新课标-最新湘教版九年级数学上学期《一元二次方程根的判别式》同步练习题及答案-精编试题

2.3 一元二次方程根的判别式●拓展提高1、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．240x +=B ．24410x x -+=C ．230x x ++=D ．2210x x +-=2、如果关于x 的方程022=--k x x 没有实数根，则k 的取值范围为_____________.3、用公式法解下列方程.（1）1)4(2=+x x ；（2）(2)(35)1x x --=；（3）20.30.8y y +=.4、求证：关于x 的方程01)12(2=-+++k x k x 有两个不相等的实数根．5、若关于x 的一元二次方程2(2)210a x ax a --++=没有实数解，求30ax +>的解集（用含a 的式子表示）．提示：不等式30ax +>中含有字母系数a ，要想求30ax +>的解集，首先就要判定a 的值是正、负或0．利用条件一元二次方程2(2)210a x ax a --++=没有实数根可以求出a 的取值范围．●体验中考1、（河南）如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．14k >-B ．14k >-且0k ≠C ．14k <-D ．14k ≥-且0k ≠ 注意:一元二次方程22(21)10k x k x -++=的二次项系数含有字母k . 2、（湖南株洲）定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知20(0)ax bx c a ++=≠是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ．a b c ==。

初中数学试卷桑水出品湘教版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2．3 一元二次方程根的判别式同步练习题1．一元二次方程x 2－4x ＋5＝0的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根 2．下列关于x 的方程有实数根的是( )A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝03．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中a ，c 异号，则方程的根的情况是( ) A ．b 为任意实数，方程有两个不等的实数根 B ．b 为任意实数，方程有两个相等的实数根 C ．b 为任意实数，方程没有实数根 D ．无法确定4．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：(1)3x 2－2x －1＝0；(2)x 2＋3＝22x ；(3)16y 2＋9＝24y .5．关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( )A ．m >94B ．m <94C ．m ＝94D ．m <－946．一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0总有实数根，则m 应满足的条件是( )A ．m >1B ．m ＝1C ．m <1D ．m ≤17．关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2－4x －1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A ．a >－5 B ．a >－5且a ≠－1 C ．a <－5 D ．a ≥－5且a ≠－18．已知(m －1)x 2＋2mx ＋(m －1)＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )A ．m >12B ．m <12且m ≠1C ．m >12且m ≠1 D.12<m <19．已知关于x 的方程x 2＋(1－m)x ＋m 24＝0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是______．10．已知关于x 的方程2x 2－(4k ＋1)x ＋2k 2－1＝0，问当k 取什么值时， (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程没有实数根.11．已知b <0，关于x 的一元二次方程(x －1)2＝b 的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不确定12．已知函数y＝kx＋b的图象如图所示，则一元二次方程x2＋x＋k－1＝0根的情况是( )A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定13．若 5k＋20<0，则关于x的一元二次方程x2＋4x－k＝0的根的情况是( )A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判断14．关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是( )A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种15．若关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝_______．16．若|b－1|＋a－4＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有两个实数根，则k的取值范围是______________．17．不解方程，判断下列方程根的情况：(1)3x2－5x－1＝0；(2)4y2－12y＋9＝0；(3)3t2－2t＋4＝0.18．已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.(1) 若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.19．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根．第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．答案1---3 DCA4. (1) 解：Δ>0，∴方程有两个不相等的实数根 (2) 解：Δ<0，∴方程没有实数根(3) 解：Δ＝0，∴方程有两个相等的实数根 5. B 6. D 7. B 8. C 9. 010. 解：∵a ＝2，b ＝－(4k ＋1)，c ＝2k 2－1，∴Δ＝b 2－4ac ＝[－(4k ＋1)]2－4×2×(2k 2－1)＝8k ＋9.(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，即8k ＋9>0，解得k>－98(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即8k ＋9＝0，解得k ＝－98(3)∵方程没有实数根，∴Δ<0，即8k ＋9<0，解得k<－9811. C 12. C 13. A 14. B15. 1416. k ≤4且k ≠017. (1) 解：Δ>0，∴方程有两个不相等的实数根 (2) 解：Δ＝0，∴方程有两个相等的实数根 (3) 解：Δ<0，∴方程没有实数根18. 解：(1)根据题意有12＋a×1＋a －2＝0，∴a ＝12，∴原方程为x 2＋12x －32＝0.解得另一根为x ＝－32(2)证明：Δ＝a 2－4(a －2)＝a 2－4a ＋8＝(a －2)2＋4≥4，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根19. (1) 解：∵Δ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋k )＝1>0，∴方程有两个不相等的实数根(2) 解：一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0的解为x ＝2k ＋1±12，即x 1＝k ，x 2＝k ＋1.当AB ＝k ，AC ＝k ＋1，且AB ＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k ＝5；当AB ＝k ，AC ＝k ＋1，且AC ＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k ＋1＝5，解得k ＝4.所以k 的值为5或4。

2.3 一元二次方程根的判别式一、选择题1．一元二次方程x 2－5x ＋1＝0的根的情况是 ( )A ．有两个不相等的实根B ．有两个相等实根C ．无实数根D ．不能确定2．下列方程中，没有实数根的是( )A ．x 2－2x ＝0B ．x 2－2x －1＝0C ．x 2－2x ＋1＝0D ．x 2－2x ＋2＝03．若关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ≥0B ．k ≤0C ．k <0且k ≠－1D ．k ≤0且k ≠－1 二、填空题4．关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．5．在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝2 3，AC ＝b ，且关于x 的方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，则AC 边上的中线长为________．6．已知关于x 的方程x 2－(a ＋2)x ＋a －2b ＝0的根的判别式等于0，且x ＝12是方程的根，则a ＋b 的值为________．三、解答题7．若关于x 的一元二次方程x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＝0有两个不相等的实数根，求a 的取值范围．8．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0有两个实数根．(1)求k的取值范围；(2)如果k取符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－6x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，求常数m的值.9．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0.(1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．存在性问题探究已知y1＝x2－2x＋1，y2＝2x－k.(1)当k＝－1时，是否存在实数x，使得y1＋y2＝0？如果存在，请求出x的值；如果不存在，请说明理由．(2)对给定的实数k，是否存在实数x，使y1＝ky2？如果存在，请确定k的取值范围；如果不存在，请说明理由．详解详析[课堂达标]1．[答案] A2．[解析] D A ．Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A 选项不符合题意；B .Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B 选项不符合题意；C .Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×1＝0，方程有两个相等的实数根，所以C 选项不符合题意；D .Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×2＝－4＜0，方程没有实数根，所以D 选项符合题意．故选D .3．[答案] D4．[答案] k ＜15．[答案] 2[解析] ∵关于x 的方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝16－4b ＝0，∴AC ＝b ＝4.∵BC ＝2，AB ＝23，∴BC 2＋AB 2＝AC 2，∴△ABC 是直角三角形，AC 是斜边，∴AC边上的中线长＝12AC ＝2.故答案为2. 6．[答案] －138[解析] 由题意可得Δ＝[－(a ＋2)]2－4(a －2b)＝0，即a 2＋8b ＋4＝0①.再将x ＝12代入原方程，得2a －8b －3＝0②.①＋②，得a 2＋2a ＋1＝0，解得a 1＝a 2＝－1.把a ＝－1代入②中，可得b ＝－58，则a ＋b ＝－138.故答案为－138. 7．解：由题意可知，Δ＝[－(2a ＋1)]2－4×1×a 2＝(2a ＋1)2－4a 2＝4a ＋1.∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即4a ＋1＞0，解得a ＞－14. 8．解：(1)∵b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×k ＝36－4k≥0，∴k≤9.(2)∵k 取符合条件的最大整数且k≤9，∴k ＝9.当k ＝9时，方程x 2－6x ＋9＝0的根为x 1＝x 2＝3.把x ＝3代入方程x 2＋mx －1＝0，得9＋3m －1＝0，∴m ＝－83. 9．解：(1)∵b ＝a ＋2，∴Δ＝b2－4×a×1＝(a＋2)2－4a＝a2＋4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)答案不唯一，如当a＝1，b＝2时，原方程为x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝－1.[素养提升]解：(1)不存在．理由如下：当k＝－1时，令y1＋y2＝0，得x2－2x＋1＋2x＋1＝0.整理，得x2＋2＝0.因为Δ＝b2－4ac＝0－4×2＝－8＜0，所以方程没有实数根，即不存在实数x，使得y1＋y2＝0.(2)存在．令y1＝ky2，则x2－2x＋1＝k(2x－k)．整理，得x2－(2＋2k)x＋1＋k2＝0.因为Δ＝b2－4ac＝[－(2＋2k)]2－4(1＋k2)＝8k，所以当k≥0时，方程有实数根，即对给定的实数k，存在实数x使y1＝ky2，此时k的取值范围是k≥0.。

2.3 一元二次方程根的判别式
22．2降次--解一元二次方程（第三课时）
22.2.2 公式法
◆随堂检测
1、一元二次方程的根的情况为（）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2、若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
3、若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_____________.
4、用公式法解下列方程.
（1）；
（2）；
（3）.
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后正确代入求根公式，即可.
◆典例分析
解方程：．
有一位同学解答如下：
这里，，，,
∴,
∴,
∴，．
请你分析以上解答有无错误,如有错误,找出错误的地方,并写出正确的结果．
分析：本题所反映的错误是非常典型的,在用公式法求解方程时,一定要求先将方程化为一元二次方程的一般形式才行.。

2.3 一元二次方程根的判别式22．2降次--解一元二次方程（第三课时）22.2.2 公式法◆随堂检测1、一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2、若关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1m <B ．1m >-C ．1m >D ．1m <-3、若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则实数m 的取值范围是_____________.4、用公式法解下列方程.（1）22410x x --=；（2）2523x x +=；（3）24310x x -+=.分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后正确代入求根公式1x =，2x =. ◆典例分析2+=有一位同学解答如下：这里，a =b =，c =∴224432b ac -=-=,∴x =2==,∴12x =，22x =．请你分析以上解答有无错误,如有错误,找出错误的地方,并写出正确的结果． 分析：本题所反映的错误是非常典型的,在用公式法求解方程时,一定要求先将方程化为一元二次方程的一般形式才行.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一 一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2－4x ＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．12B ．9C ．13D ．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，则一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k 、b 是一元二次方程(2x ＋1)(3x －1)＝0的两个根，且k ＞b ，则函数y ＝kx ＋b 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是 ．12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝k x(k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． .◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2C ．m ≥3D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k ≠013．B 14.k≥1。

2.3一元二次方程根的判别式班级：___________姓名：___________得分：__________（满分：100分，考试时间：40分钟）一．选择题（共5小题，每题8分）1．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定2．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x=0 B．x2+4x﹣1=0C．2x2﹣4x+3=0 D．3x2=5x﹣23．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（）A．x1≠x2B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜04．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）A．6 B．5 C．4 D．35．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根二．填空题（共5小题，每题8分）6．一元二次方程x2﹣3x+1=0的根的判别式的值是．7．关于x的一元二次方程x2+tx+t2+t+2=0根的情况是．8．关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，那么负整数a=（一个即可）．9．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1=0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为．10．对于函数y=x n+x m，我们定义y'=nx n﹣1+mx m﹣1（m、n为常数）．例如y=x4+x2，则y'=4x3+2x．已知：y=+（m﹣1）x2+m2x．若方程y'=0有两个相等实数根，则m的值为．三．解答题（共3小题，第11、12题各5分，第13题10分）11．关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．12．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m为正整数时，求方程的根．13．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．试题解析一．选择题1．A【分析】先计算判别式得到△=（k+3）2﹣4×k=（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．【解答】解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，∵（k+1）2≥0，∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．2．C【分析】利用根的判别式△=b2﹣4ac分别进行判定即可．【解答】解：A、△=4﹣4=0，有两个相等的实数根，故此选项不合题意；B、△=16+4=20＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；C、△=16﹣4×2×3＜0，没有实数根，故此选项符合题意；D、△=25﹣4×3×2=25﹣24=1＞0，有两个相等的实数根，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．3．A【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2，结论C错误；D、由x1•x2=﹣2，可得出x1、x2异号，结论D错误．综上即可得出结论．【解答】解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，∴x1≠x2，结论A正确；B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1+x2=a，∵a的值不确定，∴B结论不一定正确；C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1•x2=﹣2，结论C错误；D、∵x1•x2=﹣2，∴x1、x2异号，结论D错误．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．4．B【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出m≤3，由m为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出m的值，将其相加即可得出结论．【解答】解：∵a=1，b=2，c=m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根∴△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，∴m≤3．∵m为正整数，且该方程的根都是整数，∴m=2或3．∴2+3=5．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的整数解，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．5．D【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=﹣（a+1），当b=a+1时，﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，1是方程x2+bx+a=0的根．再结合a+1≠﹣（a+1），可得出1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，∴，∴b=a+1或b=﹣（a+1）．当b=a+1时，有a﹣b+1=0，此时﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根．∵a+1≠0，∴a+1≠﹣（a+1），∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．二．填空题6．5【分析】根据根的判别式等于b2﹣4ac，代入求值即可．【解答】解：∵a=1，b=﹣3，c=1，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5，故答案为：5．【点评】本题考查了根的判别式，熟记根的判别式的公式△=b2﹣4ac．7．无实数根【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=9＞0，进而即可得出方程x2+tx+t2+t+2=0无实数根．【解答】解：∵x2+tx+t2+t+2=0中a=1，b=t，c=t2+t+2，∴△=b2﹣4ac=t2﹣4（t2+t+2）=﹣（t+2）2﹣4＜0．∴关于x的一元二次方程x2+tx+t2+t+2=0根的情况是无实数根．故答案是：无实数根．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．8．-2【分析】先根据判别式的意义得到△=42+8a≥0，解得a≥﹣2，然后在解集中找出负整数即可．【解答】解：∵关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，∴△=42+8a≥0，解得a≥﹣2，∴负整数a=﹣1或﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9．【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：△=4m2﹣2（1﹣4m）=4m2+8m﹣2=0，∴m2+2m=∴（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）=﹣m2﹣2m+4=+4=故答案为：【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解根的判别式的作用，本题属于基础题型．10．【分析】根据给定的新定义可找出y'=x2+2（m﹣1）x+m2，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．【解答】解：∵y=+（m﹣1）x2+m2x，∴y'=x2+2（m﹣1）x+m2．∵方程y'=0有两个相等实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=0，解得：m=．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．三．解答题11．【分析】（1）计算判别式的值得到△=a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△=b2﹣4a=0，设b=2，a=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可．【解答】解：（1）a≠0，△=b2﹣4a=（a+2）2﹣4a=a2+4a+4﹣4a=a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4a=0，若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．12．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列不等式求解可得；（2）求出m的值，解方程即可解答．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=42﹣4（3m﹣2）=24﹣12m＞0，解得：m＜2．（2）∵m为正整数，∴m=1．∴原方程为x2﹣4x+1=0解这个方程得：，．【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握方程的根的情况与判别式的值间的关系是解题的关键．13．【分析】（1）代入x=1可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值；（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（a﹣2）2+4＞0，由此即可证出：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a﹣2=0，解得：a=．（2）证明：△=a2﹣4（a﹣2）=（a﹣2）2+4．∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，解题的关键是：（1）代入x=1求出a值；（2）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”．。

2.3一元二次方程根的判别式同步测试一、选择题1.一元二次方程x2﹣2x+2=0的根的情况是（）A. 有两个不相等的正根B. 有两个不相等的负根C. 没有实数根D. 有两个相等的实数根2.若关于x的一元二次方程ax2+x﹣1=0有实数根，则a的取值范围是（）A. a 且a≠0B. aC. aD. a 且a≠03.元二次方程有两不等实数根，则c的取值范围是A. c＜1B. c≤1C. c=1D. c≠14.已知a，b，c是△ABC的三条边长，且关于x的方程（c－b）x2+2（b－a）x+（a－b）=0有两个相等的实数根，那么这个三角形是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 不等边三角形D. 直角三角形5.若一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，则a的取值范围是（）A. a≤1B. a≤4C. a＜1D. a≥16.关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（）A. k＞﹣1B. k≥﹣1C. k≠0D. k＞﹣1且k≠07.若一元二次方程x2+2x+m+1=0有实数根，则（）A. m的最小值是1B. m的最小值是﹣1C. m的最大值是0D. m的最大值是28.下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A. x2+4=0B. x2﹣2x=0C. （x+1）2=0D. （x﹣3）（x+1）=09.下列方程中没有实数根的是（）A. x2+x-1=0B. x2+8x+1=0C. x2+x+2=0D. x2-2x+2=0二、填空题10.写一个你喜欢的整数m的值，使关于x的一元二次方程x2﹣3x+2m=0有两个不相等的实数根，m=________．11.关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________12. 关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是________ ．13.（关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m= ________.14.方程kx2+1=x-x2无实根，则k________.15.请写出一个无实数根的一元二次方程________16.已知关于x的方程x2﹣4x+a=0有两个相同的实数根，则a的值是________．17.如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为________三、解答题18.已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．19.有甲、乙两位同学，根据“关于x的一元二次方程kx2﹣（k+2）x+2=0”（k为实数）这一已知条件，他们各自提出了一个问题考查对方，问题如下：甲：你能不解方程判断方程实数根的情况吗？乙：若方程有两个不相等的正整数根，你知道整数k的值等于多少吗？请你帮助两人解决上述问题．20.已知关于x的方程mx2﹣（m+3）x+3=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，求满足条件的整数m的值．21.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．22.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0 （1）当m=8时，判断方程的根的情况；（2）当m=﹣8时，求方程的根．参考答案一、选择题1.C2. A3.A4.B5.A6.D7.C8. C9.C二、填空题10. 1 11.12.．13.-1 14.＞- 15.x2﹣x+3=0 16.4 17.﹣1或2三、解答题18.解：（1）根据题意得m﹣2≠0且△=4m2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0，解得m＜6且m≠2；（2）m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2+10x+8=0，∴（3x+4）（x+2）=0，∴x1=﹣，x2=﹣2．19.解：（1）∵kx2﹣（k+2）x+2=0（k为实数）是关于x的一元二次方程，∴k≠0，∵△=（k+2）2﹣4k×2=（k﹣2）2≥0，∴方程有实数根；（2）kx2﹣（k+2）x+2=0，（x﹣1）（kx﹣2）=0，x﹣1=0，或kx﹣2=0，解得x1=1，x2=，∵方程有两个不相等的正整数根，且k为整数，∴k=1或2，∵k=2时，x1=x2=1，两根相等，不合题意舍去，∴k=1．20.（1）证明：∵m≠0，∴方程mx2﹣（m+3）x+3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，∴△=（m+3）2﹣4×m×3=（m﹣3）2，∵（m﹣3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x=，∴x1=1，x2=，∵方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，∴为大于1的整数，∵m为整数，∴m=1．21.解：由题意可知△=0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）=0，解得m=5．当m=5时，原方程化为x2﹣4x+4=0．解得x1=x2=2．所以原方程的根为x1=x2=222.解：（1）当m=8时，b2﹣4ac=22﹣4×1×8=4﹣32=﹣28＜0，∴原方程没有实数根．（2）当m=﹣8时，原方程为x2+2x﹣8=0，即（x﹣2）（x+4）=0，∴x1=2，x2=﹣4．。

2.3 一元二次方程根的判别式一、选择题1．[2016·昆明] 一元二次方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定2．下列方程中，没有实数根的是( )A ．x 2－2x ＝0B ．x 2－2x －1＝0C ．x 2－2x ＋1＝0D ．x 2－2x ＋2＝03．2017·河池若关于x 的方程x 2＋2x －a ＝0有两个相等的实数根，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－4 D ．4二、填空题4．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋(2a ＋1)x ＋a ＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是________．5．在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝2 3，AC ＝b ，且关于x 的方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，则AC 边上的中线长为________．6．已知关于x 的方程x 2－(a ＋2)x ＋a －2b ＝0的根的判别式等于0，且x ＝12是方程的根，则a ＋b 的值为________．三、解答题7．已知关于x 的方程14x 2－(m －2)x ＋m 2＝0. (1)若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；(2)若方程有两个相等的实数根，求m 的值；(3)若方程无实数根，求m 的取值范围．8.已知关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0有两个实数根．(1)求k的取值范围；(2)如果k取符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－6x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，求常数m的值．9．已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值(要求先化简再求值)．10存在性问题探究已知y1＝x2－2x＋1，y2＝2x－k.(1)当k＝－1时，是否存在实数x，使得y1＋y2＝0？如果存在，请求出x的值；如果不存在，请说明理由．(2)对给定的实数k，是否存在实数x，使y1＝ky2？如果存在，请确定k的取值范围；如果不存在，请说明理由．1．[解析] B ∵Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×4＝0，∴方程x 2－4x ＋4＝0有两个相等的实数根．故选B .2．[解析] D A ．Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A 选项不符合题意；B .Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B 选项不符合题意；C .Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×1＝0，方程有两个相等的实数根，所以C 选项不符合题意；D .Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×2＝－4＜0，方程没有实数根，所以D 选项符合题意．故选D .3．[解析] A ∵方程x 2＋2x －a ＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝22－4×1×(－a)＝4＋4a ＝0，解得a ＝－1.故选A .4．[答案] a ＞－18且a≠1 [解析] ∵关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋(2a ＋1)x ＋a ＝0有两个不相等的实数根，∴a －1≠0，Δ＝(2a ＋1)2－4a(a －1)＞0，解得a ＞－18且a≠1.故答案为a ＞－18且a≠1. 5．[答案] 2[解析] ∵关于x 的方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝16－4b ＝0，∴AC ＝b ＝4.∵BC＝2，AB ＝23，∴BC 2＋AB 2＝AC 2，∴△ABC 是直角三角形，AC 是斜边，∴AC 边上的中线长＝12AC ＝2.故答案为2. 6．[答案] －138[解析] 由题意可得Δ＝[－(a ＋2)]2－4×(a－2b)＝0，即a 2＋8b ＋4＝0①.再将x ＝12代入原方程得2a －8b －3＝0②.①＋②得a 2＋2a ＋1＝0，解得a 1＝a 2＝－1.把a ＝－1代入②中，可得b ＝－58，则a ＋b ＝－138.故答案为－138. 7．解：b 2－4ac ＝[－(m －2)]2－4×14m 2＝－4m ＋4. (1)因为原方程有两个不相等的实数根，所以－4m ＋4>0，解得m<1.(2)因为原方程有两个相等的实数根，所以－4m ＋4＝0，解得m ＝1.(3)因为原方程无实数根，所以－4m ＋4<0，解得m>1.8．解：(1)∵b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×k＝36－4k ≥0，∴k ≤9.(2)∵k 取符合条件的最大整数且k≤9，∴k ＝9.当k ＝9时，方程x 2－6x ＋9＝0的根为x 1＝x 2＝3.把x ＝3代入方程x 2＋mx －1＝0得9＋3m －1＝0，∴m ＝－83. 9．解：(1)证明：∵关于x 的一元二次方程x 2－(2m ＋1)x ＋m(m ＋1)＝0，∴Δ＝b 2－4ac ＝[－(2m ＋1)]2－4m(m ＋1)＝1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．(2)∵x＝0是此方程的一个根，∴把x ＝0代入方程中得到m(m ＋1)＝0.∵(2m －1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m －5＝4m 2－4m ＋1＋9－m 2＋7m －5＝3m 2＋3m ＋5＝3m(m ＋1)＋5.把m(m ＋1)＝0代入3m(m ＋1)＋5，得3m(m ＋1)＋5＝3×0＋5＝5.故代数式(2m －1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m －5的值为5.10 解：(1)不存在．理由如下：当k ＝－1时，令y 1＋y 2＝0，得x 2－2x ＋1＋2x ＋1＝0，整理，得x 2＋2＝0.因为Δ＝b 2－4ac ＝0－4×2＜0，所以方程没有实数根，即不存在实数x ，使得y 1＋y 2＝0.(2)存在．令y1＝ky2，则x2－2x＋1＝k(2x－k)，整理得x2－(2＋2k)x＋1＋k2＝0.因为Δ＝b2－4ac＝[－(2＋2k)]2－4(1＋k2)＝8k，所以当k≥0时，方程有实数根．即对给定的实数k，存在实数x使y1＝ky2，此时k的取值范围是k≥0.。

2020年精品试题
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2.3 一元二次方程根的判别式
知|识|目|标
1．通过讨论，理解一元二次方程根的判别式，能根据判别式判断一元二次方程根的情况．
2．在理解根的判别式的情况下，能根据一元二次方程根的情况去确定未知字母的值或取值范围．
目标一能利用判别式判断一元二次方程的根的情况
例1 教材例题针对训练不解方程，判断下列方程的根的情况．
(1)2x2＋3x＝4；(2)x2－x＋1
4
＝0；
(3)x2＋1＝x.
【归纳总结】用根的判别式判断一元二次方程根的情况
(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；
(2)确定a，b，c的值，并计算b2－4ac的值；
(3)根据b2－4ac的值与0的大小关系确定一元二次方程根的情况．目标二会根据一元二次方程根的情况求未知字母的值或取值范围。

2.3 一元二次方程根的判别式一.选择题1.一元二次方程”一必+4 = 0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定2.下列方程中，没有实数根的是（）A. 2x=0B. 2*—1=0C. F—2x+l = 0D. F—2x+2 = 03.若关于x的方程”+2x—a=0有两个相等的实数根，则a的值为（）A. — 1B. 1C. —4D. 4二填空）4.关于％的一元二次方程（日一1）£+ （Za+l）x+ a=0有两个不相等的实数根，则&的取值范围是__________ .5.在△/应'中，BC=2, AB=2 AC=b,且关于x的方程r一4*+5=0有两个相等的实数根，则力C边上的中线长为 _________ .6.己知关于*的方程^-{a+2）x+a-2b=0的根的判别式等于0,且*=*是方程的根，则a+b的值为_____________ .三•解答题7.己知关丁- x的方程半/一 (加一2)x+力=0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求也的取值范围；(2)若方程有两个相等的实数根，求也的值；(3)若方程无实数根，求刃的取值范围.8.己知关于x的一元二次方程”一6/+&=0有两个实数根.(1)求&的取值范围；(2)如果k取符合条件的最大整数，且一元二次方程=0与^+mx~l= 0有一个相同的根，求常数也的值.9.己知关于x的方程(2也+1)*+加(加+1) =0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2刃一1)?+(3+也)(3 —加)+7刃一5的值(要求先化简再求值).10存在性问题探究己知口=/一2*+1, y?=2x— k.(1)当&=一1时，是否存在实数必使得乃+北=0?如果存在，请求出x的值；如果不存在，请说明理由.(2)对给定的实数k,是否存在实数心使% =砂?如果存在，请确定&的取值范围；如果不存在，请说明理由.参考答案1•［解析］B T 4 =方'一4眈=(―4)：—4X 1X4 = 0,・：方程£ 一4*+4 = 0有两个相等的实数根.故选B.2.［解析］D & /=F-4ac=(-2)'-4XlX0 = 4>0,方程有两个不相等的实数根，所以力选项不符合题意；B. 4=方；一4眈=(一2)2-4XlX(-l)=8>0,方程有两个不相等的实数根，所以万选项不符合题意；C力=方：一4ac= (―2)' —4X 1X1=0,方程有两个相等的实数根，所以C选项不符合题意；ZZ 4=F — 4ac=( — 2)7 — 4X1X2 = —4V0,方程没有实数根，所以0选项符合题意.故选〃3.［解析］力•・•方程^+2x-a=0有两个相等的实数根，・・・4 =F—4ac=2：—4X IX ( — a) =4 + 4曰=0,解得耳=一1.故选A.4.［答案］a>—令且自H1O［解析］•・•关于x的一元二次方程@一1)扌+(2日+1)%+日=0有两个不相等的实数根，・•.&—1H0, 4 =(2a+1):—4a(a— 1) >0, 解得&>—£且&HL故答案为&>—*且aHl.5.［答案］2［解析］•・•关于x的方程F—4x+方=0有两个相等的实数根，A = 16 —4Z?=0,:・AC= b=4.•:BC=2, AB=2书,\BC+A^ = AC, ：・、ABC是直角三角形，M是斜边，・・・M边上的中线长=#C=2.故答案为2.6.［答案］［解析］由题意可得力=［一@+2)『一4X(曰一2方)=0,即才+ 8方+4 = 0①.再将尸扌代入原方程得2日一8方一3 = 0②.①+②得才+52日+1 = 0,解得金=必=一1.把日=—1代入②中，可得b=—§,则1 Q 1 Q卄* 一节.故答案为一节.7.解:F—4ac=［―(刃一2)4X#力=—4血+4.(1)因为原方程有两个不相等的实数根，所以一4刃+4>0,解得冰1.(2)因为原方程有两个相等的实数根，所以一4刃+4 = 0,解得刃=1.(3)因为原方程无实数根，所以一4刃+4〈0,解得刃>1.8.解：(1)・・・方'一4眈=(一6尸一4*1><&=36—4&鼻0, A^9.(2) •・•&取符合条件的最大整数且辰9,k=g.当k=9时，方程F—6x+9 = 0的根为Xi = x：=3.把x=3代入方程Z+财一1 = 0得9 + 3加一1=0,89.解：（1）证明：丁关于*的一元二次方程（2刃+l）x+/Z7（2Z7 + 1）=0,・；力=S — 4&c= [—（2加+1）]：—4刃（血+1） =1>0,・•・方程总有两个不相等的实数根.（2）•・・/= 0是此方程的一个根，・••把x=0代入方程中得到加（也+1） =0.T （2加一1）:+ （3+/Z?）（3 —ZZ7）+7刃一5 = 4力一4刃+1 + 9—力 + 7刃一5 = 3^+3/z?+5 = 3/Z7（/z?+1） +5.把zz?（/z?+l） =0 代入3zz?（/z?+l） +5,得3也（加+l）+5 = 3X0 + 5 = 5.故代数式（2/z?—I）2+ （3+/Z?）（3—加）+7刃一5的值为5.10解：（1）不存在.理由如下：当 &=一1 时，令乃+乃=0,得 /一2*+l+2x+l=0,整理，得”+2 = 0.因为4=F-4ac=0-4X2<0,所以方程没有实数根，即不存在实数”使得乃+乃=0.(2)存在.令yi = ky2,则f-2*+l=W(2x—&), 整理得(2 + 2Q*+l+左=0.因为4=F —4ac=[—(2 + 2幻]'一4(1 + /)=8〃, 所以当时，方程有实数根.即对给定的实数A，存在实数％使乃=幻勺此时&的取值范围是 5.。