10-19年(理)分类 专题1 集合与常用逻辑用语 第2讲常用逻辑用语

专题01 集合与常用逻辑用语易错点1 忽略集合中元素的互异性设集合2{},,,1,{,}A x x xy B x y ==，若A B =，则实数,x y 的值为 A ．1x y =⎧⎨∈⎩RB ．1x y =-⎧⎨=⎩C ．11x y =⎧⎨=⎩D ．1x y =⎧⎨∈⎩R 或10x y =-⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩【错解】由A B =得21x xy y ⎧=⎨=⎩或21x y xy ⎧=⎨=⎩，解得1x y =⎧⎨∈⎩R 或10x y =-⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，所以选D ．【错因分析】在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就不算了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．当1x y =⎧⎨∈⎩R 时，A =B ={1,1，y }，不满足集合元素的互异性；当11x y =⎧⎨=⎩时，A =B ={1,1,1}也不满足元素的互异性；当10x y =-⎧⎨=⎩时，A =B ={1，−1,0}，满足题意．集合中元素的特性：（1）确定性. 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合；（2）互异性. 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素（3）无序性. 集合与其中元素的排列顺序无关，如a ，b ，c 组成的集合与b ，c ，a 组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系1．集合{x –1，x 2–1，2}中的x 不能取得值是 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】当x =2时，x –1=1，x 2–1=3，满足集合元素的互异性，集合表示正确；当x =3时，x –1=2，集合中元素重复，不满足互异性，集合表示错误；当x =4时，x –1=3，x 2–1=15，满足集合元素的互异性，集合表示正确；当x =5时，x –1=4，x 2–1=24，满足集合元素的互异性，集合表示正确；故选B ． 【答案】B易错点2 误解集合间的关系致错已知集合{}{|0,1}A B x x A ==⊆，，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是 A ．A B ⊆ B ．A ⊂≠B C ．B ⊂≠AD ．A B ∈【试题解析】因为x A ⊆，所以{}{}{}01{0,1}B =∅，，，，则集合{}0,1A =是集合B 中的元素，所以A B ∈，故选D ．【参考答案】D（1）元素与集合之间有且仅有“属于（∈）”和“不属于（∉）”两种关系，且两者必居其一.判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征.（2）包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇）；如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B ⊂≠（或B A ⊃≠）.2．若集合，，则有 A ．B ．M ⊂≠NC ．M N ⊃≠D ．【解析】，，故M ⊂≠N . 故选B ． 【答案】B易错点3 忽视空集易漏解已知集合2{|3100}A x x x =--?，{|121}B x m x m =+＃-，若A B A =，则实数m 的取值范围是A ．[3,3]-B ．[2,3]C ．(,3]-∞D ．[2,)+∞【错因分析】空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.由并集的概念知，对于任何一个集合A ，都有A A ∅=，所以错解中忽略了B =∅时的情况. 【试题解析】∵AB A =，∴B A ⊆.2{|3100}{|25}A x x x x x =--?-＃，①若B =∅，则121m m +>-，即2m <，故2m <时，A B A =；②若B ≠∅，如图所示，则121m m +?，即2m ³. 由B A ⊆得21215m m -≤+⎧⎨-≤⎩，解得33m -≤≤.又∵2m ³，∴23m ≤≤.由①②知，当3m ≤时，A B A =.【参考答案】C（1）对于任意集合A ，有A∅=∅，A A ∅=，所以如果A B =∅，就要考虑集合A B 或可能是∅；如果AB A =，就要考虑集合B 可能是∅.（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即A ∅⊆，()B B ⊂∅≠∅≠.3．集合，若，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．【解析】当时，集合，满足题意；当时，，若，则，∴，所以，故选B ．【答案】B易错点4 A 是B 的充分条件与A 的充分条件是B 的区别设,a b ∈R ,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【错解】选A ．【错因分析】充分必要条件的概念混淆不清致错.【试题解析】若2,2a b >>且，则4a b +>，但当4,1a b ==时也有4a b +>，故本题选B ． 【参考答案】B（1）“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ，即B ⇒A 且A /ÞB ； （2）“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ，即A ⇒B 且B /ÞA .4．已知a ，b ∈R ，若221a b +≥的一个充分不必要条件是ab m ≤(0)m <，则实数m 的取值范围是 A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(],2-∞-C ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)2,0-【解析】由基本不等式得，221212a b ab ab +≥≥⇒≥，由102ab ab <⇒≤-，又因为221a b +≥的一个充分不必要条件是ab m ≤(0)m <，则12m ≤-，故选A ． 【答案】A易错点5 命题的否定与否命题的区别命题“()**n f n ∀∈∈N N ，且()f n n ≤”的否定形式是A ．()**()n f n f n n ∀∈∉>N N ，且B ．**()()n f n f n n ∀∈∉>N N ，或 C ．**0000)()(n f n f n n ∃∈∉>N N ，且D ．**0000()()n f n f n n ∃∈∉>N N ，或【错因分析】错解1对命题的结论否定错误，没有注意逻辑联结词； 对于错解2，除上述错误外，还没有否定量词；错解3的结论否定正确，但忽略了对量词的否定而造成错选．【试题解析】全称命题的否定为特称命题，因此命题“()**n f n ∀∈∈N N ，且()f n n ≤”的否定形式是“()()**0000n f n f n n ∃∈∉>N N ，或 ”．故选D ．【参考答案】D1．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论．2．命题的否定（1）对“若p ，则q ”形式命题的否定； （2）对含有逻辑联结词命题的否定； （3）对全称命题和特称命题的否定．（4）全称（或存在性）命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称（或存在性）命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．5．已知2||1:523,:045p x q x x ->>+-，则¬p 是¬q A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A的否定形式错误地认为：一、集合1．元素与集合的关系：a A a A∈⎧⎨∉⎩属于，记为不属于，记为.2．集合中元素的特征：（1）确定性：一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合.（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.（3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系.3．常用数集及其记法：4．集合间的基本关系2n个子集，有否则会造成漏解. 5．集合的基本运算{|B x x =|{B x x =A B A ⊆ A B B ⊆ A A A = A ∅=∅ A B B A = A B A ⊇ A B B ⊇ AA A =A A ∅= AB B A =)A =∅)A U =(.)U UU AB A A B B A B A B =⇔=⇔⊇=⇔∅痧?二、命题及其关系、充分条件与必要条件 1．四种命题2．四种命题间的关系都是任意3．充分条件与必要条件的概念(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)若p ⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的充分不必要条件； (3)若p /⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； (4) 若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件；(5) 若p /⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.(1)等价转化法判断充分条件、必要条件①p 是q 的充分不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的充分不必要条件； ②p 是q 的必要不充分条件⇔q ⌝是p ⌝的必要不充分条件； ③p 是q 的充要条件⇔q ⌝是p ⌝的充要条件；④p 是q 的既不充分也不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的既不充分也不必要条件.(2)集合判断法判断充分条件、必要条件若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即p ：A ={x |p (x ) }，q ：B ={x |q (x ) }，则 ①若A B ⊆，则p 是q 的充分条件； ②若B A ⊆，则p 是q 的必要条件； ③若A B ⊂≠，则p 是q 的充分不必要条件； ④若B A ⊂≠，则p 是q 的必要不充分条件； ⑤若A B =，则p 是q 的充要条件；⑥若A B ⊂≠且B A ⊂≠，则p 是q 的既不充分也不必要条件.三、逻辑联结词、全称量词与存在量词 1．常见的逻辑联结词：或、且、非一般地，用联结词“且”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧，读作“p 且q ”； 用联结词“或”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨，读作“p 或q ”； 对一个命题p 的结论进行否定，得到一个新命题，记作p ⌝，读作“非p ”． 2．复合命题的真假判断“p 且q ”“p 或q ”“非p ”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：3．全称量词和存在量词4．含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：1．（2018浙江）已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=U A ð A ．∅ B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}2．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ð A ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥3．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，，4．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z，≤，，，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．45．（2018浙江）已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2018天津理科）设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2017北京理科）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2016上海理科）设a ∈R ，则“1>a ”是“12>a ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2017新课标Ⅱ卷理）设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1AB =，则B =A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,510．（2017新课标Ⅲ卷理）已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1D ．011．（2016浙江卷理）命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <12．（2017北京卷理）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．（2017天津卷理）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知集合{}|00{},1x x ax +==，则实数a 的值为 A ．−1 B ．0 C ．1D ．215．已知集合,,则()P Q =R ðA ．B ．C ．D ．16．设命题p :1,ln x x x ∀>>,则p ⌝为 A ．0001,ln x x x ∃>> B ．0001,ln x x x ∃≤≤ C ．0001,ln x x x ∃>≤D ．1,ln x x x ∀>≤17．“若12a ≥错误！未找到引用源。

专题1 集合与常用逻辑用语1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合2|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C【解析】由题意得2|42,{|60}{}|23}{M x x N x x x x x =-<<=--<=-<<， 则{|22}MN x x =-<<．故选C ．【名师点睛】注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者所有的部分． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞)【答案】A【解析】由题意得，2{560|}{2|A x x x x x =-+><=或3}x >，{10}{1|}|B x x x x =-<=<，则{|1}(,1)A B x x =<=-∞．故选A ．【名师点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A【解析】∵21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，又{1,0,1,2}A =-，∴{}1,0,1A B =-.故选A ．【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.4．【2019年高考天津理数】设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()A C B =A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,4【答案】D 【解析】因为{1,2}A C =，所以(){1,2,3,4}A C B =.故选D .【名师点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．5．【2019年高考浙江】已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()UA B =A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A 【解析】∵{1,3}UA =-，∴(){1}U A B =-.故选A.【名师点睛】注意理解补集、交集的运算.6．【2019年高考浙江】若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立， 综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故选A.【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取,a b 的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.7．【2019年高考天津理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<， 易知由05x <<推不出02x <<， 由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件，即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件. 故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到x 的取值范围. 8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行. 故选B ．【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.9．【2019年高考北京理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A ､B ､C 三点不共线，∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AC -AB |⇔|AB +AC |2>|AC -AB |2AB ⇔·AC >0AB ⇔与AC 的夹角为锐角，故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件. 故选C.【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积，同时考查了转化与化归的数学思想.10．【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B = ▲ .【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可. 由题意知，{1,6}AB =.【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.专题2 函数的概念与基本初等函数I1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<． 故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．2．【2019年高考天津理数】已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】因为551log 2log 2a =<=， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.200.50.50.5c <=<，即112c <<， 所以a c b <<. 故选A.【名师点睛】本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较. 3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ； 由219333=>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．4．【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=， 令211.45,26.7m m =-=-，则()121222lg( 1.4526.7)10.1,55E m m E =-=⨯-+= 从而10.11210E E =. 故选A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算.5．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称． 又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象． 故选D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．2sin cos ++x xx xC ．D ．【答案】B【解析】设32()22x xx y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ； 36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．【名师点睛】本题通过判断函数的奇偶性，排除错误选项，通过计算特殊函数值，作出选择．本题注重基础知识、基本计算能力的考查．7．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合； 当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为ABCD【答案】D 【解析】由rRα=，得r R α=， 因为121223()()M M M R r R r r R +=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++，解得α=所以.r R α==故选D.【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形易出错．9．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．10．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】∵(1) 2 ()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-．∵(0,1]x ∈时，1()(1)[,0]4f x x x =-∈-；∴(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦； ∴(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x =-=--∈-， 如图：当(2,3]x ∈时，由84(2)(3)9x x --=-解得173x =，283x =，若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则73m ≤.则m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选B.【名师点睛】本题考查了函数与方程，二次函数.解题的关键是能够得到(2,3]x ∈时函数的解析式，并求出函数值为89-时对应的自变量的值.11．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−a ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴b1−a ＜0且{−b ＞013(a +1)3−12(a +1)(a +1)2−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．12．【2019年高考江苏】函数y =的定义域是 ▲ .【答案】[1,7]-【解析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤，解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．13．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________． 【答案】3-【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =， 所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=， 所以3a -=，即3a =-．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．14．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立， 又2e 0x >，则0a ≤， 即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.15．【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________. 【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤， 即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤， 化为()22|23642|3a t t ++-≤， 可得()2222364233a t t -≤++-≤，即()22436433a t t ≤++≤， 由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43. 【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解. 16．【2019年高考北京理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________． 【答案】①130；②15【解析】①10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付()608010130+-=元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，当120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求；当120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立， 即()87,8y y x y x -≥≤， 因为min158y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以x 的最大值为15.综上，①130；②15.【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 17．【2019年高考江苏】设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .【答案】1,34⎡⎪⎢⎪⎣⎭【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数()f x =的图象与1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根，要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则()(0,2]f x x =∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为11=，解得(0)4k k =>， ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =，∴134k ≤<， 综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为134⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数()f x ，()g x 的图象，数形结合求解是解题的关键因素.专题3 导数及其应用1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.2．【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 当111x x-=-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln xa x≤恒成立， 令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =， ∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.3．（2019浙江）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−a ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴b1−a＜0且{−b ＞013(a +1)3−12(a +1)(a +1)2−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3， 则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,xxxy x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．5．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +， 由20411x -=-得0x =0x =， ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=4=.故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . 【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=， 当0x x =时，01y x '=， 则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 将点()e,1--代入，得00e1ln 1x x ---=-， 即00ln e x x =，考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增， 注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =， 此时01y =， 故点A 的坐标为()e,1.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．7．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立， 又2e 0x >，则0a ≤， 即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x=-+，21sin ())(1x 'x g x =-++.当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点，设为α.则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点. （iii ）当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π⎥⎝⎦有唯一零点. （iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点.【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.9．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线.【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析； （2）见解析.【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1）（1，+∞）．因为212()0(1)f 'x x x =+>-，所以()f x 在（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f （e ）=e 110e 1+-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又1101x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-，故f （x ）在（0，1）有唯一零点11x ．综上，f （x ）有且仅有两个零点．（2）因为0ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，01x ）在曲线y =e x 上． 由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=-，故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----． 曲线y =e x 在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是01x ， 所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线．【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力. 10．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩. 【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-． 令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-． （ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =，与0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =或a =-或a =0，与0<a <3矛盾． 综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．【名师点睛】这是一道常规的函数导数和不等式的综合题，题目难度比往年降低了不少，考查函数的单调性、最大值、最小值这种基本量的计算. 11．【2019年高考北京理数】已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．【答案】（Ⅰ）y x =与6427y x =-；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）3a =-. 【解析】（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+.令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =.又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-，即y x =与6427y x =-.（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-.由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-. 令()0g'x =得0x =或83x =.(),()g'x g x 的情况如下：所以()g x 的最小值为6-，最大值为0. 故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->； 当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =. 综上，当()M a 最小时，3a =-.【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．【2019年高考天津理数】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-． 【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π(),()44k k k f x ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为π5π2π,2π()44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】（Ⅰ）由已知，有()e (cos sin )xf 'x x x =-．因此，当52,244x k k ππ⎛⎫∈π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x >，得()0f 'x <，则()f x 单调递减；当32,244x k k ππ⎛⎫∈π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x <，得()0f 'x >，则()f x 单调递增．所以，()f x 的单调递增区间为32,2(),()44k k k f x ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ． （Ⅱ）证明：记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭．依题意及（Ⅰ），有()e (cos sin )x g x x x =-，从而()2e sin x g'x x =-．当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()g'x <，故()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．（Ⅲ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n xn x =．记2n n y x n =-π，则,42n y ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且()()()22e cos ecos 2e n n yx n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N ．由()()20e1n n f y f y -π==≤及（Ⅰ），得0n y y ≥．由（Ⅱ）知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<= ⎪⎝⎭．又由（Ⅱ）知，()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，故()()()()()022*******2sin cos sin c e e e e os e n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤=--≤<． 所以，20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力． 13．【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +>（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意21[,)ex ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围． 注：e=2.71828…为自然对数的底数．【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）⎛ ⎝⎦.【解析】（1）当34a =-时，3()ln 04f x x x =-+>．3()4f 'x x =-+=所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a≤，得04a <≤．当04a <≤时，()f x ≤2ln 0x -≥．令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t t x t =≥则2()2ln g t t x=．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x =-==.故所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1()1g t g x ⎛+= ⎝．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫⎪⎝⎭．由（i ）得，11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，()<0q x ．因此1()10g t g x ⎛+=>⎝．由（i ）（ii ）知对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞， 即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2xf x a．综上所述，所求a 的取值范围是0,4⎛⎝⎦． 【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．14．【2019年高考江苏】设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 【答案】（1）2a =；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-． 因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =． （2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a bx +=． 因为2,,3a ba b +都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得121133b b x x +++==．列表如下：所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．专题4 立体几何1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D【答案】D 【解析】解法一：,PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体的一部分，2R ==即344π33R V R =∴=π==，故选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC △为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒，12CE AE PA x ∴===， AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 的中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，，，PA PB PC ∴===又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=，故选D.【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,a b a b αβ⊂⊂∥，则αβ∥”此类的错误．3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则。

第2讲 集合的表示【知识梳理】知识点一 列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．【要点讲解】使用列举法表示集合的四个注意点(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a 1，a 2，…，a n }；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.【知识精讲】例1 (1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3,9}，若x ∈A 且x ∉B ，则x ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．9 (2)用列举法表示下列集合：①不大于10的非负偶数组成的集合；②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合；③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点组成的集合；④方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解．【解】选B (1)∵x ∈A ，∴x ＝1,2,3.又∵x ∉B ，∴x ≠1,3,9，故x ＝2.(2)①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集合是{0,2,4,6,8,10}．②方程x 2＝x 的实数解是x ＝0或x ＝1，所以方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合为{0,1}． ③将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1.∴用列举法表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集为{(0,1)}．【变式训练】1、已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a ∈A ，有|a |∈B ，且B 中只有4个元素，求集合B .解：对任意a ∈A ，有|a |∈B .因为集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－2,0,1,2,3∈A ，知0,1,2,3∈B .又因为B 中只有4个元素，所以B ＝{0,1,2,3}.2、 用列举法表示下列集合．(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合．解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A ，那么A ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．(2)设方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合为B ，那么B ＝{0,1}．3、用列举法表示下列集合．(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；(2)由1～20以内的所有素数组成的集合．解：(1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}．(2)设由1～20以内的所有素数组成的集合为C ，那么C ＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．4、用列举法表示集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，－1≤x ≤1，且x ∈Z}．解：由－1≤x ≤1，且x ∈Z ，得x ＝－1,0,1，当x ＝－1时，y ＝1；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝1.∴A ＝{(－1,1)，(0,0)，(1,1)}．【方法技巧总结】用列举法表示集合的步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来．【知识梳理】知识点二描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．【要点讲解】1．描述法表示集合的条件对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法．2．描述法的一般形式它的一般形式为{x∈A|p(x)}，其中的x表示集合中的代表元素，A指的是元素的取值范围；p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来．一般来说，集合元素x的取值范围A需写明确，但若从上下文的关系看，x∈A是明确的，则x∈A可以省略，只写元素x.例1 (1)用符号“∈”或“∉”填空：①A＝{x|x2－x＝0}，则1____A，－1____A；②(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．(2)用描述法表示下列集合：①正偶数集；②被3除余2的正整数的集合；③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．【解】(1)①将1代入方程，成立；将－1代入方程，不成立．故1∈A，－1∉A.②将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，成立，故填“∈”．(2)①偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．②设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．③坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．【答案】(1)①∈∉②∈【变式训练】1、下列三个集合：①A＝{x|y＝x2＋1}；②B＝{y|y＝x2＋1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义分别是什么？解：(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对．可以认为集合C是坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的集合，其实就是抛物线y＝x2＋1的图象.2、试用描述法表示下列集合．(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．解：(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A ＝{x∈R|x2－2＝0}．(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10<x<20}．3、用描述法表示函数y＝x2－2图象上所有的点组成的集合．解：{(x，y)|y＝x2－2}．4、用描述法表示下列集合．(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．解：(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．(2)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．5、集合A＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为( )A．{x|x＝2n±1，n∈N}B．{x|x＝(－1)n(2n－1)，n∈N}C．{x|x＝(－1)n(2n＋1)，n∈N}D．{x|x＝(－1)n-1(2n＋1)，n∈N}【解】选C (1)观察规律，其绝对值为奇数排列，且正负相间，且第一个为正数，故应选C.【方法技巧总结】利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等．知识点三集合表示的综合应用【知识梳理】用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．【知识精讲】题型1 选择适当的方法表示集合例1 用适当的方法表示下列集合．(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．解(1)列举法：{0,2,4}；或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}．(2)列举法：{(0,0)，(2,0)}．(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．【变式训练】1、若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________.【答案】{2 000,2 001,2 004}【解析】由A ＝{x ∈Z|－2≤x ≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x 2∈{0,1,4}，x 2＋2 000的值为2 000,2001,2 004，所以B ＝{2 000,2 001,2 004}．2、设集合B ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+∈N x N x 26|. ①试判断元素1,2与集合B 的关系；②用列举法表示集合B .【解】①当x ＝1时，62＋1＝2∈N ； 当x ＝2时，62＋2＝32∉N. 所以1∈B,2∉B .②∵62＋x∈N ，x ∈N ， ∴2＋x 只能取2,3,6.∴x 只能取0,1,4.∴B ＝{0,1,4}．【方法技巧总结】判断元素与集合间关系的方法(1)用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系． 例如，集合A ＝{1,9,12}，则0∉A,9∈A .(2)用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时就比较复杂．此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？…，其次要清楚元素的共同特征是什么，最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征，即可确定所给元素与集合的关系．题型2 新定义的集合例2 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{}5n ＋k |n ∈Z ，k ＝0,1,2,3,4，给出如下四个结论：①2 016∈[1]；②－3∈[3]；③若整数a ，b 属于同一“类”，则a －b ∈[0]；④若a －b ∈[0]，则整数a ，b 属于同一“类”．其中，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 由于[k ]＝{ 5n ＋k |n ∈Z|，对于①，2 016除以5等于403余1，∴2 016∈[1]，∴①正确；对于②，－3＝－5＋2，被5除余2，∴②错误；对于③，∵a ，b 是同一“类”，可设a ＝5n 1＋k ，b ＝5n 2＋k ，则a －b ＝5(n 1－n 2)能被5整除，∴a －b ∈[0]，∴③正确；对于④，若a －b ∈[0]，则可设a －b ＝5n ，n ∈Z ，即a ＝5n ＋b ，n ∈Z ，不妨令b ＝5m ＋k ，m ∈Z ，k ＝0,1,2,3,4，则a ＝5n ＋5m ＋k ＝5(m ＋n )＋k ，m ∈Z ，n ∈Z ，∴a ，b 属于同一“类”，∴④正确，则正确的有①③④，共3个．【变式训练】1、 定义集合运算：A ※B ＝{t |t ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A ※B 中的所有元素之和为________．答案 6解析 由题意得t ＝0,2,4，即A ※B ＝{0,2,4}，又0＋2＋4＝6，故集合A ※B 中的所有元素之和为6.【易错题】[典例] 集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，求a 的取值范围．【解析】当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，此时x ＝－12，符合题意； 当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，当Δ＝4－4a ＝0，即a ＝1时，原方程的解为x ＝－1，符合题意．故当a ＝0或a ＝1时，原方程只有一个解，此时A 中只有一个元素．【易错点】解答上面例题时，a ＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax 2＋2x ＋1＝0”有两种情况：一是a ＝0，即它是一元一次方程；二是a ≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题．【易错点训练】1、集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围解：A 中至多有一个元素，即A 中有一个元素或没有元素．当A 中只有一个元素时，由例题可知，a ＝0或a ＝1.当A 中没有元素时，Δ＝4－4a <0，即a >1.故当A 中至多有一个元素时，a 的取值范围为{a |a ＝0或a ≥1}．2、集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围解：A 中至少有一个元素，即A 中有一个或两个元素．由例题可知，当a ＝0或a ＝1时，A 中有一个元素；当A 中有两个元素时，Δ＝4－4a >0，即a <1.∴A 中至少有一个元素时，a 的取值范围为{a |a ≤1}．3、集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，若1∈A ，则a 为何值？解：∵1∈A ，∴a ＋2＋1＝0，即a ＝－3.4、集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，是否存在实数a ，使A ＝{1}，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：∵A ＝{1}，∴1∈A ，∴a ＋2＋1＝0，即a ＝－3.又当a ＝－3时，由－3x 2＋2x ＋1＝0，得x ＝－13或x ＝1， 即方程ax 2＋2x ＋1＝0存在两个根－13和1，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，1，与A ＝{1}矛盾． 故不存在实数a ，使A ＝{1}．【课堂小测】1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)} 解析：选D 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5，－4)}．2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( )A ．{y |y ＝2}B ．{x ＝2}C ．{2}D ．{x |x 2－4x ＋4＝0} 解析：选B 集合{x ＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其他选项所表示的集合都是含有一个元素2.3．给出下列说法：①平面直角坐标内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy >0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{2，－2}；③集合{(x ，y )|y ＝1－x }与集合{x |y ＝1－x }是相等的．其中正确的是________(填序号)．解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x ，y )，故①正确；方程x －2＋|y ＋2|＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2，解为有序实数对(2，－2)，解集为{(2，－2)}或⎩⎨⎧ x ，y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2，故②不正确；集合{(x ，y )|y ＝1－x }的代表元素是(x ，y )，集合{x |y ＝1－x }的代表元素是x ，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．答案：①4．已知A ＝{－1，－2,0,1}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A }，则B ＝________.解析：∵|－1|＝1，|－2|＝2，且集合中的元素具有互异性，∴B ＝{0,1,2}．答案：{0,1,2}5．用适当的方法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)大于－3.5小于12.8的整数的全体；(3)梯形的全体构成的集合；(4)所有能被3整除的数的集合；(5)方程(x －1)(x －2)＝0的解集；(6)不等式2x －1>5的解集．解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．(2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．(3){x |x 是梯形}或{梯形}．(4){x |x ＝3n ，n ∈Z}．(5){1,2}．(6){x |x >3}．【课后作业】一、选择题1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集不可以表示为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2 C ．{1,2}D ．{(1,2)} 考点 集合的表示综合题点 用适当的方法表示集合答案 C解析 方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一个有序实数对，故C 不符合．2．集合A ＝{x ∈Z|－2<x <3}的元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 用描述法表示集合题点 用描述法表示有限数集答案 D解析 因为A ＝{x ∈Z|－2<x <3}，所以x 的取值为－1，0,1,2，共4个．3．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( )A ．方程y ＝2x －1B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合考点 用描述法表示集合题点 用描述法表示点集答案 D解析 集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.4．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m ＝x |x |＋y |y |＋xy |xy |为( ) A ．{0,3}B ．{1,3}C ．{－1,3}D ．{1，－3}考点 集合的表示综合题点 用另一种方法表示集合答案 C解析 当x >0，y >0时，m ＝3， 当x <0，y <0时，m ＝－1－1＋1＝－1.当x ，y 异号，不妨设x >0，y <0时，m ＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.因此m ＝3或m ＝－1，则M ＝{－1,3}．5．下列选项中，集合M ，N 相等的是( )A ．M ＝{3,2}，N ＝{2,3}B ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}C ．M ＝{3,2}，N ＝{(3,2)}D ．M ＝{(x ，y )|x ＝3且y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x ＝3或y ＝2}考点 集合的表示综合题点 集合的表示综合问题答案 A解析 元素具有无序性，A 正确；点的横坐标、纵坐标是有序的，B 选项两集合中的元素不同；C 选项中集合M 中元素是两个数，N 中元素是一个点，不相等；D 选项中集合M 中元素是一个点(3,2)，而N 中元素是两条直线x ＝3和y ＝2上所有的点，不相等．6．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是( )A.{}x |x 是小于18的正奇数B.{}x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5C.{}x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5D.{}x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤5 考点 集合的表示综合题点 用另一种方法表示集合答案 D解析 对于x ＝4s －3，当s 依次取1,2,3,4,5时，恰好对应的x 的值为1,5,9,13,17.7．已知集合A ＝{}x |x ＝2m －1，m ∈Z ，B ＝{}x |x ＝2n ，n ∈Z ，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )A ．x 1·x 2∈AB ．x 2·x 3∈BC ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A 考点 用描述法表示集合题点 用描述法表示与余数有关的整数集合答案 D解析 ∵集合A 表示奇数集，集合B 表示偶数集，∴x 1，x 2是奇数，x 3是偶数，∴x 1＋x 2＋x 3为偶数，故D 错误．8．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n ＝mn ，则在此定义下，集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝16}中的元素个数是( )A ．18B ．17C ．16D ．15答案 B解析 因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M 中的元素是有序数对(a ，b )，所以集合M 中的元素共有17个，故选B.二、填空题9．集合{x ∈N|x 2＋x －2＝0}用列举法可表示为________．考点 集合的表示综合题点 用另一种方法表示集合答案 {1}解析 由x 2＋x －2＝0，得x ＝－2或x ＝1.又x ∈N ，∴x ＝1.10．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________．考点 集合的表示综合题点 用适当的方法表示集合答案 3解析 根据x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A ，知集合B ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．11．定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －23<0，则集合A －B ＝________.考点 集合的表示综合题点 集合的表示综合问题答案 {x |x ≥2}解析 A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >－12，B ＝{x |x <2}， A －B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >－12且x ≥2＝{x |x ≥2}． 三、解答题12．已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．考点 用描述法表示集合题点 用描述法表示集合的综合问题解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中y 的取值范围是y ≥3，所以B ＝{y |y ≥3}． 集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋3上的点}．13．用适当的方法表示下列集合：(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；(2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合．考点 集合的表示综合题点 用适当的方法表示集合解 (1)用描述法表示为{x |2<x <5，且x ∈Q}．(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．(3)在平面直角坐标系内，点(x ，y )到x 轴的距离为|y |，到y 轴的距离为|x |，所以该集合用描述法表示为{(x ，y )||y |＝|x |}．四、探究与拓展14．已知集合A ＝{x |x ＝3m ，m ∈N *}，B ＝{x |x ＝3m －1，m ∈N *}，C ＝{x |x ＝3m －2，m ∈N *}，若a ∈A ，b ∈B ，c ∈C ，则下列结论中可能成立的是( )A ．2 006＝a ＋b ＋cB ．2 006＝abcC ．2 006＝a ＋bcD ．2 006＝a (b ＋c ) 考点 用描述法表示集合题点用描述法表示与余数有关的整数集合答案 C解析由于2 006＝3×669－1，不能被3整除，而a＋b＋c＝3m1＋3m2－1＋3m3－2＝3(m1＋m2＋m3－1)不满足；abc＝3m1(3m2－1)(3m3－2)不满足；a＋bc＝3m1＋(3m2－1)(3m3－2)＝3m－1适合；a(b＋c)＝3m1(3m2－1＋3m3－2)不满足．故选C.15．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，用列举法表示集合P＋Q.考点集合的表示综合题点用另一种方法表示集合解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．。

第2课时量词[课程目标] 1.通过生活和教学中的实例，理解全称量词和存在量词；2.理解全称量词命题和存在量词命题；3.能判定全称量词命题和存在量词命题的真假.知识点一全称量词与全称量词命题[填一填](1)全称量词的定义一般地，短语“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词．(2)常见的全称量词“所有”“一切”“每一个”“任意一个”等，均表示所述事物的全体．(3)全称量词的记法全称量词用符号“∀”表示．(4)全称量词命题的定义含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．也可以理解为陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题．(5)全称量词命题的形式一般地，设r(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x，r(x)”的命题．用符号简记为∀x∈M，r(x)．[答一答]1．怎样判断一个全称量词命题的真假？提示：要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素x验证p(x)成立，一般用代数推理给出证明．要判断一个全称量词命题是假命题，只需举出一个反例(满足命题的条件，但不满足命题结论的例子)．例如：命题p：∀x∈R，x2－4x≥0；当x＝1时，x2－4x＝－3，－3<0，故命题p为假命题．知识点二存在量词与存在量词命题[填一填](1)存在量词的定义短语“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词．(2)常见的存在量词常见的存在量词有“有一个”“有些”“至少有一个”“存在一个”“对某个”“有的”等．(3)存在量词的记法存在量词通常用符号“∃”表示．(4)存在量词命题的定义含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．也可理解为陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某性质的命题．(5)存在量词命题的形式一般地，设s(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x，s(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，s(x)．[答一答]2．怎样判断一个存在量词命题的真假？提示：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0使q(x0)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．类型一全称量词命题和存在量词命题的判断[例1] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出全称量词或存在量词．(1)所有同学都顺利通过了考试；(2)圆周上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径；(3)有的整数是奇数；(4)至少有一个三角形没有外接圆．[解](1)全称量词命题，“所有”；(2)全称量词命题，“任意”；(3)存在量词命题，“有的”；(4)存在量词命题，“至少有一个”．判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词是全称量词还是存在量词.[变式训练1] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．(1)至少有一个素数不是奇数；(2)实数的绝对值是正数．解：命题(1)中含存在量词“至少有一个”，因而是存在量词命题；命题(2)中省略了全称量词“所有”，实际上是“所有实数的绝对值都是正数”，故是全称量词命题．类型二全称量词命题的真假判断[例2] 判断下列全称量词命题的真假．(1)∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(2)∀x∈Z，都有x∈Q；(3)∀x∈R，x2＋2>0；(4)∀x∈N，x4≥1.[解](1)假命题．因为x＝2是无理数，但x2＝2不是无理数，所以其为假命题．(2)真命题．由有理数包括整数和分数，知命题为真命题．(3)真命题．对∀x∈R，有x2≥0，所以x2＋2≥2>0.(4)假命题．由于x＝0∈N时，x4≥1不成立，所以“∀x∈N，x4≥1”为假命题．要判断一个全称量词命题“∀x∈M，p x”是真命题，需要对限定集合中的每一个元素x证明p x成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p x0不成立，那么这个全称量词命题就是假命题.所以，全称量词命题以反例否定.[变式训练2] 用全称量词把下列语句写成全称量词命题，并判断真假．(1)偶数是合数；(2)三角形有外接圆；(3)非负实数有两个偶次方根．解：(1)所有的偶数都是合数．偶数都能被2整除，2是偶数，但不是合数，是假命题．(2)任意三角形都有外接圆．真命题．(3)所有的非负实数都有两个偶次方根，假命题．类型三存在量词命题的真假判断[例3] 判断下列存在量词命题的真假：(1)∃x∈R，x2＋2x＋3＝0；(2)存在两个相似三角形面积相等；(3)有些整数只有两个正因数．[解](1)由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此，使x2＋2x＋3＝0的实根x 不存在，所以该命题为假命题．(2)全等三角形一定相似，面积肯定相等，所以是真命题．(3)由于存在整数3，只有两个正因数1和3，所以该命题为真命题．对于存在量词命题的真假判定，要证明其为真命题只要找到一个限定集合中的x0，使q x0成立即可.欲证其假，可结合全称量词命题，利用它们之间互为正反面的关系来说明.[变式训练3] 用存在量词将下列语句写成存在量词命题，并判断真假：(1)素数也可以是偶数；(2)不是每一个四边形都有外接圆．解：(1)存在一个素数是偶数.2既是素数又是偶数，真命题．(2)有的四边形没有外接圆．真命题．1．“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”是( A )A．全称量词命题B．存在量词命题C．不是命题D．假命题解析：题目条件中含有“任意”的意思，所以是全称量词命题．2．在下列存在量词命题中假命题的个数是( A )①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形．A．0 B．1C．2 D．3解析：因为三个命题都是真命题，所以假命题的个数为0.3．给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x∈R，x2－2>0；④有一个素数含有三个正因数．以上命题为真命题的序号是①②.解析：∵当x＝0时，x2－2＝－2<0，∴③是假命题．∵任何素数只有1和它本身是它的正因数，∴④是假命题．4．判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题，并用“∀”或“∃”符号表示．(1)对任意实数x，x2＋2x＋5>0；(2)存在整数x，x2＋1＝0；(3)至少有一个整数，既是3的倍数，又是5的倍数；(4)负数的平方是正数．解：(1)全称量词命题，表示为∀x∈R，x2＋2x＋5>0.(2)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x2＋1＝0.(3)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x既是3的倍数，又是5的倍数．(4)全称量词命题，表示为∀x<0，x2>0.。

专题01 集合与常用逻辑用语1．【2022年全国甲卷】设集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为，，所以．故选：A.2．【2022年全国甲卷】设全集，集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，，所以,所以.故选：D.3．【2022年全国乙卷】集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为，，所以．故选：A.4．【2022年全国乙卷】设全集，集合M满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先写出集合,然后逐项验证即可【详解】由题知,对比选项知，正确,错误故选:5．【2022年新高考1卷】若集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：D6．【2022年新高考2卷】已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：B.7．【2021年甲卷文科】设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N =（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,9【答案】B 【解析】 【分析】求出集合N 后可求M N ⋂. 【详解】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=，故选：B.8．【2021年甲卷理科】设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则MN =（ ）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义运算即可 【详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.9．【2021年乙卷文科】已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则()U M N ⋃=（ ） A ．{}5 B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}1,2,3,4【答案】A 【解析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可. 【详解】 由题意可得：{}1,2,3,4M N =，则(){}5UM N =.故选：A.10．【2021年乙卷文科】已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A 【解析】 【分析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项. 【详解】由于sin0=0，所以命题p 为真命题；由于x y e =在R 上为增函数，0x ≥，所以||01x e e ≥=，所以命题q 为真命题； 所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题. 故选：A ．11．【2021年乙卷理科】已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ） A ．∅ B ．SC ．TD ．Z【答案】C 【解析】 【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论. 【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，S T T =. 故选：C.12．【2021年新高考1卷】设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{}2 B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【分析】利用交集的定义可求A B . 【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=， 故选：B .13．【2021年新高考2卷】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UA B =（） A ．{3} B ．{1,6} C ．{5,6} D ．{1,3}【答案】B 【解析】 【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂. 【详解】 由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.14．【2020年新课标1卷理科】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．【2020年新课标1卷文科】已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果. 【详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =， 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.16．【2020年新课标2卷理科】已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ⋃=（ ） A ．{−2，3} B ．{−2，2，3} C ．{−2，−1，0，3} D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U2,3A B =-.故选：A. 【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.17．【2020年新课标2卷文科】已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（ ） A ．∅ B ．{–3，–2，2，3） C ．{–2，0，2} D ．{–2，2}【答案】D 【解析】 【分析】解绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为{}{}3,2,1,0,1,2A x x x Z =<∈=--， {}{1,1B x x x Z x x =>∈=>或}1,x x Z <-∈，所以{}2,2A B =-. 故选：D. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.18．【2020年新课标3卷理科】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可. 【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故A B 中元素的个数为4. 故选：C. 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.19．【2020年新课标3卷文科】已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可. 【详解】由题意，{5,7,11}A B ⋂=，故A B 中元素的个数为3.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.20．【2020年新高考1卷（山东卷）】设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3} C ．{x |1≤x <4} D ．{x |1<x <4}【答案】C 【解析】 【分析】根据集合并集概念求解. 【详解】 [1,3](2,4)[1,4)AB ==故选：C 【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.21．【2020年新高考2卷（海南卷）】设集合A={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B =（ ） A ．{1，3，5，7} B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{1，2，3，5，7，8}【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果. 【详解】 因为A{2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B = 故选：C 【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.22．【2019年新课标1卷理科】已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N⋂=（ ） A ．}{43x x -<< B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ． 【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 23．【2019年新课标1卷理科】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm【答案】B 【解析】 【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解． 【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则262651105x x y +-=+得42.07, 5.15x cm y cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ． 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．24．【2019年新课标1卷文科】已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7【答案】C 【解析】 【分析】 先求UA ，再求UBA ．【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ． 【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案． 25．【2019年新课标2卷理科】设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1) B ．(-2，1) C ．(-3，-1) D ．(3，+∞)【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合A ，再求出交集． 【详解】由题意得，{}{}23,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ⋂=<．故选A ． 【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．26．【2019年新课标2卷文科】已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(–1，+∞) B ．(–∞，2) C ．(–1，2) D ．∅ 【答案】C 【解析】 【分析】本题借助于数轴，根据交集的定义可得． 【详解】由题知，(1,2)A B =-，故选C ． 【点睛】本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题．27．【2019年新课标2卷文科】在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙【答案】A 【解析】 【分析】利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．28．【2019年新课标3卷理科】已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】先求出集合B 再求出交集. 【详解】21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B =-， 故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.29．【2019年新课标3卷文科】记不等式组620x y x y +⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D ，命题:(,),29p x y D x y ∃∈+；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+.给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝，这四个命题中，所有真命题的编号是 A ．①③ B ．①②C ．②③D ．③④【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题. 【详解】如图，平面区域D 为阴影部分，由2,6y x x y =⎧⎨+=⎩得2,4x y =⎧⎨=⎩ 即A （2，4），直线29x y +=与直线212x y +=均过区域D ， 则p 真q 假，有p ⌝假q ⌝真，所以①③真②④假．故选A ．【点睛】本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断．30．【2018年新课标1卷理科】已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃ D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥【答案】B 【解析】 【详解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x <->或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.31．【2018年新课标1卷文科】已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B = A ．{}02， B ．{}12， C ．{}0D ．{}21012--，，，， 【答案】A 【解析】 【分析】分析：利用集合的交集中元素的特征，结合题中所给的集合中的元素，求得集合A B 中的元素，最后求得结果. 【详解】详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得{}0,2A B =，故选A.点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果.32．【2018年新课标2卷理科】已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．8 C ．5D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 【详解】 223x y +≤ 23,x ∴≤ x Z ∈1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-； 当0x =时，1,0,1y =-； 当1x =时，1,0,1y =-； 所以共有9个，故选：A. 【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 33．【2018年新课标2卷文科】已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B = A ．{}3 B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据集合{1,3,5,7},{2,3,4,5}A B ==可直接求解{3,5}A B =. 详解：{1,3,5,7},{2,3,4,5}A B ==,{}3,5A B ∴⋂=,故选C点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.34．【2018年新课标3卷理科】已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B = A ．{}0 B ．{}1 C ．{}12， D ．{}012，， 【答案】C 【解析】 【详解】分析：由题意先解出集合A,进而得到结果． 详解：由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2⋂= 故答案选C.点睛：本题主要考查交集的运算，属于基础题．35．【2018年新课标3卷文科】已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B = A ．{0} B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}【答案】C 【解析】 【分析】由题意先解出集合A,进而得到结果． 【详解】解：由集合A 得x 1≥,所以{}A B 1,2⋂= 故答案选C. 【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．36．【2020年新课标2卷理科】设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论. 【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α； 若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内， 同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面， 命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α， 则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ， 命题4p 为真命题. 综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④. 【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.。

第2讲常用逻辑用语模块1 必要条件与充分条件一、知识梳理1.命题可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题.一般用小写英文字母表示一个命题，如p,q,r,···一个命题通常可以表示为“若p，则q”和“p是q”两种形式.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫做作假命题．2.充分条件与必要条件一般地，当命题“若 p，则 q”是真命题时，我们就说由 p 可以推出 q，记作 p ⇒q，读作“p 推出 q”．此时称 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件．3.充要条件当命题“如果 p ⇒ q且 q ⇒ p，则称 p 是 q 的充分且必要条件，简称 p 是 q 的充要条件，记作 p ⇔ q．p 是 q 的充要条件，又常说成“p成立当且仅当q成立”或“ p与q ”等价．p 是 q 的充要条件时，q也是p的充要条件.4. p 与 q 之间的四种关系与相应结论二、精讲讲练考点 1：充分性与必要性的判断例 1★★★用“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”填空．①在同一平面内，同位角相等是两直线平行的条件．②设a∈R，则 a > 1 是a2> 1的条件．③设a，b ∈R，则a+b > 4 是 a > 2 且b > 2 的条件．④x > 1是1x< 1的条件．⑤若A，B 是两个集合，则A∩B ≠∅是A ⊆B 的条件．⑥已知x，y∈R，则（x−1）2 +（y−2）2= 0是(x−1) (y−2) = 0 的条件．例 2 ★★★已知p：x＝2，q：x－2＝2－x，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件例 3 ★★★设a，b ∈R ，则“a+b > 4”是“a > 2 且b > 2”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件考点 5：充分条件和必要条件逆向求参问题例 4★★★若“条件α：2 ⩽ x ⩽4”是“条件β：3m−1 ⩽ x ⩽−m”的充分条件，则实数 m 的取值范围是．例 5★★★设α：−1 ⩽ x ⩽ 3，β：x ∈[m−1,2m+5]，若α是β的充分条件，则m∈．模块2 全称量词与存在量词一、知识梳理1.全称量词与全称量词命题在给定集合中，断言所有元素都具有同一性质的命题叫作全称量词命题.在命题中，诸如“任意”“所有”“每一个”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”.2.存在量词与存在量词命题在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.在命题中，诸如“存在”、“有一个”、“至少有一个”“有些”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“对任意的”量词的命题，称为存在量词命题.3.全称量词命题与存在量词命题的否定（1）命题的否定一般地，对命题 p 加以否定，就得到一个新的命题，记作¬p，读作“非 p”或“p 的否定”．若 p 是真命题，则¬p 必是假命题；若 p 是假命题，则¬p 必是真命题．（2）全称量词命题与存在量词命题的否定对于全称量词命题p：∀x∈M，具有性质p(x)，通常把它的否定表示为：∃x∈M，不具有性质p(x)对于存在量词命题p：∃x∈M，具有性质p(x)，通常把它的否定表示为：∀x∈M，不具有性质p(x)二、精讲讲练考点 1：含量词的命题真假判断例 1 ★★下列命题中为存在量词命题的是 ( )A. ∀x∈R, x2 > 0B. ∃x∈R, x2⩽ 0C. 所有平行四边形的对边平行D. 矩形的任一组对边相等例 2 ★★下列四个命题中为全称量词命题的是 ( )A. 有些实数是无理数B. 至少有一个整数不能被3 整除C. 任意一个偶函数的图象都关于y 轴对称D. 存在一个三角形不是直角三角形例 3 ★★用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题：（1）实数的平方大于等于0；（2）存在一对实数x，y，使2x+3y+3 > 0 成立．例 4 ★★下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A. ∀x∈R，x2 +2x+1 > 0B. 有一个素数不是奇数C. 所有菱形的四条边都相等D. π是无理数考点 2：含量词的命题否定例 5 ★★已知命题p : ∃x，y∈Z，x2 + y2 = 2015，则¬p 为()A. ∀x, y∈Z, x2 + y2≠ 2015B. ∃x, y∈Z, x2 + y2≠ 2015C. ∀x, y∈Z, x2 + y2 = 2015D. 不存在x, y∈Z, x2 + y2 = 2015例 6 ★★命题“∀x∈R，|x|+ x2⩾0”的否定是()A. ∀x∈R，|x|+ x2 < 0B. ∀x∈R，|x|+ x2⩽ 0C. ∃x∈R，|x|+ x2 < 0D. ∃x∈R，|x|+ x2⩽ 0考点 3：命题与量词的逆向求参问题例7 ★★★已知命题“∀x∈R, a x2+4x+1 > 0”是真命题，则实数a 的取值范围是()A. (4, +∞)B. (0, 4]C. (−∞, 4]D. [0, 4)例8 ★★★若命题“∃x∈R，x2+ (a−1)x+1 < 0”是真命题，则实数a 的取值范围是() A. [−1, 3] B. (−1, 3)C. (−∞, −1]∪[3, +∞)D. (−∞, −1)∪(3, +∞)例9 ★★★命题“∀x∈R，x2+mx+m > 0 恒成立”为真命题，则实数m 的取值范围为() A. [0, 4] B. (0, 4) C. [−4, 0] D. (−4, 0)。