曲线坐标计算公式

曲线坐标计算通用公式（复化Simpson 公式）推导一、已知条件1、线元起点坐标：(),A A A x y2、线元起点切线方位角：A α3、线元起点里程：A K4、线元终点里程：B K 5、线元起点曲率半径：A ρ 6、线元终点曲率半径：B ρ二、求解问题求线元上任意点的坐标：(),C x y 。

即推导曲线坐标计算通用公式。

三、图示：如右上图（图中未示y ∆值） 四、坐标计算公式线元上任意点C 的坐标计算公式为：A x x x =+∆————① A y y y =+∆————②由上式可知，关键问题是求出x ∆、y ∆。

五、x ∆计算若AC 是直线，直接采用公式cos x l α∆=可求出x ∆（其中l 为A 、C 两点间直线距离，α为AC 直线方位角），但是，A 、C 两点间是任意曲线相连,不能直接用上述公式计算x ∆,需利用微积分原理计算。

1、曲线AB 上任意一点的曲率ρ计算采用内插法得：()B AA AB Ak k k k ρρρρ-=+--————③其中：k ——曲线AB 上任意一点的里程。

2、曲线AB 上任意一点的切线方位角α计算如右图：C 是曲线AB 上任意一点，AT 、TC 是A 、C 两点的切线，利用圆曲线求弧长公式得：()90A A k k A R π-=()90A k k Rδβπ-==其中：k ——曲线上任意点里程。

R ——曲线上任意点的曲率半径。

（通过公式③求得，1R ρ=）()()1190A A A R R k k ααπ=++-()()90A A A k k αρρπ=++-————④ 使用公式③、④时的符号规定：线元右偏：A ρ、B ρ均为“+”（即线元起终点曲率半径输正值）。

线元左偏：A ρ、B ρ均为“—”（即线元起终点曲率半径输负值）。

3、x ∆计算根据公式③、④可推知，()cos y k α=⎡⎤⎣⎦是里程间隔[],A C k k 上k 的一个连续函数，计算A 、C 两点的坐标增量x ∆，也就是求在里程段[],A C k k 内，x 坐标的改变量。

曲线坐标计算公式曲线坐标是用于表示曲线上其中一点的位置的一种坐标系统。

在数学和物理学中广泛应用，特别适用于描述弯曲的路径和曲线的方程。

曲线坐标系统通常由两个坐标组成，一个是沿曲线的长度坐标，另一个是垂直于曲线的偏移坐标。

沿曲线的长度坐标通常表示为s，垂直于曲线的偏移坐标通常表示为n。

曲线坐标的计算公式主要取决于曲线的形状和方程。

下面将介绍几种常见的曲线坐标计算公式。

1.直线的曲线坐标：对于一条直线，曲线坐标很容易计算。

沿曲线的长度坐标s可以简单地等于直线的长度。

偏移坐标n可以根据垂直距离计算。

2.抛物线的曲线坐标：对于抛物线，曲线坐标的计算需要一些复杂的公式。

具体的计算方法取决于抛物线的方程形式。

a) 对于标准的纵轴开口抛物线，其方程形式为：y = ax^2，其中 a是常数。

沿曲线的长度坐标s可以通过积分计算得到，公式为：s = ∫(1 + (dy/dx)^2)^0.5 dx，积分区间为曲线上其中一点到原点。

偏移坐标 n 可以通过求解 y = n，即 n = ax^2 的方程，计算得到。

b) 对于横轴开口抛物线，其方程形式为：y = ax^2 + bx，其中 a、b 是常数。

沿曲线的长度坐标s的计算方法同样是通过积分计算得到。

偏移坐标 n 可以通过求解 y = n，即 n = ax^2 + bx 的方程，计算得到。

3.圆的曲线坐标：对于圆，曲线坐标的计算比较简单。

沿曲线的长度坐标s可以通过弧长计算得到，公式为：s=rθ，其中r是圆的半径，θ是圆心角。

偏移坐标n可以直接使用垂直距离计算得到，公式为：n=r-，r-d，其中d是点到圆心的距离。

4.椭圆的曲线坐标：对于椭圆，曲线坐标的计算相对复杂，需要使用数值计算方法，如数值积分或迭代法。

沿曲线的长度坐标可以通过积分计算得到。

偏移坐标可以通过迭代法计算得到，每次迭代使用点到椭圆的最小距离的切线与椭圆的交点作为新的计算点。

以上是几种常见曲线的曲线坐标计算公式，当然还有其他曲线的曲线坐标计算方法，具体取决于曲线的形式和方程。

圆锥曲线抛物线顶点坐标公式在我们学习数学的过程中，圆锥曲线里的抛物线那可是个有趣又有点小“调皮”的家伙。

今天咱们就来好好聊聊抛物线顶点坐标公式。

先来说说什么是抛物线。

想象一下，你把一个小球往上抛，它经过的轨迹就是一条抛物线。

这在生活中很常见，比如投篮的时候篮球的轨迹，喷泉里水喷出来的形状。

那抛物线顶点坐标公式到底是啥呢？对于抛物线的标准方程 y = ax²+ bx + c 来说，它的顶点坐标是 (-b/2a, (4ac - b²)/4a) 。

这公式看起来有点复杂，不过别怕，咱们一点点来理解。

比如说，有这样一道题：已知抛物线 y = 2x² - 4x + 1 ，求它的顶点坐标。

这时候，咱们就可以套用公式啦。

a = 2 ，b = -4 ，c = 1 。

先算 -b/2a ，也就是 -(-4) / (2×2) = 1 。

再算 (4ac - b²)/4a ，也就是 [4×2×1 - (-4)²] / (4×2) = -1 。

所以顶点坐标就是 (1, -1) 。

我记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个学生特别迷糊，怎么都搞不明白。

我就给他举了个例子，说这就好比咱们去爬山，顶点就是山顶，咱们得找到怎么最快地爬到山顶的路线，而这个公式就是咱们的路线图。

这孩子后来好像突然就开窍了，可把我高兴坏了。

再深入一点，抛物线的顶点其实很重要，它能告诉我们很多信息。

比如抛物线是开口向上还是向下，对称轴在哪里等等。

咱们做题的时候，一定要把公式记牢，但是也不能死记硬背。

得多做几道题，亲自去感受一下公式的用处。

就像学骑自行车，光知道理论可不行，得真正骑上去，多摔几次，才能掌握平衡的技巧。

总之，抛物线顶点坐标公式虽然有点复杂，但只要咱们用心去学，多练习，就一定能把它拿下。

相信大家在数学的世界里都能乘风破浪，勇往直前！。

公式解析一．坐标转换X =A +N COSα-E SINαY =B +N SINα+E COSαN=(X-A) COSα±(Y-B)SINαE=(Y-B)COSα±(X-A)SINαA,B为施工坐标系坐标原点α为施工坐标系与北京坐标系X轴的夹角（旋转角）即大地坐标系方位角X,Y为北京坐标值 N，E为施工坐标值二．方位角计算1.直线段方位角: α=tanˉ¹ [(Yb-Ya)/(Xb-Xa)]2.交点转角角度: α=2 tanˉ¹ (T/R)计算结果①为﹢且＜360，则用原数;②为﹢且＞360，则减去360;③为﹣，则加上180.3.缓和曲线上切线角: α=ƟZH±90°*Lo²/(π*R* Ls）α= Lo/(2ρ)=Lo²/(2 A²)=Lo²/(2R*Ls)ρ—该点的曲率半径4.圆曲线上切线角: α=ƟHY±180°*Lo/(π*R）ƟZH—直缓点方位角, ƟHY—缓圆点方位角,注：以计算方向为准，左偏，取"﹣"；右偏，取"﹢"。

左偏，则第一段缓和曲线和圆曲线上取"﹣"，第二段缓和曲线上取"﹢" ；右偏，则第一段缓和曲线和圆曲线上取"﹢"，第二段缓和曲线上取"﹣" .。

符号说明:A—回旋线参数（A²=R* Ls） Ls—缓和曲线长度R—曲线半径Lo—曲线长度：计算点位到特殊点(ZH、HY、YH、HZ)的长度三．坐标值计算1．直线段坐标计算公式：直线两端点A.B间距离为S；A点坐标为A(Xa, Ya)；方位角为αXb= Xa+S*cosαYb= Ya+S*sinα2．缓和曲线及圆曲线坐标计算公式：①缓和曲线坐标计算公式：X=XZH+(Lo-Lo^5/(40*R^2*Ls^2)+Lo^9/(3456*R^4*Ls ^4)-Lo^13/(599040*R^6*Ls^6)+Lo^17/(175472640*R ^8*Ls^8))*cosα-(Lo^3/(6*R*Ls)-Lo^7/(336*R^3*L s^3)+Lo^11/(42240*R^5*Ls^5)-Lo^15/(9676800*R^7 *Ls^7)+Lo^19/(3530096640*R^9*Ls^9))*sinαY=YZH+(Lo-^5/(40*R^2*Ls^2)+Lo^9/(3456*R^4*Ls^4 )-Lo^13/(599040*R^6*Ls^6)+Lo^17/(175472640*R^8 *Ls^8))*sinα+(Lo^3/(6*R*Ls)-Lo^7/(336*R^3*Ls^ 3)+Lo^11/(42240*R^5*Ls^5)-Lo^15/(9676800*R^7*L s^7)+Lo^19/(3530096640*R^9*Ls^9))* cosα符号说明:XZH—直缓点X坐标值 YZH—直缓点Y坐标值 A—回旋线参数（A²=R* Ls）Lo—计算点位到特殊点的长度 Ls—缓和曲线长度R—曲线半径α—方位角注:式中，紫色部分为缓和曲线任意点的坐标增量(支距坐标)。

曲线的极坐标方程公式曲线的极坐标方程公式，这可是个挺有意思的知识呢！在咱们的数学世界里，曲线的极坐标方程公式就像是一把神奇的钥匙，可以打开很多复杂曲线的秘密之门。

先来说说什么是极坐标。

想象一下，咱们在一个平面上，不是用常见的直角坐标系中的 x 和 y 来确定点的位置，而是用一个点到原点的距离ρ 和这个距离与 x 轴正方向的夹角θ 来确定，这就是极坐标啦。

那曲线的极坐标方程公式到底是啥呢？比如说，圆的极坐标方程是ρ = a ，这里的 a 就是圆的半径。

还有常见的阿基米德螺线，它的极坐标方程是ρ = aθ 。

记得我之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸懵地问我：“老师，这极坐标有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想啊，咱们平时看到的摩天轮，那上面每个座位的位置是不是可以用极坐标来描述呀？”这孩子一听，眼睛立马亮了起来。

再比如说椭圆的极坐标方程，ρ = ep/(1 - e cosθ) ，这里的 e 是椭圆的离心率，p 是焦点到准线的距离。

这个公式看起来有点复杂，但是只要理解了其中的原理，也就不难啦。

还有抛物线的极坐标方程，ρ = p/(1 - cosθ) ，这里的 p 是抛物线的焦准距。

咱们在学习曲线的极坐标方程公式的时候，可不能死记硬背，得理解每个字母代表的含义，以及公式是怎么推导出来的。

就像咱们学走路，得先知道怎么迈腿，为啥要这样迈腿，才能走得稳、走得快。

我曾经带着学生们做过一个小实验，在操场上画了一个大大的极坐标系，让他们自己去找到不同曲线对应的点，通过这样的实践，他们对极坐标方程的理解明显加深了。

总之，曲线的极坐标方程公式虽然有点难，但只要咱们用心去学，多做练习，多思考，一定能掌握好这把神奇的钥匙，打开数学世界里更多的奥秘之门！。

一、公路平曲线坐标计算公式1、缓和曲线：Lb1 0{K,D}①T=A2/R ②L=J（K-O）+T ③B=T2 /2/A2 *180/π④M=（L-T）-（L5-T5）/40/A4+（L9-T9）/3456/A8-（L13-T13）/599040/A12+（L17-T17）/17542600/A165.N=(L3-T3)/6/A2-(L7-T7)/336/A6+(L11-T11)/42240/A10-(L15-T15) /9676800/A14+(L19-T19)/3530097000/A18⑥I=(L2-T2)*180/2/A2/π⑦X=C+Mcos(Q-ZB)-ZNsin(Q-ZB)+Dcon(Q+ZI+S)◢⑧Y=F+Msin(Q-ZB)+ZNcos(Q-ZB)+Dsin(Q+ZI+S)◢Goto 0注：A：缘和曲线参数 R：起点半径 J：曲率半径判定值（当曲率半径由小到大取1,否则取-1）（当起点半径到终点半径是由大或无穷大到小取+1，反之则取-1） K：欲求点里程 O：缘和曲线起点里程 C：缘和曲线起点X坐标Q：起始方位角（当J=-1时，方位角应+180。

） Z：偏角判定值(当J=1时，左偏为-1，右偏为1；当J=-1时，左偏为1，右偏为-1) D：距中桩的距离 S：斜交角度 F：缘和曲线起点Y坐标2、圆曲线Lb1 0{K,D}①L=K-0②X=C+R[sin(Q+L/R*180/π)-sinQ]+Dcos(Q+L/R*180/π+S)◢③Y=F-R[cos(Q+L/R*180/π)-cosQ]+Dsin(Q+L/R*180/π+S)◢ Goto 0注：K：欲求点里程 O：圆曲线起点里程 C：圆曲线起点X坐标 R：圆曲线半径 (左偏为负) Q：起始方位角 D：距中桩的距离 S：斜交角度 F：圆曲线起点Y坐标3、直线Lb1 0{K,D}①L=K-0②X=C+LcosQ+Dcos(Q+S)◢③Y=F+LsinQ+Dsin(Q+S)◢Goto 0注：K：欲求点里程 O：直线起点里程 C：直线起点X坐标 Q：起始方位角 D：距中桩的距离 S：斜交角度 F：直线起点Y坐标二、竖曲线计算公式Lb1 0①{K} ②L=K-（0-T）③H=M-IT+LI-ZL2 /2/R◢ Goto 0 注：K：欲求点里程;O：顶点里程;T：切线长;M：顶点高程;I：坡度;Z：竖曲线判定值三、预拱度计算公式Lb1 0①{K} ②H=D-(4D÷B2)×(B/2-(K-O)) 2◢ Goto 0注：D：跨中最大设计预拱度 H：要计算的预拱度 K：欲求点里程桩号（距支座的距离） O：起点桩号 B：本跨净长。

双曲线的顶点坐标
(1)双曲线的定义:由两条渐近线和一个焦点组成的图形叫做双曲线.双曲线的方程是: y= a^ x+ b^ y.(2)双曲线的顶点坐标公式为: y= a^ x+ b^ y-(3)双曲线的对称轴为:双曲线与x 轴交于A, B 两点,过双曲线上任意一点P,作出P 到直线y= x+ k 的距离d,则d=√5/3;(4)双曲线的焦点在坐标原点,顶点在x 轴上;当x=0时,即为双曲线的焦点,当x>0时,即为双曲线的顶点;
(5)双曲线有无数条渐近线.
(6)双曲线的焦点在坐标原点,顶点在x 轴上;当x=0时,即为双曲线的焦点,当x>0时,即为双曲线的顶点;
(7)当x=0时, y= ax^2+ bx+ c,当x>0时, y= ax^2+ bx+ a.
(8)双曲线的渐近线是:双曲线的每一个定点(即焦点)到两条渐近线的距离相等,且渐近线上的每一点到两边距离之积为常数.
(9)当x=0时, y= ax^2+ bx+ c,当x>0时, y= ax^2+ bx+ a.
(10)双曲线的方程为: y= a^ x+ b^ y-(3)或y= ax^2+ bx+ c.
(11)双曲线有无数条渐近线.
(12)双曲线的焦点在坐标原点,顶点在x 轴上;当x=0时,即为双曲线的焦点,当x>0时,即为双曲线的顶点;
(13)当x=0时, y= ax^2+ bx+ c,当x>0时, y= ax^2+ bx+ a.。

精心整理圆曲线坐标计算公式β=180°/π×L/R （L= βπ R/180°）弧长公式β为圆心角△X=sinβ×RSX=X1+cos (α±β/3)×CY=Y1+sin (α±β/3)×CL代表起算点到准备算的距离。

LS代表缓和曲线总长。

X1、Y1代表起算点坐标值。

直线坐标计算公式X=X1+cosα×LY=Y1+sinα×LX1、Y1代表起算点坐标值Y1=352.177 起始里程DK184+714.029求DK186+421.02里程坐标解:根据公式X=X1+cosα×LX=84817.831+COS18°21′47″×(86421.02—84714.029)=86437.901Y=Y1+sinα×LY=352.177+sin18°21′47″×(86421.02—84714.029)=889.943求DK186+421.02里程左右边桩,左侧3.75m,右侧7.05m.解:根据公式线路左侧计算:7.05=896.634例题:缓和曲线坐标计算方法α(ZH点起始方位角)=18°21′47″X1=86437.901 Y1=889.941 起始里程DK186+421.02曲线半径2500 缓和曲线长120m求HY点坐标,也可以求ZH点到HY点任意坐标解:根据公式β=L2/2RLS×180°/πβ=｛1202/(2×2500×120)｝×(180°/π)= 1°22′30.36″C=L-L5/90R2LS2Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=926.832+sin｛(18°21′47″-1°22′30.36″)- 90°｝×3.75=923.246线路右侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86552.086+cos｛(18°21′47″-1°22′30.36″)+ 90°｝×7.05=86550.026Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=926.832+sin｛(18°21′47″-1°22′30.36″)+ 90°｝×7.05=933.574解:根据公式β=180°/π×L/Rβ= 180°/π×748.75/2500=17°09′36.31″△X=sinβ×R△X=sin17°09′36.31″×2500=737.606△Y=(1-cosβ)×R△Y=(1-cos17°09′36.31″)×2500=111.290C= 弦长C=745.954X=X1+cos(α±β/2)×CX= 86552.086 +cos(16°59′16.64″+360°-17°09′Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=1035.905+sin(359°49′40.33″-90°)×3.75=1032.155线路右侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=87290.023+cos(359°49′40.33″+90°)×7.05=87290.044Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=1035.905+sin(359°49′40.33″+90°)×7.05=1042.955。

平曲线计算公式
平曲线是数学中常见的一种曲线类型，其形状平缓，不像抛物线或椭圆曲线那
样陡峭。

平曲线计算公式是用于计算平曲线上各点的坐标的数学公式。

要计算平曲线上某点的坐标，我们需要知道曲线的方程和该点的横坐标。

下面
是平曲线的一般计算公式：
y = a * x^2 + b * x + c
在这个公式中，a、b、c是曲线的系数，代表曲线的属性。

x代表平曲线上某
点的横坐标，y代表该点的纵坐标。

对于给定的平曲线方程，我们可以根据不同的横坐标x，计算相应的纵坐标y。

这些坐标对可以表示平曲线上的各个点。

通过计算公式，我们可以得到平曲线上任意点的坐标。

需要注意的是，平曲线的形状由不同的系数a、b、c决定。

当a为正数时，曲
线开口向上，而当a为负数时，曲线开口向下。

同时，系数b和c会对曲线进行平
移和拉伸。

通过平曲线的计算公式，我们可以了解和预测曲线上各个点的位置，从而对数
据进行分析和预测。

这在数学和科学领域中具有重要意义。

总之，平曲线的计算公式是用于计算平曲线上各个点的坐标。

了解和应用这个
公式可以帮助我们分析和预测平曲线的特征和属性。

求曲线的直角坐标方程公式曲线的直角坐标方程公式是数学中常见的问题之一，在解析几何和微积分中都有涉及。

通过求解直角坐标方程公式，我们可以更好地理解曲线的几何性质和方程特征。

定义问题在平面直角坐标系中，曲线的方程通常以y=f(x)或x=g(y)的形式给出，其中f(x)和g(y)是关于x或y的函数表达式。

我们的目标是找到一个方程，描述给定曲线的几何形状。

解决方法一、已知参数求方程假设我们已知曲线经过某点(x0,y0)，并且在该点的切线斜率为k，我们可以通过以下步骤求解曲线的直角坐标方程公式： 1. 根据曲线的一般方程形式推导出切线方程； 2. 将给定点的坐标代入切线方程得到约束条件； 3. 利用切线斜率k求解待定函数参数； 4. 求解出函数表达式后即可得到曲线的直角坐标方程公式。

二、多种条件求方程除了已知点和切线斜率外，我们还可以通过多种条件来求解曲线的直角坐标方程： 1. 已知曲线经过两点，确定曲线的过点方程； 2. 已知曲线与坐标轴相交，确定曲线的与坐标轴交点坐标； 3. 已知曲线关于x或y的对称性，求解对称函数表达式； 4. 已知曲线的导数形式，求解微分方程得到方程解。

实例分析考虑求解经过点(1,2)，在该点的切线斜率为3的曲线的方程。

1. 曲线一般形式为y=f(x)； 2. 切线方程为y−2=3(x−1)； 3. 代入约束条件(1,2)得到2= 3(1−1)，即2=0； 4. 根据第3步矛盾条件，无解，说明无法求解满足给定条件的曲线方程。

总结求解曲线的直角坐标方程需要通过点信息和切线信息来确定函数表达式，常常需要推导和代入条件来解得方程。

在实际问题中，我们可以利用不同的条件和对称性来求解曲线方程，加深对曲线形状和特征的理解。

掌握曲线方程求解技巧有助于解析几何和微积分等数学领域的学习和应用。