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活页作业(十四) 最大值、最小值问题1．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为，则a 等于( )154A ．－ B ． 3212C ．－ D ．或－121232解析：对y 求导得y ′＝－2x －2.令y ′＝0，得x ＝－1.当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减少的，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝，154解得a ＝－或a ＝－(舍去)．1232答案：C2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解析：对y 求导得f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．令f ′(x )＝0可得x ＝0或x ＝2(舍去)，当－1≤x <0时，f ′(x )>0；当0<x ≤1时，f ′(x )<0.所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为2.答案：C3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为( )A ． cmB ． cm331033C ． cmD ． cm16332033解析：设圆锥的高为x cm ，则底面半径为cm ，202－x 2其体积为V ＝πx (202－x 2)(0<x <20)，13V ′＝π(400－3x 2)，令V ′＝0，13解得x 1＝，x 2＝－(舍去)．20332033当0<x <时，V ′>0；2033当<x <20时，V ′<0.2033∴当x ＝时，V 取最大值．2033答案：D4．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )13A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0，解得x ＝9.∴x ∈(0,9)时，y ′>0；x ∈(9，＋∞)时，y ′<0.∴x ＝9时函数取得最大值．答案：C 5．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( )A ．2 m 3B ．3 m 3C ．4 m 3D ．5 m 3解析：设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高为h ＝(4.5－3x )m .(0<x <32)∴长方体的体积为V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝9x 2－6x 3.(0<x <32)∴V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )．令V ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去)．当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <时，V ′(x )<0.32∴在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值．∴最大体积V max ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)．答案：B6．f (x )＝x 3－12x ＋8在[－3,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2－12.由f ′(x )>0，得x >2或x <－2；由f ′(x )<0，得－2<x <2.∴f (x )在[－3，－2]上是增加的，在[－2,2]上是减少的，在[2,3]上是增加的．又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，∴最大值M ＝24，最小值m ＝－8.∴M －m ＝24－(－8)＝32.答案：327．在半径为r 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时，它的面积最大．解析：如右图，设∠OBC ＝θ，则0<θ<，OD ＝r sin θ，BD ＝r cos θ.π2∴S △ABC ＝r cos θ(r ＋r sin θ)＝r 2cos θ＋r 2sin θcos θ.令S ′△ABC ＝－r 2sin θ＋r 2(cos 2θ－sin 2θ)＝0，得cos 2θ＝sin θ.又0<θ<，π2∴θ＝.即当θ＝时，△ABC 的面积最大．π6π6∴高为OA ＋OD ＝r ＋＝时面积最大．r23r2答案：3r 28．函数y ＝x ＋2cos x 在区间上的最大值是________．[0，π2]解析：对f (x )求导得f ′(x )＝1－2sin x .由f ′(x )＝0，得x ＝.π6∴在上，f ′(x )＞0，(0，π6)在上，f ′(x )＜0.(π6，π2)∴在x ＝处f (x )取到极大值也是最大值f ＝＋.π6(π6)π63答案：＋π639．已知函数f (x )＝x 2－ln x －ax ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求f (x )的最小值；(2)若f (x )>x ，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－ln x －x ，f ′(x )＝.(2x ＋1)(x －1)x当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )的最小值为f (1)＝0.(2)由f (x )>x ，得f (x )－x ＝x 2－ln x －(a ＋1)x >0.∵x >0，∴f (x )>x 等价于x －>a ＋1.ln xx 令g (x )＝x －，则g ′(x )＝.ln xx x 2－1＋ln xx 2当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.∴g (x )有最小值g (1)＝1.∴a ＋1<1，即a 的取值范围是(－∞，0)．10．某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000 m 2，该中心每块球场的建设面积为1 000 m 2，球场每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800来刻(1＋15ln x )画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几块球场？解：设建成x 个球场，则1≤x ≤10，每平方米的购地费用为＝元．128×1041 000x1 280x ∵每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800来表示，(1＋15ln x )∴每平方米的综合费用为g (x )＝f (x )＋＝800＋160ln x ＋(x >0)，1 280x 1 280x ∴g ′(x )＝(x >0)．160(x －8)x 2令g ′(x )＝0，则x ＝8.当0<x <8时，g ′(x )<0；当x >8时，g ′(x )>0.∴当x ＝8时，函数取得极小值，且为最小值．故当建成8块球场时，每平方米的综合费用最省．11．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (t)与每吨产品的价格P (元/t)之间的关系式为P ＝24 200－x 2，且生产x t 的成本为C ＝50 000＋200x (元)，则月产量为多少t 时，15利润达到最大值？( )A ．100B ．160C ．200D ．240解析：根据题意，列出函数关系式，求导求解．每月生产x t 时的利润为f (x )＝x －(50 000＋200x )＝(24 200－15x 2)－x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．15令f ′(x )＝－x 2＋24 000＝0，35解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．∵f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，∴它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．15∴每月生产200 t 产品时利润达到最大，最大利润为315万元．答案：C12．容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时用料最省．解析：设方底无盖水箱的底面边长为a ，高为h ，则V ＝a 2h ＝256，即h ＝.256a 2用料最省，即表面积最小，由题意列式如下：S 表＝S 底＋S 侧＝a 2＋4ah ＝a 2＋4a ＝a 2＋256a 2 1 024aS ′＝2a －.1 024a 2令S ′＝0，即2a －＝0，解得a ＝8.1 024a 2当0<a <8时，S ′<0；当a >8时，S ′>0.∴当a ＝8时，S 表取得极小值，也是最小值．∴h ＝＝4.25664答案：413．函数f (x )＝5－36x ＋3x 2＋4x 3在区间[－2，＋∞)上的最大值为________，最小值为________．解析：∵f ′(x )＝－36＋6x ＋12x 2，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝.32当x >时，f (x )是增加的；32当－2≤x ≤时，f (x )是减少的．32∴在[－2，＋∞)上无最大值．又f ＝－28，(32)34∴最小值为－28.34答案：不存在 －283414．函数f (x )＝，当－6≤x ≤8时的最大值为________，最小值为________．100－x 2解析：f ′(x )＝－，令f ′(x )＝0，得x ＝0.x100－x 2又f (－6)＝8，f (0)＝10，f (8)＝6.∴f (x )min ＝6，f (x )max ＝10.答案：10 615．已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元，设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每销售1千件的收入为R (x )万元，且R (x )＝Error!(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数关系式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？解：(1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －－10；x 330当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－－2.7x .1 0003x ∴W ＝Error!(2)当0<x ≤10时，令W ′＝8.1－＝0，得x ＝9.x 210且x ∈(0,9)时，W ′>0；x ∈(9,10)时，W ′<0.∴当x ＝9时，W 取极大值，也是最大值，且W max ＝8.1×9－×93－10＝38.6；130当x >10时，令W ′＝－2.7＝0，得x ＝.1 0003x 21009当x ∈时，W ′>0；(10，1009)当x ∈时，W ′<0.(1009，＋∞)∴当x ＝时，W 取极大值，也是最大值，1009且W max ＝98－－2.7×＝38.10003×10091003综上可知，x ＝9时，W 有最大值38.6，即年产量为9千件时，该公司所获年利润最大．16．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；(2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．解：(1)由(1，c )为公共切点，f (x )＝ax 2＋1(a >0)，则f ′(x )＝2ax ，k 1＝2a ，g (x )＝x 3＋bx ，g ′(x )＝3x 2＋b ，k 2＝3＋b .∴2a ＝3＋b .①又f (1)＝a ＋1，g (1)＝1＋b ，∴a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，代入①式可得Error!(2)∵a 2＝4b ，∴设h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋a 2x ＋1.14∴h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a 2.14令h ′(x )＝0，解得x 1＝－，x 2＝－.a2a6∵a >0，∴－<－.a2a 6∴原函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递(－∞，－a2)(－a 2，－a 6)(－a 6，＋∞)增．①当－1≤－，即a ≤2时，最大值为h (－1)＝a －.a 2a 24②当－<－1<－，即2<a <6时，最大值为h＝1.a2a6(－a2)③当－1≥－，即a ≥6时，最大值为h＝1.a6(－a2)综上所述：当a ∈(0,2]时，最大值为h (－1)＝a －；当a ∈(2，＋∞)时，最大值为ha 24＝1.(－a2)。
阶段质量评估(二) 变化率与导数(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若lim Δx →f (x 0)－f (x 0＋Δx )Δx＝1，则f ′(x 0)等于( )A ．32B ．23C ．1D ．－1解析：原等式即－lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝－f ′(x 0)，也就是f ′(x 0)＝－1.答案：D2．若对于任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝3，则此函数的解析式为( ) A ．f (x )＝x 4－1 B ． f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1D ．f (x )＝x 4＋2解析：∵f ′(x )＝4x 3，∴f (x )＝x 4＋k . 又f (1)＝3，∴k ＝2.∴f (x )＝x 4＋2. 答案：D3．f (x )＝3－x ，则f ′(0)＝( )A ．1B ．log 3eC ．ln 3D ．－ln 3解析：∵f ′(x )＝(3－x )′＝3－x ln 3·(－x )′＝－3－x ln 3， ∴f ′(0)＝－30ln 3＝－ln 3. 答案：D4．函数f (x )＝e x cos x 的图像在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A ．0 B ．π4C ．1D ．π2解析：∵f ′(x )＝(e x cos x )′ ＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′ ＝e x cos x －e x sin x ，∴k ＝f ′(0)＝e 0cos 0－e 0sin 0＝1. ∴倾斜角为π4.答案：B5．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上点(1,2)处的切线与其平行线bx ＋y ＋c ＝0间的距离为( ) A ．24B ．22C ．322D ． 2解析：由抛物线过点(1,2)，得b ＋c ＝1，又f ′(1)＝2＋b ，即2＋b ＝－b ，∴b ＝－1. ∴c ＝2.∴所求切线方程为x －y ＋1＝0.∴两平行直线x －y －2＝0和x －y ＋1＝0之间的距离为d ＝|－2－1|12＋12＝32＝322.答案：C6．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(3)＝( ) A ．23B ．2ln 3C ．23ln 3D ．25ln 3解析：f ′(x )＝[log 3(2x －1)]′＝(2x －1)′(2x －1)ln 3＝2(2x －1)ln 3，∴f ′(3)＝25ln 3.答案：D7．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：∵y ′＝12x ，∴在点Q 处的切线斜率k ＝12×2＝1.∴切线方程为y －1＝x －2，即x－y －1＝0.答案：A8．函数f (x )＝x 3－2x ＋3的图像在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝8的位置关系是( ) A ．相切B ．相交且过圆心C ．相交但不过圆心D ．相离解析：切线方程为x －y ＋1＝0，圆心到直线的距离为12＝22＜22，所以直线与圆相交但不过圆心．答案：C9．曲线y ＝e －x －e x 的切线的斜率的最大值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．－4解析：y ′＝k ＝－e －x －e x ＝－(e －x ＋e x )＝－⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ≤－21e x·e x ＝－2， 当且仅当1e x ＝e x ，即x ＝0时，等号成立．答案：C10．下列图像中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图像，则f (－1)等于( )A ．－13B ．13C ．73D ．－13或73解析：∵f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1，∴f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1. ∴函数f ′(x )的图像开口向上． ∵a ≠0，∴其图像为第③个图． 由图像特征可知f ′(0)＝0，且－a ＞0， ∴a ＝－1.∴f (x )＝13x 3－x 2＋1.∴f (－1)＝－13－1＋1＝－13.答案：A11．(2015·重庆七校联考卷)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率是( )A ．2B ．1C ．3D ．－2 解析：由f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8两边求导得，f ′(x )＝2f ′(2－x )×(－1)－2x ＋8. 令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)×(－1)－2＋8⇒f ′(1)＝2，∴k ＝2. 答案：A12．已知函数f (x )＝x 2的图像在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))处的切线互相垂直，并交于点P ，则点P 的坐标可能是( )A ．⎝⎛⎭⎫－32，3 B ．(0，－4)C ．(2,3)D ．⎝⎛⎭⎫1，－14 解析：由题意知，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)， f ′(x )＝2x ，则过A ，B 两点的切线斜率k 1＝2x 1，k 2＝2x 2.又切线互相垂直，∴k 1k 2＝－1，即x 1x 2＝－14.两条切线方程分别为l 1：y ＝2x 1x －x 21，l 2：y ＝2x 2x －x 22，联立得(x 1－x 2)[ 2x －(x 1＋x 2)]＝0， ∵x 1≠x 2，∴x ＝x 1＋x 22.代入l 1，解得y ＝x 1x 2＝－14.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知曲线y 1＝2－1x 与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0的值为__________．解析：由题知y 1′＝1x 2，y 2′＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1x 20，3x 20－2x 0＋2，所以3x 20－2x 0＋2x 20＝3，所以x 0＝1.答案：114．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则函数y ＝f (x )的解析式为________．解析：设f (x )＝a (x －m )2(a ≠0)， 则f ′(x )＝2a (x －m )＝2ax －2am ＝2x ＋2. ∴a ＝1，m ＝－1.∴f (x )＝(x ＋1)2＝x 2＋2x ＋1. 答案：f (x )＝x 2＋2x ＋1 15．函数f (x )＝mx 2m＋n的导数为f ′(x )＝4x 3，则m ＋n ＝________.解析：∵f ′(x )＝m (2m ＋n )x 2m ＋n －1＝4x 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m (2m ＋n )＝4，2m ＋n －1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2.∴m ＋n ＝3. 答案：316．(2015·陕西高考卷)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k ＝y ′＝e x |x ＝0＝1；由y ＝1x ，可得y ′＝－1x 2.因为曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线与曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线垂直，故－1x 2P＝－1，解得x P ＝1.由y ＝1x，得y P ＝1，故所求点P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，且点P 处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．解：∵k ＝tan α＝y ′＝3x 2－3≥－3， ∴tan α≥－ 3.又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π 18．(12分)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x .解：f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′ ＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′ ＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋ (cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x － (cx ＋d )sin x＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x ＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x .∴a ＝d ＝1，b ＝c ＝0. 19．(12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )．若函数f (x )的图像在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值．解：∵f ′(x )＝x －ax(x ＞0)，f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，斜率为1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ln 2＝2＋b ，2－a 2＝1.解得a ＝2，b ＝－2ln 2.20．(12分)设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解：由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12.①f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74.②由①②得⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，∴f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，故切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，故切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为 12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.21．(12分)已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图像为曲线C ．(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1.即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－ 2 ]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．22．(12分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )，若x ∈[0,1]，f (x )图像上任意一点处切线的斜率为k ，当|k |≤1时，求a 的取值范围．解：∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， ∴k ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax .由|k |≤1知|－3x 2＋2ax |≤1(0≤x ≤1)，即⎪⎪⎪⎪－3⎝⎛⎭⎫x －a 32＋a23≤1在x ∈[0,1]上恒成立．又f ′(0)＝0， ∴①当a3＜0，即a ＜0时，－3＋2a ≥－1，即a ≥1.故无解；②当0≤a3≤1，即0≤a ≤3时，⎩⎪⎨⎪⎧a 23≤1，－3＋2a ≥－1，解得1≤a ≤3； ③当a3＞1，即a ＞3时，－3＋2a ≤1得a ≤2，此时无解．综上知1≤a ≤ 3.∴a 的取值范围为[1， 3 ]．。
活页作业(十八) 数系的扩充与复数的引入1．已知下列命题中：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i 3>b ＋i 2；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确的是( ) A ．① B ．② C ．③D ．④解析：对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，当x ＝－1时不是纯虚数，故③错误；a ＋i 3＝a －i ，b ＋i 2＝b －1，复数a －i 与b －1不能比较大小，故②错误；④是正确的．答案：D2．对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，下列结论正确的是( ) A ．a ＝0⇔a ＋b i 为纯虚数 B ．b ＝0⇔a ＋b i 为实数C ．a ＋(b －1)i ＝3＋2i ⇔a ＝3，b ＝－3D ．－1的平方等于i解析：当a ＝0且b ≠0时，a ＋b i 为纯虚数，故A 错误；B 正确；若a ＋(b －1)i ＝3＋2i ，则a ＝3，b ＝3，故C 错误；(－1)2＝1，故D 错误．答案：B3．若复数z ＝6＋a i 3－i (其中a ∈R ，i 是虚数单位)的实部与虚部相等，则a ＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：∵z ＝(6＋a i )(3＋i )(3－i )(3＋i )＝18－a ＋(6＋3a )i10，∴18－a ＝6＋3a .解得a ＝3.故选A ． 答案：A4．z 1＝sin 2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ，当z 1＝z 2时，θ为( ) A ．k π(k ∈Z )B ．π3＋2k π(k ∈Z )C ．±π3＋2k π(k ∈Z )D ．π6＋2k π(k ∈Z )解析：由z 1＝z 2，得⎩⎨⎧sin 2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ.∴⎩⎨⎧sin θ＝12，tan θ＝33.∴θ＝π6＋2k π(k ∈Z )．答案：D5．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R )为实数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠bD ．a ≤0解析：复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0， ∴|a |＝－a .∴a ≤0. 答案：D6．已知复数z ＝m 2－m ＋(m 2－1)i(m ∈R )．若z 是实数，则m 的值为________；若z 是虚数，则m 的取值范围是_________；若z 是纯虚数，则m 的值为________．解析：z ＝m 2－m ＋(m 2－1)i ； 实部为m 2－m ，虚部为m 2－1.当m 2－1＝0，即m ＝±1时，z 为实数； 当m 2－1≠0，即m ≠±1时，z 为虚数；当m 2－m ＝0且m 2－1≠0，即m ＝0时，z 为纯虚数． 答案：±1 m ≠±1 07．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋3)i 为纯虚数，则|z |＝________.解：本题考查复数的有关概念及复数模的计算，根据z 是纯虚数，由复数z 的实部为0，求出m 的值后，利用模的定义求|z |.∵z ＝(m －2)＋(m ＋3)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋3≠0.∴m ＝2.∴z ＝5i. ∴|z |＝5. 答案：58．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实根n ，则复数z ＝m ＋n i ＝________.解析：将x ＝n 代入已知方程得n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1.∴z ＝m ＋n i ＝3－i.答案：3－i9．在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i 对应的向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，求出各复数的模，并判断各复数对应的点在复平面内的位置关系．解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z 1，Z 2，Z 3的坐标分别为⎝⎛⎭⎫12，32，(－1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32，则向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→如下图所示．∴|z 1|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， |z 2|＝|－1|＝1， |z 3|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1. ∴在复平面内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．10．已知log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，求实数m 的值．解：由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(m －2)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3＝1，m －2≠1. 解得m ＝4，m ＝－1. 又∵m －2>0，∴m >2.即当m ＝4时，log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)＝i 是纯虚数．11．若复数z ＝cos 2θ＋i(1－tan θ)是纯虚数，则θ的值是( ) A ．k π＋π4(k ∈Z )B ．k π－π4(k ∈Z )C ．k π2＋π4(k ∈Z )D ．k π±π4(k ∈Z )解析：由复数z 为纯虚数知⎩⎪⎨⎪⎧cos 2θ＝0，1－tan θ≠0.由cos 2θ＝0，得cos 2θ－sin 2θ＝0，即tan 2θ＝1. ∴tan θ＝±1.而1－tan θ≠0，∴tan θ＝－1. ∴θ＝k π－π4(k ∈Z )．答案：B12．若关于t 的一元二次方程t 2＋(2＋i)t ＋2xy ＋(x －y )i ＝0(x ，y ∈R )有实根，则点(x ，y )的轨迹方程是________．解析：设实根为a ，则a 2＋(2＋i)a ＋2xy ＋(x －y )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＋2xy ＝0，a ＋x －y ＝0. 消去a ，得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝213．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，则实数m 的值为________．解析：由M ∪P ＝P ，得M ⊆P . 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0.解得m ＝1. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4.解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2. 答案：1或214．若复数z 满足|z ＋2|＋|z －2|＝8，则|z ＋2|的最大值为________．解析：由题意知|z ＋2|＋|z －2|＝8表示椭圆，由椭圆的几何性质知，椭圆长轴上的两个顶点到焦点(－2,0)的距离分别是最大值和最小值．因此，当z ＝4，即复数z 对应的点是椭圆右顶点时，|z ＋2|有最大值6. 答案：615．已知集合M ＝{z ||z －1|≤1，z ∈C }，N ＝{z ||z －1－i|＝|z －2|，z ∈C }，集合P ＝M ∩N . (1)指出集合P 在复平面内所表示的图形． (2)求集合P 中复数模的最大值和最小值．解：(1)设z ＝x ＋y i ，则由|z －1|≤1，得(x －1)2＋y 2≤1. 又由|z －1－i|＝|z －2|，得(x －1)2＋(y －1)2＝(x －2)2＋y 2， 两边平方，整理得y ＝x －1.因此，集合P 是圆截直线l 所得的一条线段AB ，如下图所示．(2)圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，直线l 的方程为y ＝x －1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22，y ＝22，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22，y ＝－22.∴A ⎝⎛⎭⎪⎫2＋22，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，－22. ∴|OA |＝2＋2，|OB |＝2－2，点O 到直线l 的距离为22，且过点O 向直线l 引垂线，垂足在线段BE 上．∵22<2－2， ∴集合P 中复数模的最大值为2＋2，最小值为22. 16．已知全集U ＝C ，A ＝{z |||z |－1|＝1－|z |，z ∈C }，B ＝{z ||z |<1，z ∈C }，且z ∈A ∩(∁U B )，求复数z 在复平面内对应点的轨迹．解：∵z ∈C ，∴|z |∈R ，∴1－|z |∈R . ∵||z |－1|＝1－|z |，∴1－|z |≥0. ∴|z |≤1.∴A ＝{z ||z |≤1}． 又B ＝{z ||z |<1，z ∈C }， ∴∁U B ＝{z ||z |≥1，z ∈C }．∵z ∈A ∩(∁U B )等价于z ∈A 且z ∈(∁U B )，∴⎩⎪⎨⎪⎧|z |≤1，|z |≥1.∴|z |＝1. 由模的几何意义知，复数z 在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．。
活页作业(十八) 数系的扩充与复数的引入1．已知下列命题中：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i 3>b ＋i 2；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确的是( )A ．① B ．② C ．③ D ．④解析：对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，当x ＝－1时不是纯虚数，故③错误；a ＋i 3＝a －i ，b ＋i 2＝b －1，复数a －i 与b －1不能比较大小，故②错误；④是正确的．答案：D2．对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，下列结论正确的是( )A ．a ＝0⇔a ＋b i 为纯虚数B ．b ＝0⇔a ＋b i 为实数C ．a ＋(b －1)i ＝3＋2i ⇔a ＝3，b ＝－3D ．－1的平方等于i解析：当a ＝0且b ≠0时，a ＋b i 为纯虚数，故A 错误；B 正确；若a ＋(b －1)i ＝3＋2i ，则a ＝3，b ＝3，故C 错误；(－1)2＝1，故D 错误．答案：B3．若复数z ＝(其中a ∈R ，i 是虚数单位)的实部与虚部相等，则a ＝( )6＋a i3－i A ．3B ．6C ．9D ．12解析：∵z ＝＝，(6＋a i )(3＋i )(3－i )(3＋i )18－a ＋(6＋3a )i10∴18－a ＝6＋3a .解得a ＝3.故选A ．答案：A4．z 1＝sin 2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i sin θ，当z 1＝z 2时，θ为( )3A ．k π(k ∈Z )B ．＋2k π(k ∈Z )π3C ．±＋2k π(k ∈Z )D ．＋2k π(k ∈Z )π3π6解析：由z 1＝z 2，得Error!∴Error!∴θ＝＋2k π(k ∈Z )．π6答案：D5．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R )为实数的充要条件是( )A ．|a |＝|b |B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠bD ．a ≤0解析：复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，∴|a |＝－a .∴a ≤0.答案：D6．已知复数z ＝m 2－m ＋(m 2－1)i(m ∈R )．若z 是实数，则m 的值为________；若z 是虚数，则m 的取值范围是_________；若z 是纯虚数，则m 的值为________．解析：z ＝m 2－m ＋(m 2－1)i ；实部为m 2－m ，虚部为m 2－1.当m 2－1＝0，即m ＝±1时，z 为实数；当m 2－1≠0，即m ≠±1时，z 为虚数；当m 2－m ＝0且m 2－1≠0，即m ＝0时，z 为纯虚数．答案：±1 m ≠±1 07．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋3)i 为纯虚数，则|z |＝________.解：本题考查复数的有关概念及复数模的计算，根据z 是纯虚数，由复数z 的实部为0，求出m 的值后，利用模的定义求|z |.∵z ＝(m －2)＋(m ＋3)i 为纯虚数，∴Error!∴m ＝2.∴z ＝5i.∴|z |＝5.答案：58．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实根n ，则复数z ＝m ＋n i ＝________.解析：将x ＝n 代入已知方程得n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0.∴Error!解得Error!∴z ＝m ＋n i ＝3－i.答案：3－i9．在复平面内画出复数z 1＝＋i ，z 2＝－1，z 3＝－i 对应的向量，12321232OZ1→，，求出各复数的模，并判断各复数对应的点在复平面内的位置关系．OZ2→ OZ 3→ 解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z 1，Z 2，Z 3的坐标分别为，(12，32)(－1,0)，，则向量，，如下图所示．(12，－32)OZ 1→ OZ 2→OZ 3→ ∴|z 1|＝＝1，(12)2＋(32)2|z 2|＝|－1|＝1，|z 3|＝＝1.(12)2＋(－32)2∴在复平面内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．10．已知log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，求实数m 的值．解：由题意，知Error!即Error!解得m ＝4，m ＝－1.又∵m －2>0，∴m >2.即当m ＝4时，log2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)＝i 是纯虚数．11．若复数z ＝cos 2θ＋i(1－tan θ)是纯虚数，则θ的值是( )A ．k π＋(k ∈Z )B ．k π－(k ∈Z )π4π4C ．＋(k ∈Z )D ．k π±(k ∈Z )k π2π4π4解析：由复数z 为纯虚数知Error!由cos 2θ＝0，得cos 2θ－sin 2θ＝0，即tan 2θ＝1.∴tan θ＝±1.而1－tan θ≠0，∴tan θ＝－1.∴θ＝k π－(k ∈Z )．π4答案：B12．若关于t 的一元二次方程t 2＋(2＋i)t ＋2xy ＋(x －y )i ＝0(x ，y ∈R )有实根，则点(x ，y )的轨迹方程是________．解析：设实根为a ，则a 2＋(2＋i)a ＋2xy ＋(x －y )i ＝0.∴Error!消去a ，得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝213．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，则实数m 的值为________．解析：由M ∪P ＝P ，得M ⊆P .由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得Error!解得m ＝1.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得Error!解得m ＝2.综上可知m ＝1或m ＝2.答案：1或214．若复数z 满足|z ＋2|＋|z －2|＝8，则|z ＋2|的最大值为________．解析：由题意知|z ＋2|＋|z －2|＝8表示椭圆，由椭圆的几何性质知，椭圆长轴上的两个顶点到焦点(－2,0)的距离分别是最大值和最小值．因此，当z ＝4，即复数z 对应的点是椭圆右顶点时，|z ＋2|有最大值6.答案：615．已知集合M ＝{z ||z －1|≤1，z ∈C }，N ＝{z ||z －1－i|＝|z －2|，z ∈C }，集合P ＝M ∩N .(1)指出集合P 在复平面内所表示的图形．(2)求集合P 中复数模的最大值和最小值．解：(1)设z ＝x ＋y i ，则由|z －1|≤1，得(x －1)2＋y 2≤1.又由|z －1－i|＝|z －2|，得＝，(x －1)2＋(y －1)2(x －2)2＋y 2两边平方，整理得y ＝x －1.因此，集合P 是圆截直线l 所得的一条线段AB ，如下图所示．(2)圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，直线l 的方程为y ＝x －1.解方程组Error!得Error!或Error!∴A，B.(2＋22，22)(2－22，－22)∴|OA |＝，|OB |＝，点O 到直线l 的距离为，且过点O 向直线l 引垂2＋22－222线，垂足在线段BE 上．∵<，222－2∴集合P 中复数模的最大值为，最小值为.2＋22216．已知全集U ＝C ，A ＝{z |||z |－1|＝1－|z |，z ∈C }，B ＝{z ||z |<1，z ∈C }，且z ∈A ∩(∁U B )，求复数z 在复平面内对应点的轨迹．解：∵z ∈C ，∴|z |∈R ，∴1－|z |∈R .∵||z |－1|＝1－|z |，∴1－|z |≥0.∴|z |≤1.∴A ＝{z ||z |≤1}．又B ＝{z ||z |<1，z ∈C }，∴∁U B ＝{z ||z |≥1，z ∈C }．∵z ∈A ∩(∁U B )等价于z ∈A 且z ∈(∁U B )，∴Error!∴|z |＝1.由模的几何意义知，复数z 在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．。
活页作业(六) 导数的概念及其几何意义1．已知函数f (x )＝x ，则f ′(1)＝( ) A ．14B ．12C ．－12D ．－14解析：Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝(1＋Δx －1)(1＋Δx ＋1)Δx (1＋Δx ＋1)＝11＋Δx ＋1，当Δx 趋于0时，ΔyΔx 趋于12，所以f ′(1)＝12.答案：B2．设曲线y ＝x 2＋x －2在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(1,0) C ．(0,0)D ．(1,1)解析：设M (x 0，y 0)，则k ＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )－2－(x 20＋x 0－2)Δx ＝2x 0＋1＝3. ∴x 0＝1.∴y 0＝0. ∴M 点的坐标为(1,0)． 答案：B3．做直线运动的一物体，其位移s 与时间t 的关系式为s ＝3t －t 2，t ∈[0，＋∞)，则其初速度为( )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t 解析：该物体在t ＝0时的瞬时速度v ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt )2－0Δt ＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3－0＝3.答案：B4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 的值是( ) A ．1 B ．12C ．－12D ．－1解析：由题意得2＝lim Δx →a (1＋Δx )2－aΔx ＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a ，∴a ＝1. 答案：A5．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线倾斜角是π4，则f ′(x 0)＝( )A ．π4B ．－π4C ．－1D ．1解析：由题意知f ′(x 0)＝tan π4＝1.答案：D6．曲线f (x )＝x 2在曲线上某点的切线的倾斜角为3π4，则此点的坐标是________．解析：设所求点的坐标为(x 0，x 20)，由题意得 f ′(x 0)＝－1.利用导数的定义求得f ′(x 0)＝2x 0， 故2x 0＝－1，x 0＝－12.故所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，14. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，14 7．已知函数f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是2x －3y ＋1＝0，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：f ′(1)＝23，f (1)＝1，则f (1)＋f ′(1)＝53.答案：538．已知函数y ＝x 3－1，当x ＝2时，lim Δx →ΔyΔx等于__________________． 解析：Δy Δx ＝(x 0＋Δx )3－1－(x 30－1)Δx＝3x 20＋3x 0·Δx ＋(Δx )2，∴lim Δx →Δy Δx ＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0·Δx ＋(Δx )2]＝3x 20. ∴f ′(x 0)＝3x 20. ∴f ′(2)＝3×22＝12. 答案：129．求函数y ＝f (x )＝x －1x 在x ＝1处的导数．解：Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝⎛⎭⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx，Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx， lim Δx →Δy Δx ＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1＋11＋Δx ＝2. 10．已知曲线C ：y ＝f (x )＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线的方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？解：(1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)． 因为f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(1＋Δx )3－1Δx ＝lim Δx →[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3， 所以过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)＋1，y ＝x 3⇒(x －1)2(x ＋2)＝0， ∴x 1＝1，x 2＝－2.所以公共点为(1,1)和(－2，－8)，说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另外的点．11．下列各式中正确的是( ) A ．f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0－Δx )－f (x 0)ΔxB ．f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0－Δx )＋f (x 0)ΔxC ．f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )＋f (x 0)ΔxD ．f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx解析：由导数的定义可知， f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx，故排除A ，B ，C ． 在D 中，f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝lim Δx →f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx.答案：D12．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为________． 解析：令f (x )＝12x 2－2，Δy ＝12(1＋Δx )2－2－⎝⎛⎭⎫12×12－2＝12Δx 2＋Δx ， Δy Δx ＝12Δx 2＋Δx Δx ＝12Δx ＋1， ∴lim Δx →Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫12Δx ＋1＝1. ∴f ′(1)＝1.∴过点P ⎝⎛⎭⎫1，－32的切线的斜率为1，切线的倾斜角为45°. 答案：45°13．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则点P 的坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →02(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx ＝4x 0＋4.又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16.∴x 0＝3.∴P (3,30)． 答案：(3,30)14．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a ＜0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解：∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9， ∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)有最小值－9－a23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3. 又a ＜0，∴a ＝－3. 15．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程，所求切线与曲线是否还有其他公共点？若有，请求出其坐标；若没有，试说明理由．解：(1)由导数的定义求得函数f (x )＝13x 3＋43在x ＝2处的导数为f ′(2)＝4.由导数的几何意义，点P (2,4)处的切线的斜率为4， 故所求的曲线的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，利用导数的定义和几何意义，切线的斜率为k ＝f ′(x 0)＝x 20，切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)． ∵点P (2,4)在切线上， ∴4－⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(2－x 0)， 解得x 0＝2或x 0＝－1.∴所求的切线方程为：4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －4＝0，y ＝13x 3＋43，消去y 并整理，得x 3－12x ＋16＝0，即x 3－4x －8x ＋16＝0， ∴(x －2)(x 2＋2x －8)＝0， 即 (x －2)2(x ＋4)＝0. ∴x ＝2或x ＝－4.∴切线4x －y －4＝0与曲线y ＝13x 3＋43除有公共点(切点)P (2,4)外，还有一个公共点为(－4，－20)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，y ＝13x 3＋43，消去y 并整理得x 3－3x －2＝0， 即x 3－x －2x －2＝0，即x (x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝0， ∴(x ＋1)2(x －2)＝0.∴x ＝－1或x ＝2.∴切线x －y ＋2＝0与曲线y ＝13x 3＋43，除有公共点(交点)P (2,4)外，还有一个公共点即切点(－1,1)．16．(2017·山东卷)已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2.当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程．解：当a ＝2时，f (x )＝13x 3－x 2，f (3)＝0，∴Δy Δx ＝13(3＋Δx )3－(3＋Δx )2－13×33＋32Δx ＝13Δx 2＋2Δx ＋3.当Δx 趋于0时，ΔyΔx 趋于3.∴f ′(3)＝3.∴曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处的切线方程是y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.。
北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案模块综合测评( ： 120 分分： 150 分)一、 (本 共 12 小 ，每小5 分，共 60 分 )1． 复数 z ＝ 1＋2－)(其中 i 虚数 位 )， z 2＋ 3 z 的虚部 (iA ． 2iB ． 0C ．－ 10D ． 2解析：∵ z ＝ 1＋ 2 ＝1－ 2 2 ＝－ － 2－ i 2i ，∴ z ＝ (1－ 2i) 3－ 4i ， z ＝1＋ 2i.∴ z ＋ 3 z ＝－ 3－ 4i ＋ 3(1＋2i) ＝ 2i.∴虚部 2.答案： D2． 察一列数的特点： 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，⋯， 第 100 是 ()A ． 10B ． 13C ．14D ． 100解析： ∵ 1＋ 13 × 13＝ 91，2∴从第 92 开始 14，共有 14 ．∴第 10014.答案： C1－i2 014＋ 2i 的共 复数－－＝ ()3．已知 i 是虚数 位，且 z ＝ 1＋ i z ， z ·z A ． 5 B ． 1 C ． 5D ． 9解析： z ＝ 1－ i 2 0142i ＝ (－ i) 2 014－＝( －1＋ 2i)( － 1－ 2i) ＝5.1＋ i＋＋ 2i ＝－ 1＋ 2i ，故 z ·z答案： A4．数列 { a n } 中， a 1＝ 1，当 n ≥ 2， a n ＝ a n － 1＋ 2n － 1，依次 算 a 2 ，a 3， a 4 后，猜想a n 的表达式是 ()A ． 3n － 2B ． n 2 n －1D ． 4n －3C ．3解析： 算出 a 2＝ 4， a 3＝ 9， a 4＝16，猜想 a n ＝n 2.答案： B5． 确保信息安全，信息需加密 ， 送方由明文→密文(加密 )，接受方由密文→明文 (解密 )，已知加密 ：明文a ，b ，c ，d 密文a ＋2b ，2b ＋c ，2c ＋ 3d,4d ，例如，明文 1,2,3,4 密文 5,7,18,16.当接受方收到密文14,9,23,28 ，解密得到的明文()A ． 4,6,1,7B ． 7,6,1,4C ．6,4,1,7D ． 1,6,4,7a ＋ 2b ＝ 14，a ＝ 6，2b ＋ c ＝ 9， 得b ＝ 4，解析： 由故选 C ．2c ＋ 3d ＝23， c ＝ 1，4d ＝ 28，d ＝ 7.答案： C6． (2017 北·京卷 )若复数 (1－i)( a ＋ i) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 ()A ． (－∞， 1)B ． (－∞，－ 1)C ．(1，＋∞ )D ． (－ 1，＋∞ )解析： (1－i)( a ＋ i) ＝ a ＋ i － ai － i 2＝ a ＋ 1＋ (1－a)i. 由复数 (1－i)( a ＋ i) 在复平面内对应的点在第二象限，a ＋ 1＜ 0，得解得 a ＜－ 1.1－ a ＞ 0.答案： Bπ7π7．由直线 x ＝－ 6， x ＝ 6 ，y ＝ 0 与曲线 y ＝ sin x 所围成的封闭图形的面积为()A ． 2－ 3B ． 4－ 3C ．2＋ 3D ． 4＋ 3解析： 如下图，封闭图形的面积为πS ＝－sinxdx ＋ 0 sinxdx －sinxdxπ＝－ 2sinxdx ＋ 0 sinxdx＝－ 2( －cosx)＋ (－ cosx)|0π＝ 2 cos 0－ cos － π－ (cos π－ cos 0)6 3－ (－ 1－1)＝ 4－ 3.答案： B8．已知α，β是三次函数f(x)＝1312＋ 2bx(a，b∈R )的两个极值点，且α∈ (0,1)，β3x＋ ax2∈(1,2) ，则b－3的取值范围是 () a－ 2A ．－∞，2B．2，1 55C．(1，＋∞ )D．－∞，2∪ (1，＋∞ ) 5解析：因为函数有两个极值，所以f′ (x)＝0有两个不同的根，即>0又.f′ (x)＝ x2＋f′ 0 >0，2b>0，b－ 3的几何意义是动ax＋ 2b，α∈ (0,1)，β∈ (1， 2)，所以f′ 1 <0，即1＋ a＋2b<0，f′ 2 >0，4＋ 2a＋ 2b>0.a－ 2点 P(a，b)到定点 A(2,3)两点连线的斜率．作出可行域如图，由图像可知当直线经过AB 时斜率最小，此时斜率为 k＝1－3＝2；当直线经过AD 时斜率最大，此时斜率为k＝0－ 3＝－ 3－ 2 5－1－22 b－ 31.故5<a－2<1.答案： B9．定义在R上的函数y＝ f(x)满足 f(4 －x)＝f(x)，(x－ 2)f′ (x)<0 ，若 x1<x2，且 x1＋ x2>4，则()A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝ f(x2)D． f(x1)与 f(x2)的大小不确定解析：由 f(4－ x)＝ f( x)，得函数 f(x)的图像关于直线x＝ 2 对称．由 (x－2)f′ (x)<0，得函数f(x)在 (－∞，2)上是增加的，在 (2，＋∞) 上是减少的．故当 x2>x1>2 时，f(x1)>f( x2)；当 x2>2> x1时，由 x1＋ x2>4，得 x2>4－ x1>2.故 f(4－ x1)＝ f(x1)>f(x2)．综上， f(x1)>f(x2)．答案： B范围是 ()1A ． a ≤ 0B ． a ≥－ 8 1C ．a<－ 8D ． a ≥ 0解析： 由题意，得1f ′ (x)＝2ax ＋(x>0) ，且直线 x ＋ y ＋m ＝ 0(m ∈ R )的斜率为－ 1.x由对任意实数 m 直线 x ＋ y ＋ m ＝ 0 都不是曲线 y ＝f(x)的切线，得曲线 y ＝ f(x)的切线的斜1率不可能为－ 1，即 2ax ＋ ＝－ 1 无正实数根．1 1分离 a ，得 a ＝－ 2x 2 － 2x ①，也就是当 x>0 时，①不能成立． 令 y ＝－ 11 1 1＋ 1 2 12x 2－ 2x ＝－ 2 x 2 ＋ 8 ，设 t ＝1x ，由 x>0，得 t>0.则 y ＝－ 1 t ＋ 1 2＋ 1<0.228 故 a ≥0.答案： D11．如果函数 f(x)＝a x (a x － 3a 2－1)( a>0 且 a ≠ 1)在区间 [0，＋∞ )上是增函数，那么实数a 的取值范围是 ()23， 1A ． 0， 3B ．3 C ．(1， 3]3，＋∞D ． 2 解析： 由已知得 f ′ (x)＝ 2a 2x ln a － (3a 2＋ 1)a x ·ln a ＝ a x ln a(2a x － 3a 2－ 1)≥ 0. ①当 a>1 时， ln a>0 ，a x >0，∴ 2a x － 3a 2－ 1≥0 恒成立．当 x ∈ [0，＋ ∞ )时，a x ≥ 1，故只需 2－ 3a 2－ 1≥0，∴ 3a 2≤ 1.∴ a2≤ 13与 a>1 矛盾．②当 0<a<1 时， ln a<0， a x >0，∴ 2a x － 3a 2－ 1<0 恒成立．当 x ∈ [0，＋ ∞ )时， a x ≤ 1，223故只需 2－ 3a － 1≤0，∴ 3a ≥ 1.∴ ≤ a<1.12．已知 f(x)在点 x 处可导，那么 limf x ＋x －f x － x ＝ ()x →x A ． 0B ． f ′ (x)1C ．2f ′ (x)D ． 2f ′ (x)解析： lim f x ＋ x － f x － xx →0 x＝lim f x ＋ x －f x ＋ lim f x － f x － xx →xx →x＝ f ′ (x)＋ limf x － x － f xx →－ x＝ f ′ (x)＋ f ′( x)＝ 2f ′ (x)．答案： D二、填空题 (本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 )13．设 P 是△ ABC 内一点，△ ABC 三边上的高分别为h A ，h B ，h C ， P 到三边的距离依l al bl c次为 l a ，l b ，l c ，则有 h A ＋ h B ＋ h C ＝ ________；类比到空间，设 P 是四面体 ABCD 内一点，四 顶点到对面的距离分别是 h A ， h B ， h C ， h D ， P 到这四个面的距离依次是l a ， l b ， l c ， l d ，则有____________．解析： 用等面积法可得 l a ＋ l b ＋ l c ＝1.h A h B h C 类比到空间有 l a ＋ l b ＋ l c ＋ l d＝ 1.h A h B h C h D答案： 1l a ＋ l b ＋ l c ＋ l d ＝ 1h A h B h C h D2在 x ＝ 1 处的切线方程为 14．曲线 y ＝ 2ln x ＋ x － 2x解析： 当 x ＝ 1 时， y ＝－ 1.又 y ′＝ 2＋ 2x －2，于是 x__________ ．k ＝ y ′ |x ＝ 1＝ 2.故切线方程为 y ＋ 1＝2(x － 1)，即 2x － y －3＝ 0.答案： 2x － y － 3＝015．已知二次函数 f(x)＝ ax 2＋ bx ＋ c 的导数为 f ′ (x)， f ′ (0)>0 ，且 f(x)的值域为 [0，＋∞ ) ，则 f 1的最小值为 ________． f ′解析： ∵ f ′(x)＝2ax ＋ b ，∴ f ′ (0) ＝ b>0.又函数 f(x)的值域为 [0，＋ ∞ )，∴ a>0 ，且 ＝ b 2－ 4ac ＝ 0，即 4ac ＝ b 2.∴ c>0.∵ f(1) ＝ a＋ b＋ c，∴f 1＝a＋ b＋ c＝1＋ a＋ c≥1＋ 2ac＝ 1＋4ac＝ 1＋1＝ 2，当且仅f′ 0b b b4ac当 a＝ c 时等号成立．∴ f 1的最小值为 2.f′ 0答案： 216．定义两个实数间的一种新运算“ *：”x* y＝ lg(10 x＋ 10y)， x， y∈R .对任意实数 a， b，c，给出下列结论：① (a*b)* c＝a*( b* c)；② a* b＝ b*a ；③ (a* b) ＋ c＝( a＋ c)*( b＋ c)．其中正确的是 ________(填序号 )．解析：∵ a* b＝lg(10 a＋ 10b)，∴(a* b)* c＝lg(10lg(10 a＋ 10b)＋ 10c)＝lg(10 a＋ 10b＋ 10c)．同理 a*( b* c)＝ lg(10 a＋ 10b＋10c)．∴a*( b*c)＝( a* b)* c.故①正确．同理可验证②正确．∵a* b＝ lg(10 a＋ 10b)，a bb* a＝lg(10 ＋ 10)，∴a* b＝ b* a.又∵ (a＋ c)*( b＋ c)＝ lg(10 a＋c＋ 10b＋c)＝lg[10 c(10a＋ 10b)]＝lg(10 a＋ 10b)＋ c，(a* b)＋ c＝ lg(10 a＋ 10b)＋ c，∴(a* b)＋ c＝(a＋c)*( b＋ c)．故③正确．答案：①②③三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分)17． (10 分)求证： ac＋ bd≤a2＋b2· c2＋ d2.证明：若 ac＋ bd≤ 0，则不等式显然成立．若 ac＋bd>0 ，要证原不等式成立，22222只要证 (ac＋bd)≤ (a＋b)(c＋ d )，即要证 a2c2＋ 2abcd＋ b2d2≤ a2c2＋ a2d2＋ b2c2＋ b2d2，只要证 (ad－ bc)2≥ 0.此式显然成立，所以原不等式成立．－18．(12 分 )设复数 z 满足 4z＋2 z ＝ 3 3＋ i ，ω＝sin θ－ icos θ(θ∈R)．求 z 的值和 |z－ω| 的取值范围．－解：设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 z ＝ a－ bi.－代入 4z ＋2 z ＝ 33＋ i ，得 4(a ＋ bi) ＋ 2(a － bi) ＝ 3 3＋ i ，即 6a ＋ 2bi ＝ 3 3＋ i.6a ＝3 3，3，a ＝ 23 ＋1i.∴解得∴ z ＝ 2b ＝1.12 2b ＝ 2.∴ |z － ω|＝3 12＋ i － sin θ－ icos θ2＝3－ sin θ2＋ 12＋ cos θ22＝ 2－ 3sin θ＋ cos θ＝2－2sinθ－ π .6π∵－ 1≤ sin θ－ 6 ≤ 1，π∴ 0≤ 2－ 2sin θ－ 6 ≤ 4.∴ 0≤ |z －ω|≤2.故 |z － w|的取 范 是 [0,2] ．19． (12 分)已知复数 z ＝ (2x ＋ a)＋ (2－x ＋ a)i ， x ， a ∈ R ，当 x 在 (－∞，＋∞ )内 化 ，求 |z|的最小g(a)．解： |z|2＝ (2x ＋a) 2＋ (2 － x＋ a) 2＝ 22x ＋2 － 2x－ x＋ 2a(2x ＋2 )＋ 2a 2.令 t ＝ 2x ＋ 2－ x ， t ≥ 2,22x ＋ 2－2x ＝ t 2－ 2.从而 |z|2＝ t 2＋ 2at ＋ 2a 2－ 2＝ (t ＋ a)2＋ a 2－ 2.当－ a ≥ 2，即 a ≤ － 2 ， g(a)＝a 2－ 2；当－ a<2 ，即 a>－ 2 ，g(a)＝ a ＋ 2 2＋ a 2－ 2＝ 2|a ＋ 1|.20． (12 分)用数学 法 明不等式：2＋ 1× 4＋ 1×⋯× 2n ＋ 124 2n > n ＋ 1.明： ①当 n ＝1 ，左式＝ 3，右式＝2，2左式 >右式，所以不等式成立．②假 n ＝ k(k ≥ 1， k ∈ N ＋ ) 不等式成立，2＋ 1 4＋ 1 2k ＋ 1即2×4×⋯×2k >k ＋ 1，当 n ＝ k ＋ 1 ，2＋ 1×4＋ 1×⋯× 2k ＋ 1× 2k ＋32k ＋ 3 ＝ 2k ＋ 3 .2 42k 2 k ＋1 > k ＋1×2 k ＋ 12 k ＋ 1 要 当 n ＝ k ＋ 1 不等式成立，只需2k ＋3≥k ＋ 2，2 k ＋ 1即2k ＋ 3≥ k ＋1 k ＋ 2 .2由基本不等式 2k ＋ 3＝ k ＋ 1 ＋ k ＋ 2 ≥k ＋ 1 k ＋ 2 成立，故2k ＋ 3≥ k ＋ 2成立．222 k ＋ 1所以，当 n ＝ k ＋1 ，不等式成立．由①②可知， n ∈ N2＋1 4＋ 12n ＋ 1，不等式2 ×4×⋯×2n> n ＋ 1成立．＋21． (12 分 )已知函数 f(x) ＝x 3 ＋2bx 2＋ cx － 2 的 像在与x 交点 的切 方程是y ＝ 5x－10.(1)求函数 f(x)的解析式．(2) 函数 g(x)＝ f(x)＋1mx ，若 g( x)的极 存在， 求 数 m 的取 范 以及函数 g(x)取得3极 的自 量 x 的 ．解： (1)由已知得切点(2,0)，故有 f(2) ＝ 0，即 4b ＋ c ＋ 3＝0.①又 f ′ (x)＝ 3x 2＋ 4bx ＋ c ，由已知 f ′(2) ＝ 12＋ 8b ＋ c ＝5，得 8b ＋ c ＋ 7＝ 0.②立①②，解得b ＝－ 1，c ＝ 1.所以函数的解析式f(x) ＝x 3 －2x 2＋ x － 2.(2)g( x)＝ x 3－ 2x 2＋ x －2＋ 1mx ，3 21令 g ′ (x)＝ 3x －4x ＋1＋ m ＝ 0.3当函数有极 ，方程3x 2－ 4x ＋ 1＋ 1m ＝ 0 有 数解，即 Δ≥ 0.3由 ＝ 4(1－ m)≥ 0，得 m ≤ 1.①当 m ＝1 ， g ′ (x)＝ 0 有 数根 x ＝ 2，在 x ＝2左右两 均有g ′ (x)>0 ，故函数 g(x)33无极 ．②当 m<1 ， g ′ (x)＝ 0 有两个 数根x 1 ＝1 (2－ 1－ m)， x 2＝ 1(2＋ 1－ m)．33当 x 化 ， g ′( x)， g(x)的情况如下表：x (－∞， x 1) x 1(x 1，x 2) x 2( x 2，＋∞ )g′ (x)＋0－0＋g(x)极大值极小值所以当 m∈ (－∞， 1)时，函数g(x)有极值，1当x＝3(2 － 1－m)时， g(x)有极大值；当x＝13(2 ＋ 1－m)时， g(x)有极小值．22．(12 分 )(2014 浙·江高考 )已知函数 f(x)＝ x3＋ 3|x－ a|(a>0)，将 f(x)在 [－ 1,1] 上的最小值记为 g(a)．(1)求 g(a)．(2)证明：当x∈ [ － 1,1] 时，恒有f(x)≤ g(a)＋ 4.(1)解：因为 a>0 ，－ 1≤ x≤ 1，所以①当 0<a<1 时，若x∈ [－ 1， a]，则 f(x)＝x3－ 3x＋ 3a，f′ (x)＝3x2－3<0.故 f(x) 在(－ 1， a)上是减函数．若x∈ [a,1]，则 f(x)＝ x3＋ 3x－3a，f′ (x)＝3x2＋3>0.故f(x) 在(a,1)上是增函数．所以 g(a)＝ f(a)＝ a3.②当 a≥ 1 时，有 x≤ a，则f(x) ＝x3－ 3x＋ 3a， f′ (x)＝ 3x2－ 3<0.故f(x) 在(－ 1,1)上是减函数，所以 g(a)＝ f(1)＝－ 2＋ 3a.a3 0<a<1 ，综上， g(a)＝－2＋ 3a a≥ 1 .(2)证明：令 h( x)＝ f(x)－ g(a)．①当 0<a<1 时， g( a) ＝ a3 .若x∈ [a,1]，则 h(x)＝x3＋3x－ 3a－a3，h′ (x)＝ 3x2＋ 3，在 (a,1)上是增函数．所以 h(x)在 [a,1]上的最大值是 h(1) ＝ 4－ 3a－ a3 .因为 0< a<1，所以 h(1)≤4.故f(x) ≤g( a)＋4.若x∈ [－ 1， a]，则 h(x)＝ x3－ 3x＋ 3a－ a3，h′ (x)＝ 3x2－ 3，在 ( －1， a)上是减函数．所以 h(x)在 [ － 1，a] 上的最大值是h(－ 1)＝ 2＋3a－ a3.9北师大版 2018 年高中数学选修2-2 同步优化指导练习含答案知t(a) 在(0,1)上是增函数，所以 t(a)<t(1)＝ 4，即 h(－ 1)<4.故f(x) ≤g( a)＋4.②当 a≥ 1 时， g(a)＝－ 2＋ 3a，故h(x)＝ x3－ 3x＋ 2，得 h′ (x)＝ 3x2－ 3.此时 h(x)在 (－ 1,1)上是减函数．因此 h(x)在 [ － 1,1] 上的最大值是h(－ 1)＝ 4.故f(x) ≤g( a)＋4.综上，当 x∈ [ － 1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.10。
北师大版 2018 年高中数学选修2-2 同步优化指导练习含答案活页作业 (一 )归纳与类比1．有两种花色的正六形地面，按下的律，拼成若干个案，第六个案中有阴影花色的正六形的个数是()A ． 26B． 31C．32D． 36解析：第 n 个案有a n个阴影花色的正六形，a1＝ 6× 1－ 0， a2＝ 6× 2－ 1， a3＝6× 3－ 2，故猜想 a6＝6× 6－ 5＝ 31.答案： B2．察下列各式：1＝ 12，22＋ 3＋4＝ 3 ，3＋ 4＋5＋ 6＋ 7＝ 52，4＋ 5＋6＋ 7＋ 8＋ 9＋ 10＝72，⋯⋯可以得出的一般是()A ． n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ n2B．n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ (2n－1) 2C．n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 1)＝ n2D． n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 1)＝ (2n－ 1)2解析：可以：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2⋯⋯故第 n 个式子的第一个数是 n；第一个式子中有 1 个数相加，第二个式子中有 3 个数相加⋯⋯故第n 个式子中有 2n－ 1 个数相加；第一个式子的果是 1 的平方，第二个式子的果是 3 的平方⋯⋯故第 n 个式子是 2n－ 1 的平方，故可以得到n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝(2n－1) 2.答案： B114x x43x x 43．已知 x＞ 0，由不等式 x＋≥ 2x·＝2，x＋2＝＋＋2≥3··2＝3，⋯，x x x 2 2x 2 2 xa)我可以得出推广： x＋n≥ n＋ 1(n∈N＋ )， a 等于 (x北师大版 2018 年高中数学选修2-2 同步优化指导练习含答案C ．3nnD ． n解析： 再续写一个不等式：3 x x 34 33 x ＋ ＋ 3 x x x 3 ＝ 4，x ＋ 3 ＝ ＋ 3≥ 4 (3)x 3 3 3x3 3 3 x由此可得 a ＝ n n .答案： D4．已知扇形的弧长为l ，半径为 r ，类比三角形的面积公式S ＝ 底×高，可推知扇形面2 积公式 S 扇等于 ()22rlA ． 2B ． 2C ． lrD ．不可类比2解析： 由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式．答案： C5．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到( )A ．空间中平行于同一直线的两直线平行B ．空间中平行于同一平面的两直线平行C ．空间中平行于同一直线的两平面平行D ．空间中平行于同一平面的两平面平行解析： 利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．答案： D6．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶ 2，则它们的面积比为 1∶ 4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶ 2，则它们的体积比为 ________．1 解析：V 1 3S 1h 1S 1 h 1 1 1 1＝＝ S 2 · ＝ ×＝ .V 2 1h 2 4 283S 2h 2答案： 1∶ 87．已知等差数列 { a n } 的前 n 项和是 S n ＝ n a 1＋ a n，由此可类比得到各项均为正数的等2比数列 { b n } 的前 n 项积 T n ＝ ________(用 n ， b 1， b n 表示 )．解析：由等差数列中的 “ 求和 ” 类比等比数列中的 “ 求积 ”，可知各项均为正数的等比n数列 { b n } 的前 n 项积 T n ＝ (b 1b n ) 2.n答案： (b 1b n )28.上图中，上起第 n 行，左起第 n ＋1 列的数是 ________．解析： 第 1 行第 2 个数为 2＝ 1× 2，第 2 行第 3 个数为 6＝ 2×3，第 3 行第 4 个数为 12＝ 3× 4，第 4 行第 5 个数为 20＝ 4× 5.故归纳出第 n 行第 n ＋ 1 个数为 n(n ＋ 1)＝ n 2＋ n.答案： n 2＋nx 2y 29．在椭圆中， 有一结论： 过椭圆 a 2 ＋b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)上不在顶点的任意一点P 与长轴两b2 端点 A ，A 连线，则直线 PA 与 PA斜率之积为－ 2121 2a ，类比该结论推理出双曲线的类似性质，并加以证明．2 2解： 过双曲线 xyP 与实轴两端点 A 1， A 2 连线，则直线2－ 2 ＝ 1 上不在顶点的任意一点a b2PA 1 与 PA 斜率之积为 b22a .证明如下：设点 P(x 0， y 0)，点 A 1(a,0)， A 2(－ a,0)．椭圆中： kPA 1·kPA 2＝ y 0 y 0－ a ·＋ a ＝x 0 x 0x 02221－ 22ba b2＝ ＝－ 22 22；x 0－ ax 0－ aa222 x 0 2＝b2－ 1双曲线中： kPA＝y 0 a＝b21·kPA 2 x 02－ a 2x 02－ a 2a .10．已知 2 2 2 3 2 2 23sin 30 °＋ sin 90°＋ sin 150 °＝ ，sin 5°＋ sin 65 °＋ sin 125 °＝ .观察上述两等式22的规律，请你写出一个一般性的命题，并证明．解： 一般性的命题为2223sin θ＋ sin (60 °＋ θ)＋ sin (120 °＋ θ)＝ 2. 证明如下：22 2 °＋ θ)sin θ＋ sin (60 °＋ θ)＋ sin (120＝ 1－ cos 2θ 1－cos 120 °＋ 2θ 1－ cos 240 °＋ 2θ ＋ ＋22 23 1＝ 2－2[cos 2 θ＋ cos(120 ＋°2θ)＋ cos(240 ＋°2θ)]＝ 3－1[cos 2 θ＋ cos 120 cos ° 2θ－ sin 120 sin ° 2 θ＋ cos(180 ＋°60°＋ 2θ)] 2 2＝ 3－1 [cos(60 ＋°2θ)－cos(60 ＋°2θ)]＝ 3 .2 2 211． △ ABC 的三 分 a ，b ，c ，△ ABC 的面S ，内切 半径2S，r ， r ＝ a ＋ b ＋ c比 个 可知： 四面体 A-BCD 的四个面的面 分 S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径R ，四面体 A-BCD 的体 V ， R 等于 ()V2VA ．＋ S ＋ S ＋ SB ．＋ S ＋ S ＋ SS 1234S 12343V4VC ．S 1＋ S 2＋ S 3＋ S 4D ．S 1＋ S 2＋ S 3＋ S 4解析： 四面体的内切球的球心O ， 球心 O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体 等于以O 点，分 以四个面 底面的4 个三棱 体 的和．四面体的体1V四面体A-BCD ＝ 3(S 1＋ S 2＋ S 3＋ S 4)R ，3V∴R ＝S 1＋ S 2＋ S 3＋ S 4.答案： C1 113512． n 正整数， f(n)＝ 1＋ 2＋3＋⋯＋ n ， 算得 f(2) ＝ 2，f(4)＞ 2，f(8) ＞ 2，f(16) ＞ 3，察上述 果，可推 一般的______________．解析： 由 意 f(21) ＝3， f(22)＞ 4， f(23)＞ 5， f(24)＞6，故一般的f(2n) ≥n ＋ 22 .2 2 2 2nn ＋ 2答案： f(2 )≥x13． 函数f(x)＝x ＋ 2(x ＞ 0)， 察：xf 1(x)＝ f(x)＝x ＋2，xf 2(x)＝ f(f 1(x)) ＝ 3x ＋4，xf 3(x)＝ f(f 2(x)) ＝ 7x ＋8，x，f 4(x)＝ f(f 3(x)) ＝ 15x ＋16 ⋯⋯根据以上事 ， 由 推理可得： 当 n ∈ N ＋ 且 n ≥ 2 ，f n (x)＝ f(f n －1 (x))＝ ____________.解析：依 意，先求函数 果的分母中x 系数所 成数列的通 公式， 由 1,3,7,15，⋯ ，可推知 数列的通 公式a n ＝ 2n － 1.又函数 果的分母中常数 依次2,4,8,16，⋯ ，故nx其通 公式b n ＝ 2 .所以当 n ≥ 2 ， f n (x)＝ f(f n －1 (x))＝ 2n －1 x ＋2n .答案：x2n － 1 x ＋ 2n14．(2015 ·州模 卷 )平面几何里有“ 直角三角形ABC 的两直角 分 a ， b ，斜上的高1 11h ， 2＋2＝2 ”，拓展到空 ，研究三棱 的 棱 与底面上的高之 的关a b h系可以得出的正确 是：“ 三棱 A-BCD 的三个 棱两两垂直，其 分 a ， b ， c ，面 BCD 上的高 h ， ________”．解析： 如右 所示， A 在底面的射影 O ， 接 BO 并延 交 CD 于 E. 接 AE ，由 AB ⊥ AC ，AB ⊥ AD 得 AB ⊥面 ACD ．11 1∴ AB ⊥ AE. AE ＝ h 1，在△ ABE 中，由已知可得a 2＋ h 21＝ h 2.又易 CD ⊥面 ABE ，∴ CD ⊥AE .11 1在△ ACD 中有 h 21 ＝b 2＋ c 2，11 11∴ a 2＋ b 2＋ c 2＝ h 2.11 1 1答案： a 2＋b 2＋ c 2＝ h 215． (2015 ·西模 卷江 )f(n)＝ n 2＋ n ＋41， n ∈ N ＋ ， 算： f(1)， f(2) ， f(3)， f(4)，⋯，f(10)的 ，同 作出 推理，并用n ＝ 40 猜想是否正确．解： f(1) ＝ 12＋ 1＋ 41＝ 43， f(2) ＝ 22＋ 2＋ 41＝ 47， f(3) ＝ 32＋ 3＋ 41＝ 53， f(4) ＝ 42＋ 4＋41＝ 61，f(5) ＝ 52＋ 5＋ 41＝ 71， f(6)＝ 62＋ 6＋ 41＝ 83，22北师大版 2018 年高中数学选修2-2 同步优化指导练习含答案22f(9) ＝ 9＋ 9＋ 41＝ 131， f(10) ＝ 10＋10＋ 41＝151.∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151 都为质数，∴归纳猜想：当 n∈N＋时， f(n)＝ n2＋ n＋ 41 的值都为质数．当n＝40 时， f(40)＝ 402＋ 40＋41＝ 40×(40＋ 1)＋ 41＝41× 41，∴ f(40)是合数．∴由上面归纳推理得到的猜想不正确．16.如右图，点 P 为斜三棱柱 ABC- A1B1C1的侧棱 BB1上一点， PM ⊥BB 1交 AA1于点 M，PN⊥ BB1交 CC1于点 N.(1)求证： CC1⊥ MN ；(2)在任意△ DEF 中有余弦定理DE 2＝ DF 2＋ EF 2－ 2DF ·EFcos∠ DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．(1)证明：∵ PM⊥ BB1， PN⊥ BB1，∴BB1⊥平面 PMN .∴BB1⊥ MN .又∵ CC1∥ BB1，∴ CC1⊥ MN .(2)解：在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有 S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋ S2ACC 1A1－ 2SBCC1B1·SACC1A1cos α.其中α为平面 CC1B1B 与平面 CC1A1A 所成的二面角．证明如下：∵CC1⊥平面 PMN .∴上述二面角的平面角为∠MNP .在△ PMN 中，PM2＝ PN2＋ MN 2－ 2PN·MN cos∠MNP ?PM2·CC21＝ PN 2·CC21＋ MN 2·CC21－ 2(PN·CC1) ·(MN ·CC1)cos∠ MNP ，∴SBCC1B1＝PN ·CC1， SACC1A1＝ MN ·CC1，SABB1A1＝ PM ·BB1＝ PM ·CC1，∴有 S2ABB1A1＝S2 BCC1B1＋ S2ACC1A1－ 2SBCC1B1·SACC1A1cos α.。
第二章 §2 2.1 2.21．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：因为切线x ＋2y －3＝0的斜率为－12＜0，所以f ′(x 0)＝－12＜0.答案：B2．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交解析：由导数的几何意义知B 正确． 答案：B3．已知y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )＞f ′(xB ) B ．f ′(x A )＜f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：结合图像由导数的几何意义得f ′(x A )＜f ′(x B )． 答案：B4．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝2x －1，则f ′(x 0)＝________. 解析：f ′(x 0)＝k ＝2. 答案：25．已知曲线y ＝f (x )＝x ＋1x 上一点A ⎝⎛⎭⎫2，52，用导数的定义求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． 解：(1)∵点A 在曲线上，∴Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －⎝⎛⎭⎫2＋12＝－Δx 2(2＋Δx )＋Δx .当Δx 趋于0时，Δy Δx ＝－12(2＋Δx )＋1趋于34，∴点A 处的切线的斜率为34.(2)点A 处的切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.。
