高三数学上学期期初考试试题 理

2022级高三调研测试4（期中）数学试题 2024.10注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则A ．{1，2，3} B ．{0，1，2}C ．{1，2，5}D ．{0，1，2，5}2．已知，则|z |＝A ．2B ．1CD3．已知，．若，则A ．B ． CD4．已知等比数列的前n 项和为，且，则“”是“的公比为2”的A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5，则此正四棱锥的体积为A．B ．C ．D ．6．已知函数则f （x ）图象上关于原点对称的点有A．1对B ．2对C ．3对D ．4对7．已知函数，函数f （x ）的图象各点的横坐标缩小为原来的6|,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}|15Q x x =-<≤P Q = i22iz =-||a = ||1b =()2a b a +⊥ cos ,a b ={}n a n S 31S ma =7m ={}n a ()21,0,2|2|,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+<⎩≥()2211cos sin cos 222222x x x x f x =-12（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．若方程在上有两个不同的解，，则的值为A ．B ．C ．D ．π8．若关于x 不等式恒成立，则当时，的最小值为A ．B ．C ．eD ．1二．多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

2024届厦门双十中学高三数学上学期期初考试卷2023.9（试卷满分150分，考试时间120分钟）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．全集U =R ，能表示集合{}2,1,0A =--和{}2|20B x x x =--≤关系的Venn 图是（）A ．B ．C ．D ．2．不等式2210ax x -+>（R a ∈）恒成立的一个充分不必要条件是（）A ．a ≥1B ．a ＞1C ．102a ＜＜D ．a ＞23．已知825,log 3ab ==，则34a b -=（）A ．25B ．5C ．259D ．534．设()()322f x x a x x =---+是定义在[]2,3b b +上的奇函数，则()f a b +=（）A ．-1B ．0C ．1D ．-25．已知函数()1,2,x x x a f x x a +≤⎧=⎨>⎩，若()f x 的值域为R ,则实数a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[0,1]C ．[0,)+∞D ．(,1]-∞6．在三棱锥P -ABC 中，点O 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为侧棱PA ，PB ，PC 的中点，若a AF =，b CE = ，c BD = ，则OP =（）A ．111333a b c++B ．111333a b c---C ．212333a b c---D ．222333a b c++7．已知函数()()22,f x x g x x =-+=，令()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩，则不等式()74h x >的解集是（）A ．1<2x x -⎧⎨⎩或17<<24x ⎫⎬⎭B ．{<1x x -或71<<4x ⎫⎬⎭C ．11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭D ．{1<<1x x -或7>4x ⎫⎬⎭8．已知半径为4的球O ，被两个平面截得圆12O O ､，记两圆的公共弦为AB ，且122O O =，若二面角12O AB O --的大小为2π3，则四面体12ABOO 的体积的最大值为（）A ．83B ．429C ．829D ．439二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．设m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论中正确的是（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若m α⊥，n α⊥，则//m nC ．若//m α，m β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥10．已知实数a ，b ，则下面说法正确的是（）A ．若a b >，则33a ab b>B ．若a ，b 均大于0且ln ln b a a b =，则a b >C ．若0a >，0b >，2a b +=，则221111a b +++最大值为212+D ．若221a b +=，则ab 的取值范围为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．已知函数()(),f x g x 的定义域为()()()()()()(),21,21,4f x f x g x g x g x f x f x +=++=-+R 为奇函数，则（）A ．函数()f x 的图象关于()4,0对称B ．函数()f x 是周期函数C ．()()2100f x f x -++=D ．20231()0k f k ==∑12．如图，棱长为2的正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱AD ，BC 的中点，O 为线段MN 的中点，球O 的表面正好经过点M ，则下列结论中正确的是（）A ．AO ⊥平面BCDB ．球O 的体积为2π3C ．球O 被平面BCD 截得的截面面积为4π3D ．过点O 与直线AB ，CD 所成角均为π3的直线可作4条三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．圆台的底半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为．14．正实数,x y 满足142x y +=，且不等式24y x m m +≥-恒成立，则实数m 的取值范围为.15．已知函数()221ax bxf x x +=+在其定义域内为偶函数，且()112f =，则()()()111122022202220212f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.16．在OAB 中，2,120OA AB OAB ∠=== ，若空间点P 满足13PAB OAB S S = ，则OP 的最小值为；直线OP 与平面OAB 所成角的正切的最大值是.四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分,BAC ABD ∠ 面积是ADC △面积的3倍.(1)求sin sin BC；(2)若21,2AD DC ==，求BD 和AC 的长.18．如图，圆台上底面圆1O 半径为1，下底面圆2O 半径为2,AB 为圆台下底面的一条直径，圆2O 上点C 满足1,AC BC PO =是圆台上底面的一条半径，点,P C 在平面1ABO 的同侧，且1//PO BC .(1)证明：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)若圆台的高为2，求直线1AO 与平面PBC 所成角的正弦值.19．设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．(1)若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；(2)若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．20．教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．(1)求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数X 的分布列；(3)求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左焦点为F ，离心率为12，以坐标原点O 为圆心，OF 为半径作圆使之与直线20x y -+=相切.(1)求C 的方程；(2)设点()4,0,,P A B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，PB 交C 于另一点E ，求AEF △的内切圆半径的范围.22．已知函数()2ln 1,R f x x ax x a a =-++∈，()f x '为()f x 的导函数.(1)讨论()f x '的极值；(2)若存在[2,e]t ∈，使得不等式()0<f t 成立，求a 的取值范围.1．D【分析】化简集合B ，根据两集合的关系，即可得出答案.【详解】由已知，可得{}{}212||20B x x x x x =---≤=≤≤，所以{}1,0A B ⋂=-，根据选项的Venn 图可知选项D 符合.故选：D.2．D【分析】先求得不等式2210ax x -+>（R a ∈）恒成立的充要条件，再找其充分不必要条件.【详解】不等式2210ax x -+>（R a ∈）恒成立，显然0a =不成立，故应满足0Δ440a a >⎧⎨=-<⎩，解得1a >，所以不等式2210ax x -+>（R a ∈）恒成立的充要条件是1a >，A 、C 选项不能推出1a >，B 选项是它的充要条件，2a >可以推出1a >，但反之不成立，故2a >是1a >的充分不必要条件.故选：D 3．C【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【详解】因为25a=，821log 3log 33b ==，即323b =，所以()()22323232452544392a aa bbb -====．故选：C.4．B【分析】由奇函数的性质可求出,a b 的值，即可求出()f a b +.【详解】因为()()322f x x a x x =---+是定义在[]2,3b b +上的奇函数，所以20230a b b -=⎧⎨++=⎩，解得：21a b =⎧⎨=-⎩，所以()3f x x x =-+，则1a b +=，则()()1110f a b f +==-+=.故选：B.5．B【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数a 的取值进行分类讨论即可.【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数1y x =+和()2x g x =的图象如下图所示：由图可知，当0x =或1x =时，两图象相交，若()f x 的值域是R ，以实数a 为分界点，可进行如下分类讨论：当0a <时，显然两图象之间不连续，即值域不为R ；同理当1a >,值域也不是R ；当01a ≤≤时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是R ；综上可知，实数a 的取值范围是01a ≤≤.故选：B 6．D【分析】根据空间向量的线性运算，结合重心的性质即可求解.【详解】取BC 中点为M ，1,21,212PF PA PC PA CE PE PC PB PC BD PD PB P a AF c A PBb ===-=-=-=-=-=-=三个式子相加可得()()122a b c PA PB PC PA PB PC a b c +=++⇒++=-++-+,又()()22113323OP AP AO PA AM PA AB AC PA PB PA PC PA=-==⨯+=-+- ------()()()111112333333PA PB PA PC PA PA PB PC PA PB PC a b c =-+----=++=+--=-+,故选：D7．C【分析】由()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩可知，()h x 的图像是()f x 与()g x 在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出()h x 的图像，结合图像，即可求得()74h x >的解集.【详解】由()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩可知，()h x 的图像是()f x 与()g x 在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出()h x 的图像，联立2=+2=y x y x -⎧⎨⎩，解得=2=2x y --⎧⎨⎩或=1=1x y ⎧⎨⎩，故12x =-，21x =，所以()2,2=+2,2<<1,>1x x h x x x x x ≤---⎧⎪⎨⎪⎩，又由()74h x >可知，其解集为()h x 的函数值比74大的那部图像的所在区间，结合图像易得，()74h x >的解集为{34<<x x x x 或}5>x x 联立2=+27=4y x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得1=27=4x y -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩或1=27=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故312x =-，412x =，联立=7=4y x y ⎧⎪⎨⎪⎩，解得7=47=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故574x =，所以()74h x >的解集为11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭.故选：C..8．C【分析】根据圆的性质及球的截面的性质，利用正弦定理、余弦定理，均值不等式及三棱锥的体积公式求解即可.【详解】设弦AB 的中点为M ，连接12,O M O M ，依题意，可得如下图形，由圆的性质可知12,⊥⊥O M AB O M AB ，则12O MO ∠即为二面角的平面角，故122π3O MO ∠=，四面体12ABOO 的体积为121211sin 362π3MO O V AB S AB O M O M =⋅=⋅⋅⋅ 12312AB O M O M =⋅⋅，其中2221212121243O O O M O M O M O M O M O M=++⋅=≥⋅1243O M O M ⇒⋅≤，当且仅当12233O M O M ==时取等号，由球的截面性质，11OO O M ⊥，22OO O M ⊥，所以12,,,O O O M 四点共圆，则有外接圆直径2423i 23s πn R OM ===，从而2216862221633AB MB OB OM ==-=-=，1222224823339V O M O M ∴=⋅≤⨯=.故选：C 9．BD【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A ：若//m α，//n α，则//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故选项A 错误；对B ：若m α⊥，n α⊥，则//m n ，故选项B 正确；对C ：若//m α，m β⊂，则//αβ或α与β相交，故选项C 正确；对D ：若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥，故选项D 正确.故选：BD.10．ACD【分析】对于A ，分0a b >≥、0a b >>、0a b >>三种情况，结合不等式的性质即可判断；对于B ，令0a b =>可判断；对于C ，由2a b +=可得2242ab ab+=-，从而2221142(1)11(1)4ab a b ab --+=++-+，令1(0)t ab t =-≤，再令()424t m m -=≥，结合基本不等式即可判断；对于D ，由221a b +=可得21ab ≤，求解即可判断.【详解】对于选项A ，若0a b >≥，则3443a a a b b b =>=，若0a b ≥>，则330a a b b ≥>，若0a b >>，则3443a a ab b b =->-=，∴若a b >，都有33a a b b >，故A 正确；对于选项B ，当0a b =>，ln ln b a a b =显然成立，故B 错误；对于选项C ，∵2a b +=，2242ab ab+=-，∴2221142(1)11(1)4ab a b ab --+=++-+，∵2a b +=，212a b ab +⎛⎫∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立.令1(0)t ab t =-≤，则2242(1)42(1)44ab t ab t ---=-++，令()424t m m -=≥，则42-=mt ，22424442132483228288t m t m m m m-+==≤=+-+-+-，当且仅当32m m=，即42m =时，等号成立.∴221111a b +++最大值为212+，故C 正确；对于选项D ，∵221a b +=，∴21ab ≤，1122ab -≤≤，则ab 的取值范围为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故D 正确．故选：ACD ．11．ABD【分析】根据函数的对称性可得()f x 的图象关于()4,0对称，结合函数变换可推出函数()f x 是周期为8的函数，结合对称性与周期性逐项判断即可得答案.【详解】因为()4f x +为奇函数，则()()44f x f x +=--+，所以()()8f x f x =--+，则函数()f x 的图象关于()4,0对称，故A 正确；因为()()()21f x f x g x +=+①，()()()21g x g x f x +=-②，则①+②得：()()()()()2112222f x g x g x f x +++==⨯+，即()()2g x f x =+③，②-①得：()()()()()2112222g x f x f x g x +-+=-=⨯+，即()()2f x g x =-+④，由③得()()24g x f x +=+代入④得()()4f x f x =-+，所以()()48f x f x +=-+，则()()8f x f x =+，则函数()f x 是周期为8的函数，故B 正确；由于()f x 的图象关于()4,0对称，()f x 是周期为8的函数，无法确定是否关于点()6,0对称，故C 不正确；将③代入①可得()()()212f x f x f x +=++，所以()()()2213f f f =+，()()()2324f f f =+，()()()2435f f f =+，()()()2546f f f =+，()()()2657f f f =+，()()()2768f f f =+，()()()()()287971f f f f f =+=+，()()()()()()292181082f f f f f f ==+=+，累加得：()()()()()()()()()()2123821238f f f f f f f f ++++=++++ ，故可得()()()()12380f f f f ++++= ，所以20232024202481111()()(2024)()(8253)253()(8)000k k k k f k f k f f k f f k f =====-=-⨯=-=-=∑∑∑∑，故D 正确.故选：ABD.12．ABD【分析】设,E F 分别为,AB CD 的中点，连接,,,,,,ME EN NF MF EF AN DN ，根据线面垂直的判定定理可判断A ；求出球的半径，计算球的体积，进而判断B ；求出球O 被平面BCD 截得的截面圆的半径，可求得截面面积，进而判断C ；通过平移与补形法，通过角平分线的转化寻找平面进而找出直线，从而可判断D.【详解】设,E F 分别为,AB CD 的中点，连接,,,,,,ME EN NF MF EF AN DN ，则11,,,22EM BD NF BD EM BD NF BD ==∥∥,故,EM NF EM NF =∥，则四边形MENF 为平行四边形，故,EF MN 交于一点，且互相平分，即O 点也为EF 的中点，又,AB AC DB DC ==，故,AN BC DN BC ⊥⊥,,,AN DN N AN DN =⊂ 平面AND ，故BC ⊥平面AND ，由于,O MN MN ∈⊂平面AND ，则AO ⊂平面AND ，故BC AO ⊥，结合O 点也为EF 的中点，同理可证DC AO ⊥,,,BC DC C BC DC =⊂ 平面BCD ，故AO ⊥平面BCD ，A 正确；由球O 的表面正好经过点M ，则球O 的半径为OM ,棱长为2的正四面体ABCD 中，3AN DN ==，M 为AD 的中点，则MN AD ⊥，故22312MN ND MD =-=-=,则22OM =，所以球O 的体积为33442π()π()π33322OM ⨯=⨯=，B 正确；由BC ⊥平面AND ，BC ⊂平面BCD ，故平面AND ⊥平面BCD ，平面AND ⋂平面BCD DN =，由于AO ⊥平面BCD ，延长AO 交平面BCD 于G 点，则OG ⊥平面BCD ，垂足G 落在DN 上，且G 为正BCD △的中心，故1333NG ND ==，所以2222236()()236OG ON NG =-=-=，故球O 被平面BCD 截得的截面圆的半径为22263()()263-=，则球O 被平面BCD 截得的截面圆的面积为23ππ()33⨯=，C 错误；由题意得，正四面体可以放入正方体内，如下图所示，将AB 平移至正方体的底面内，过1A FC ∠和1B FD ∠的角平分线作垂直于底面的平面，即平面O P Q ，在平面内一定存在过O 点的两条直线12,l l 使得该直线与直线AB ，CD 所成角均为π3，同理可知，过1B FC ∠和1A FD ∠的角平分线作垂直于底面的平面也存在两条直线满足题意，所以过点O 与直线AB ，CD 所成角均为π3的直线可作4条，D 正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：本题考查立体几何的综合问题.要结合图形的特点，作出适合的辅助线，要善于观察图形特点，放入特殊图形中从而快速求解.13．1423π【分析】由圆台的底半径为1和2，母线长为3，求出圆台高为22，由此能求出此圆台体积．【详解】∵圆台的底半径为1和2，母线长为3，∴圆台高h=223(21)--=22，∴此圆台体积V=3π（r 2+R 2+Rr ）h=1423π．故答案为1423π．【点睛】本题考查圆台的体积的求法，解题关键点为在轴截面中求出圆台的高，属于基础题．14．[]1,2-【分析】将问题转化为2min ()4y x m m ≥+-，利用基本不等式求出4y x +的最小值，再解一元二次不等式即可.【详解】因为不等式24yx m m +≥-恒成立，所以2min ()34y x m m ≥+-，因为0,0x y >>，且142x y+=，所以11422()()121242488y y x y x y x x x y y x y x+=++=++≥⋅+=，当且仅当28x yy x=，即1,4x y ==时，等号是成立的，所以min ()24y x +=，所以22m m -≤，即(1)(2)0m m +-≤，解得12m -≤≤.故答案为：[]1,2-15．40432【分析】首先根据()f x 为偶函数和()112f =得到()221xf x x =+，再根据()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解即可.【详解】因为()221ax bxf x x +=+的定义域为R ，且为偶函数，所以()()f x f x -=，即222211ax bx ax bxx x -+=++，即0b =.所以()221ax f x x =+.又因为()1122a f ==，即1a =，所以()221x f x x =+.因为()2222222111111111x x x f x f x x x x x ⎛⎫+=+=+= ⎪+++⎝⎭+，所以()()()111122022202220212f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()111140432022202121202120222021222f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦故答案为：4043216．23324【分析】根据空间点P 满足的条件可知点P 在以直线AB 为旋转轴，底面圆半径为33的圆柱上，即可求得OP 的最小值；建立空间直角坐标系利用空间向量求得直线OP 与平面OAB 所成角的正弦值的表达式，再利用换元及基本不等式即可求得结果.【详解】过点O 作OD AB ⊥与点D ，过点P 作PC AB ⊥与点C ，如下图所示又2OA AB ==，则3OD =，又13PAB OAB S S = ，则1333PC OD ==，即点P 为空间中到直线AB 的距离为33，所以点P 在以直线AB 为旋转轴，底面圆半径为33的圆柱上，如图所示易知当点P 与点,O D 三点共线时，OP 最小，且最小值为323333-=；以OAB 所在平面为xO z '，建立B xyz -空间直角坐标，如下图所示：则平面OAB 的法向量为()0,1,0n =，不妨设CP 与x 轴正方向夹角为α，则()3,0,3O，33cos ,sin ,33P h αα⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即33cos 3,sin ,333OP h αα⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，22223310cos 3sin (3)2cos (3)333OP h h ααα⎛⎫⎛⎫=-++-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3h =，且cos 1α=时，OP 最小，即当点P 与点O D ､三点共线时，OP 最小，且最小值为233；记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则23sin 3sin 102cos (3)3OP nOP nh αθα⋅==⋅-+-，因为2(3)0h -≥，所以23sin 31cos sin 106cos 102cos 3ααθαα-≤=--，令53cos ,28t t α=-≤≤，则5cos 3t α-=，则2(5)11169sin 10232t t t t θ--≤=--，而16161610101022t t t t t t ⎛⎫--=-+≤-⋅= ⎪⎝⎭，所以1sin 3θ≤，当且仅当4t =，等号成立，此时12tan 422θ==，故答案为：233；24【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据已知条件确定空间中点P 的轨迹，再利用空间向量解决线面角取值范围的问题.17．(1)13(2)322BD =，306AC =【分析】（1）利用三角形面积之间的关系，结合正弦定理可得结果；（2）利用三角形角平分线定理可求得BD ；设AC x =，则3AB x =，由πADB ADC ∠+∠=，知cos cos ADB ADC ∠=-∠，由余弦定理得到cos ADB ∠和cos ADC ∠，建立方程求解即可得AC .【详解】（1）11sin ,sin 22ABD ACD S AB AD BAD S AC AD CAD ∠∠=⋅⋅=⋅⋅ ，3,,3ABD ACD S S BAD CAD AB AC ∠∠==∴= ，由正弦定理可知sin 1.sin 3B AC C AB ==（2）23,2BD AB DC DC AC ===，322BD ∴=.设AC x =，则3AB x =，在ABD △与ACD 中，由余弦定理可知，22221192cos 232x AD BD AB ADB AD BD ∠-+-==⋅，222232cos 22x AD CD AC ADC AD CD ∠-+-==⋅，π,cos cos ,ADB ADC ADB ADC ∠∠∠∠+=∴=- 22113922322x x --∴=-，解得306x =，即306AC =.18．(1)证明见解析(2)23015【分析】（1）取AC 中点M ，四边形12PO O M 为平行四边形，从而得到12//PM O O ，根据12O O ⊥平面ABC 可得PM ⊥平面ABC ，从而得到需求证的面面垂直.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出1AO及平面PBC 的法向量后可求线面角的正弦值.【详解】（1）取AC 中点M ，由题意，121,22PO BC AB ===，又1//PO BC ，故1111//,22PO BC PO BC =.又2211//,22O M BC O M BC =，故1212//,PO O M PO O M =，所以四边形12PO O M 为平行四边形，则12//PM O O .由12O O ⊥平面ABC ，故PM ⊥平面ABC ，又PM ⊂面PAC ，故平面PAC ⊥平面ABC .（2）以2O 为坐标原点，2221,,O B O C O O的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：()()()()1222,0,0,2,0,0,0,2,0,,,2,0,0,222A BC P O ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故()12,0,2.AO =设平面PBC 的法向量(),,n x y z =而()222,2,0,,,222BC CP ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，故220222022n BC x y n CP x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1z =，得()2,2,1.n = 设所求角的大小为θ，则11122230sin cos ,1565AO n AO n AO nθ⋅+====⋅⋅ .所以直线1AO 与平面PBC 所成角的正弦值为23015.19．(1)3n a n =(2)5150d =【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；（2）由{}n b 为等差数列得出1a d =或12a d =，再由等差数列的性质可得50501ab -=，分类讨论即可得解.【详解】（1）21333a a a =+ ，132d a d ∴=+，解得1a d =，32133()6d d S a a =+==∴，又31232612923T b b b d d d d=++=++=，339621S T d d∴+=+=，即22730d d -+=，解得3d =或12d =（舍去），1(1)3n a a n d n ∴=+-⋅=.（2）{}n b 为等差数列，2132b b b ∴=+，即21312212a a a =+，2323111616()d a a a a a ∴-==，即2211320a a d d -+=，解得1a d =或12a d =，1d > ，0n a ∴>，又999999S T -=，由等差数列性质知，5050999999a b -=，即50501a b -=，505025501a a ∴-=，即2505025500a a --=，解得5051a =或5050a =-（舍去）当12a d =时，501495151a a d d =+==，解得1d =，与1d >矛盾，无解；当1a d =时，501495051a a d d =+==，解得5150d =.综上，5150d =.20．(1)36125(2)分布列见解析(3)最有可能是1人，理由见解析【分析】（1）由独立重复事件的概率公式求解即可；（2）先写出X 的可能取值，再求出每个值的概率即可求解；（3）设ξ表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数可能的取值为0、1、2，分别求出相应的概率，比较()0P ξ=、()1P ξ=、()2P ξ=的大小关系，由此可得出结论.【详解】（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为25，则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为2232336C 55125P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）X 表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X 的可能取值有0，1，2．2225C 1(0)C 10P X ===；112325C C 6(1)C 10P X ===；2325C 3(2)C 10P X ===．所以分布列为：X12P 0.10.60.3（3）设ξ表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，ξ可能的取值有0，1，2，则有：11222222333224222222555555C C C C C C C 37(0)C C C C C C 100P ξ⋅==⋅+⋅+⋅=，11111122112323233241222222555555C C C C C C C C C C 54(1)C C C C C C 100P ξ⋅==⋅+⋅+⋅=，2112223233222222255555C C C C C C 9(2)0C C C C C 100P ξ⋅==⋅+⋅+⋅=，因为(1)(0)(2)P P P ξξξ=>=>=，故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人．21．(1)22143x y +=(2)30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）由题意得22221212c OF c a a b c ⎧===⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解方程组可求出,a b ，从而可得椭圆的方程；（2）设AE 的方程为()0x my t m =+≠，代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，再由点,,P B E 三点共线且斜率一定存在，可求得1t =，得直线AE 过定点()1,0Q ，且Q 为椭圆右焦点，所求内切圆半径为r ，则12124AQ y y r ⋅-=，化简换元后可求出其范围.【详解】（1）依题意22221212c OF c a a b c ⎧===⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,3a b ==，所以C 的方程为22143x y +=.（2）因为AE 不与x 轴重合，所以设AE 的方程为()0x my t m =+≠，设点()()()11122,0,,A x y y E x y ≠，则()11,B x y -联立22143x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2223463120m y mty t +++-=，则()222121222631248340,,3434mt t m t y y y y m m --∆=-+>+==++因为点,,P B E 三点共线且斜率一定存在，所以2112114y y y x x x +-=--，所以()1221124x y x y y y +=+，将1122,x my t x my t =+=+代入化简可得121224y y m y y t +=-，故2264312m mtt t -=--，解得1t =，满足()248330m ∆=+>所以直线AE 过定点()1,0Q ，且Q 为椭圆右焦点设所求内切圆半径为r ，因为1442AEF S a r r =⨯⋅= ，所以()22121212214312444434FQA FQEAEF AQ y y y y y y S S Sm r m ⋅-+-++=====+ 令21(1)u m u =+>，则221m u =-，所以2331313u r u u u==++，因为1u >，对勾函数13y u u=+在()1,+∞上单调递增，所以134u u +>，则304r <<.所以内切圆半径r 的范围为30,4⎛⎫⎪⎝⎭..【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．(1)答案见解析(2)2e 1,e 1⎛⎫++∞⎪-⎝⎭【分析】（1）求得()2(1ln )f x x a x '=-+，设2(1ln ())x a g x x -+=，求得2()x ag x x-='，分0a ≤和0a >，两种情况讨论，结合函数的单调性和极值的定义，即可求解；（2）根据题意转化为存在[2,e]t ∈，使得1ln 0at a t t +-+<，构造函数1()ln a h t t a t t+=-+，求得2(1)(1)()t t a h t t +--'=，分12a +≤、21e a <+<和1e a +≥，结合函数()h t 的单调性和极值、最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数2()ln 1,R f x x ax x a a =-++∈，可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且()2(1ln )f x x a x '=-+，设2(1()()(0,)ln ),x a g x f x x x =-+∈'=+∞，则2()2ax ag x xx-'=-=，①当0a ≤时，可得()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x '没有极值；②当0a >时，若0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0g x '<，()f x '在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，若,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()0g x '>，()f x '在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x '在2a x =处取得极小值，且极小值为ln 22a a f a ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，在(0,)+∞上没有极大值，综上，当0a ≤时，()f x '没有极值；当0a >时，()f x '的极小值为ln 2aa -，无极大值.（2）由题意知，存在[2,e]t ∈，使得2()ln 10f t t at t a =-++<，即存在[2,e]t ∈，使得1ln 0at a t t+-+<，构造函数1()ln a h t t a t t+=-+，则221(1)(1)()1a a t t a h t t t t ++--'=--=，当12a +≤，即1a ≤时，()0h t '≥在[2,e]上恒成立，()h t 单调递增，所以()20h <，可得52ln 21a >-，与1a ≤矛盾，不满足题意；21当21e a <+<，即1e 1a <<-时，若[2,1]t a ∈+，则()0h t '≤，()h t 单调递减，若[1,e]t a ∈+，则()0h t '≥，()h t 单调递增，此时min ()(1)h t h a =+，由min ()(1)0h t h a =+<，可得(1)ln(1)10a a a +-++<，所以2ln(1)a a a +<+，因为21e a <+<，所以不等式2ln(1)a a a +<+不成立；当1e a +≥，即e 1a ≥-时，()0h t '≤在[2,e]t ∈上恒成立，()h t 单调递减，所以(e)0h <，可得2e 1e 1a +>-，满足题意.综上，实数a 的取值范围为2e 1,e 1⎛⎫++∞ ⎪-⎝⎭.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

常州市2024-2025学年第一学期期初检测高三数学（答案在最后）（时间：120分钟满分：150分试卷共6页）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合11A x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭∣，{|01}B x x =<<，则()A B ⋂=R ð（）A.[)0,1 B.0,1 C.()()1,00,1-⋃ D.−1,12.已知α，β∈R 则“sin()sin 2αβα+=”是“2()k k βαπ=+∈Z ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（）A.a b c <<B.c b a<< C.c<a<bD.b a c<<4.已知π02βα<<<，()4sin 5αβ-=，tan tan 2αβ-=，则sin sin αβ=（）A.12 B.15C.25D.25.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱CD 上的一点，且2DE EC =，则点1B 到平面1AEC 的距离为（）A.6147B.3147C.277D.776.已知函数()22()log 23f x ax x =++，若对于任意实数k ，总存在实数0x ，使得()0f x k =成立，则实数a 的取值范围是（）A.11,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B.(1,)-+∞ C.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.若()f x 的图象上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[,]A B 称为函数()f x 的“友情点对”（点对[,]A B 与[,]B A 视为同一个“友情点对”.）若op =3lns >0B 2,≤0恰有两个“友情点对”，则实数a 的取值范围是（）A.(1,0)- B.(0,1)C.1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭D.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭8.已知函数()f x 、()g x 的定义域均为R ，函数()f x 的图象关于点()1,1--对称，函数+1的图象关于y 轴对称，()()211f x g x +++=-，()40f -=，则()()20302017f g -=（）A.4- B.3- C.3D.4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知0a >，0b >，221a b ab ++=，则（）A.13ab ≤B.33a b +≤C.2223a b +≤D.1123a b+≤10.已知函数2()cos (0)2f x x ϕϕ⎛⎫=+<<π ⎪⎝⎭图像的一条对称轴是5π12x =，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.π1124f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.函数()f x 图像的一个对称中心为π,06⎛⎫⎪⎝⎭D.若函数()(0)y f x ωω=>在[0,]π上单调递减，则50,12ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11.已知函数()x a f x a x =-（0x >，0a >且1a ≠），则（）A.当e a =时，()0f x ≥恒成立B.当01a <<时，()f x 有且仅有1个零点C.当e a >时，()f x 没有零点D.存在1a >，使得()f x 存在2个极值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.命题“21,10x x ∀≥-<”的否定是_______.13.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=>，若()f x 在区间(0,2π)上有且仅有2个极值点，则ω的取值范围是________．14.已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()e (21)()x f x x f x '=⋅++，(0)2f =-，则不等式()4e x f x >的解集是________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数op =sin(π−B)cosB +cos 2B(>0)，()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标不变横坐标缩短到原来的12，再向右平移π8，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．16.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠= ，1AA =，11A AB A AD ∠=∠，145A AC ∠= ，AC 与BD 交于O ．（1）证明：1A O ⊥平面ABCD ；（2）求二面角1B CC D --的正弦值．17.第22届世界杯足球赛在卡塔尔举办，各地中学掀起足球热．甲、乙两名同学进行足球点球比赛，每人点球3次，射进点球一次得50分，否则得0分．已知甲每次射进点球的概率为23，且每次是否射进点球互不影响；乙第一次射进点球的概率为23，从第二次点球开始，受心理因素影响，若前一次射进点球，则下一次射进点球的概率为34，若前一次没有射进点球，则下一次射进点球的概率为12．（1）设甲3次点球的总得分为X ，求X 的概率分布列和数学期望；（2）求乙总得分为100分的概率．18.已知函数()1ln f x a x x=+，a ∈R ．（1）若2a =，且直线y x m =+是曲线()y f x =的一条切线，求实数m 的值；（2）若不等式()1f x >对任意(1)x ∈+∞，恒成立，求a 的取值范围；（3）若函数()()h x f x x =-有两个极值点1x ，212x x x <（），且()()214h x h x e-≤，求a 的取值范围．19.在平面直角坐标系中，如果将函数()y f x =的图象绕坐标原点逆时针旋转π(02αα<£后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称()f x 为“α旋转函数”.（1）判断函数3y x =是否为“π6旋转函数”，并说明理由；（2）已知函数()()()ln 210f x x x =+>是“α旋转函数”，求tan α的最大值；（3）若函数()()21e ln 2xx g x m x x x =---是“π4旋转函数”，求m 的取值范围.常州市2024-2025学年第一学期期初检测高三数学（时间：120分钟满分：150分试卷共6页）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AB 【10题答案】【答案】AD 【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】2001,10x x ∃≥-≥【13题答案】【答案】54,63⎛⎤⎥⎝⎦【14题答案】【答案】(,3)(2,)-∞-+∞ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎣⎦，Z k ∈（2）1()0,2g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【16题答案】【答案】（1）证明见解析（2）5【17题答案】【答案】（1）分布列见解析，数学期望为100（2）13【18题答案】【答案】(1)0m =(2)[1,)+∞(3)1(2,]e e+【19题答案】【答案】（1）不是，理由见解析（2）1 2（3）em。

2024—2025学年高三期中考试数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则（ ）A. B. C. D.2.“是“”的（ ）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.设向量，，，且，则（ ）A.3B.2C. D.4.已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且圆锥侧面积为，则该圆锥的内切球体积为（ ）A. B.C.5.函数（，，）的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象.若对任意的都有，则图中的值为（ ）A. B. C. D.{}1,2,3,4,5,6A ={}2B xx A =∈∈NA B =ð{}1,3,6{}3,4,6{}1,2,3{}4,5,6sin θ=π3θ=()2,2a = ()2,6b =- ()4,2c = ()a b c λ-⊥λ=2-3-6π4π4π3()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>π2ϕ<π12()g x x ∈R ()()0g x g x +-=a 1-6.已知函数若方程恰有2个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.7.已知函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（ ）A.2B. C.1D.8.在平面直角坐标系内，方程对应的曲线为椭圆，则该椭圆的焦距为（ ）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知方程的两个复数根为，，则下列说法正确的有（ ）A. B. C. D.10.设函数，则（ ）A.当时，的极大值大于0 B.当时，无极值点C.，使在上是减函数D.，曲线的对称中心的横坐标为定值11.已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则A.曲线的轨迹方程为B.若，为曲线上的动点，则的最小值为5C.过点，恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点D.圆与曲线交于，两点，与直线交于，两点，则，，，四点围成的四边形的周长为12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.记为等差数列的前项和，若，，则______.13.曲线在点处的切线与抛物线相切，则______.()()24,0,ln 1,01,x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨-<<⎪⎩()0f x ax -=a (],0-∞[]1,0-[)1,4-[)0,+∞()2f x +()21f x +(]0,1x ∈()4log f x x =94f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2-1-221x y xy +-=2240x x ++=1z 2z 122z z +=-212z z =124z z =12z =()321f x x x ax =-+-1a =-()f x 13a ≥()f x a ∃∈R ()f x R a ∀∈R ()y f x =C (),P x y ()1,0F 1x =-C 24y x=()4,2T M C MT MF +()1,0N -C 225x y +=C A B 1x =-E G A B E G n S {}n a n 347a a +=2535a a +=99S =2ln y x x =-()1,222y ax ax =-+a =14.已知双曲线：（，）与平行于轴的动直线交于，两点，点在点左侧，双曲线的左焦点为，且当时，，则双曲线的离心率是______；当直线运动时，延长至点使，连接交轴于点，则的值是______.（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在中，内角，，的对边分别是，，，且满足.（1）求角；（2）若，求周长的取值范围.16.（15分）已知函数.（1）若在上单调递减，求实数的取值范围；（2）若，证明：.17.（15分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，分别为，的中点，平面，且.（1）证明：平面；（2）若与平面所成的角是，求二面角的余弦值.18.（17分）如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点.C 22221x y a b-=0a >0b >x A B ABC F AFAB ⊥AF AB =BF P AF FP =AP x Q FQFPABC △A B C a b c πsin cos 6a B b A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A 2a =ABC △()2ln 1f x x x ax =-+()f x ()0,+∞a 0a <()0f x >P ABCD -ABCD E F AB PD PA ⊥ABCD 2PA AB ==//AF PCE FC ABCD π6F AC D --C 22221x y a b+=0a b >>2+213-l C ()3,1P M N（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线的方程；（3）当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.19.（17分）若有穷数列（且）满足（），则称为数列.（1）判断下列数列是否为数列，并说明理由.①1，2，4，3；②4，2，8，1.（2）已知数列中各项互不相等，令（），求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列.（3）已知数列是且个连续正整数1，2，…，的一个排列，若，求的所有取值.C MN =l PM PN x PM 1k PN 2k 12k k {}n a *n ∈N 3n ≥112i i i i a a a a +++-≤-1,2,,2i n =⋅⋅⋅-{}n a M M M {}n a 1m m m b a a +=-1,2,,1m n =⋅⋅⋅-{}n a {}m b M {}n a (*m m ∈N )3m ≥m 1112m kk k aa m -+=-=+∑m2024—2025学年高三期中考试数学参考答案及评分意见1. D 【解析】因为，，所以，.故选D.2. C 【解析】当，或，，推不出；当时，必有“是“”的必要不充分条件，故选C.3. A 【解析】因为，，，所以；因为，所以，解得.故选A.4. B 【解析】设圆锥的底面半径为，则，所以设圆锥的内切球半径为，又圆锥的轴截面为等边三角形，所以，则内切球的体积.故选B.5. A 【解析】由，得.的图象上的所有点向左平移个单位长度后得的图象，由题意知为奇函数，所以其图象关于原点对称，得函数的图象过点.设的最小正周期为，则，所以，故.又，，且，可得，所以，.故选A.6. C 【解析】当时，，由二次函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增.令，则，所以.当时，，，在上单调递减.令，则.作出的大致图象，如图所示.方程恰有2个不{}1,2,3,4,5,6A ={}2B x x A =∈∈N {}1,2,3B ={}4,5,6A B =ðsin θ=π2π3k θ=+k ∈Z 2π2π3k θ=+k ∈Z π3θ=π3θ=sin θ=sin θ=π3θ=()2,2a = ()2,6b =- ()4,2c = ()22,26a b λλλ-=+-()a b c λ-⊥ ()()()814131240a b c λλλλ-⋅=++-=-=3λ=r π26πr r ⋅⋅=r =R 113R ==344ππ33V R ==()max 2f x =2A =()f x π12()g x ()g x ()f x π,012⎛⎫⎪⎝⎭()f x T 7ππ12122T -=2ππT ω==2ω=π2π12k ωϕ+=k ∈Z π2ϕ<π6ϕ=-()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()π02sin 16a f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭0x ≤()24f x x x =+()f x (),2-∞-(]2,0-()24g x x x =+()24g x x '=+()04g '=01x <<()()ln 1f x x =-()101f x x =<-'()f x ()0,1()()ln 1h x x =-()01h '=-()y f x =()0f x ax -=相等的实数解，也就是的图象与直线恰有两个公共点.由图易知所求的取值范围是.故选C.7. C 【解析】因为函数为偶函数，所以，即函数的图象关于直线对称；因为函数为奇函数，所以，即函数的图象关于点中心对称.又当时，，所以.故选C.8. C 【解析】因为，将点的坐标代入方程，原方程保持不变，所以椭圆关于原点对称；将点和的坐标分别代入方程，原方程保持不变，所以椭圆关于直线和对称.设直线与椭圆交于，两点，则解得或所以；设直线与椭圆交于，两点，则解得或所以.由椭圆性质可知，，()f x y ax =a [)1,4-()2f x +()()22f x f x +=-+()f x 2x =()21f x +()()21210f x f x ++-+=()f x ()1,0(]0,1x ∈()4log f x x =4997711222log 1444444f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-==--=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221x y xy +-=(),x y --(),y x (),y x --y x =y x =-y x =A B 22,1,y x x y xy =⎧⎨+-=⎩1,1,x y =⎧⎨=⎩1,1,x y =-⎧⎨=-⎩AB =y x =-C D 22,1,y x x y xy =-⎧⎨+-=⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩CD =2a AB ==2b CD ==所以，.故选C.9. ACD 【解析】方程的两个复数根为，，由一元二次方程根与系数的关系得，，A ，C 正确；B 选项，，若，，则，B 错误；D 选项，由B 选项知，或，均有，D 正确.故选ACD.10. BD 【解析】对于A ，当时，，求导得，令得或，由，得或，由，得，于是在，上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，极大值为，A 错误；对于B ，，当时，，即恒成立，函数在上单调递增，无极值点，B 正确；对于C ，要使在上是减函数，则恒成立，而不等式的解集不可能为，C 错误；对于D ，由，得曲线的对称中心的坐标为，D 正确.故选BD.11. ABD 【解析】对于A ，依题意，曲线是以为焦点，a =b =c ==2240x x ++=1z 2z 122z z +=-124z z =2240x x ++=1=-±11z =-+21z =-()22212113i 2z z =-+=-+=--≠11z =-+1-12z ==1a =-()321f x x x x =---()2321f x x x =--'()0f x '=13x =-1x =()0f x '>13x <-1x >()0f x '<113x -<<()f x 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()1,+∞1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 13x =-11111032793f ⎛⎫-=--+-< ⎪⎝⎭()232f x x x a =-+'13a ≥4120a ∆=-≤()0f x '≥()f x R ()f x ()f x R ()2320f x x x a =-+≤'2320x x a -+≤R ()32322222258113333327f x f x x x a x x x ax a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=---+--+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()y f x =129,3327a ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ()1,0F直线为准线的抛物线，方程为，A 正确；对于B ，如图，过点作直线的垂线，交直线于，交抛物线于.令点到直线的距离为，则，当且仅当点与点重合时取等号，因此的最小值为，B 正确；对于C ，显然过点与曲线有且只有一个公共点的直线的斜率存在，设其方程为，由消去得，当时，直线与抛物线仅有一个公共点，当时，由，解得，显然直线，均与抛物线仅有一个公共点，因此过点与曲线有且只有一个公共点的直线有3条，C 错误；对于D ，直线交圆于点，，由得或从而，，所以四边形是矩形，其周长为，D 正确.故选ABD.12. 8 【解析】设等差数列的公差为，因为，，即解得则，所以.故答案为8.13. 1 【解析】设，则，则，所以曲线在点处的切线方程为，即.1x =-24y x =T 1x =-1x =-E A M 1x =-d ,MF d MT MF MT d TE =+=+≥M A MT MF +5TE =()1,0N -C ()1y k x =+()21,4,y k x y x ⎧=+⎨=⎩x 2440ky y k -+=0k =0y =0k ≠216160k ∆=-=1k =±1y x =+1y x =--()1,0N -C 1x =-225x y +=()1,2E -()1,2G --2224,5,y x x y ⎧=⎨+=⎩1,2,x y =⎧⎨=⎩1,2,x y =⎧⎨=-⎩()1,2A ()1,2B -ABGE ()22412⨯+={}n a d 347a a +=2535a a +=11257,475,a d a d +=⎧⎨+=⎩14,3,a d =-⎧⎨=⎩()91989899437222S a d ⨯⨯=+⨯=⨯-+⨯=989S =()2ln f x x x =-()12f x x'=-()11f '=2ln y x x =-()1,221y x -=-1y x =+由消去，得，由，得.故答案为1.【解析】当时，设，则，解得.又，所以，又，所以，两边同时除以，得，解得.如图，因为，所以，设，则，，，所以，又.15.解：（1）由及正弦定理得，故，所以.21,2,y x y ax ax =+⎧⎨=-+⎩y ()2110ax a x -++=()2140a a ∆=-+-=⎡⎤⎣⎦1a =1+-AF AB ⊥()0,A c y -220221y c a b -=4202b y a =AF AB =22b c a=222b c a =-222c a ac -=2a 2210e e --=1e =+1e =PQF PAB △∽△FQ AB ABFP BP AF BF==+(),A x y (),B x y -2AB x =AF =BF =FQFP=22a ac c=1ca =1a c ==πsin cos 6a B b A ⎛⎫=-⎪⎝⎭πsin sin sin cos 6A B B A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭11sin sin sin sin cos sin sin 22A B B A A B A B A ⎫=+=+⎪⎪⎭1sin sin cos 2A B B A =因为，，所以，因为，所以.（2）由（1）可知，，由余弦定理，得，又，所以.由基本不等式得：，即，所以，当且仅当时，等号成立.又，即，又，所以，所以，即周长的取值范围是.16.（1）解：，，则.因为在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立.构造函数（），则，令，解得.当时，；当时，，所以在区间（0，1）上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，即.所以，即的取值范围为.（2）证明：方法一：由题意得的定义域为，当时，要证，即证，等价于证明.()0,πB ∈sin 0B ≠1πsin sin 023A A A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()0,πA ∈π3A =π3A =222b c a bc +-=2a =224b c bc +=+222b c bc +≥42bc bc +≥4bc ≤2b c ==()22223416b c b c bc bc +=++=+≤04b c <+≤2b c a +>=24b c <+≤46a b c <++≤ABC △(]4,6()2ln 1f x x x ax =-+0x >()ln 12f x x ax =+-'()f x ()0,+∞()ln 120f x x ax =+-≤'()0,+∞ln 12x a x+≥()0,+∞()ln 12x g x x+=0x >()()22122ln 1ln 42x x xx g x x x⋅-+'-==()0g x '=1x =()0,1x ∈()0g x '>()1,x ∈+∞()0g x '<()g x ()1,+∞1x =()g x ()()max 112g x g ==12a ≥a 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭()2ln 1f x x x ax =-+()0,+∞0a <()0f x >2ln 10x x ax -+>1ln 0x ax x-+>构造函数（），即证.因为，令，因为函数图象的对称轴为直线，所以在上单调递增，且，，所以存在，使得，所以当时，；当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，也是最小值，即（）.又因为，得，所以（）.令，，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以当时，，所以，即，所以.方法二：将看作以为变量的函数，其中，因为，所以关于单调递减.要证当时，，即证当时，，只需证当时，.令，则，令，解得.当变化时，，的变化情况如下表：－＋()1ln h x x ax x=-+0x >()min 0h x >()222111ax x h x a x x x-'+-=--=()21T x ax x =-+-()T x 102x a=<()T x ()0,+∞()010T =-<()10T a =->()00,1x ∈()200010T x ax x =-+-=()00,x x ∈()()0,0T x h x <<'()0,x x ∈+∞()0T x >()0h x '>()h x ()00,x ()0,x +∞0x x =()h x ()()000min 01ln h x h x x ax x ==-+001x <<20010ax x -+-=0011ax x -=-()0002ln 1h x x x =+-001x <<()2ln 1p x x x =+-0x >()221220x p x x x x'-=-=<()0,1()p x ()0,1()0,1x ∈()()11p x p >=()00h x >()min 0h x >()0f x >()f x a ()2ln 1a x a x x ϕ=-⋅++()0,x ∈+∞20x -<()a ϕa 0a <()0f x >0a <()0a ϕ>0a =()0ln 10x x ϕ=+≥()ln 1m x x x =+()ln 1m x x =+'()0m x '=1ex =x ()m x '()m x x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1e1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()m x '单调递减单调递增所以.综上，.，，即.17.（1）证明：如图，设的中点为，连接，，则且.又且，所以，，所以四边形为平行四边形，则.又因为平面平面，所以平面.（2）解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接，，则且，又，所以.因为平面，所以平面，故与平面所成的角为，所以.所以在中，.又由菱形性质可得，所以，所以.所以，所以，，两两垂直.10分()m x ()min 1110e em x m ⎛⎫==-+> ⎪⎝⎭0a <()()()()100e f x a m x m ϕϕ⎛⎫=>=≥> ⎪⎝⎭()0f x >PC H FH EH //FH CD 12FH CD =//AE CD 12AE CD =//FH AE FH AE =AEHF //AF EH EH ⊂,PCE AF ⊄PCE //AF PCE BC G AG AD M FM CM //FM PA 12FM PA =2PA =1FM =PA ⊥ABCD FM ⊥ABCD FC ABCD FCM ∠π6FCM ∠=RtFCM △πtan 6FMCM ==AG CM =222AG BG AB +=AG BC ⊥AG AD ⊥AG AD AP以点为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，，，，，，所以，，.由平面得平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则故取，所以为平面的一个法向量.设二面角的平面角为，由图可得为锐角，所以，所以二面角.18.（1）解：由椭圆：上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和，结合椭圆的几何性质，得解得则，故椭圆的方程为.（2）解：设直线的方程为，，.由消去，整理得.A AG AD AP x y z 2PA AB ==()0,0,0A )1,0B-)C()0,2,0D ()0,1,1F ()0,0,2P ()0,1,1AF = ()CF =()0,0,2AP = PA ⊥ABCD ACD ()0,0,1n =FAC (),,m x y z =,,m AF m CF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 0,0.m AF y z m CF z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ x =3,3y z =-=)3,3m =- FAC F AC D --θθcos cos ,m n m n m nθ⋅=== F AC D --C 22221x y a b+=222,2.a c a c ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩2b ==C 221124x y +=l 13y x m =-+()11,M x y ()22,N x y 221,31,124y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 22469360x mx m -+-=由，得，则，.解得或.10分当时，直线的方程为，此时直线过点；当时，直线的方程为，满足题目条件.所以直线的方程为.（3）证明：因为直线，均不与轴垂直，所以直线：不经过点和，则且，由（2）可知，，为定值.19.（1）解：①因为，所以数列1，2，4，3不是数列；②因为，所以数列4，2，8，1是数列.（2）证明：必要性：若数列是等差数列，设其公差为，则，所以数列是常数列.充分性：若数列是常数列，()()22614440m m ∆=--->m <<1232mx x +=2129364m x x -=MN ===2m =2m =-2m =l 123y x =-+l ()3,1P 2m =-l 123y x =--l 123y x =--PM PN x l 13y x m =-+()3,1-()3,10m ≠2m ≠()()1212121212111111333333x m x m y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭=⋅=----()()()()21212121211119339x x m x x m x x x x --++-=-++()()22222193613113619432936391833942m m m m m m m m m m -⋅--⋅+--===---⋅+2443->-M 422881-<-<-M {}n a d 1m m m b a a d +=-={}m b {}m b则（），即（），所以或.因为数列的各项互不相等，所以，所以数列是等差数列.综上可知，数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列.（3）解：当时，因为（），所以，不符合题意；当时，数列为3，2，4，1，此时，符合题意；当时，数列为2，3，4，5，1，此时，符合题意.下面证当时，不存在满足题意.令（），则，且，所以有以下三种可能：①②③当时，因为，由（2）知：，，…，是公差为1（或）的等差数列，当公差为1时，由得或，所以或，与已知矛盾.当公差为时，同理得出与已知矛盾.1m m b b +=1,2,,2m n =⋅⋅⋅-112m m m m a a a a +++-=-1,2,,2m n =⋅⋅⋅-112m m m m a a a a +++-=-()112m m m m a a a a +++-=--{}n a 112m m m m a a a a +++-=-{}n a {}n a {}n b 3m =12i i a a +-≤1,2i =12235a a a a -+-<4m =1223346a a a a a a -+-+-=5m =122334457a a a a a a a a -+-+-+-=6m ≥m 1k k k b a a +=-1,2,,1k m =⋅⋅⋅-1211m b b b -≤≤≤⋅⋅⋅≤112m kk bm -==+∑k b 1,1,2,,2,4,1;k k m b k m =⋅⋅⋅-⎧=⎨=-⎩1,1,2,,3,2,2,3,1;k k m b k m k m =⋅⋅⋅-⎧⎪==-⎨⎪=-⎩1,1,2,,4,2,3,2, 1.k k m b k m m m =⋅⋅⋅-⎧=⎨=---⎩1,1,2,,2,4,1k k m b k m =⋅⋅⋅-⎧=⎨=-⎩1221m b b b -==⋅⋅⋅==1a 2a 1m a -1-14m b -=14m m a a -=+14m m a a -=-1142m m a a a m m -=+=++>154m m m a a a --=-=1-所以当时，不存在满足题意.其他情况同理可得，不存在满足题意.综上可知，的所有取值为4或5.1,1,2,,2,4,1k k m b k m =⋅⋅⋅-⎧=⎨=-⎩m m m。

兰州一中2022-2023-1学期期中考试试题高三数学（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合{3,1,0,2,4}U =--，{1,0}A =-，{0,2}B =，则()U A B ⋃=( ) A ．{3,1}- B ．{3,4}- C ．{3,1,2,4}--D ．{1,0,2}-2．已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a ( ) A ．1-B ．1C ．3-D ．33．已知()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，它们的部分图像如图，则()()⋅f x g x 的图像大致是( )A ．B ．C ．D ．4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且918S =，71a =，则1a =( ) A ．4B ．2C ．12-D ．1-5．已知x 、y 都是实数，那么“x y >”的充分必要条件是( )．A ．lg lg x y >B ．22x y >C ．11x y> D ．22x y >6．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为( ) A 3π B 3πC 3πD 3π 7．设x ，y 满足约束条件23250y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =-+的最小值为( )A ．2B ．1-C ．2-D ．3-8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()x f x e x =+，则32(2)a f =-，2(log 9)b f =，(5)c f =的大小关系为( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论错误的是( )A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上为减函数D ．()f x 的一个周期为810．已知函数222,2,()366,2,x ax x f x x a x x ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩若()f x 的最小值为(2)f ，则实数a的取值范围为( ) A ．[2,5]B ．[2,)+∞C ．[2,6]D ．(,5]-∞11．已知双曲线2221x y a-=（0a >）的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P 若12PF F △的面积为22率为( ) A 23B 32C ．3D 1412．已知函数3()5()R f x x x x =+∈，若不等式()22(4)0f m mt f t ++<对任意实数2t ≥恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,2-- B ．4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．((),22,-∞+∞D ．(,2-∞第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用数字作答）14．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为______．15．已知()f x 是R 上的奇函数，()g x 是在R 上无零点的偶函数，()20f =，当0x >时，()()()()0f x g x f x g x ''-<，则使得()()lg 0lg f x g x <的解集是________16．已知0x >，0y >，且24x y +=，则112x y y ++最小值为________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)（一）必考题：共五小题，每题12分，共60分。

2021-2022年高三数学上学期期初考试试题理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则A∩B中的元素个数为A．2 B．3 C．4 D．52．已知a为实数，若复数为纯虚数，则的值为A．1 B．0 C．D．3．下列命题错误的是A．若为假命题，则为假命题B．若，则不等式成立的概率是C．命题“R使得”的否定是：“R,”D．已知函数可导，则“”是“是函数极值点”的充要条件4．从1~9共9个自然数中任取七个不同的数，则这七个数的平均数是5的概率为A．23B．13C．19D．185．设是所在平面内一点，，则A．B．C．D．6．过双曲线的右焦点作一条直线，当直线倾斜角为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线倾斜角为时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为A．B．C．D．7．已知，，若，则A．图象关于中心对称B．图象关于直线对称C．在区间上单调递增D．周期为的奇函数8．已知实数x，y满足1040x yx yy m-+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥，若目标函数的最大值与最小值的差为2，则实数的值为A．4 B． 3 C．2 D．9．在程序框图中，输入N=8，按程序运行后输出的结果是A．6 B．7C．10 D．1210．已知函数有极值，则实数的取值范围是A．B．C．D．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．B ．C ．D ．12．若函数满足对于任意实数，都有为某三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是 A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数为偶函数，则实数k 的值为_________．14．已知的展开式中的系数为-16，则实数a 的值为_________．15．已知O 是锐角三角形ABC 的外接圆圆心，,cos cos 2sin sin B C AB AC mAO CB+=，则m ＝_________．16．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C 的离心率为2，直线与双曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点M 在第一象限，并且在抛物线上，若点M 到抛物线焦点的距离为p ，则直线的斜率为___________．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在等差数列中，,，数列的前n 项和．2正视侧视俯视F（Ⅰ）求数列,的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．18．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=AE=2．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACFE；（Ⅱ）当直线FO与平面BED所成角的为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小．（Ⅰ）为了了解被调查者喜欢这种造型是否与喜欢动画片有关，根据50位被调查者的情况制作的列联表如下表，请在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95℅以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型与自身喜欢动画片有关?（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为总体概率．现采用随机抽样方法抽取3人，记被抽取的3人中喜欢头上长“草”的造型的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差．下面的临界值表供参考：（参考公式：K2=n (ad－bc) 2(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)，其中n=a+b+c+d）20．（本小题满分12分）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，若椭圆C上存在点P满足（其中O为坐标原点），求实数的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若,求函数的最大值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点,，交的延长线于点,交于点．（Ⅰ）求证：是圆的切线；（Ⅱ）若，求的值．23．(本小题满分10分）已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线上求一点，使得它到直线的距离最短．24．（本小题满分10分）已知函数．（Ⅰ）若不等式有解，求实数的最小值；（Ⅱ）若，且，证明：．理科数学答案一、BDDCA BCCCA CD 二、13．14．215．16．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解：（1）设等差数列的首项为，公差为d ，则 …………（3分） 数列的前n 项和= 当n =1时，，当n 2时，221(1)21n n n b S S n n n -=-=+-=+，对=4不成立， 所以，数列的通项公式为…………6分 （2）n =1时，，n 2时，111111(21)(23)22123n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， 所以1111111111111161()()2025779212320252320101520(23)n n n T n n n n n --=+-+-++-=+-=+=+++++n =1仍然适合上式，…………10分 综上，…………12分18．解（Ⅰ）证明：四边形ABCD 是菱形，．平面ABCD,平面ABCD．,∴平面ACFE．-------------------5分（Ⅱ）解：以O为原点，OA，OB为x，y轴正向，z轴过O且平行于CF，建立空间直角坐标系，则，，，，---6分设平面的法向量为，则有，即令，则-------------------8分由题意得||sin45|cos,|||||OFOFOF⋅=<>===nnn，解得或．由，得-------------------10分(1,0,3),(1,2),cos,OF BEOF BE=-===即所求的异面直线所成的角余弦值为---------------------12分19．解：（Ⅰ）如表：--------------------3分K2=50×(30×6－9×5) 239×11×35×15=40501001=4.046>3．841所以有95℅以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型和自身喜欢动画片有关．-----------------6分（Ⅱ）由频率分布直方图知抽到喜欢头上长“草”的频率为，将频率视为概率，即从人群中抽取一名喜欢头上长“草”的概率为．由题意知，从而的分布列为：-------------9分,7363()(1)31010100D X np p=-=⨯⨯=．-----------12分20．解：（Ⅰ）由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，∴圆心到直线的距离（*）------------------------------------1分 ∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， ∴,，代入（*）式得，∴，故所求椭圆方程为……………………………………………………4分 （Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设， 将直线方程代入椭圆方程得：22228820(12)x k x k k -+-=+， ∴422644(12)(82)0k k k ∆=-+->，解得．设,，则22121222882,1212k k x x x x k k -+==++，----------------------6分 ∴121224(4)12x x ky y k k ++=-=-+由，得当时，直线为轴，则椭圆上任意一点P 满足，符合题意；当时，20202812412k tx k k ty k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∴，．------------------------------------------------------------9分 将上式代入椭圆方程得：()()42222222321611212k k t kt k+=++，整理得：=是的递增函数，由知，，所以，综上可得．----------------------------------------------------------------12分21．解：(Ⅰ)由题意知：函数的定义域为，且2331(21)(1)2()(23)()1(1)(1)ax x ax x x x a f x x x x ++-+-+'=-=+++， ①当时，即时若，则；若，则此时在区间上单调递增,在区间上单调递减.②当,即时若，则；若，则,此时在区间，上单调递增,在区间上单调递减．③当2a -3=0时时，，故此时在区间上单调递增．④当时，即时若，则，若，则,所以，此时在区间,上单调递增,在区间上单调递减．-------------------6分（Ⅱ）显然，设()1()ln ()ln(1)ln x g x x x x x x ϕ==++-，则，因此在上的最大值等于其在上的最大值．--------------------------7分2111()(1)ln(1)()ln 11x x x x x x xϕ'=-+++⋅--+， 设2111()(1)ln(1)()ln 11h x x x x x x x =-+++⋅--+， ，由(Ⅰ)知，当时，在区间单调递减，所以222()ln(1)(0)0(1)x x f x x f x +=+-<=+,所以函数在区间单调递减，于是，从而函数在区间单调递增，进而，因为 所以函数的最大值等于．--------------------------------------------12分请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．解析：（Ⅰ）连接，可得，∴..............3分又，∴，又为半径，∴是圆的切线；..............5分（Ⅱ）过作于点，连接，则有，分 设，则，∴...............8分由可得，又由，可得．...............10分23．解析：（Ⅰ）由，，可得，...............1分所以曲线的普通方程为（或），...............3分因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为；...............5分（Ⅱ）因为曲线是以为圆心，1为半径的圆，因为点在曲线上，所以可设点，...............7分所以点到直线的距离为，...............8分因为，所以当时，，...............9分此时点的坐标为．...............10分24．解析：（Ⅰ）因为()(5)32(3)(2)5-+=-+--+=，f x f x x x x x-≤当且仅当时等号成立，所以，解得；...............5分（Ⅱ）证明：要证，即证，只需证，即证，又22222222---=--+=--，，ab b a a b a b a b(3)(3)99(1)(9)所以，所以，故原不等式成立．...............10分uL23687 5C87 岇D35489 8AA1 誡Dt:20477 4FFD 俽32002 7D02 紂sJ 23603 5C33 尳39230 993E 餾。

二中2021届高三上学期期初考试高三年数学〔理〕试卷第一卷〔一共60分〕一、选择题〔每一小题5分一共60分，在每一小题给出的四个选项里面只有一项是哪一项符合题目要求的〕{}022>--=x x x A ,那么A C R 等于( ){}21|.<<-x x A {}21|.≤≤-x x B {}21|.>-<x x x C 或 {}21|.≥-≤x x x D 或2.1005,:00<∈∃n N n p ,那么p ⌝�为( )1005,.<∈∀n N n A 1005,.≥∈∀n N n B 1005,.00≥∈∃n N n C 1005,.00>∈∃n N n D3.不等式01>-xx 成立的一个充分不必要条件是( ) 1.>x A 1.->x B 101.<<-<x x C 或 101.><<-x x D 或4. 函数)ln()(2x x x f -=的定义域为( )()1,0.A []1,0.B ()()+∞∞-,10,. C (][)+∞∞-,10,. D⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=1,3621,log )(21x x x x f x,那么=))21((f f ( )3.-A 3.B4.C 38.D6. 以下函数中,既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )x x e e y A -+=. )1ln(.+=x y B x x y C sin .=xx y D 1.-= 7. 以下结论正确的选项是( )2log 2log .35>A 9.0239.0.>B 23.03.02log .>C 3log 21log .213>D8. 02,3sin tan 2<<-=⋅απαα,那么=αsin ( )23.A 23.-B 21.C 21.-D 9.函数xx y ln =的图象大致是( )10.偶函数)(x f 满足)1()1(+=-x f x f ,且当[]1,0∈x 时,1)(+-=x x f ,那么关于x 的方程)1lg()(+=x x f 在[]9,0∈x 上实根的个数是( )7.A 8.B 9.C 10.D11. xxx f ln )(=,那么( ) )3()()2(.f e f f A >>)2()()3(.f e f f B >> )()2()3(.e f f f C >>)2()3()(.f f e f D >>12. 定义在{}0|≠x x 上的函数)(x f 满足)(,0)()(x f x f x f =--的导函数为)('x f ,且满足0)1(=f ,当0>x 时,)(2)('x f x xf <,那么使得不等式0)(>x f 的解集为( )()()1,01,. -∞-A ()()+∞-∞-,11,. B ()()+∞-,10,1. C ()()1,00,1. -D第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕 13. 假设函数a x x f +=2)(的单调递增区间是[)+∞,3,那么a = . 14. 曲线xx y 12+=在点)2,1(处的切线方程为 . 15. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x ,恒有)()2(x f x f -=+.当[]2,0∈x时,22)(x x x f -=,那么=+⋅⋅⋅+++)2019()2()1()0(f f f f .R b a ∈,,记{}⎩⎨⎧<≥=ba b ba ab a ,,,max ，那么函数{})(2,1max )(R x x x x f ∈-+=的最小值是 .三．解答题〔本大题一一共6小题，满分是70分，解容许写出文字说明，推理过程或者演算步骤〕17．(本小题满分是10分)命题p :方程012=+-mx x 有实数解,命题q :022>+-m x x 对任意R x ∈)(q p q ∧∨真、p ⌝真,务实数m 的取值范围.18．(本小题满分是12分)角α满足3tan =α,求以下各式的值: 〔1〕sin 4cos 5sin 2cos αααα-+;〔2〕αααα22cos 3cos sin 2sin-+.19．(本小题满分是12分)定义在()1,1-上的函数)(x f y =满足[]212121,0)()()(x x x f x f x x ≠<--,假设)1()12(a f a f -<-,务实数a 的取值范围.20．(本小题满分是12分)函数)(ln )(R m mx x x f ∈-=,求函数)(x f 在区间[]e ,1上的最大值.21． (本小题满分是12分)设函数R m x m x x f ∈+=,ln )(.讨论函数3)()('xx f x g -=零点的个数.22． (本小题满分是12分)函数a x e x f x33)(+-=(e 为自然对数的底数,R a ∈).〔1〕求)(x f 的单调区间与极值; 〔2〕求证:当e a 3ln >,且0>x 时,13232+->ax x e x.二中2021届高三上学期期初考试 高三数学〔理〕参考答案及评分HY一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕13、6- 14、01=+-y x 15、0 16、23三、解答题〔此题一共6个小题，一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤〕17. 〔本小题满分是10分〕解：由于¬p 真,所以p 假,那么p ∧q 假,又q ∨(p ∧q)真,故q 真,即命题p 假、q 真.…………………………………2分 当命题p 假时,即方程x 2-mx+1=0无实数解,此时m 2-4<0,解得-2<m<2;…………………………………5分 当命题q 真时,4-4m<0,解得m>1.…………………………………8分所以1<m<2. …………………………………10分18.〔本小题满分是12分〕解：〔1〕sin4cos5sin2cosαααα-+=tan45tan2αα-+,…………………………………3分把tan α=3代入得原式=34532-⨯+=-117.…………………………………6分〔2〕sin2α+2sin αcos α-3cos2α=22 sin2sin cos3cos1αααα+-=2222sin2sin cos3cossin cosαααααα+-+=222tan2tan3tan1ααα+-+…………………………………10分把tan α=3代入得原式=22323331+⨯-+=65.…………………………………12分19.〔本小题满分是12分〕解：因为函数f(x)满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,x1≠x2所以函数在(-1,1)上是减函数…………………………………4分又因为f(2a-1)<f(1-a)所以1211,111,211,aaa a-<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩求解可得23<a<1…………………………………12分20、〔此题满分是12分〕解：函数f(x)=ln x-mx(m∈R)的导数为f′(x)= 1x -m=1mxx-.………………2分①当m≤0时,x∈[1,e],f′(x)>0.所以函数f(x)在[1,e]上单调递增,那么f(x)max=f(e)=1-me;…………………………………4分②当1m ≥e,即0<m ≤1e时,x ∈(1,e),f ′(x)>0, 所以函数f(x)在(1,e)上单调递增,那么f(x)max =f(e)=1-me;…………………………………6分 ③当1<1m <e,即1e<m<1时, 函数f(x)在(1,1m )上单调递增,在(1m ,e)上单调递减,那么f(x)max =f(1m)=-ln m-1;……8分 ④当0<1m≤1,即m ≥1时,x ∈(1,e),f ′(x)<0, 函数f(x)在(1,e)上单调递减,那么f(x)max =f(1)=-m.…………………………………10分 综上,当m ≤1e时,f(x)max =1-me; 当1e<m<1时,f(x)max =-ln m-1;当m ≥1时,f(x)max =-m.…………………………………12分 21. 〔本小题满分是12分〕 解：由题设g(x)=f ′(x)-3x =1x -2m x -3x(x>0),…………………………………2分 令g(x)=0,得m=-13x 3+x(x>0), 设ϕ(x)=-13x 3+x(x>0),那么ϕ′(x)=-x 2+1=-(x-1)(x+1),当x ∈(0,1)时,ϕ′(x)>0,ϕ(x)在(0,1)上单调递增; 当x ∈(1,+∞)时,ϕ′(x)<0,ϕ(x)在(1,+∞)上单调递减. 所以x=1是ϕ(x)的唯一极值点,且是极大值点, 因此x=1也是ϕ(x)的最大值点. 所以ϕ(x)的最大值为ϕ(1)=23.又ϕ(0)=0…………………………………7分结合y=ϕ(x)的图象(如图),时,函数g(x)无零点;可知①当m>23②当m=2时,函数g(x)有且只有一个零点;3时,函数g(x)有两个零点;③当0<m<23④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;…………………………………10分时,函数g(x)无零点;综上所述,当m>23或者m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;当m=23时,函数g(x)有两个零点.…………………………………12分当0<m<2322．〔本小题满12分〕解：(1)解:由f(x)=e x-3x+3a,x∈R,知f′(x)=e x-3,x∈R.……………………………2分由f′(x)=e x-3<0得x<ln 3,由f′(x)=e x-3>0得x>ln 3,故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 3],单调递增区间是[ln 3,+∞),所以极小值为f(ln 3)=e ln 3-3ln 3+3a=3(1-ln 3+a).无极大值.………………………5分x2+3ax-1,x>0,(2)证明:设g(x)=e x-32于是g′(x)=e x-3x+3a,x>0.…………………………………7分=ln 3-1知,g′(x)的最小值为g′(ln 3)=3(1-ln 3+a)>0.由(1)及a>ln 3e于是对任意x>0,都有g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)内单调递增.于是当a>ln 3=ln 3-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).e而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0.x2-3ax+1.…………………………………12分即e x>32励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

数学高三上学期理数期初考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题. (共14题；共15分)1. （1分） (2019高三上·上海月考) 已知集合，，则________．2. （1分） (2016高二上·浦城期中) 已知a、b是两个命题，如果a是b的充分条件，那么¬a是¬b的________条件．（填“充分条件”、或“必要条件”、或“充要条件”）3. （1分） (2018高二下·鸡西期末) 命题“ ,”的否定是________.4. （2分） (2018高二下·温州期中) 已知函数则 ________；函数的零点有________个；5. （1分） (2016高一上·仁化期中) 函数f（x）=﹣2x2+6x（﹣2＜x≤2）的最大值是________．6. （1分）已知定义在R上的函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2 ，那么函数y=f（x）的图象与y=log3|x|的图象的交点个数为________．7. （1分） (2018高二上·台州月考) 设定点，是函数图象上的一动点，若点之间的最短距离为，则 ________．8. （1分）要使函数y=1+2x+a•4x在（x∈（﹣∞，1]）有y＞0恒成立，则实数a的取值范围是________．9. （1分） (2017高二下·高淳期末) 函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在mx+ny+2=0上，其中mn＞0，则的最小值为________．10. （1分）已知函数f（x）= （x＞a，a为非零常数）的最小值为6，则实数a的值为________．11. （1分）已知函数f（x）= 函数g（x）=f（x）﹣2x恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．12. （1分） (2015高一下·枣阳开学考) 已知函数y=f（x）对于任意x∈R有，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2+1，则以下命题正确的是：①函数数y=f（x）是周期为2的偶函数；②函数y=f（x）在[2，3]上单调递增；③函数的最大值是4；④若关于x的方程[f（x）]2﹣f（x）﹣m=0有实根，则实数m的范围是[0，2]；⑤当x1 ，x2∈[1，3]时，．其中真命题的序号是________．13. （1分）(2018·虹口模拟) 已知函数，则 ________．14. （1分）关于x的方程4x+2（m﹣1）•2x+m+1=0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．二、解答题. (共6题；共55分)15. （10分） (2018高三上·赣州期中) 已知集合，集合 .（1）当时，求；（2）设，若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数的取值范围.16. （5分） (2019高二上·吴起期中) 求函数的定义域为R的充要条件.17. （20分） (2018高二上·惠来期中) 某科研机构研发了某种高新科技产品，现已进入实验阶段.已知实验的启动资金为10万元，从实验的第一天起连续实验，第天的实验需投入实验费用为元，实验30天共投入实验费用17700元.（1）求的值及平均每天耗资最少时实验的天数；（2）求的值及平均每天耗资最少时实验的天数；（3）现有某知名企业对该项实验进行赞助，实验天共赞助元 .为了保证产品质量，至少需进行50天实验，若要求在平均每天实际耗资最小时结束实验，求的取值范围.（实际耗资=启动资金+试验费用-赞助费）（4）现有某知名企业对该项实验进行赞助，实验天共赞助元 .为了保证产品质量，至少需进行50天实验，若要求在平均每天实际耗资最小时结束实验，求的取值范围.（实际耗资=启动资金+试验费用-赞助费）18. （10分） (2018高一上·成都月考) 某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．（1）下列几个模拟函数中：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP 关系更合适？说明理由；（2）若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？19. （5分） (2018高三上·福建期中) 函数 .(I)求的单调区间；(II)若，求证： .20. （5分）（文）某民营企业年初用108万元购买一条先进的生产流水线，第一年各种费用支出12万元，以后每年支出都比上一年支出增加6万元，若每年年收入为63万元．（1）问第几年开始总收入超过总支出？（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：总盈利最大时，以3万元出售该套流水线；（盈利=收入﹣支出）方案二：年平均盈利最大时，以30万元出售该套流水线．问那种方案合算？参考答案一、填空题. (共14题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题. (共6题；共55分)15-1、答案：略15-2、答案：略16-1、17-1、答案：略17-2、答案：略17-3、答案：略17-4、答案：略18-1、18-2、答案：略19-1、20-1、答案：略。

2024年高三年级期初调研检测数学试题2024.09本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合(){}ln 4Ax y x ==−，{}1,2,3,4,5B =，则A B = （ ）A. {5}B. {1,2,3}C. {1,2,3,4}D. {1,2,3,4,5}【答案】B 【解析】【分析】根据对数中真数大于0解出集合A ，再利用交集含义即可得到答案. 【详解】(){}{}ln 44A x y x x x ==−=<，则{1,2,3}A B ∩=. 故选：B.2. 已知复数z 满足()12i 43i z +=+，则z 的虚部为（ ） A. 1 B. 1−C. iD. i −【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法的计算公式得2i z =−，再根据共轭复数和复数虚部的概念即可.【详解】()()()()43i 12i 43i105i2i 12i12i 12i 5z +−+−====−++−， 则2i z =+，则其虚部为1.故选：A.3. 已知命题p ：R α∀∈，sin cos 44ππαα −=+，则p ¬为（ ） A. R α∀∈，sin cos 44ππαα−≠+B. R α∃∈，sin cos 44ππαα−≠+C. R α∀∉，sin cos 44ππαα−=+ D. R α∃∉，sin cos 44ππαα−=+【答案】B 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定，否定结论，全称变特称即可.【详解】根据全称量词命题的否定，否定结论，全称变特称,则p ¬为“R α∃∈，sin cos 44ππαα−≠+”. 故选：B.4. 等差数列{aa nn }的首项为1−，公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则{aa nn }的前6项和为（ ） A. 1−B. 3C. 24−D. 24【答案】D 【解析】2=d ，后根据等差数列求和公式计算即可.【详解】236,,a a a 成等比数列,则2326a a a =⋅，即21112()(5)()a d a d a d +=+⋅+， 11a =−代入.得到212)1)15)(((d d d −+−+−+⋅=，0d ≠，解得2=d .则{}n a 的前6项和6656(1)2242S ×=×−+×=. 故选：D.5. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称．若1cos 3α=−，则()cos αβ−=（ ）A.19B. 79−C. 1D.79【答案】B 【解析】【分析】运用角的终边对称性，得到正弦余弦值之间的关系，再用两角差的余弦值计算即可. 【详解】角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称. 则1cos cos 3αβ==−，sin sin αβ=−，且228sin 1cos 9αα=−=，28sin sin sin 9αβα⋅=−=−， 故()187cos cos cos sin sin 999αβαβαβ−=⋅+⋅=−=−. 故选：B6. 两个粒子A ，B 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为(1,2)A S = ，(4,3)B S =．粒子B 相对粒子A 的位移为S ，则S 在A S上的投影向量为（ ）A.B.C. (1,2)D. (2,1)【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得(3,1)B A S S S=-=，结合向量的数量积的公式和投影向量的公式，准确计算，即可求解.【详解】由向量(1,2)A S =，(4,3)B S = ，可得粒子B 相对粒子A 的位移为(3,1)B A S S S =-=，可得13215A S S =××=⋅+， 所以S在A S上的投影向量为(1,2)(1,2)A A AAS S S S S ⋅⋅==.故选：C.7. 设()()2,01,0x a x f x x a x x +≤= ++>，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ） A. []1,0− B. []1,2−C. []2,1−−D. []2,0−【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数的最值，结合二次函数和基本不等式,二次不等式求解.【详解】由于()()2,01,0x a x f x x a x x +≤ = ++>，则当0x =，()20f a =.由于()0f 是()f x 的最小值，则(,0]−∞为减区间，即有0a ≤.则21,0a x a x x≤++>恒成立.由12x x +≥=，当且仅当1x =取最值.则 22a a ≤+，解得12a −≤≤。

七宝中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．函数的定义域为______．2．计算______．3．已知是1与9的等比中项，则正实数______．4．在的展开式中，的系数为______（用数字作答）．5．在复平面内，复数对应的点位于第______象限。

6．已知，则______．7．已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为______．8．已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为______（从中选择作答）．9．已知函数．在中，，且，则______．10．如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为______．11．抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段y =(4log =a a =4(x -2x 2ii-π1sin 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πcos 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭{}22,,A a a x y x y ==+∈N ,x y A ()f x '()f x ()f x y e '=()f x ,,,a b c d ()22cos 2xf x x =+ABC △()()f A f B =a b ≠C ∠=,AD BC O ,,,AB AD BC CD {}1,3,5,,90x ABO DCO ∠=∠=︒x 24y x =F ,,l A B π3AFB ∠=AB的中点在准线上的投影为，则的最大值是______．12．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为______．二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D14．已知直线，动直线，则下列结论正确的为（）A ．不存在，使得的倾斜角为B ．对任意的与都不垂直C ．存在，使得与重合D ．对任意的与都有公共点15．一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．816．若，有限数列的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得是等差数列；②对于任意的，都不是等比数列．则（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．如图，为正方体，动点在对角线上（不包含端点），记．M l N MNAB(0,1)λλλ>≠,,a b c 1,2,1a c b a b ===⋅=1122c a c b ++-a 1a a>2211a a a a+≥+12a a+>-≥-1:10l x y --=()()2:10l k x ky k k +-+=∈R k 2l π21,k l 2l k 1l 2l 1,k l 2l 3n ≥12,,,n a a a k k S 1k k S S +>11k n ≤≤-3n ≥12,,,n a a a 3n ≥12,,,n a a a 1111ABCD A B C D -P 1BD 11D PD Bλ=（1）求证：；（2）若异面直线与所成角为，求的值．18．已知点是坐标原点．（1）若，求的值：（2）若实数满足，求的最大值．19．英语学习中学生喜爱用背单词"神器"提升自己的英文水平，为了解上海中学生和大学生对背单词“神器”的使用情况，随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款背单词“神器”，结果如下：百词斩扇贝单词秒词邦沪江开心词场中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对背单词“神器”的喜爱互不影响．（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用“百词斩”的概率；（2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人．记X 为这3人中最喜爱使用“扇贝单词”的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的频率依次为，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的频率依次为，其方差为的方差为．写出的大小关系．（结论不要求证明）20．在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，焦点到直线的距离为．（1）求该粗圆的离心率；（2）若直线经过坐标原点，求面积的最大值；（3）如果直线的斜率依次成等差数列，求的取值范围．21．若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为．已知曲线1AP B C ⊥AP 11D B π3λ()())1,1,1,1,,A B CO θθ-BC BA -=sin2θ,m n π,0,2mOA nOB OC θ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭22(3)m n ++1234,,,x x x x 21s 1234,,,y y y y 2212341234;,,,,,,,s x x x x y y y y 23s 222123,,s s s 12,F F 22143x y +=1F l ,A B 2F l d l 2F AB △11,,AF l BF d k 12,l l ():C y f x =12,l l C C 12,l l 12,l l C C k ()d k．（1）判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由；（2）若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由．（3）对于任意的正实数，函数是否都存在"双夹线"？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由．2025届七宝中学高三（上）期中考试参考答案一、填空题1、； 2、； 3、3； 4．18； 5、四；6．；7、； 8、a ； 9、；10、4；11、1； 12、10、【答案】412、【答案】二、选择题13～16、BDBC三、解答题17、（1）证明：如图，连接．由已知可得，平面平面，所以，又是正方形，所以，又平面平面，所以平面，又动点在对角线上，所以平面，所以平面，所以．():sin C f x mx n x =+0,1m n ==C 1,1m n ==-1:1l y x =+2:1l y x =-()y f x =()d k ,m n ()y f x =()d k ()1,+∞3412{}0,1,2,4π311,BC AD AB ⊥111,BCC B B C ⊂11BCC B 1AB B C ⊥11BCC B 11B C BC ⊥1BC ⊂11,ABC D AB ⊂111,ABC D AB BC B = 1B C ⊥11ABC D P 1BD P ∈11ABC D AP ⊂11ABC D 1AP B C ⊥（2）以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，设，则，则．由已知，可得，设点，则，所以，所以，即，所以，．又异面直线与所成角为，所以，即，解得或0，因为，所以满足条件．18、【答案】（1）； （2）16．19、【答案】（1）； （2）； （3）20．【答案】（1）； （2 （3）．21、【答案】（1）存在；（2）是，3）是，C 1CD CB CC 、、x y z 、、1CD =()()()()()()()1110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1,0C D B C D B A ()11111,1,0,D B D B =-=11D PD Bλ=11D P D B λ= ()000,,P x y z ()10001,,1D P x y z =-- 00011x y z λλλ-=-⎧⎪=⎨⎪-=-⎩00011x y z λλλ=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩()1,,1P λλλ-+-+(),1,1AP λλλ=---+AP ==AP 11D B π311π1cos ,cos 42AP D B 〈==〉 11cos ,2AP D 1λ=01λ<<45λ=12-320[]34E X =222231s s s <<12()d k =()0)d k n =>。