(完整版)应用随机过程试卷

《应用随机过程》A卷及其参考答案《应用随机过程》A卷一、课程简介《应用随机过程》是一门应用数学学科，旨在研究随机现象的变化规律。

通过对这门课程的学习，我们可以掌握随机过程的基本理论和方法，并能够运用这些理论解决实际问题。

本课程共分为两个部分：A 卷和B卷。

二、考试内容1、随机过程的定义、性质和分类2、随机过程的概率分布和数字特征3、常见的随机过程，如泊松过程、马尔可夫过程、随机漫步等4、随机过程的极限理论，如强大数定律、中心极限定理等5、随机过程在各个领域的应用，如金融、生物、物理等三、考试形式1、试题类型：选择题、填空题、简答题、应用题2、分值分配：选择题30分，填空题20分，简答题30分，应用题20分四、考试策略1、理解基本概念：随机过程的概念、性质和分类是考试的重点，需要充分理解并熟练掌握。

2、掌握基本理论：考试中涉及的基本理论较多，需要平时多加学习和巩固。

3、应用实践：掌握基本理论后，需要能够将其应用于实际问题中，因此要多做练习和实际操作。

五、参考答案选择题部分：1、（1）B （2）C （3）A （4）D （5）C2、（1）C （2）B （3）D （4）A （5）C3、（1）D （2）A （3）B （4）C （5）D填空题部分：1、（1）正态分布（2）独立性（3）离散型随机变量2、（1）均匀分布（2）连续型随机变量（3）二项分布3、（1）泊松分布（2）几何分布（3）超几何分布4、（1）马尔可夫过程（2）齐次性（3）有限性5、（1）中心极限定理（2）强大数定律（3）大数定律简答题部分：1、简述随机过程的基本概念及分类。

答：随机过程是指在一定条件下，随时间变化的随机现象的变化规律。

它可以根据不同的分类标准分为连续型和离散型、定值型和随机场、马尔可夫性和非马尔可夫性等。

2、请列举几个常见的随机过程，并简述其应用场景。

答：常见的随机过程有泊松过程、马尔可夫过程、随机漫步等。

泊松过程在物理学、生物学、计算机科学等领域有广泛应用；马尔可夫过程在语音识别、天气预报等领域有应用；随机漫步在金融领域有应用。

2. （1） 求参数为的()b p ,分布的特征函数，其概率密度为Γ()()是正整数p b x x e x p b x p bx p p ,0 000,1>⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−（2）求其期望和方差。

（3）证明对具有相同参数的b Γ分布，关于参数具有可加性。

p 函数有下面的性质：解 （1） 首先，我们知道Γ()()! 1−=Γp p根据特征函数的定义，有()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()pp p x jt b p p xjt b p p x jt b p p xjt b p p xjt b p p bxp p jtxjtxjtXX jt b b jt b p p b dxe x jt b p p b dx e x jt b p p b dx e x jt b p p b e x jt b p b dx e x p b dx e x p b edx x p e e E t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−Γ=−−Γ==−−Γ=−−Γ+−−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−−−∞∞∞−!1!11110010202010110L所以()pX jt b b t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=（2）根据期望的定义，有[]()()()()()()()bpdx x p b p dx e x p b b p dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x xp X E m bx p p bx p p bxp p bx p p bx p p X ==Γ=Γ+−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−−∞−∞−∞−−∞∞−010100011类似的，有[]()()()()()()()()()()()()()2201200010101222111111b p p dx x p b p p dx e x p b b p p dx e x b p p b dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x p x XE bxp p bxp p bxp p bxp p bx p p bx p p +=+=Γ+==+Γ=+Γ+−Γ=Γ=Γ==∫∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−∞−∞−+∞−+∞−−∞∞−L的方差为X 所以，[]()222221b pb p b p p mXE D XX =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−=（3）()()()jt jnt jt e n e e t f −−=115. 试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

安徽大学2013—2014学年第二学期 《 应用随机过程 》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）院/系 年级 __专业 姓名 学号一、填空题（每小题4分，共16分）1、设X 是概率空间(),,F P Ω上的一个随机变量，且EX 存在，C 是F 的子σ－域，定义()E X C 如下：（1）____________________________； （2） ___________________________________________________； 2、设(){},0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，则()N t 具有________、 ________增量，且0t ∀>，0h >充分小，有：()(){}()0P N t h N t +-=＝ ________，()(){}()1P N t h N t +-=＝_____________；3、设(){},0W t t ≥为一维标准Brown 运动，则0t ∀>，()W t ～_______，且与Brown 运动有关的三个随机过程_______________、_________ ___________、___________________________都是鞅（过程）；4、倒向随机微分方程（BSDE ）典型的数学结构为_______________ ______________________________，其处理问题的实质在于________ __________________________________________________________。

二、证明分析题（共10分，选做一题）（1）设X 是定义于概率空间(),,F P Ω上的非负随机变量，并且具有指数分布，即：{}()1x P X x e λ-≤=-，0x >，其中λ是正常数。

设λ是另一个正常数，定义：()XZ e λλλ--=，由下式定义：()A P A ZdP =⎰，A F ∀∈；（i ）证明：()1P Ω=；（ii ）在概率测度P 下计算的分布函数：{}()P X x ≤，0x >；（2）设(){},0W t t ≥是P 下的标准Brown 运动，试分别由鞅的定义及Ito-Doeblin （伊藤—德布林）公式证明：(){},0X t t ≥是鞅（过程），这里，()()()33X t W t tW t =-。

华南理工大学2011—2012 学年第一学期 《应用随机过程》考试试卷（A 卷）（闭卷时间 120 分钟）院/系年级 __专业姓名学号1、设X 是概率空间(Ω,F ,P )且EX 存在，C 是F 的子σ－域，定义E (XC )如下：（1）_______________ ；（2）_____________________________________________ ； 2、设{N (t ),t ≥ 0}是强度为λ的 Poisson 过程，则 N (t )具有_____、_____增量，且∀t >0，h >0充分小，有：P ({N (t + h )− N (t ) = 0})＝ ________，P ({N (t + h )− N (t ) =1})＝_____________；3、设{W (t ),t ≥ 0}为一维标准 Brown 运动，则∀t >0，W (t ) ～____，且与 Brown 运动有关的三个随机过程____________、________ ______________、______________都是鞅（过程）；4、倒向随机微分方程（BSDE ）典型的数学结构为__________ ______________________________，其处理问题的实质在于 ______________________________________________________。

二、证明分析题（共 12 分，选做一题）1、设X 是定义于概率空间(Ω,F ,P )上的非负随机变量，并且具有指数分布，即：P({X ≤ a}) =1−e−λa ，a >0，其中λ是正常数。

设λ是另一个正常数，定义：Z = λλe−(λ−λ)X ，由下式定义：P(A)=∫A ZdP，∀A∈F ；（1）证明：P(Ω) =1；（2）在概率测度P 下计算的分布函数：P({X ≤ a})，a>0；2、设X0～U (0,1)，X n+1～U (1−X n,1)，n≥1，域流{F n,n≥ 0}满足：F n =σ(X k,0 ≤k≤n)，n≥ 0 ；又设Y0 = X0 ，Y n = 2n ⋅∏kn=1 1 X−k X −1 k ，n ≥1，试证：{Yn,n ≥ 0}关于域流{F n,n ≥ 0}是鞅！三、计算证明题（共60 分）1、（12 分）假设X～E(λ)，给定c >0，试分别由指数分布的无记E(XI A )忆性和E(X A) = ，求E(XX >c)；P(A)2、（10 分，选做一题）（1）设X～E(λ)，Y～E(μ)，λ> μ，且X,Y 相互独立；∀c >0，设fX X )为给定X +Y = c 时X 的条件概率密度，试求之并由此求+Y (x cE(X X +Y = c)；⎧1)及（2）设(X,Y)～f (x, y) = ⎪⎨x ,0 ≤ y ≤ x ≤1;，试求fY X (y x⎪⎩0,其它；P(X 2 +Y 2 ≤1X = x)，并由此（连续型全概率公式）求P({X 2 +Y 2 ≤1})；3、（4 分，选做一题）（1）设X,Y独立同U [0,1]分布，试基（2）设于微元法由条件密度求E(XX <Y)；(X,Y)～U (D)，D:0 ≤ y≤x≤1，试由条件数学期望的直观方法求E(YX )、E ⎡⎣(Y −X )2X ⎤⎦；[0,1]分布，Y = min{X1, X2, , 4、（10 分）设X1, X2, , X n 独立同U求E(X1Y) = E(X1 σ(Y))；X n}，试由条件数学期望的一般定义5、（14 分）设{N (t),t ≥ 0}是强度为λ的Poisson 过程，S0 = 0，S n 表示第n个事件发生（到达）的时刻，试求：（1）P(N (s) =kN (t) = n)（s <t,k = 0,1, ,n）；（2）E(S k N (t) = n)，k ≤ n；6、（10 分）设{W (t),t ≥ 0}为标准Brown 运动，试由Ito-Doeblin 公式求解随机微分方程 d ⎡⎣S(t)⎤⎦= μS(t)dt +σS(t)dW (t)，并求E ⎡⎣W4 (t)⎤⎦，E ⎡⎣W6 (t)⎤⎦。

随机过程期末试题及答案一、选择题1. 随机过程的定义中，下列哪个是错误的？A. 属于随机现象。

B. 具有随机变量。

C. 具有时间集合。

D. 具有马尔可夫性质。

答案：D2. 下列哪个不是连续时间的随机过程？A. 泊松过程。

B. 布朗运动。

C. 维纳过程。

D. 马尔可夫链。

答案：D3. 关于时间齐次的描述，下列哪个是正确的？A. 随机过程的概率分布不随时间变化。

B. 随机过程的均值不随时间变化。

C. 随机过程的方差不随时间变化。

D. 随机过程的偏度不随时间变化。

答案：A4. 下列哪个是离散时间的随机过程？A. 随机游走。

B. 指数分布过程。

C. 广义强度过程。

D. 随机驱动过程。

答案：A二、填空题1. 马尔可夫链中，状态转移概率与当前状态无关，只与前一个状态有关，这个性质被称为（马尔可夫性质）。

2. 在某一区间内，随机过程的均值是时间的（函数）。

3. 两个随机过程的相互独立性是指它们的（联合概率）等于各自概率的乘积。

4. 利用（随机过程）可以模拟无记忆的随机现象。

三、解答题1. 试述随机过程的定义及其要素。

随机过程是描述随机现象随时间演化的数学模型。

它由两个基本要素组成：时间集合和取值集合。

时间集合是指随机过程所涉及的时间轴，可以是离散的或连续的。

取值集合是指随机过程在每个时间点上可能取到的值的集合，可以是实数集、整数集或其他集合。

2. 什么是时间齐次随机过程？请举例说明。

时间齐次随机过程是指随机过程的概率分布在时间上不变的特性。

即随机过程在任意两个时间点上的特性是相同的。

例如，离散时间的随机游走就是一个时间齐次随机过程。

在随机游走中，每次移动的概率分布不随时间变化，且每次移动的步长独立同分布。

3. 什么是马尔可夫链？它有哪些性质？马尔可夫链是一种离散时间的随机过程，具有马尔可夫性质，即在给定当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。

马尔可夫链的性质包括：首先，状态转移概率与当前状态无关，只与前一个状态有关。

山东财政学院2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A )（考试时间为120分钟）参考答案及评分标准考试方式： 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07级 出题教师 张辉一． 判断题（每小题2分，共10分，正确划√，错误划ⅹ）1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。

（ⅹ ）2. 非周期的正常返态是遍历态。

（√ ）3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元，则可断定该马氏链不是遍历的。

（ⅹ ）4. 有限马尔科夫链没有零常返态。

（√ ）5．若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有：0)(〉nd iip 。

（ⅹ ）二． 填空题（每小题5分，共10分） 1. 在保险公司的索赔模型中，设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司，若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，一年中保险公司的平均赔付金额是＿＿240000元＿＿＿。

2．若一个矩阵是随机阵，则其元素满足的条件是：（1）任意元素非负（2）每行元素之和为1。

三． 简答题（每小题5分，共10分）1． 简述马氏链的遍历性。

答：设)(n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率，，如果对任意 I j i ∈,存在不依赖于i 的极限0)(〉=j n ij p p ，则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。

2． 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同？答：非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于：强度λ不再是常数，而是与t 有关，也就是说，不再具有平稳增量性。

它反映了其变化与时间相关的过程。

如设备的故障率与使用年限有关，放射物质的衰变速度与衰败时间有关，等等。

四． 计算、证明题（共70分）1. 请写出C —K 方程，并证明之. （10分）解：2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. （15分）解：若{}0),(≥t t N 是一个泊松过程，是Λ,2,1,=i Y i 一族独立同分布的随机变量，并且与{}0),(≥t t X 也是独立的， )(t X =∑=t N i i Y1，那么{}0),(≥t t X 复合泊松过程3. 顾客以泊松过程到达某商店，速率为小时人4=λ，已知商店上午9：00开门，求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。