高一数学同步辅导第2讲

高一数学第二章讲解一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计针对的是高一数学第二章的内容。

该章节涵盖了高中数学的基础知识与核心概念，包括函数的概念、性质、图像以及简单的函数变换等。

我的任务是使学生通过系统的学习，掌握函数的基本理论，形成对函数的直观认识，并能运用所学知识解决实际问题。

此外，我还需引导学生理解数学的抽象思维方式，培养他们的逻辑推理和数学思维能力。

2、教学对象本章节的教学对象是高中一年级的学生。

他们已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，但面对更为抽象的函数概念，可能仍感到困惑。

因此，我需要针对学生的实际情况，采用适当的教学策略，帮助他们顺利过渡到高中数学的学习，激发他们对数学的兴趣和探索欲望。

同时，考虑到学生个体差异，教学过程中应注重因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解函数的概念，掌握函数的定义及其表述方式，能够识别并区分不同类型的函数。

（2）掌握函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等，并能够运用这些性质解决相关问题。

（3）学会绘制函数图像，掌握基本初等函数的图像特点，能够通过图像分析函数的性质。

（4）掌握基本的函数运算，如函数的加、减、乘、除以及反函数的求法，并能够应用于实际问题的解决。

（5）学会运用函数模型解决实际问题，培养建模能力和实际应用能力。

2、过程与方法（1）通过启发式教学，引导学生积极参与课堂讨论，培养他们的逻辑思维和数学表达能力。

（2）采用问题驱动的教学方法，鼓励学生主动探究，发现问题，解决问题，提高他们的自主学习能力。

（3）运用案例分析法，让学生在实际问题中感受函数的应用价值，培养他们的数学应用意识。

（4）结合信息技术，如数学软件、图形计算器等，辅助教学，提高学生对函数图像和性质的直观认识。

（5）注重团队合作，开展小组讨论和交流，培养学生协作能力和沟通能力。

3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学的兴趣和热情，使他们形成积极向上的学习态度。

2.2基本不等高一数学复习知本不等式(第2课时)
复习知识讲解课件
探究1 利用基本不等式求最值的关键条件和欲求的式子，运用适当的“拆项、基本不等式的条件，具体可以归纳为：一不向；二不定，应凑出定和或定积；三不等数的单调性．
的关键是获得定值条件．解题时应对照已知、添项、配凑、变形”等方法创设使用一不正，用其相反数，改变不等号方不等，一般需用其他方法，如尝试利用函
探究2 (1)拼凑法的实质在于代数式的利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利整，做到等价变形．
②代数式的变形以拼凑出和或积的定值③拆项、添项应注意检验利用基本不等(2)常数代换法求最值的方法步骤： 常数代换法适用于求解条件最值问题为：
数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，方面的问题：
注意利用系数的变化以及等式中常数的调的定值为目标． 本不等式的前提．
问题．应用此种方法求解最值的基本步骤
①根据已知条件或其变形确定定值②把确定的定值(常数)变形为1.
③把“1”的表达式与所求最值的表达式式．
④利用基本不等式求解最值．
(3)对含有多个变量的条件最值问题，尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表只含有一个变量的最值问题．
(常数)． 表达式相乘或相除，进而构造和或积的形，若无法直接利用基本不等式求解，可变量表示另一个，再代入代数式中转化为
课
后 巩 固
自 助 餐。

高一寒假数学同步辅导讲义（专题讲解）第一章 集合与简易逻辑专题讲解一 、 集合的概念、运算与不等式1．在解题过程中，要善于理解和识别集合语言（即符号和图形语言），并会用集合语言准确地叙述。

2．特别要注意在集合中表示关系的两类符号∈、∉与⊆、⊆的区别，元素与集合间的从属关系用∈、∉表示，集合与集合之间的包含与相等的关系用⊂、⊂、⊆、⊆、=表示.3．给定两个集合A ，B ，它们的运算意义为：A ∩B={}B x A x x ∈∈且，A ∪B={}B x A x x ∈∈或，C S A={}A x S x x ∉∈且,.这些运算都是同逻辑连词“且”与“或”紧密相连的，“且”表示两条件要同时成立，“或”表示两条件中要至少有一个成立.理解好这些逻辑连词是思考、表达事件之间关系并正确推理的基础.集合的运算有时要用关系：C s (A ∪B)=（C s A ）∩（C sB ），C s （A ∩B ）=（C s A ）∪（C s B ），与此有关问题的运用韦恩图有示更直观.见表1—9.4．集合M={}n a a a ,,,21 的子集个数为2n ，真子集个数为2n －1，非空子集个数为2n—1，非空真子集个数为2n －2.含绝对值的不等式和一元二次不等式的解法不仅为今后学习提供了工具，同时也为研究集合与命题间的逻辑关系提供了具体的数学模型.表1 命题 或 且 否定┐ 蕴涵⇒ 等价⇔ 集合 并集∪ 交集∩ 补集C 子集⊆ 相等=关键字词 或且非若……则……当且仅当必须且只须自反性 A ∪A=A A ∩A=A C U (C U )A=A A ⊆A 真子集无 A=A 对称性A ∪B=B ∪AA ∩B=B ∩AC B A=C A BA=A 若A=B 则B=A传递性若A ⊆B ，B ⊆C 则A ⊆C若A=B ，B=C ，A=C 结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C)(A ∩B) ∩C=A ∩(B ∩C)【例1】 已知集合M=R x x y y ∈+=,12，N={}R x x y y ∈+=,1，则M ∩N=（ ） A ．（0，1）（1，2） B ．{})2,1(),1,0( C ．{}21==y y y 或 D ．{}1≥y y分析 集合M 、N 是用描述法表示的，元素是实数y 而不是实数对（x ，y ），因此M ，N 分别表示函数y=x 2+1（x ∈R ），y=x+1（x ∈R ）的值域，求M ∩N 即求两函数值域的交集.解 M={}R x x y y ∈+=,12={}1≥y y ，N={}R x x y y ∈+=,1={}R y y ∈. ∴M ∩N={}1≥y y ∩{}R y y ∈={}1≥y y ，故选D.说明（1）本题求M ∩N.经常发生解方程组⎩⎨⎧-=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或⎩⎨⎧==21y x 从而选B 错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么，事实上M ，N 的元素是数而不是点，因此M 、N 是数集而不是点集.（2）集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{}R x xy x ∈+=,12，{}R x x y y ∈+=,12，{}R x x y y x ∈+=,1),(2这三个集合是不同的.【例2】给出下面元素与集合或集合之间的关系：（1）0⊂{}0；（2）0∈{}0；（3）Φ∈{}Φ；（4）a ∈{}a ；（5）Φ={}0；（6）{}0∈Φ；（7）Φ∈{}0；（8）Φ⊂{}0，其中正确的是（ ）A ．（2）（3）（4）（8）B ．（1）（2）（4）（5）C ．（2）（3）（4）（6）D ．（2）（3）（4）（7） 分析 依次判断每个关系是否正确，同时用排除法筛选.解 （1）应为0∈{}0；（2）（3）（4）正确，排除B ，再看（6）（7）（8）哪个正确，由Φ是{}0的子集，因此（8）正确，故选A.说明 0与{}0只有一种关系：0∈{}0 ；R 与{}R ；Φ与{}0也只有一种关系：Φ⊂{}0. 【例3】 已知集合A={}R x x m x x ∈=+++,01)2(2，若A ∩R +=Φ，则实数m 的取值范围是__________.分析 从方程观点看，集合A 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+(m+2)x+1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A ∩R +=Φ可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m 的不等式，并解出m 的范围.解 由A ∩R +=Φ又方程x 2+(m+2)x+1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，即⎩⎨⎧<+-≥-+=∆.0)2(04)2(2m m或△=(m+2)2－4＜0.解得m ≥0或－4＜m ＜0，即m ＞－4.说明 此题容易发生的错误是由A ∩R +=Φ只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因此方程无零根），而把A=Φ漏掉，因此要全面正确理解和识别集合语言.【例4】 已知集合A={}0232=+-x x x ，B={}012=-+-a ax x x ，且A ∪B=A ，则a 值为__________.分析 由A ∪B=A ⇔B ⊆A 而推出B 有四种可能，进而求出a 的值. 解 ∵A ∪B=A ， ∴B ⊆A ，∵A={}2,1，∴B=Φ或B={}1或B={}2或B={}2,1. 若B=Ø，则令△＜0得a ∈Ø；若B ={}1，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；若B={}2，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根.∴a ∈Ø ；若B={}2,1，则令△＞0得a ∈R 且a ≠2，把x=1代入方程得a ∈R ，把x=2代入方程得a=3，综上a 的值为2或3.说明 本题不能直接写出B=（），因为a （）可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B 有可能是空集，还有可能是单元素集的情况.【例5】 命题甲：方程x 2+mx+1=0有两个根异负根；命题乙：方程4x 2+4(m －2)x+1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m 的取值范围.分析 使命题甲成立的m 的集合为A ，使命题乙成立的m 的集合而为B ，有且只有一个命题成立是求A ∩C R B 与C R A ∩B 的并集.解 因使命题甲成立的条件是△1=m 2－4＞0，且－m ＜0，所以解得m ＞2，即集合A={}2>m m ；因使命题乙成立的条件是△2=16(m －2)2－16＜0，所以解得1＜m ＜3，即集合B={}31<<m m .若命题甲、乙有且只有一个成立，则m ∈A ∩C R B 或m ∈C R A ∩B ，而A ∩C R B={}2>m m ∩{}31≥≤m m m 或={}3≥m m ，C R A ∩B={}2>m m ∩{}31<<m m ={}21≤<m m ，所以综上所求m 的范围是{}321≥≤<m m m 或.说明（1）本题体现了集合语言、集合思想的重要作用；（2）用集合语言来表示m 的满园即准备又简明.二、 一元二次方程实根的分布【例1】关于x 的方程3x 2－5x+a=0，实数a 在什么范围内，一个根大于－2，而小于0，另一个根大于1，而小于3？解 由题意，a 应满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯-⨯=<+-=<=>+-⨯--⨯=-03533)3(053)1(0)0(0)2(5)2(3)2(22a f a f a f a f 解得－12＜a ＜0.【例2】关于x 的方程2x 2+3x －5m=0，有两个小于1的实根，求实根m 的取值范围. 解 二次函数图像是开口向上的抛物线，对称轴x=－43，在x=1的左侧.这样抛物线与x 轴有两个交点的横坐标都小于1，所以应满足的条件是：⎩⎨⎧≥-=∆>-+=04090532)1(m m f 解得－409≤m ＜1. 【例3】关于x 的方程x 2―2tx+t 2―1=0的两个根介于―2和4之间，求实数t 的取值范围.解 由题意可知，t 需满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<=-<->=--=∆>+-=>++=-42204)1(440158)4(034)2(2222t a b t t t t f t t f 解得 －1＜t ＜3.说明 讨论二次方程实根的分布，常有以下一些结论（设方程f(x)=ax 2+bx+c=0（a ＞0）两实根为x 1，x 2）：（1）若m ＜x 1＜n ＜p ＜x 2＜q ，则方程系数应同时满足下列不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++=<++=<++=>+=0)(0)(0)(0)(2222c bq aq q f c bp ap p f c bn an n f c bm am m f 特别地，当方程f(x)=0有一正根，一负根，即x 1＜0，x 2＞0，则应用f(0)=c ＜0；若方程f(x)=0有一个根大于k ，一个根小于k ，则应有f(k)＜0.（2）若二次方程f(x)=0的两面根在区间（m ，n ）内，则应同时满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>n a b m n f m f 200)(0)( 特别地，若f(x)=0两根都大于k 时，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≥∆>.2,0,0)(k ab k f三、 四种命题与充要条件1．所谓命题，是指可以判断其真假的陈述语句，一个陈述语句所叙述的事情符合事实，我们称它为真命题，反之，一个陈述语句所叙述的事情违反事实，我们称它为假命题.2．命题有四种形式，即原命题、逆命题、否命题、逆否命题，其中原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题是等价的。

第2课时指数函数及其性质的应用[学习目标] 1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题．[知识链接]1．函数y＝a x(a＞0，且a≠1)恒过点(0,1)，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减．2．复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减．[预习导引]1．函数y＝a x与y＝a－x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称．2．形如y＝a f(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．(2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．3．形如y＝ka x(k∈R，且k≠0，a＞0，且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．4．设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．要点一利用指数函数的单调性比较大小例1比较下列各组数的大小：(1)1.9－π与1.9－3；(2)0.72－3与0.70.3；(3)0.60.4与0.40.6.解(1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3.(2)因为函数y＝0.7x在R上单调递减，而2－3≈0.267 9＜0.3，所以0.72－3＞0.70.3.(3)因为y＝0.6x在R上单调递减，所以0.60.4＞0.60.6；又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y ＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6＞0.40.6，所以0.60.4＞0.40.6.规律方法 1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．2．对于幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较． 跟踪演练1 已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b 答案 D解析 先由函数y ＝0.8x 判断前两个数的大小，再用“1”作为中间量比较1.20.8与其他两个数的大小．要点二 指数型函数的单调性例2 判断f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x 的单调性，并求其值域． 解 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝⎛⎭⎫13u .∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝⎛⎭⎫13u 在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝⎛⎭⎫13x x 22-在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减． ∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫13u ，u ∈[－1，＋∞)， ∴0＜⎝⎛⎭⎫13u ≤⎝⎛⎭⎫13－1＝3， ∴原函数的值域为(0,3]．规律方法 1.关于指数型函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a ＞1还是0＜a ＜1；二是f (x )的单调性，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．2．求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f [φ(x )]的单调性． 跟踪演练2 求函数y ＝2xx 2-2-的单调区间．解 函数y ＝2xx 2-2-的定义域是R .令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝2u .当x ∈(－∞，1]时，函数u ＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝2－x 2＋2x 在(－∞，1]上是增函数． 当x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝2xx 2-2-在[1，＋∞)上是减函数． 综上，函数y ＝2xx 2-2-的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．要点三 指数函数的综合应用 例3 已知函数f (x )＝3x －13x ＋1.(1)证明f (x )为奇函数．(2)判断f (x )的单调性，并用定义加以证明． (3)求f (x )的值域．(1)证明 由题知f (x )的定义域为R ， f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝(3－x －1)·3x(3－x ＋1)·3x＝1－3x1＋3x ＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(2)解 f (x )在定义域上是增函数． 证明如下：任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2， f (x 2)－f (x 1)＝32x－132x ＋1－31x－131x ＋1＝(1－232x ＋1)－(1－231x ＋1)＝2·(32x －31x)(31x＋1)(32x ＋1).∵x 1＜x 2，∴32x －31x＞0,31x＋1＞0,32x＋1＞0，∴f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )为R 上的增函数． (3)解 f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1，∵3x ＞0⇒3x ＋1＞1⇒0＜23x ＋1＜2⇒－2＜－23x ＋1＜0，∴－1＜1－23x＋1＜1， 即f (x )的值域为(－1,1)．规律方法 指数函数是一种具体的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可． 跟踪演练3 设a ＞0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)求证f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(1)解 依题意，对一切x ∈R ，有f (x )＝f (－x )， 即e x a ＋a e x ＝1a ex ＋a e x ，∴⎝⎛⎭⎫a －1a ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立． 由此得到a －1a ＝0，即a 2＝1.又a ＞0，∴a ＝1. (2)证明 设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1e x －2e x ＋11e x －12e x ＝(2e x －1e x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫121e x x +－1＝(2e x －1e x )1－21exx +21ex x +.∵0＜x 1＜x 2，∴2e x ＞1e x ，∴2e x －1e x＞0. 又1－21ex x +＜0，21ex x +＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，∴f (x 1)<f (x )2.即f (x )在(0，＋∞)上是增函数.1．函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x的单调递增区间为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(0,1) 答案 A解析 定义域为R . 设u ＝1－x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12u . ∵u ＝1－x 在R 上为减函数．又∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u 在(－∞，＋∞)为减函数， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫121－x 在(－∞，＋∞)是增函数， ∴选A.2．若⎝⎛⎭⎫122a ＋1＜⎝⎛⎭⎫123－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 B解析 原式等价于2a ＋1＞3－2a ，解得a ＞12.3．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5，则( ) A ．y 3＞y 1＞y 2 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 1＞y 2＞y 3 D ．y 1＞y 3＞y 2 答案 D解析 40.9＝21.8,80.48＝21.44，(12)－1.5＝21.5，根据y ＝2x 在R 上是增函数， 所以21.8＞21.5＞21.44， 即y 1＞y 3＞y 2，故选D.4．某种细菌在培养过程中，每20 min 分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3 h ，这种细菌由1个可繁殖成________个． 答案 512解析 3 h ＝9×20 min ，即经过9次分裂，可分裂为29＝512个． 5．已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________.答案 12解析 ∵函数f (x )为奇函数， ∴f (0)＝a －12＝0.∴a ＝12.1.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性．(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m ＜c 且c ＜b n ，则a m ＜b n ；若a m ＞c 且c ＞b n ，则a m ＞b n . 2．指数函数单调性的应用(1)形如y ＝a f (x )的函数的单调性：令u ＝f (x )，x ∈[m ，n ]，如果两个函数y ＝a u 与u ＝f (x )的单调性相同，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是减函数．(2)形如a x ＞a y 的不等式，当a ＞1时，a x ＞a y ⇔x ＞y ；当0＜a ＜1时，a x ＞a y ⇔x ＜y .一、基础达标1．下列判断正确的是( ) A ．2.52.5＞2.53 B ．0.82＜0.83 C ．π2＜π 2 D ．0.90.3＞0.90.5 答案 D解析 ∵y ＝0.9x 是减函数，且0.5＞0.3，∴0.90.3＞0.90.5. 2．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数 B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数 C. f (x )与g (x )均为奇函数 D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数 答案 B解析 f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，f (x )为偶函数，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )，g (x )为奇函数． 3．已知f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞0 B ．a ＞1 C ．a ＜1 D ．0＜a ＜1 答案 D解析 ∵－2＞－3，f (－2)＞f (－3)， 又f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ， ∴⎝⎛⎭⎫1a －2＞⎝⎛⎭⎫1a －3， ∴1a＞1，∴0＜a ＜1. 4．若定义运算f (a *b )＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a ＜b ，则函数f (3x *3－x )的值域是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 答案 A解析 由定义可知该函数是求a ，b 中较小的那一个，所以分别画出y ＝3x 与y ＝3－x ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象，由图象很容易看出函数f (3x *3－x )的值域是(0,1]．5．若函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ，x ＜0，(13)x，x ≥0，则不等式f (x )≥13的解集为________．答案 {x |0≤x ≤1}解析 (1)当x ≥0时，由f (x )≥13得(13)x ≥13，∴0≤x ≤1.(2)当x ＜0时，不等式1x ≥13明显不成立，综上可知不等式f (x )≥13的解集是{x |0≤x ≤1}．6．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次． 答案 4解析 设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的14；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的14，也就是原来的⎝⎛⎭⎫142，经过第三次漂洗，存留量为原来的⎝⎛⎭⎫143，……，经过第x 次漂洗，存留量为原来的⎝⎛⎭⎫14x，故解析式为y ＝⎝⎛⎭⎫14x .由题意，⎝⎛⎭⎫14x ≤1100，4x ≥100,2x≥10，∴x ≥4，即至少漂洗4次． 7．已知函数f (x )＝1＋22x －1.(1)求函数f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )在(－∞，0)上为减函数． (1)解 f (x )＝1＋22x －1，∵2x －1≠0，∴x ≠0.∴ 函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}． (2)证明 任意设x 1，x 2∈(－∞，0)且x 1＜x 2. f (x 1)－f (x 2)＝22x 1－1－22x 2－1＝2(2x 2－2x 1)(2x 1－1)(2x 2－1).∵x 1，x 2∈(－∞，0)且x 1＜x 2，∴2x 2＞2x 1且2x 1＜1,2x 2＜1.∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )在(－∞，0)上为减函数． 二、能力提升8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞1，(4－a2)x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,8) C ．(4,8) D ．[4,8) 答案 D解析 由题可知，f (x )在R 上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－a2＞0，a ＞1，4－a 2＋2≤a ，解得4≤a ＜8，故选D.9．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )＜－12的解集是________． 答案 (－∞，－1)解析 当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝1－2x ＝－f (x )， 则f (x )＝2x －1.当x ＝0时，f (0)＝0， 由f (x )＜－12，解得x ＜－1.10．若函数f (x )＝ 2a-ax x 22+－1的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1,0] 解析 依题意，2a-ax x 22+－1≥0对x ∈R 恒成立，即x 2＋2ax －a ≥0恒成立，∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，－1≤a ≤0.11．一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg /mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液酒精含量不得超过0.08 mg/mL ，那么喝了少量酒的驾驶员，至少要过几小时才能驾驶？(精确到1小时)解 1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%) mg /mL ，…，x 小时后其酒精含量为0.3(1－50%)x mg/mL ，由题意知0.3(1－50%)x ≤0.08，⎝⎛⎭⎫12x ≤415. 采用估算法，x ＝1时，⎝⎛⎭⎫121＝12＞415.x ＝2时，⎝⎛⎭⎫122＝14＝416＜415.由于⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，所以满足要求的x 的最小整数为2.故至少要过2小时驾驶员才能驾驶． 三、探究与创新12．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13342+-x ax . (1)若a ＝－1时，求函数f (x )的单调增区间； (2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫1334-2+-x x ，令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7， 由于g (x )在(－2，＋∞)上递减， y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数，∴f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，即f (x )的单调增区间是(－2，＋∞)． (2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1；因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. 13．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1.(1)求f [f (0)＋4]的值；(2)求证：f (x )在R 上是增函数； (3)解不等式0＜f (x －2)＜1517.(1)解 ∵f (0)＝20－120＋1＝0，∴f [f (0)＋4]＝f (0＋4)＝f (4)＝24－124＋1＝1517.(2)证明 设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2， 则2x 2＞2x 1＞0,2x 2－2x 1＞0， ∵f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－12x 2＋1－2x 1－12x 1＋1＝2(2x 2－2x 1)(2x 2＋1)(2x 1＋1)＞0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在R 上是增函数． (3)解 由0＜f (x －2)＜1517得f (0)＜f (x －2)＜f (4)，又f (x )在R 上是增函数，∴0＜x －2＜4， 即2＜x ＜6，所以不等式的解集是{x |2＜x ＜6}．活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

精锐教育学科教师辅导讲义学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课 类型T (集合与集合的关系) C （子集和真子集） T （子集与真子集综合）授课日期时段教学内容子集与真子集一、同步知识梳理 1、子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素， 我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A记作:A B B A ⊇⊆或 ，A ⊂B 或B ⊃A 读作：A 包含于B 或B 包含AB A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A注：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合2、集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素， 同时集合B 的任何．．一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B3、真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A4、子集与真子集符号的方向不同与同义；与如B A B A A B B A ⊇⊆⊇⊆5、空集是任何集合的子集Φ⊆A空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ，则Φ A 任何一个集合是它本身的子集A A ⊆6、易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合 如 Φ⊆{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}7、含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n2，所有真子集的个数是n 2-1，非空真子集数为22-n子集和真子集的运算一、例题精讲例1、在下列各组中的集合M 与N 中， 使M N =的是（ D ） A ．{(1,3)},{(3,1)}M N =-=- B ．,{0}M N =∅= C ．22{|1,},{(,)|1,}M y y x x R N x y y x x R ==+∈==+∈ D ．22{|1,},{|(1)1,}M y y x x R N t t y y R ==+∈==-+∈例2、设集合A={x |1＜x ＜2}，B={x |x ＜a }满足A ≠⊂B ，则实数a 的取值范围是（A ）A ．｛a ｜a ≥2｝B ．｛a ｜a ≤1｝ C.｛a ｜a ≥1｝． D.｛a ｜a ≤2｝．例3、满足{1，2，3} ≠⊂M ≠⊂{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（C ）A ．8B ．7C ．6D ．5例4、集合A={x |x =2n ＋1，n ∈Z}， B={y |y =4k ±1，k ∈Z}，则A 与B 的关系为 （ C ）A ．A ≠⊂B B ．A ≠⊃B C ．A=B D ．A ≠B例5、满足{}0,1,2{0,1,2,3,4,5}A ⊆的集合A 的个数是____答案：7例6、已知集合8|6A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，试求集合A 的所有子集. 解析：由题意可知6x -是8的正约数，所以 6x -可以是1,2,4,8；相应的x 为2,4,5，即{}2,4,5A =.∴A 的所有子集为,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5}{2,4,5}φ.例7、P ＝{x|x2－2x －3＝0}，S ＝{x|ax ＋2＝0}，S ⊆P ，求a 取值？解：a ＝0,S ＝∅，∅⊆P 成立 a ≠0，S ≠∅，由S ⊆P ，P ＝{3，－1}得3a ＋2＝0，a ＝－23或－a ＋2＝0，a ＝2； ∴a 值为0或－23或2.例8、A ＝{－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，B ⊆A,求m 。

高一数学第二节课教学一、教学任务及对象1、教学任务本节课是高一数学的第二节课，主要任务是让学生掌握集合的基本概念，理解集合的性质和运算规则。

通过本节课的学习，学生应能够理解集合的内涵和外延，掌握集合的表示方法，并能够运用集合的运算解决实际问题。

此外，本节课还将引导学生运用数学思维，培养他们的逻辑推理能力和解决问题的能力。

2、教学对象本节课的教学对象是刚刚步入高中的学生，他们在初中阶段已经接触过集合的概念，但可能对集合的深入理解和运用还不够熟练。

因此，在教学过程中，需针对学生的实际情况，循序渐进地进行教学，注重培养学生的数学思维和抽象思维能力。

此外，考虑到学生个体差异，教学中应关注每一个学生的成长，激发他们的学习兴趣，提高他们的自主学习能力。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解集合的内涵和外延，掌握集合的表示方法，如列举法、描述法等。

（2）掌握集合的基本运算，如并集、交集、差集、补集等，并能够运用这些运算解决实际问题。

（3）运用集合概念和运算规则，解决一些简单的数学问题，提高学生的数学思维能力。

（4）培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，为学习后续数学知识奠定基础。

2、过程与方法（1）采用启发式教学，引导学生通过自主探究、合作学习等方式，理解和掌握集合的概念和运算。

（2）运用实际案例，让学生在实践中体会集合的运用，培养他们将理论知识应用于实际问题的能力。

（3）通过课堂讲解、讨论、练习等多种教学手段，巩固所学知识，提高学生的数学素养。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养他们积极主动学习的态度。

（2）引导学生认识到数学知识在现实生活中的重要作用，提高他们对数学学科的认同感。

（3）培养学生严谨、务实的学术态度，使他们具备勇于探索、克服困难的意志品质。

（4）通过数学学习，帮助学生形成正确的价值观，认识到数学在人类文明和社会发展中的地位和作用。

在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使学生在知识与技能、过程与方法、情感，态度与价值观等方面得到全面发展。

高一上期数学同步辅导（2）函数的定义域及解析式函数的定义域是函数的基础,处理函数问题必须树立“定义域优先”的数学意识。

函数表达式是函数的两个变量依承关系的具体体现。

要熟练掌握求函数解析式的一些基本方法。

一、函数的定义域:求函数定义域一般有三类问题:第一类是给出函数的解析式,这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；① 当()f x 是整式时，其定义域为R ；② 当()f x 是分式时，其定义域是使得分母不为0的实数集合；③ 当()f x 是偶次根式时，其定义域是使得根号内的式子大于或等于0的实数集合，()f x 是奇次根式时，其定义域为R ；④当()f x 是零指数幂时，其定义域是使得底数不为０的实数的集合；⑤当函数是由一些基本函数通过四则运算得到时，其定义域是各基本函数的定义域的交集； ⑥分段函数的定义域是各段函数的定义域的并集；例1、求下列函数的定义域:(1) (2)1y x=+例2、若函数 的定义域为R ,求k 的取值范围.第二类是实际问题或几何问题,此时除要考虑解析式有意义外,还要考虑实际问题或几何问题有意义；x x y -+=1)1(0342++=x kx y10cm ,求扇形半径r 与扇形面积S 的函数关系()S f r =,并确定其定义域。

第三类是求复合函数的定义域 :① 若已知f (x )的定义域为[,]a b ，其复合函数f [g (x )]的定义域由不等式a ≤g (x ) ≤b 解出即可；② 若已知f [g (x )]的定义域为[,]a b ，求f (x )的定义域，相当于当x ∈[,]a b 时，求g (x )的值域（即f (x )的定义域）。

例4、(1)已知()f x 的定义域为[1,2],求(1)f x +的定义域；(2)若函数(21)f x +的定义域为[－2，1]，求函数()f x 的定义域；(3)若函数(1)f x +的定义域为[－2，3]，求函数(22)f x -的定义域。

高二数学同步辅导教材（第2讲）一、本讲进度 6.2 算术平均数与几何平均数二、本讲主要内容基本不等式：a ，b>0时，2ba +≥ab 的运用。

三、学习指导1、本节给出的两个基本不等式为：①a ，b ∈R 时，a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时“=”号成立）；②a ，b ≥0时，a+b ≥2ab （当且仅当a=b 时“=”号成立）。

这两个公式的结构完全一致，但适用范围不同。

若在非负实数范围之内 ，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式及公式的变形：ab ≤2b a 22+，ab ≤2)2b a (+。

对不等式ab ≤2b a 22+，还有更一般的表达式：|ab|≤2b a 22+。

由高一学习可知，2ba +称为a ，b 的等差中项，ab 称为a ，b 的等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数的等比中项不大于它们的等差中项”。

同学们可在二元基本不等式的基础上类比推出三元基本不等式：当a ，b ，c>0时，a+b+c ≥3abc ，当且仅当a=b=c 时，等号成立，……乃至n 元基本不等式；当a i >0（i=1，2，…，n ）时，a 1+a 2+…+a n ≥nn 21a a a 。

二元基本不等式的其它表达形式也应记住：当a>0，b>0时，b a a b +≥2，a+a1≥2等。

当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形，如a<0时，可得到a+a1≤-2。

基本不等式中的字母a ，b 可代表多项式。

2、利用二元基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主要方法之一。

在高一已学过了用单调性求函数最大值或最小值。

利用二元基本不等式求函数最值时，其条件为“一正二定三等”，“一正”指的是在正实数集合内，“二定”指的是解析式各因式的和或积为定值（常数），“三等”指的是等号条件能够成立。

利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数。