广西省2013年“创新杯”高一数学竞赛初赛试卷(扫描版,含答案解析)

2013年全国高中数学联赛一试试题一．填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。

1.设集合{}3,1,0,2=A ，集合{}A x A x x B ∉-∈-=22,，则集合B 中所有元素的和为2.在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅，F 是抛物线的焦点，则OFB OFA S S ∆∆⋅=3.在ABC ∆中，已知C B A C B A cos cos 10cos ,sin sin 10sin ⋅=⋅=，则A tan 的值为4.已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为5.设a 、b 为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，有1)(≤x f ，则ab 的最大值为6.从20,,2,1⋅⋅⋅中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为7.若实数x ，y 满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是8.已知数列{}n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个{}8,,2,1⋅⋅⋅∈i 均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则这样的数列的个数为二．解答题：本大题共3小题，共56分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足,,3,2,21⋅⋅⋅=≥-n S S n n 这里n n x x S +⋅⋅⋅+=1. 证明：存在常数0>C ,使得⋅⋅⋅=⋅≥,2,1,2n C x n n10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ， 21,A A 分别为椭圆的左、右顶点，21,F F 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中有两个点R Q ,满足22112211,,,PF RF PF RF PA QA PA QA ⊥⊥⊥⊥, 试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明。

2013年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki ia的概率mnp =，其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= .5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______6. 已知多项式f (x )满足：222(3)2(35)61017()f x x f x x x x x R +++-+=-+∈, 则(2011)f =_________7. 四面体OABC 中, 已知∠AOB =450,∠AOC =∠BOC =300, 则二面角A －OC －B 的平面角α的余弦值是__________ 8. 设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ∈[0, π2],2||≥+βα恒成立. 则实数a 的取值范围是________________.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设数列{}n a 满足0a N +∈,211n n n a a a +=+.求证：当1200+≤≤a n 时,n a a n -=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数)．10. 过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点Q P ,，过Q P ,作椭圆的切线， 两条切线的交点为M ， ⑴ 求点M 的轨迹方程；⑵ 设O 为坐标原点，当四边形POQM 的面积为4时，求直线l 的方程.11. 若a 、b 、c R +∈，且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≤++，求k 的最大值。

高一上学期竞赛试题（数学）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共4页．试卷满分150分．考试时间100分钟．第I 卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}12345U =，，，，,集合{}1,3A =,{}3,4,5B =,则集合()U C A B =（ ）A ．{3}B ．{4,5}C ．{3,4,5}D ．{1245}，，，2.若直线过点(1,2),(4,2+,则此直线的倾斜角是（ ） A.030 B.045 C ．060 D ．090 3.下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．293x y x -=-与3y x =+ B．1y =-与1y x =-C ．00()y x x =≠与10()y x =≠ D ．21,y x x Z =+∈与21,y x x Z =-∈ 4.下列结论正确的是（ ） A ．2030321..<< B ．2030312..<<C ．2031032..<< D ． 0322103..<<5．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数,则下列关系式中成立的是（ ）A.3122-()()f f f -<<（）B. 3122-()()f f f <-<（） C. 3212-()()f f f <<-（） D. 3212-()()f f f <-<（）6．(0)a >化简的结果是（ ）A. 12a B. 14a C. 18a D. 38a 7．如图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为 2的正三角形、俯视图轮廓为正方形,则其体积是（ ）.A．3D . 838．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是（ ）.A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④9.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于 （ ） A π B 2π C 4π D 8π俯视图10．设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = A. 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点 C ．在区间1(,1)e 内有零点,在区间(1,)e 内无零点 B. 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点 D ．在区间1(,1)e内无零点,在区间(1,)e 内有零点11.已知函数2()lg()f x ax x a =-+定义域为R ,则实数a 的取值范围是 （ ）A ．11(,)22-B ．11(,)(,)22-∞-+∞C ．1(,)2+∞D ．11(,][,)22-∞-+∞12.已知三棱锥ABC S -中,底面ABC 为边长等于2的等边三角形,SA 垂直于底面ABC ,3=SA ,那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ） A.43 B.45 C.47 D. 43第Ⅱ卷 （非选择题,共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上． 13.设)(x f 在R 上是偶函数,若当0>x 时,有)1(log )(2+=x x f ,则=-)7(f ． 14.设1(1)()3(1)x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩,则5(())2-f f 的值为 .15．4219432log 2log 3log -⋅= .16．已知函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4)-∞上是减函数,则a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分10分）已知集合{}{}{}37,210,A x x B x x C x x a =≤≤=<<=<． （1）求B A ；（2）求B A C R )(；（3）若A C ⊆,求a 的取值范围． (18)（本小题满分12分）设函数2211)(x x x f -+=．（1） 求)(x f 的定义域；（2） 判断)(x f 的奇偶性；（3） 求证：)()1(x f xf -=．(19)（本小题满分12分）P ABCD-如图,在底面为平行四边形的四棱锥PA AB =,点E 是PD中,AB AC ⊥,PA ⊥平面ABCD ,且的中点.（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E AC B --的大小. (20)（本小题满分12分）（本小题12分）已知函数2421x x y --=的SCBA定义域为A,函数)1(log 2+-=a x y 的定义域为B.（1）若B A ⊆,求实数a 的取值范围；（2）若φ=B A ,求实数a 的取值范围．(21)（本小题满分12分）如图,在三棱锥P ABC -中,,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ；（2）若平面PAC ⊥平面ABC ,且PA PC =,90ABC ∠=︒,求证：平面PEF ⊥平面PBC ．(22)（本小题满分12分） 已知函数62252)(12-⋅-=+x xx f ,其中[0,3]x ∈, （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若实数a 满足：()0f x a -≥恒成立,求a 的取值范围．河南省新乡市新乡县第一中学高一上学期竞赛试题数学答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分． 13．3； 14．132； 15．32； 16．(3,⎤-∞-⎦ 三、解答题：本大题共6小题,共70分．17．（本小题满分10分）（1）B A {}210x x =<< ……………………………３分（2）{}37或R C A x x x =<> ……………………４分B AC R )({}23710或x x x =<<<< ……………………………６分 （3）7a ≥ …………………………………1０分 18．（本小题满分12分） (1)由210-≠x可得1≠±x , ……………………3分所以函数的定义域为：()()()1111,,,-∞--+∞；……………………4分（2）因为22221111()()()()+-+-===---x x f x f x x x,……………………7分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DACBDABDBDCDPAC EBF所以函数()f x 为偶函数；……………………8分（3）因为22222211111111111()()()()+++====----x x x f f x x x x x,……………………11分 所以 )()1(x f xf -= ． .……………………12分 19. （本小题满分12分）（Ⅰ）PA ⊥平面ABCD,∴ AB 是PB 在平面ABCD 上的射影, 又AB ⊥AC,AC ⊂平面ABCD, ∴AC ⊥PB.（Ⅱ）连接BD,与AC 相交与O,连接EO, ABCD 是平行四边形 ∴O 是BD 的中点 又E 是PD 的中点, ∴EO PB. 又PB ⊄平面AEC,EO ⊂平面AEC, ∴PB //平面AEC,（Ⅲ）如图,取AD 的中点F,连EF,FO,则 PA ⊥平面EF 是△PAD 的中位线, ∴EF //PA 又ABCD , ∴EF ⊥平面ABCD同理FO 是△ADC 的中位线,∴FO //AB ∴FO ⊥AC 由三垂线定理可知∴∠EOF 是二面角E －AC －D 的平面角. 又FO ＝12AB ＝12PA ＝EF 。

2017年广西高一“创新杯”决赛试卷参考答案一、选择题（每小题6分，共36分）1．如果1=++cc bb aa ，则abcabc 的值为 ( _★_ )A.1-B. 1C. 1±D. 与c b a ,,的值有关【答案】A解：c c b b a a ，，的取值是1或－1,因为1=++c c b b a a ，所以c c b b a a ，，中有2个1，1个－1.c b a ,,中有两正一负，所以0<abc ，.1-=abcabc2．已知非零实数a b 、满足:2210a ab b a b ++-+=+，则a b +的值等于 ( _★_ )A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】B解：由题设得22211102a b a b ⎡⎤++++-=⎣⎦（）（）（），则0a b =+，10a =+，10b -=，故0a b =+．3．方程 3)2(22=-+x x x 的所有实数根之和为 ( ★ ) A ．1 B.3 C.5 D .7 【答案】C 解：方程22()32x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。

即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。

解得1x =。

经检验1x =是原方程的根。

∴ 原方程所有实数根之和为5。

4．如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC =DB =1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为 ( _★_ ) A.1 B. 2 C. 3 D. 6【答案】B解：设KH 中点为S ，连接PE 、ES 、SF 、PF 、PS ，可证明四边形PESF 为平行四边形，∴G 为PS 的中点,即在点P 运动过程中，G 始终为PS 的中点，所以G 的运行轨迹为△CSD 的中位线,∵CD =AB －AC －BD =6－1－1=4，∴点G 移动的路径长为421⨯=2.5．已知,,x y z 为三个非负实数，且满足325231x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩，设37s x y z =+-，则s 的最大值是 ( _★_ ) A ．57-B. 75-C. 111D. 111- 【答案】D 解：由方程组解出73711x z y z=-⎧⎨=-⎩，由,x y 非负实数，可解得37711z ≤≤，∵373(73)711732s x y z z z z z =+-=-+--=-，取711z =代入即可求得，111max -=s6．()f x 是定义在R 上的函数，若0)1(=f ，且对任意x R ∈，满足)()2(x f x f -+≤2，)()6(x f x f -+≥6，则=)2017(f ( _★_ )A. 2015B. 2016C. 2017D. 2018 【答案】B解：∵ 对任意x R ∈，满足)()2(x f x f -+≤2，∴[][][](6)()(6)(4)(4)(2)(2)()6f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-≤,又)()6(x f x f -+≥6因此，(6)()6f x f x +-=，(6)()6f x f x +=+. ∴ (6)()6f x k f x k +=+，*k N ∈.∴ .20163366)1()33661()2017(=⨯+=⨯+=f f f二、填空题（每小题9分，共54分）7．已知实数x ，y 满足x 2+3x +y －4=0，则x +y 的最大值为 ． 【答案】5解：由x 2+3x +y －4=0得y =－x 2－3x +4，把y 代入x +y 得：x +y =x －x 2－3x +4=－x 2－2x +4=－（x +1）2+5≤5，∴x +y 的最大值为5．8．设a =，且ab = 1，则a 2 + b 2的值为 ．【答案】98解：因25a ===+，及ab = 1知,625)23(23232-=-=+-=b ，故a 2 + b 2 = (a + b )2– 2ab = 100 – 2 = 98．9．若f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)12(,则e d c b a +-+-的值是 ．【答案】2解：f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)12( ,当x =0时，1=f ，当1-=x 时，1-=+-+-+-f e d c b a ，2-=-+-+-e d c b a2=+-+∴e d c b a -.10．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，5BFFC=． 已知AB = 8，AE = 2．则AD 的长为 ．【答案】231+ 解：联结BE ．由BC 为直径知∠BEC = 90°．故BE == 又由Rt △BFE ∽Rt △EFC ，知225BE BF EF BE BF EC EC EF FC EC FC==⇒==⇒=由割线定理得()AE AE EC AD AB +===11．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：34+=kx y 与x轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB =30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是 ．【答案】6解：∵直线l ：y =kx +与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∴B （0，4），∴OB =在Rt △AOB 中，∠OAB =30°，∴OA OB =×4=12，∵⊙P 与l 相切，设切点为M ，连接PM ，则PM ⊥AB ，∴PM =12P A ，设P （x ，0），∴P A =12﹣x ，∴⊙P 的半径PM =12PA =6－12x ，∵x 为整数，PM 为整数，∴x 可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P 成为整圆的点P 个数是6．12．黑板上写有1001,,31,21,1⋅⋅⋅共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数b a ,，然后删去b a ,，并在黑板上写上数ab b a ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是 ． 【答案】100解：1)1)(1(-++=++b a ab b a ，∵计算结果与顺序无关，∴顺次计算得：21)121)(11(=-++，31)131)(12(=-++，41)141)(13(=-++，…… 1001)11001)(199(=-++.13．（本小题满分20分）已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝13，a 2＋b 2＋c 2＝77，abc ＝48，求cb a 111++的值． 解：因为a ＋b ＋c ＝13，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝169． ……………… 5分 因为a 2＋b 2＋c 2＝77，所以ab ＋bc ＋ca ＝46． ……………… 10分 又因为abc ＝48，所以2423111=++=++abc ca bc ab c b a ． ……………… 20分14．（本小题满分20分）如图，⊙O 的直径AB =2，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ．设AD =x ，BC =y ． （1）求y 关于x 的关系式；（2）求四边形ABCD 的面积S ，并证明：S ≥2.解：（1）过点D 作BC DF ⊥于F ，则DF AB // ∵AB 是直径，AM 、BN 是切线∴AB BN AB AM ⊥⊥, ∴BN AM //∴四边形ABFD 为平行四边形又∵∠ABC =90°，∴四边形ABFD 为矩形.∴2==AB FD ，x AD BF ==∵DE 、DA ，CE 、CB 都是切线 ∴根据切线长定理，得x AD DE ==，y CB CE ==在DFC Rt ∆中，x y BF BC CF y x CE DE DC DF -=-=+=+==,,2∴222)(2)(x y y x -+=+化简，得)0(1>=x xy ……………………………… 10分 （2）)0(,1)(21>+=+=x xx BC AD AB S ABCD,即)0(,1>+=x xx S ……………………………… 15分 ∵2)1(21xx x x -=-+≥0当且仅当1=x 时，等号成立 ∴xx 1+≥2，即S ≥2.……………………………… 20分15．（本小题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥. 当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4. 当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =.……… 10分(下面考虑：22324M a ab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+，2(3)25a a b b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数， 不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a a b -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1， 故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2.……………… 20分。

2012年广西高一数学竞赛初赛试卷考试时间：2012年9月16日（星期日）8：30－10：30一、选择题（每小题6分，共36分）1．若c b a ,,为有理数，且0323=++c b a ，则=++c b a （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2012 （D ）2015答：A 。

解析：由有理数与无理数的性质可知0===c b a 时等式成立。

故选A.2．已知⎩⎨⎧=++=--02022z y x z y x ，则分式222222z y x z y x ++--＝（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）2答：C 。

解析：已知,002022=⎩⎨⎧=++=--x z y x z y x 得，则分式1222222-=++--z y x z y x .故选C.3．下列四图，都是由全等正方形组成的图形，其中哪一个能围成正方体？答：（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 答：A 。

解析：只有A 是可以的。

故选A. 4．己知a 是正数，并且：等于则224,12aa a a +=-（ ） （A ）5 （B ）3 （C ）1 （D ）-3 答：A 。

解析：5424,12222=+-=+=-）（则由aa a a a a 。

故选A.5．化简22312523+++得（ ）（A ）1 （B ）22+ （C ）12+ （D ）122+答：D 。

解析：122)223(23)21(1252322312523+=++=+++=+++。

故选D.6．若函数c bx ax y ++=2，当1,0,2-=x 时，其函数值9,5,15-=y ，则函数y 的最大值为（ ） （A ）5 （B ）219（C ）13 （D ）14 答：B 。

解析：由已知求得223192652()22y x x x =-++=--+。

故选B.二、填空题（每小题9分，共54分）1．方程：675691089++-++=++-++x x x x x x x x 的解为 . 答案：x=－7。

首届“创新杯”全国中学数学知识竞赛高一年级试题考生注意：1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2.用钢笔或圆珠笔答在答题纸上。

一、选择题（每小题6分，共36分）1.足协向100名球迷调查对甲A转成中超以及减少参赛队伍的态度，其中75人赞成甲A转成中超，80人赞成减少参赛队伍，那么对于既赞成甲A转成中超，又赞成减少参赛队伍的统计中，下列说法正确的是【】.A.最多人数是55B.最少人数是55人C.最多人数是75D.最少人数是75人2.一个会议室的面积为am2，其窗子的面积为bm2，且a>b，如果把称为这个会议室的亮度，现在会议室和窗子同时增加cm2，则其亮度将【】.A增加 B.减少 C.不变 D.不确定3.高一年级举行排球赛，有可能夺冠的为A、B、C三个班，关于A、B、C到底谁是冠军，甲、乙、丙三同学进行了猜测，甲说：“一定是A班得冠”，乙说：“B班不可能得冠军”，丙说：“A班不可能得冠军”，结果出来后证实，甲、乙、丙三同学中有且仅有一个人判断是正确的，那么，谁是冠军呢？【】.A.A班B.B班C.C班D.不能确定4.神五飞天，举国欢庆，据科学有计算，运载神舟五号飞船的长征四号系列为箭，在点火后1分钟通过的路程为2千米，以后每分钟通过的路程增加2千米，在达到离地面240千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程，大概需要（）分钟【】.A.10B. 13C. 15D. 205.给定Rt△ABC，其中∠B=90°，若Rt△ABC所在平面有一点M，使△ABM和△BCM 都是直角三角形，则称M为“正角点”，这样的“正角点”有【】.A.1个B.2个C.3个D.无数多个6.函数f（x）=x2+bx+c（b，c为整数），集合S={f（k）|k∈Z}，对于某个m∈Z，如果存在m1，m2∈Z使得f（m1）·f（m2）=f（m），则称f（m）为集合S中的“希望数”，则集合S中的“希望数”的数目是【】.A.有限个，比1多B.无穷多个C.不存在D. 1二、填空题（每小题9分，共54）。

2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1. 设集合{2,0,1,3}A ，集合2{|,2}B x x A x A ．则集合B 中所有元素的和为 ．答案 5−．解 易知{2,0,1,3}B ．当2,3x 时，222,7x ，有22x A ；而当0,1x 时，222,1x ，有22x A ．因此，根据B 的定义可知{2,3}B ． 所以，集合B 中所有元素的和为5−．2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线24y x 上，满足4OA OB ，F 是抛物线的焦点. 则OFA OFB S S ．答案 2．解 点F 坐标为(1,0)．设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212,44y y x x ，故21212121214()16OA OB x x y y y y y y ，即2121(8)016y y ，故128y y ． 21212111()2224OFA OFB S S OF y OF y OF y y =（）． 3. 在ABC 中，已知sin 10sin sin ,A B C cos 10cos cos ,A B C 则tan A 的值为 ．答案 11．解 由于sin cos 10(sin sin cos cos )10cos()10cos A A B C B C B C A ，所以sin 11cos A A ，故tan 11A ．4. 已知正三棱锥P ABC 底面边长为1，高为，则其内切球半径为 ．答案解 如图，设球心O 在面ABC 与面ABP 内的射影分别为H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则P 、K 、M 共线，P 、O 、H 共线，2PHM PKO ，且,OH OK r PO PH OH r ，MH ABPM ， 于是有1sin5OK MH KPO POPM ，解得r． 5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b 满足：对任意[0,1]x ，有()1f x . 则ab 的最大值为 ．答案14． 解 易知(1)(0),(0)a f f b f ，则2221111(0)((1)(0))(0)(1)(1)(1)2444ab f f f f f f f ． 当2(0)(1)1f f ，即12a b 时，14ab ．故ab 的最大值为14． 6. 从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 ．答案 232323．解 设12345a a a a a <<<<取自1,2，…，20，若12345,,,,a a a a a 互不相邻，则123451123416a a a a a ≤<−<−<−<−≤，由此知从1,2,,20 中取5个互不相邻的数的选法与从1,2,,16 中取5个不同的数的选法相同，即516C 种．所以，从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为5552016165520202321323C C C C C −=−=． 7. 若实数,x y满足x ，则x 的取值范围是 ． 答案 {0}[4,20] ． 解,(,0)a b a b ，此时22()x y x y a b ，且条件中等式化为2242a b a b ，从而,a b 满足方程22(2)(1)5a b (,0)a b ．如图所示，在aOb 平面内，点(,)a b 的轨迹是以(1,2)为,0a b 的部分，即点O 与弧 ACB 的02, ，从而 2204,20x a b ． 8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ，且对每个{1,2,,8}i ，均有112,1,2i i a a，则这样的数列的个数为 ． 答案 491． 解 令1(18)i i ia b i a，则对每个符合条件的数列{}n a ，有 88191111i i i i ia ab a a，且12,1,(18)2i b i ． ① 反之，由符合条件①的8项数列{}n b 可唯一确定一个符合题设条件的9项数列{}n a ．记符合条件①的数列{}n b 的个数为N ．显然(18)i b i 中有偶数个12，即2k 个12；继而有2k 个2，84k 个1．当给定k 时，{}n b 的取法有22882C C k kk 种，易见k 的可能值只有0,1,2，所以224486841C C C C 12815701491N ．因此，根据对应原理，符合条件的数列{}n a 的个数为491．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12,2,3,n n S S n −≥= ，这里1n n S x x =++ ．证明：存在常数0C >，使得2,1,2,n n x C n ≥⋅=． 解 当2n ≥时，12n n S S −≥等价于11n n x x x −≥++ ． ① …………………4分对常数114C x =，用数学归纳法证明： 2,1,2,n n x C n ≥⋅= ． ②……………………8分1n =时结论显然成立．又2212x x C ≥=⋅．对3n ≥，假设2,1,2,,1kk x C k n ≥⋅=− ，则由①式知()121n n x x x x −≥+++()21122n x C C −≥+⋅++⋅()223122222n n C C −=++++=⋅ ，所以，由数学归纳法知，②式成立．…………………16分10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为22221(0)x y a b a b ，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面中两个点Q 、R 满足11QA PA ，22QA PA ，11RF PF ，22RF PF ，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明．解 令c ，则1212(,0),(,0),(,0),(,0)A a A a F c F c ．设001122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ，其中22000221,0x y y a b．由1122,QA PA QA PA 可知111010()()0A Q A P x a x a y y，① 221010()()0A Q A P x a x a y y． ②…………………5分将①、②相减，得102()0a x x ，即10x x ，将其代入①，得220100x a y y ，故22010x a y y ，于是22000,x a Q x y ． …………………10分 根据1122,RF PF RF PF ，同理可得22000,x c R x y． …………………15分 因此2222200000x a x c b QR y y y ，由于0(0,]y b ，故QR b （其中等号成立的充分必要条件是0y b ，即点(0,)P b 为 ）． …………………20分 11. （本题满分20分）求所有的正实数对(,)a b ，使得函数2()f x ax b 满足：对任意实数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ．解 已知条件可转化为：对任意实数,x y ，有22222()(())()()ax y b a x y b ax b ay b ． ①先寻找,a b 所满足的必要条件．在①式中令0y ，得22()()b ax b ax b b ，即对任意实数x ，有2(1)(2)0b ax b b ．由于0a ，故2ax 可取到任意大的正值，因此必有10b ，即01b ． …………………5分在①式中再令y x ，得422()()ax b b ax b ，即对任意实数x ，有2422()2(2)0a a x abx b b ． ②将②的左边记为()g x ．显然20a a （否则，由0a 可知1a ，此时22()2(2)g x bx b b ，其中0b ，故()g x 可取到负值，矛盾），于是 2222222()()()(2)ab ab g x a a x b b a a a a 222()(22)11b b a a x a b a a0 对一切实数x 成立，从而必有20a a ，即01a ． …………………10分进一步，考虑到此时01b a ，再根据(22)01b g a b a，可得22a b ．至此，求得,a b 满足的必要条件如下：01b ，01a ，22a b ． ③…………………15分下面证明，对满足③的任意实数对(,)a b 以及任意实数,x y ，总有①成立，即222222(,)()(1)()2(2)h x y a a x y a b x y axy b b对任意,x y 取非负值．事实上，在③成立时，有2(1)0,0a b a a ，(22)01ba b a，再结合222x y xy ，可得2222(,)()(1)(2)2(2)h x y a a x y a b xy axy b b2222()2(2)a a x y abxy b b22()(22)11b b a a xy a b a a0 ． 综上所述，所求的正实数对(,)a b 全体为{(,)|01,01,22}a b b a a b ． …………………20分。

2013年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题一、填空题： 本大题共8小题，每小题8分，共64分.1. 已知函数423)(--=x x x f 的反函数为)(1x f -，定义数列}{n x 如下：21=x ，)(11n n x f x -+=，*N n ∈，则数列}{n x 的通项公式是n x =__________.2. 设y x ,为实数，且满足225410x y x +=，则22x y +的最大值为_________.3.S =的整数部分是_______.4. 已知三棱锥A －BCD 的体积是V ，棱BC 的长是a ，面ABC 和面DBC 的面积分别是1S 和2S ，设面ABC 和面DBC 所成的二面角是α，那么sin α＝_______.5. 函数1111()1232013f x x x x x =++++++++ 图像的对称中心的坐标为________. 6. 设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为________. 7. 将2个a 和2个b 共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有________.8. 从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数abcde ，满足条件“a b c d e <><>”的概率为_________.二、解答题：本大题共3小题，共56分.9. （本小题满分16分）是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：（1）最大角是最小角的两倍？（2）最大角是最小角的三倍？若存在，分别求出该三角形的三边长；若不存在，请说明理由.10. （本小题满分20分）如图，O△的外接圆，直线BO和CO分别与边AC、AB交于点D、⊙为锐角ABCE，直线DE交ABC=.△的外接圆于点M、N，且AM AN（1）求证：2=⋅；AM AE AB（2）求证：AO BC⊥.11. （本小题满分20分）设椭圆221:11612x yC+=与抛物线22:8C y x=的一个交点为00(,)P x y,定义,(0)())2x xf xx x⎧<<=>⎩,若直线()y a f x=与的图像交于,A B两点，且已知定点(2,0)N，求ABN∆的周长的取值范围.。

2012年广西高一数学竞赛初赛试卷考试时间：2012年9月21日（星期六）8：30－10：30一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知实数c b a ,,两两不相等，若a c zc b y b a x -=-=-，则实数=++z y x （ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）12 （D ）32．化简235323322232--=---（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）33．已知集合6|,3A x N x Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，则集合A 中的元素个数为（ ） 4．己知a 是正数，并且：等于则224,12aa a a +=-（ ） （A ）5 （B ）3 （C ）1 （D ）-3答：A 。

解析：5424,12222=+-=+=-）（则由aa a a a a 。

故选A.5．化简22312523+++得（ ）（A ）1 （B ）22+ （C ）12+ （D ）122+答：D 。

解析：122)223(23)21(1252322312523+=++=+++=+++。

故选D.6．若函数c bx ax y ++=2，当1,0,2-=x 时，其函数值9,5,15-=y ，则函数y 的最大值为（ ） （A ）5 （B ）219（C ）13 （D ）14 答：B 。

解析：由已知求得223192652()22y x x x =-++=--+。

故选B.二、填空题（每小题9分，共54分）1．方程：675691089++-++=++-++x x x x x x x x 的解为 . 答案：x=－7。

解析：)6)(5()7)(5()6()9)(8()10)(8()9(22++++-+=++++-+x x x x x x x x x x ,)6)(5(1)9)(8(1++=++x x x x ,7-=x .2．已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除,则x ＋y 的值为 .答案：9。

2013年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、填空题： 本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1. 143351n −−×+ . 解：由已知得x xx f ++=−243)(1，于是1342n n nx x x ++=+542n x =−+. 设3n n b x =−, 则11115n n b b +=+×，11111544n n b b +⎛⎞+=+⎜⎟⎝⎠ ，数列114n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为34−, 公比为5的等比数列.因此1113544n n b −+=−×.即15341+×−=−n n b .所以数列{}n x 的通项公式为 153431+×−=−n n x .2. 4.解：222254104105002x y x y x x x +=⇒=−≥⇒≤≤22222224()1025(5)2534x y x x x x y +=−=−−≤−⇒+≤. 其中等号当且仅当2x =，0y =时成立. 3. 8.<<即2<2.取1,2,,49k =1<.8与9之间，因此，8=.4.1232aVS S . 解：由已知，△ABC 过顶点A 的高为a S h 12'=，三棱锥过顶点A 的高为23S Vh =，故2123'sin S S aVh h ==α.5. (10070)−， . 解：设1111()(1007)1006100510051006g x f x x x x x =−=++++−−++ .则1111()()1006100510051006g x g x x x x x −=++++=−−−−−−+−+ . ∴ ()g x 为奇函数，()g x 的图像关于原点(00)，对称. ∴ ()f x 的图像关于点(10070)−，对称.ln 2)−. 解：函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称. 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d ′=−⇒=−⇒=−⇒=.由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d =−. 7. 3960 .解：使得2个a 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，使得2个b 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，故由乘法原理，这样的填法共有272种. 其中不合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内恰有1个方格填有b 的情况有121691672C A =×种.所以，符合条件的填法共有2727216723960−−×=种.8.215. 解：由题只有3545,,,5354b b b b d d d d ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩四种情况 35b d =⎧⎨=⎩时只能4e =，所以有两种情况：12,21a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 53b d =⎧⎨=⎩时只能4a =，所以有两种情况：12,21c e e c ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 45b d =⎧⎨=⎩时，,,a c e 可任取1,2,3中的任意排列（不重复），故有336A =种情况 54b d =⎧⎨=⎩时，,,a c e 可任取1,2,3中的任意排列（不重复），故有336A =种情况 故共有16种情况，故概率为5516215P A ==.二、解答题：本大题共3小题，共56分. 9. （本小题满分16分）解： （1）设三边长为1,,1n n n −+，n 为大于1的正整数，对角分别为,,A B C ,则2C A =，从而 2cos cos 22cos 1C A A ==−. …………………………4分用余弦定理代入化简可得 322717100n n n −−+=(21)(2)(5)0n n n ⇒−+−=. 所以 5n =，该三角形三边长分别为4,5,6. …………………………8分 （2）若3C A =，则由正弦定理，有21sin sin 334sin 1sin sin n C AA n A A +===−− ①2sin 44cos (12sin )1sin n A A A n A==−− ② 由①、②消去2sin A ，得 4cos A n =. …………………………………12分 又由余弦定理，经化简可得 2(8)0n n n −−=，易知，该方程无正整数解.故这样的三角形不存在. ………………………………………………………………16分10. （本小题满分20分） 证明：（1）如图，连接MB ，NC 。