高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合(一)a23a高二23数学

第2课时 组合的综合应用

A级：基础巩固练

一、选择题

1．在平面直角坐标系xOy中，平行直线x＝m(m＝0,1,2,3,4)与平行直线y＝n(n＝0,1,2,3,4)组成的图形中，矩形共有 ( )

A．25个 B．100个 C．36个 D．200个

答案 B

解析 可以组成C25·C25＝10×10＝100个矩形．故选B.

2．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有( )

A．56种 B．68种 C．74种 D．92种

答案 D

解析 根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有C33C36种，有一个“多面手”的选派方法有C12C23C35种，有两个“多面手”的选派方法有C13C34种，即共有20＋60＋12＝92种不同的选派方法．

3．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )

A．10种 B．15种 C．20种 D．30种

答案 C

解析 按比赛局数分类：3局时有2种，4局时有2C23种，5局时有2C24种，故共有2＋2C23＋2C24＝20种．选C.

4．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )

A．4种 B．10种 C．18种 D．20种

答案 B

解析 分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C24＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C14＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．故选B.

5．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学来自同一年级的乘车方式共有 ( )

第2课时 组合的综合应用

学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．

知识点 组合的特点

(1)组合的特点是只取不排

组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．

(2)组合的特性

元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．

(3)相同的组合

根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．

类型一 有限制条件的组合问题

例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？

(1)至少有一名队长当选；

(2)至多有两名女生当选；

(3)既要有队长，又要有女生当选．

考点 组合的应用

题点 有限制条件的组合问题

解 (1)C513－C511＝825(种)

(2)至多有2名女生当选含有三类：

有2名女生；只有1名女生；没有女生，

所以共有C25C38＋C15C48＋C58＝966(种)选法．

(3)分两类：

第一类女队长当选，有C412＝495(种)选法，

第二类女队长没当选，有C14C37＋C24C27＋C34C17＋C44＝295(种)选法，

所以共有495＋295＝790(种)选法．

反思与感悟 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：

一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；

二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．

跟踪训练1 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )

1 第1课时 组合与组合数公式

[A级 基础巩固]

一、选择题

1．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )

A．12种 B．10种 C．9种 D．8种

解析：根据题意，不同的安排方案有C12C24＝12(种)．

答案：A

2．已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )

A．3 B．4 C．12 D．24

解析：C34＝C14＝4.

答案：B

3．集合A＝{x|x＝Cn4，n是非负整数}，集合B＝{1，2，3，4}，则下列结论正确的是( )

A．A∪B＝{0，1，2，3，4} B．BA

C．A∩B＝{1，4} D．A⊆B

解析：依题意，Cn4中，n可取的值为1，2，3，4，所以A＝{1，4，6}，所以A∩B＝{1，4}．

答案：C

4．下列各式中与组合数Cmn(n≠m)相等的是( )

A.nmCmn－1 B.nn－mCmn－1

C．Cn－m＋1n D.Amnn！

解析：因为nn－mCmn－1＝nn－m·（n－1）！m！（n－m－1）！＝n！m！（n－m）！，所以选项B正确.

答案：B

5．C22＋C23＋C24＋…＋C216＝( )

A．C215 B．C316 C．C317 D．C417

解析：原式＝C22＋C23＋C24＋…＋C216＝C34＋C24＋…＋C216＝C35＋C25＋…＋C216＝…＝C316＋C216＝C317.

答案：C 2 二、填空题

6．化简：C9m－C9m＋1＋C8m＝________．

解析：C9m－C9m＋1＋C8m＝(C9m＋C8m)－C9m＋1＝C9m＋1－C9m＋1＝0.

答案：0

7．已知圆上有9个点，每两点连一线段，则所有线段在圆内的交点最多有________个．

1 1.2.4 组合（2）

课堂导学

三点剖析

一、求解组合问题的等价转化方法

【例1】 有10级台阶，一个人每步上一级、两级或三级，共7步上完，则不同的走法共有多少种？

解析：要首先确定每步一上级、两级或三级的步数，这可将问题等价转化为方程的解的问题.设每步上一级的步数为x，每步上两级的步数为y，每步上三级的步数为z，则

.7,1032zyxzyx(x、y、z∈N).

易知0≤z≤1，可解得

0,3,4zyx或.1,1,5zyx

当x=4,y=3,z=0时，它等价于将4个相同的黑球、3个相同的白球排成一列，共有47C=35种排法，则有35种走法.

当x=5,y=1,z=1时，同理可知有17C16C=42种走法.

由分类计数原理，共有35+42=77种走法.

二、注意排列组合应用题中的形同实异问题

【例2】（1）把6本不同的书平均分放在三只抽屉里，有多少种不同的放法？

(2)把6本不同的书平均分放在甲、乙、丙三只抽屉里，有多少种不同的放法？

解析：（1）和（2）的主要区别在于对三只抽屉有没有编号，(1)中对三只抽屉没有编号，所以说哪一只抽屉是第一只、第二只或第三只都是可以的.而（2）中对三只抽屉已经编了号.

问题1有26C·24C·22C/33A=15种放法；

问题2有26C·24C·22C=90种放法.

温馨提示

在排列组合应用题中，有不少问题形同实异，在学习中容易发生混淆.对这样的题目，如果能经常注意对照、类比、辨析，对提高分析问题和解决问题的能力无疑是很有好处的.

三、立体几何中的组合问题的解法

【例3】（2005全国高考卷Ⅲ，11）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共面( )

A.3个 B.4个 C.6个 D.7个

解析：事实上，平面α可以分为两类：一类是在平面α的两侧各有两个点；另一类是在平面α的两侧分别有一个点和三个点.不共面的四个定点可以构成三棱锥（如图），设E、F、G、H、M分别是AB、AC、AD、CD、BD的中点，过E、F、G三点的平面α满足题意，这样的平面有四个；又过E、F、H、M的平面α也满足题意，这样的平面有三个. 2