(完整版)应用随机过程试卷

《应用随机过程》A卷及其参考答案《应用随机过程》A卷一、课程简介《应用随机过程》是一门应用数学学科，旨在研究随机现象的变化规律。

通过对这门课程的学习，我们可以掌握随机过程的基本理论和方法，并能够运用这些理论解决实际问题。

本课程共分为两个部分：A 卷和B卷。

二、考试内容1、随机过程的定义、性质和分类2、随机过程的概率分布和数字特征3、常见的随机过程，如泊松过程、马尔可夫过程、随机漫步等4、随机过程的极限理论，如强大数定律、中心极限定理等5、随机过程在各个领域的应用，如金融、生物、物理等三、考试形式1、试题类型：选择题、填空题、简答题、应用题2、分值分配：选择题30分，填空题20分，简答题30分，应用题20分四、考试策略1、理解基本概念：随机过程的概念、性质和分类是考试的重点，需要充分理解并熟练掌握。

2、掌握基本理论：考试中涉及的基本理论较多，需要平时多加学习和巩固。

3、应用实践：掌握基本理论后，需要能够将其应用于实际问题中，因此要多做练习和实际操作。

五、参考答案选择题部分：1、（1）B （2）C （3）A （4）D （5）C2、（1）C （2）B （3）D （4）A （5）C3、（1）D （2）A （3）B （4）C （5）D填空题部分：1、（1）正态分布（2）独立性（3）离散型随机变量2、（1）均匀分布（2）连续型随机变量（3）二项分布3、（1）泊松分布（2）几何分布（3）超几何分布4、（1）马尔可夫过程（2）齐次性（3）有限性5、（1）中心极限定理（2）强大数定律（3）大数定律简答题部分：1、简述随机过程的基本概念及分类。

答：随机过程是指在一定条件下，随时间变化的随机现象的变化规律。

它可以根据不同的分类标准分为连续型和离散型、定值型和随机场、马尔可夫性和非马尔可夫性等。

2、请列举几个常见的随机过程，并简述其应用场景。

答：常见的随机过程有泊松过程、马尔可夫过程、随机漫步等。

泊松过程在物理学、生物学、计算机科学等领域有广泛应用；马尔可夫过程在语音识别、天气预报等领域有应用；随机漫步在金融领域有应用。

2. （1） 求参数为的()b p ,分布的特征函数，其概率密度为Γ()()是正整数p b x x e x p b x p bx p p ,0 000,1>⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−（2）求其期望和方差。

（3）证明对具有相同参数的b Γ分布，关于参数具有可加性。

p 函数有下面的性质：解 （1） 首先，我们知道Γ()()! 1−=Γp p根据特征函数的定义，有()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()pp p x jt b p p xjt b p p x jt b p p xjt b p p xjt b p p bxp p jtxjtxjtXX jt b b jt b p p b dxe x jt b p p b dx e x jt b p p b dx e x jt b p p b e x jt b p b dx e x p b dx e x p b edx x p e e E t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−Γ=−−Γ==−−Γ=−−Γ+−−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−−−∞∞∞−!1!11110010202010110L所以()pX jt b b t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=（2）根据期望的定义，有[]()()()()()()()bpdx x p b p dx e x p b b p dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x xp X E m bx p p bx p p bxp p bx p p bx p p X ==Γ=Γ+−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−−∞−∞−∞−−∞∞−010100011类似的，有[]()()()()()()()()()()()()()2201200010101222111111b p p dx x p b p p dx e x p b b p p dx e x b p p b dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x p x XE bxp p bxp p bxp p bxp p bx p p bx p p +=+=Γ+==+Γ=+Γ+−Γ=Γ=Γ==∫∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−∞−∞−+∞−+∞−−∞∞−L的方差为X 所以，[]()222221b pb p b p p mXE D XX =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−=（3）()()()jt jnt jt e n e e t f −−=115. 试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

安徽大学2013—2014学年第二学期 《 应用随机过程 》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）院/系 年级 __专业 姓名 学号一、填空题（每小题4分，共16分）1、设X 是概率空间(),,F P Ω上的一个随机变量，且EX 存在，C 是F 的子σ－域，定义()E X C 如下：（1）____________________________； （2） ___________________________________________________； 2、设(){},0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，则()N t 具有________、 ________增量，且0t ∀>，0h >充分小，有：()(){}()0P N t h N t +-=＝ ________，()(){}()1P N t h N t +-=＝_____________；3、设(){},0W t t ≥为一维标准Brown 运动，则0t ∀>，()W t ～_______，且与Brown 运动有关的三个随机过程_______________、_________ ___________、___________________________都是鞅（过程）；4、倒向随机微分方程（BSDE ）典型的数学结构为_______________ ______________________________，其处理问题的实质在于________ __________________________________________________________。

二、证明分析题（共10分，选做一题）（1）设X 是定义于概率空间(),,F P Ω上的非负随机变量，并且具有指数分布，即：{}()1x P X x e λ-≤=-，0x >，其中λ是正常数。

设λ是另一个正常数，定义：()XZ e λλλ--=，由下式定义：()A P A ZdP =⎰，A F ∀∈；（i ）证明：()1P Ω=；（ii ）在概率测度P 下计算的分布函数：{}()P X x ≤，0x >；（2）设(){},0W t t ≥是P 下的标准Brown 运动，试分别由鞅的定义及Ito-Doeblin （伊藤—德布林）公式证明：(){},0X t t ≥是鞅（过程），这里，()()()33X t W t tW t =-。

华南理工大学2011—2012 学年第一学期 《应用随机过程》考试试卷（A 卷）（闭卷时间 120 分钟）院/系年级 __专业姓名学号1、设X 是概率空间(Ω,F ,P )且EX 存在，C 是F 的子σ－域，定义E (XC )如下：（1）_______________ ；（2）_____________________________________________ ； 2、设{N (t ),t ≥ 0}是强度为λ的 Poisson 过程，则 N (t )具有_____、_____增量，且∀t >0，h >0充分小，有：P ({N (t + h )− N (t ) = 0})＝ ________，P ({N (t + h )− N (t ) =1})＝_____________；3、设{W (t ),t ≥ 0}为一维标准 Brown 运动，则∀t >0，W (t ) ～____，且与 Brown 运动有关的三个随机过程____________、________ ______________、______________都是鞅（过程）；4、倒向随机微分方程（BSDE ）典型的数学结构为__________ ______________________________，其处理问题的实质在于 ______________________________________________________。

二、证明分析题（共 12 分，选做一题）1、设X 是定义于概率空间(Ω,F ,P )上的非负随机变量，并且具有指数分布，即：P({X ≤ a}) =1−e−λa ，a >0，其中λ是正常数。

设λ是另一个正常数，定义：Z = λλe−(λ−λ)X ，由下式定义：P(A)=∫A ZdP，∀A∈F ；（1）证明：P(Ω) =1；（2）在概率测度P 下计算的分布函数：P({X ≤ a})，a>0；2、设X0～U (0,1)，X n+1～U (1−X n,1)，n≥1，域流{F n,n≥ 0}满足：F n =σ(X k,0 ≤k≤n)，n≥ 0 ；又设Y0 = X0 ，Y n = 2n ⋅∏kn=1 1 X−k X −1 k ，n ≥1，试证：{Yn,n ≥ 0}关于域流{F n,n ≥ 0}是鞅！三、计算证明题（共60 分）1、（12 分）假设X～E(λ)，给定c >0，试分别由指数分布的无记E(XI A )忆性和E(X A) = ，求E(XX >c)；P(A)2、（10 分，选做一题）（1）设X～E(λ)，Y～E(μ)，λ> μ，且X,Y 相互独立；∀c >0，设fX X )为给定X +Y = c 时X 的条件概率密度，试求之并由此求+Y (x cE(X X +Y = c)；⎧1)及（2）设(X,Y)～f (x, y) = ⎪⎨x ,0 ≤ y ≤ x ≤1;，试求fY X (y x⎪⎩0,其它；P(X 2 +Y 2 ≤1X = x)，并由此（连续型全概率公式）求P({X 2 +Y 2 ≤1})；3、（4 分，选做一题）（1）设X,Y独立同U [0,1]分布，试基（2）设于微元法由条件密度求E(XX <Y)；(X,Y)～U (D)，D:0 ≤ y≤x≤1，试由条件数学期望的直观方法求E(YX )、E ⎡⎣(Y −X )2X ⎤⎦；[0,1]分布，Y = min{X1, X2, , 4、（10 分）设X1, X2, , X n 独立同U求E(X1Y) = E(X1 σ(Y))；X n}，试由条件数学期望的一般定义5、（14 分）设{N (t),t ≥ 0}是强度为λ的Poisson 过程，S0 = 0，S n 表示第n个事件发生（到达）的时刻，试求：（1）P(N (s) =kN (t) = n)（s <t,k = 0,1, ,n）；（2）E(S k N (t) = n)，k ≤ n；6、（10 分）设{W (t),t ≥ 0}为标准Brown 运动，试由Ito-Doeblin 公式求解随机微分方程 d ⎡⎣S(t)⎤⎦= μS(t)dt +σS(t)dW (t)，并求E ⎡⎣W4 (t)⎤⎦，E ⎡⎣W6 (t)⎤⎦。

随机过程期末试题及答案一、选择题1. 随机过程的定义中，下列哪个是错误的？A. 属于随机现象。

B. 具有随机变量。

C. 具有时间集合。

D. 具有马尔可夫性质。

答案：D2. 下列哪个不是连续时间的随机过程？A. 泊松过程。

B. 布朗运动。

C. 维纳过程。

D. 马尔可夫链。

答案：D3. 关于时间齐次的描述，下列哪个是正确的？A. 随机过程的概率分布不随时间变化。

B. 随机过程的均值不随时间变化。

C. 随机过程的方差不随时间变化。

D. 随机过程的偏度不随时间变化。

答案：A4. 下列哪个是离散时间的随机过程？A. 随机游走。

B. 指数分布过程。

C. 广义强度过程。

D. 随机驱动过程。

答案：A二、填空题1. 马尔可夫链中，状态转移概率与当前状态无关，只与前一个状态有关，这个性质被称为（马尔可夫性质）。

2. 在某一区间内，随机过程的均值是时间的（函数）。

3. 两个随机过程的相互独立性是指它们的（联合概率）等于各自概率的乘积。

4. 利用（随机过程）可以模拟无记忆的随机现象。

三、解答题1. 试述随机过程的定义及其要素。

随机过程是描述随机现象随时间演化的数学模型。

它由两个基本要素组成：时间集合和取值集合。

时间集合是指随机过程所涉及的时间轴，可以是离散的或连续的。

取值集合是指随机过程在每个时间点上可能取到的值的集合，可以是实数集、整数集或其他集合。

2. 什么是时间齐次随机过程？请举例说明。

时间齐次随机过程是指随机过程的概率分布在时间上不变的特性。

即随机过程在任意两个时间点上的特性是相同的。

例如，离散时间的随机游走就是一个时间齐次随机过程。

在随机游走中，每次移动的概率分布不随时间变化，且每次移动的步长独立同分布。

3. 什么是马尔可夫链？它有哪些性质？马尔可夫链是一种离散时间的随机过程，具有马尔可夫性质，即在给定当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。

马尔可夫链的性质包括：首先，状态转移概率与当前状态无关，只与前一个状态有关。

山东财政学院2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A )（考试时间为120分钟）参考答案及评分标准考试方式： 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07级 出题教师 张辉一． 判断题（每小题2分，共10分，正确划√，错误划ⅹ）1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。

（ⅹ ）2. 非周期的正常返态是遍历态。

（√ ）3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元，则可断定该马氏链不是遍历的。

（ⅹ ）4. 有限马尔科夫链没有零常返态。

（√ ）5．若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有：0)(〉nd iip 。

（ⅹ ）二． 填空题（每小题5分，共10分） 1. 在保险公司的索赔模型中，设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司，若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，一年中保险公司的平均赔付金额是＿＿240000元＿＿＿。

2．若一个矩阵是随机阵，则其元素满足的条件是：（1）任意元素非负（2）每行元素之和为1。

三． 简答题（每小题5分，共10分）1． 简述马氏链的遍历性。

答：设)(n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率，，如果对任意 I j i ∈,存在不依赖于i 的极限0)(〉=j n ij p p ，则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。

2． 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同？答：非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于：强度λ不再是常数，而是与t 有关，也就是说，不再具有平稳增量性。

它反映了其变化与时间相关的过程。

如设备的故障率与使用年限有关，放射物质的衰变速度与衰败时间有关，等等。

四． 计算、证明题（共70分）1. 请写出C —K 方程，并证明之. （10分）解：2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. （15分）解：若{}0),(≥t t N 是一个泊松过程，是Λ,2,1,=i Y i 一族独立同分布的随机变量，并且与{}0),(≥t t X 也是独立的， )(t X =∑=t N i i Y1，那么{}0),(≥t t X 复合泊松过程3. 顾客以泊松过程到达某商店，速率为小时人4=λ，已知商店上午9：00开门，求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。

随机过程与应用考试试题一、选择题1. 在马尔科夫链中，状态转移概率矩阵的要求是：A. 每行所有元素之和等于1B. 每列所有元素之和等于1C. 对角线上的元素均大于0D. 所有元素均大于02. 在随机过程中，平稳性的要求是：A. 每个时刻的概率分布都相同B. 概率分布随时间发生改变C. 均值和方差不随时间发生改变D. 方差不随时间发生改变3. 泊松过程的特点是：A. 不存在跳跃B. 存在连续的状态变化C. 均值和方差相等D. 每个单位时间发生事件的数量是恒定的4. 马尔科夫链是一种：A. 离散时间和离散状态的随机过程B. 离散时间和连续状态的随机过程C. 连续时间和离散状态的随机过程D. 连续时间和连续状态的随机过程5. 连续时间马尔科夫链的状态转移概率与时间的关系是：A. 与时间无关B. 每个时间段内相同C. 随时间变化而变化D. 无法确定二、填空题1. 在泊松过程中，到达的时间间隔满足 ______ 分布。

2. 在连续时间马尔科夫链中，状态转移概率与时间的关系可以由______ 函数来表示。

3. 马尔科夫链具有 ______ 性，即过去的状态对未来的状态具有影响。

4. 在随机过程中， ______ 是指在给定前面状态下，未来状态的条件概率分布。

三、解答题1. 请说明马尔科夫链的定义，并列举出两个例子。

2. 请说明泊松过程的特点，并说明其在实际应用中的一个例子。

3. 请解释连续时间马尔科夫链的平稳分布，并给出一个实际应用的例子。

四、应用题1. 假设某商品的售出数量服从泊松分布，平均每天售出5件。

如果要求计算每天售出不少于3件的概率，应如何计算？2. 某公交车站的乘客到达服从泊松过程，平均每小时到达12人。

如果公交车每隔10分钟发车一次，求在每趟车发车前等待的乘客人数的概率分布。

3. 某产品的寿命服从指数分布，平均寿命为1000小时。

如果要求计算寿命在800小时到1200小时之间的概率，应如何计算？以上是随机过程与应用考试试题的部分内容，请按要求回答题目。

一、选择题1.在随机过程中，若某一过程的所有可能状态及其概率在时间上保持不变，则称该过程为：A.平稳过程B.非平稳过程C.马尔可夫过程D.遍历过程2.下列哪个不是描述随机变量分布特性的重要参数？A.期望值（均值）B.方差C.协方差D.样本容量3.马尔可夫链中，若当前状态仅依赖于前一个状态，则称该链具有：A.一阶记忆性B.无记忆性C.高阶记忆性D.完全记忆性4.在随机游走模型中，若每一步的位移是独立同分布的随机变量，且均值为0，则该模型属于：A.布朗运动B.泊松过程C.几何布朗运动D.平稳独立增量过程5.泊松分布常用于描述：A.单位时间内某事件发生次数的概率分布B.连续型随机变量的概率分布C.样本均值的分布D.两个随机变量之间的线性关系6.若一个随机过程的任意两个时间点上的随机变量之间都存在线性关系，则称该过程具有：A.平稳性B.相关性C.正态性D.独立性7.在连续时间马尔可夫链中，状态转移率矩阵描述了：A.各状态间的直接转移概率B.各状态间的间接转移概率C.单位时间内从某状态转移到其他状态的概率D.所有状态的总转移概率8.布朗运动的一个关键性质是：A.路径可预测性B.路径连续但几乎处处不可导C.路径分段平滑D.路径与时间呈线性关系9.对于随机过程X(t)，若对任意t，X(t)的概率分布函数与时间t无关，则X(t)是：A.平稳过程B.严格平稳过程C.弱平稳过程D.遍历过程10.下列哪个随机过程模型常用于金融市场中的股票价格模拟？A.几何布朗运动B.泊松过程C.平稳独立增量过程D.线性回归过程。

随机过程 试 卷学期： 2010 至 2011 学年度 第 1 学期 课程： 随机过程 班级： YS201021/22/23/25/31/32 姓名（10分）设有正弦波随机过程()()()t B t A t X ωωsin 2cos 2+=，其中∞<≤t 0，ω为常数，A 和B 都是均匀分布于[]2,0之间的随机变量，并且它们之间相互统计独立。

确定随机变量⎪⎭⎫ ⎝⎛ωπ4X 的概率密度并画出概率密度函数波形。

解：B A B A X 224sin 24cos 24+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛ππωπ，而B A 2,2是均匀分布于[]2,0之间的随机变量，它们的概率密度都为()21=x f ，⎪⎭⎫⎝⎛ωπ4X 的概率密度为()21=x f 与()21=y f 的卷积。

即有()()()[]()()[]()()()()()()()()()()()4441222141224122141221221--+---=-*-+-*-*=--*--=x u x x u x x xu x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x f X二、（10分）设两状态时间离散马尔可夫链() ,2,1,0,=n n ξ，()n ξ可取 0 或 1，它的一步转移概率矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2211q pp q P 其中 1 ,12211=+=+q p q p , 且 (){}(){}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+==2122110010p p p P p p p P ξξ 已知 ()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--------++=n n nnnp p p p p p p p p p p p p p p p p p P 21212122211121122111111 试证明该过程为严平稳过程。

（5分）()()., 1 })({})({}1)({}0)({})(/)({})(/)({})({ })(/)({ )(/)({})({ })(,,)(,)({})(/)({})(/)({})({ })(,,)(,)({,)(1})(,,)(,)({})(,,)(,)({ )(1111111122111111221122111111221122112211221121即是严平稳过程始时刻无关阶联合概率与发生的起所以任意式成立，以所以上面二式相等，所无关，所以与发生时刻或因为刻无关所以它的转移概率与时是一齐次马尔可夫链由于，即要证明个时刻设任意是一严平稳随机过程，要说明k i m n P i n P n n P n P i n i n P i n i n P i m n P i m n i m n P i m n i m n P i m n P i m n i m n i m n P i n i n P i n i n P i n P i n i n i n P n i m n i m n i m n P i n i n i n P n n n k n k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k =+========⋅=+==+=+=+=+⋅=+==+=+=+====⋅======+=+=+====<<<------ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ（5分）利用抛掷硬币的试验定义一个随机过程()()⎩⎨⎧=出现反面出现正面tt t X 2cos π 设出现正反面的概率是相同的。

随机过程试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 随机过程的数学定义中，通常需要满足哪些条件？A. 样本空间、概率测度、随机变量B. 样本空间、概率测度、随机函数C. 样本空间、随机变量、随机函数D. 概率测度、随机变量、随机函数答案：B2. 马尔可夫链的无记忆性指的是什么？A. 过程的未来状态仅依赖于当前状态B. 过程的未来状态仅依赖于过去的状态C. 过程的未来状态依赖于当前和过去的状态D. 过程的未来状态依赖于所有历史状态答案：A3. 在随机过程中，如果一个过程的任何有限维分布都是联合正态的，则称该过程为什么？A. 正态过程B. 高斯过程C. 联合正态过程D. 多元正态过程答案：B4. 以下哪个不是平稳随机过程的性质？A. 一阶矩不随时间变化B. 任意两个不同时间点的协方差仅依赖于时间差C. 过程的均值随时间变化D. 过程的自相关函数仅依赖于时间差答案：C5. 随机过程的谱密度函数与自相关函数之间的关系是什么？A. 互为傅里叶变换B. 互为拉普拉斯变换C. 互为Z变换D. 互为梅林变换答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果随机过程的样本路径是连续的，则称该过程为_________。

答案：连续过程2. 随机过程的样本函数是定义在时间轴上的_________。

答案：随机变量3. 对于一个平稳过程，其自相关函数R(τ)仅依赖于时间差τ，而不依赖于绝对时间t，即R(t1, t2) = R(t1 - t2) = R(τ)，其中τ = t2 - t1。

这种性质称为_________。

答案：时间平移不变性4. 随机过程的遍历性是指过程的_________等于其统计平均。

答案：时间平均5. 随机过程的遍历性分为_________遍历性和_________遍历性。

答案：强，弱三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是泊松过程，并给出其概率质量函数。

答案：泊松过程是一种描述在固定时间或空间间隔内随机事件发生次数的随机过程。

安徽大学2010—2011学年第二学期《 应用随机过程 》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）一、填空题（每小题4分，共24分） 1、设X 是概率空间(),,F P Ω上的一个随机变量，且EX 存在，C 是F 的子σ－域，定义()E X C 如下：()1 ________________ ；()2 ________________________________________ ；2、 在全数学期望公式()EX E E X C ⎡⎤=⎣⎦中，取X ＝____，C ＝____，即得连续型（广义）全概率公式___________________；3、设(){},0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，则()N t 具有_____、 _____增量，且0t ∀>，0h >充分小，有：()(){}()0P N t h N t +-=＝ ________，()(){}()1P N t h N t +-=＝_____________；4、设(){},0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，{},1n X n ≥、{},1n S n ≥分别为其时间间隔序列和等待时间序列，则12,,,,n X X X L L 独立同参数为λ的指数分布， n S ～ ______， ()11N t X =～ _______，()()12,,,n N t n S S S d =L _____________________________________；5、设(){},0W t t ≥为一维标准Brown 运动，则0t ∀>，()W t ～____， 且与Brown 运动有关的三个随机过程____________、_____ ______________、______________都是鞅（过程）；6、倒向随机微分方程（BSDE ）典型的数学结构为__________ ______________________________，其处理问题的实质在于 __________________________________________________.二、证明分析题（共15分，选做一题）1、设X 是概率空间(),,F P Ω度函数()f x 满足：(),0x R f x ∀∈>.设g 是严格递增的可微函数，并满足：()lim y g y →-∞=-∞，()lim y g y →∞=∞，定义随机变量()Y g X =；设()h y 是满足()1h y dy +∞-∞=⎰的任一非负函数.我们希望改变概率测度，使得()h y 是随机变量Y 的密度函数.为此，定义：()()()/h g X g X Z f X ⎡⎤⎣⎦=，（1）证明随机变量Z 是非负的且1EZ =；（2）定义：()()(),A A A F P A Z dP ZdP ωω∀∈==⎰⎰，则随机变量Y 在P 下具有密度h ；2、设(){},0W t t T ≤≤是概率空间(),,F P Ω上的Brown 运动，{},0t F t T ≤≤是Brown 运动的域流；设(){},0t t T Θ≤≤是一个适应过程，定义：()X t =()()0t u dW u -Θ⎰，()()[]()1exp ,2Z t X t X X t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，()()()0t W t W t u du =+Θ⎰，并且假设：()()220T E u Z u du ⎡⎤Θ<∞⎢⎥⎣⎦⎰；令()Z Z T =，则1EZ =；且在概率测度():,AP P A ZdP A F =∈⎰下，过程(){},0W t t T ≤≤是一个Brown 运动.三、计算证明题（共46分） 1、（12分）假设()X E λ～，给定0c >记忆性、条件密度和()()()A E XI E X A P A =，求()E X X c >； 2、（10分）设12,,,n X X X L 独立同[]0,1U 分布，{}12max ,,,n Y X X X =L ，试分别由条件数学期望的直观方法和条件数学期望的一般定义求()()()E X Y E X Y σ=；3、（6分）乘客按每分钟2人的Poisson 流到达车站候车，公交车每5分钟到达一辆，用W 表示时间(]0,5内到达的乘客的候车时间之和；当0t =时有车到达，试求EW ；4、（8分）设质点做一维标准Brown 运动(){},0W t t ≥，0a ≠，则，（1）“质点最终到达a ”的概率为1；（2）质点到达a 的平均时间是a ET =∞；5、（10分，选做一题）（1）设(){},0W t t ≥表示P 下的一维标准Brown 运动，定义：()()exp Z t uW t =⎡⎤⎣⎦，利用Ito-Doeblin 公式写出()Z t 满足的随机微分方程，由此求出()()m t def E Z t ⎡⎤⎣⎦满足的常微分方程，并通过求解其来证明：()()2exp exp 2u t E uW t ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭； （2）设(){},0W t t ≥为标准Brown 运动，试由Ito-Doeblin 公式求解随机微分方程()()()()d S t S t dt S t dW t μσ=+⎡⎤⎣⎦， 并求()()46,E W t E W t ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 四、应用分析题（共15分，选做一题） （1）设股价遵循几何布朗运动()()dS t S t dt μ=率为常数r .定义风险的市场价格为：r μσ-Θ=以及状态价格密度过程为：()()21exp 2t W t r t ζ⎧⎫⎛⎫=-Θ-+Θ⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；a ）证明： ()()()()d t t dW t r t dt ζζζ=-Θ-；b ）设X表示投资者采用组合过程()t ∆时其资产组合的价值（自融资组合），即有： ()()()()()()()()dX t rX t dt t r S t dt t S t dW t μσ=+∆-+∆，证明：()()t X t ζ是鞅；c ）设0T >是固定的终端时刻，证明：如果投资者从初始资本()0X 出发，希望在时刻T 资产组合价值为()V T ，其中()V T 为T F －可测随机变量，则其初始资本必为：()()()0X E T V T ζ=⎡⎤⎣⎦；（2）试从对冲欧式看涨期权空头的角度导出原生资产遵循几何布朗运动的欧式看涨期权价值的Black-Scholes-Merton 偏微分方程，并给出风险中性测度下的定价公式.。