综合曲线坐标计算 坐标换算法

曲线坐标计算通用公式（复化Simpson 公式）推导一、已知条件1、线元起点坐标：(),A A A x y2、线元起点切线方位角：A α3、线元起点里程：A K4、线元终点里程：B K 5、线元起点曲率半径：A ρ 6、线元终点曲率半径：B ρ二、求解问题求线元上任意点的坐标：(),C x y 。

即推导曲线坐标计算通用公式。

三、图示：如右上图（图中未示y ∆值） 四、坐标计算公式线元上任意点C 的坐标计算公式为：A x x x =+∆————① A y y y =+∆————②由上式可知，关键问题是求出x ∆、y ∆。

五、x ∆计算若AC 是直线，直接采用公式cos x l α∆=可求出x ∆（其中l 为A 、C 两点间直线距离，α为AC 直线方位角），但是，A 、C 两点间是任意曲线相连,不能直接用上述公式计算x ∆,需利用微积分原理计算。

1、曲线AB 上任意一点的曲率ρ计算采用内插法得：()B AA AB Ak k k k ρρρρ-=+--————③其中：k ——曲线AB 上任意一点的里程。

2、曲线AB 上任意一点的切线方位角α计算如右图：C 是曲线AB 上任意一点，AT 、TC 是A 、C 两点的切线，利用圆曲线求弧长公式得：()90A A k k A R π-=()90A k k Rδβπ-==其中：k ——曲线上任意点里程。

R ——曲线上任意点的曲率半径。

（通过公式③求得，1R ρ=）()()1190A A A R R k k ααπ=++-()()90A A A k k αρρπ=++-————④ 使用公式③、④时的符号规定：线元右偏：A ρ、B ρ均为“+”（即线元起终点曲率半径输正值）。

线元左偏：A ρ、B ρ均为“—”（即线元起终点曲率半径输负值）。

3、x ∆计算根据公式③、④可推知，()cos y k α=⎡⎤⎣⎦是里程间隔[],A C k k 上k 的一个连续函数，计算A 、C 两点的坐标增量x ∆，也就是求在里程段[],A C k k 内，x 坐标的改变量。

坐标转换公式详细计算步骤1. 引言嘿，朋友们，今天咱们来聊聊一个听上去有点高深、实际上却超级有趣的话题——坐标转换公式！可能有些小伙伴一听到“坐标”就觉得头大，仿佛在听外星人说话。

其实啊，这就像用不同的语言描述同一个地方，只不过这回我们要把点的位置从一个地方“搬家”到另一个地方，听上去是不是挺简单的？想象一下，你在一个城市里，想把你的小店从市中心搬到郊区。

你会用什么？对了，地图！坐标就是地图上的标记。

现在，我们要的是如何把这些标记从一个地图转换到另一个地图。

是不是挺刺激的？2. 坐标的基本概念2.1 坐标系首先，我们得搞清楚坐标系是个啥。

其实，坐标系就像是一个大舞台，每一个点都是舞台上的演员。

有的坐标系是二维的，比如我们常见的平面图，x轴和y轴就像是舞台的左右两边。

而三维坐标系则多了一条z轴，像是把舞台抬高，给演员多了一点表演的空间。

2.2 坐标的表示好了，了解了坐标系后，咱们得学会如何表示这些坐标。

想象一下，一个点在平面上被表示成（x, y），这就像是这个点的身份证号。

它告诉你这个点在舞台上的确切位置。

对于三维坐标系呢，咱们就加上一个z，比如（x, y, z），这就像是在舞台上多了一个层次感，让表演更丰富。

3. 坐标转换的必要性3.1 为什么要转换你可能会问，为什么我们需要坐标转换呢？哈哈，这就好比你去一个新城市玩，没地图可不行！在不同的坐标系中，我们可能会遇到一些需要转换的情况，比如， GPS 导航中就经常涉及到这个问题。

简单来说，转换可以帮助我们在不同的场合使用不同的坐标系，不管是搞科研，还是逛商场，都是必须的。

3.2 常见的转换公式接下来，咱们进入正题——坐标转换公式。

最常用的两种转换就是从极坐标转到直角坐标，反之亦然。

极坐标呢，就是用角度和距离来描述点的位置，直角坐标则用横纵坐标来描述。

公式如下：从极坐标（r, θ）转换到直角坐标（x, y）：。

x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)反之，从直角坐标转换到极坐标：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)哎呀，听上去有点复杂，不过没关系，慢慢来，大家肯定能学会！4. 计算步骤详解4.1 实际示例假设你有一个点的极坐标是（5, 30°），你想把它转换成直角坐标。

测量坐标换算公式是什么我们常常在测量工作中需要处理不同坐标系之间的换算。

当我们需要将一个点的坐标从一个坐标系转换到另一个坐标系时，我们需要使用坐标换算公式。

什么是坐标换算公式？坐标换算公式是一种用于在不同坐标系之间进行转换的数学表达式或方法。

它可以通过一系列的计算步骤将一个点的坐标从一个坐标系转换到另一个坐标系，使我们能够在不同的坐标系中进行准确的测量与定位。

常见的坐标系在测量工作中，常见的坐标系包括直角坐标系（笛卡尔坐标系）、极坐标系、大地坐标系等。

每种坐标系有自己特定的表示方法和坐标轴方向。

•直角坐标系（笛卡尔坐标系）：通过横纵坐标轴来表示点的位置，如(x, y)。

•极坐标系：通过一个极径和一个极角来表示点的位置，如(r, θ)。

•大地坐标系：用于表示地球上的位置，通常使用经度和纬度来标定点的位置。

测量坐标换算的方法垂直坐标系之间的换算当我们需要将点的坐标从一种垂直坐标系转换到另一种垂直坐标系时，我们可以使用以下公式进行换算：H2 = H1 + ΔH其中：•H1 是点在第一个垂直坐标系下的高程值。

•ΔH 是两个垂直坐标系之间的高程差（可以是正值或负值）。

•H2 是点在第二个垂直坐标系下的高程值。

平面坐标系之间的换算当我们需要将点的坐标从一种平面坐标系转换到另一种平面坐标系时，我们可以使用以下公式进行换算：X2 = X1 + ΔXY2 = Y1 + ΔY其中：•X1 和 Y1 是点在第一个平面坐标系下的水平坐标值。

•ΔX 和ΔY 是两个平面坐标系之间的水平坐标差（可以是正值或负值）。

•X2 和 Y2 是点在第二个平面坐标系下的水平坐标值。

不同坐标系之间的换算当我们需要在不同的坐标系之间换算点的坐标时，需要先从垂直坐标系换算到平面坐标系，然后再进行平面坐标系之间的换算。

整体换算公式如下：X2 = X1 + ΔXY2 = Y1 + ΔYH2 = H1 + ΔH结论测量坐标换算公式是进行不同坐标系之间转换的重要工具。

圆曲线坐标计算交点桩号YK20+734.498；N=2889769.961；E=527002.305 ；方位角314'24'58.3' 转角27'19'31.4' 切线长度T1= 814.345 ；T2= 814.347 ；半径R=3000 ；曲线长度LS1：170；LC=1260.752；LS2= 170 曲线总长=1600.752 求ZH,HY,QZ,YH,HZ以及圆心点的坐标。

1、A？输入转(偏)角；左转为负，右转为正。

转角27'19'31.4'2、R？输入曲线半径。

30003、LS？输入缓和曲线长度。

1704、JD（DK）？输入交点里程桩号。

20734.498结果显示T = 814.347 W=87.776 L=1600.754 ZH=19920.151;HY=20090.151; QZ=20720.528; YH=21350.905; HZ=21520.9055、X（JD）？输入本交点X坐标。

2889769.9616、Y（JD）？输入本交点Y坐标。

527002.3057、FWJ？输入直缓(ZH)点切线方位角。

314'24'58.3'8、J？输入0程序计算中桩，输入1程序计算边桩。

09、Z？输入里程桩号。

ZH=19920.151FWJ:314.416 X=2889200.028 Y= 527583.973完（FWJ:314.416=314'24'57.6' ）ZH(2889200.026 527583.975) HY(2889320.140 527463. 682)QZ(2889816.373 527076.808) YH(2890382.383 526801.950)HZ(2890543.311 526747.167)例如2:JD15:4013872.8781;456031.1661 JD16:4015349.321;451808.075ZH:75+137.901 ay:16.45.49.69 R=9000 缓和曲线长：490 T=1571.257 JD(DK) =76709.158 FWJ=289-16-12.85 给我算一下74+400;75+300;75+800;76+500左中线坐标。

[作者原创] CASIO fx-5800P CYT 综合曲线坐标计算程序V1.0说明:本程序适用于卡西欧计算器 CASIO fx-5800P,能进行全线贯通计算。

可计算:第一夹直线段、第一缓和曲线段、圆曲线段、第二缓和曲线段、第二夹直线段的线路中、边桩坐标及切线方位角,该程序主要针对不对称缓和曲线设计以及对现场施工放样减少了计算方位角和距离的繁琐。

主程序名:CYT第1步50→DimZ:Deg:Fix 6第2步"1=>XY":"2=>DK":?J:If J=1:Then Goto A:IfEnd:If J=2:Then Goto B:IfEnd第3步Lb1 A:"JSDK"?Z:"W"?P:"α"?Q:Prog"YT":Goto C:Lb1 B第4步"QJD(X"?U:"QJD(Y"?V:"JD(X"?N:"JD(Y"?E:"JD(DK"?D:?R:"LS1"?S:"LS2"?T:"α"?A 第5步"JSDK"?Z:"W"?P:"α"?Q:Lb1 C第6步 POL(N-U,E-V:J→F:IF J<0:Then J+360→F:IfEnd第7步S^(2÷24÷R-S^(4÷2688÷R^(3→Z[5]:T^(2÷24÷R-T^(4÷2688÷R^(3→Z[6]第8步S÷2-S^(3÷240÷R^(2→Z[7]:T÷2-T^(3÷240÷R^(2→Z[8]第9步90×S÷π÷R→Z[9]:90×T÷π÷R→Z[10]第10步(Abs(A-Z[9]-Z[10]×R×π÷180→Z[2]第11步(R+Z[5]×tan(Abs(A÷2+(Z[6]-Z[5]÷sin(Abs(A+Z[7]→Z[11]第12步(R+Z[6]×tan(Abs(A÷2+(Z[5]-Z[6]÷sin(Abs(A+Z[8]→Z[22]第13步(R+Z[5]÷COS(Abs(A÷2-R→Z[1]第14步Z[2]+S+T→L:D-Z[11]→Z[12]:Z[12]+S→Z[13]:Z[13]+Z[2]→Z[15]:Z[12]+L→Z[16]第15步Cls:"T1=":Locate 4,1,Z[11]:"T2=":Locate 4,2,Z[22]:"E=":Locate4,3,Z[1]:"L=":Locate 4,4,L◢第16步Cls:"ZH=":Locate 4,1,Z[12]:"HY=":Locate 4,2,Z[13]:"YH=":Locate4,3,Z[15]:"HZ=":Locate 4,4,Z[16]◢第17步F+180→Z[17]:If Z[17]>360:Then Z[17]-360→Z[17]:IfEnd第18步N+Z[11]×Cos(Z[17]→Z[18]:E+Z[11]×Sin(Z[17]→Z[19]第19步F+A→Z[20]:If Z[20]>360:Then Z[20]-360→Z[20]:IfEnd第20步N+Z[22]×Cos(Z[20]→Z[21]:E+Z[22]×Sin(Z[20]→Z[23]第21步 If A<0:Then -1→H:Else 1→H:IfEnd:Goto 2:Lb1 1第22步"JSDK"?Z:"W"?P:"α"?Q:Lb1 2第23步If Z≤Z[12]:Then Goto D:IfEnd:If Z≤Z[13]:Then Goto E:IfEnd第24步If Z≤Z[15]:Then Goto F:IfEnd:If Z≤Z[16]:Then Goto G:IfEnd第25步If Z≥Z[16]:Then Goto H:IfEnd:Lb1D:If Z≤Z[12]:Then Z[12]-Z→G:IfEnd第26步Z[18]+G×Cos(Z[17]+P×Cos(F+Q→X:Z[19]+G×Sin(Z[17]+P×Sin(F+Q→Y:F→Z[27]第27步Goto 3:Lb1 E:If Z≤Z[13]:Then Z-Z[12]→W:IfEnd:If A<0:Then -1→H:Else 1→H:IfEnd第28步 (Z-Z[12]^(2÷2÷R÷S×180÷π→Z[26]第29步F+Z[26]×H→Z[27]:W-W^(5÷40÷R^(2÷S^(2→Z[28]:W^(3÷6÷R÷S→Z[29]第30步 Z[18]+Z[28]×Cos(F-H×Z[29]×Sin(F+P×Cos(Z[27]+Q→X第31步Z[19]+Z[28]×Sin(F+H×Z[29]×Cos(F+P×Sin(Z[27]+Q→Y第32步Goto 3:Lb1 F:If Z≤Z[15]:Then Z-Z[12]→K:IfEnd:If A<0:Then -1→H:Else 1→H:IfEnd第33步 ((Z-Z[12]-0.5×S÷R×180÷π→Z[32]第34步F+Z[32]×H→Z[33]:R×Sin(Z[32]+Z[7]→Z[34]:R×(1-Cos(Z[32]+Z[5]→Z[35]第35步 Z[18]+Z[34]×Cos(F-H×Z[35]×Sin(F+P×Cos(Z[33]+Q→X第36步Z[19]+Z[34]×Sin(F+H×Z[35]×Cos(F+P×Sin(Z[33]+Q→Y:Z[33]→Z[27]第37步Goto 3:Lb1 G:If A>0:Then -1→H:Else 1→H:IfEnd:If Z≤Z[16]:ThenZ[16]-Z→M:IfEnd第38步Z[20]+180→Z[42]:If Z[42]>360:Then Z[42]-360→Z[42]:IfEnd第39步M^(2÷2÷R÷T×180÷π→Z[38]:Z[20]+Z[38]×H→Z[39]第40步 M-M^(5÷40÷R^(2÷T^(2→Z[40]:M^(3÷6÷R÷T→Z[41]第41步 Z[21]+Z[40]×Cos(Z[42]-H×Z[41]×Sin(Z[42]+P×Cos(Z[39]+Q→X第42步Z[23]+Z[40]×Sin(Z[42]+H×Z[41]×Cos(Z[42]+P×Sin(Z[39]+Q→Y:Z[39]→Z[27]第43步Goto 3:Lb1 H:If Z≥Z[16]:Then Z-Z[16]→O:IfEnd第44步Z[21]+O×Cos(Z[20]+P×Cos(Z[20]+Q→X:Z[23]+O×Sin(Z[20]+P×Sin(Z[20]+Q→Y:Z[2 0]→Z[27] 第45步 Goto 3:Lbl 3第46步 Cls:"F=":Locate 3,1,Z[27]°:"X=":Locate 3,2,X:"Y=":Locate 3,3,Y◢第47步"Z(X"?B:"Z(Y"?C第48步 POL(X-B,Y-C:If J<0:Then J+360→J:Else J→J:IfEnd第49步 Cls:"F=":Locate 3,1,J°:"S=":Locate 3,2,I◢第50步 Goto 1数据库名:YTGoto 1Lbl 1:If Z<10000:Then3378226.731→U:456053.721→V:3373351.385→N:458628.379→E:9557.84→D:2040→R:260→S:280→T:-14°18ˊ10″→A:Return:IfEndLbl 1:IfZ<…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………Lbl 1:If Z<本交点HZ里程或下个交点ZH里程:Then 前交点坐标X→U:前交点坐标Y→V:本交点坐标X→N:本交点坐标Y→E:交点里程→D:曲线半径→R:第一缓和曲线长→S:第二缓和曲线长→T:转角→A:Return:IfEndLbl 1每增加一行则为增加一个曲线要素,……表示下一个曲线要素。

曲线坐标计算一、圆曲线圆曲线要素：α---------------曲线转向角R---------------曲线半径根据α及R可以求出以下要素：T----------------切线长L----------------曲线长E----------------外矢距q----------------切曲差（两切线长与曲线全长之差）各要素的计算公式为：2αtgR T ⋅=︒⋅=180παR L (弧长))12(sec -=αR E （sec α=cos α的倒数）圆曲线主点里程：ZY=JD －TQZ=ZY ＋L ／2 或 QZ=JD －q /2 YZ=QZ ＋L ／2 或 YZ=JD ＋T －qJD=QZ＋q／2（校核用）1、基本知识◆里程：由线路起点算起，沿线路中线到该中线桩的距离。

◆表示方法：DK26＋284.56。

“+”号前为公里数，即26km，“+”后为米数，即284.56m。

CK ——表示初测导线的里程。

DK ——表示定测中线的里程。

Ｋ——表示竣工后的连续里程。

铁路和公路计算方法略有不同。

2、曲线点坐标计算（偏角法或弦切角法）已知条件：起点、终点及各交点的坐标。

1）计算ZY、YZ点坐标通用公式：2）计算曲线点坐标①计算坐标方位角i 点为曲线上任意一点。

li 为i 点与ZY点里程之差。

弧长所对的圆心角弦切角弦的方位角当曲线左转时用“-”，右转时用“+”。

计算弦长②③计算曲线点坐标此时的已知数据为：ZY（x ZY，y ZY）、αZY- i、C。

根据坐标正算原理：切线支距法这种方法是以曲线起点ZY或终点YZ为坐标原点，以切线为X轴，以过原点的半径为Y轴，则圆曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得：πϕϕϕ︒⋅=-==180,)cos 1(sin R l R y R x 式中利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得：式中：α为ZY(YZ)点沿线路前进方向的切线方位角。

圆曲线坐标计算公式β=180°/π×L/R （L= βπ R/180°）弧长公式β为圆心角△X=sinβ×R△Y=(1-cosβ)×RC= 弦长X=X1+cos (α ±β/2)×CY=Y1+sin (α ±β/2)×Cβ代表偏角,（既弧上任一点所对的圆心角）。

β/2是所谓的偏角（弦长与切线的夹角）△X、△Y代表增量值。

X、Y代表准备求的坐标。

X1、Y1代表起算点坐标值。

α代表起算点的方位角。

R 代表曲线半径缓和曲线坐标计算公式β= L2/2RL S ×180°/πC= L - L5/90R2L S2X=X1+cos (α ±β/3)×CY=Y1+sin (α ±β/3)×CL代表起算点到准备算的距离。

LS代表缓和曲线总长。

X1、Y1代表起算点坐标值。

直线坐标计算公式X=X1+cosα×LY=Y1+sinα×LX1、Y1代表起算点坐标值α代表直线段方位角。

L代表起算点到准备算的距离。

左右边桩计算方法X边=X中+cos（α±90°)×LY边=Y中+sin（α±90°)×L在计算左右边桩时，先求出中桩坐标，在用此公式求左右边桩。

如果在线路方向左侧用中桩方位角减去90°，线路右侧加90°，乘以准备算的左右宽度。

例题:直线坐标计算方法α(方位角)=18°21′47″X1=84817.831 Y1=352.177 起始里程DK184+714.029求DK186+421.02里程坐标解:根据公式X=X1+cosα×LX=84817.831+COS18°21′47″×(86421.02—84714.029)=86437.901Y=Y1+sinα×LY=352.177+sin18°21′47″×(86421.02—84714.029)=889.943求DK186+421.02里程左右边桩,左侧3.75m,右侧7.05m.解:根据公式线路左侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86437.901+cos(18°21′47″- 90°)×3.75=86439.082Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=889.943+sin(18°21′47″- 90°)×3.75=886.384线路右侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86437.901+cos(18°21′47″+ 90°)×7.05=86435.680Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=889.943+sin(18°21′47″+90°)×7.05=896.634例题:缓和曲线坐标计算方法α(ZH点起始方位角)=18°21′47″X1=86437.901 Y1=889.941 起始里程DK186+421.02曲线半径2500 缓和曲线长120m求HY点坐标,也可以求ZH点到HY点任意坐标解:根据公式β=L2/2RLS×180°/πβ=｛1202/(2×2500×120)｝×(180°/π)= 1°22′30.36″C=L-L5/90R2LS2C=120-1205/(90×25002×1202)=119.997X=X1+cos(α±β/3)×CX=86437.901+cos(18°21′47″-1°22′30.36″/3)×119.997=86552.086Y=Y1+sin(α±β/3)×CY=889.941+sin(18°21′47″-1°22′30.36″/3)×119.997=926.832求DK186+541.02里程左右边桩,左侧3.75m,右侧7.05m.解:根据公式线路左侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86552.086+cos｛(18°21′47″-1°22′30.36″)- 90°｝×3.75=86553.182Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=926.832+sin｛(18°21′47″-1°22′30.36″)- 90°｝×3.75=923.246线路右侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86552.086+cos｛(18°21′47″-1°22′30.36″)+ 90°｝×7.05=86550.026Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=926.832+sin｛(18°21′47″-1°22′30.36″)+ 90°｝×7.05=933.574缓和曲线方位角计算方法α=(起始方位角±β偏角)= 18°21′47″-1°22′30.36″=16°59′16.64″注:缓和曲线在计算坐标时,此公式只能从两头往中间推,只能从ZH点往HY点推,HZ点往YH点推算,如果YH往HZ点推算坐标,公式里的β为β2/3.例题:圆曲线坐标计算方法α(HY点起始方位角)= 16°59′16.64″X1=86552.086 Y1=926.832曲线半径2500 曲线长748.75 起始里程DK186+541.02求YH点坐标,也可以求QZ点坐标或任意圆曲线一点坐标.解:根据公式β=180°/π×L/Rβ= 180°/π×748.75/2500=17°09′36.31″△X=sinβ×R△X=sin17°09′36.31″×2500=737.606△Y=(1-cosβ)×R△Y=(1-cos17°09′36.31″)×2500=111.290C= 弦长C=745.954X=X1+cos(α±β/2)×CX= 86552.086 +cos(16°59′16.64″+360°-17°09′36.31″/2) ×745.954=87290.023Y=Y1+sin(α±β/2)×CY=926.832+ sin(16°59′16.64″+360°-17°09′36.31″/2) ×745.954=1035.905圆曲线方位角计算方法α=(起始方位角±β偏角)= 16°59′16.64″+360°-17°09′36.31″=359°49′40.33″求DK187+289.77里程左右边桩,左侧3.75m,右侧7.05m.解:根据公式线路左侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=87290.023+cos(359°49′40.33″-90°)×3.75=87290.012Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=1035.905+sin(359°49′40.33″-90°)×3.75=1032.155线路右侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=87290.023+cos(359°49′40.33″+90°)×7.05=87290.044Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=1035.905+sin(359°49′40.33″+90°)×7.05=1042.955。

卵形曲线是高等级公路、立交桥匝道常见的曲线形式，它由基本的三部分构成：第一圆曲线段、缓和曲线段和第二圆曲线段。

中间段缓和曲线用来连接两个不同半径的圆曲线。

其中线坐标解算方法有如下几种：1 补全缓和曲线我国公路上采用的缓和曲线为辐射螺旋线，夹在两圆曲线中间的缓和曲线为整个缓和曲线的一部分，缓和曲线上任一点半径与该点至该缓和曲线起点的距离乘积为一定值：R×L ＝ A ，假设 R1＞ R2，可由两圆半径及两圆间的缓和段长 ls，求缓和曲线的总长 L 。

Δl ＝ L － l s (1)Δl 就是夹在两圆曲线间缓和段省去的部分，由 YH 点补长Δl 至 o 点，以 o 点为该缓和曲线起点，起点的切线方向为 x 轴，与之垂直的曲线内侧方向为 y轴方向建立坐标系（图 1 ）。

缓和曲线公式（推导过程略）如下：(2)(3)图 1利用 x 、 y 值可以求得 o—YH 弦与 x 轴的夹角：β＝ 3δ。

α1为YH 点的切线方位角，则 ox 的方位：α＝α1±β。

o 点的坐标可由几何关系求得为（ x0， y）。

缓和段上任一点统一坐标可求得：(4)y=yo+xsinα±ycosα (5) 2 曲率推算缓和曲线段曲率半径由第一段圆曲线半径 R1变为第二段曲率半径 R2（假设 R1＞ R2），则缓和曲线曲率半径变化为： (6)其中 ls为中间段缓和曲线长，为求缓和曲线方程，现建立以缓和曲线起点为坐标原点，起点的切线方向为 x 轴，与之垂直的曲线内侧方向为 y 轴的坐标系（图2 ），设 P 点为缓和曲线上任一点，距原点的曲线长为 l ，该点附近的微分弧长为 dl ，缓和曲线偏角为β，则有dx=dlcosβ (7)dy=dlsinβ (8)图 2由于将其代入上式并进行积分可得缓和曲线方程：(9)(10)中间缓和段统一坐标计算为：(11)Y ＝ yYHxsinα±ycosα (12)α为曲线 YH 点切线方位。