队长，又要有女生当选．

考点 组合的应用

题点 有限制条件的组合问题

解 (1)C513－C511＝825(种)

(2)至多有2名女生当选含有三类：

有2名女生；只有1名女生；没有女生，

所以共有C25C38＋C15C48＋C58＝966(种)选法．

(3)分两类：

第一类女队长当选，有C412＝495(种)选法，

第二类女队长没当选，有C14C37＋C24C27＋C34C17＋C44＝295(种)选法，

所以共有495＋295＝790(种)选法．

反思与感悟 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：

一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；

二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．

跟踪训练1 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )

1 1.2.3 组合与组合数公式

【学习目标】

1.正确理解组合与组合数的概念；

2.弄清组合与排列之间的关系；

3.掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.

重点难点

重点：组合的概念和组合数公式

难点：组合的概念和组合数公式

【使用说明与学法指导】

预习教材P21~ P23，找出疑惑之处

复习1：什么叫排列？排列的定义包括两个方面，分别是 取元素 和 排顺序 .

复习2：排列数的定义：

从 个不同元素中，任取 个元素的 排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号 表示

复习3：排列数公式：mnA=

（,,mnNmn）

【问题导学】

组合的概念：一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m mn个元素 合成 一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

组合数的概念：从n个 不同 元素中取出mmn个元素的 所有不同 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．．．．用符号 mnC 表示．

组合数公式及性质：

公式 展开式 mmnnmmACA

(1)(2)(1)!nnnnmm

阶乘式 mnC !!()!nmnm

性性质1 mnC nmnC 2 质 性质2 1mnC 1mmnnCC

规 定 01nC

问题1：“abc”和“acb”是相同的排列还是相同的组合？

问题2：我们知道，“排列”与“排列数”是两个不同的概念，那么“组合”与“组合数”是同一个概念吗？为什么？

【合作探究】

问题1：判断下列问题是组合还是排列，并求出相应的组合数或排列数.

（1）若已知集合1,2,3,4,5,6,7，则集合的子集中有3个元素的有多少个？

（2）8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？

1 1.2.1 排列

课前引导

问题导入

某年全国足球中超联赛共有12个队参加，每队都要与其他各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？

思路分析：将参加比赛的12个队看作12个元素，每一场比赛即为从12个不同元素中任取2个元素的一个排列（设排在前面的队为主场比赛）.总共比赛的场次，就是从12个不同元素中任取2个元素的排列数.212A=12×11=132.

这就是我们本节要学习的排列问题.

知识预览

排列

（1）定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定____________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

（2）排列数定义：从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的____________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用mnA表示.

（3）排列数公式：mnA=____________.

（4）全排列：n个不同元素全部取出的____________，叫做n个不同元素的一个全排列，

nnA=n·（n-1）·（n-2）·…·3·2·1=____________.于是排列数公式写成阶乘形式为mnA=____________,规定0！=____________.

答案：顺序 所有排列 n（n-1）…（n-m+1） 排列 n! n!/（n-m）! 1

1 第1课时 组合与组合数公式

[A级 基础巩固]

一、选择题

1．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )

A．12种 B．10种 C．9种 D．8种

解析：根据题意，不同的安排方案有C12C24＝12(种)．

答案：A

2．已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )

A．3 B．4 C．12 D．24

解析：C34＝C14＝4.

答案：B

3．集合A＝{x|x＝Cn4，n是非负整数}，集合B＝{1，2，3，4}，则下列结论正确的是( )

A．A∪B＝{0，1，2，3，4} B．BA

C．A∩B＝{1，4} D．A⊆B

解析：依题意，Cn4中，n可取的值为1，2，3，4，所以A＝{1，4，6}，所以A∩B＝{1，4}．

答案：C

4．下列各式中与组合数Cmn(n≠m)相等的是( )

A.nmCmn－1 B.nn－mCmn－1

C．Cn－m＋1n D.Amnn！

解析：因为nn－mCmn－1＝nn－m·（n－1）！m！（n－m－1）！＝n！m！（n－m）！，所以选项B正确.

答案：B

5．C22＋C23＋C24＋…＋C216＝( )

A．C215 B．C316 C．C317 D．C417

解析：原式＝C22＋C23＋C24＋…＋C216＝C34＋C24＋…＋C216＝C35＋C25＋…＋C216＝…＝C316＋C216＝C317.

答案：C 2 二、填空题

6．化简：C9m－C9m＋1＋C8m＝________．

解析：C9m－C9m＋1＋C8m＝(C9m＋C8m)－C9m＋1＝C9m＋1－C9m＋1＝0.

答案：0

7．已知圆上有9个点，每两点连一线段，则所有线段在圆内的交点最多有________个．